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Statistiqueinférentielle

Pr. Driss ElMoutawakil

Chapitre 1 :Introduction

Chapitre 2 :Rappel sur laloi normale

Chapitre 1 :Echantillon-nage etEstimationd’unemoyenne

Chapitre 2 :Echantillon-nage etEstimationd’uneproportion

Statistique inférentielle

Pr. Driss El Moutawakil

Université Hassan 1er,Faculté polydisciplinaire de Khouribga, BP. 145,

Khouribga, Maroc.







Plan du Cours

1 Chapitre 1 :Introduction2 Chapitre 2 :Rappel sur la loi normale3 Chapitre 3 : Echantillonnage et Estimation d’une moyenne4 Chapitre 4 : Echantillonnage et Estimation d’une

proportion







Echantillonnage

La statistique est l’ensemble des méthodes scientifiques àpartir desquelles on recueille, organise, résume, présente etanalyse des données, et qui permettent d’en tirer desconclusions et de prendre des décisions judicieuses.Au lieu d’examiner l’ensemble des données possible qu’onappelle encore la population, en pratique, on en étudie unetoute petite partie appelée échantillon.C’est l’échantillonnage.







Echantillonnage

Pour que les conclusions soient valables, il faut quel’échantillon soit représentatif de la population. Celasignifie qu’il doit être prélevé d’une manière aléatoire,c’est-à-dire que tous les éléments de la population ont lamême probabilité d’être choisis, par exemple à travers untirage au sort.On parle d’échantillonnage exhaustif lorsque chaquemembre de la population ne peut être choisi qu’une seulefois et d’échantillonnage non-exhaustif dans le cascontraire. Si la population est très grande, on considèregénéralement les échantillonnages comme non-exhaustifs.Pour simplifier, par la suite, nous ne considérons que ce casde figure.







Estimation

A partir des résultats mesurés sur cet échantillon, nousessayons d’induire des conclusions valables pour lapopulation : c’est la partie de la statistique que l’on appellestatistique inductive.De manière générale, l’inférence statistique est l’étude desconclusions que l’on peut tirer d’un échantillon pour unepopulation dont l’échantillon est issu, ainsi que le degré deprécision des conclusions.C’est l’estimation.Dans ce cadre, les problèmes qui se posent sont ceux del’estimation des paramètres (moyenne, écart-type, etc.)d’une population à partir des échantillons issus de cettemême population.







Estimation

Lorsque dans une population, un paramètre est estimé parune seule valeur (un seul nombre), on dit qu’on disposed’une estimation ponctuelle du paramètre.Si par contre, le paramètre d’une population est estimé pardeux nombres formant un intervalle dans lequel celui-cipeut varier, on dispose d’une estimation par intervalle deconfiance du paramètre.Si l’espérance mathématique d’un paramètre del’échantillon est égale au paramètre correspondant de lapopulation, on dit que l’on dispose d’un estimateur nonbiaisé de ce paramètre. Dans le cas contraire, on est enprésence d’un estimateur biaisé.







Rappel sur la loi normale







Population =⇒ Echantillon

DéfinitionOn dispose d’une population sur laquelle est définie une variablealéatoire X dont on connaît l’espérance (ou la moyenne) µ etl’écart-type σ.

On s’intéresse aux échantillons de taille n. Auront-ils tousla même moyenne ?Non, certains peuvent être constitués d’éléments atypiqueset avoir une moyenne très différente de celle de lapopulation (surtout si l’échantillon est de petite taille).








DéfinitionOn dispose d’une population sur laquelle est définie une variablealéatoire X dont on connaît l’espérance (ou la moyenne) µ etl’écart-type σ.

Notons X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon detaille n, associe sa moyenneX s’appelle encore la distribution des moyennes deséchantillons).Que peut-on dire de cette variable aléatoire X ?








Théorème Central Limite - Version 1

X une variable aléatoire qui suit une loi normale sur unepopulation X ↪→ N(µ, σ)

On prélève, au hasard, un échantillon (tirages avec remiseou assimilés) de taille n de moyenne X

Alors la variable aléatoire X suit également une loi

normale : X ↪→ N

(µ;

σ√n

)








Théorème Central Limite - Version 2

X une variable aléatoire qui suit une loi quelconque sur unepopulation avec E (X ) = µ et σ(X ) = σ

On prélève, au hasard, un échantillon (tirages avec remiseou assimilés) de taille n ≥ 30 de moyenne X

Alors la variable aléatoire X suit approximativement une loi

normale : X ↪→ N

(µ;

σ√n

)







Echantillon =⇒ Population

L’estimation est le problème inverse de l’échantillonnageProblématique

A partir des informations (Moyenne - Ecart-type) établiessur un échantillon, comment retrouver ou plutôt estimer

celles d’une population entière ?







Estimation Ponctuelle

X une variable aléatoire de moyenne inconnue µ etd’écart-type connu ou inconnu σOn prélève au hasard un échantillon de taille n de moyenneµe et d’écart-type σeAlors, on a :

Une estimation ponctuelle µ̂ de la moyenne µ de lapopulation est µe càd µ ' µ̂ = µe

Une estimation ponctuelle σ̂ de l’écart-type σ de la

population est σ̂ tel que : σ̂ =

√n

n − 1σe







Estimation par Intervalle de confiance

X une variable aléatoire de moyenne inconnue µ etd’écart-type connu ou inconnu σOn prélève au hasard un échantillon de taille n de moyenneµe et d’écart-type σeAlors :

On dispose uniquement d’une estimation µ̂ de la moyenneµ de la population qui est µe

Peut-on avoir plus d’informations sur µ ?Peut-on trouver un encadrement de µ ?Peut-on trouver, avec une confiance C , un intervalle quicontient µ ?Peut-on trouver, avec un risque α, un intervalle quicontient µ ?Liaison entre la confiance C et le risque α : C = 1− α








On cherche le réel r tel que

P

(X − r ≤ µ ≤ X + r

)= C

On a

P

(µ− r ≤ X ≤ µ+ r

)= C

=⇒ P

(− r ≤ X − µ ≤ r

)= C

=⇒ P

(− r

√n

σ≤ X − µ

σ√n

≤ r

√n

σ

)= C

On sait que : X ↪→ N

(µ;

σ√n

)Alors, la variable T =

X − µσ√n

↪→ N(0; 1)








Donc, on a

P

(− r

σ√n≤ T ≤ r

σ√n

)= C

=⇒ 2Π

(rσ√n

)− 1 = C

=⇒ Π

(r

√n

σ

)=

C + 12

En utilisant la table de la loi normale centrée réduite, on

lira la valeur de t = r

√n

σ

Ainsi on trouve la valeur de r = tσ√n








Reprenons maintenant notre échantillon de moyenne µe etd’écart-type σeSi σ est connu, alors l’intervalle de confiance sera :

IC =

[µe − t.

σ√n, µe + t.

σ√n

]

Si σ est inconnu, alors on remplace σ par son estimation

ponctuelle σ̂ =

√n

n − 1σe . Dans ce cas, l’intervalle de

confiance sera :

IC =

[µe − t.

σe√n − 1

, µe + t.σe√n − 1

]







Application 1

On veut estimer la moyenne d’une variable aléatoire suivant laloi normale de variance 6, 25. L’estimation se fait à l’aide d’unéchantillon de taille n = 100 fournissant une moyenne de 4, 3.

1 Quel est l’intervalle de confiance à 95% ?2 Quel est l’intervalle de confiance à 99% ?3 On suppose cette fois-ci que la variance de la population

n’est pas connue, mais uniquement celle de l’échantillonégale à 6, 76.Quel sera l’intervalle de confiance à 90% ?







Application 2

On mesure les poids d’un échantillon de 100 élèves d’un lycée.On obtient :

Poids (Kg) Effectif70 371 572 673 874 1075 1276 1577 1478 1279 1180 4







Application 2

1 Calculer la moyenne µe et l’écart-type σe de l’échantillon2 Estimer la moyenne et l’écart-type du poids des élèves de

ce lycée3 Déterminer un intervalle de confiance du poids moyen avec

un risque de 5%








On dispose d’une population sur laquelle on étudie un caractère(ou attribut) A dont on connaît la proportion p dans lapopulation.

On s’intéresse aux échantillons de taille n. Auront-ils tousla même proportion ?Non, certains peuvent être constitués d’éléments atypiqueset avoir une proportion très différente de celle de lapopulation (surtout si l’échantillon est de petite taille).








On dispose d’une population sur laquelle on étudie un caractère(ou attribut) A dont on connaît la proportion p dans lapopulation.

Notons par F la variable aléatoire qui, à chaque échantillonde taille n, associe sa proportion du caractère A.F s’appelle encore la distribution des fréquences deséchantillons de taille n.Que peut-on dire de cette variable aléatoire F ?








Théorème

On considère une population sur laquelle on étudie uncaractère A répandu avec une fréquence p

On prélève, au hasard, un échantillon (tirages avec remiseou assimilés) de taille n ≥ 30On note par F la variable aléatoire qui correspond à lafréquence du caractère A dans l’échantillonAlors, la variable aléatoire F suit approximativement uneloi normale telle que :

F ↪→ N

(p;

√p(1− p)

n

)







Echantillon =⇒ Population

ProblématiqueA partir de la fréquence d’un caractère A sur un échantillon,

comment retrouver ou plutôt estimer la fréquence du caractèreA sur la population toute entière ?







Estimation Ponctuelle

On considère un caractère A sur une population dont laproportion p est inconnueOn prélève au hasard un échantillon de taille n ≥ 30 surlequel on a calculé la proportion pe d’individus ayant lecaractère A

Alors, une estimation ponctuelle p̂ de la fréquence p est pecàd p ' p̂ = pe








On considère un caractère A sur une population dont laproportion p est inconnueOn prélève au hasard un échantillon de taille n ≥ 30 surlequel on a calculé la proportion pe d’individus ayant lecaractère A

Soit F la variable aléatoire qui correspond à la fréquencedu caractère A dans cet échantillonOn sait que F suit approximativement une loi normale telleque :

F ↪→ N

(p, σp =

√p(1− p)

n

)








On dispose uniquement d’une estimation p̂ de la fréquencep du caractère A sur la population qui est pePeut-on avoir plus d’informations sur p ?Peut-on trouver un encadrement de p ?Peut-on trouver, avec une confiance C , un intervalle quicontient p ?Peut-on trouver, avec un risque α, un intervalle quicontient p ?Liaison entre la confiance C et le risque α : C = 1− α








On cherche le réel r tel que

P

(F − r ≤ p ≤ F + r

)= C

On a

P

(p−r ≤ F ≤ p+r

)= C =⇒ P

(−r ≤ F−p ≤ r

)= C

=⇒ P

(− r

σp≤ F − p

σp≤ r

σp

)= C

On sait que : F ↪→ N

(p; σp =

√p(1− p)

n

)Alors, la variable T =

F − p

σp↪→ N

(0; 1)








Donc, on a

P

(− r

σp≤ T ≤ r

σp

)= C =⇒ 2Π

(r

σp

)− 1 = C

=⇒ Π

(r

σp

)=

C + 12

En utilisant la table de la loi normale centrée réduite, onlira la valeur de t =

r

σpAinsi on trouve la valeur de r = t.σp








Reprenons maintenant notre échantillon (de taille n ≥ 30)dans lequel la fréquence du caractère A est peAlors l’intervalle de confiance sera :

IC =

[pe − t.

√pe(1− pe)

n, pe + t.

√pe(1− pe)

n

]







Application 1

On a testé l’efficacité d’une méthode d’apprentissage de lalecture en l’expérimentant sur un échantillon de 400 élèves deCP et constaté que que 320 des élèves ont donné des résultatssatisfaisants.Avec une confiance de 95%, donner une estimation de laproportion de résultats satisfaisants que donnerait la méthodesur l’ensemble des élèves.







Application 2

Un sondage effectué sur 900 personnes, choisies de manièrealéatoire dans une population, a indiqué que 300 d’entre ellespossèdent un four micro-ondes.Avec un risque de 1%, déterminer un intervalle de confiance dupourcentage de personnes de cette population possédant unfour micro-ondes.

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