Cours Math Tl

8/12/2019 Cours Math Tl

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Ecole suprieure de TechnologieEcole suprieure de TechnologieDpartement de Gnie ElectriqueDpartement de Gnie ElectriqueEcole suprieure de TechnologieEcole suprieure de Technologie

Dpartement de Gnie ElectriqueDpartement de Gnie Electrique

Chapitre VChapitre V

KhalidKhalid SBAISBAI COURSCOURS DEDE MATHEMATIQUEMATHEMATIQUE APPLIQUEESAPPLIQUEES


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DansDans lele cascas contraire,contraire, multiplionsmultiplions x(t)x(t) parpar uneune exponentielleexponentielledcroissantedcroissante telletelle queque

I. INTRODUCTION: DE LA TF A LA TLI. INTRODUCTION: DE LA TF A LA TLSoit la TF d'un signal x(t) :Soit la TF d'un signal x(t) : 2( ) ( ) j tX x t e dt

+

= Cette TF existe siCette TF existe sil'intgrale convergel'intgrale converge

t+


..

PosonsPosons On obtient:On obtient: DfinitionDfinitionde la TL du signalde la TL du signalxx

2 ( 2 )( , ) ( ) ( , ) ( )t j t j t X x t e e dt X x t e dt + +

+

= =

2p j = + ( ) ( ) ptX p x t e dt+

=

Transforme de Laplace = gnralisation de la TF : dcompositionTransforme de Laplace = gnralisation de la TF : dcomposition

de x(t) sur une base de fonctions exponentiellesde x(t) sur une base de fonctions exponentielles eeptpt (avec p complexe)(avec p complexe)


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X(p) n'est dfini que si l'intgraleX(p) n'est dfini que si l'intgraleconvergeconverge

I.1 CONVERGENCE DE LA TLI.1 CONVERGENCE DE LA TL

( ) ( ) pt

X p x t e dt+

=

avec p =avec p =

+ j2+ j2

Domaine de convergence:Domaine de convergence: on appelle Rgion de Convergence (RC)on appelle Rgion de Convergence (RC)de la TL, l'ensemble des complexes p tels que l'intgrale cide la TL, l'ensemble des complexes p tels que l'intgrale ci--dessousdessous


[ ]( ) ( ) ( ) exp( . )X p L x t x t p t dt

= =

lexistence de X(p) suppose la convergence de lintgralelexistence de X(p) suppose la convergence de lintgrale

on dit que X(p) est " limage " de x(t) et que x eston dit que X(p) est " limage " de x(t) et que x est

l'original de X.l'original de X.

converge:converge:

On note:On note:


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I.2 EXEMPLES.I.2 EXEMPLES.

Fonction exponentielle x(t) =Fonction exponentielle x(t) = eeatat(t) .(t) .

0 0( )

1 0

tt

t

Fonction Echelon unit (fonction de Heaviside):Fonction Echelon unit (fonction de Heaviside):

[ ]0

1( ) ( ) exp ( . ) p> 0 .L t p p t d t

p

= =


[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )p a tX p L x t p e t dt

= = ( )0( )

p a tX p e dt =

( )

0

( )( )

p a teX p

p a

+

=

( )1( ) lim 1

a p t

tX p e

a p

+

=

Cette limite est nulle si aCette limite est nulle si a--p < 0p < 0

i.e.i.e. ReRe(p) > a(p) > a

DoDoOr aOr a--p = ap = a----j2j2ff( ) ( 2 )lim lim

a p t a j f t

t te e

+ +=

1( )X p

p a=


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II. TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSEII. TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSEtant donne une fonction F(p), esttant donne une fonction F(p), est--il possible de trouver f dfinieil possible de trouver f dfiniede Rde R++C telle que L( f )(p) =F(p) ? Si f existe, estC telle que L( f )(p) =F(p) ? Si f existe, est--elle unique ?elle unique ?

Soit E = { f : RSoit E = { f : R++C} lensemble des fonctions vrifiant :C} lensemble des fonctions vrifiant :i)i) ff E, f est continueE, f est continueiiii ff E il existe K > 0 et aE il existe K > 0 et a R tels ue | f t | R tels ue | f t | KeKeatat..

Thorme :Thorme :


Si deux fonctions f, gSi deux fonctions f, g E admettent la mme transforme deE admettent la mme transforme deLaplace F(p), alors f = gLaplace F(p), alors f = g

Soit F(p) = L[f](p) la transforme de Laplace dune fonctionSoit F(p) = L[f](p) la transforme de Laplace dune fonctionf(t). On appelle transforme de Laplace inverse, ou original,f(t). On appelle transforme de Laplace inverse, ou original,de F(p) la fonction f(t). On note :de F(p) la fonction f(t). On note :

f(t) = Lf(t) = L11[F(p)](t)[F(p)](t)

Si F(p) = L( f )(p), on note f (t) = LSi F(p) = L( f )(p), on note f (t) = L11

(F)(t).(F)(t).

Dfinition:Dfinition:


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Soit F(p) = L( f )(p) et G(p) = L(g)(p).Soit F(p) = L( f )(p) et G(p) = L(g)(p).LL11((F +F + G)(t) =G)(t) = LL11(F)(t) +(F)(t) + LL11(G)(t).(G)(t).

Soit F(p) = L(f)(p) et G(p) = L(g)(p).Soit F(p) = L(f)(p) et G(p) = L(g)(p).

Proposition :Proposition :

Dmonstration:Dmonstration:


En effet, on sait que L(En effet, on sait que L(ff ++ gg) =) = LL(f) +(f) + LL(g). Vu lunicit(g). Vu lunicitde loriginale.de loriginale.

LL11((L(f) +L(f) + L(g)) =L(g)) = f +f + g =g = LL11(L(f)) +(L(f)) + LL11(L(g)).(L(g)).

Ceci revient dire que la transformation inverse deCeci revient dire que la transformation inverse de

Laplace est linaire.Laplace est linaire.


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III. PROPRIETES DE LA TLIII. PROPRIETES DE LA TLIII.1 LINARITIII.1 LINARIT

LaLa transformationtransformation dede LaplaceLaplace estest uneune transformationtransformation linairelinaire..CestCest diredire quellequelle satisfaitsatisfait lala conditioncondition ::

a et ba et b CC.. [ ] [ ] [ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )L ax t bx t L ax t L bx t+ = +

aL x t bL x t = +


1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )ax t bx t aX p bX p + +

Exemple 1:Exemple 1:Exemple 1:Exemple 1:

2

3 2

2 1 1( 2 1) 2L t t

p p p

+ + = + +

1 2( ) ( )aX p bX p= +

1

!( )

n

n

nL t

p

+=


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( ) cosh( )2

at at e e

x t at

+= =

Exemple 2:Exemple 2:Exemple 2:Exemple 2: Soit trouver la transforme de : x(t)=Soit trouver la transforme de : x(t)=coshcosh((atat))

Solution : On pose:On pose:

Et alors:Et alors: [ ] ( )1( ) ( ) ( )2at at L x t L e L e = +

Donc:Donc:

1 1 1

2 p a p a

= + +

[ ] 2 2cosh( ) p

L at =


Soit trouver la transforme de : x(t)=cos(Soit trouver la transforme de : x(t)=cos(tt))

Solution : ( ) cos( )2

j t j te e

x t t

+

= =On pose:On pose:

Et alors:Et alors: [ ] ( )1

( ) ( ) ( )2

j t j tL x t L e L e

= +

Donc:Donc:

1 1 1

2 p j p j

= +

+

[ ] 2 2cos( ) p

L t

p

=

+



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Recherche De La Transforme Inverse (Par Identification)Recherche De La Transforme Inverse (Par Identification)Soit chercher la transforme inverse de la fonction desSoit chercher la transforme inverse de la fonction desphases :phases :

cest dire quon recherche:cest dire quon recherche:

( ) ( )

1( ) a bY p

p a p b=

+

[ ]( ) ( )

1 1 1( ) ( )y t L Y p Lp a p b

= = +



ourour ce a,ce a, nousnous evonsevons composercomposer aa onc ononc on eses p asesp asesenen lmentslments simplessimples (technique(technique desdes fractionsfractions partielles)partielles) ::

( ) ( )

1 1 1 1( )Y p

p a p b a b p a p b

= =

+

[ ]( ) ( )

1 1 11 1 1 1( ) ( )y t L Y p L Lp a p b a b p a p b

= = = +

Et alors:Et alors:

Soit donc:Soit donc:

1

( ) ( )

a t b t

y t e e ta b

=

o u on :


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III.2 CHANGEMENT DCHELLE (SIMILITUDE)III.2 CHANGEMENT DCHELLE (SIMILITUDE)

[ ] [ ]1 1( ( ) ( ) ( ) p pL y t L x a t L x t Xa a a a

= = =

SoitSoit aa unun relrel >> 00 etet xx unun signalsignal vrifiantvrifiant x(t)x(t) == 00 sisi tt


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III.3 TRANSLATION TEMPORELLEIII.3 TRANSLATION TEMPORELLE--THORME DU RETARDTHORME DU RETARD

Soit tSoit t00 un rel strictement positif et calculons L[x(tun rel strictement positif et calculons L[x(t -- tt00).).(t(t--tt00)].)].x(tx(t--tt00) est le signal x "retard" de t) est le signal x "retard" de t00. Pour tout rel t. Pour tout rel t00 ,on a :,on a :

[ ] [ ]0( ) ( ) ( ) ( )L y t p L x t t p= 0 0( ) s i t t

( )0 s inon

x t ty t

=


t

Donc pour passer de x(t) y(t) nousDonc pour passer de x(t) y(t) nousdevons rigoureusement crire:devons rigoureusement crire: 0 0

( ) ( ) ( )y t x t t t t=

0

( ) ( )p

e L x t p

=

0 ( )pt

e X p

=


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[ ] 0 00

( ) ( ) ( ) p tL y t x t t t t e d t+

=

00( )

p t

tx t t e d t

+ =


00,,

0( )

0( ( )) ( )

p u tL y t x u e d u

+ +

=

Do:0

0( ( )) ( )

p t p u

L y t e x u e d u

+

= [ ] [ ]0( ) ( ) ( )p tL y t e L x t p=


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x(t) = xx(t) = x11(t) + x(t) + x22(t) =A(t) =A (t)(t) AA (t(t tt00))

Image d'un crneau entre 0 et tImage d'un crneau entre 0 et t00Exemple 1:Exemple 1:Exemple 1:Exemple 1:

xx11(t)(t)

xx22(t)(t)

0

0

/ 2( ) .

t tx t A rect

t

=


[ ] [ ]0( ) ( ) ( )X p AL t AL t t=

[ ] [ ]0( ) ( ) ( ) ( )ptAL t p Ae L t p=

( ) [ ]

( )

0

0

1 ( ) ( )

1

p t

p t

A e L t p

A e

p

=

=


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Dterminons la transforme de Laplace du signalDterminons la transforme de Laplace du signal

0 si t 0

( ) 1 si 0 t a

2 si t a

x t


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III.5 IMPULSION UNIT OU DISTRIBUTION DE DIRACIII.5 IMPULSION UNIT OU DISTRIBUTION DE DIRACConsidrons le signal en crneau suivant :Considrons le signal en crneau suivant :

0

0 0 0

0

0 s i t t

1( ) s i t t t a vec t ]0 ,+ [

0 s i t t

x t


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Et sa transforme de Laplace est :Et sa transforme de Laplace est :

Remarque :Remarque :

On aurait obtenu le mme rsultat en notantOn aurait obtenu le mme rsultat en notant xx (t) par une(t) par une

[ ]00

0

0 00

1 1( ) ( )

tt pt pp tp t p t

t t t t

e eL x t x t e d t e d t e

p p

+++

= =

= = = =


com na son es onct ons en c e on retar comme su t :com na son es onct ons en c e on retar comme su t :

De sorte que :De sorte que :[ ]0 0

1( ) ( ) ( )x t t t t t

=

[ ] [ ] [ ]( )00

0 01 1 1 1( ) ( ) ( )

p tpt

e eL x t L t t L t tp p

+

= =

01

pp t e

e

p

=


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On introduit alors limpulsion de Dirac par :On introduit alors limpulsion de Dirac par :

La transforme de Laplace de limpulsion delta (ou deLa transforme de Laplace de limpulsion delta (ou deDirac) est alors :Dirac) est alors :

( )00

lim ( )t t x t

=


avec en particulier :avec en particulier :

( ) 0 000

1lim

pp t p te

L t t e ep

= =

( ) ( ) 01

0 1L t L tp

= = =


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III.6 FONCTION PUISSANCEIII.6 FONCTION PUISSANCE

( ) ( )n

x t t t= t 0

( ) 0 t


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III.7 TRANSFORME DE LA DRIVEIII.7 TRANSFORME DE LA DRIVE

SiSi x(t)x(t) estest transformabletransformable parpar LaplaceLaplace (i(i..ee.. x(t)x(t) continuecontinue etet borneborne

|x(t)||x(t)|KeKeatat

)) etet sisi x(t)x(t) estest continuecontinue parpar morceauxmorceaux sursur lele mmemmeintervalle,intervalle, alorsalors lala TLTLdede lala drivedrive existeexiste etet vautvaut alorsalors ::

L[x(t)](p) =L[x(t)](p) = pLpL[x(t)](p) x(0[x(t)](p) x(0++) pour p>a) pour p>a

Thorme 1:Thorme 1:

+



Donc dans le monde symbolique, la drivation d'un signal consisteDonc dans le monde symbolique, la drivation d'un signal consiste le multiplier par p et ensuite retrancher une constante le multiplier par p et ensuite retrancher une constante

correspondant la valeur initiale de signal original.correspondant la valeur initiale de signal original.

0t

' '

00 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )pt pt ptL x t p x t e dt x t e p x t e dt

+ ++ = = +

[ ]' ( ) ( ) (0 )L x p p L x t x =

avec:avec:


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Si on extrapole le rsultat prcdent aux drives successives deSi on extrapole le rsultat prcdent aux drives successives dex(t), on obtient:x(t), on obtient:

[ ]( ) ( ) ( )L x t p X p=

' ( ) ( ) ( ) (0 )L x t p p X p x =

Application du thorme la drive nApplication du thorme la drive n--meme


LaLa drivationdrivation estest remplaceremplace parpar uneune multiplicationmultiplication.. CetteCette propritproprit ,,quiqui faitfait lala richesserichesse dede lala transformetransforme dede Laplace,Laplace, simplifiesimplifieconsidrablementconsidrablement lala rsolutionrsolution desdes quationsquations diffrentiellesdiffrentielles..

[ ]( 2 ) '( ) ( ) ( ) (0 ) (0 )L x t p p p X p x x =

[ ]{( 3 ) ' ( 2 )( ) ( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 )L x t p p p p X p x x x = 3 2 (1) ( 2 )

( ) (0 ) (0 ) (0 )p X p p x p x x=


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LaLa transformetransforme dede LaplaceLaplace dede lala drivedrive nimenime dundun signalsignal x(t)x(t) oo toutestouteslesles drivesdrives successivessuccessives sontsont continuescontinues sursur tt]]00,+[,+[ etet satisfaisantsatisfaisant chacunechacunelala conditioncondition :: |x(t)||x(t)| KeKeatat,, pourpour p>ap>a etet queque xx(n)(n)(t)(t) soitsoit continuecontinue parpar

morceauxmorceaux sursur lele mmemme intervalleintervalle tt]]00,+[,,+[, alorsalors lala transformetransforme dede xx(n)(n)(t)(t)existeexiste etet vautvaut :: 1( ) ( 1 )

0

( ) ( ) (0 )n

n n k n k

k

L x t p X p p x

=

=

Thorme 2:Thorme 2:


Soit trouver la transforme de Laplace de x(t)=tSoit trouver la transforme de Laplace de x(t)=t22..

Drivons x(t) jusqu atteindre une constante, il suffitDrivons x(t) jusqu atteindre une constante, il suffitdonc datteindre la drive seconde. Et nous avonsdonc datteindre la drive seconde. Et nous avons

alors :alors : 2( ) (0 ) 0x t t x= =

' '( ) 2 x (0 ) 0x t t= =

''

( ) 2x t =

Exemple :Exemple :Exemple :Exemple :

Solution :


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etet enen utilisantutilisant lala formuleformule ::

[ ]'' 2 '( ) ( ) (0 ) (0 )L x t p L x t p x x =

nous trouvons :nous trouvons :

22 .0 0L L x t=


CestCest----dire :dire :

[ ] [ ] [ ]22

2 2 1 ( )L L p L x tp

= = =

do on dduit pour L[x(t)]:do on dduit pour L[x(t)]:

[ ] 32

( )L x tp

=


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III.8 DRIVATION DE LA TRANSFORME DE LAPLACEIII.8 DRIVATION DE LA TRANSFORME DE LAPLACE

Thorme :Thorme :Si L[x(t)] = X(p) alorsSi L[x(t)] = X(p) alors

[ ]' ( ) ( ) ( )X p L tx t p= etet ( )( ) ( ) 1 ( ) ( )nn n

X p L t x t p =


Ce rsultat est utilis en inverse pour calculer la transformeCe rsultat est utilis en inverse pour calculer la transformedede ttnnxx(t) :(t) :

[ ]( )

2

22

1cos( ) ( )

1 1

d p pL t t p

d p p p

= =

+ +

( ) [ ]( ) ( ) 1 ( )n

nn

n

dL t x t p X p

d p

=


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III.9 TL DUNE PRIMITIVE DE FONCTION:III.9 TL DUNE PRIMITIVE DE FONCTION:Thorme :Thorme :

Si x(t) est continue par morceaux sur lintervalle ]0,+[ etSi x(t) est continue par morceaux sur lintervalle ]0,+[ et

borne |x(t)|borne |x(t)|KeKeatat

sur cet intervalle et sisur cet intervalle et si

est la rimitive de x t alors la transforme de La lace de laest la rimitive de x t alors la transforme de La lace de la0

( ) ( )

t

g t x d =


primitive existe et elle vaut :primitive existe et elle vaut :

[ ] [ ]1

( ) ( )L g t L x tp

= Pour p>a.Pour p>a.

Dmonstration:Dmonstration:[ ] [ ]' ( ) ( ) (0) ( )L g t p L g t g p L g t = =

[ ] [ ]1

( ) ( )L g t L x t

p

=


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Soit trouver lexpression temporelle de la fonctionSoit trouver lexpression temporelle de la fonctionsuivante en utilisant la proprit de la transformesuivante en utilisant la proprit de la transformede la primitive:de la primitive:

[ ]( )

1 1

2 21( ) ( )y t L Y p L

p p

= =

+

Exemple:Exemple:Exemple:Exemple:

Solution :


On sait dj que :On sait dj que :

Et on cherche donc :Et on cherche donc :

( )1

2 2

1 1s i n ( )L t

p

=

+

( )

( )1 22 2 01 1 1 1

s in ( ) 1 c o s ( )t

L d tp p

= =

+


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Thorme de la valeur initialeThorme de la valeur initiale

Thorme de la valeur finaleThorme de la valeur finale

V. TRANSFORME DE LAPLACE ET SYSTMESV. TRANSFORME DE LAPLACE ET SYSTMES LTILTI

Rponse du systme une entre x(t) quelconqueRponse du systme une entre x(t) quelconque (t) = x(t) * h(t)

III.10 THORME DE LA VALEUR INITIALE ET FINALEIII.10 THORME DE LA VALEUR INITIALE ET FINALE( )

00 lim ( ) lim ( )

ptx x t p X p

+

+

+

= =

0

lim ( ) lim ( )t p

x x t p X p

+

= =


TL de la rponseTL de la rponse

Fonction de transfert ou transmittance complexe du systmeFonction de transfert ou transmittance complexe du systme

Y(p) = X(p).H(p) ( )( )( )

Y pH pX p

=

Lien entre la transmittance et la reprsentation spectrale H(p)H(Lien entre la transmittance et la reprsentation spectrale H(p)H())Si p=j2Si p=j2 appartient la rgion de convergence de la reprsentation deappartient la rgion de convergence de la reprsentation deLaplace, alors on peut poser p = j2Laplace, alors on peut poser p = j2, et on obtient la relation suivante :, et on obtient la relation suivante :

( )2

( )p j

H H p

=

=

E l i d T h l iE l i d T h l iE l i d T h l iE l i d T h l i


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Thorme :Thorme :SoitSoit deuxdeux signauxsignaux x(t)x(t) etet z(t)z(t) tellestelles queque leursleurs transformestransformes dedeLaplaceLaplace existentexistent dansdans lespacelespace desdes phasesphases :: respectivementrespectivement X(p)X(p)etet Z(p),Z(p), alorsalors ilil existeexiste unun signalsignal dede lespacelespace desdes tempstemps y(t)y(t) dontdont lala

transformetransforme correspondcorrespond leurleur produitproduit dansdans lespacelespace desdes phasesphases::

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) . ( ) ( ) . ( )L y t X p Z p L x t L z t= =


DeDe plusplus cece signalsignal sexprimesexprimedansdans lespacelespace desdes tempstemps parpar ::

OprateurOprateur dede produitproduitdede multiplicationmultiplication dansdanslespacelespace desdes phasesphases

Oprateur de produitOprateur de produitde convolution dansde convolution dans

lespace des tempslespace des temps

0( ) ( ) * ( ) ( ). ( )y t x t z t x z t d

= =

E l i d T h l iE l i d T h l iE l i d T h l iE l i d T h l i


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Transforme inverse par intgrale de convolutionTransforme inverse par intgrale de convolutionTrouver la fonction correspondantTrouver la fonction correspondantdans lespace des temps grce dans lespace des temps grce lintgrale de convolution:lintgrale de convolution:

OnOn savaitsavait djdj commentcomment lala rsoudre,rsoudre, soitsoit parpar dcompositiondcompositionenen fractionsfractions partielles,partielles, soitsoit parpar lala propritproprit dede transformetransformedunedune primitiveprimitive.. NousNous allonsallons prsentprsent retrouverretrouver cece rsultatrsultat

( )2 2 2( )

aH p

p p a=

+

Exemple :Exemple :Exemple :Exemple :

Solution :


parpar lintgralelintgrale dede convolutionconvolution enen posantposant lexpressionlexpression soussous lalaformeforme dundun produitproduit dede termestermes dansdans lespacelespace desdes phasesphases ::

soit :soit : ( )2 2 2

1( ) ( ) . ( )

aH p X p G p

p p a= =

+

[ ]1 1 21

( ) ( )x t L X p L tp

= = =

[ ]1 1 2 2( ) ( ) sin( )

ag t L G p L at

p a

= = =

+

donc :donc :( ) 2

0 0

sin( )( ) sin ( ) ( )sin( )

t t at at h t a t d t a d

a

= = =

Ecole s prie re de TechnologieEcole s prie re de TechnologieEcole s prie re de TechnologieEcole s prie re de Technologie


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CetteCette formuleformule permetpermet dede trouvertrouver loriginaleloriginale dunedune fractionfractionrationnellerationnelle.. SoitSoit P,P, QQ CC deuxdeux polynmespolynmes telstels queque dd00(P)(P)


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( )'1

( ) 1( )

( )

nk

k k k

PF p

Q p

=

=

Do:Do:

sachant que:sachant que:( )

1 1 atL e

p a

=


Et du fait que LEt du fait que L--11 est linaire, loriginale de F est donne par la formule:est linaire, loriginale de F est donne par la formule:

[ ]

1

'1

( )

( ) ( ) ( )

k

ntk

k k

P

L F p t eQ

=

=

Quon appelle formule de Heaviside.Quon appelle formule de Heaviside.

Ecole suprieure de TechnologieEcole suprieure de TechnologieEcole suprieure de TechnologieEcole suprieure de Technologie


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Soit rsoudre lquation linaire du 2Soit rsoudre lquation linaire du 2meme ordre suivant, ordre suivant, coefficients constants, et avec conditions initiales :coefficients constants, et avec conditions initiales :

VII. Application de la transforme de Laplace aux quationsVII. Application de la transforme de Laplace aux quationsdiffrentielles avec conditions initialesdiffrentielles avec conditions initiales

'' '

0

'

( )

(0 )

a y b y c y x t

y k

+ + =

=


x(t) est lentre force, et y(t) est la sortie que lon veut observer.x(t) est lentre force, et y(t) est la sortie que lon veut observer.

1y =

11rere tapetape :: Appliquer la transforme de Laplace aux 2 membres deAppliquer la transforme de Laplace aux 2 membres delquation :lquation :

[ ]'' ' ( )L a y b y c y L x t + + = [ ] [ ]'' ' ( )aL y bL y cL y L x t + + =

( ) ( )2 '( ) (0) (0) ( ) (0) ( ) ( )a p Y p py y b pY p y cY p X p + + =



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Cest dire quon obtient lquation :Cest dire quon obtient lquation :( ) ( )2 '( ) ( ) (0 ) (0 )a p b p c Y p X p a p b y a y+ + = + + +

22meme tapetape :: Former la fonction de transfert qui est le rapport de la fonction deFormer la fonction de transfert qui est le rapport de la fonction de

phase de la sortie sur la fonction de phase de lentre :phase de la sortie sur la fonction de phase de lentre :( ) '

2

( ) (0) (0)( ) 1( )

( ) ( )

X p a p b y a yY pH p

X p a p b p c X p

+ + += = + +


Ou encore lexpression de la sortie dans lespace des phases :Ou encore lexpression de la sortie dans lespace des phases :

( )( )'21

( ) ( ) (0) (0)Y p X p ap b y ayap bp c

= + + ++ +

( ) '

2 2

(0 ) (0 )( )( )

a p b y a yX pY p a p b p c a p b p c

+ + = + + + + +

33meme tapetape :: UneUne foisfois quonquon aa Y(p),Y(p), ilil sagitsagit dede passerpasser y(t)y(t) parpar lalatransformtransform dede LaplaceLaplace inverseinverse (L(L--11)) gnralementgnralement enen

utilisantutilisant lala tabletable desdes transformestransformes..



34/37



11rere tapetape :: passer de lespace des temps lespace des phases.passer de lespace des temps lespace des phases.

( )2 ' 21

( ) (0 ) (0 ) ( )p Y p p y y Y pp

=

Soit:Soit:

Solution

:

Exemple :Exemple :Exemple :Exemple : Soit rsoudre le problmeSoit rsoudre le problme conditions initiales conditions initialessuivant :suivant :

''

'

( 0 ) 1

( 0 ) 1

y y ty

y

==

=


22meme tapetape :: Obtenir la solution dans lespace des phases.Obtenir la solution dans lespace des phases.

33meme tapetape :: ObtenirObtenir lala solutionsolution temporelletemporelle parpar lala transformetransforme inverseinverse

( )

2 '

2 21 ( ) (0) (0) 1p Y p p y y p

p p = + + = + +

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2

1 1 ( 1) 1 1 1 1( ) 1

1 11 1 1

pY p p

p p p pp p p p

+= + + = + = +

[ ]1 1 1 12 21 1 1

( ) ( ) sinh( )

1 1

ty t L Y p L L L e t t

p p p

= = + = +



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VIII. FONCTION DE TRANSFERT ET STABILITVIII. FONCTION DE TRANSFERT ET STABILITLe systme est stableLe systme est stable ssissi tous les ples de H(p) sont partie relletous les ples de H(p) sont partie rellestrictement ngativestrictement ngative

Exemple:Exemple:Soit le systme caractris par :Soit le systme caractris par :

Le s stme est il stable ? Calculer la r onse im ulsionnelleLe s stme est il stable ? Calculer la r onse im ulsionnelle

2

2

( ) ( )6 ( ) ( )

d y t d y t y t x t

d t d t + + =


du systmedu systmeh(t)h(t) la rponse indicielle (rponse lchelon). Dans ce cas,la rponse indicielle (rponse lchelon). Dans ce cas,

prciser la valeur de la sortieprciser la valeur de la sortieyy..

Solution:Solution: On passe tout en Laplace :On passe tout en Laplace :

Calcul des ples du systme :Calcul des ples du systme :

2( ) ( ) 6 ( ) ( )p Y p p Y p Y p X p+ + =

2

( ) 1( )

( ) 6

Y pH p

X p p p= =

+ +doncdonc

2

4 23 0b a c = =

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