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Mathmatiques financires

Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Knitra

Enseignant: Mr. Bouasabah Mohammed

Anne universitaire: 2011/2012ECOLE NATIONALE

DE COMMERCE ET DE GESTION-KENITRA-

Plan du cours

Intrt simple

Intrt compos

Introduction.

Capitalisation et actualisation

Emprunts indivis

Emprunts obligataires

Les intrts

Introduction

Lintrt peut tre dfini comme la rmunration dun prt dargent.

Cest le prix payer par lemprunteur au prteur, pour rmunrer le service rendu

On regroupe sous lappellation de mathmatiques financires lensemble des

techniques mathmatiques permettant de traiter des phnomnes rgissant les marchs

financiers, tel que les calculs relatifs aux taux dintrt, les annuits, les emprunts..,

mais ainsi la modlisation du comportement alatoire des marchs financiers .

Cest le prix payer par lemprunteur au prteur, pour rmunrer le service rendu

par la mise disposition dune somme dargent pendant une priode de temps.

Trois facteurs essentiels dterminent le cot de lintrt:

la somme prte not Co.

la dure du prt note n.

le taux auquel cette somme est prte not t ou i.

Il y a deux types dintrt: lintrt simple et lintrt compos.

1) Intrt simple

Lintrt simple se calcule toujours sur le mme capital principal. Il ne sajoute pas

au capital pour porter lui mme intrt.

Lintrt simple est proportionnel au capital prt ou emprunt. Il est dautant plus

lev que le montant prt ou emprunt est important et que largent est prt ou

emprunt pour longtemps.

Lintrt simple concerne essentiellement les oprations court terme (infrieures

un an).

1-1) Principe et champs dapplication

un an).

1-2) Dfinition:

Considrons un capital Co plac au taux t pendant une priode dtermine n. Le

montant des intrts I au bout de cette priode est donn par :

I = Co t n

Remarques 1:

Gnralement l intrt simple porte sur des dures trs courtes.( 1 anne). Dans le calcul des intrts simples, le capital ne varie pas au cours du temps.

Remarque 2:

Si t reprsente un taux annuel alors n doit tre exprim en annes.

Si t reprsente un taux semestriel alors n doit tre exprim en semestres.

Si t reprsente un taux trimestriel alors n doit tre exprim en trimestres.

Si t reprsente un taux mensuel alors n doit tre exprim en mois.

t un taux trimestriel n trimestres.

Si t reprsente un taux mensuel alors n doit tre exprim en mois.

Co= 750 euro

t= 0,06

n=2

On a I=Co.t.n I= 750 * 0,06 * 2 = 90 euros

Exemple 1:

Une personne dcide de placer 750 euro sur un compte qui rapporte 6 % par an. Quel est

le montant des intrts touchs au bout de deux ans de placement ?

Co= 750 euros

t= 0,06

n= annes Dou I=Co.t.n=750 * 0,06 * = 30 euros

Exemple 2:

Supposons que cette mme personne dcide de rcuprer son argent aprs huit mois de

placement. Quel est le montant des intrts touchs au bout des huit mois de placement ?

Dans ce cas n est donn en mois on doit lexprimer en annes: alors n= annes.

Exemple 3:Exemple 3:

Aprs dix jours de placement, la personne revient sur sa dcision. Quel est le montant des

intrts touchs au bout de dix jours de placement ?

Co= 750 euros

t= 0,06

n= annes

On a I=Co.t.n I= 750 * 0,06 * = 1,25 euros

Remarque: Dans le calcul des intrts on retient lanne commercial de 360 jours.

Exemple 4:

Une personne place son argent du 15 mai au 20 juillet. Calculer le montant des intrts

perus aprs cette priode.

I= 750 * 0,06 * = 8,25 euros

Dans ce cas, il faut calculer le nombre de jours couls entre les deux dates donnes. Ici on a :

(31 15) + 30 + 20 = 66 jours entre les deux dates. On calcule alors le montant des intrts

pour ces 66 jours, soit :

I= 750 * 0,06 * = 8,25 euros

1-2) Valeur acquise

La valeur acquise A par un capital Co est la valeur de ce capital augment des intrts

I qu'il a produit pendant la priode de placement :

A = Co + I

Exemple :

Un capital de 750 euros plac 6 % pendant deux ans donne une valeur acquise de:

750 + 90 = 840 euros.

Exercices d'application:

1. Combien dois-je prter, au taux de 5 %, pour me faire rembourser 1000 euros dans

2 ans ?

Dans ce cas, l'inconnu (X) est le montant prter aujourd'hui pour qu'au bout de la deuxime

anne je reois un remboursement de 1000 Euros.

Solution:

Remarque:

Les valeurs acquises au bout de chaque priode forment une suite arithmtique de premier

terme C0 de raison Co.t

anne je reois un remboursement de 1000 Euros.

Selon la formule de l'intrt simple nous avons :

A=X+I=X(1+2*5%)=1000 d'o X=1000/(1+2*5%)=909 Euros

2. Dans le mme cas prcdent (jai prter 909 euros), supposons que nous aurons

besoin de 1100 Euro dans 2 ans au lieu de 1000 Euros. Quel serait le taux (annuel)

dintrt simple qui permet un tel remboursement ?

Pour rpondre cette question, il suffit de remplacer les valeurs dont nous disposons dans la

formule de l'intrt simple :

909(1+2*t)=1100 2*t=1100/909 -1 t=1/2[1100/909 -1]=10,5%

1-4) Reprsentation graphique:

1-4-a) Intrt simple:

La reprsentation graphique de la fonction qui donne l'intrt en fonction du temps est une

droite passant par l'origine. La fonction est croissante.droite passant par l'origine. La fonction est croissante.

L'intrt est une fonction linaire du temps.

La reprsentation graphique de la fonction qui donne la valeur acquise en fonction du

temps est une droite ne passant pas par l'origine. La fonction est croissante.

La valeur acquise est une fonction affine du temps.

1-4-b) la valeur acquise

Traons dans un repre le montant de l'intrt y que rapporte un placement de 12 000

Exemple (intrt simple):

Traons dans un repre le montant de l'intrt y que rapporte un placement de 12 000

euros au taux de 6 % pendant une priode x en jours.

L'intrt se calcule par : I= = 2 x

On peut dterminer, pour une dure de 100 jours,

le montant de l'intrt I : I = 200 euros.

On peut dterminer le temps ncessaire pour avoir

un intrt I = 350 euros : 175 jours.

Exemple (valeur acquise):

La valeur actuelle se calcule par : A= 12 000 + I= 12 000 + 2 x

Traons dans un repre la valeur acquise y par un capital de 12 000 euros plac au taux de 6 %

pendant une priode x en jours.

On peut dterminer, pour une dure de 100 jours, la valeur acquise A : A = 12 200 euro.

On peut dterminer le temps ncessaire pour avoir une valeur acquise de 12 350 euro : 175 jours.

Dfinition

Deux taux sont proportionnels si leurs rapport est gal au rapport de leurs priodes de

capitalisation. D'o les rsultats suivants: les taux proportionnels au taux annuel ta sont respectivement:

ta/ 360 taux quotidien tj

ta/ 12 taux mensuel tm

ta/ 4 taux trimestriel tt

t

1-5) Taux proportionnels

ta/ 4 taux trimestriel tt

ta/ 2 taux semestriel ts

Remarque:

On en dduit que pour une mme dure de placement intrt simple, deux taux

proportionnels correspondent une mme valeur acquise.

Exemple:

Soit un taux annuel de 0.06. le taux mensuel proportionnel correspondant est:

Calcul de lintrt en euros rapport par un capital de 5000 euros plac pendant 9 mois:

Au taux annuel de 0.06:

Au taux mensuel de 0.005:

1-6) Taux moyen de placement

Definition:

On appelle taux moyen de plusieurs placements le taux unique auquel il aurait fallu placer les

mmes capitaux pendant les mmes priodes de temps pour obtenir le mme intrt.

1-6) Taux moyen de placement

On place : 900 euros 4,5 % pendant 90 jours,

600 euros 6,5 % pendant 150 jours,

L'intrt I total produit par ces placements est :

Exemple:

On cherche le taux moyen t auquel il aurait fallu placer ces capitaux pendant les mmes dures

pour obtenir le mme intrt. On a donc rsoudre :

d'o t = 0,055

soit un taux moyen de 5,5 %.

Exercice dapplicationExercice dapplication

On place : 900 euros 6 % pendant 58 jours,

1 900 euros 13 % pendant 75 jours,

400 euros 8 % pendant 25 jours.

Dterminer le taux moyen de placement.

On cherche le taux moyen t auquel il aurait fallu placer ces capitaux pendant les mmes dures

pour obtenir le mme intrt. On a donc rsoudre :

L'intrt I produit par ces trois placements est :

Solution :

soit un taux moyen de 10,97 %.

Exercice 2

Exercice 1

Deux capitaux diffrent de 1 250 et le premier est plac un taux infrieur de 3% au taux de placement du second.Au bout de deux annes de placement, les deux capitaux ont acquis la mme valeur.Calculer les deux capitaux et les deux taux sachant que le premier capital rapporte annuellement 5 700.

Trois capitaux en progression arithmtique sont placs une anne des taux en

progression gomtrique.

Sachant que :

- la somme des trois capitaux est gale 22 500,

- le troisime capital est quadruple du premier,

- la somme des trois taux d'intrt est gale 36,40%,

- l'intrt rapport par le deuxime capital est triple de celui rapport par le premier.

Calculer les trois capitaux et les trois taux.

2) Intrt compos

2-1) Dfinition:

Un capital est plac intrts composs lorsque le montant des intrts produits la fin

de chaque priode de placement sajoute au capital plac pour devenir productif

dintrts de la priode suivante.

La valeur acquise Cn par le capital initial C0 au bout de n priodes de placement est

gale :

avec t : taux dintrts sur une priodeavec t : taux dintrts sur une priode

Lintrt compos est gnralement appliqu lorsque la dure de placement dpasse

un an.

Remarque

Remarques:

Le montant des intrts acquis aprs n periodes est la diffrence entre la valeur

acquise et le capital plac : In=Cn-C0

La priode de capitalisation des intrts peuvent tre le mois, le trimestre, le

semestre ou lanne.

le montant des valeurs acquises C1, C2, C3, Cn forment une suite gomtrique

de raison : (1 + t).

Les intrts composs sont surtout utiliss pour des placements long terme (>1 an)

Exemple 1:

Un capital de 5 000 est plac intrts composs au taux annuel de 4 % pendant 5 ans.

la valeur acquise de la cinquime anne est :

Exemple 2:

Quel capital faut-il placer pendant 5 ans au taux de 3,5 % lan pour obtenir une valeur

acquise de 5000 ?

Exemple 3Exemple 3

Un capital de 20 000 plac en capitalisation trimestrielle pendant 5 trimestres a une valeur

acquise de 21 465,68 au terme du placement. Calculer le taux trimestriel de placement.

Co = 20 000 ; C5 = 21 465,68 ; n = 5 trimestres

Le taux trimestriel est de 1,4 %.

Exemple 4

Un capital de 41 000 plac intrts composs capitalisation mensuelle au taux de 0,5 %

le mois. Au terme du placement sa valeur acquise est 44 185 .

Calculer la dure du placement.

C0 = 41 000 ; Cn=44 185 ; t = 0,5 % par mois.

La dure de placement est de 15 mois.

Dfinition

Deux taux, dfinit sur des priodes diffrentes, sont quivalents lorsque appliqus un

mme capital pendant la mme dure, produisent la mme valeur acquise.

2-2) Taux quivalents

Remarque:

Les taux proportionnels aux dures des priodes de placement ne sont pas quivalents pour le

calcul des intrts composs.

Ainsi les taux de 12 % lan et 1 % le mois sont proportionnels. Ils ne sont pas quivalents en

intrts composs.

Les taux les plus utiliss :

intrts composs.

Le mme capital plac en capitalisation mensuelle au taux de 0,95 % le mois acquiert au bout

dun an, soit 12 mois, la valeur :

Exemple

Un capital de 1 000 plac au taux annuel de 12 % a une valeur acquise au bout dun an de

placement gale :

Les deux valeurs acquises sont gales. Le taux annuel de 12 % est quivalent au taux mensuel de

0,95 %.

Et au taux mensuel de 0,95 % a une valeur acquise au bout dun an de placement gale :

Exercice 1

Un investisseur place 5000 euros pendant 5 ans intrt compos, au taux annuel de 4,5%.

1) Calculer lintrt produit par ce placement la fin de la premire anne.

2) Calculer la valeur acquise par ce capital au bout des cinq ans de placement.

3) Calculer lintrt total produit par ce placement au bout des cinq annes.

Exercice 2

On place aujourdhui 4000 euros intrt compos au taux annuel de 5,2%. Au terme du

placement, on dispose de 6000 euros.

1) Dterminer la dure du placement, n.1) Dterminer la dure du placement, n.

2) Calculer lintrt de lanne (n2).

3) Calculer lintrt total produit au bout de (n 2) annes de placement.

4) Dterminer la valeur acquise par ce capital au bout de (n2) annes de placement.

Exercice 3

Un capital de 10 000,00 est plac pendant 9 ans et 9 mois aux conditions suivantes :

- 12% les cinq premires annes;

- 14% les sept semestres suivants;

- 9% le reste du temps.

Calculer la valeur acquise par ce capital en fin de placement.

3) Actualisation et capitalisation

3-1) Dfinitions:

Capitalisation: la capitalisation est le calcul de la valeur future par rapport la valeurprsente dun montant dargent.

Actualisation: Lactualisation est la mesure de la valeur actuelle dune somme dargent dans le futur.

Ainsi sur une flche reprsentant le temps,

on illustre les deux formules :

Exemple de capitalisation :

Je place 1000 Euros (V0) pendant 2 ans un taux d'intrt de 10%.

Quelle est la capitalisation de mes 1000 Euros la premire anne (V1) et la deuxime

anne (V2) ?

A la fin de la premire anne j'aurais mon capital initial V0 de 1000 Euros plus les intrt de 10%

c'est dire 0,1x1000 = 100 Euros

A la fin de la deuxime anne j'aurais mes 1100 Euro plus les intrts 0,1x1100 = 110 Euro c'est

dire 1210 Euros: A= 1000*(1,1)=1210 euros

Exemple d'actualisation :

Quel est le montant que je place aujourd'hui au taux de 12% pour avoir 2000 euros

dans 3 ans?

dire 1210 Euros: A= 1000*(1,1)=1210 euros

V0 = V3/(1+12%)3 = 2000/1,123 = 1423,56 Euros

Dfinition (valeur acquise):

La valeur acquise Vn par un capital Vo plac pendant n priodes un taux i:

Dfinition (valeur actuelle):

La valeur actuelle Vo (actualisation) dune valeur future Vn actualise sur n priodes un

taux i:

3-2) Valeurs acquise et actuelle dun capital .

taux i:

Exemple :

Combien faudrait-il placer aujourdhui, sur un livret de Caisse dEpargne 4% par an, pour

disposer de 100 000 F dans 8 ans ?

Exercices d'application :

1. Combien jaurais la fin de la troisime anne dun placement de 2000 Euros un taux

mensuel de 2% ?

Dans cette exemple, tous les lments de la formule Cn=C0(1+i)n sont identifis, savoir :

Le taux d'intrt mensuel i=2% ;

Le capital prt C0=2000 Euro ;

La dure du prt n=3*12=36mois.

Donc en appliquant simplement la formule, le produit du placement serait

C36=2000(1+2%)36=4079,77Euro

2. Dans le cadre du mme exercice prcdent, Je voudrais savoir quelle date

jatteindrais 5000 Euros

En utilisant toujours la mme formule, nous avons : 5000=2000(1+2%)n avec n le nombre de

mois ncessaires pour qu'un prt de 2000 Euros au taux mensuel de 2% produit 5000 Euros

(capital initial + les intrts).

En simplifiant la formule nous avons : 1,02n=5/2.

Ln(1,02n)=Ln(5/2) ce qui donne n*Ln(1,02)=Ln(2,5)

Finalement nous obtenons une dure de :

n=Ln(2,5)/Ln(1,02)=46,27 mois c'est dire 46 mois plus 0,27*30=8jousn=Ln(2,5)/Ln(1,02)=46,27 mois c'est dire 46 mois plus 0,27*30=8jous

3-3) Equivalence de deux capitaux intrt compos

Deux capitaux sont quivalents, intrt compos, si une date dtermine appele date

dquivalence et escompts au mme taux donnent la mme valeur actuelle.

Exemple:

Soient deux capitaux C1 = 25 000DH payable dans 3 ans et C2 = 30 250DH payable dans 5 ans.

Si le taux est de 10%, quelle est leur valeur actuelle t = 0 choisi comme date dquivalence.

On peut changer la date dquivalence, les valeurs actuelles restent les mmes.

Prenons t = 1, on a: V1 = V2

A la date dquivalence t = 0, on a: V1 = V2 Car:

Car:

3-4) Equivalence dun ensemble de capitaux

Par extension, on peut dire que deux groupes de capitaux sont quivalents si la somme des

valeurs actuelles des capitaux du 1er groupe est gale la somme des valeurs actuelles des

capitaux du second groupe.

Exemple:

Un dbiteur qui doit s'acquitter des dettes suivantes :

24000 Dh payable dans un 1an.

16000 Dh payable dans 2 ans.

Obtient de son crancier de se librer par un paiement unique dans 2 ans.Obtient de son crancier de se librer par un paiement unique dans 2 ans.

Quelle est la valeur de ce paiement unique si le taux d'intrts composs est de 13% ?

DH

Exercice 1 :

Une personne a emprunt 15000 dh intrts composs. Au lieu de rembourser le capital et les

intrts 5 ans aprs, comme convenu, elle propose de rembourser cette date 8000 dh et le

reste est vers 5 ans plus tard par un montant de 29110.90 dh.

Quel est le taux d'intrts composs ?

Srie dexercices

Exercice 2:

Un capital Co est plac pendant n annes, au taux annuel de 4 %.

Calculer le taux quivalent trimestriel it .

Exercice 3 :

Dterminer l'chance dune dette de 4983.245 dh destine remplacer les 3 dettes suivantes :

1000 dh payable dans 6 mois



Si on applique une capitalisation semestrielle avec taux semestriel de 6 %.

Exercice 4 :

Un crancier accepte que son dbiteur remplace 3 dettes :

5500 payable dans 2 ans



Par un versement unique de 17200 dh. Compte tenu d'un taux annuel de 9%.

Dterminer l'chance de ce paiement.

Exercice 5:

Exercice 6:

Exercice 7:

Un capital de C euros est plac a intrt compos au taux i pendant n annes. Sachant que :

- les intrts produits au cours de la deuxime anne de placement s'lvent 17 280,00.

- les intrts produits au cours de la troisime anne de placement s'lvent 18 662,40.

- le total des intrts produits au cours des n annes de placement s'lvent 142 764,85.

calculer C, n et i

Exercice 8:Une personne dpose dans un compte productif dintrts composs la somme de 10000 DH. Un an aprs, elle retire 10 000 DH. Un an aprs ce retrait, elle dispose de 806,250 DH.Calculer le taux dintrt annuel.

Exercice 9: comparaison intrt simple et compos

1)

2)

4) Les annuits

On appelle annuits une suite de flux montaires perus ou rgls intervalles de temps gaux.

Le terme annuit est habituellement rserv des priodicits annuelles. Lorsque la priode

est diffrente de lanne, il est prfrable de remplacer le terme annuit par semestrialit ,

trimestrialit ou mensualit .

Ltude des annuits consiste dterminer la valeur actuelle ou la valeur acquise, une date

donne, dune suite de flux. Elle prend en considration la date du premier flux, la priodicit

des flux, le nombre des flux et le montant de chaque flux.

Introduction

des flux, le nombre des flux et le montant de chaque flux.

Lorsque les annuits sont gales, on parle dannuits constantes, alors que lorsque leur

montant varie dune priode une autre, on parle dannuits variables.

Remarques :

Les annuits peuvent tre perues ou verses en dbut de priode ou en fin de priode.

Les annuits sont certaines si la priode est constante, cest--dire si le temps qui spare deux versements est toujours le mme et dans le cas contraire, la suite dannuits est alatoire.

4-1-1) La valeur acquise (Vn):

On appelle valeur acquise (Vn) par une suite dannuits constantes de fin de priode, la somme

des annuits exprime immdiatement aprs le versement de la dernire annuit.

4-1) Les annuits de fin de priode

Si on note par:

Vn : la valeur acquise par la suite des annuits

a : lannuit constante de fin de priode

n : le nombre de priodes (dannuits)

i : le taux dintrt par priode de capitalisation

On a alors:

Il sagit dune suite gomtrique de premier terme 1, de raison gomtrique q = (1+i)

et comprenant n termes. La formule devient donc:

4-1-2) Valeur actuelle.

On appelle valeur actuelle dune suite dannuits constantes de fin de priode, la somme des

annuits actualises (V0) exprime la date origine.

Remarque:

On rappelle que la valeur actuelle dune somme Ak est la somme place qui, aprs intrt, produit Ak.

Si on note par:

V0 = la valeur actuelle par la suite des annuits

a = lannuit constante de fin de priode

n = le nombre de priodes (dannuits)

i = le taux dintrt par priode de capitalisation

Alors:

On a donc une suite gomtrique de premier terme 1, de raison gomtrique q = (1+i)^(-1) et

comprenant n termes. La formule devient :

Exemple

La valeur actuelle de cette suite dannuits constantes est donc :

Quelle est la valeur actuelle au taux dactualisation de 6% dune suite dannuit

constante de 1500 euros verses la fin de chaque anne pendant 7 ans

Solution

Il sagit simplement de calculer la valeur actuelle de ces trois sommes dargent recevoir :

Exercice dapplication 1.

Combien je dois prter au taux mensuel de 3% pour me faire rembourser 230 Euros

pour les trois mois suivants (remboursement en fin de priode) ?

La valeur actuelle (VA) qui reprsente dans ce cas le montant emprunter pour avoir trois

remboursements mensuels de 230 Euro se calcule de la faon suivante :

VA = 230(1+3%)-1 + 230(1+3%)-2 + 230(1+3%)-3 = 650,58 Euro

Solution:


Quel montant faut-il placer chaque anne au taux 6%, et ce pendant 20 ans, pour

pouvoir obtenir lchance 100 000 ?


De combien doit-on disposer aujourdhui si lon dsire retirer 1000 chaque anne

pendant quatre ans sachant que le taux de placement est de 5,5 % ?

On a :

a=1000

n=4

i=0,055 Dou VA= 3505,15 euros

Solution:

Quelle sera la valeur totale dune srie de versements de 500 par mois, verss en fin

de priode pendant 8 ans au taux de 5,15% par an ?

combien aurait-il fallu verser mensuellement pour obtenir un capital de 100.000 au

terme des 8 annes?

Exercice 1 :

Une assurance vie propose deux formules en cas de dcs :

Exercice 2 :

Une assurance vie propose deux formules en cas de dcs :

Versement dun capital unique de 500.000

Versement dune rente annuelle de 50.000 pendant 12 ans

En considrant un indice du cot de la vie de 2 % par an,

laquelle des deux formules est la plus intressante ?

Un ami vous demande de lui prter 10.000 , quil se propose de vous

rembourser en 12 mensualits. Quel montant de mensualit devez-vous lui

demander pour vous assurer un taux de 5 % ?

Exercice 3 :

Exercice 4 :

Exercice 5:Exercice 5:

La valeur acquise par n annuits de 3500 euros capitalises au taux de 10% est de 350 000 euros.

Combien y a t-il dannuits (arrondir a lentier le plus proche) ?

Exercice 6:

Un couple verse chaque 2 mois une somme de 800 sur un compte rmunr 2 % le semestre. La capitalisation des intrts est semestrielle.1) Calculer la valeur acquise au moment du 10me versement.2) Quel devrait tre le montant des versements si le couple veut disposer dun capital de 10 000 ce moment l ? (arrondir leuro le plus proche)

4-2) Annuits constantes en dbut de priode.

4-2-1) La valeur acquise :

Si on considre que les flux sont verss en dbut de priode, on obtient le graphique

suivant:

On a donc une suite gomtrique de premier terme 1, de raison gomtrique q = (1+i)

et comprenant n termes. La formule devient donc:

4-2-2) La valeur actuelle.

On a donc une suite gomtrique de premier terme 1, de raison gomtrique q = (1+i)^(-1) et

comprenant n termes. La formule devient :

Dou

Exemple 1 :

En dposant un montant d'argent le premier de chaque mois du 1er janvier 2002

au 1er janvier 2003, on dsire accumuler 1000$ au 1er janvier 2003. Si le taux mensuel

est de 0,005,quelle doit tre la valeur du montant dargent dpos chaque mois?

$27,74

005,01005,1

1000005.11

13=

=a

Solution

005,0

Exemple 2 :

Quel montant doit-on verser le premier janvier de chaque anne et pendant 8 ans

pour rembourser un emprunt de 90 000 DH avec un taux de 7% ?

Application directe de la formule: a=14086 DH

Exercice 1.

Calculer, dans chacun des cas suivants, la valeur acquise par une suite de versement

priodiques et constantes, en dbut de priode :

a) 18 annuits gales chacune a 12 500 Dh. Taux annuel de capitalisation : 9,60%

b) 12 semestrialits gales chacune a 4500 Dh. Taux mensuel : 4%

c) 16 trimestrialits gales chacune a 2800 Dh. Taux semestriel : 2,25%.

4-3) Les annuits variables4-3-1) Les annuits quelconques de fin de priode.

a) La valeur acquise.

Si on note par:

Vn = la valeur acquise par la suite des annuits.

ap = lannuit la date p.n = le nombre de priodes (dannuits)

i = le taux dintrt.

Alors:

b) La valeur actuelle.

Exemple :Quelle est la valeur actualise et acquise dune srie de 5 placements annuels conscutifs en fin de priodes de resp. 1000 DH,800 DH, 900DH, 1200DH, 1000DH suivis de 5 autres gaux resp. 700DH,600DH, 200DH,1000DH, 900DH5 le taux dintrt tant de 8 % ?

3-4-2) Les annuits quelconques de dbut de priode

a) La valeur acquise

b) La valeur actuelleb) La valeur actuelle

Exemple :Quelle est la valeur actualise et acquise dune srie de 4 placements annuels conscutifs en dbut de priodes de resp.1200 DH, 1000DH, 900DH, 1000DH suivis de 3 autres gaux resp 1900 DH, 1500DH, 1000DH. le taux dintrt est de 7 % ?

4-4) Les annuits en progression arithmtique4-4-1) Les annuits de fin de priode en progression arithmtique


Soit une progression arithmtique dannuits de raison r reprsente par le graphique suivant:

Alors:

b) La valeur actuelle

La valeur actuelle est donne par:

Exemple 1:

Calculer la valeur acquise dune suite dannuits de fin de priode, en progression

arithmtique dont les caractristiques sont les suivantes:

a = 1 000 euros

n = 5ans

i = 5%

r = 100 euros

Exemple 2:

Calculer la valeur actuelle dune suite arithmtique de 20 annuits dont le premier

terme est de 1000 et de raison 100 dont le taux est de 10%.

Exemple 3:

Etablir la valeur acquise dune suite de 20 annuits variables en progression

arithmtique, sachant que la premire annuit a pour valeur 1000 de raison 100 et

de taux 12%.

4-5) Les annuits en progression gomtrique4-5-1) Les annuits de fin de priode en progression gomtrique


Soit une progression gomtrique dannuits de fin de priode de raison q reprsente par le

graphique suivant:

La valeur acquise est donne par :La valeur acquise est donne par :

b) La valeur actuelle

On sait que : Alors:

Exercice 1

Une personne place sur un compte d'pargne lui rapportant 4,5% l'an, quinze annuits en

progression gomtrique de raison 1,2. Deux ans aprs le dernier versement, le solde du compte,

sur lequel aucun retrait n'a t effectu, montre un avoir de 200 000.

a) En dsignant par X le capital disponible 2 annes aprs le dernier versement, par n le

nombre de versements, par a le montant du premier versement, par q la raison des versements et

par i le taux annuel, trouver une relation entre X, n, a, q et i

b) Calculer le montant du premier versement

Exercice 2:

Le premier juillet de chaque anne, Monsieur X verse sur un compte d'pargne 10 000

capitaliss 4,5%. Le nombre des versements est gal 10.Cinq ans aprs le dernier versement,

Monsieur X retire, et ainsi de suite chaque anne, une somme de 10 000 sur ce compte.

Le nombre de retraits est gal 10.

a) De quelle somme dispose Monsieur X sur son compte immdiatement aprs son

dernier retrait ?

b) Quel aurait d tre le montant constant de chacun des 10 retraits pour que ce solde soit nul ?

5) Emprunt indivis

On appelle emprunt indivis, un contrat entre un et un seul prteur et un et un seul emprunteur.

Un tel emprunt fait lobjet dun remboursement contractuellement fixe au moment de la

signature du contrat (modalits damortissement).

Il est caractris par plusieurs lments:

Le montant de lemprunt C0 .

La dure de lemprunt T.

Le taux de lemprunt i. Les modalits de remboursement.

5-1) Dfinition

Le taux de lemprunt i. Les modalits de remboursement.

Remarque:

Les modalits de remboursement peuvent prendre 3 formes:

Lamortissement in fine ou emprunt remboursable en une seule fois.

Remboursement par amortissements constants.

Remboursement par annuits constantes.

5-2) Le tableau damortissement

Pour construire le tableau damortissement, il faut disposer des lments suivants :

o Le montant du capital emprunt appel nominal et not Co la date t = to.

o Le taux fixe d intrt not i.

o Le mode damortissement du capital.

o La dure de lemprunt note T.

Avec:

C0 : capital restant d au dbut de la premire anne soit le montant de lemprunt.

Ip : intrt de la Pme priode.

mp : amortissement de la Pme priode.

ap : annuit de la Pme priode.

Cp-1: capital restant d au dbut de la Pme priode.

Remarques

Dans le tableau ci-dessus le terme annuit de remboursement peut tre remplac par les

termes : semestrialit, mensualit ou trimestrialit.termes : semestrialit, mensualit ou trimestrialit.

Lannuit de remboursement comprend deux lments :

Les intrts pays sur la priode coule nots It.

Le capital amorti not mt

La formule de calcul :

Les intrts pays a la fin de chaque priode sont calculs en appliquant le taux nominal au

capital restant d en dbut de priode.


5-3) Proprits dun emprunt indivis

a) Le capital restant da) Le capital restant d


Le capital restant d aprs le paiement des k premires annuits est gal au capital initial

diminu des k premiers amortissements.

b) La somme des amortissements

Les amortissements servent rembourser la dette donc leur somme est gale au capital

emprunt:

Remarque:

Aprs le paiement du nime amortissement mn, le capital restant d est gal zro donc la

dette non rembourse avant le paiement de mn est gale mn cest dire Cn-1 = mn

c) Le montant des intrts pays

Le montant des intrts pays aprs le versement des k premires annuits est gal au montant

Ik tel que :

d) Le cout total de lemprunt

Le cout total de lemprunt est gal la somme de tout les intrts verss.

e) Le dernier amortissement et la dernire annuit

Le dernier amortissement et la dernire annuit sont lis entre eux par une relation :

5-4) Etudes des systmes demprunt les plus utiliss.

5-4-1) Lamortissement in fine ou emprunt remboursable en une seule fois

5-4-1-1) Dfinition

Le capital emprunt Co est rembours a la fin de la dernire priode (en T).

Le remboursement du capital dun emprunt seffectue en une seule fois, la fin du contrat. Le

montant de lintrt (I) vers chaque chance, prvue par le contrat, est gal au montant

emprunt multipli par le taux dintrt. Les caractristiques de cette emprunt sont:

Le capital emprunt Co est rembours a la fin de la dernire priode (en T).

Le capital restant d en dbut de priode tant le mme (Co) lintrt pay a chaque priode

est une constante.

Toutes les annuits sont constantes et gales au montant de lintrt sauf la dernire qui

incorpore en plus lintrt de la dernire priode, le montant du remboursement total du

Capital emprunt (Co).

5-4-1-2) Tableau damortissement

Exemple :

Priodes Capital restant d Intrt Amortissement annuits

1

2

3

4

Co=100 000 euros

i=6%

n=4 ans

100 000

100 000 6000

6000

6000

6000

100 000

100 000

100 000

6000

6000

6000

106 000

-

-

-

5-4-2) Remboursement par amortissements constants

5-4-2-1) Dfinition:

Il sagit demprunt dont les remboursements se font par amortissements constants ou

encore par srie gale.

Les caractristiques gnrales sont :

A la fin de chaque priode on rembourse une part constante du capital emprunt.

Cette part est gale au capital emprunt divis par le nombre de priodes de

remboursement.remboursement.

Le capital restant d et les intrts payer diminuent rgulirement.

Les annuits de remboursement sont la somme des k remboursements et les

intrts pays.

5-4-2-2) Tableau damortissement:

Si le capital emprunt est Co et T le nombre de priodes, lamortissement constant m est

donn par la formule suivante :

Priodes Capital restant du Intrt Amortissement annuits

1

2

3

4

Exemple : Co=100 000 eurosi=6%

n=4 ans

25 000

25 000

25 000

25 000

100 000 6 000 31 000

75 000 4500 29500

50 000 3 000 28 000

25 000 1500 26 500

5-4-3) Remboursement par annuits constantes

5-4-3-1) Dfinition

Il sagit dun emprunt rembours par annuits constantes dont les caractristiques sont les

suivantes :

Lannuit de remboursement de fin de chaque priode compose des intrts et dune fraction

du capital amorti est une constante.

Le capital rembours la fin de chaque priode est gale a la diffrence entre lannuit de

remboursement et lintrt priodique.

Lintrt priodique est obtenu par multiplication du capital restant d et le taux dintrt.

Le montant de lintrt priodique diminue au cours du temps.

Lannuit de remboursement est obtenue a partir de la relation donnant la valeur actuelle

Le montant de lintrt priodique diminue au cours du temps.

Lannuit de remboursement est obtenue a partir de la relation donnant la valeur actuelle

dune suite de flux constants verss en fin de priode pendant T priodes au taux i.

5-4-3-2) Tableau damortissement

Exemple :

Priodes Capital restant d Intrt Amortissement annuits

1

Co=100 000 euros

i=6%

n=4 ansa = 28859,15

28859,15100 000 6 000 22859.15

2

3

4

28859,15

28859,15

28859,15

28859,14

100 000 6 000 22859.15

77140.85 4628.451 24230.7

52910.15 3174.6 25684.54

27225,61 1633,53 27225,61

Les amortissements forment une suite gomtrique de

raison 1+i

Exercice 2.

Exercice 1:

Une entreprise dsire raliser un investissement de 800 000 . Lentreprise, pour financer le

projet, fait appel un emprunt bancaire (emprunt indivis).

La banque lui propose trois modalits au taux annuel de 8%, pour une dure de 4 ans :

Premire modalit: Remboursement in fine.

Deuxime modalit: Remboursement par amortissements constants.

Troisime modalit: Remboursement par annuits constantes.

1). Remplir les 3 tableaux en expliquant comment obtenir la premire ligne de chaque tableau.

2). Quelle modalit choisir si lobjectif de lentreprise est de payer le moins dintrts possible ?

Exercice 2.

Deux tudiants frachement diplms dcident de crer leur propre entreprise. Ils estiment

avoir besoin de 150 000 . Ils dcident alors dapporter chacun 25 000 titre personnel,

et de recourir un emprunt bancaire pour le reste.

Aprs un long entretien avec leur banquier, ce dernier leur propose de choisir entre deux

modalits, au taux annuel de 6,5%, pour une dure de 5 ans :

Premire modalit: Remboursement in fine;

Deuxime modalit: Remboursement par amortissements constants.

1) Remplir les 2 tableaux en expliquant comment obtenir la premire ligne de chaque tableau.

2) Quelle modalit choisir sils dsirent payer le moins dintrts possible ?

6) Emprunt obligataire6-1) Dfinition

Lorsque le montant de lemprunt est trs lev, lemprunteur est oblig de sadresser plusieurs

prteurs appels obligataires ou souscripteurs . En effet, le montant de lemprunt est

divis en parts gales ngociables appeles obligations.

Les principes mathmatiques sont identiques ceux des emprunts indivis sauf que le capital

emprunt est rembours diffrents prteurs. Donc, pour constituer un capital de nominal

C0, lemprunteur met N obligations gales dun montant VN. On aura:

6-2) Les principales caractristiques dune obligation

Les obligations sont caractrises par les lments suivants:

La valeur nominale (VN): Cest la valeur faciale de lobligation. Elle est unique pour

toutes les obligations dun mme emprunt. Elle constitue le montant partir duquel est tabli

le tableau damortissement et la base de calcul des intrts.

La valeur dmission (VE): Cest la somme effectivement paye par lobligataire pour lachat

dune obligation.

La valeur de remboursement (VR):

La valeur dmission peut tre diffrent du nominal. Lorsquil est gal au nominal, on dit que

lobligation est mise au pair , sil en est infrieur, on dit que lobligation est au dessous

du pair alors que sil en est suprieur, on dit que lmission est au dessus du pair .

La diffrence entre la valeur dmission et la valeur nominale est appele prime dmission.

Remarque 1:

Prime dmission = Valeur nominale - Prix dmission

La valeur de remboursement (VR):

Cest la somme verse par lemprunteur au moment du remboursement de lobligation.

La valeur de remboursement peut tre gale la valeur nominale, on parle dans ce cas dun

remboursement au pair , ou suprieure (resp. infrieure) la valeur nominale et on parle

alors dun remboursement au dessus du pair (reps.au dessous de pair). La diffrence

entre la valeur de remboursement et la valeur dmission est appele prime de

remboursement.

Prime de remboursement = Prix de remboursement Valeur nominale

Remarque 2:

Exemple:

Soit un emprunt obligataire de 1 000 000 euros divis en 1000 obligations le tableau ci-dessous rassemble les diffrentes cas dmission de cet emprunt:

Remarque 3

Lorsque le prix dmission a t infrieur la valeur nominale et que le prix de remboursement

est suprieur la valeur nominale il y a double prime

Le taux nominal (i) : Cest le taux de la rmunration de lobligation. On lappelle aussi taux

facial. Appliqu la valeur nominale, il permet de calculer le montant des intrts (coupon).

La date de souscription : Cest la date de rglement de lachat de lobligation par le

souscripteur.

La date de jouissance : Cest la date partir de laquelle les intrts commencent courir.

Le coupon (c): Cest le montant des intrts servis chaque chance, pour chaque obligation.

On a : c = VN * i.

Le coupon couru (cc): Montant des intrts accumuls mais non encore verss depuis le

dernier paiement des intrts d'une obligation.

Le coupon couru (cc): Montant des intrts accumuls mais non encore verss depuis le

dernier paiement des intrts d'une obligation.

6-3) Le taux actuariel brut:

Le taux actuariel brut d'une obligation est le taux qui annule la diffrence entre le prix d'mission et la valeur actuelle des flux futurs qu'elle gnre. Ce taux est calcul au jour du rglement et figure obligatoirement dans les brochures d'mission. Pour l'acheteur de l'obligation, le taux actuariel reprsente le taux de rentabilit qu'il obtiendrait en gardant l'obligation jusqu' son remboursement et en rinvestissant les intrts au mme taux actuariel.

Exemple:une obligation 6 % au nominal de 1 000 , jouissance au 31.12. Au 30 septembre.

Le coupon couru est de 1 000 x 6 % x 9/12 = 45 .

Exemple :

Supposons que vous investissiez lmission dans une obligation de nominal 1000 euros un prix

d mission de 995 euros avec un taux nominal de 5% pendant 4 ans. Calculer de taux actuariel

brut (remboursement in fine).

Comme pour lemprunt indivis, le mode de remboursement de de lemprunt obligataire peut tre:

En bloc ou in fine: Tous les titres sont rembourss en une seule fois lchance.

Par amortissement constant: Un mme nombre dobligations est rembours chaque

anne.

Par annuits sensiblement constantes: Les annuits ne sont pas strictement constantes

parce que lamortissement doit concerner un nombre entier dobligations.

6-4) Les modalits de remboursement de lemprunt obligataire

Exemple : Montant de lobligation: 500 ; Dure : 4 ans ; Taux : 4 %. Remboursement au pair : 500 par obligation. Nombre d'obligations mises : 1000 obligations.

6-4-1) Remboursement en bloc ou in fine

Le remboursement est effectu en bloc la fin de la dure de l'emprunt.

Tableau

chance Nbr dobligationEncore vivantes

Intrt Nombre dobligation amorties

Montant Annuits

1 1000 20 000 0 0 20 000

2 1000 20 000 0 0 20 000

3 1000 20 000 0 0 20 000

4 1000 20 000 1000 500 000 520 000

6-4-2) Remboursement par amortissement constant.

Exemple : Montant de lobligation: 500 ; Dure : 4 ans ; Taux : 4 %. Remboursement au pair : 500 par obligation. Nombre d'obligations mises: 1000 obligations.

Le nombre dobligation amorties tout les ans=N/nAvec N: nombre dobligation mises.Et n: dure de lemprunt.

Tableau



Montant Annuits

1 1000 20 000 250 125000 145 000

2 750 15 000 250 125000 140 000

3 500 10 000 250 125000 135 000

4 250 5 000 250 125000 130 000

6-4-3) Remboursement par annuits constantes

i=C*i/RN=n1+n2+.+npNp+1 =Np(1+i)

Exemple : Montant de lobligation: 500 ; Dure : 4 ans ; Taux : 4 %. Remboursement au pair : 500 par obligation. Nombre d'obligations mises : 1000 obligations.

Tableau

Nombre dobligation amorties forme une suite

gomtrique de raison 1+i



Montant Annuits

1 1000 20000 235 117500 137500

2 765 15300 245 122500 137800

3 520 10400 255 127500 137900

4 265 5300 265 132500 137800

Exercice dapplication.

Une entreprise mit un emprunt obligataire de 960 000 dont les caractristiques sont: Montant de lobligation: 800 ; Dure : 4 ans ; Taux : 4 %. Remboursement au pair : 800 par obligation. Nombre d'obligations mises : 1200 obligations.

Donnez les tableaux de remboursement par amortissement constant et par annuits constantes.

Exercice 1:Soit une obligation mise le 15/04/2007, rembourse in fine et dont la date de remboursement est le 15/04/2011. Les intrts sont verss, chaque anne le 15/04. La valeur nominale de lobligation est de 1 000 et son taux facial de 5%.Calculer le prix de lobligation le 24/03/2009 si le taux de rfrence du march obligataire (TMO) est de 6%. En dduire lquation que vrifie le TAB et prciser la syntaxe utiliser sur Excel pour dterminer le TAB.

Corrig:

La dure restant jusquau prochain paiement dintrts est de 22 jours soit 22/365 anne. Ainsi :

Par consquent :

P = 1028,05

Inversement, si le cours de lobligation est de 1028.05 , le TAB est le taux dactualisation i qui vrifie :

Pour rsoudre cette quation, il convient dutiliser la fonction TRI.PAIEMENTS dExcel comme suit :

Sur une feuille Excel, on saisit les dates et les flux correspondants, la valeur de lobligation devant tre signe ngativement :

Dans ce cas : i = TRI.PAIEMENTS(B1:B4 ; A1:A4).Excel fournit le rsultat attendu soit i = 6%.

Exercice 2:

Un emprunt obligataire est mis en juin 1996 aux conditions suivantes:-Valeur nominale: 5000 euros.- Prix dmission: 4975 euros.-Taux nominal: 7 %.- Dure totale: 8 ans (remboursement in fine).- Date de jouissance: 15 juin 1996.1) Calculer le taux actuariel brut offert par lemprunt.1) Calculer le taux actuariel brut offert par lemprunt.2) Le 16 juin 1998, immdiatement aprs le dtachement du coupon, le taux du march est de 10 %.Quelle est cette date la valeur de lobligation ? Mme question si le taux du march passe 5 %. Que peut-on conclure ?

Exercice 3 :Un investisseur souscrit une mission obligataire. Il achte 1 obligation assimilable du Trsor (OAT), remboursable in fine, dont le nominal est de 2 000 , le taux facial de 4% et la dure de vie de 5 ans. Vrifier que, lors de son introduction en bourse, le jour de lmission, lobligation cote 2 000 .Le taux de rfrence des OAT est port, au cours de la premire journe de cotation, 5%. Calculer combien stablit le nouveau cours de lobligation. En dduire la perte, en pourcentage, subie par linvestisseur.Que devient le cours de bourse de lobligation au bout de 2 ans dans les hypothses Que devient le cours de bourse de lobligation au bout de 2 ans dans les hypothses suivantes :

Le taux de rfrence du march obligataire (TMO) sest maintenu 4%.Le taux de rfrence du march obligataire (TMO) a t port 5%.

Corrig

2. Laugmentation du taux de rfrence conduit les investisseurs exiger un rendement plus lev. Les flux futurs reus par lobligataire tant constants, laugmentation du rendement se traduit par une baisse de la valeur du titre. Son nouveau cours est obtenu en modifiant le taux dactualisation. Ainsi :

La perte est alors de 1913-2000 = -87 soit

Au bout de 2 ans, la dure de vie rsiduelle de lobligation est de 3 ans. Ainsi, en notant V2 le nouveau cours de lobligation

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