Cours Math Sf

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Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique COURS DE MATHEMATIQUES COURS DE MATHEMATIQUES KHALID SBAI KHALID SBAI Khalid Khalid SBAI SBAI – COURS COURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES Ecole Supérieure de Technologie Ecole Supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique [email protected] [email protected] Université Moulay Ismaïl Université Moulay Ismaïl Enseignant Enseignant – Chercheur Chercheur

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COURS DE MATHEMATIQUESCOURS DE MATHEMATIQUES

KHALID SBAIKHALID SBAI

Khalid Khalid SBAISBAI –– COURSCOURS DE DE MATHEMATIQUEMATHEMATIQUE APPLIQUEESAPPLIQUEES

Ecole Supérieure de TechnologieEcole Supérieure de TechnologieDépartement de Génie ElectriqueDépartement de Génie Electrique

[email protected]@yahoo.fr

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CHAPITRE IIICHAPITRE III

SERIES DE FOURIERSERIES DE FOURIER

Khalid Khalid SBAISBAI –– COURSCOURS DE DE MATHEMATIQUEMATHEMATIQUE APPLIQUEESAPPLIQUEES

SERIES DE FOURIERSERIES DE FOURIER

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I. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUESI. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUESI.1 DéfinitionI.1 Définition

On appelle série trigonométrique réelle, toute série de fonctions On appelle série trigonométrique réelle, toute série de fonctions dont le terme général Udont le terme général Unn(t) est de la forme:(t) est de la forme:

où (aoù (ann) et () et (bbnn) sont deux suites numériques réelles, a) sont deux suites numériques réelles, avec la convention bvec la convention b00=0=0..

( ) ( )( ) cos sinn n nU t a n t b n tω ω= +

La suite des sommes partielles associée à la série est:La suite des sommes partielles associée à la série est:( )U t∑

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Remarque:Remarque:

�� Pour tout n, UPour tout n, Unn est une fonction définie partout dans R et est une fonction définie partout dans R et elle est périodique de période : elle est périodique de période :

�� Si la série est une série convergente alors sa somme Si la série est une série convergente alors sa somme est une Fonction périodique de période : est une Fonction périodique de période :

nU∑

2nT

n

πω

=

0

2T

πω

=

La suite des sommes partielles associée à la série est:La suite des sommes partielles associée à la série est:( )nU t∑

( ) ( )( )01

( ) c o s s inn

n k kk

S t a a k t b k tω ω=

= + +∑

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Dans le cas d’une série trigonométrique:Dans le cas d’une série trigonométrique:

I.2 Théorème 1I.2 Théorème 1SiSi uneune sériesérie dede fonctionsfonctions estest majoréemajorée parpar uneune sériesérienumériquenumérique ieie ,, alorsalors lala sériesérie estestuniformémentuniformément convergenteconvergente dansdans RR..

( )nf t∑nnf v≤nv∑ ( )nf t∑

( ) ( )( ) c o s s inn n n n nU t a n t b n t a bω ω= + ≤ +

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Si le séries numériques et sont absolument Si le séries numériques et sont absolument convergentes, alors la série trigonométriqueconvergentes, alors la série trigonométrique

est absolument convergente et même uniformément dans R. De est absolument convergente et même uniformément dans R. De plus, la somme S(t) est continue sur R.plus, la somme S(t) est continue sur R.

0n

n

a≥∑

0n

n

b≥∑

( ) ( )( )0

c o s s inn nn

a n t b n tω ω∞

=

+∑

Vn

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Exemple:Exemple:

Si les séries numériques et sont absolument convergentes, Si les séries numériques et sont absolument convergentes,

alors la série trigonométriquealors la série trigonométrique

est uniformément convergente dans R.est uniformément convergente dans R.

I.3 Théorème 2I.3 Théorème 2

0n

n

a≥∑

0n

n

b≥∑

( ) ( )( )0

c o s s inn nn

a n t b n tω ω∞

=

+∑

cos( )nt∞

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⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

Soit la série trigonométrique: Soit la série trigonométrique:

Comme la série numérique est convergente (série deComme la série numérique est convergente (série de

Riemann Riemann αααααααα= 2), la série trigonométrique est = 2), la série trigonométrique est uniformément convergente sur R.uniformément convergente sur R.

21

cos( )

n

nt

n

=∑

2 2

cos( ) 1nt

n n≤

2

1

n∑

21

cos( )

n

nt

n

=∑

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En introduisant la notation complexe de cos(En introduisant la notation complexe de cos(nnωωωωωωωωtt) et sin() et sin(nnωωωωωωωωtt), il est ), il est possible d'obtenir une écriture complexe de la série trigonométrique. possible d'obtenir une écriture complexe de la série trigonométrique.

Ainsi, en appliquant les formules d’Euler, on donnera une forme Ainsi, en appliquant les formules d’Euler, on donnera une forme simple à la série de fonction : simple à la série de fonction :

Pour n≠0, on a:

I.4 Représentation complexe (2I.4 Représentation complexe (2èmeèmeForme de la série)Forme de la série)

cos2

ix ixe ex

−+= sin2

ix ixe ex

i

−−=

nU∑

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Pour n≠0, on a:

( ) cos sinn n nU t a n t b n tω ω= +

2 2

in t in t in t in t

n n

e e e ea b

i

ω ω ω ω− − + −= +

2 2 2 2in t in tn n n na b a b

e ei i

ω ω− = + + −

in t in tn ne C e Cω ω−

−= +

avec:avec:

2 2n n

n

a bC

i = +

et

2 2n n

n

a bC

i− = −

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Par suite: Par suite: ( )0

( ) cos sinn

n k kk

S t a k t b k tω ω=

= +∑

( )01

nik t ik t

k kk

a C e C eω ω−−

== + +∑

( )01

cos sinn

k kk

a a k t b k tω ω=

= + +∑

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1k =

01 1

n nik t ik t

k kk k

C C e C eω ω−−

= == + +∑ ∑

nik t

kk n

C e ω

= −= ∑

D’où: D’où: ( ) lim ( ) in tn n

nS t S t C e ω

+∞

→ +∞ −∞

= = ∑

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Si la série trigonométrique Si la série trigonométrique

estest uniformémentuniformément convergenteconvergente versvers sasa sommesomme S(t),S(t), alorsalors leslescoefficientscoefficients dede lala sériesérie etet lala sommesomme dede cettecette sériesérie sontsont liésliés parpar leslesrelationsrelations ::

I.5 ThéorèmeI.5 Théorème

0

1( )

T in tnC S t e dt

Tω−= ∫

in tn

n

C e ω+∞

=−∞∑

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T

En effet: ( )( ). ip t ip t in t i n p tn n

n n

S t e e C e C eω ω ω ω+∞ +∞

− − −

=−∞ =−∞

= =∑ ∑

Or la série est uniformément convergente elle est Or la série est uniformément convergente elle est

donc intégrable, et on a :donc intégrable, et on a :

( )i n p tn

n

C e ω+∞

=−∞∑

( ) ( )

0 0 0( ).

T T Tip t i n p t i n p tn n

n n

S t e dt C e dt C e dtω ω ω+∞ +∞

− − −

=−∞ =−∞

= =∑ ∑∫ ∫ ∫

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D’où:

0, ( ).

T ip tpp Z S t e dt TCω−∀ ∈ =∫On a alors:

0

1( ).

T ip tpC S t e dt

Tω−= ∫

or: ( ),0

T i n p tn pe dt Tω δ− =∫

De plus, si la série trigonométrique s'écrit :De plus, si la série trigonométrique s'écrit :nU∑

( ) ( )( )0

c o s s inn nn

a n t b n tω ω∞

=

+∑

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0n =

n n na C C−= + et ( )n n nb i C C−= −

et on a : et on a : ( )0

2( )cos .

T

na S t n t dtT

ω= ∫

( )0

2( )sin .

T

nb S t n t dtT

ω= ∫

0 0a C=

Alors on peut calculer les coefficients aAlors on peut calculer les coefficients ann et et bbnn par :par :

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Prenant en compte la relation trigonométrique suivante:Prenant en compte la relation trigonométrique suivante:

On voit bien que le développement en série de Fourier peut On voit bien que le développement en série de Fourier peut également s’écrire:également s’écrire:

2 2cos( ) sin( ) cos arctanB

A x B x A B xA

+ = + + −

I.6 Troisième forme de la sérieI.6 Troisième forme de la série

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( )01

( ) cosn nn

S t A A n tω ϕ∞

=

= + +∑

UnUn signalsignal périodiquepériodique S(t)S(t) estest uneune SommeSomme dede sinusoïdessinusoïdes d'amplituded'amplitude CCnn,,dede fréquencefréquence nfnf etet dede phasephaseφφnn.. IlIl estest créecrée dede manièremanière équivalenteéquivalente parparuneune infinitéinfinité dede générateursgénérateurs sinusoïdauxsinusoïdaux..

0 0 0A a C= =

2 22n n n nA C a b= = + arctan nn

n

b

= −

Avec:Avec:

etet

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II. Décomposition d’une fonction en série de FourierII. Décomposition d’une fonction en série de Fourier

II.1. DéfinitionII.1. DéfinitionSoitSoit xx unun signalsignal TT--périodique,périodique, àà valeurvaleur réelleréelle ouou complexe,complexe,

continuecontinue parpar morceauxmorceaux etet intégrableintégrable sursur touttout ferméfermé dede RR.. OnOnappelleappelle sériesérie dede FourierFourier dede x,x, lala sériesérie trigonométriquetrigonométrique::

La décomposition d’un signal x(t) en série de Fourier consiste à La décomposition d’un signal x(t) en série de Fourier consiste à trouver une série trigonométrique dont x(t) est la somme.trouver une série trigonométrique dont x(t) est la somme.

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( ) ( )( )01

c o s s inn nn

a a n t b n tω ω∞

=

+ +∑

avec :avec :

( )0

2( ) cos .

T

na x t n t d tT

ω= ∫

( )0

2( ) sin .

T

nb x t n t d tT

ω= ∫

( )0 0

1( ) cos .

Ta x t n t d t

Tω= ∫

in tnC e ω

+∞

−∞∑

0

1( )

T in tnC x t e dt

Tω−= ∫

∀∀∀∀∀∀∀∀n n ∈∈∈∈∈∈∈∈ Z;Z;∀∀∀∀∀∀∀∀n n ∈∈∈∈∈∈∈∈ |N;|N;

avec :avec :

HASSANE(HO)
Highlight
HASSANE(HO)
Highlight
HASSANE(HO)
Highlight
HASSANE(HO)
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HASSANE(HO)
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HASSANE(HO)
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HASSANE(HO)
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HASSANE(HO)
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HASSANE(HO)
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HASSANE(HO)
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HASSANE(HO)
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HASSANE(HO)
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HASSANE(HO)
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HASSANE(HO)
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x(t)
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II.2 Interprétation physique du développement en série de Fourier II.2 Interprétation physique du développement en série de Fourier

Pour Pour ( ) ( )( )0 0 01

( ) c o s s i nn nn

x t a a n t b n tω ω∞

== + +∑

lele signalsignal x(t)x(t) sese décomposedécompose enen lala sommesomme ::

�� d’und’un termeterme constantconstant égalégal àà lala valeurvaleur moyennemoyenne dudu signalsignal x(t)x(t)appeléappelé composantecomposante continuecontinue dudu signalsignal..

Valeur moyenne du signal Valeur moyenne du signal sur une période Tsur une période T

0

0 0 0

1( )

TC a x t d t

T= = ∫

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sur une période Tsur une période T00

0 0 00

( )C a x t d tT

= = ∫

�� uneune infinitéinfinité dede termestermes sinusoïdauxsinusoïdaux dede fréquencesfréquences multiplesmultiplesdede 11/T/T00..

�� Composante fondamentale ou 1er harmonique:Composante fondamentale ou 1er harmonique:

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Signal de même fréquence que le signal périodique fSignal de même fréquence que le signal périodique f0 0 = 1/T= 1/T00

0 02 2.1 1 1( ) ( ) j t j t

fondamental harmx t x t C e C eπω πω−−= = +

0 0. ( ) jn t jn t

harm n n nx t C e C eω ω−−= +

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�� LesLes coefficientscoefficients aann etet bbnn,, ouou ccnn etet AAnn sontsont appelésappelés coefficientscoefficientsdede FourierFourier dudu signalsignal xx..

�� LesLes coefficientscoefficients ccnn,, correspondantcorrespondant àà lala secondeseconde formulationformulation dedelala décompositiondécomposition enen sériesérie dede Fourier,Fourier, sontsont appelésappelés amplitudeamplitudedesdes harmoniquesharmoniques d’ordred’ordre nn..

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�� LesLes termestermes dede fréquencefréquence n/Tn/T00 avecavec nn≥≥≥≥≥≥≥≥22 sontsont appelésappeléscomposantescomposantes harmoniquesharmoniques dudu signalsignal dede rangrang nn..

�� LeLe termeterme dede fréquencefréquence 11/T/T00 s’appelles’appelle lele fondamentalfondamentaldudu signalsignal..

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II.3. Spectre d'amplitude et de phaseII.3. Spectre d'amplitude et de phaseII.3.1. Spectre d'amplitude (ou Spectre de fréquence) II.3.1. Spectre d'amplitude (ou Spectre de fréquence)

OnOn appelleappelle spectrespectre dede fréquencefréquence d’und’un signalsignal périodiquepériodique dudutemps,temps, lele diagrammediagramme enen bâtonsbâtons obtenuobtenu enen représentantreprésentantl’amplitudel’amplitude ||CCnn || desdes différentsdifférents harmoniquesharmoniques enen fonctionfonction dede lalafréquencefréquence ffnn=n/T=n/T..LeLe spectrespectre d’amplituded’amplitude représentereprésente doncdonc lesles variationsvariations dede ||CCnn ||enenfonctionfonction dedelala fréquencefréquence..

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enenfonctionfonction dedelala fréquencefréquence..

Spectre d’amplitude d'un signal périodiqueSpectre d’amplitude d'un signal périodique

0 125 H z

A =1

cy cliq u e = 1 /2

f

R apport

====

2

2 1

0

4( 2 1)

n

n

a

an ππππ++++

==== ==== ++++

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II.3.2. Spectre de phaseII.3.2. Spectre de phase

OnOn appelleappelle spectrespectre dede phasephased’und’un signalsignal périodiquepériodique dudu temps,temps, lelediagrammediagramme enen bâtonsbâtons obtenuobtenu enen représentantreprésentant lala phasephase ϕϕϕϕϕϕϕϕnn desdesdifférentsdifférents harmoniquesharmoniques enen fonctionfonction dede lala fréquencefréquence ffnn=n/T=n/T..LeLe spectrespectre phasephasereprésentereprésente doncdonc lesles variationsvariations dedeϕϕϕϕϕϕϕϕnn enen fonctionfonctiondede lala fréquencefréquence..

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II.3.3 Reconstitution d'un signal à partir d'un II.3.3 Reconstitution d'un signal à partir d'un nombre fini d'harmoniquesnombre fini d'harmoniques

(((( )))) (((( )))) (((( ))))0 0 0

4 4 4( ) s i n 2 s i n 2 ( 3 ) s i n 2 ( 5 ) . . . . .

3 5x t f t f t f tπ π ππ π ππ π ππ π π

π π ππ π ππ π ππ π π= + + += + + += + + += + + +

Décomposition du signal carréeDécomposition du signal carrée

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Les figures ciLes figures ci--dessus montrent la reconstitution du signal carré à dessus montrent la reconstitution du signal carré à l'aide de 2, 3, 15 et 30 harmoniques.l'aide de 2, 3, 15 et 30 harmoniques.

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Si x est TSi x est T--périodique de classe Cpériodique de classe C11 par morceaux sur [0, T] alors sa par morceaux sur [0, T] alors sa somme somme SSxx(t) converge. De plus si:(t) converge. De plus si:

III. Théorème ( De Dirichlet)III. Théorème ( De Dirichlet)

�� x est continue en t alorsx est continue en t alors

�� tt00 est un point de discontinuité de x alors est un point de discontinuité de x alors 1

( ) lim ( ) lim ( )S t x t x t = += += += +

( ) ( )xS t x t====

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0 00 0 0

1( ) lim ( ) lim ( )

2xt t t t

S t x t x t+ −+ −+ −+ −→ →→ →→ →→ →

= += += += +

0( )x t −−−−

0( )x t ++++

0t

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Si x est périodique égale à la somme d’une série de Fourier alors :Si x est périodique égale à la somme d’une série de Fourier alors :

�� Si x est paire Si x est paire ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ bbnn = 0 = 0 ∀∀∀∀∀∀∀∀ n.n.�� Si x est impaire Si x est impaire ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ aann = 0 = 0 ∀∀∀∀∀∀∀∀ n.n.

III.1 Proposition 1III.1 Proposition 1

IV. Propriétés des coefficients de FourierIV. Propriétés des coefficients de Fourier

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SoitSoit xx estest périodiquepériodique ,, continuecontinue parpar morceauxmorceaux etet développabledéveloppable enensériesérie dede FourierFourier alorsalors lesles suitessuites (a(ann)) etet ((bbnn)) dede sesses coefficientscoefficients dedeFourierFourier convergentconvergent versvers 00..

III.2 Proposition 2 (Lemme de Lebesgue) III.2 Proposition 2 (Lemme de Lebesgue)

C’estC’est--àà--dire:dire: lim lim 0n nn na b

→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞= == == == =

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V. Propriétés des Séries de FourierV. Propriétés des Séries de Fourier

V.1 LinéaritéV.1 Linéarité

V.2 Décalage temporelV.2 Décalage temporel

( ) ( ) ( )si z t x t y tα β= +

( ) ( )si y t x t t= −

C ( ( )) C ( ( )) C ( ( ))n n nalors z t x t y tα β= +

CCnn inchangé,inchangé, maismais lala

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V.3 Inversion temporelleV.3 Inversion temporelle

x(t) paire x(t) paire ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ XX nn paire paire x(t) impaire x(t) impaire ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ XX nn impaire impaire

0 ( ) ( )si y t x t t= −

( ) ( )si y t x t= −

0 0 C ( ( )) C ( ( ))jn tn nalors y t e x tω−=

C ( ( )) C ( ( ))n nalors y t x t−=

CCnn inchangé,inchangé, maismais lalareprésentationreprésentation dede lala sériesériedede FourierFourier modifiéemodifiée

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V.4 Changement dV.4 Changement d ’échelle’échelle

V.5 MultiplicationV.5 Multiplication

(((( )))) (((( )))) (((( )))) si z t x t y t====

( ) ( )si y t x at=

1 C ( ( )) C ( ( / ))n nalors y t x t a

a=

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(((( )))) (((( )))) (((( )))) si z t x t y t====

Convolution discrèteConvolution discrète

X(t), y(t), z(t) de même période TX(t), y(t), z(t) de même période T

(((( )))) C ( ) ( ( )) ( ( ))n l n ll

alors z t C x t C y t+∞+∞+∞+∞

−−−−=−∞=−∞=−∞=−∞

==== ∑∑∑∑

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V.6 ThéorèmeV.6 Théorème

Soit x un signal périodique de période T > 0 et intégrable dans Soit x un signal périodique de période T > 0 et intégrable dans l’intervalle [0, T]. Alors pour tout α l’intervalle [0, T]. Alors pour tout α ∈∈∈∈∈∈∈∈ R, on aR, on a

Preuve:0

( ) ( )T T

x t d t x t d tα

α

+=∫ ∫

0( ) ( ) ( ) ( )

T T Tx t d t x t d t x t d t x t d t

α α+ += + +∫ ∫ ∫ ∫

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Dans l’intégraleDans l’intégraleon fait le changement de variableson fait le changement de variables

y = t − T.y = t − T. Ceci nous donneCeci nous donne

0

0( ) ( ) ( ) ( )

T T T

Tx t d t x t d t x t d t x t d t

α α

α α

+ += + +∫ ∫ ∫ ∫

( )T

Tx t d t

α +

0 0( ) ( ) ( )

T

Tx t d t x y T d y x y d y

α α α+= + =∫ ∫ ∫

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DoncDonc

Ainsi, les coefficients peuvent s’écrire :Ainsi, les coefficients peuvent s’écrire :

0

0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )

T T Tx t d t x t d t x t d t x t d t x t d t

α α

α α

+= + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 / 2 /( ) cos . ( ) cos . a x t n t dt x t n t dt

π ω α π ωω ωω ω α+

= = ∀ ∈ ℜ∫ ∫

( ) ( )2 / 2 /

0 0

2 2( ) cos . ( ) cos . a x t n t dt x t n t dt

π ω α π ω

α

ω ωω ω απ π

+= = ∀ ∈ ℜ∫ ∫

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En particulier si ω = 1, cas des signaux 2πEn particulier si ω = 1, cas des signaux 2π--périodique ;périodique ;

( ) ( )2 / 2 /

0( ) cos . ( ) cos . na x t n t dt x t n t dt

π ω α π ω

α

ω ωω ω απ π

+= = ∀ ∈ ℜ∫ ∫

( ) ( )2 / 2 /

0( ) sin . ( ) sin . nb x t n t d t x t n t d t

π ω α π ω

α

ω ωω ω απ π

+= = ∀ ∈ ℜ∫ ∫

( ) ( )2

0

1 1( ) cos . ( ) cos .na x t nt dt x t nt dt

π π

ππ π −= =∫ ∫

( ) ( )2

0

1 1( ) sin . ( ) sin .nb x t n t d t x t n t d t

π π

ππ π −= =∫ ∫

HASSANE
Note
cos n'existe pas
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V.7 DérivationV.7 DérivationSoit x un signal développable en série de Fourier, si x est dérivable Soit x un signal développable en série de Fourier, si x est dérivable et sa dérivée x’ est et sa dérivée x’ est DSFDSF, alors le , alors le DSFDSF de x’ s’obtient en dérivant de x’ s’obtient en dérivant termes à termes celui de x.termes à termes celui de x.

( ) ( )( )01

( ) c o s s inn nn

x t a a n t b n tω ω∞

=

= + +∑

( ) ( )( )'

1

( ) s in c o sn nn

x t n a n t n b n tω ω ω ω∞

=

= − +∑

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1n =

V.8 IntégrationV.8 IntégrationSi x est intégrable et à valeur moyenne nulle (Si x est intégrable et à valeur moyenne nulle (aaoo=0) alors le =0) alors le DSFDSF de de

s’obtient en intégrant termes à termes celui de x et en ajoutant s’obtient en intégrant termes à termes celui de x et en ajoutant comme constante la valeur moyenne de g(t).comme constante la valeur moyenne de g(t).

0( ) ( )

tg t x dτ τ= ∫

( ) ( )01

( ) s in c o sn n

n

a bg t g n t n t

n nω ω

ω ω

=

= + −

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VI. PROPOSITION (Égalité de VI. PROPOSITION (Égalité de ParsevalParseval))

( )2 21( ) .

TP x t dt C

+∞

= =∑∫2 2

2a b+∞ +

= + ∑

Si x est un signal périodique de période T, continue par morceaux Si x est un signal périodique de période T, continue par morceaux et si :et si :

sont convergentes alors :sont convergentes alors :

2

0n

n

a≥∑

2

1n

n

b≥∑etet

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( )2 2

0

1( ) .

T

moy nP x t dt CT −∞

= =∑∫ 20

1 4n n

n

a ba

+∞

=

+= +

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ LaLa puissancepuissance moyennemoyenne dd ’un’un signalsignal périodiquepériodique s’obtients’obtientenen sommantsommant lesles contributionscontributions desdes différentesdifférentes composantescomposantesharmoniquesharmoniques

2 22( ) 0

1.

T j nftmoy harm n n nP C e dt C

= = =∫Comme:Comme:

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VII. Exemples et applicationVII. Exemples et application

Exemple 1 :Exemple 1 :

Le signal x(t) :Le signal x(t) : a pour période T = 2,a pour période T = 2,

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Donc Donc ωωωωωωωω= = ππππππππ; elle est paire, donc ; elle est paire, donc bbnn =0.=0.

( ) 1 pou 2

r tT

x t t= − ≤De plus:De plus:

0

1

2a =

( )1

2 20

4 1 ( 1)1 cos( ) 2

2

n

na t n t d tn

ππ

− −= − =

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2 2

1 ( 1)2

n

nan π

− −= ( )

2

2 1 22

0

4

2 1

n

n

a

anπ+

= = +

Série de Fourier :Série de Fourier :

2 2 2 2

1 4 cos( ) 4 cos(3 ) 1 4 cos( (2 1) )( ) .....

t t n tS t

π π ππ π π

+∞ += + + + = ++∑

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2 2 2 20

( ) .....2 9 2 (2 1)n

S tnπ π π =

= + + + = ++∑

Le signal est continue donc (Dirichlet) S(t) = x (t) quel que soit t Le signal est continue donc (Dirichlet) S(t) = x (t) quel que soit t ∈∈∈∈∈∈∈∈ R.R.

(0) 1 S (0)=1x = ⇒

2 20

1 4 11

2 (2 1)n nπ

+∞

=+ =

+∑2

20

1

(2 1) 8n n

π+∞

=

=+∑

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Trouver la série de Fourier du signal 2Trouver la série de Fourier du signal 2ππππππππ périodique suivant:périodique suivant:

Réponse. Puisque x(t) est impair on a aRéponse. Puisque x(t) est impair on a an n = 0, pour n= 0, pour n≥≥≥≥≥≥≥≥00. On cherche . On cherche les coefficients b les coefficients b n n , pour, pour nn≥≥≥≥≥≥≥≥1.1.

Exemple 2 :Exemple 2 :

( ) , pour - .x t t tπ π= ≤ ≤

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les coefficients b les coefficients b n n , pour, pour nn≥≥≥≥≥≥≥≥1.1.

On déduitOn déduit

Par conséquentPar conséquent

2

1 1 cos( ) sin( )sin( )n

t n t n tb x nt d t

n n

ππ

πππ π

++

−−

= = + ∫

( ) 12 cos( ) 21

n

n

nb

n n

π += − −

s in ( 2 ) s in (3 )( ) 2 s in ( ) .. . . . .

2 3

t tx t t

= − + +

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Reconstitution du signal

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Trouver la série de Fourier du signal x(t) suivant:Trouver la série de Fourier du signal x(t) suivant:

Réponse:Réponse:

Exemple 3. Exemple 3.

0 p o u r - t 0 ( )

1 p o u r 0 tx t

ππ

≤ ≤= ≤ ≤

On a:On a:

0 0

1

2 2a dt

π πππ

= =∫

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Par conséquent:Par conséquent:

2 2π

0

1cos( ) 1na nt d t pour n

ππ

π+

= ≥∫

[ ] ( )1 1 1sin( ) 1 cos( ) 1 ( 1)

2n

nb nt d t nn n

π

ππ π

π+

−= = − − − −∫

Nous obtenons :Nous obtenons : 2 1

2

2 1nbn++

s in (3 ) s in (5 )( ) 2 s in ( ) ......

2 3 5

t tx t t

π + − + + ∼

b 2 n = 0 et

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Reconstitution du signal

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Signal carréSignal carré

( )

0 t ,2 4

1 t ,4 4

0 t ,4 2

T Tpour

T Tx t pour

T Tpour

∈ − − = ∈ − + ∈ + +

2T−

2T

4T−

4T

0

1

Exemple 4. Exemple 4.

t t∞ ∞

Série de Fourier:Série de Fourier:

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( ) 01 1

cos 2 sin 2n nn n

t tx t a a n b n

T Tπ π

∞ ∞

= =

= + +

∑ ∑

[ ]4

40

44

1 1 1 11

2 2

TT

TT

Ta d t t

T T T−−

= = = =∫

( )1

22

1 si est impair

0 si est pair

π− −=

n

n

nna

n

0= ∀nb n

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Exemple 5. Exemple 5. signal:

On peut remarquer que:On peut remarquer que:

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ dans la série de Fourier, il n’y a que deux termes non nuls: n=dans la série de Fourier, il n’y a que deux termes non nuls: n=±±±±±±±±1.1.Les deux coefficients de Fourier sont ½. Les deux coefficients de Fourier sont ½.

( ) c o s 2t

x tT

π =

( ) ( )1c o s

2j t j tt e e −= +

( )1 c o s 2

2j t j tt

e eT

ω ωπ − ⇒ = +

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Remarquons que x(t) est une fonction réelle et paire. En conséquence, Remarquons que x(t) est une fonction réelle et paire. En conséquence, les coefficients de Fourier sont réels et les coefficients de Fourier sont réels et CCnn = = CC−n−n

( )x t nC

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Le spectre d’amplitudeExemple 6. Exemple 6.

/2T/ 2T−−−−T

5T ττττ====

0

nC

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( )0

0

sin / 2

/ 2n

nAC

T n

ω ττω τ

=

( )0

0

sinn

n fAC

T nf

π τττ

=

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