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PC-PC* 2012/2013 Lycée SCHWEITZER Mulhouse Mécanique des fluides Marc STRUBEL

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Chapitre 1 : STATIQUE DES FLUIDES Ce chapitre rassemble l'essentiel du cours de PCSI.

1. Définition des fluides : Un fluide est un système pouvant se déformer sous l'effet de forces aussi petites soient-elles , pourvu qu'elles soient appliquées assez longtemps. En pratique, on considérera des liquides et des gaz. Un fluide est formé à l'échelle microscopique de particules individuelles, cependant on traite le fluide comme un milieu continu, constitué de "particules élémentaires de fluide" ( échelle mésoscopique ) si la dimension typique L du système considéré ( échelle macroscopique ) est grande devant le libre parcours moyen des molécules. Les particules de fluide sont donc petites à l'échelle macroscopique, mais contiennent un nombre de molécules pour pouvoir y définir des grandeurs moyennées.

2. Forces dans les fluides : a) Les forces exercées sur les fluides peuvent être décomposées en deux types :

les forces volumiques, qui s'appliquent à chaque élément dV du fluide ; on définit dans ce cas une densité volumique de forces par :

dV= .fFd v

Exemple : poids volumique gρf

=Vpoids , force électromagnétique volumique )+(=Vém BvEρf

.

les forces superficielles, qui s'appliquent à chaque élément dS de la surface S entourant le

volume V du fluide ; on admet que dans le fluide au repos la force exercée sur une petite surface dS du fluide étudié est :

S.dMP- Fd

)(= .

où d S

est le vecteur surface orienté par la normale sortante, et où P(M) est appelée pression au point M.

Unité : N.m-2 ou Pascal ( Pa ). Autres unités : 1 bar = 105 Pa ; 1 atm = 101325 Pa = 760 mmHg ; 1torr = 1 mmHg. b) Résultante volumique des forces de pression :

VS S

dV.PSd.PFdF

Les forces de pression sont donc, du seul point de vue de la résultante, équivalentes à des forces volumiques de densité :

Pgradf vpression

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3. Loi fondamentale de l'équilibre. Un fluide est en équilibre par rapport à un référentiel R si pour toute particule fluide :

v

R(M,t) = 0.

Soit une portion de fluide dV de masse dm = .dV enclose par une surface S et soumise dans un réferentiel R :

à des forces de pression admettant une densité Pgradf vpression ;

à des forces volumiques admettant une densité vautresf .

L'équilibre dans R s'écrit sous forme locale :

0 Pgradf vautres

Remarque : si R n'est pas galiléen, il faut tenir compte de forces d'inertie.

Cas particulier d'un fluide soumis aux seules forces de pesanteur : gρ=fVautres

.

Définition : on appelle surfaces isobares les surfaces P = cste.

Propriété : les isobares sont perpendiculaires aux lignes de champ de vf .

4. Champ de pression dans le champ de pesanteur pour un fluide incompressible : Un fluide est incompressible si ne dépend pas de P. Si de plus le fluide est homogène, alors = cte. On a alors :

P(z) = P(0) - gz ( si l'axe des z est ascendant ) Théorème de Pascal : dans un liquide au repos, les variations de pression se transmettent intégralement d'un point à un autre.

5. Champ de pression dans un gaz parfait : modèle de l'atmosphère isotherme : L'équation d'état du GP s'écrit : P = RT / M. On déduit de la loi fondamentale de l'hydrostatique :

P(z) = P(0).exp( - Mgz / RT ).

6. Théorème d'Archimède : Enoncé : Un solide immergé dans un fluide à l'équilibre est soumis à une poussée verticale de bas en haut, égale en norme au poids du liquide déplacé et s'exerçant au centre de masse du fluide déplacé. Remarque 1 : la poussée d'Archimède n'est pas un nouveau type de force ! Elle traduit la résultante des forces de pression. Remarque 2 : la démonstration du théorème suppose que le solide peut être remplacé par du fluide sans modifier l'équilibre. Pensez-y !

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STATIQUE DES FLUIDES - EXERCICES

1. Barrage : Un barrage de largeur L selon y retient une hauteur h d'eau (masse volumique ) sur sa face verticale . La pression à la surface libre est P0. Calculer la loi de pression P(z), la résultante des forces de pression exercée par l’eau sur le barrage et le moment résultant en O, point situé au niveau du sol à la surface du barrage.

2. Poussée d’Archimède : Archimède trouva que la masse de la couronne du roi Hiéron était, dans l’air de 482,5 g et de 453,4 g dans l’eau( masse apparente ). La couronne était-elle en or pur ? Masse volumique de l’or : 19,3 103 kg.m-3.

3. Hémisphères de Magdebourg : Deux hémisphères métalliques de rayon R sont juxtaposés par l'intermédiaire d'un bourrelet de cuir. On effectue le vide entre ces deux hémisphères ; l'un est alors relié à un support fixe. Quelle force minimale F0 doit-on exercer sur l'autre partie pour séparer les hémisphères ? On

désignera par P0 la pression atmosphérique.

AN : P0 = 105 Pa ; R = 20 cm.

4. Mesure de la porosité ( Mines-Ponts 2005 ) :

Un échantillon de roche-réservoir de pétrole, de volume total

VT , est constitué d’un volume solide

VS et d’un

volume de pores

VP . On appelle porosité, et l’on note , le rapport

VPVT

.Pour mesurer la porosité d’un

échantillon, on peut procéder par mesures de poussées d’Archimède sur des corps immergés dans divers liquides.

Mesure du volume total VT : L’appareil représenté ci-contre mesure la poussée d’Archimède exercée par le mercure, de masse volumique µHg, sur l’échantillon immergé. Les deux bras de la balance ont la même longueur. Cet échantillon est disposé sur une nacelle, qui subit elle-même la poussée d’Archimède. La mesure procède en deux temps. Dans un premier temps, on équilibre la balance avec la nacelle seule ; dans un second temps, on équilibre la balance avec la nacelle chargée par l’échantillon. On suppose que le mercure ne pénètre pas dans les pores et l’on ne tient pas compte de la variation du niveau du mercure entre les deux manipulations.

Expliciter la notion de poussée d’Archimède. Exprimer

VT en fonction de m1, m2, de la masse de l’échantillon m, et deµHg. c) Mesure de VS = VT-VP : La balance est équilibrée, d’abord avec l’échantillon suspendu dans l’air, ensuite avec l’échantillon immergé dans un liquide solvant de masse volu-mique µsol, qui envahit tous ses pores. Exprimer VS en fonction de m3, m4 et de µsol . En déduire la porosité de l’échantillon.

z h x O

m4m3

m 1 m 2

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5. Equilibre d’un fluide dans un référentiel non-galiléen : Une cuve remplie d’un liquide de masse volumique est montée sur un chariot animé d’un mouvement rectiligne uniformément varié d’accélération a par rapport au sol considéré comme galiléen. La pression à la surface libre est P°. Le fluide est en équilibre par rapport au chariot. a)Caractériser la position de la surface libre du fluide par rapport au chariot. b) Le chariot comporte un fil à plomb en équilibre relatif. Quelle est la direction indiquée par ce fil ? c) Que se passe-t-il si le fil est plongé dans le liquide ? NB : on rappelle que la force volumique d’inertie d’entraînement s’écrit ici :

ie ef a .

6. Vase en rotation : Un récipient cylindrique de rayon R, d'axe vertical Oz, contient une hauteur d'eau H. Il est mis en rotation autour de son axe avec une vitesse angulaire constante . La pression à la surface libre est P°. Déterminer la forme de la surface libre du liquide que l'on suppose entraîné avec la même vitesse angulaire .

NB : on rappelle que la force volumique d’inertie d’entraînement s’écrit ici : rVie u²rf .

Réponse : forme parabolique ctez.g.²²r 2

7. Modélisation du soleil : La Terre décrit autour du Soleil, assimilé à une sphère de centre O et de rayon Rs et vu depuis la Terre sous un diamètre angulaire 2s = 32', une orbite pratiquement circulaire de rayon D = 149,5 millions

de kilomètres en un an. Le soleil est modélisé par un fluide gazeux supposé parfait, de masse volumique constante s.

On donne la constante de gravitation universelle : G = 6,67.10-11 SI, la masse molaire du fluide solaire

: M = 1,25.10-3 kg.mol-1. a) Calculer le rayon Rs du Soleil et sa masse volumique moyenne.

b) Calculer le gradient dP/dr de la pression du fluide solaire en tout point M à la distance r du centre du Soleil à l'aide des constantes G et s.

c) Etablir la loi de pression P(r) en M en supposant nulle la pression au bord du Soleil. d) Calculer l'énergie potentielle de gravitation du Soleil en fonction de G, s et Rs, puis en fonction de

la masse Ms et du rayon Rs du Soleil.

8. Ascension d'un aérostat : Un aérostat est constitué par une enveloppe gonflée partiellement ou totalement par un gaz plus léger que l'air, de densité d par rapport à l'air, soutenant une nacelle. Le gaz est en communication avec l'air atmosphérique extérieur par une ouverture à la base de l'enveloppe. On suppose que le gaz est en équilibre de pression et de température avec l'air ambiant. La température extérieure varie selon T = T0 -az.

On désigne par V le volume de l'enveloppe à un instant donné. La nacelle, l'enveloppe ,les passagers et le lest ont un poids total P. a) Calculer la force ascensionnelle F qui s'exerce sur le ballon. b) On suppose qu'au niveau du sol F > 0 et que l'enveloppe est partiellement gonflée. Montrer que la force F reste constante tant que l'enveloppe n'est pas entièrement gonflée. c) Montrer que le ballon atteint un plafond d'altitude. Réponses : F = airVg(1-d) - P .

a

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Chapitre 2 : CINEMATIQUE DES FLUIDES

1. Description du fluide en mouvement. 1.1.Description lagrangienne : C'est la description utilisée en mécanique du point : elle consiste à suivre une particule de fluide située à l'instant t= 0 en M0 dans son mouvement, soit :

)t,OM(f=OM 0

Les positions successives occupées au cours du temps constituent la trajectoire. Les trajectoires peuvent être matérialisées en introduisant de petites particules colorées photographiées avec un long temps de pose.

La vitesse en lagrangien est une fonction du temps et de la position initiale )t(t),OM(V=V .

On n’utilise jamais la description lagrangienne en mécanique des fluides. 1.2.Description eulérienne : C'est la description utilisée pour tous les champs en physique. Pour le champ des vitesses, elle consiste à donner la vitesse en tout point du fluide et à tout instant, soit

),tr(v=v

.

Les variables d'espace et de temps sont ici des variables indépendantes, appelées variables d'Euler. Définition : on appelle écoulement stationnaire un écoulement pour lequel tous les champs eulériens sont indépendants du temps. Définition : Les lignes de courant sont les lignes de champ du vecteur vitesse ; elles se déforment au cours du temps, si l'écoulement n'est pas stationnaire. Définition : Un tube de courant est la surface formée par l'ensemble des lignes de courant s'appuyant sur un contour fermé C.

Attention : Les lignes de courant et les trajectoires ne sont confondues qu'en régime stationnaire.

Nous utiliserons dans la suite du cours la description eulérienne.

2. Débits : Définition : le débit volumique Dv est le volume traversant une certaine surface orientée pendant

l'unité de temps. Unité : m3.s-1.

Soit un écoulement parcouru par un fluide à vitesse )t,r(.v :

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le volume élémentaire traversant une petite surface dS pendant dt est :

d2V = dS).t,r.(v .dt

Le volume traversant une surface S pendant dt est donc dV = dS).t,r(v .dt = ( dS).t,r(v ).dt.

Le débit massique s'écrit donc : Dv = dS).t,r(vdt

)t(dV

C'est le flux de ),( trv à travers la surface S.

Définition : le débit de masse Dm est la masse traversant une certaine surface orientée pendant

l'unité de temps. Unité : kg.s-1.

Avec un raisonnement analogue au précédent on a : Dm = dS).t,r(v).t,r(dt

)t(dM

Définition : le vecteur )t,r(v).t,r()t,.r(j est appelé densité de courant de masse.

Généralisation ( HP ) : le débit d’une grandeur G(t) quelconque – scalaire ou vectorielle - est égale au

flux du vecteur )t,r(v)t,r.(g)t,.r(jG où dt

)t(dG)t,r.(g est la densité volumique de G(t).

3. Equation de conservation de la masse. 3.1.Modes de bilan en mécanique des fluides : Il existe deux modes de bilan en mécanique des fluides : on peut raisonner sur un système fermé = système qui n’échange pas de matière avec l’extérieur. Le système est défini par une certaine quantité de matière que l'on suit dans son mouvement ; Cette quantité occupe à l'instant t un volume V, à l'instant t+dt un volume différent V(t+dt) = V'. La masse du système est constante, soit M(t) = M(t+dt). On peut raisonner sur un système ouvert = système qui échange de la matière avec l’extérieur. Le système est défini par une surface fermée fictive S, toujours orientée vers l’extérieur, et fixe dans le référentiel R d’étude, et à travers laquelle il y a échange de matière.

dS

v

V(t+dt)

V(t)

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La masse contenue dans le volume V varie avec le temps. C’est le mode de raisonnement le plus utilisé en mécanique des fluides. 3.2. Equation intégrale de conservation de la masse : Soit une surface S fixe dans R, entourant un volume V. La masse contenue dans le volume V à l'instant t est :

M(t) = )t,r( .dV

et à l'instant t+ dt :

M(t+dt) = )dtt,r( .dV

Entre les instants t et t+ dt, la masse contenue dans V a donc varié de : dM = M(t+dt) - M(t) = dM/dt.dt car M ne dépend que de t

= [ )dtt,r( - )t,r( ].dV =

t

)t,r(.dt.dV

La masse d2m algébrique traversant une petite surface dS orientée par n sortante pendant dt , et ce à vitesse v est :

d2m = dS).t,r.(v).t,r( .dt

La masse dm traversant la surface totale S pendant dt est donc :

dm = SdS).t,r.(v).t,r( dt

Or on a naturellement : dm = -dM ; on en déduit :

t

)t,r(.dV + S

dS).t,r.(v).t,r( = 0

Equation de conservation de la masse sous forme intégrale

3.3.Equation locale de conservation de la masse : Une équation locale est valable en un point du milieu. La démonstration précédente appliquée à un petit volume dV = dx.dy.dz du milieu donne :

0=z ∂

)vρ( ∂+

y ∂

)vρ( ∂+

x ∂

)vρ( ∂+

t ∂

ρ ∂ zyx

0=)v.ρ(div+t ∂

ρ ∂

Equation de conservation de la masse sous forme locale ( ou équation de continuité).

en définissant l’opérateur « divergence » A.z

A

y

A

x

A)A(div zyx

.

On peut aussi utiliser le théorème de Green-Ostrogradsky, qui permet de faire le lien entre une équation locale et une équation intégrale.

V S

Sd.AdV).A(div

où V est le volume fermé par la surface S ( fermée ) orientée vers l’extérieur.

V S

n.dSdS

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4. Dérivée particulaire d'un champ. 4.1.Dérivée particulaire du champ des vitesses : champ des accélérations :

En description eulérienne la relation dt

v = ad

n'a plus de sens, car ni x, ni y ni z ne dépendent de t.

On peut de plus avoir une accélération non nulle alors que l’écoulement est stationnaire. Revenons à une particule dans un écoulement : entre les instants t et t+ dt, elle se déplace du point M(x, y, z) au point M'( x+dx, y+dy,z+dz) avec naturellement : dx = vxdt ; dy = vydt ;dz = vzdt .

Son accélération au temps t est en description eulérienne notée Dt

v = aD

; elle s'écrit :

]dt

t)z, y, (x,v - dt)+tdz,+zdy,+ydx,+(xv[ lim = a 0 dt

dt.t

vdt.v).grad.v(

dt.t

vdtv.

z

vdtv.

y

vdtv.

x

v=

dt.t

vdz.

z

vdy.

y

vdx.

x

v=

t)z, y, (x,vd = t)z, y, (x,v - dt)+tdz,+zdy,+ydx,+(xv

zyx

On a donc

t

vv).grad.v(

Dt

vD=a

L'opérateur D/Dt est appelée dérivée particulaire ( ou en suivant le mouvement ) ; le premier terme est la dérivée convective, due au fait qu'on regarde l'effet d'un changement de point à t donné, le second terme est la dérivée locale : on regarde en un même point la variation temporelle. Ici : accélération particulaire = accélération convective + accélération locale.

Remarque : vvrot²v

gradv).grad.v( 2

Exemple : tuyère convergente en régime permanent.

4.2. Dérivée particulaire du champ de masse volumique :

t).grad.v(

Dt

D

4.3.Généralisation :

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L’opérateur dérivée particulaire est : t

)grad.v( DtD

5. Classification des écoulements laminaires. 5.1.Ecoulement stationnaire : Définition : tous les champs eulériens sont indépendants du temps. Dans ce cas l’équation de conservation de la masse s’écrit :

S dS).t,r.(v).t,r( = 0 : le débit de masse se conserve.

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21

SSS

Sd.vSd.vSd.v. =-v1.S1 + v2.S2. Exemple :

5.2. Ecoulement incompressible :

Définition : 0Dt

D

.

Cela signifie que ne varie pas le long d'une trajectoire particulaire.

Formule d’analyse vectorielle : )grad.v()v(div.grad.v)v(div.)v(div

L'équation de continuité peut s'écrire : 0t

grad.v)v(div.

0Dt

D)v(div.

Pour un écoulement incompressible on a donc 0)v(div , ou sous forme intégrale : 0dS.v , ce qui

traduit la conservation du débit volumique. On peut montrer qu'un critère d'incompressibilité est v<<c, où c est la célérité du son dans le fluide. Remarque : ne pas confondre avec fluide incompressible, défini par T = 0. 5.3. Ecoulement irrotationnel : potentiel des vitesses.

Définition : 0)v(rot

Or on a ( formule d’analyse vectorielle ) 0)grad(rot

On en déduit gradv où est appelé potentiel des vitesses.

Remarque : dans le cas particulier d'un écoulement irrotationnel incompressible , vérifie l'équation de Laplace :

Δ=)grad(div où est le Laplacien de .

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5.4. Ecoulement tourbillonnaire : vecteur tourbillon :

Dans le cas d'un écoulement rotationnel 0vrot . L'écoulement est alors dit tourbillonnaire et on définit le vecteur tourbillon par :

vrot2

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6. Etude de deux écoulements : signification de la divergence et du rotationnel :

6.1. yx uy

ux v

6.2. yx ux uy-

v

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CINEMATIQUE DES FLUIDES - EXERCICES

1. Liquide de vitesse non uniforme dans une conduite Un liquide de masse volumique , s’écoule dans une conduite circulaire avec une distribution

transversale des vitesses de la forme : v = v0 [1-(r/r0)2] , r étant la coordonnée radiale et r0 le rayon de la conduite. a) Calculer le débit massique Dm en fonction de , v0 et r0.

b) Quelle est la vitesse moyenne Vm du liquide ?

2. Calculs d’accélération : On considère les champs de vitesses :

z1 e.x.k=v

; .e).y,x(w+e).y,x(u=v zx2

Calculer l’accélération.

3. Ecoulement à l'intérieur d'un diédre droit : Soit dans la région x > 0 , y > 0 l'écoulement stationnaire défini en eulérien par :

x yv k( x.u y.u ) , k constante positive.

a) Déterminer la nature des lignes de courant. b) Calculer l'accélération a en utilisant la description eulérienne.

4. Ecoulement d'un fluide : Un écoulement plan est décrit sous forme lagrangienne par la donnée des coordonnées (x,y) d'une particule de fluide située en (x0,y0) à t = 0.

x = x0.exp ( -2t/ ) ; y = y0.exp ( t/ )

a) Calculer l’équation de la trajectoire de la particule. b) Déterminer la vitesse locale v(M, t) en description eulérienne.

c) L'écoulement est-il stationnaire ? Incompressible ? d) Trouver l'équation des lignes de courant.

5. Ecoulement tourbillonnaire ( d’après CCP PC 99 ) On considère un écoulement orthoradial plan d'axe polaire Oz appelé tourbillon tel que

pour r < a, [ ] ze.γ=)M(vrot

où est une constante algébrique.

pour r >a, O)M(vrot

. a) Etablir l'expression de )(Mv

en coordonnées polaires pour r >a et r<a.

b) Ce tourbillon est dit ponctuel dans le plan Oxy si l'on considère que si 0a et , le produit

a² demeure égal à la valeur finie que l'on nomme intensité du tourbillon. Donner l'expression de )(Mv

en coordonnées polaires (r >a) avec comme paramètre.

6. Mesure de température par une fusée-sonde : On considère une fusée-sonde effectuant un vol vertical dans une atmosphère dans laquelle la température décroît linéairement à partir du sol jusqu'à une altitude de 10000 pieds selon :

T(z) = T0 - bz avec b = 8.10-3 K.m-1

L'engin est muni d'un capteur de température. Calculer le taux de variation de la température mesuré par ce capteur lorsque la fusée s'élève avec une

vitesse de 360 km.h-1.

Réponses: dT/dt = - 0,8 K.s-1.

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7. Ecoulement engendré par une source rectiligne : Une source rectiligne infinie, confondue avec l'axe Oz et de section négligeable, émet un fluide incompressible avec un débit volumique par unité de longueur de source , réparti uniformémént le long de Oz et constant. L'émission étant supposée isotrope dans chaque plan z = cste, les lignes de courant sont des droites radiales qui divergent à partir de Oz. a) En quelle unité s'exprime ? Déterminer le champ de vitesse de cet écoulement . b) L'écoulement est-il irrotationnel ? Si oui, quel est le potentiel des vitesses ? Quelles sont les surfaces équipotentielles ?

8. Modèle de la houle : Le champ des vitesses d’un écoulement bidimensionnel modélisant la houle s’exprime en formalisme eulérien par :

v v t u t ux y 0 (cos . sin . )

Déterminer les trajectoires et les lignes de courant.

9. Ecoulement d’un fluide autour d’un obstacle en rotation : On étudie l’écoulement irrotationnel et stationnaire d’un fluide incompressible autour d’un cylindre

d’axe Oz et de rayon R, tournant autour de Oz à la vitesse angulaire uz .

Le fluide, très loin du cylindre, a la vitesse V V ux 0 de direction perpendiculaire à Oz.

Un point M du fluide sera décrit par ses coordonnées cylindriques r, et z . L’écoulement peut-être considéré comme la superposition de deux écoulements :

un écoulement E1 de potentiel des vitesses 1 = 1

2

2 0

R

rrV cos correspondant au cylindre fixe dans

le fluide en écoulement uniforme à la vitesse V V ux 0 .

Un écoulement E2 de potentiel des vitesses 2 = k, correspondant au cylindre tournant dans le fluide au repos très loin du cylindre ( k constante positive ). a) Calculer le champ des vitesses. b) Vérifier que l’écoulement est potentiel. c) Calculer la circulation de l’écoulement E autour du cylindre en fonction de k. d) Déterminer, suivant les valeurs du paramètre = k / RV0, le nombre de points de vitesse nulle et leur(s) position(s) dans un plan de section droite du cylindre.

10. Expansion uniforme : Un fluide remplit tout l’espace. A l’instant t = 0, on communique à des particules de fluide une vitesse initiale qu’elles conservent ensuite : plus précisément, si désigne une constante donnée, la particule de fluide qui est initialement au point Mo acquiert une vitesse radiale et proportionnelle à sa distance OMo à un point fixe O :

v(M )OM

0

o

Déterminer le champ eulérien des vitesse v(M, t ) à un instant t quelconque. L’écoulement est-il stationnaire, incompressible , irrotationnel ? Obtenir par le calcul le champ des accélérations a ( M, t ) et retrouver le résultat sans calcul. On suppose que le fluide est homogène à tout instant. Déterminer la masse volumique (t) à l’instant t en fonction de la masse volumique initiale 0.Interpréter cette expression en calculant la masse de fluide contenue à l’instant t dans la sphère de rayon r(t) = r0 ( 1 + t / ).

Réponses :

v(M, t)OM

t

; a M t

t( , )

( / ).

0

1 3 ; ( t)0

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Chapitre 3.DYNAMIQUE DES FLUIDES VISQUEUX Lois locales

1. Force de viscosité : 1.1.Forces dans les fluides : Les forces dans les fluides peuvent être décomposées en deux types :

les forces volumiques, qui s'appliquent à chaque élément dV du fluide ; on définit dans ce cas une densité volumique de forces par :

dVV .f = dF ,

exemple : le poids, les forces électromagnétiques ;

les forces superficielles, exercées par le fluide sur chaque élément dS de la surface qui l’entoure ;

On peut définir dans ce cas une force surfacique appelée contrainte Sf par :

dSS .f = dF .

La contrainte s’exprime en N.m-2 = Pa.

La force Fd peut se décomposer en une composante normale nF d et une composante tangentielle

tFd .

1.2. Pression : La composante normale est telle que

n.dS).M(PFd n

où P(M) est la pression. La normale n est dirigée ici de la surface vers le fluide. 1.3. Contrainte de cisaillement :

Dans un écoulement unidirectionnel xv = v(y,t).u la composante tangentielle exercée par un élément de fluide de surface dS à y sur la couche immédiatement supérieure s’exprime par :

xx

t uy

v.dS.=-ηFd

dF dFn

n

dFt

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La constante de proportionnalité ( eta ) est appelée viscosité dynamique ; dans les fluides newtoniens, c’est une constante caractéristique du fluide. Son unité SI est le Poiseuille ( Pl ) ; 1 Pl = 1 Pa.s.

Ordre de grandeur à 20°C : eau = 10-3 Pl ; air ( P = 1 bar ) = 2.10-5 Pl ; glycérine = 0,85 Pl.

Remarque : la composante tangentielle dS

Fd

ts est appelée contrainte de cisaillement.

1.4.Conditions de continuité : La contrainte de cisaillement devant rester finie, la vitesse est une fonction continue des variables d’espace.

En conséquence, à la surface fixe d’un solide on doit avoir 0v .

A la surface libre d’un fluide, on doit avoir 0tFd .

1.5.Force volumique de viscosité pour un fluide incompressible : Soit un élément de fluide de volume dV = dx.dy.dz entre les abscisses y et y + dy , dans un écoulement unidirectionnel

xv = v(y,t).u . Cet élément est soumis à deux forces de cisaillement :

en y : y

x

y

t)(y,v .dS.)y(dF

∂

∂où dS = dx.dz ;

en y+dy : dyy

x

y

t)(y,v .dS.)dyy(dF

∂

∂.

La résultante est donc dF = F(y) +F(y+dy)

y

x

dyy

x

y

t)(y,v

y

t)(y,v .dS.

∂

∂

∂

∂

Il existe donc une densité volumique : xx u

y

v²

dV

Fd2

.

On admettra que pour un écoulement incompressible ( 0)v div( ), on généralise à trois dimensions

par :

vdV

Fd

avec2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

vv

en coordonnées cartésiennes.

y

x

y+dy y

s(y+dy)

s(y)

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1.6. Analogie avec la diffusion :

Le principe de la dynamique appliqué à un élément de volume dV de vitesse xv = v(y,t).u dont l’accélération convective est négligeable devant l’accélération locale, et dont les forces prépondérantes sont les forces de viscosité s’écrit :

dV.y

v²

t

v.dV. xx

2

où encore : 2

y

v²

t

v xx

équation strictement analogue à l'équation de la diffusion, avec un coefficient de diffusion D = /. Son unité est la même que celle de tout coefficient de diffusion. La viscosité est une diffusion de quantité de mouvement.

2. Equation de Navier-Stokes : On suppose le fluide incompressible. 2.1.Equation de Navier-Stokes : On considère un élément de fluide dV de masse dm = .dV dans un référentiel R galiléen. Le théorème de la résultante dynamique appliqué à dm donne :

dV.v.dV.PFda.dV.

où dF représente les forces autres que les forces de pression et de viscosité. On en déduit l’équation de Navier-Stokes :

v.PdV

Fd

t

vv)..v(.

Cette équation ne doit pas être mémorisée. 2.2.Nombre de Reynolds : On cherche à évaluer l’effet de la viscosité dans le mouvement d’un fluide ; on doit pour cela comparer le terme de viscosité au terme d’inertie (convection). Le terme traduisant la viscosité dans l’équation de Navier-Stockes vaut, en ordre de grandeur :

2

vv

L ,où L est une grandeur caractéristique des variations de v dans l'écoulement ;

Le terme traduisant l’inertie est v. v ; il vaut en ordre de grandeur :

Le nombre de Reynolds Re traduit le rapport des deux termes. Définition : nombre de Reynolds Re = VL / .

C’est un nombre sans dimension.

18

Ordres de grandeur :

Manteau terrestre 10-20

Glacier 10-11

Spermatozoïdes dans le liquide séminal 10-3

Bille dans du miel 10-2

Têtard 100 Homme dans l'eau 105

Requin dans l'eau 108

Dans un écoulement à grand nombre de Reynolds, l’inertie domine. kinematic_irreverse.mov

Dans un écoulement à petit nombre de Reynolds, la viscosité domine. kinematic_reverse.mov

3. Etude d’écoulements particuliers :

3.1. Ecoulements de Poiseuille : Un écoulement de Poiseuille est un écoulement stationnaire dans une conduite dont les parois sont immobiles. Un gradient de pression est nécessaire pour provoquer l’écoulement. L’écoulemen reste laminaire jusqu’à Re = 2000 environ.

a) Ecoulement de Poiseuille plan Soit P = P(x=0) – P(x=L)

Ecoulement de Poiseuille plan : x)(zev u.z2hL

DP 2

Débit de volume par unité de largeur : Dv = 3eΔP.

12ηL

b) Ecoulement de Poiseuille cylindrique

C'est l'écoulement d'un liquide visqueux dans une conduite cylindrique de rayon R et d'axe Oz.

On montre que le profil de vitesse est : zuR

rvv ).

²

²1( 0

Les lignes de courant et les trajectoires sont des droites parallèles à Oz.

Loi de Poiseuille : PDV .L8

R4

3.2. Ecoulements de Couette : Un écoulement de Couette est un écoulement de fluide visqueux dans une conduite dont les parois sont à des vitesses différentes.

a) Ecoulement de Couette plan :

x

z

19

Si P = P(z) uniquement : vx = V0.y / e. b) Ecoulement de Couette cylindrique : L’écoulement de Couette cylindrique est un écoulement visqueux entre deux cylindres coaxiaux d'axe Oz, l’un de ces cylindres étant animé d’une vitesse angulaire . On montre que le champ des vitesses est : v(M) = A.r + B/r.

20

Chapitre 3 : DYNAMIQUE DES FLUIDES VISQUEUX Etude de la trainée sur une sphère :

1. Analyse Dimensionnelle L'analyse dimensionnelle est un outil puissant très utilisé en mécanique des fluides : elle permet – entre autres - d'avoir des informations sur le phénomène physique à partir de seules considérations d'homogénéïté. L’analyse dimensionnelle se fonde sur le fait qu’une égalité entre deux expressions ne peut constituer une loi de la physique que si ces deux expressions ont même dimension. 1.Unités de base : L’unité d’une grandeur quelconque pourra toujours être exprimée en fonction des 7 unités fondamentales formant les unités de base dimensionnellement indépendantes :

Grandeur dimensionnée abréviation Nom de l'unité symbole Longueur L mètre m Masse M kilogramme kg Temps T seconde s Intensité de courant électrique I ampère A Température thermodynamique kelvin K

Quantité de matière N mole mol Intensité lumineuse J candela cd

Aux autres grandeurs dimensionnées on fait correspondre des unités dérivées, qui sont généralement exprimées en fonction des unités de base, exemple : unité d’accélération : m.s-2. Certaines unités dérivées possèdent un nom et un symbole spécial, exemple : le Coulomb ( C ) , unité de charge : 1 C = 1 A.s. Celles-ci peuvent à leur tour être utilisées pour exprimer d'autres unités dérivées. Deux grandeurs sont dites dimensionnellement indépendantes si leurs unités sont sans relation. Exercice : les grandeurs suivantes sont-elles dimensionnellement indépendantes ?

Longueur et temps ; Longueur et surface ; Vitesse et temps ; Vitesse et accélération ; Vitesse, longueur et force.

3. Théorème de Vaschy-Buckingham : Enoncé : Si un problème de physique dépend de n grandeurs et s’il y a p grandeurs dimensionnellement indépendantes, alors on peut former n-p groupements sans dimension, soit 1, 2,... n-p. La solution du problème est une loi de la forme F(1, 2,... n-p ) = 0. Autrement dit, n-p grandeurs peuvent s’exprimer en fonction des n premières. On pourra souvent se contenter du théorème restreint :

21

En mécanique : toutes les grandeurs peuvent être exprimées en fonction des grandeurs de base : masse, longueur et temps, qui sont les trois grandeurs dimensionnellement indépendantes. On a donc ici n = 3, on utilise le théorème restreint. Enoncé : Si g est une fonction de 3 grandeurs a, b et c dimensionnellement indépendantes, alors : g = abc.cte Exemple : Traînée sur une sphère : On considère une sphère de diamètre d plongée dans un écoulement uniforme à vitesse V. La masse volumique du fluide est et sa viscosité . On cherche la forme de la traînée F exercée par le fluide sur la sphère. On est donc en présence de 5 grandeurs : F, d, V, et ; on conserve d, et V comme grandeurs fondamentales. Il y a donc deux produits adimensionnés, soit F et . Former ces produits. En déduire l’expression de la traînée F.

2. Position du problème : Considérons l'écoulement engendré par le mouvement rectiligne uniforme d'une sphère de rayon R

dans un fluide, à la vitesse sphèreV .

Le problème est équivalent à celui d’une sphère immobile dans un flux à vitesse sphèreVv loin de

l’obstacle.

La force exercée par le fluide sur la sphère se décompose en un composante parallèle et opposée à v ,

appelée trainée, et d’une composante perpendiculaire à v appelée portance.

3. Etude de la traînée :

sphèreV

v

22

Le nombre de Reynolds vaut ici Re = VL / avec L = d = 2R.

Définition : coefficient de traînée d

2

FC

1ρAv

2

sans dimension

A est la surface frontale de l'obstacle appelé maître-couple, ici A = R2.

On montre par analyse dimensionnelle que le coefficient de trainée ne doit être fonction que de Re . On étudie alors Cd = f(Re) dans un diagramme logarithmique.

Pour des petits nombres de Reynolds ( R < 1 ), Cd est inversement proportionnel à Re, soit : Cd = 24 / Re,

La force exercée par le fluide sur la sphère est alors : vRF 6

( formule de Stokes )

Pour de plus grands nombres de Reynolds, 103 Re 105, Cd est constant, ce qui traduit le fait que la traînée se stabilise. On a alors :

xuv.R...CF22

avec C 0,2.

Pour Re 2.105, la traînée chute brutalement ( crise de traînée ) .

23

3.2.Ecoulements laminaires et turbulents : Un écoulement est laminaire lorsque le mouvement des particules fluides se fait de manière régulière et ordonnée. La viscosité y domine Re < 1. Il est turbulent lorsque le déplacement est irrégulier et que des fluctuations aléatoires de vitesse se superposent au mouvement moyen du fluide. La convection y domine Re >> 1. Remarques : * pour un même fluide, on peut observer la transition laminaire à turbulent en augmentant la vitesse d'écoulement ( robinet ). * la nature du fluide joue un rôle important : pour un même débit, un écoulement d'huile sera laminaire alors que celui d'eau sera turbulent. (ex. de la vidange). R < 1 : les effets de la viscosité sont prépondérants. L'écoulement est laminaire. R > 103 : les effets de la convection sont prépondérants. L'écoulement est turbulent.

4. Ecoulement parfait : 4.1. Définition : Un écoulement parfait est un écoulement dans lequel tous les phénomènes diffusifs, en particulier la viscosité, sont négligeables ; les particules de fluides évoluent de manière adiabatique et réversible. 4.2. Notion de couche limite : Dans un écoulement à grand nombre de Reynolds, les termes de viscosité ne sont à prendre en compte que dans une zone de faible épaisseur autour de l'obstacle, appelée couche limite, d'autant plus petite que Re est grand, et à l'intérieur de laquelle la vitesse varie rapidement..

L’épaisseur de cette couche est de l’ordre de ReL=d

24

L’écoulement du fluide dans cette couche peut être laminaire ou turbulent ; lors de la transition vers la turbulence ( ex : Re = 2.105 pour une sphère ) , les phénomènes de convection deviennent prépondérants dans la couche limite et la traînée chute brutalement ( crise de trainée ). 4.3. Décollement de la couche limite : Lorsque la vitesse et le nombre de Reynolds croissent, il y a renversement local du sens de l'écoulement près de la paroi. Ce phénomène se traduit par un autre phénomène : le décollement de la couche limite. Il apparaît alors en arrière du point de décollement une zone turbulente de grande largeur avec un sillage important ; la force de traînée augmente de façon considérable, alors que la portance ( composante de la force normale au sens de l'écoulement ) chute ; ce problème est crucial en aéronautique. On observe qu’une couche limite turbulente « résiste » mieux au décollement qu’une couche limite laminaire : on peut stabiliser une couche limite en provoquant sa transition vers la turbulence grâce à un obstacle placé en amont du point de décollement, ou retarder son décollement en utilisant des volets de bords d'attaque.

25

DYNAMIQUE DES FLUIDES VISQUEUX –EXERCICES

1. Etude d’une transmission : Une surface plane (1) d’aire S, entrainée par un moteur, est en translation de vitesse constante x11 uvv

.

Une surface plane parallèle (2) entraine un mécanisme qui exerce une force résistante constante :

F F ux . avec F < 0

L’espace entre les deux plans est rempli par un liquide incompressible de masse volumique et de viscosité . Leur écartement est e. Les dimensions latérales sont très grandes devant e, et on admet que la vitesse ne dépend que de y et varie linéairement avec y ( écoulement de « Couette plan » ). a) Déterminer, en régime permanent, la vitesse v2 de la plaque (2). b) P1 représentant la puissance fournie par la plaque (1) au fluide, et P2 la puissance fournie par le

fluide à la plaque (2), définir et calculer le rendement énergétique de la transmission. c) Déterminer la force F pour laquelle le rendement est de 90 %. Données : = 1.3.10-4 m2.s-1 ; = 900 kg.m-3 ; v1 = 10 m.s-1 ; F = -0.47 N ; S = 100 cm2 ; e = 3,6 mm. Réponses : F = 3,25 N.

2. Effet de peau en mecanique des fluides ( CCP PSI 08 ) :

Considérons une plaque plane, infinie en longueur et largeur, formant le plan xOy . Un fluide visqueux incompressible (par exemple du miel) de viscosité est déposé sur cette plaque sur une grande épaisseur h. Le fluide occupe alors le demi-espace z > 0 ( tout se passe comme si l’espace était illimité). La plaque

oscille à la pulsation , sa vitesse étant x0plaque u).tcos(.VV

.

On néglige les phénomènes de pesanteur. a) En analysant les invariances et symétries du système et en supposant que la vitesse du fluide est parallèle à celle de la plaque, de quelles variables peut dépendre le champ de vitesse ? b) Montrer que le terme convectif de l’accélération est nul pour ce problème. En déduire alors que la pression dans le fluide est une fonction affine de la cote z et que le champ de vitesses satisfait à

l’équation différentielle : ²z

v².

t

v

où l’on exprimera en fonction de et de .

c) On cherche une solution pour le champ de vitesse sous la forme xti

e.e.)z(fv

. Donner la forme

générale de f(z) ; on introduira la quantité

2.En étudiant le comportement aux limites du

fluide, donner l’expressiond u champ des vitesses réel dans le fluide. Commenter l’expression obtenue. d) Dans le cas d’un fluide 1000 fois plus visqueux que l’eau( on rappelle que la viscosité de l’eau est de 10-3 Pa.s ) et pour une fréquence de 2 Hz, calculer la valeur numérique de la distance caractéristique d’atténuation en prenant comme masse volumique la masse volumique de l’eau. e) Les roches en fusion dans le manteau terrestre sont extrêmement visqueuses et ont une masse volumique très grande, si bien que leur viscosité cinématique est de l’orde de = 10-2 m².s-1 . En déduire une propriété importante pour les ondes sismiques de cisaillement qui ont des fréquences de quelques hertz.

3. Equation de Navier-Stokes adimensionnée :

(1) x

(2)

z Liquide visqueux h x Plaque

26

On considère un écoulement de masse volumique ,de viscosité , de vitesse caractéristique U, variant sur une dimension caractéristique L. Seules les forces de pression et de viscosité sont prises en compte. a) Former à l’aide des grandeurs U, L et un temps caractéristique et une pression caractéristique P. b) On définit les grandeurs adimensionnées v* = v/U, x* = x/L, t* = t / et p* = p/P. Montrer que l’équation de Navier-Stokes adimensionnée s’écrit :

****

*

****

v+K.Δp.∇ =t ∂

v ∂+v)gradv.(

où K est une constante à définir. De quel unique facteur dépend la solution de l’équation ? c) On étudie un avion de longueur L destiné à voler à vitesse U dans l’air. Une maquette de cet avion à l’échelle 1/10ème est étudiée dans une soufflerie à air. Quelle doit être, en fonction de U, la vitesse de l’écoulement ? d) Au lieu d’une soufflerie à air, on utilise une veine liquide ( tunnel à écoulement d’eau ). Quelle vitesse doit avoir l’eau pour simuler la réalité ? Données : air = 1,8.10-5Pl ; eau = 1,0.10-3Pl.

4. Perméabilité d’une roche ; loi de Darcy : La perméabilité intrinsèque d’un milieu poreux est l’aptitude de ce milieu à laisser circuler à travers ses pores un fluide dont il est saturé. Cette grandeur peut être chiffrée grâce à la loi expérimentale de Darcy : soit un élément cylindrique d’échantillon de longueur dz et de section d’aire A, saturé d’un fluide de viscosité dynamique , qui le traverse horizontale-ment avec un débit volumique Q ; en régime permanent, la pression amont est P, la pression aval P-dP.

Dans ces conditions,

Q Ak

dP

dz , où k, coefficient de perméabilité est, en première approximation,

indépendant du fluide considéré ( loi de Darcy). a) Quelle est la dimension de k ? b) En modélisant l’échantillon de roche comme un faisceau de N ( N >> 1 ) cylindres creux, de rayon a ( a << A ), juxtaposés et d’axes parallèles à Oz, les interstices étant pleins, montrer que la loi de Darcy peut être déduite de la loi de Poiseuille ; quelle serait, dans cette modélisation, et en négligeant l’aire des interstices, la valeur de la constante k ?

NB : on rappelle la loi de Poiseuille : PL8

RD

4

v

.

5. Viscosimètre à écoulement : Un liquide visqueux considéré comme incompressible s’écoule lentement d’un récipient cylindrique de diamètre D dans un tube horizontal de diamètre d et de longueur L. a) Pourquoi peut-on considérer l’écoulement dans le récipient

comme quasi-stationnaire ? En déduire l’expression du débit volumique Dv en fonction de h, en utilisant la loi de Poiseuille.

b) A partir de l’équation de conservation de la masse, établir une équation différentielle satisfaite par h(t), et la résoudre pour la condition initiale h(t0 ) = h0.

c) Il faut 59 minutes pour que le niveau du liquide passe de h = 6 cm à h = 3 cm. Déterminer la viscosité cinématique du fluide.

Données : D = 4 cm ; L = 50 cm ; d = 1 mm ; g = 10m.s-2. Réponse : dh/dt + h/ = 0 avec = D2Lv / gd4; = 2.10-6 m2.s-1.

6. Perte de charge dans une canalisation : On considère un écoulement de Poiseuille plan, dans lequel le plan supérieur est raccordé à de petits tubes verticaux ouverts sur l’air ambiant ( pression P° ). On

h(t)

z

P PdP

Q, A

dz

Fig. 2 : Notations pour la loi de Darcy

h(x)

27

admet que la présence des tubes ne perturbe pas l’écoulement. En régime permanent, la hauteur de fluide h(x) dans chaque tube est constante. Montrer que h(x) est une fonction linéaire de x.

7. Mesure de viscosité : On lâche une particule sphérique de rayon R = 1,25 mm de masse volumique s = 3800 kg.m-3 dans une éprouvette graduée contenant un liquide visqueux dont on veut déterminer la viscosité . La masse volumique du fluide est f = 1260 kg.m-3 On admet que la force de frottement visqueux sur la bille est donnée par la formule de Stokes. a) Montrer que la vitesse de la bille tend vers une vitesse limité Vo, que l’on exprimera en fonction de

f, s, R, et g accélération de la pesanteur ( g = 9,8 SI ) . Au bout de combien de temps peut-on considérer que la particule a atteint sa vitesse limite ?

b) Le temps mis par la bille a parcourir les trois premiers cm est 7 s, les trois suivants de 6,1 s , les trois suivants de 6 s , les trois suivants de 6 s. Déterminer Vo. Vérifier que la formule de Stokes est applicable.

c) Déterminer la viscosité du fluide. Réponse : 1,7 Pa.s

8. Jeux de balles : On donne les vitesses typiques et les dimensions de balles pour plusieurs sports :

Football Golf Tennis Base-Ball Diamètre ( cm ) 22 4,3 6,4 7,5 Vitesse (km.h-1 ) 55 260 180 150

Calculer le nombre de Reynolds dans chaque cas, sachant que pour l’air = 1,2 kg.m-3 et = 2.10-5 Pl. Commenter sa valeur.

9. Coulée de lave : Une coulée de lave s’écoule par gravité sur une pente inclinée à = 45°. La vitesse à la surface de la coulée est v0 = 1 mètre par heure en régime stationnaire. On néglige tout gradient de pression dans la direction de l’écoulement. Peut-on en déduire une valeur de la viscosité cinématique de la lave ? Epaisseur de la coulée : h = 2 m. Réponses : v(h) = gh2sin /2.

10. Distribution d’eau : Un tuyau cylindrique, de diamètre intérieur d1 alimente deux tuyaux de diamètres d2 et de longueur L2, dont l’extrémité est à la pression atmosphérique. Soit P1 la pression en amont ( point A ) . La distance entre le point A et la première dérivation, ainsi que la distance entre les deux dérivations est L1. On considèrera que le régime d’écoulement est laminaire. En utilisant la loi de Poiseuille, faire un schéma électrique équivalent et déterminer le débit de chaque tuyau. Données : P = 1 bar ; d1 = 10 mm ; d2= 4 mm ; = 10-6 m2s-1 ; l1 = l2 = 5 m.

A

L1 L1

L2

28

Chapitre 5 : DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS On considère des écoulements parfaits, incompressibles et homogènes ; on a alors = cte. Rappel : un écoulement parfait est un écoulement dans lequel tous les phénomènes diffusifs, en particulier la viscosité, sont négligeables ; les particules de fluides évoluent de manière adiabatique et réversible.

1. Equation d'Euler. On rappelle qu'un écoulement parfait exclut les phénomènes dissipatifs : viscosité, diffusion thermique, diffusion de particules, etc. Le terme de viscosité disparaît ; l’équation de Navier-Stokes s’écrit :

Pf=t

v+vvρ V

Equation d’Euler

On rappelle que : v)vrot()2

v²(grad v )grad.v(

Cas particulier ( écoulements subsoniques ) : si désigne un ordre de grandeur temporel des variations de v, si L désigne un ordre de grandeur spatial des variations de v, l'accélération convective est négligeable devant l'accélération locale si v << L/ ; l’équation est alors linéaire.

2. Equations de Bernouilli.

2.1.Cas particulier d'un écoulement parfait, incompressible, homogène, irrotationnel et stationnaire dans le seul champ de pesanteur :

Les hypothèses se traduisent par : 0vrot ; = 0 ; = cte ; /t = 0.

La quantité P + gz + v2/2 = constante dans tout le fluide.

Remarque : la quantité gz est appelée pression statique; v2 est appelée pression cinétique.

2.2. Cas particulier d’un écoulement parfait, homogène, incompressible, rotationnel et stationnaire dans le champ de pesanteur : Les hypothèses se traduisent par : 0vrot ; = cte ; /t = 0 ; = 0.

La quantité P + gz + v2/2 = constante le long d'une ligne de courant.

2.3. Cas général d’un l'écoulement parfait, homogène et incompressible :

Entre deux points A et B d'une même ligne de courant :

0t

v.rdde)

2

²v(d

dPB

A

p

où ep est l’énergie potentielle volumique.

29

2.4. Pression en des points remarquables : Prise de pression axiale : au point A, appelé point d'arrêt on mesure la pression dynamique

P(A) = P(A) + v2(A) / 2.

Prise de pression latérale : au point B, on mesure la pression statique : P(B) = P(B)

3. Applications des théorèmes de Bernoulli :

a) Formule de Torricelli : En supposant S >> s, on montre que v = 2gh. b) Effet Venturi : Dans un étranglement, en régime permanent, la vitesse augmente et la pression diminue.

a) Mesures de vitesses : tubes de Pitot.

d) Effet Magnus.

4. Paradoxe de d'Alembert. Un mobile en mouvement rectiligne uniforme dans un fluide ne subit ni trainée ni portance dans le modèle de l'écoulement parfait incompressible. Ce résultat est naturellement contraire à toutes les expériences ; il est paradoxal. On lève ce paradoxe grâce à la viscosité du fluide, qui intervient toujours dans la couche limite, et se traduit par des forces sur le mobile.

30

DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS – EXERCICES

1. Ecoulement uniforme et stationnaire : Montrer que dans un écoulement uniforme et stationnaire le champ de pression est le même qu’en statique. Donner un exemple d’un tel écoulement.

2. Vase de Mariotte : On considère le dispositif de la figure ci-contre, contenant de l’eau. Le tube T, de longueur L laisse s’écouler l’eau ; le tube T’, qui a son orifice inférieur à une hauteur H au-dessus de T, laisse passer l’air depuis l’atmosphère de pression p0. Exprimer la vitesse de sortie V de l’eau lorsque le niveau d’eau est au-dessus de l’orifice inférieur de T’, en fonction de g, L et H. Dépend-elle de la hauteur d’eau ?

3. Oscillations d’un fluide : On considère un tube en U de section uniforme S rempli d’un fluide incompressible, la longueur de fluide étant L. La vitesse sera considérée comme uniforme sur une section droite S de tube. Etablir l'équation différentielle vérifiée par z(t), hauteur de la surface libre du fluide par rapport à la position d’équilibre dans l’une des branches, en utilisant l’équation d’Euler intégrée sur une ligne de courant joignant deux points de la surface libre.

4. Vortex de Rankine : Soit un écoulement stationnaire de fluide parfait incompressible caractérisé par v v(r).u

en coordonnées cylindriques. Dans le domaine r a, v(r) = r., et dans le domaine r a v(r) = a²/r. Déterminer le champ de pression dans l’eau, puis l'équation de l'isobare P = Po, pression atmosphérique. Que représente-t-elle? On choisira l’origine des coordonnées à la surface du fluide loin de l’axe.

On donne : z

1rot(v(r).u ) (r.v(r)).u

r r

5. Clepsydre : Un vase cylindrique de rayon R est percé d'un petit orifice circulaire. On désigne par h la hauteur du liquide au-dessus de cet orifice. A la sortie du récipient, la veine de liquide est assimilée à un cylindre de rayon r dans lequel le fluide a une vitesse V. a) En considérant que dans le récipient l'écoulement est irrotationnel, montrer que V 2gh .

b) Exprimer la loi h(t) donnant la hauteur h de liquide au-dessus de l'orifice en fonction du temps. On désignera par h0 la hauteur initiale.

A.N.: Calculer t pour R = 5 cm ; r = 2 mm ; h0 = 10 cm ; g = 9,81 SI.

Réponses : b) h = h0 - (r/R)2.t.g/2 ; t = 89 s.

6. Régimes d'écoulement dans un canal ; régimes torrentiel et fluvial. Un long canal à surface libre et à fond horizontal possède localement une section rectangulaire. Soit l(x) la largeur du

canal, h(x) la hauteur d'eau, et xu).x(v=v la vitesse de l'eau

supposée uniforme dans une section droite. L'eau est assimilée à un fluide parfait incompressible ; on considère un écoulement stationnaire.

z h0 h(x) v0 v(x) 0 x

H

V

L

air

eau

air

T

T’

M

31

a) Exprimer le débit volumique Dv du canal en fonction de l(x), h(x) et v(x). Que peut-on dire de ce débit le long du canal ?

b)Montrer que h(x) + v(x)2/2g = hs, où hs est une constante que l'on exprimera en fonction de h0 et

de v0.

c)Montrer que le débit volumique peut s'exprimer en fonction de h(x), l(x), g et hs . Tracer le graphe

représentant Dv/(l2g) en fonction de h pour l donné. Quelle est la valeur maximale D

max de ce débit ? Quelle est la hauteur hc correspondant à ce débit

maximal ? Calculer numériquement Dm pour l = 10 m et g = 10 m.s-2. Quelle est la vitesse v

correspondante ? On donne h0 = 5 m et v0 = 1 m.s-1.

d) Montrer graphiquement que pour D < Dm et pour une largeur l donnée, il existe deux valeurs h1 et

h2 possibles pour h, avec : h1 < hc < h2 < hs.

La solution h1 correspond au régime " torrentiel" , la solution h2 au régime " fluvial".

e) On suppose que l subit un petit rétrécissement progressif et passe de l à l' = l(1 - ), avec 0 < <<1. Dans quel sens se modifie h ? Discuter suivant que l'on est en régime fluvial ou torrentiel. Applications à des piles de pont.

Réponses : c) D = l.h.2g(hs-h) ; Dm = 195 m3.s-1 ; v = 5,8 m.s-1.

7. Vent géostrophique : Lorsque sur terre les isobares ne sont plus des plans horizontaux, il apparaît une composante horizontale du gradient de pression à l’origine du vent. L’air est animé alors d’une vitesse horizontale. On considère que la masse volumique de l’air est constante et que l’écoulement est parfait.

On rappelle l’expression de la force volumique d’inertie de Coriolis : Cf 2 V où est le vecteur

rotation du réferentiel terrestre par rapport au référentiel géocentrique. a) Ecrire l’équation locale de la dynamique des fluides. On adoptera un repere local dans lequel Oz est la verticale ascendante, Ox pointant vers l’Est et Oy vers le Nord. b) On considère des vents de vitesse typique V = 0,1 m.s-1 évoluant sur une durée = 10 jours et sur une échelle spatiale L = 10 km. Montrer que l’accélération particulaire est négligeable devant l’accélération de Coriolis ( approximation géostrophique).

c) Projeter alors l’équation obtenue et en déduire l’expression du vent géostrophique gV en fonction

des composantes de P .Quelle direction prend-il par rapport aux isobares ? On pourra montrer que

g zV =αu P où est une constante.

d) La pression chute typiquement de 10 hPa de Paris à Calais ( distance 200 km ). Quel est l’ordre de grandeur du vent géostrophique à la verticale d’un point situé entre Paris et Calais ( = 48°). Que se passerait-il si Paris et Calais étaient dans l’hémisphère Sud ?

32

Chapitre 5 : BILANS DYNAMIQUES Il est difficile en général de résoudre exactement un problème de mécanique des fluides ( parfaits ou non ) avec les équations locales. Il est possible d’envisager ces problèmes en isolant cette fois un système macroscopique du fluide (au lieu de la particule fluide ) et en utilisant des équations intégrales. Ce chapitre va montrer au travers d’exemples, un savoir-faire, une méthode pour effectuer des bilans. Aucun résultat n’est a priori à mémoriser.

1. Modes de bilan en mécanique des fluides : Il existe deux modes de bilan en mécanique des fluides :

on peut raisonner sur un système fermé : il contient une quantité définie de matière dont la frontière est définie et que l'on suit dans son mouvement ;

on peut raisonner sur un système ouvert : il est limité par une surface fictive, fixe dans le référentiel R d’étude, et à travers laquelle il y a échange de matière.

Nous allons montrer ces deux modes de bilan sur le plus fréquent des bilans : le bilan de masse. 1.1. Système ouvert : Soit une surface S fixe dans R, entourant un volume V.

La masse contenue dans le volume V à l'instant t est :

M(t) = ( r ,t).dV et à l'instant t+ dt :

M(t+dt) = ( r ,t+dt).dV Entre les instants t et t+ dt, la masse contenue dans V a donc varié de :

dM = M(t+dt) - M(t) = dM/dt.dt car M ne dépend que de t

= [( r ,t+dt) - ( r ,t) ].dV

= t

)t,r(

.dt.dV car dépend de r et de t.

La masse d2m algébrique traversant une petite surface d S orientée par n pendant dt , et ce à vitesse

v est :

d2m = . Sd.v .dt La masse dm traversant la surface totale S pendant dt est donc :

dm = d2m = . Sd.v .dt. Or on a naturellement : dm = -dM ; on en déduit :

dS

v

33

V S

Sd.v.dV.t

)t,r(0

Equation de conservation de la masse sous forme intégrale.

1.2.Système fermé : Soit une quantité de matière définie.

Cette quantité occupe à l'instant t un volume V, à l'instant t+dt un volume différent V(t+dt) = V'. Entre les instants t et t + dt , on a donc :

M(t) = M(t+dt),soit : v (r,t).dV = v' (r,t+dt).dV'

= v ( r ,t+dt).dV + (v'-v) ( r ,t+dt).dV

Or (v'-v) ( r ,t+dt).dV = . Sd.v .dt , finalement :

v ( r ,t).dV - v ( r ,t+dt).dV = s . Sd.v .dt, soit :

V S

Sd.v.dV.t

)t,r(0

Equation de conservation de la masse sous forme intégrale.

2. Bilan de quantité de mouvement : fusée. 6.1. Hypothèses : Les gaz brulés sont éjectés avec un débit de masse constant Dm.

La vitesse des gaz brulés par rapport à la fusée est u . On considère le système fermé {fusée + gaz } à un instant t. La masse du système est M(t). A l’instant t : la vitesse du système par rapport à un référentiel R galiléen est V(t), vitesse de la fusée.

La quantité de mouvement )t(P du système est :

)t(V).t(M)t(P

A l’instant t + dt : Une masse de gaz dm = Dm.dt a été éjectée : on décompose donc le système de masse M(t+dt) = M(t) en deux sous-systèmes :

t+dt

V(t+dt)

V(t)

34

la fusée de masse mfusée(t+dt) = M(t) - Dm.dt , de vitesse Vd)t(V)dtt(V ;

les gaz éjectés de masse Dm.dt , de vitesse )dtt(Vu par rapport à R.

La quantité de mouvement du système )dtt(P à t+dt est donc :

)dtt(P = [ (M(t)-Dmdt) . )dtt(V ] + Dm.dt [ )dtt(Vu ] = M(t). )dtt(V +Dm.dt. u

On a donc :

dt.u.DVd).t(M)t(P)dtt(PPd m

donc :

u.Ddt

Vd).t(M

dt

Pdm

Le Principe fondamental appliqué au système considéré s'écrit donc :

extm Fu.Ddt

Vd).t(M

Le terme u.Dm est une force appelée poussée, correspondant au débit de quantité de mouvement.

3. Bilan de moment cinétique : tourniquet hydraulique. Le tourniquet hydraulique est alimenté à la base par un débit volumique constant Dv ; l'eau (supposée incompressible) est éjectée par les bras aux points A et B. Il tourne autour de l’axe Oz à

vitesse angulaire (t) par rapport au sol. Système à t Système à t+dt Vue de dessus On va appliquer le théorème du moment cinétique dans un référentiel galiléen R lié au sol.

Il s’écrit : 0

0 ext

dM(F)

dt

Soit en projection sur Oz Le système de coordonnées adapté est le système cylindrique. Définition du système : On considère le système fermé constitué du tourniquet , de l'eau qu'il contient et de la masse d'eau dm qui va entrer - par le bas - entre t et t+ dt. On a dm = .DV.dt. Bilan de masse : La vitesse du fluide par rapport au tourniquet dans chacun des bras 0A' et OB' , de longueur R, est : V fluide/tourniquet= V ur

La section droite du tube en A et B est S, donc V = DV / 2S. Vitesse du fluide sortant :

Section S

dm

R

(t)

A

B

A’

z

35

On néglige la longueur AA’ devant OA’ ; on considère alors OA = Rur.

La vitesse du fluide en A, par rapport au sol, vaut alors : VA/sol = VA/tourniquet + Ventrainement = = Vur - Ru. Bilan de moment cinétique : Le moment d'inertie du système tourniquet + eau contenue est J. Le moment cinétique à t s’écrit o(t) = J.(t).uz.

Le moment cinétique à t+dt est o(t+dt) = J.(t+dt).uz + 2 OA^(dm/2)VA/sol

= J.(t+dt).uz - dm. R2.uZ

d’où la variation Do = o(t+dt) - o(t) =J.d - dm. R2.uZ

et Do/Dt =

Moment des forces : Les forces appliquées au système sont : le poids la réaction du support Leur moment par rapport à l'axe Oz est Résolution de l'équation différentielle : L'équation différentielle traduisant le théorème du moment cinétique s’écrit : La solution est : Le système étant initialement au repos, on a :

36

BILANS DYNAMIQUES - EXERCICES

1. Fusée ( E3A PSI 07 ) : Une fusée sans carburant et contenant le satellite qu’elle a pour mission de mettre en orbite possède une masse mf0. La fusée contient, au moment du décollage, une masse de gaz notée mgaz0. Les gaz sont éjectés avec une vitesse verticale par rapport au référentiel terrestre (supposé galiléen) et une vitesse relative U par rapport à la fusée. Le débit massique qm est constant. L’influence de l’atmosphère est supposée négligeable (absence de frottement), l’accélération de la pesanteur g est considérée comme uniforme. a) Le système d’étude est la fusée et tout ce qu’elle contient à l’instant t. En raisonnant sur ce système fermé, effectuer un bilan de quantité de mouvement et en déduire l’expression de l’accélération de la fusée à l’instant t. Établir l’expression de la force, due à l’éjection des gaz, subie par la fusée. b) Quelle doit être la valeur minimale de cette force pour que la fusée décolle ? Calculer l’accélération à l’instant initial. Est-elle supportable pour un être humain ? Données : la masse totale de la fusée ( m0 = mf0 + mgaz0 ) vaut 460 tonnes ; l’accélération de la pesanteur au sol est g0 = 9,8 m.s-2 ; le débit total de gaz s’élève à 1,8.103 kg.s-1 et la vitesse d’éjection des gaz, par réacteur est évaluée à 2,1.103 m.s-1. La fusée comporte deux réacteurs. c) Établir l’expression approchée de la vitesse v(t) de la fusée au cours du temps pour un décollage vertical. Calculer la vitesse de la fusée au bout de 15 s.

2. Ecoulement de Poiseuille cylindrique : On considère une canalisation horizontale d’axe Oz, de rayon R, longueur L, dans laquelle coule un fluide incompressible et visqueux, de viscosité . On néglige le poids du fluide devant les forces de pression. On appelle P = P(0) - P(L) > 0 la différence de pression entre les extrémités du tube. On recherche le champ des vitesses de l’écoulement stationnaire, qu’on suppose du type :

zv v(r).u

On considère le système formé par le fluide contenu à l’instant t dans un cylindre d’axe Oz, de rayon r R, de longueur L + la masse de fluide dm qui va entrer entre t et t+dt dans le cylindre. a) Faire un schéma du système à l’instant t et à l’instant t+dt, et calculer sa variation de quantité de mouvement Dp entre t et t+dt.

b) La contrainte visqueuse s’écrit ici : z

dv.e

dr .

En déduire la résultante des forces de viscosité exercée sur le système. c) Quelle est la résultante des forces de pression exercées sur le système ? d) Déduire des questions précédentes l’expression du champ des vitesses.

3. Force exercée sur une canalisation : Soit un écoulement stationnaire de fluide parfait et incompressible dans une canalisation à symétrie cylindrique, d’axe Ox, dont la section passe de S1 à S2. On néglige la pesanteur. La vitesse du fluide dans la section S1 est V1 et sa pression P1. Déterminer en faisant un bilan de qquantité de mouvement sur un système bien choisi la composante sur Ox de la force exercée par le fluide sur la canalisation en fonction de S1, S2 , V1 et P1.

Réponse : F = P1(S1-S2) –1

21

2

1

1

2

2

1

2V SS

S

S

S( )

v

z O L

R

37

4. Tige dans un fluide visqueux : On considère un tuyau cylindrique de rayon contenant un fluide incompressible de viscosité , en écoulement permanent et laminaire suivant l’axe . Aucun gradient de pression n’est est présent dans le fluide mais une tige cylindrique solide de rayon (avec ) d’axe confondu avec celui du tuyau se déplace à la vitesse

. Le champ de vitesse dans le fluide est de la forme . Les effets liés au poids du fluide sont négligés. 1°) En effectuant un bilan de quantité de mouvement sur un système à définir, montrer que v(r)

vérifie l’équation : r

a

dr

dv

dr

rdv

a

)(.

2°) En déduire le champ des vitesses et montrer que la force par unité de longueur exercée par le

fluide sur la tige s’écrit où s’exprime en fonction de , et . En déduire la puissance dissipée par unité de longueur. Réponse : = 2/Ln(R/a).

5. Génération d’une onde de ressaut ( CCP PSI 02 ) : Un canal de largeur L est obstrué par une paroi verticale ( fermeture « brutale » d’une écluse). Une vague remonte alors le canal à une célérité w dans le référentiel terrestre. La hauteur d’eau en amont du ressaut est h, et la vitesse du courant est v. En aval du ressaut, la hauteur d’eau est h’ et la vitesse nulle. Les grandeurs h, h’ et v sont constantes. On étudie dans le référentiel terestre supposé galiléen, le système fermé (S) de fluide délimité par les sections (en pointillés) amont S1 et aval S2. Le fluide est incompressible. Pour simplifier, on supposera que le front de la vague est vertical.

a) En traduisant la conservation de la masse, établir une relation entre v, w, h et h’. b) Faire le schéma du système à t et à t+dt. En déduire la variation de la composante horizontale de la quantité de mouvement du système et montrer qu’elle s’écrit dPx/dt = -.L.h.g(v,w) où g(v,w) est une fonction à expliciter. c) La pression étant P° à la surface du fluide, calculer la pression règnant dans l’eau en amont puis en aval du ressaut, en appliquant la relation fondamentale de la statique des fluides. d) Que vaut la résultante des forces de pression sur la section gauche S1 de (S) ? Même question sur la section droite S2 de (S) et pour le front de vague qui est supposé vertical. En déduire l’expression de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur (S) en fonction de , g, L, h et h’. e) En déduire alors que h(v+w)v = ½.g.f(h,h’) où f(h,h’) est une fonction àexpliciter. f) En déduire la célérité de la vague en fonctionde g, h et h’. Que vaut-elle si h h’ ?

w

v

S1 S2

z

0 x

h’ h

38

6. Etude d’une hélice : Une hélice tourne autour d’un axe Ox. Elle est immergée dans l’air, fluide parfait en écoulement

incompressible, de masse volumique . Loin de l’hélice, le fluide est animé d’une vitesse xevv 00 ,

constante et uniforme. Le schéma ci-dessus représente un tube de courant qui englobe l’hélice. A l’extérieur de ce tube de courant, la pression est uniforme, égale à P0. La vitesse et la pression du fluide sont uniforme sur une section droite du tube. Loin en amont de l’hélice, la section du tube est SA, la

pression de l’air P0 et sa vitesse 0v . Loin en aval de l’hélice, la section du tube est SB, la pression de l’air

est P0 et sa vitesse Bv . Au voisinage immédiat de l’hélice, la section du tube de courant est S, la vitesse

de l’air est v , la pression de l’air est P1 à gauche de l’hélice et P2 à droite. Les tourbillons sont localisés au voisinage immédiat de l’hélice. 1°) A l’aide d’un bilan de masse relier vB et v0, puis v et v0. Exprimer les pressions P1 et P2 en fonction de P0, , v0, vB et v.

2°) Déterminer la force F exercée par l’air sur l’hélice : a) en effectuant un bilan de quantité de mouvement pour le fluide situé au voisinage immédiat de l’hélice ; b) en effectuant un bilan de quantité de mouvement pour un volume de fluide de grande dimension, entourant l’hélice.

3°) En déduire une relation entre 0v , Bv et v . 4°) Effectuer un bilan d’énergie cinétique pour le volume de fluide situé au voisinage immédiat de

l’hélice. En déduire la puissance P fournie par le fluide à l’hélice. Vérifier que P= vF. . On pose u = v / v0. Tracer les courbes F(u) et P(u). Commenter. Donner l’expression de la puissance

maximale de la puissance de l’hélice en fonction de , S et v0.

7. Vent sur une voile : Une voile plane d’aire S et de vecteur unitaire normal n reçoit une veine de vent de vitesse relative u sous l’angle et la réfléchit selon la loi de Descartes. a) Quelle est la force exercée par le vent sur la voile ?

L’exprimer en fonction du débit D = .S.u.sin. b) Le bateau reçoit le vent par le travers, l’axe du bateau

est perpendiculaire au vent relatif. Quelle est dans ces conditions, en fonction de , S, u et la composante propulsive de la force précédente ? c) Pour quelle valeur de cette composante est-elle maximale ? De quel type de vent s’agit-il ? Calculer numériquement la force propulsive maximale pour u = 10 m.s-1 et = 1,3 kg.m-3 et S = 25 m2.

Réponses : F Su nvent voile/ sin . 2 2 2 ; max = 54,7° ; Fprop = 2500 N.

voile n

u

V

Vent

S

P2 P1

P0

S

SB

x v

v

0A vv

BvSA