Cours MathFi2011 2012

COURS DE

MATHEMATIQUES

FINANCIERES

Joseph ATTILA

[email protected]

UNIVERSITE D’ARTOIS

UFR EGASS

Année universitaire 2011-2012

1

Joseph ATTILA, Maître de Conférences,

Université d’Artois

mailto:[email protected]



CONTENU DU COURS-

LICENCE 1 OBJECTIFS: ◦ Initiation aux techniques et notions de base de

mathématiques financières.

◦ Acquisition des différentes notions d’intérêts (simples et composés), de taux et d’annuités et savoir les calculer.

◦ Notion d’emprunts indivis.

◦ Enfin, maitrise des différentes techniques de choix d’investissements.

2



METHODE DE TRAVAIL

A – DURANT LE COURS, ET APRES… • Les notes de cours

• Principe : vous ne pouvez pas retenir du cours plus

que ce que vous avez écrit, surtout en mathématiques financières.

• Après le cours:

• Repérer le contenu du cours

• Assimiler n’est pas apprendre par cœur

• Faire des exercices

3



B-TRAVAUX DIRIGES • TD assuré par M. BENDAOUD

• Préparer les travaux dirigés (TD)

• Présence obligatoire

CONTRÔLE CONTINU ◦ 2 CC dont 1 en Octobre et l’autre en

Novembre

◦ Durée 2heures

C- EXAMEN TERMINAL ◦ Durée 1heure


Université d’Artois 4

Le Programme

(Rappels mathématiques)

Chapitre 1- Intérêts simples

Chapitre 2- Intérêts composés

Chapitre 3- Les emprunts indivis

Chapitre 4- Choix des investissements et mode de financement

5



Bibliographie (liste non exhaustive)

[1] Marie Boissonnade et Daniel Fredon (2006) Mathématiques financières, Dunod, 3è Edition.

[2] Didier Schlacther (2007) Comprendre les mathématiques financières, Hachette Supérieur, 3è Edition.

[3] Marguerite Massal (2004) Mathématiques financières : Questions et exercices corrigés, Economica.

[4] Jean-Charles Bagneris, Philippe Givry, Jacques Teulié et Patrick Topsacalian (2010) Introduction à la finance d’entreprise, Vuibert, 2ème Edition.

[5] Francis Paillet (2009) « Outils de gestion: BTS et enseignement supérieur », Edition 2009, FontainePicard

Pour un bon déroulement du cours

Respect mutuel

Un minimum de silence

◦ Bavardage

◦ Les Téléphones doivent être éteints ou mis

hors ligne

7



Rappels mathématiques

Section 1- Puissances

1.1- Puissances entières

1.2- Racines n-ième

Section 2- Fonctions logarithme

2.1- Logarithme népérien

2.2-Exponentielle

Section 3- Suites

3.1- Suites arithmétiques

3.2- Suites géométriques

Section 4- Applications

8



Ouvrages spécifiques à consulter

Pupion Georges et Poulalion Gabriel

(2004), les mathématiques de l’économiste,

Vuibert

Esch Louis (2006) mathématiques pour

économistes et gestionnaires, de Boeck

Université.

Pour les SEG, cf. Cours de M. Dupuis

9



Section 1- Puissances

Puissances entières

◦ Propriétés

facteurs

...n

n

a a a a

1 0

3

6

1; 1 (pour 0); (pour 0)

Ex: 2 2 2 2 8

10 10 10 10 10 10 10 1000 000

n

na a a a a a

a

3 4 7 15 15 15 15

; ( ) ; ( )

Ex: 2 2 2 ; 5 2 (5 2) 10

n p n p n n n n p npa a a a b ab a a

10



Racines n-ième

Soient n Є IN et x un réel positif. Racine

n-ième de x= unique réel positif a tel que

:

On écrit:

Cas particulier:

na x1nna x x

1132 3; x x x x

1

Pour tout 0, , *, p

q q

p

x p q x x

11



Section 2- Fonctions logarithme

2.1- Logarithme népérien

• Notation

• Fonction croissante, d’où:

ln pour tout 0x x x

ln ln

ln ln

a b a b

a b a b

x

lnx

1

12



• Propriétés

Exemple:

ln1 0

Pour 0 0, ln( ) ln ln ; ln ln ln

ln( ) ln pour tout rationnelr

aa et b ab a b a b

b

a r a r

Déterminez n tel que 1.06 1.5n

1.06 1.5 ln 1.06 ln(1.5)

ln(1.06) ln(1.5)

ln(1.5) 7

ln(1.06)

n n

n

n

Astuce: A chaque fois que

l’inconnue est en exposant,

pensez à prendre le

logarithme

13



2.2- Fonction exponentielle

• Notation:

• Relation Ln et exp

•

•

• Propriétés

•

•

, d fini pour toutxx e é

ln( ) pour tout xe x x

ln pour tout 0xe x x

; a

a b a b a b

b

ee e e e

e

pour rationnelr

a rae e r

14



Section 3- Suites

• Deux grandes familles de suites: • Suites arithmétiques

• Suites géométriques

• 3.1- Suites arithmétiques • Une suite (un) est dite arithmétique s’il existe un

réel r tel que:

• Le réel r est appelé raison de la suite

1Pour tout n n nu u r

15



• Pour montrer qu’une suite (un) est arithmétique, il suffit de vérifier que:

est constant.

• Terme général

Soit une suite arithmétique (un) de raison r, et de premier terme u0

Ou encore en partant du deuxième terme u1 :

1n nu u

0Pour tout n , on a nu u nr

1 ( 1)nu u n r Formule générale

, ( )n kPour k n u u n k r

16



• Somme des n premiers termes:

0 10 1 1...

2

nn

u uu u u n

1 2 1

:

' :

... 12

k nk k k n n

Formule générale

A partir de n importe quel terme de rang k tel que k n

u uu u u u u n k

17



Suites géométriques

• On dit qu’une suite (un) est une suite

géométrique s’il existe un réel q≠0 tel

que:

• Pour montrer qu’une suite est une suite

géométrique, il suffit de vérifier que

est constant

1Pour tout n n nu u q

1n

n

u

u

18



Terme général

Somme des n premiers termes

0

1

1

1

Pour tout n , on a

en partant du 2ème terme :

n

n

n

n

u u q

ou v

v v q

Formule générale

Pour , n k

n kk n v v q

0 1 1 0

1 1, ...

1

n

n

qSi q v v v v

q

1

1

Formule générale

1 partir de v ( ) : ....

1

n k

k k k n k

qA k n v v v v

q

19



4-

Applications

20



C:/Documents and Settings/Joseph/Bureau/Ancien_pc/UnivArtois/Math Fin/Applications_Rappels.pdf

Chapitre 1- Intérêts simples

Notion de taux d’intérêt fondamentale: ◦ Pour les particuliers

◦ Les professionnels de la finance

◦ Les banquiers

Exemples: ◦ Prêts immobiliers

◦ Achat d’un PC portable (Cetelem, centres commerciaux…)

Objectif du chapitre

◦ Maîtrises les principes fondamentaux relatifs au taux d’intérêt simple et à intérêt

21



1- Définitions

Intérêt= loyer ou rémunération de l’argent prêté.

Somme d’argent convenue à l’avance qui est versé par l’emprunteur au prêteur à des échéances déterminées sur la durée de l’opération concernée.

Argent prêté= capital ou placement ou encore principal

22



2- Principes de calcul des intérêts simples

Intérêts simples=> prêts ou placement à

court terme

Calculés sur la somme restant due en

début de période: c’est le capital restant

dû

Intérêts simples: les intérêts ne

produisent pas d’intérêts

23



Calcul de l’intérêt

Soit I l’intérêt à verser sur la période

i le taux d’intérêt d’une période

C0 le capital initial ou restant dû

La formule de l’intérêt simple sur n

périodes (années) s’écrit:

0I C n i

24



Nota Bene

la durée du prêt (ou placement) peut être exprimée en années, en mois ou en jours.

Taux d’intérêt s'exprime en % (pourcentage) et indique la somme d'argent rapportée par 100 euros en une période déterminée (généralement une année)

I est une fonction linéaire de Co, de i et de n.

Cohérence entre la durée et le taux d’intérêt : un taux mensuel doit correspondre à une durée en mois, un taux annuel à une durée en année.

Taux d’intérêt est un terme générique: plusieurs dénominations suivant opérations

25



Exemples 1) Une épargne de 4 000€ placé sur un

livret d’ épargne rémunéré au taux de

3% par an aura produit par an:

2) Si la même somme est placé pendant 6

mois au même taux d’intérêt annuel de

3%; elle rapportera:

0,03

4000 60 €2

I

4000 0,03 120 €I

26



Valeur future, capitalisation

A l’échéance, récupération de la somme

placée+intérêts.

Valeur acquise= capital investi+Intérêt

Sur une période de n années:

Exemple: valeur acquise par une somme

de 4 000€ à 3% sur un an=

0 0 0 0 1nC C I C i n C C in

1 4000€ 120€ 4120€C

27



Capitaliser c’est le fait d’ajouter les

intérêts produits à l’issue d’une période

au capital initial

Rappelons que dans la méthode des

intérêts simples, les intérêts ne sont

jamais capitalisés. Pas d’intérêt sur

l’intérêt.

28



Valeur actuelle, actualisation

Valeur actuelle= somme d’argent qu’il faut placer aujourd’hui (« actuellement ») pour disposer d’une certaine somme dans le futur.

Actualiser, c’est calculer la valeur actuelle d’une somme quelconque à verser ou à percevoir dans le futur.

Ce calcul se déduit de la valeur acquise (valeur future) en y retirant tous les intérêts que la valeur actuelle aura produits.

De la formule de la valeur future, on peut déduire la valeur actuelle de la façon suivante :

01

nCC

in

29



Reprenons l’exemple précédent:

◦ La valeur actuelle des 4120 euros disponibles

dans un an, sachant que le taux d’intérêt est

de 3%, est égale à 4000 euros.

30



Variations sur la formule de l’intérêt simple

Dans , il y a 4 variables

On peut en déduire 1 si 3 sont connues

0I C i n

A partir de la formule de base

(1.2)

A partir de la formule

d’actualisation (1.3)

Co, I et n sont connus

0

1Ii

C n

0

11nC

iC n

i, Co et I sont connus

0

1In

i C

0

11nC

nC i

i, n et I 0

1IC

i n

01

nCC

in

31



Exemple:

a) Trouver le taux d’intérêt sur un capital de 700 euros placé pendant 4 ans qui a rapporté un intérêt de 140 euros.

b) Combien de temps faut placer un capital de montant x au taux d’intérêt y% pour gagner un intérêt de 1 euro ?

c) Quel sera la durée du placement si :

- le taux d’intérêt est de 1% ? .

- si le capital initial est de 50 euros ?

32



Autres variations possibles

Si i exprimé en % points =>

Exemple: placement de 10 000€ au taux

de 5% sur 2 ans



; i sur une base annuelle et n en années100

CinI

10000 2 10005

0,051

00

10

2 000I I

Précédemment:

◦ Cohérence entre la durée et le taux

d’intérêt :

◦ => si taux sur une base annuelle et durée en

mois:

◦ =>si taux sur une base annuelle et durée en

jours :



i en % p en mt oiss

1 12200 100durée

i nC i nI I C

i en % pt en js ours

36 360000 1 00durée

C i nI I C

ni

Exemple: Quel est l’intérêt produit par un

capital de 10 000€ placé au taux 5% l’an:

◦ Pendant 6 mois?

◦ Pendant 20 jours?

Pendant 6 mois l’intérêt produit est de:

Pendant 20 jours l’intérêt produit est de



10000 5 6250

1200I

10000 5 2027.78

36000I

Autre exemple:

Calculer les intérêts produits et la valeur

acquise par un capital de 230 000€ placé

pendant 7 mois au taux mensuel de 1,2%.



230000 7 1,2230000 0.07 1,2 19 320

100I

Aucune

conversion

nécessaire!!!!

Méthode des nombres et des diviseurs

Facilite un calcul rapide des intérêts

simples sur plusieurs capitaux placés au

même taux.

Met en jeux des sommes variées prêtées

ou placées pour des durées différentes à

un même taux

Sert notamment dans le calcul des

découverts bancaires

37



Principe

Soit I l’intérêt sur un capital C placé au taux

d’intérêt (%) sur n périodes (jours).

En divisant le numérateur et le

dénominateur par i, on a :

Posons

360

C i nI

360 360360

Cini

i i

Cin CnI

360D=Diviseur fixe

On obtient: N

IiD

Cn N Nombre

38



Plusieurs capitaux: intérêt= somme des

nombres S divisée par le Diviseur:

Exemple: Sur un compte privé, on peut lire le

tableau suivant récapitulatif de la situation de

trois capitaux placés au même taux de 12%.

1 2

360 360

... n

i i

N N NSI

Capitaux en euros Nombre

de jours

Capital C1 12000 15

Capital C2 20000 60

Capital C3 36000 80

Somme

39



Le diviseur fixe D est :

L’intérêt :

Capitaux en euros Nombre

de jours

N

Capital C1 12000 15 12000*15 180000

Capital C2 20000 60 20000*60 1200000

Capital C3 36000 80 30000*80 2880000

Somme 1380000

3603000

0,12D

1 380 000460

3000I

40



Intérêts précomptés, intérêts postcomptés

On parle d’intérêt précompté lorsque le préteur prélève (et donc calcule) l’intérêt au moment de la transaction ou au début de chaque période.

Montant nominal de l’opération versé en fin de période par l’emprunteur au préteur, et couvre le montant réellement mis à disposition au début de celle-ci, plus le montant des intérêts.

41



Les flux d’une opération d’intérêt précompté se décomposent comme suit :

En début de période, versement d’une somme égale au montant nominal de l’opération diminuée de la valeur des intérêts.

Intérêts calculés suivant la formule des intérêts simples, en utilisant le montant nominal comme capital restant dû.

En fin de période, l’emprunteur reverse au préteur le montant nominal de l’opération.

On passe de la valeur actuelle C(1-in) à la valeur acquise C. On a donc multiplié par

0 (début de

l’opération)

n (fin

l’opération)

C(1-in) C

1

1 in

42



L’intérêt est postcompté lorsqu’il est versé à l’issue du placement : c’est le cas classique. C’est le taux d’intérêt effectif par convention

On passe de la valeur actuelle C à la valeur acquise C(1+in). On a donc multiplié par 1+in.

0 (début de

l’opération)

n (fin

l’opération)

C C(1+in)

43



Pour une opération de n périodes au taux

précompté (e) , on peut calculer le taux

d’intérêt effectif (postcompté)

correspondant (i) à l’aide de la relation

suivante :

1 1

e ii e

e n i n

44



3- Escompte

Définition

◦ Escompte= intérêt retenu par une banque

lors de la transformation d’une créance, par

exemple une traite, en moyen de paiement.

◦ Escompte E =valeur nominale C de la créance

à l’échéance – sa valeur actuelle V au moment

de sa présentation:

◦ Taux facial de l’escompte= escompte pour 1€

et pour 1 an.

E C V

45



Escompte commercial, escompte rationnel

Soit e le taux d’escompte et n la durée

(exprimée en années) entre la

présentation et l’échéance d’une créance.

◦ L’Escompte est dit commercial, ou en dehors,

s’il est calculé sur la valeur C.

soit

◦ Escompte commercial intérêt simple

précompté

◦ Taux effectif=

CE Cen

1

ei

e n

46



On dit que l’escompte est rationnel, ou

en dedans, s’il est calculé sur la valeur V.

◦ Soit

◦ Escompte rationnel intérêt simple

postcompté.

◦ Taux effectif =e

avec V=C-E , d'où E1

r r r

CenE Ven

en

47



Pratique de l’escompte

En général: pratique de l’escompte commercial: i.e. escompte précompté

Ajout de diverses commissions et taxes

Escompte+commissions=Agio

Calcul de la durée: ◦ Nombre exact de jour: premier jour compté, le dernier

jour non compté

◦ Ajout des jours de valeur (délais de paiement)

◦ Nombre de jours ramené à l’année (année 360 jours), parfois 365 ou 366 (année réelle) suivant contrats

48



Exemple:

Une entreprise remet à sa banque un

effet de commerce d’un montant de 4000

euros. La durée de cette opération

d’escompte est de 35 jours et le taux

d’intérêt précompté par la banque est de

7,75%.

49



Calcul automatique du nombre de jours

entre deux dates

Pour chaque date, on note J le jour, M le mois, A l’année.

A cette date, on associe le nombre D de jour depuis

une origine choisie.

Le nombre de jours entre deux dates 1 et 2 est alors

D2-D1.

Le nombre D peut s’obtenir par les formules suivantes:

2

1 1 1365( -1) 31 1

4 100 400

2

365( -1) 31 1 0,4 2,24 100 400

( ) , . . '

Si M

A A AD A E E E M J

Si M

A A AD A E E E M J E M

E x désigne la partie entière de x i e l entier immédiatement

x51



Equivalence à intérêts simples

Deux effets commerciaux sont

équivalents à une date donnée, pour un

taux d’intérêt donné, s’ils ont la même

valeur actuelle à cette date.

La date en question est dite date

d’équivalence des deux effets.

52



Exemple:

Une entreprise doit régler 100 000€ à

l’échéance du 30 juin. Le 20 Avril, elle

demande de reporter l’échéance au 30

juillet.

Avec un taux d’escompte commercial au

taux nominal de 8%, quel est le montant

du nouvel effet qui remplacera le

premier ?

53



Solution : Au 20 Avril, les deux traites doivent avoir la même valeur actuelle. Il s’agit donc de

déterminer le montant X payable le 30 juillet qui est équivalent au 20 avril à la première

traite.

Au 30 juin, la valeur acquise de la première traite est de 100 000€. Le passage de la valeur

acquise à la valeur actuelle (retour dans le temps) se fait en multipliant par (1-in).

Au 20 Avril, la valeur de la première traite est : 71

100000 1 0,08360

La valeur de la nouvelle traite est : 101

1 0,08360

X

. L’équivalence implique que les deux

valeurs sont égales :

71 101100000 1 0,08 1 0,08

360 360

100682€

X

X

71 jours

20 Avril 30 juin 30 juillet

101 jours

54



Exemple : Recherche d’une date

d’équivalence

A quelle date un effet de valeur nominale

220 000€ à échéance du 10 octobre est-il

équivalent à un effet de valeur nominale

221 818€ à échéance du 1er décembre ?

Taux d’escompte commercial égal à

5,75%.





L’équation d’équivalence des deux effets à une date située J jours avant le 10 octobre s’écrit :

Valeur actuelle effet 1 = valeur actuelle effet 2

( 51)220000 220000 0,0575 221818 221818 0,0575

360 360

( 51)221818 0,0575 220000 0,0575 221818 220000

360 360

3

J J

J J

5,429 51 35,139 1818 38,3 39J J J jours

Les deux effets seront équivalents à la date du 2 septembre.

J jours

J+51 jours

Date d’équivalence 10/10 1/12

220 000 221 818

Equivalence de plusieurs effets



Chapitre 2- Intérêts composés

1- Définitions • Soit un capital placé sur périodes (années, mois

ou jours).

• On dit que ce capital est placé à intérêts composés lorsque, à la fin de chaque période, l’intérêt acquis est ajouté au capital pour former un nouveau capital qui produira lui-même des intérêts.

• Cet intérêt est payé à terme échu, c’est-à-dire qu’il est postcompté.

• En général, on utilise les intérêts composés dès que la durée du placement considérée dépasse un an.

58



Exemple : Soit un capital de 12000 euros

placé au taux de 4% sur un compte

d’épargne pendant 3 ans.

Au bout des 3 ans la valeur acquise des

12000 euros est de 13498,37 et l’intérêt

produit de 1498,37 euros.

Période Capital placé au

début

de la période

Intérêts

Produits

Valeur acquise

1 12000 480 12480

2 12480 499,20 12979,20

3 12979,20 519,17 13498,37

59



2- Formule fondamentale de calcul

2.1- Formule de base:

• Soit:

• On a:

2.2- Actualisation, Capitalisation

• L’actualisation est l’opération qui consiste à déterminer la valeur d’un capital à la date d’aujourd’hui qui sera disponible dans périodes.

• La valeur actuelle d’un capital placé sur périodes est le capital qu’il faut placer à la date 0 pour obtenir à la date .

• A intérêts composés, cette valeur est :

0

0

(en €) le capital placé la date 0,

le nombre de périodes

le taux d'interet pour 1€ correspondant à la période retenue

la valeur acquise par le capital au bout de périodesn

C

n

i

C C n

0 1n

nC C i

1n

C i

60



La capitalisation est l’opération qui

consiste à déterminer la valeur acquise

par un capital au bout d’un certain

nombre d’années (voir formule des

intérêts composés).

Actualisation Capitalisation

Période 0 Période n

61



Applications diverses

Exemple 1: On place 5000€ pour 5 ans au taux annuel de 4,5%. De combien disposera t-on au terme du placement?

Exemple 2: Quelle somme doit-on placer aujourd’hui, au taux annuel de 5%, pour disposer de 10 000€ dans 4 ans.

Exemple 3: On place aujourd’hui 5000€, dans 3 ans, on dispose de 5921,44€. Quel est le taux du placement?

Exemple 4: On place aujourd’hui 4000€ au taux annuel de 5,2% et, au terme du placement on disposera de 6000 €. Quelle est la durée du placement?

Source: Boissonnade et Fredon, p.30

62



3- Notion de capitaux équivalents à

intérêts composés

Deux capitaux de valeurs nominales et

d’échéances différentes sont équivalents à intérêts composés à une date déterminée (date d’équivalence), pour un taux d’actualisation donnée, s’ils ont la même la somme des valeurs acquises actualisées à cette date.

Théorème : A intérêts composés, si l’équivalence au taux a lieu à une date donnée, elle a lieu à n’importe date.

63



4- Différentes notions de taux

d’intérêt

4.1- Taux annuel moyen

• Dans le calcul des intérêts composés, on fait l’hypothèse que le taux d’intérêt est constant sur toute la période considérée.

• Comment exprimer en fonction de si le taux n’est pas constant ?

• Supposons que le taux annuel soit à i1 pendant n années, puis i2 pendant n2 années, …, ip pendant np années. On alors et

• On sait qu’à taux constant:

n C 0C

1 2 ... pn n n n 1 2

0 1 21 1 ... 1pnn n

n pC C i i i

nn

p

nnn

npiiiiiCC

1

210 1...1111 21

64



4.2- Taux proportionnels, taux

équivalents Soit i un taux annuel. Divisons l’année en k périodes égales (k≥2)

Taux par période proportionnel à i =

Taux par période équivalent à i est le taux ik tel que:

On peut aussi dire que deux taux correspondant à des périodes différentes sont :

o proportionnels s’ils sont proportionnels aux durées des périodes

o équivalents lorsque, à intérêts composés à la fin de chacune des périodes considérées, ils conduisent à la même valeur acquise en fin d’année.

k

i

Taux proportionnels correspondants

Taux semestriel Taux trimestriel Taux mensuel

Taux annuel (ta) ts = ta /2 tt = ta /4 tm = ta /12

Taux annuel de 4% 4%/2=2% 4%/4=1% 4%/12=0,33%

11111 kk

k

k iii

65



4.3- Solution rationnelle, solution

commerciale

Comment procéder lorsque les périodes ne

sont pas des nombres entiers ? • Si le nombre de périodes n est fractionnaire, on

le décomposer en une partie entière et l’autre rationnel:

• Deux solutions possibles: Solution dite rationnelle : on utilise la formule des intérêts

composés pour la partie entière, et pour la partie rationnelle, on calcule des intérêts simples à partir du capital ainsi obtenu:

Solution dite commerciale consiste à étendre n fractionnaire, la formule des intérêts composés.

iiCCn

n 11 1

0

1 1

0 01 1 1n n

nC C i C i i

1)(0 rationnel et entier avec 1 nnn

66

Exemple : Quelle est la valeur acquise par

un capital de 1000€ placé pendant 5 ans

et 4 mois au taux annuel de 5,5%. Utiliser

respectivement la solution rationnelle et

la solution commerciale.

Solution

On a 0

41000€, 5 ; ?

12nC n C

Solution rationnelle : 5

412

1000 1,055 1 0,055* 1330,92nC

Solution commerciale : 4

125

1000 1,055 1330,49nC

67



5-Les annuités

5.1- Définitions

◦ On appelle annuités une suite de versements

effectués à intervalles de temps égaux

◦ Intervalle de temps séparant deux versements

consécutifs=période (années, semestre, mois,

jours).

◦ Le montant de chaque versement est le terme

de l’annuité

68



Plusieurs sortes d’annuités suivant

objectifs et termes du contrat

◦ Selon objectif=> placements ou prêts

◦ Selon nombres de termes=>

Certaines (nombre fixé à l’avance)

Aléatoires (nombre non connu): cas de rente

viagère

Temporaires (nombre fini)

Ou perpétuelles (nombre infini)

69



◦ Selon le montant des termes: Annuités constantes (termes tous égaux)

Ou annuités variables

◦ Selon le début des termes:

Annuités de fin de période ( ou à terme échu)

Date origine précède d’une période la date du 1er versement, effectué à la fin de la 1ère période

Annuités de début de période ( ou à terme à échoir)

Date origine coïncide avec la date du 1er versement, effectué au début de la première période

Annuités différées ou anticipées

Date origine est décalée dans le temps ou en remontant dans le temps

70



Valeur actuelle d’une suite

d’annuités=somme des valeurs actuelles

de chaque versement

Valeur acquise d’une suite d’annuités=

somme des valeurs acquises de chaque

versement

Capitalisation en fin de chaque période

71



5.1- Annuités constantes

Notons:

On cherche la valeur actuelle V0 et la valeur acquise Vn à la date n de l’ensemble des annuités.

On sait que:

le montant (constant) d'un terme;

le nombre de termes

le taux d'interet par période

a

n

i

0 1n

nV V i

72



Annuités de fin de période

0 1 2 n

a a a …

1 2

0

a valeur acquise en période n est:

1 1 ... 1

1 1;

1 1' :

n

n

n

n

L

Vn a i a i a i

iV a

i

iD où V a

i

73



Annuités de début de période

0 1 2 n

a a a …

0

1 11 ;

1 11

n

n

n

iV a i

i

iV a i

i

n-1

74



Exemple

On verse tous les ans du 31-12-2004 au

31-12-2013 inclus, la somme de 3000€

sur un compte rémunéré au taux de 4,9%.

De quelle somme disposera-t-on:

10 ans après le premier versement ?



75



Choisissons comme date origine le 31-12-2004. Le premier versement a lieu à la date 0 et le

dernier à la date 9. Soit nV la valeur acquise à la date n par les versements effectués.

Le diagramme des flux est :

10V est la valeur acquise par 10 annuités de début de période :

10

10

1,049 13000(1,049) 39398,36

0,049V

11V est la valeur acquise un an plus tard

11 10 *1,049 41328,88V V

15V est la valeur acquise par 10V 5 ans plus tard

5

15 10 * 1,049 50044,42V V

3000

0

3000

0 1

3000

a

10 9

76



5.2-Annuités en progression

géométrique

Supposons qu’à chaque période, les

annuités augmentent de x%

Il s’agit alors d’annuités en

progression géométrique de raison

1q x

77



Notons


On a toujours:

1 la valeur du premier terme;

la raison de la suite géométrique

le nombre de termes

le taux d'intérêt par période

a

q

n

i

0 1n

nV V i

78




0 1 2 n

a1 a 1q a1qn-1 …

11 0

1 11 0

1 1Si 1 on a ;

1 11

Si 1 on a 1 ; 1

n nn n

n n

n

n

i q i qaq i V a V

i q i qi

naq i V na i V

i

79




0 1 2 n

a1 a 1q a1qn-1 …

n-1

11 0 1

1 0 1

1 1Si 1 on a 1 ;

1 11

Si 1 on a 1 ;

n nn n

n n

n

n

i q i qaq i V a i V

i q i qi

q i V na i V na

80



Exemple:

On considère une suite de 8 annuités versé à

terme échu, et progressant de 3% tous les

ans. Sachant qu’au taux d’actualisation de

5,4%, leur valeur actuelle est 12 000€,

déterminer le premier terme d’annuités.

81



Nous connaissons les éléments suivants:

Nous savons également qu’il s’agit

d’annuités de fin de période :

08, 1 0,03; 0,054; 12 000€n q i V

10

8 8

1

8

1

1

11

1,054 (1,03)12000=

1,054 1,031,054

1711,35€

n n

n

i qaV

i qi

a

a

82



5.3-Annuités en progression

arithmétique

Notons


On a toujours:

1 la valeur du premier terme;

la raison de la suite arithmétique

le nombre de termes

le taux d'intérêt par période

a

r

n

i

0 1n

nV V n

83




0 1 2 n

a1 a 1+r … a 1+2r

3

1

0 1

1 1;

1 1

n

n

n

ir nrV a

i i i

ir nrV a nr

i i i

a1+(n-1)r

84




0 1 2 n

a1 a 1+r a1+(n-1)r … a 1+2r

n-1

1

0 1

1 11 ;

1 11

n

n

n

ir nrV i a

i i i

ir nrV i a nr

i i i

85



Application 1

Déterminer le premier terme d’une suite

de 15 annuités versées à terme échu,

formant une suite arithmétique de raison

500€, sachant qu’au taux d’actualisation

de 8,9% leur valeur actuelle est de

150 000€.

86



Nous connaissons les éléments suivants :

015, r=500 0,089; 150 000.n i V .

Nous savons également qu’il s’agit d’annuités

de fin de période :

0 1

15

1

1

1 1

soit:

1 1,089500 15 500150 000= 15 500

0,089 0,089 0,089

15773,90

nir nr

V a nri i i

a

a

87



Application 2

Quelle somme doit placer Mme Béthencourt, tous les ans, du 31 décembre 2004 au 31 Décembre 2009 inclus, pour disposer de 30 000 € le 1er Janvier 2011 ? Le taux de placement est de 4,40% par an et l’intérêt est composé annuellement.

De quelle somme disposera réellement Mme Béthencourt le 1er Janvier 2011, si un prélèvement fiscal et social de 27% sur les intérêts a lieu à la fin du contrat ?

88



Notons C la somme que doit placer Mme Béthencourt tous les ans. Prenons le 31-1é-2004

comme date origine. Le diagramme des flux financiers se présente alors comme suit :

30 000€ est la valeur acquise par 6 annuités constantes de début de période. Ainsi donc C

vérifie :

6

1,044 11,044 30 000 4288,89

0,044C C

Le montant des intérêts est égal à la valeur acquise diminuée de la somme versée, soit :

30000 6 4288,89 4266,66I

Le montant des prélèvements est donc égal à : 0,27*4266,66 1152,00 .

La somme dont disposera réellement Mme Béthencourt sera égale à la valeur acquise

diminuée des prélèvements, c’est-a-dire :

30000 1152 28848

0 1 5 6

30 000

C C C

89



Conclusion du chapitre

Indispensable de connaître les différentes notions abordées dans ce chapitre:

Date origine



Annuités en progression constantes

Annuités en progression géométrique

Annuités en progression arithmétique

Les formules fondamentales sont également indispensables.

Utilité dans l’emprunt indivis, remboursement de crédit, etc.

90



Un petit retour en arrière (-_-)

Capacité à calculer les intérêts simples et ses différents éléments

◦ Suivant que la durée soit en années, en mois, ou en jours

◦ Calcul de la valeur acquise

◦ Calcul de l’escompte

◦ Valeur actuelle et équivalence des capitaux

Maîtrise des intérêts composés et des différents éléments

◦ Valeur acquise en intérêts composés

◦ Notion d’ actualisation, notion de capitalisation

◦ Valeur acquise

Maîtrise d’un minimum d’outils mathématiques:

◦ Résolution d’équations et d’inéquations

◦ Factorisation, développement

◦ Fonction logarithmiques

◦ Suites numériques

91



Chapitre 3- Les emprunts indivis

1- Définitions

Un emprunt indivis est un emprunt non divisé en coupures. Il ne comporte qu’un seul prêteur, en général un établissement financier

Le prêteur met à la disposition de l’emprunteur, pour une durée fixée, le capital convenu.

L’emprunteur lui verse des intérêts périodiquement et lui rembourse son capital, soit en une seule fois, soit selon un rythme à prévoir.

92



Si le rythme est à prévoir, les remboursements du capital se font aux mêmes échéances que le paiement des intérêts.

La période séparant deux échéances consécutives est en général l’année ou une fraction d’année.

Lorsque la première échéance a lieu une période après la date d’emprunt, on dit que l’emprunt est sans différé.

C’est cette dernière hypothèse que nous allons retenir dans ce chapitre.

93



2- Formules

Soit:

Pour , k=1,2, 3, …,n on a :

(l’échéance se décompose en une

part d’intérêts (Ik) et une part de capital

0 le capital emprunté (à la date 0)

le taux d'interêt de l'emprunt pour une période

le nombre d'écheances payables à terme échu ( aux dates 1, 2, ...,n)

le montant de la - échéance

le capi

k

k

S

i

n

a k ième

S tal restant dû immédiatement après le paiement de la - échéance

le montant des intérêts contenus dans la - échéance

la part d'amortissement du capital contenu dans la - échéance

k

k

k ième

I k ième

M k ième

k k ka I M

94



Pour

: l’échéance se décompose en une part

d’intérêts Ik et une part d’amortissement

Mk).

: l’intérêt, étant payé en fin de période,

se calcule à partir du capital restant dû en

début de période

: : le remboursement de capital compris

dans une échéance est égale à la différence

entre le capital restant dû avant et après

l’échéance

1, 2, ...,k n

k k ka I M

1k kI iS

1k k kM S S

95



: le capital restant dû est égal à

l’emprunt initial diminué des

remboursements déjà effectués.

: à la fin de l’emprunt, la dette est

éteinte

: l’emprunt initial est égal à la

somme des amortissement

0

1

k

k p

p

S S M

0nS

0

1

n

k

k

S M

96



Propriété fondamentale

Le capital emprunté est égal à la valeur actuelle (à la date 0), calculée au taux , des échéances :

En d’autres termes, au taux i de l’emprunt, il ya équivalence à intérêts composés entre le capital emprunté et les échéances versées.

On peut donc aussi écrire l’égalité des valeurs actualisées de S0 et des échéances à une date quelconque.

0

1 1

11

n nkk

kkk k

aS a i

i

97



3- Capital restant dû

Le capital restant dû immédiatement

après le paiement de la k-ième échéance

est égal à la valeur actualisée à la date

des annuités à venir :

On a aussi :

1 2

21

... 11 1 1

n kpk k n

k k pn kp

a a aS a i

i i i

0

1

1 1k

k k p

k p

p

S S i a i

98



4- Tableau d’amortissement

On peut construire un tableau

d’amortissement comme ci-dessous :

k

(date) 1kS

(somme due

en début de période)

kI

(intérêt de la

k-ième période)

kM

(amortissement de la

k-ième échéance)

ka

(montant de

la k-ième

échéance)

1 0S 1I 1M 1a

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

n 1nS nI nM na

99



5- Coût global du crédit

On appelle coût global du crédit la

somme des versements effectués diminué

du capital emprunté, c’est-à-dire le

montant des intérêts augmenté

éventuellement de frais.

100



Exemple

Un emprunt, effectué au taux annuel proportionnel de 9,60%, est remboursé de la façon suivante :

◦ Au bout d’un mois, versement de 4 000€ ;

◦ Au bout de 2 mois, versement de 5 000€ ;

◦ Au bout de 3 mois, versement de 5 500€ ;

◦ Au bout de 4 mois, versement de 6 300€.

1- Calculez le montant de l’emprunt et le coût global du crédit.

2- Construisez le tableau d’amortissement.

101



1- Le taux mensuel de l’emprunt est égal à 0,096

0,008 soit 0,8%12

j .

Soit 0S le montant de l’emprunt. L’unité de temps est le mois. Le diagramme des flux

financiers est :

La propriété fondamentale s’écrit :

1 2 3 4

0 4000 1,008 5000 1,008 5500 1,008 6300 1,008

20361,66 20362€

S

Le coût global du crédit est égal à : 4000 5000 5500 6300 20362 438

0

1 2 3 4

4000 5000 5500 6300

102



2- Le tableau d’amortissement

k

1kS

kI

kM

ka

1 20362 163 3837 4000

2

3

4

16525

11657

6250

132

93

50

4868

5407

6250

5000

5500

6300

Commentaire du tableau :

Le capital restant dû à la première échéance est égal à 0S

L’intérêt versé à la première échéance est : 1 20362*0,008 162,90 163I .

L’amortissement, c’est-à-dire le capital remboursé est égal à

1 1 1 4000 163 3837M A I

Le capital restant dû à la fin de première période est égal à :

1 0 1 20362 4000 16525S S M

103



6-Modes de remboursement

Les échéances de remboursement des prêts aux particuliers peuvent être constantes, géométrique ou différées.

Maîtrise des formules d’annuités s’avère indispensable.

Le taux d’emprunt annoncé est toujours un taux annuel: ◦ Conversion en taux périodique (mensuel,

trimestriel…), suivant les propriétés des taux proportionnels ou équivalents (voir section 4 du chapitre 2).

104



6.1- Remboursement par échéances

constantes

De nombreux prêts aux particuliers (prêts personnels, prêts immobiliers…) sont remboursés par échéances constantes.

La périodicité de remboursement est généralement inférieure à l’année ; soit alors le mois ou le trimestre.

La périodicité en l’année, rarement utilisée pour les prêts particuliers, est utilisée pour les prêts aux entreprises.

105



Définition

Supposons que les remboursements se

font par échéances constantes. Les

échéances sont constantes si :

Propriété fondamentale:

Valeur de l’annuité constante :

1,2, , kk n a a

0

1 (1 ) niS a

i

0

1 (1 ) n

S ia

i

106



Propriété des amortissements

Lorsque les emprunts sont remboursables par échéances constantes, les amortissements sont en progression géométrique de raison 1+i.

D’où:

Diverses façons d’obtenir M1 : 1- Soit en décomposant la première annuité

=>

2- Soit en décomposant la dernière annuité

=>

3- Soit en partant de la somme des amortissements

=>

1

11,2, (1 )k

kk n M M i

1 0M a S i

1 1n

M a i

1 0

1 1n

iM S

i

107



Capital restant dû

𝑆𝑘 = 𝑎

1 − 1 + 𝑖 𝑛−𝑘

𝑖= 𝑆0

1 + 𝑖 𝑛 − 1 + 𝑖 𝑘

1 + 𝑖 𝑛 − 1= 𝑆0 − 𝑀1

1 + 𝑖 𝑘 − 1

𝑖

108



6.2- Remboursement d’un prêt par

échéances en progression

géométrique

Supposons que les remboursements

suivent une progression géométrique de

raison . Les échéances vérifient :

La propriété fondamentale s’écrit :

1

11, 2, ...,n k

kk a a q

10

10

1 Si q 1

11

Si q=11

n n

n

i qai S

i qi

nai S

i

109



Exemple

Une banque consent à une entreprise un

prêt de 500 000€, remboursable sur 7

ans, au taux annuel de 6,3%. Les annuités

de remboursement augmentent de 2%

par an, la première ayant lieu un an après

la date de l’emprunt.

1- Calculez le montant de la première et

de la dernière annuité.

2- Calculez le coût global du crédit

110



1- Les annuités augmentent de 2% par an => elles forment une suite géométrique de raison

q=1,02.

De la propriété fondamentale, on déduit :

7

0

1 7 7

1 1 500000 1,063 1,063 1,0285649,45

1 1,063 1,02

n

n n

S i i qa

i q

La dernière annuité est égale à :

66

7 1 85649,45 1,02 96455,19a a q

2- Le coût global du crédit est égal à :

77 71

0 1 0 1 0

1 1

1

1

k

k

k k

qC a S a q S a S

q

. En remplaçant les valeurs on a :

7

1 1,0285649,45 500000 136742,88

1 1,02C

111



Remboursement en différé

Le remboursement d’un prêt est différé lorsqu’il est décalé de plus d’une période par rapport à la date de l’emprunt

Par exemple, un prêt étudiant peut être remboursé de la façon suivante : l’amortissement du capital ne commence qu’à la fin des études, tandis que pendant la durée des études:

◦ soit il ne verse rien : on parle alors de différé total

◦ soit il ne verse que les intérêts, on parle alors de différé partiel, ou différé d’amortissement.

112



Dans le cas d’un différé total, on utilise la propriété fondamentale en tenant compte du décalage.

Dans le cas d’un différé partiel:

◦ Pendant le différé, on verse les intérêts, et le capital à rembourser reste le même.

◦ A la fin du différé, on est en général ramené au cas du remboursement par échéances constantes.

113



Exemple

Madame Bourguignon emprunte, le 25 juin 2003, 5000€ au taux annuel proportionnel de 6,30%.

Supposons dans un premier temps que le remboursement se fait de la façon suivante : remboursement par mensualités constantes, la première mensualité étant versée le 25 juillet 2006, la dernière le 25 juin 2010.

Pendant la période de différé, les intérêts sont capitalisés mensuellement.

Travail à faire : Déterminez le montant d’une mensualité et le coût total du crédit.

Supposons à présent que le remboursement se fait de la façon suivante :

du 25 juillet 2003 au 25 juin 2006, paiement mensuel des intérêts ;

du 25 juillet 2006 au 25 juin 2010, remboursement du prêt par mensualités constantes.

Travail à faire : Déterminez le montant des mensualités et le coût total du crédit

114



L’emprunt est fait au taux proportionnel. Nous devons donc calculer avant toute chose, le

taux mensuel proportionnel au taux annuel 𝑖 de 6,30% est égal à :

𝑗 =0,063

12= 0,00525 𝑠𝑜𝑖𝑡 0,525%

1- Pour répondre à la question posée, il est important de savoir combien de temps après

l’emprunt, le premier remboursement a été effectué. Du 25 juin 2003 au 25 juillet 2006,

on peut dire que le remboursement se fait avec un différé total de 3 ans, soit 36 mois. En

effet, la première mensualité est versée 37 mois après la date d’emprunt, soit avec un

décalage dans le temps de 36 mois par rapport à la pratique habituelle.

Le diagramme des flux se présente comme suit :

0

1 36 37 84

m … m

S0

115



On sait que les intérêts sont capitalisés mensuellement durant la période de différé. Si le

capital emprunté est 𝑆0 tout se passe comme si l’on empruntait 𝑆0 1 + 𝑗 36 à la date 36, à

rembourser en 84-36=48 mensualités. On peut alors écrire la propriété fondamentale comme

suit :

𝑆0 1 + 𝑗 36 = 𝑚1 − 1 + 𝑗 −48

𝑗

Ce qui donne :

𝑚 = 𝑆0 = 𝑆0𝑗 1 + 𝑗 36

1 − 1 + 𝑗 −48=

5000 × 0,00525 × 1,00525 36

1 − 1,00525 −48= 142,62

Le coût global du crédit est égal à :

48𝑚 − 𝑆0 = 48 × 142,62 − 5000 = 1845,57€

116



1- Considérons à présent le second mode de remboursement.

Du 25 juillet 2003 au 25 juin 2006, il n’ya eu que le remboursement des intérêts : il s’agit

donc d’un différé partiel d’une durée de 3 ans (36 mois). Soit 𝑚1 la mensualité versée

jusqu’au 25 juin 2006, et 𝑚2 la mensualité versée à partir du 25 juillet 2006.

Le diagramme des flux financiers est :

m1 m1 m2 m2 …

.

…

.

S0

1 36 37 84

117



La valeur de 𝑚1 est égale au montant des intérêts :

𝑚1 = 𝑆0𝑗 = 5000 × 0,00525 = 26,25€

Le capital restant dû le 25 juin 2006 (après paiement des intérêts) est toujours 𝑆0, que l’on va

rembourser en 48 mensualités constantes sans différé.

La propriété fondamentale à cette date peut s’écrire :

𝑆0 = 𝑚2

1 − 1 + 𝑗 −48

𝑗

D’où 𝑚2 = 𝑆0𝑗

1− 1+𝑗 −48=

5000 ×0,00525

1− 1,00525 −48= 118,11€

Le coût total du crédit est égal à :

36𝑚1 + 48𝑚2 − 𝑆0 = 36 × 26,25 + 118,11 × 48 − 5000 = 1614,28

118



6.4- Remboursement in fine

Considérons le remboursement d’un prêt par échéances constantes.

la suite des amortissements c’est-à-dire la part du capital est une suite croissante

la suite des intérêts est décroissante.

Supposons qu’un investisseur bénéficie d’une défiscalisation (économie d’impôt réalisée)

Suite des intérêts décroissante => Défiscalisation diminue avec le temps.

Solution:

◦ L’investisseur peut préférer un système de prêt dans lequel il ne paie que les intérêts périodiquement (tous les mois ou tous les ans).

◦ Ces intérêts constants sur toute la période d’emprunt, et l’emprunteur rembourse la totalité du capital emprunté en plus des intérêts lors de la dernière échéance.

On dit alors que ce prêt est remboursable in fine.

119



Montant des échéances et coût du crédit

Montant des échéances :

∀ 𝐤 ∈ 𝟏, 𝟐, … , 𝐧 𝐚𝐤 = 𝐒𝟎𝐢

Aux dates 1, 2, … , 𝑛 − 1, l’emprunteur ne verse que les intérêts.

A la date 𝑛, l’échéance comporte les intérêts et la totalité du capital emprunté, soit :

𝑎𝑛 = 𝑆0 1 + 𝑖

Le cout total du crédit est : 𝑛𝑆0𝑖.

120



Exemple

Un investisseur emprunte 150 000€ pour

acheter un appartement destiné à la location. Le remboursement a lieu in fine dans 10 ans et les intérêts sont versés annuellement. Chaque année, l’investisseur peut déduire les intérêts payés des revenus fonciers encaissés, ce qui génère une économie d’impôt qui sera supposé au taux maximum, soit 49% des intérêts.

Calculez : ◦ Le montant annuel des intérêts

◦ Le taux de revient effectif de l’emprunt, compte tenu de l’économie d’impôt.

121



Résolution

1- Le montant annuel des intérêts versés est égal à :

150 000 × 0,046 = 6900

L’économie d’impôt réalisé annuellement est égale à :

6900 × 0,49 = 3381€

2- L’économie d’impôt permet d’alléger le montant des intérêts. On peut dire que,

chaque année, le montant « effectif » des intérêts versés est égal à :

6900 − 3381 = 3519

Le taux « effectif » de l’emprunt est donc égal à :

3519 ÷ 150000 = 0,02346 𝑠𝑜𝑖𝑡 2,35%

Ce taux nettement inférieur au taux initial.

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