Cours Meca07 Prof

Mcanique

Chapitre 7

Mouvement de charges dans un

champ ( ~E, ~B)

PCSI1, Fabert (Metz) I Force subie par une charge


champ ( ~E, ~B)

Nous savons dj que les charges, immobiles ou en mouvements, sont des sources de champlectrique et magntique. Nous allons voir dans ce chapitre quen plus dtre source du champ, ellessubissent des effets dus la prsence de ces champs, des effets mcaniques.

Ainsi dans ce chapitre, nous verrons comment le mouvement des charges est influenc par laprsence de champs lectrique ou magntique statiques. Si dans la premire partie, nous nous int-resserons aux mouvements de particules seules dans lespace, nous verrons dans la deuxime partielinteraction entre le champ magntique et le mouvement densemble de charges appel courantlectrique .

I Force subie par une charge

I1 La force lectromagntique

I1i expressions

L version force de Lorentz

G Cette force est donne par les lois de la nature. Cest une des lois de base.

La force subie par un point matriel de charge q plong dans un champlectromagntique est la force de Lorentz qui scrit :

~f = q(~E(M (t))+ ~v(t) ~B(M (t))

)avec

~v(t) la vitesse du point matriel par rapport au rfrentiel dtude ~E(M (t)) et ~B(M (t)) les champs ~E et ~B lendroit M (t) o se trouve le point matriel linstant t

! ne pas confondre ~EM (t) avec ~E(M,t). Le premier est le champ lendroit o se trouve le point M linstant t alors que le 2e sous-entend que le champ ~E est a priori non uniforme et non constant.Autrement dit dans le premier cas, nous nous intressons la valeur du champ en un point bien prcisde lespace, alors que dans le 2e nous sommes plutt en train de considrer la totalit du champ dansson ensemble.

G Comme ici, ce qui exerce la force est le champ ( ~E, ~B), il nest pas possible dappliquer la 3e loide Newton qui, rappelons-le, ne concerne que des points matriels.

G Insistons : la 3e loi de Newton reste valable, cest juste que la force de Lorentz nentre pas dansson champ dapplication.

L version force de Coulomb

G Nous connaissons le champ cr par une charge ponctuelle (ou au moins de symtrie sphrique), nouspouvons donc en dduire la force quelle exerce :

Matthieu Rigaut 1 / 42 Version du 1 aot 2011

PCSI1, Fabert (Metz) I1 La force lectromagntique

La force exerce par une charge immobile q1 sur une autre charge immobile q2 scrit :

~f12 =q1 q2

4 0 r2~u12 =

q1 q2

4 0

M1M2

M1M23

q1~u12

q2 ~f12

G Mme si cette loi nest en toute rigueur valable que pour des charges immobiles, elle reste uneexcellente approximation pour des charges en mouvement des vitesses faibles devant la lumire etpas trop loignes lune de lautre.

G Cette deuxime approximation (lloignement) sera prcis en 2e anne.

La force de Coulomb est une force newtonienne qui scrit :

~f = k

r2~ur avec k =

q1 q2

4 0.

G Nous constatons que deux charges de mme signe ont tendance se repousser alors que deux chargesde signes opposs ont tendance sattirer.

La force de Coulomb peut-tre attractive ou rpulsive.

L force magntiqueG Nous en reparlerons dans la suite du chapitre lorsque nous aurons vu le lien entre un courant et le

mouvement dune charge.G Nous retiendrons :

Le champ magntique cr par une charge en mouvement est tel que :

Bcr 0 qsource vsource

r2

G Nous allons voir pourquoi nous allons systmatiquement le ngliger.

I1ii ordres de grandeur

Valeurs fondamentales : charge lmentaire : e = 1,6.1019 C masse de llectron : me = 9.1031 kg masse du proton : mp = 1,7.1027 kg

L version LorentzY partie lectrique


PCSI1, Fabert (Metz) I1 La force lectromagntique

G Une pile plate de 4,5 V dont les deux lectrodes sont spares de 1 cm engendre un champ lectriquede 450 V.m1.

G Pour quil y ait une tincelle dans de lair sec, il faut que le champ lectrique dpasse les 3 MV.m1.G Prenons un champ trs faible de 103 V.m1 et comparons la force de Lorentz subie par un proton

son poids :

~fL

~P=

eE

mg=

1,6.1019 103

1,7.1027 10= 1010

G Nous pouvons donc ngliger le poids devant la force de Lorentz.

Y partie magntique

G Le champ magntique cr par la Terre est de lordre de 105 T, celui par un magnet de 103 T.G En laboratoire, il nest pas trs difficile dobtenir des champs de lordre de 0,1 1 T.G Exprimons le rapport de la force de Lorentz sur le poids :

~fL

~P=

e v B

mg=

v

vcritavec vcrit =

mg

eB=

1,7 1027 10

1,6 1019 0,1= 105 m.s1

G Ds quune particule va des vitesses bien suprieure la vitesse critique prcdente, nous pouronsngliger linfluence du poids.

Y conclusion

Au niveau des particules lmentaires, le poids sera toujours ngligeable devant la forcede Lorentz.

! sil sagit dobjets macroscopiques chargs (cf. lectricit statique), le poids ne sera pas forcmentngligeable.

H pour pouvoir ngliger le poids devant la force de Lorentz, il faut que cette dernire existe.

L version CoulombG crivons le rapport entre la force de Coulomb et le poids dun proton :

~fC

~P=

q2

4 0 r2

mg=

r02

r2avec r02 =

q1 q2

4 0 mg=

(1,2 1019)2

4 109

36 1,7 1027 10

= 102 m2

G Ce qui donne r0 10 cm.G Ainsi ds que deux charges sont proches r < 10 cm le poids devient ngligeable devant la force de

Coulomb.

I1iii vision nergtique


PCSI1, Fabert (Metz) I2 Exemples fondamentaux

L version Lorentz

La force de Lorentz est conservative sil ny a pas de champ magntique et que lechamp lectrique ne dpend pas du temps. Dans ces conditions, une charge q possde

lnergie potentielle

Ep = q V

G Pour le montrer, partons de lexpression de la force de Lorentz compte-tenu de labsence du champmagntique.

~f = q ( ~E + ~v ~B) = q ~E

G Comme le champ lectrique est lectrostatique, nous avons

~E = gradV ~f = q

gradV =

grad (q V )

G Ce qui montre bien que la force est conservative.

L version Coulomb

La force de Coulomb drive de lnergie potentielle

Ep =q1 q2

4 0 ro

r est la distance entre les deux charges.

G La dmonstration a dj t faite dans le cadre des forces newtoniennes.G En effet, une force newtonienne ~f = k

r2~ur est associe lnergie potentielle Ep =

k

ret la force

de Coulomb est une force newtonienne avec k = q1 q2

4 0.

I2 Exemples fondamentaux

I2i mouvement dans un champ ~E uniforme et constant

L prsentation, analyseG Considrons une particule de charge q en mouvement dans un champ lectrique uniforme et cons-

tant ~E.

~uz

~uy~ux

O~v0

~E

t = 0

G Analyse physique : comme il sagit dune particule dans un champ, le mouvement sera essentiellement dterminpar la force de Lorentz

ici il y a trois degrs de libert a priori puisque la particule peut se mouvoir dans les troisdirections de lespace



la force de Lorentz tout instant et la vitesse linstant initial tant dans le mmeplan ( ~E,~v0), lensemble du mouvement se fera dans ce plan donc il ny a que deux degrs dedescription

les grandeurs pertinentes sont m (inertie), q, E (action) ainsi que v0 et un angle entre ~v0 et~E.

G Analyse technique : choisissons le reprage de telle sorte quun axe soit parallle ~E 2 degrs de description, nous allons utiliser un PFD

O

~uz

~uy

~v0

~E

t = 0

L quation dvolutionG En ngligeant le poids devant la force de Lorentz, le PFD appliqu la particule dans le rfrentiel

galilen du laboratoire donne :

m~a(t) = q ~E ~a(t) =q

m~E

G Il sagit dun mouvement uniformment acclr et donc dun cas que nous avons dj rencontr lorsde ltude de la chute libre.

L rsolutionG La rsolution est trs rapide (ne pas oublier les conditions initiales)

d2x

dt2(t) = 0

d2y

dt2(t) = 0

d2z

dt2(t) =

q E

m

dx

dt(t) = 0

dy

dt(t) = v0 cos

dz

dt(t) =

q E t

m+ v0 sin

x(t) = 0

y(t) = (v0 cos) t

z(t) =q E t2

2m+ (v0 sin) t

G Pour avoir la trajectoire, liminons t entre y(t) et z(t)

t =y

v0 cos z =

q E

2m cos2 t2 + (tan) t

La trajectoire dune particule dans un champ lectrique uniforme et constant est uneparabole ou une droite suivant les conditions initiales.



I2ii mouvement dans un champ ~B uniforme et constant

L prsentation, analyse

G Considrons une particule de charge q en mouvement dans un champ lectrique uniforme et cons-tant ~B.

~uz

~uy~ux

O~v0

~B

t = 0

G Analyse physique : comme il sagit dune particule dans un champ, le mouvement sera essentiellement dterminpar la force de Lorentz

ici il y a trois degrs de libert a priori puisque la particule peut se mouvoir dans les troisdirections de lespace

la force de Lorentz tout instant orthogonale ~B et comme linstant initial la vitessenest pas orthogonale ~B aussi, nous pouvons en dduire que le mouvement ne sera pas plan.

les grandeurs pertinentes sont m (inertie), q, B (action) ainsi que v0 et un angle entre ~v0 et~B.

G Analyse technique : choisissons le reprage de telle sorte quun axe soit parallle ~B et que, dans le plan orthogonal ~B, la vitesse soit suivant un seul axe.

il y a 3 degrs de description donc nous allons utiliser un PFD

v//

v

~v0 ~B

~uz

~uyO

~ux

~uy

~v

~B

t = 0

L quations dvolution

G Comme il sagit dun mouvement dune particule dans un champ, nous pouvons ngliger le poidsdevant la force de Lorentz et ainsi le PFD appliqu la particule dans le rfrentiel galilen dulaboratoire scrit

m~a(t) = q ~v(t) ~B ~a(t) =q

m

vx(t)

vy(t)

vz(t)

00B

G Une fois le calcul des composantes du produit vectoriel effectu, nous arrivons



d2x

dt2(t) =

q B

mvy(t)

d2y

dt2(t) =

q B

mvx(t)

d2z

dt2(t) = 0

L rsolutionY suivant ~B

G Il sagit de la projection sur ~uz

d2z

dt2(t) = 0

dz

dt(t) = Cte = v// z(t) = v// t

G Il sagit dun mouvement uniforme sur laxe parallle B.

Y dans le plan orthogonal ~B, mthode 1

G Commenons par rcrire les quations en considrant q > 0

dvxdt

(t) = c vy(t)

dvydt

(t) = c vx(t)

o c =q B

m

c =|q|B

mest appele la pulsation cyclotron.

G Le nom sexpliquera de lui-mme au sous-paragraphe suivant.G Nous pouvons ainsi rsoudre par substitution

vx(t) = 1

c vy(t)

1

c

d2vydt2

(t) = c vy(t) d2vydt2

(t)+ c2 vy(t) = 0

G De mme

vy(t) =1

c vx(t)

1

c

d2vxdt2

(t) = c vx(t) d2vxdt2

(t)+ c2 vx(t) = 0

G Et ainsi, en rapprochant les deux quations, cela donne

d2vxdt2

(t)+ c2 vx(t) = 0

d2vydt2

(t)+ c2 vy(t) = 0

{vx(t) = A cos (c t) +B sin (c t)vy(t) = A

cos (c t)+ B sin (c t)



G Les conditions initiales se voient sur le schma pour vx(0) et vy(0) et se trouvent laide des quationsdiffrentielles pour

dvxdt

(0) etdvydt

(0)

{vx(0) = 0vy(0) = v

et

dvxdt

(0) = c v

dvydt

(0) = 0

G Cela donne

vx(0) = v sin (c t) et vy(t) = v cos (c t)

G Cette mthode : prsente lavantage dtre assez intuitive prsente linconvnient de faire appel des conditions initiales caches ( cause du fait quun moment il a fallu driver une quation pour substituer)

Y dans le plan orthogonal ~B, mthode 2

G Introduisons une fonction complexe inconnue (comme nous lavons fait avec le pendule de Foucault)H(t) = vx(t)+ j vy(t).

G Lquation diffrentielle vrifie par H(t) scrit

dH

dt(t) =

dvxdt

(t)+ jdvydt

(t) = c vy(t) jc vx(t) = jc (vx + j vy(t)) = jc H(t)

G Il sagit dune quation diffrentielle linaire du premier ordre coefficient constant qui se rsout trsvite

dH

dt(t)+ jcH(t) = 0 H(t) = H0 e

jc t

G Or les conditions initiales donnent

H(0) = vx(0)+ j vy(0) = j v H(t) = j v ejc t

G Et en revenant aux notations relles

vx(t) = Re(H(t)

)= +v sin (c t) et vy(t) = Im

(H(t)

)= +v cos (c t)

G Il sagit bien du mme rsultat.G Cette mthode :

permet de se contenter des conditions initiales naturelles fait passer par un intermdiaire de calcul non naturel

G chacun maintenant de choisir sa mthode.

Y trajectoire dans le plan orthogonal ~B

G partir de lexpression des vitesses vx(t) et vy(t) nous trouvons, toujours en faisant attention auxconditions initiales

x(t) =v

c(1 cos (c t)) et y(t) =

v

csin (c t)

G Il sagit l dune trajectoire circulaire uniforme :



de rayon R =

vc = mvq B

comme ici le signe de c change avec q, le mouvement se fait dans le sens indirect pour q > 0et dans le sens direct pour q < 0

Y rassemblement

G En tenant compte du fait que q 0, nous avons

La trajectoire dune particule dans un champ magntique uniforme et constant ~B esthlicodale daxe la direction de ~B et de rayon R =

mv

|q|Bo v est la composante de la

vitesse dans le plan orthogonal ~B.

G Tout se passe comme si les particules senroulaient autour des lignes de champ, les charges positiveset ngatives ne senroulant pas dans le mme sens.

I2iii application au cyclotron

L prsentation du dispositifG Un cyclotron est un dispositif qui permet dacclrer des particules avec un appareillage de taille

modeste surtout par rapport au LHC qui mesure 27 km de circonfrence : un cyclotron tient aismentdans une pice de travail usuelle.

G Sur la photo ci-dessous, le rglet fait 30 cm.

G Un cyclotron est essentiellement compos de deux ds dans lequels rgle un champ magntique uniforme et constant un espace interd dans lequel rgle un champ lectrique contrl par un gnrateur sinusodal

~E~B ~B

G Pour la suite, considrons que : les particules acclres sont des particules (noyaux dhlium) de charge q = 2 e > 0 lensemble du mouvement est dans le plan du schma



L fonctionnementY mouvement dans un d

G Imaginons une particule qui arrive dans la zone de transition avec une vitesse ~vk.

Rk

~vk

~vk

~B

G Alors nous savons quil aura une trajectoire circulaire : de rayon Rk =

mvk

2 eB

de pulsation cyclotron c =2 eB

mG Ainsi, pour ressortir, il faudra que llectron ait fait un demi-tour ce qui correspond la dure

tk =T

2=

c=

m

2 eB

G Remarquons que cette dure est intrinsque au dispositif et ne dpend pas de la vitesse de la parti-cule .

Y mouvement dans la zone de transition

G Considrons une particule qui sort dun d la vitesse vk et cherchons la vitesse vk+1 laquelleelle arrive dans le d suivant.

A ~vk

C

~vk+1

ligne dechamp

~E

isopotentielle

G Ici comme la trajectoire est rectiligne et que seule nous intresse la vitesse, nous allons utiliser unemthode nergtique.

G Faisons lapproximation que les lignes de champ sont bien rectilignes et donc que les isopotentiellesont parallles aux faces planes des ds.

G Alors, comme seule agit la force de Lorentz, conservative, nous pouvons crire la conservation delnergie pour llectron entre les points A et C ce qui donne :



1

2mvk

2 + 2 e VA =1

2mvk+1

2 + 2 e VC 1

2mvk+1

2 =1

2mvk

2 + 2 e (VA VC)

G Ainsi quand VA > VC la particule est effectivement acclre.

L caractristiques globalesG Pour que la particule soit acclre chaque passage dans la zone de champ ~E, il est ncessaire de

changer le sens des potentiels.G Pour cela les faces des ds sont relies un gnrateur sinusodal.

~E~B ~B

e(t)

~v ~0

t1

t1

t2t 2

t3

t3

t4

t 4

G Le but est de faire en sorte que pendant que llectron change de direction, la diffrence de potentielschange de signe.

e

tt1

t1

t2

t2

t3

t3

t4

t4

Y vitesse maximale

G Prenons un cyclotron tel que le rayon dun d vaille R = 50 cm le champ magntique soit de norme B = 1,0 T

G Alors la trajectoire dans un d impose :

Rmx =mvmax

2 eB vmax =

2 eB Rmaxm

= 2,39306 107 m.s1

G Rappelons ici que

m = 2mp + 2mn avec mp = 1,6726 1027 kg et mn = 1,6749 1027 kg mp


PCSI1, Fabert (Metz) I3 Slecteur de vitesse

Y dure de lacclration

G chaque demi-tour lnergie cintique augmente de 2 e U0 o U0 est lamplitude de la tension dugnrateur sinusodal.

G Il faut donc N demi-tours avec N = Ec,max2 e U0

.

G Sachant que chaque demi-tour dure t = 2 eBm

nous avons :

t = N t =Ec,max

2 e U0

m

2 eB=

R2 B

2U0= 3,92699 105 s

G Pour lAN nous avons pris U0 = 10 kV.

L intrtG Si la particule avait t acclre par un dispositif linaire, ie. par une simple diffrence de potentiels,

la situation aurait t la suivante.

~E

VA = 0 VB = U < 0

v0 0~vmax

G Pour avoir la mme nergie cintique finale, il aurait fallu une tension

U =Ec,max

2 e= 5,9 106 V

G Cette tension est clairement plus difficile raliser.

L retour sur les approximationsG Le cyclotron prsent ci-dessus est idalis.G Pour le rendre plus conforme la ralit, il est ncessaire de prendre en compte :

le mouvement vertical des particules, mouvement quil convient de matriser par les conditionsinitiales pour par un effet de confienement

la dure de transition dans la zone de champ ~E qui peut devenir telle quil ne soit plus vraimentpossible dy considrer le champ comme constant.

G En ce qui concerne la limite relativiste, rappelons que les effets sont en(v

c

)2soit, ici, de lordre de

0,6 %. Ils restent pour linstant ngligeables, mais en cas de vitesse suprieure, il faudra y recourir.

I3 Slecteur de vitesse

I3i dispositif

L prsentation, analyseG Considrons une particule de charge q qui entre dans une zone o rgnent un champ lectrique

uniforme et constant ainsi quun champ magntique uniforme et constant.G Les champ ~E et ~B sont orthogonaux et le dispositif est tel que la vitesse initiale est orthogonale ~E

et ~B.



O

q ~v0

~E

~B~uy

~ux~uz

G Le but est de trouver la trajectoire de la particule.G Analyse physique :

la particule tant une particule, nous pourrons ngliger laction du poids, nous ne prendronsdonc en compte que la force de Lorentz

comme la force de Lorentz est toujours dans le plan orthogonal ~B et que la vitesse initialelest aussi, nous pouvons dire que le mouvement est plan, il ny aura donc que deux degrs dedescription

les grandeurs pertinentes sont m (inertie), q, E et B (action) et v0 (condition initiale)G Analyse technique :

le choix du reprage est immdiat vu que ~E, ~B et ~v0 sont orthogonaux tant donn quil y a deux degrs de description, nous allons utiliser le PFD

I3ii quations horaires

L quations dvolutionG crivons le PFD appliqu la particule dans le rfrentiel galilen du laboratoire tout en ngligeant

le poids

m~a(t) = q(~E(M (t))+ ~v(t) ~B(M (t))

)chp unif

= q(~E + ~v(t) ~B

)G Nous avons ainsi

m

x(t)

y(t)

z(t)

= q

0E0

+ q

x(t)

y(t)

z(t)

00B

mx(t) = q B y(t)m y(t) = q E + q B x(t)

m z(t) = 0

G La dernire quation combine vz(0) = 0 nous apprends que le mouvement est plan, ce que noussavions dj.

G Rcrivons les quations en introduisant la pulsation (cyclotron) 0 =q B

m

x(t)+ 0 y(t) = 0

y(t) 0 x(t) = q E

m

x(t)+ 0 y(t) = 0

y(t) 0 x(t) = 0E

B

L rsolutionG Nous allons utiliser la technique de la fonction complexe inconnue. Posons H(t) = x(t)+ j y(t).G Alors, grce la linarit de loprateur drive :



H(t) = x(t)+ j y(t) = 0 y(t)+ j (0E

B+ 0 x(t))

= j0 (x(t)+ j y(t)) j0E

B= j0 H(t) j0

E

B

G Ainsi nous obtenons lquation diffrentielle

H(t) j0 H(t) = j0E

B

G Il sagit dune quation diffrentielle linaire coefficients constants du premier ordre en H(t).G Compte tenu de la condition initiale H(0) = x(0)+ j y(0) = v0 nous obtenons la solution :

H(t) =

(v0

E

B

)e j0 t +

E

B

vx(t) = Re(H(t)

)=

(v0

E

B

)cos (0 t)+

E

B

vy(t) = Im(H(t)

)=

(v0

E

B

)sin (0 t)

I3iii trajectoires

L expressionG En tenant compte des conditions initiales x(0) = 0 et y(0) = 0 nous trouvons

x(t) =1

0

(v0

E

B

)sin (0 t)+

E

B t

y(t) =1

0

(v0

E

B

) (1 cos (0 t)

)

L interprtationG Nous pouvons rcrire lexpression de x(t) sous la forme

x(t) = x1(t)+ x2(t) o x1(t) =1

0

(v0

E

B

)sin (0 t) et x2(t) =

E

B t

G Ainsi en notant y(t) = y1(t) nous pouvons dire que le mouvement global est la superpostion de :

(x1(t),y1(t)), cercle de rayon

1

0

(v0

E

B

) (x2(t),0) trajectoire rectiligne uniforme de vitesse

E

BG Visuellement, suivant le rapport entre vitesse de la trajectoire uniforme, la vitesse initiale et la norme

du champ magntique, il est possible davoir plusieurs types de trajectoires.


PCSI1, Fabert (Metz) I4 Exprience de Rutherford

+

G Dans le cas trs particulier o v0 =E

B, alors la trajectoire est purement rectiligne : la partie magn-

tique de la force de Lorentz compense exactement la partie lectrique.G En plaant un diaphragme en face de la zone o sont jectes les particules, il est possible de ne

conserver que celles qui ont eu une trajectoire rectiligne donc uniquement celles qui ont exactement

la vitesse v0 =E

B.

~v0

G Ce dispositif permet de slectionner des particules suivant leur vitesse, do son nom.

I4 Exprience de Rutherford

I4i dispositif

L exprienceG Lexprience ralise pour la premire fois en 1909 par Hans Geiger1 et Ernest Marsden et dirige

par Ernest Rutherford consiste bombarder une trs fine feuille dor par des particule etdobserver leurs dviations laide dun cran sensible aux particules .

trs mincefeuille dor

canon particules

cran D

G Cette exprience avait pour but dexplorer la matire au niveau atomique afin dessayer de dterminercomment celle-ci est constitue.

G Au niveau des rsultats, il est apparu que : de nombreuses particules passaient tout droit, ce qui a men lide de la structure lacunairede la matire

quelques particules revenaient en arrire, ce qui a men lhypothse dun atome constitudun noyau trs petit par rapport la taille de latome

1Le mme que le compteur.



L modlisation, analyseG Modlisons linteraction entre une particule et un noyau dor (Z = 79) de la manire suivante.

~uy

~ux

bb

D~v0

G La particule de charge q = 2 e > 0 est repousse par le noyau dor de charge Z e > 0.G Linteraction entre ces deux particules est newtonienne et donc comme la particule arrive de linfini

avec une vitesse non nulle, la trajectoire sera une hyperbole.G Le paramtre dimpact est b.G Le but va tre de relier la dviation D au paramtre dimpact b et aux grandeurs pertinentes du

problme, savoir m (inertie), k = 2Z e2

4 0pour linteraction et v0 (condition initiale).

L interlude mathmatique

G Dans le cas dune trajectoire hyperbolique, celle-ci scrit r() = p1 + e cos

et fait apparatre deux

branches.

M

G Dans le cas dun mouvement force rpulsive, seule la branche en trait plein nous intresse.G Or, mathmatiquement, cest celle qui correspond r() 6 0 et , angle non naturel, ce qui, physi-

quement, nest pas acceptable.G Cest pourquoi nous allons plutt rcrire la solution en fonction de (angle naturel) et avec r > 0.



r() = r() = p

1 + e cos ( + )=

p

1 e cos ()=

p

e cos () 1

La trajectoire dun point matriel dans un champ de force newtonien est hyperbolique etscrit

r() =p

e cos( 0) 1

I4ii angle de dviation dune particule

L plan de batailleG Nous allons procder en quatre tapes :

crire la solution gnrale de la trajectoire sous une forme simple relier les constantes dintgration de la trajectoire langle D recherch calculer la ou les constantes idoines injecter le rsultat dans lexpression de D et simplifier

L criture gnrale avec le formalisme de BinetG Comme ici le reprage choisi nest pas tel que laxe focal de lhyperbole soit confondu avec laxe

(Ox), il est ncessaire dcrire la trajectoire sous la forme

r() =p

e cos ( + ) 1

G Utilisons le formalisme de Binet

u() =1

r()=

1

p

(e cos ( + ) 1

)G Notons aussi que est tel que 0 6 6 D.

L expression de D en fonction des constantes dintgrationG Lorsque 0, la particule est sur une asymptote et nous avons alors

r() + u() 0

G De mme, pour D, la particule est sur lautre asymptote et ainsi

r() + u() 0

G Nous pouvons en dduire, daprs lexpression de u()

cos (0 + ) = cos ( D + ) = D + D = 2+

G Autrement dit, il suffit de dterminer et nous aurons la dviation.G Insistons sur le fait que nous avons besoin de ne calculer ni e ni p.



L dtermination des constantes dintgrationG Retrouvons tout dabord lexpression de la vitesse en variables de Binet sachant que ~v = r ~ur+r ~u.G La composante sur ~ur donne, avec = mr2 :

r =dr

dt=

d

dt

dr

du

du

d=

(

1

u2

) u() = r2 u() =

mu()

G Pour la composante sur ~u nous avons

r =

mr=

mu()

G Donc finalement ~v = m

(u() ~ur + u() ~u

).

G Exploitons la vitesse initiale en remarquant que lorsque = 0, ~ur(0) = ~ux et ~u(0) = ~uy

~v(0) = v0 ~ur(0) =

m

(u(0) ~ur(0)+ u(0)~u(0)

)G La composante sur ~u donne

u(0) = 0 1

p

(e cos 1

) cos = +

1

e

G Comme u() = e sin ( + )p

, la composante sur ~ur en = 0 donne

mu(0) = v0 v0 = +

e

mpsin sin =

mpv0

e

G Et ainsi nous trouvons tan = mpv0

.

L simplificationG De D = + 2, nous tirons

=D

2

2 tan

(D

2

2

)=

sin

(D

2

2

)

cos

(D

2

2

) = cosD

2

sinD

2

G Nous avons donc

1

tanD

2

= mpv0

tan

D

2=

mp v0

G En reprenant un vieux rsultat qui nest pas connatre mais savoir redmontrer (au moins aveclhomognit)

p = 2

mk tan

D

2=

k

v0

G Enfin, le bras de levier nous permet dcrire

= +bm v0 tanD

2=

k

m b v02



G Il sagit bien dun rsultat homogne puisque nous pouvons lcrire sous la forme

tanD

2=

k

m b v02

k

r

1

mv2

Ep

Ec 1

I4iii dviation dun faisceau de particules

L en ralit . . .G Il faut bien voir que cette interaction se fait lchelle microscopique et quen ralit la distance b

est totalement incontrole.

1015 m

b

~v0particule

L . . . le travail nest pas terminG Pour interprter correctement lexprience, il envisager quelle proportion de particule arrive entre

langle D et langle D + dD.

b

Db+db

D + dD

G Pour cela il faut commencer par tablir le lien entre nombre de particules qui arrivent entre b etb+ db sans oublier le fait que tout se passe en trois dimension.

G Une fois cette tape ralise, il est possible davoir la proportion de particules arrivant entre D etD + dD puis de comparer avec les rsultats exprimentaux.


PCSI1, Fabert (Metz) II tude du courant lectrique

II tude du courant lectrique

Le but de cette partie est dtudier dun point de vue mcanique le courant lectrique.

II1 Description du courant lectrique

II1i kesako ?

Un courant lectrique est un dplacement de charges, quelles que soient ces charges :lectrons, ions, protons, . . .

G Exemples de courants lectriques : dans les conducteurs lectriques (notamment les mtaux) dans les solutions lectrolytiques les tincelles, la foudre, . . . sont aussi des courants lectriques

II1ii vecteur densit de courant

G Pour dcrire un courant, il faut donc prciser combien de charges vont o.

Le vecteur densit de courant volumique ~ est dfini par :

~ ,i

ni qi ~vi

ni est la densit volumique du porteur de charge i ; qi est la charge dun porteur i ; ~vi est la vitesse densemble des porteurs i.

G Avec [ni] = (m)3, [qi] = (C) et [~vi] = (m).(s)1 nous trouvons :

[~] = (A).(m)2

G Bien que lunit et le nom ne le montre pas, ~ est un courant volumique au sens o il sagit dunegrandeur reprsentant un courant lectrique pouvant bouger dans un volume.

H Lorsquil ny a quun seul type de porteur de charge (comme cela sera le cas dans la suite), nousavons tout simplement ~ = n q ~v.

II1iii lien avec lintensit

L cas particulier trs frquent

G Rappelons que lintensit est, par dfinition, la quantit de charge qui traverse une section donnede conducteur dans le sens de la flche reprsentant i.

G En faisant un zoom sur une section de conducteur, nous allons regarder combien passent pendant ladure dt.


PCSI1, Fabert (Metz) II1 Description du courant lectrique

S

v dt

i

G Pour cela supposons que tous les porteurs de charges ont la mme vitesse ~v correspondant la vitessede drive (ou vitesse densemble ).

G Comme pendant la dure dt tous les porteurs parcourent la distance v dt, nous voyons que seuls lesporteurs contenus, au dpart, dans le cylindre de section S et de hauteur v dt passeront la section decontrle.

G En notant dN le nombre de porteurs traversant S pendant dt, nous avons donc, par dfinition de ladensit volumique :

dN = n dV = nS v dt

G Cela donne une charge dq = q dN = n q S v dt et une intensit valant i = dqdt

= n q v S ou encore :

Dans un conducteur de section droite S, lintensit scrit

i = j S

G Pour i > 0, il faut donc j = n q v > 0 ce qui correspond : q < 0 et v < 0 : des lectrons vont dans le sens oppos au courant ; q > 0 et v > 0 : des charges positives vont dans le sens du courant.

! Il faut faire attention aux conventions. Dans le cas reprsent ci-dessous nous avons i = jx S car ilfaut jx < 0 pour avoir i > 0.

x

~i

L gnralisation

Lintensit qui passe travers une section S est le flux du vecteur densit de courantvolumique travers cette surface :

i =

PS

~(P ) d~SP

G Cest pour cette raison que le vecteur ~ est aussi appel vecteur densit surfacique de courantvolumique .

II1iv retrouver lexpression du champ magntique cr par une charge

G Maintenant que nous savons comment relier le mouvement des charges au courant lectrique, nouspouvons faire lopration inverse : partir dune loi concernant les courants lectriques et revenir laloi concernant les charges.


PCSI1, Fabert (Metz) II2 Courant dans un conducteur

G Prenons la loi de Biot et Savart et cherchons le champ cr par un bout de circuit :

~B(M) =

PC

0

4 i d~P

PM

PM3 d ~B(M) =

0

4 i d~P

PM

PM3

G Or, daprs ce qui prcde, nous pouvons crire, avec ~u le vecteur tangent au circuit lectrique

i d~P = j S d ~u = n q v S d ~u = dN q ~v

G Comme, du point de vue de M , toutes les charges du morceau lmentaire d~P sont au mme pointP , nous pouvons dire que ces dN charges crent le mme champ magntique ou encore que le champmagntique cr par une charge scrit :

~BP (M) =0

4 qP ~v(P )

PM

PM3

G Ce quil y a dextraordinaire, cest que cette loi de champ magntique cr par une charge nest vraieque pour les particules qui ont de faibles vitesses et de faibles acclration mais que la loi de Biotet Savart reste la mme, quelles que soient les vitesses et les acclrations des porteurs de chargescrant le courant.

II2 Courant dans un conducteur

II2i des lectrons libres . . .

G Sans faire une grande thorie trs complexe et faisant appel la mcanique quantique, nous pouvonsdire quil y a deux types dlectrons dans les matriaux conducteurs :

les lectrons de conduction participant au courant lectrique ; les lectrons de valences responsables de la cohsion du matriau.

G Les lectrons de conduction sont dits libres car ils se comportent comme si rien nentravait leursmouvement dans le conducteur, pourvu seulement quils restent dans le matriau. Il faut vraimentles voir comme un gaz dans un rcipient que serait le mtal.

G Les lectrons de valence, eux, restent autour des noyaux atomiques.

II2ii . . . deux vitesses

L vitesse de driveG Recherchons numriquement la vitesse de drive, ou vitesse densemble, des lectrons dans un fil de

cuivre de section S = 1,0 mm2 parcouru par un courant dintensit I = 1,0 A.G Pour cela, nous admettons quil y a un lectron libre par atome de cuivre et nous allons utiliser les

valeurs tabules : masse volumique du cuivre : 8,90.103 kg.m3 ; masse molaire du cuivre : 65,5 g.mol1 ; nombre dAvogadro : NA = 6,02.1023 mol1 ; charge lmentaire : e = 1,6.1019 C.

G Nous trouvons alors : une densit volumique de porteur : n = 8,179847 1028 m3 ; un vecteur densit volumique de courant : j = 1,0 106 C.m2 ; une vitesse de drive :

v = 7,640729 105 m.s1 .

G Nous constatons que la vitesse de drive est vraiment trs faible par rapport la vitesse de la lumire,vitesse laquelle va llectricit.


PCSI1, Fabert (Metz) II3 Loi dOhm

L vitesse particulaireG Nous verrons plus tard que la moyenne de lnergie cintique dune particule libre est telle queec,i =

3

2kB T o kB = est la constante de Boltzmann et T la temprature.

G Comme ec,i =1

2me v

2, nous trouvons :

vpart =v2 =

3 kB T

me= 1,16806 105 m.s1

G Cette fois nous pouvons remarquer que cette vitesse est bien plus leve que la vitesse de drive touten restant infrieure celle de la lumire.

L trajectoireG Pour expliquer la diffrence notable entre les deux vitesses, nous devons prendre en compte le fait

que les lectrons, parfois (souvent !), se cognent contre les ions du rseau cristallin.G Cela donne une trajectoire semblable celle reprsente ci-dessous.

G Ainsi nous pouvons voir que si entre deux chocs les lectrons avancent trs vite, en moyenne, ilsnavancent que trs lentement.

II2iii modle de Drde

G Nous allons modliser les effets des pertes nergtiques des lectrons contre les ions du rseau cristallin(les chocs ) par une force de frottement de type fluide :

~f = h~vinot

= m

~v(i) o :

m la masse dun lectron ; ~v(i) est la vitesse de llectron considr ; est la dure caractristique de perte nergtique que nous pouvons interprter comme tantla dure entre deux chocs successif et vaut

1014 s .

Dans le modle de Drde, reprsente la dure caractristique de perte nergtique,dure assimilable la dure entre deux chocs successifs.

Dans les bons conducteurs 1014 s.

II3 En prsence dun champ lectrique : loi dOhm

II3i quation dvolution

L premire approcheG tudions le systme S constitu des lectrons de conduction contenus dans un petit lment de

volume dV .



dV

G Les forces qui sexercent dessus sont : le poids : nglig ds lors quil y a des forces de Lorentze

(e) ~E(i) : la force de Lorentz due au champ cr par loprateur

e

(e) ~Econd(i) : la force de Lorentz due au champ cr par les ions du rseau cristallin

e

m

~v(i) : la rsultante des forces de frottement exerce par le rseau sur chaque lectron

G Le TCI scrit donc, en notant ~v not= ~v(G) la vitesse de drive :

mtotd~v

dt=e

(e) ~E(i) +e

(e) ~Econd(i)+e

m

~v(i)

L rcriture du TCIY la masse totale

G Nous avons tout de suite, en notant n la densit volumique dlectrons libres :

mtot = m dN = mn dV

Y la force de Lorentz cre par lutilisateur

G Plaons dans le cas o le champ ~E est uniforme sur le volume dV considr.G Nous avons alors :

e

(e) ~E(i) =e

(e) ~E = dN (e) ~E = e n dV ~E

Y la force de frottement cre par le rseau cristallin

G Faisons tout dabord lhypothse que cette force nest pas modifie par loprateur.G Nous avons successivement :

e

m

~v(i) =

1

e

m~v(i) = 1

~p(S ) =

1

mtot ~v =

mn dV

~v

Y la force de Lorentz cre par le rseau cristallin

G Lorsquil ny a pas de champ cr par lutilisateur, il ny a pas de courant lectrique.G Nous pouvons donc crire, en utilisant le TCI initial :

~0 = ~0 +e

(e) ~Econd(i)+~0

G Ce qui donne :e

(e) ~Econd(i) = ~0.



L quation en ~vG En rassemblant tous les rsultats prcdents, nous obtenons dabord :

mn dVd~v

dt= e n dV ~E

mn dV

~v

d~v

dt+

1

~v =

e

m~E

L quation en ~G Multiplions lquation prcdente par n e. Cela donne :

d~

dt+

1

~ =

n e2

m~E

II3ii rsolution

G Il sagit dune quation diffrentielle dordre 1 coefficients constants, dont la solution est :

~v = ~ et/ e

m~E

G est une constante dintgration qui dpend des conditions initiales, ie. du dernier choc avec un iondu rseau cristallin : cest donc une grandeur qui change extrmement souvent et qui peut donc treconsidre comme alatoire.

G Au bout de 5 la vitesse limite est atteinte.G Comme 1014 s, la vitesse limite est atteinte au bout de 1013 s, ce qui est trs infrieur au

temps caractristique de changement du champ ~EG Nous pouvons donc considrer que la vitesse limite est atteinte instantanment : cest lapproxima-tion des rgimes quasi-stationnaires.

II3iii mobilit

La mobilit dun porteur de charge est dfinie par :

~v , ~Eo ~v est la vitesse densemble du porteur considr.

G La mobilit peut tre positive ou ngative : > 0 pour des porteurs de charges positives (qui vont alors dans le sens de ~E) ; < 0 pour des porteurs de charges ngatives (qui vont alors dans le sens oppos ~E).

G Ici = e m

.

G Cette notion est essentiellement utilise en chimie pour la conductomtrie.

II3iv loi dOhm locale

G Le vecteur densit de courant se rcrit :

~ = e n~v =n e2

m~E

G Le vecteur densit de courant est proportionnel au champ lectrique, cest la loi dOhm locale.G La loi dOhm est dite locale car cette loi sapplique en un point et non pour un diple.



Pour un matriau conducteur, la loi dOhm locale scrit :

~ = ~Eo est la conductivit du matriau en S.m1.

G Nous avons toujours > 0 et ici, dans ce modle, = n e2

m.

II3v et u = R i alors ?

L retrouver u = R i pour un volume lmentaire

G Choisissons un lment de volume d ~V sous la forme dun pav de telle sorte quune paire de facessoit orthogonale ~.

dV

AB

~

d~Sdi

dUBA

d

G De ~ = ~E crivons dabord di = j dS = E S.

G Comme E = dVd

nous obtenons successivement :

di = dS

ddV =

dS

d(VB VA)

= dS

ddUBA =

dS

ddUAB

G Il sagit bien u = R i pour le petit lment de volume en convention rcepteur avec :

Pour un lement de volume de longueur d dans le sens de ~ et de section dSorthogonalement ~ la rsistance lmentaire vaut :

dR =1

d

dS

L retrouver u = R i pour un conducteur rectiligne de section constante

G Pour retrouver lexpression de la rsistance dun conducteur rectiligne de section constante, nousallons le dcouper par la pense en tranches infinitsimales de longueur d, chacune tant ensuitedcoupe en petits volumes de section dS.



BA

UAB

dU

i

G Comme lintensit lintensit totale i traversant une tranche nest autre que la somme des intensitstraversant chaque petit lment de volume (additivit du courant), nous avons successivement :

i =

di =

dS

ddU

= dU

d

dS =

S dU

d

G Utilisons ensuite ladditivit des tensions aux bornes de chaque tranche, ce qui donne :

UAB =

dU =

i d

S

=i

S

d =

i

S

G Nous obtenons bien u = R i pour un conducteur.

Pour un conducteur rectiligne de section constante S, la rsistance scrit :

R =1

So :

est la conductivit du matriau ; est la longueur totale du conducteur considr ; S est la section du conducteur.

G Nous constatons que : la rsistance est dautant plus petite que la conductivit est leve ; la rsistance est dautant plus grande que le conducteur est long ; la rsistance est inversement proportionnelle la section du conducteur.

! La section est la surface dune tranche de conducteur et pas la surface quenferme le conducteur !

II3vi bilan

L le circuit est fermG Nous avions commenc lanne sur le potentiel, nous avons ensuite parl de mcanique et maintenant

nous faisons de llectromagntisme.G Ces trois domaines sont intimement relis comme nous pouvons le voir notamment grce la notion

de potentiel : la diffrence de potentiels, ie. la tension, est une des deux notions fondamentales de llectro-cintique

le potentiel lectrostatique est un facteur multiplicatif prs lnergie potentielle des chargesmobiles du courant lectrique

le potentiel lectrostatique est une grandeur permettant de dcrire le champ lectrostatique


PCSI1, Fabert (Metz) II4 Effet Hall

L retour sur les hypothsesG Nous en avons fait deux :

le champ ne varie pas trop sur un petit volume le champ ne varie pas trop vite

G Comme le lecteur le verra en 2e anne, ces deux relations sont intimement lies car le champ lec-tromagntique est un phnomne propagatif ce qui implique que plus les variations temporelles sontrapides (ie. plus la frquence est leve) plus les variations spatiales sont petites (ie. plus la longueurdonde est petite).

II4 En prsence de champs lectrique et magntique : effet

Hall

II4i nouvelle quation dvolution de ~

L le TCIG Reprenons ltude du systme S constitu des lectrons libres contenus dans le volume dV .

dV

G Le bilan des forces est identique au cas prcdent, seule lexpression de la force de Lorentz cr parlutilisateur change :

le poids : nglig ds lors quil y a des forces de Lorentz ;e

(e) ( ~E(i)+ ~v(i) ~B(i)) : la force de Lorentz due au champ cr par loprateur ;

e

(e) ~Econd(i) : la force de Lorentz due au champ cr par les ions du rseau cristallin ;

e

m

~v(i) : la rsultante des forces de frottement exerce par le rseau sur chaque

lectron ;G Rappelons que la force de frottement nexiste pas en vrai et quil ne sagit que dun modle

rendant compte des pertes nergtiques que subissent les lectrons suite aux interactions avec lesnoyaux.

L rcriture des forcesG Nous avons, de la mme manire que prcdemment :

mtot = mn dV ;e

(e) ~E(i) = e n dV ~E ;

e

m

~v(i) =

mn dV

~v ;

e

(e) ~Econd(i) = ~0.

G Il reste exprimere

(e)~v(i) ~B(i).



G En faisant la mme approximation que prcdemment, savoir que le champ ~B(i) est uniforme surle volume lmentaire dV nous obtenons successivement :

e

(e)~v(i) ~B(i) =e

(e)~v(i) ~B = e

m

(m~v(i)

) ~B

= e

m~p(S ) ~B =

e

mmtot ~v ~B

= e n dV ~v ~B

L rassemblementG En rassemblant le tout, nous arrivons ainsi

n dV md~v

dt= e n dV ~E n e dV ~v ~B

m

~v

G Cela donne dabord

md~v

dt+m

~v = e ~E e~v ~B

G Et, en multipliant par n e

md~

dt+m

~ = n e2 ~E e~ ~B

II4ii nouveau vecteur ~ et constante de Hall

G Plaons-nous, comme prcdemment dans lapproximation des rgimes quasi-stationnaire.G Nous avons alors m d~

dt= ~0 et ainsi :

m

~ = n e2 ~E e~ ~B ~ =

n e2

m~E

e

m~ ~B

G Ce que nous allons rcrire pour pouvoir faire apparatre la conductivit

~ = (~E +RH ~ ~B

)G RH est appel la constante de Hall du matriau.G La constante de Hall qui, ici, vaut RH =

1

nepeut tre positive ou ngative :

RH > 0 correspond un matriau dont le courant est d des porteurs de charges positives ; RH < 0 correspond un matriau dont le courant est d des porteurs de charges ngatives.

II4iii solution dans un cas particulier

L une gomtrie particulireG tudions le cas dun conducteur rectiligne infini de section rectangulaire plong dans un champ ~E0

et dans un champ ~B0.



~B0

~E0 z

x

y

G Les champs ~E0 et ~B0 sont uniformes.

L vision en rgime quasi-stationnaireG Quasi-stationnaire ou stationnaire ont la mme consquence au niveau des raisonnements :

nous pouvons faire comme si toutes les grandeurs taient indpendantes du temps.

Y simplification du vecteur densit de courant

G tant donn quil y a invariance par translation suivant ~ux, le vecteur densit de courant ne dpendque de y et de z : ~ = ~(y,z).

G On suppose que le vecteur densit de courant est uniforme lintrieur du ruban2.G Dans ces condition, comme le vecteur densit de courant reprsente le mouvement des lectrons et

que ces derniers ne peuvent pas sortir du conducteur, il ne peut pas y avoir de composantes de ~ sur~uy et sur ~uz.

G Nous avons donc ~ = j ~ux.

Y effet Hall

G Reprenons lquation rgissant ~ :

~ = (~E + RH~ ~B

) ~

not

= ~1 + ~2 o :

~1 = ~E est colinaire ~ux ; ~2 = RH ~ ~B est orthogonal ~ux ;

G La prsence de ~2 est incompatible avec le fait que ~ ne doit avoir de composantes que sur ~ux : il doitdonc y avoir un champ supplmentaire ~EH, appel champ de Hall, qui permet denlever ~2.

G En fait nous avons

~E = ~Eperu = ~E0 + ~EH o ~EH = RH ~ ~B0

Y vue de dessus

G Nous voyons que le champ de Hall ~EH a tendance faire monter les lectrons (associs aucourant ~3) alors que le champ ~B0 a tendance les faire descendre (et provoquer le courant ~2).

G Le champ de Hall ne peut sexpliquer que par la prsence de charges sur les faces du conducteur.

~B0

+ + + + +

~EH ~E0

~2

~3~1

2Le lecteur trouvera la justification de cette hypothse en 2e anne lorsquil tudiera la notion d effet de peau



L vision du rgime transitoireG La situation est la suivante vue de dessus.

e

G Au dbut les lectrons, globalement immobiles, subissent une force qui tend les faire bouger versla gauche. partir de ce moment l la force en e~v ~B0 va les dvier vers le bas.

G Les lectrons qui arrivent sur la face infrieure ne peuvent plus bouger et sy accumulent, ce qui creun excs dlectrons sur la face infrieure. De mme les lectrons qui taient initialement sur la facesuprieure ne sont pas remplacs : il y a un dficit dlectrons sur la face suprieure, do la prsencede charges positives.

G Laccumulation de charges ngatives sur la face infrieure et de charges positives sur la face suprieureconduit la formation dun champ lectrique ~EH, tel un condensateur.

G Nous pouvons aussi interprter le champ de Hall de la manire suivante : les charges de mme signese repoussant, laccumulation dlectrons sur la face infrieure repousse les lectrons qui auraienttendance y venir.

G Finalement, le champ de Hall nest pas cr par les charges responsables du courant mais pardautres charges qui ne se dplacent plus, cest pourquoi nous ne les voyons pas apparatre danslquation diffrentielle rgissant lvolution de ~.

L do le nom : sonde effet HallG Reprenons la situation en rgime quasi-stationnaire.G tant donn quil rgne un champ lectrique entre les deux faces infrieure et suprieure, nous

pouvons chercher mesurer la diffrence de potentiel entre deux points face face.

b

+ + + + +

B

A y

x

G Le champ de Hall scrit, par dfinition (cf. plus haut)

~EH = RH (j ~ux B ~uz) EH,y = RH jxBzG Le champ de Hall tant un champ lectrique comme un autre nous avons

Ey = dV

dy dV = VA VB = UAB = bEy

G Ainsi, en notant a lpaisseur, nous pouvons crire

jx =I

a b UAB =

I RH Bz

a UAB =

I

n a e Bz

G Cette loi nous permet de dire qune mesure de UAB conjointement I permet : de dterminer RH connaissant Bz (tude de matriaux) ; de dterminer Bz connaissant RH (mesure de champ magntique) : cest la sonde effet Hall.

G Application numrique pour du Cuivre avec : I = 1,0 A, a = 1,0 mm et Bz = 100 mT :

UAB = 7,640729 10

9 V

G Nous constatons que les diffrences de potentiel sont extrmement faibles, ce qui implique des pr-cautions et une mthodologie toute particulire dans lacte de mesure.


PCSI1, Fabert (Metz) II5 Force de Laplace

L ctait un cas particulierG Leffet Hall (accumulation de charges provoquant un champ lectrique) nest pas systmatique mais

dpend de la gomtrie. Dans le cas dun conducteur infiniment large, comme reprsent ci-dessous,il ny a pas deffet Hall.

~B ~E

~B

~E

~

G Remarquons que dans la situation au-dessus, les lectrons ne vont plus tout droit mais endiagonale , ils traversent donc davantage de conducteur ce qui fait que, pour eux, le conducteur estplus grand.

G Et puisque la rsistance dun conducteur est proportionnelle sa longueur, dans la situation prc-dente, la rsistance a augment : cest leffet de magnto-rsistance.

G Insistons : parfois, en prsence de champ magntique, la rsistance dun matriau augmente non pas cause dun nouvel effet, dune nouvelle interaction, mais cause de laugmentation de la longueurdes lignes de courant.

II5 Force exerce par un champ ~B sur un circuit lectrique :

force de Laplace

G Le but est maintenant de dterminer la force exerce par un champ ~E et ~B sur un circuit lectriqueparcouru par un courant.

II5i bilan des forces extrieures

G tudions cette fois un lment de volume dV de conducteur parcouru par un courant de vecteurdensit volumique ~ et possdant la vitesse ~v(cond) par rapport au rfrentiel R.

d

~v|cond(e)

~v(cond)~v|labo(e)

G Dans cet lment de volume, il y a trois types de porteurs : les noyaux de densit n1, de charge q1 et immobiles dans le conducteur donc de vitesse ~v(cond)par rapport au rfrentiel R ;

les lectrons de valence de densit n2, de charge e et immobiles dans le conducteur donc devitesse ~v(cond) par rapport au rfrentiel R ;



les lectrons libres de densit n3, de charge e avec la vitesse ~v|cond par rapport au conducteurdonc de vitesse ~v|cond(e)+ ~v(cond) par rapport le rfrentiel R.

G Pour le systme contenu dans dV , les forces exerces par le champ sont :

porteur due au champ ~E due au champ ~B

noyau n1 dV q1 ~E n1 dV q1 ~v(cond) ~B

lectron de valence n2 dV (e ~E) n2 dV (e~v(cond)) ~B

lectron libre n3 dV (e ~E) n3 dV (e)(~v(cond)+ ~v|cond(e)) ~B

somme dV (n1 q1 n2 e n3 e) ~EdV (n1 q1 n2 e n3 e)~v(cond) ~B

dV n3 ~v|cond(e) ~B

G De plus la neutralit du conducteur impose

n1 q1 + (e)n2 + (e)n3 = 0 n1 q1 e n2 e n3 = 0

G Ce qui nous permet de simplifier les rsultantes

porteur due au champ ~E due au champ ~B

rsultante ~0 ~0 dV n3 ~v|cond(e) ~B

G Finalement, pour llment de conducteur dV , la force subie de la part du champ lectromagntiquescrit donc :

d~fL = dV n3 ~v(e) ~Bnot

= dV n3 ~v ~B

II5ii force de Laplace

L version volumiqueG Nous pouvons rcrire la force de Laplace laide du vecteur densit de courant ~ = n3 e~v :

La force de Laplace subie par un lment de volume dV parcouru par un courant dedensit ~ scrit :

d~fL = dV ~ ~B

L version liniqueG Nous utiliserons plus souvent la version linique, notamment parce que dans de trs nombreux cas, le

rayon du fil du conducteur est trs faible par rapport aux longueurs caractristiques du problme. Endautres termes, dans ces cas l tout comme nous lavions fait en lectromagntisme, nous considronsle conducteur comme un fil infiniment fin.

G Isolons un petit volume dV de conducteur de section dS et de longueur d.G Alors, en notant ~ = j ~T nous avons successivement :



d~ i

dS

~

d~

i

d~fL = dV ~ ~B = j dS d ~T ~B

= i d~ ~B

La force de Laplace lmentaire sexerant sur une portion de circuit de longueur dparcourue par un courant dintensit i plong dans un champ magntique ~B scrit :

d~fL = i d~ ~B o :

d~ est dans le sens de la flche reprsentant i.

II5iii utilisation avec le TCI

L dispositifG Une tige conductrice de masse m peut rouler sur des rails fixes horizontaux, eux aussi conducteurs.

Un gnrateur de courant est reli au circuit.

~BI

E

Dd~fL

i

A

C~g

y

x

G La force de Laplace sexerce sur les parties EA, AC et CD du circuit, mais comme les rails sontfixes, seul la tige va bouger.

L TCIG Considrons le systme { tige } qui subit dans le rfrentiel galilen du laboratoire :

le poids ~P vertical ; la force de Laplace ~fL ; la raction exerce par les rails ~R vertical.

G Comme le mouvement est uniquement horizontal, nous avons ~P + ~R = ~0 et le TCI en projection sur~ux donne :

mxG(t) = fL,x

L rsultante de la force de LaplaceG Pour dterminer la rsultante de la force de Laplace, nous allons dcouper par la pense la tige en

petits morceaux, dterminer la force qui sexerce sur chacun deux et sommer le tout.G Sur chaque petit morceau de la tige parcouru par un courant (donc entre A et C), la force lmentaire

de Laplace qui sexerce scrit :



d~fL = I d~ ~B = I (d ~uy) (B~uz) d~fL = +I B d ~ux

! Ici nous avons le choix pour lcrire de d~ : soit nous lcrivons d~ = d ~ux en rflchissant au signe (donc au sens de d~ par rapport ~ux) et nous sommerons des d > 0 pour la rsultante

soit nous lcrivons d~ = dy ~uy et nous sommerons des dy 0 lors de la rsultante en faisanttrs attention aux bornes dintgration

G Il ne reste plus qu sommer le tout :

~fL =

d~fL =

CA

+I Bd ~ux

= I B ~ux

CA

d = I B ~ux

L regroupementG En reportant dans le TCI nous arrivons

xG(t) =I B

m

G Il sagit dun mouvement uniformment acclr.

II5iv utilisation avec le TMC

L dispositifG Une tige de masse m, de longueur peut tourner sans frottement autour de O. Son extrmit

infrieure plonge dans du mercure reli un circuit lectrique dans lequel est plac un gnrateuridal de courant. La barre est dsquilibre : son centre de masse est aux deux-tiers de la longueur :

OG =2

3.

~B

O

~gI

G

Nd~fL

~u

~ur~uz

G Le but est de trouver q dquilibre.



L TMCG Considrons le systme { tige } dans le rfrentiel galilen du laboratoire.G Les forces qui sexercent sur le systme sont :

le poids ~P ; la force de Laplace ~fL ; la raction daxe en O qui se fait sans frottement ~R ; la pousse dArchimde exerce par le mercure (nglige).

G Comme nous ne cherchons que lquilibre, nous avons

~0 = ~MO(~P )+ ~MO(~fL)+ ~MO(~R)

G Comme la raction daxe se fait sans frottement nous avons

~MO(~R) = ~0

K Remarque : ce nest pas parce que la raction daxe passe par O que son moment est nul mais bel etbien parce que la rotation se fait sans frottement. Une raction daxe avec frottement correspond une rotation grippe .

G Nous avons par proprit du poids :

~MO(~P ) =OG ~P =

2

3 ~ur (mg cos ~ur mg sin ~u)

= 2

3mg sin ~uz

K Remarque : Il ntait pas possible ici de calculer le moment du poids de manire plus physique car nous ne connaissons pas la rpartition de masse mais seulement la position de G . . . ce qui suffit.

L moment de la force de LaplaceG Pour calculer le moment de la force de Laplace, nous allons utiliser la mme technique que pour

calculer la rsultante dans le cas prcdent : dcouper la tige en petits morceaux, dterminer pourchacun le moment de la force de Laplace et sommer le tout.

G Pour un petit morceau autour du point N , nous avons d ~MO(~fL) =ON d~fL. Or

d~fL = I d~ ~B = I dr~ur (B ~uz) d~fL = BIdr~u

G Et ainsi

d ~MO(~fL) = r ~ur B I dr ~u = B I r dr ~uz

G Il ne reste plus qu sommer

~MO(~fL) =

d ~MO(~fL) =

0

B I r dr ~uz

= B I ~uz

0

r dr =B I 2

2~uz



L regroupementG Nous avons donc, lquilibre :

2

3mg sin q ~uz +

B I 2

2~uz = ~0 sin q =

3B I

4mg

K Remarque : pour appliquer le TMC en version dynamique, il aurait fallu calculer le moment cintiquede la barre et, pour cela, nous aurions utilis la mme technique que pour calculer le moment de laforce de Laplace savoir dcouper la tige en petits morceaux, dterminer pour chaque petit morceaule moment cintique et sommer le tout. Notons que pour cela il aurait fallu connatre prcisment larpartition de masse.

L recherche du point dapplicationG Le point dapplication C de la force de Laplace est dfini par (avec ~fL est la rsultante des forces

de Laplace) :

~MO(~fL) =OC ~fL

G Dterminons ~fL de la mme manire que prcedemment, en sommant des forces lmentaires.

~fL =

d~fL =

0

B I dr ~u calcul fait ci-dessus

= B I ~u

0

dr = B I ~u

G Cherchons un point C sur la tige, ie. OC sous la force OC = c ~ur, ce qui donne :

c ~ur B I ~u =B I 2

2~uz c =

2

G Et donc nous pouvons voir que le point dapplication nest pas confondu avec le centre de masse.

Le centre de masse nest pas le point qui subit toutes les forces.


PCSI1, Fabert (Metz) Mcanique n7 2010 2011


champ ( ~E, ~B)

Au niveau du cours

L Les dfinitionsG Sont savoir :

courant lectrique, vecteur densit de courant lectrique intensit, mobilit le modle de Drde dun conducteur ohmique

L Les grandeursG Savoir vrifier lhomognit dune force de Lorentz, Coulomb ou Laplace.

L Les loisG Connatre :

les forces de Lorentz et de Coulomb ainsi que les nergie associes la loi dOhm locale, lexpression de la rsistance dun conducteur la force de Laplace

L la phnomnologieG Connatre :

leffet dun champ ~E uniforme et constant sur une particule leffet dun champ ~B uniforme et constant sur une particule linterprtation des diffrentes forces qui agissent sur les lectrons dans le modle de Drde la mthode pour retrouver le sens et la direction des forces de Laplace linterprtation de leffet Hall au niveau microscopique

L les exemples fondamentauxG Savoir :

retrouver la trajectoire dune particule charge dans un champ ~E uniforme et constant retrouver la trajectoire dune particule charge dans un champ ~B uniforme et constant retrouver la force qui sexerce sur le rail de Laplace

Au niveau de lanalyse

L Analyse physiqueG Savoir :

dterminer a priori si le mouvement dune particule dans un champ ~E et / ou ~B est plan ounon

dterimner a priori sens et direction de la force de Laplace

Matthieu Rigaut Fiche de rvision


Au niveau des savoir-faire

L outils mathmatiquesG Connatre :

lexpression particulire dune parabole dans le cas dune interaction rpulsive. la mthode de changement de fonction complexe inconnue

L petits gestesG Il faut savoir :

calculer la rsultante des forces de Laplace partir dun dcoupage du conducteur calculer le moment des forces de Laplace partir dun dcoupage du conducteur

L exercices classiquesG Savoir :

refaire lexemple du slecteur de vitesse refaire lexemple du cyclotron



Table des matiresI Force subie par une charge 1

I1 La force lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I1i expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

version force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1version force de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1force magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I1ii ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2version Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2version Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I1iii vision nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3version Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4version Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I2 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I2i mouvement dans un champ ~E uniforme et constant . . . . . . . . . . . . . . 4

prsentation, analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4quation dvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I2ii mouvement dans un champ ~B uniforme et constant . . . . . . . . . . . . . . 6prsentation, analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6quations dvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I2iii application au cyclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9prsentation du dispositif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10caractristiques globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11intrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12retour sur les approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I3 Slecteur de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I3i dispositif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

prsentation, analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I3ii quations horaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

quations dvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

I3iii trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14interprtation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

I4 Exprience de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15I4i dispositif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

exprience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15modlisation, analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16interlude mathmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

I4ii angle de dviation dune particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17plan de bataille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17criture gnrale avec le formalisme de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . 17expression de D en fonction des constantes dintgration . . . . . . . . . . . . 17dtermination des constantes dintgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

I4iii dviation dun faisceau de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19



en ralit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. . . le travail nest pas termin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II tude du courant lectrique 20II1 Description du courant lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II1i kesako ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20II1ii vecteur densit de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20II1iii lien avec lintensit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

cas particulier trs frquent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20gnralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II1iv retrouver lexpression du champ magntique cr par une charge . . . . . . . 21II2 Courant dans un conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

II2i des lectrons libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22II2ii . . . deux vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

vitesse de drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22vitesse particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II2iii modle de Drde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23II3 Loi dOhm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II3i quation dvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23premire approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23rcriture du TCI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24quation en ~v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25quation en ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II3ii rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25II3iii mobilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25II3iv loi dOhm locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25II3v et u = R i alors ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

retrouver u = R i pour un volume lmentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 26retrouver u = R i pour un conducteur rectiligne de section constante . . . . . 26

II3vi bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27le circuit est ferm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27retour sur les hypothses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

II4 Effet Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II4i nouvelle quation dvolution de ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

le TCI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28rcriture des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28rassemblement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

II4ii nouveau vecteur ~ et constante de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29II4iii solution dans un cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

une gomtrie particulire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29vision en rgime quasi-stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30vision du rgime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31do le nom : sonde effet Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31ctait un cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

II5 Force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32II5i bilan des forces extrieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32II5ii force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

version volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33version linique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33



II5iii utilisation avec le TCI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34dispositif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34TCI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34rsultante de la force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34regroupement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

II5iv utilisation avec le TMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35dispositif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35TMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36moment de la force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36regroupement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37recherche du point dapplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


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