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7/26/2019 Cinematique cesi.pptx

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LA CINEMATIQUE

1

La cinmatique est ltude du mouvementindpendamment des causes qui le provoquent.

Nous tudierons:

Les trajectoires de points

Les vitesses de points

Les acclrations de points


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2

. Rfrentiels et repres.

Le rfrentiel est un solide qui sert de rfrence pour dcrire le

mouvement dun point dun utre solide!

Pour l'observateur dans lewagon le mouvement de laballe est rectiligne.

Pour l'observateur sur le quaila trajectoire de la balle est

curviligne.

A un rfrentiel sont associs :

ep!re despace " # une$ deu% ou trois dimensions& qui donne la position dun p

rep!re de temps : une (orloge permet de mesurer le temps qui scoule entre )

stant est aussi c(oisi comme origine des dates.

L tr"ectoire# l vitesse et lcclrtion dun point sont des notions reltives

et donc dpendent du rfrentiel!

le : une balle est l+c(e dans un wagon qui est en mouvement par rapport # la


3/23

$

2. Le vecteur position

,

%,

-,

tudie le mouvement de la balle par rapport # lobservateur dans le wagon.

n instant t au cours de la c(ute$ la balle est en un point ,.munie lespace dun rep!re /%e par rapport # lobservateur.

%

-

O

x et y sont lescoordonnescartsiennes du vecteurposition ;

ce sont des fonctions dutemps

{ }O, i , jr r

M MOM x i y j= +uuuur r r

( ) ( )OM x t i y t j= +uuuur r r

i

jr

OMuuuur


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2. Le vecteur position

tudie le mouvement de la balle par rapport # lobservateur dans le wagon.

n instant t au cours de la c(ute$ la balle est en un point ,.munie lespace dun rep!re /%e par rapport # lobservateur.

,

%

-

O

r (t)

-,

%,

On peut reprer le point Mpar des coordonnes

polaires : r(t)et %&t'

%&t'

{ }O, i , jr r

ijr

( ) ( )

( ) ( )

.cos( )

.sin( )

M t t

M t t

X r

Y r

=

=


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(

. Le vecteur vitesse

01

02

03

04

05

Prenons des p(otos # intervalles de temps rguliers 67$)3s.

0)

08

*tudions le vol dun oiseau

9i on les superpose$ on obtient une c(ronop(otograp(ie.

n peut tracer la trajectoire du centre de gravit de loiseau.


6/23

)


01

0)

08

02

03

04

05

Position de loiseau # des intervalles de temps 67$)3s

t8t16t6) 67$3s

*leur des vitesses +

010862$2cm62$2.17)m

donc v)62$2.17)7$36;$;.17)m.s1

t3t86t6) 67$3s

08036 62$3.17)m

donc v262$3.17)7$36


7/23,


01

0)

08

02

03

04

05

*ecteur vitesse +

n trace la tangente # la trajectoire en 0).

*n 0)

>

Le vecteur est orient dans le sens du mouvement.

longueur dpend de lc(elle c(oisie : avec 1cm 7$7) m.s1$ on a 2$2 cm pour

v)6;.17)m.s1

2vr

2vr


8/23

-


Le vecteur vitesse # linstant t est caractris par son origine : le point o@ se trouve lobjet # linstant t sa direction : tangent # la trajectoire son sens : dans le sens du mouvement

- sa longueur : en fonction de lc(elle c(oisieproportionnelle # la valeur de la vitesse :

18

81

)tt

00v

=


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.


01

0)

08

02

03

04

05*n 0

2

>

Avec 1cm 7$7) m.s1$ on a 2$3 cm pour v2

v26


10/23

1/


01

0)

08

02

03

04

05

4vr

2vr

3vr 5v

r

6vr


11/23

11


08

02

03

Lien vec le vecteur position +

9i on c(oisit de prendre des p(otos de loiseau # des intervalles de

temps

plus courts$ les position 08et 03vont se rapproc(er de 02. nparlera de vitesse instantane.devient tangent la trajectoire et dans le mme sens que le dplacement.3 5G Guuuuur

3 5 3 52

5 3

G G G Gv

t t t= =

uuuuur uuuuurr=

3 52

5 3

G Gv

t t=


12/23

12

. Le vecteur vitesse instantane

02

Lien vec le vecteur position +

08

03

%

-

O

3 52

G G

v t=

uuuuur

r

3 5G G OG=

uuuuur uuur

Si t est trs trs etit, on remlace t ar !t et ar !OG OG uuur uuur

2dOGv

dt=

uuuuur

r

3 5 3 5 5 3G G G O OG OG OG= + =

uuuuur uuuur uuuur uuuur uuuur

i

jr


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1$

. Le vecteur vitesse instantane

Le vecteur vitesse dun point matriel M estla drive par rapport au temps de son

vecteur position .

On calcule ses coordonnes en drivant parrapport au temps c!acune des coordonnesdu vecteur position "

xet vysont des fonctions du temps

dOMv

dt=

uuuurr

x

y

dxv

dt

dyvdt

=

=

OMuuuur


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10

. Le vecteur acclration

01

03

04

05

*ntre les positions 0)et 02le vecteur vitesse instantane du

centre dinertie varie.ecteur acclration nous rend compte de cette variation par rapport au tem

0)

08

02

La direction et le sens de lacclration nous sont donns par le vecteur

4vr

2vr

3vr

ar

4 23

4 2

v va

t t

=

r rr

2vr

2vr

4 2v vr r

4 2v vr r


15/23

1(


4 23

4 2

v v vat t t

= =

r rr

Si t est trs trs etit, on remlace t ar !t et ar ! "v v r r

dva

dt=

rr


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1)


Lacclration dun point matriel , est gale # ladrive par rapport au temps de son vecteur vitesse

.

9es coordonnes sont :

avec donc

dva

dt=

rr

vr

ar

xx

y

y

dva

dt

dvadt

=

=

x

y

dxv

dt

dyv

dt

=

=

2

2

2

2

x

y

d xa

dt

d ya

dt

=

=


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1,

Les %uations !oraires x&t' et y&t'

Be sont des quations qui donnent les coordonnes %et - dun point matriel en fonction du temps

(xemple "x)3t*# et y)+t,

n peut alors obtenir les quations (oraires de lavitesse et de lacclration :

x

y

dxv

dt

dyv

dt

=

=

3

1#

x

y

v

v t

=

=

xx

y

y

dva

dt

dva

dt

=

=

$

1#

x

y

a

a

=

=


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1-

. Les %uations !oraires

-rivation parrapport au temps

-rivation parrapport au temps

nt/ration parrapport au temps

nt/ration parrapport au temps

Les intgrations par rapport au temps vont faireapparaCtre des constantes qui sont # dterminer #

partir des conditions initiales :Dci : %"t67&6 -"t67&6 v%"t67&6

6 6

8tE2


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1.

%uation de la traectoire dun point matriel M

Lorsque le mouvement est plan$ cest une quation quidonne la coordonne - dun point matriel en fonction

de %.*lle sobtient en combinant les quations (oraires$cette combinaison permet dliminer le temps t.

vec le%emple prcdent "

L%uation de la traectoire est donc " y)x,

22% & %. & %.

3 %

x xdonc y t x

= = = = 3

xt

=


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,ouvement Gectiligne Hniforme

Le mouvement est dit rectiline qund l

tr"ectoire est une droite!

Le mouvement est dit uniforme qund l

vitesse est constnte Les qutions deviennent

v

t

v

0

x

tx

0

( ) ( ) $ ( ) $ $

$ .t t t

a v v et x v t x= = = +


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L vitesse vrie de f3on uniforme

Les qutions deviennent

,ouvement GectiligneHniformment vari

t

v

v0

a

a0

x

tx0

2

( ) $ ( ) $ $ ( ) $ $ $

1' . ' .

2t t ta a v a t v x a t v t x= = + = + +

2

( ) $ ( ) $ $ ( ) $ $ $

1' . ' .

2t t ta a v a t v x a t v t x= = + = + +


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Mouvements rectiline tr"ectoire est

une droite selon 4

5inuso6dl

,ouvement Gectiligne9inusoIdal


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