Cours Math Sn

8/12/2019 Cours Math Sn

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Universit Moulay IsmalUniversit Moulay Ismal

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Chapitre IChapitre I



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SoitSoit lala suitesuite (U(Unn)) uneune suitesuite numriquenumrique dfiniedfinie dansdans II NN.. OnOn appelleappellesriesrie dede termeterme gnralgnral UUnn lala suitesuite desdes sommessommes partiellespartielles SSnn ::

SiSi lala suitesuite SS admetadmet uneune limitelimite finiefinie SS onon ditdit ueue lala sriesrie0====

==== n n k k

S U

I. DFINITIONI. DFINITION


dudu termeterme gnralgnral UUnn estest convergenteconvergente etet aa pourpour sommesomme ::

Si (SSi (Snn) admet une limite infinie, on dit que la srie est) admet une limite infinie, on dit que la srie estdivergentedivergente

0

lim

====

= == == == = n n n n

S S U


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PourPour qu'unequ'une sriesrie convergeconverge ilil fautfaut queque sonson termeterme gnralgnral UUnn tendtendversvers 00 quandquand

En effetEn effet, si la srie converge et admettent la mme, si la srie converge et admettent la mme1nS

n

nS =

II. Condition ncessaire de convergenceII. Condition ncessaire de convergence


CetteCette conditioncondition n'estn'est paspas suffisantesuffisante !!

SaSa rciproquerciproque estest faussefausse !!La contrapose de cette condition permet de dmontrerLa contrapose de cette condition permet de dmontrerla divergence d'une srie.la divergence d'une srie.

n n n


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ExEx 11 :: SoitSoit lala sriesrie dede termeterme gnralgnral appeleappele sriesrieharmoniqueharmonique.. SonSon termeterme gnralgnral tendtend bienbien versvers 00 lorsquelorsque

SupposonsSupposons lala quantitquantit ::

IIIIII.. ExempleExemple1nU n=

2

1 1 1...

1 2 2 2n n nn

U S S n n n n

= = + + + >+ +

n

*n N


OrOr sisi lala sriesrie convergeaitconvergeait tendraittendrait versvers uneune limitelimite SS lorsquelorsqueetet ilil enen seraitserait dede mmemme pourpour etet alorsalors

cece quiqui estest enen contradictioncontradiction avecavec doncdonc lala sriesrie

divergediverge !!

nS

2 1 2n n nU S S = >

2 nS n

( )2lim 0n nn S S =

2 1 2n n nU S S = >


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ExEx 22 :: SoitSoit lala sriesrie dede termeterme gnralgnral 1 ( 1)nU n n= +

1 1

1 1

1

n n

n k k k

S U k k = =

= =

+

1 1

1 1

1

n n

k k k k = ==

+


1 2

1 1n n

k k k k = ==

1 1

1 1 11

1

n n

k k k k n= == +

+ 1

11n

= +

lim 1nnS

=

La srie est donc convergente de somme gale 1.La srie est donc convergente de somme gale 1.


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On dit que la srie de terme gnrale (UOn dit que la srie de terme gnrale (Unn) est absolument convergente) est absolument convergentesi et seulement sisi et seulement si

converge.converge.

Dans ce cas la srie est convergente.Dans ce cas la srie est convergente.

IV. DfinitionIV. Dfinition

0n

n

U +

=


1. La somme de deux sries convergentes est une srie1. La somme de deux sries convergentes est une srieconvergente.convergente.

2. La somme d'une srie convergente et une srie divergente2. La somme d'une srie convergente et une srie divergenteest une srie divergente.est une srie divergente.

V. PropositionsV. Propositions


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4. Combinaison linaire de sries convergentes4. Combinaison linaire de sries convergentes

3.3. Pour toute srie et toutPour toute srie et tout RR, les sries et, les sries etsont de mme nature.sont de mme nature.

0n

n

U

0

nn

U

0

nn

U


o e eux s r es num r ques convergen eso e eux s r es num r ques convergen es

etet etet deux nombres rels. Alors la srie numrique dedeux nombres rels. Alors la srie numrique determe gnral Wterme gnral Wnn=(=(UUnn++VVnn) est convergente et vrifie:) est convergente et vrifie:

0n

n 0n

n

( )0 0 0

n n n nn n n

U V U V

+ = +


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VV..11 SrieSrie gomtriquegomtriqueOnOn appelleappelle sriesrie gomtrique,gomtrique, lala sriesrie dede termeterme gnralgnral

VV.. SRIESSRIES FONDAMENTALESFONDAMENTALESDeuxDeux sriessries numriquesnumriques sontsont particulirementparticulirement importantesimportantes etet serontserontchoisieschoisies commecomme sriessries dede comparaisoncomparaison dansdans ltudeltude dunedune sriesrie

quelconquequelconque.. IlIl sagitsagit dede lala sriesrie gomtriquegomtrique etet lala sriesrie dede RiemannRiemann..


oo qq estest lala raisonraison..

sisi alorsalorsOnOn vrifievrifie queque ::

Pour on a est la srie convergePour on a est la srie converge

PourPour lala sriesrie divergediverge carcar quandquand nn ..

lim1nn

aS S

q = =

1 1

1

n

n

qS a

q

+ =

1q 1, la srie est convergente.> 1, la srie est convergente.

VV.. 22 SrieSrie dede RiemannRiemann

1nU

n

=

1

1

n n

+

=

+


PourPour < 1, la srie est divergente.< 1, la srie est divergente.

PourPour = 1, la srie est divergente.= 1, la srie est divergente.

LaLa sriesrie divergentedivergente estest appeleappele sriesrie harmoniqueharmonique..

1n n

=

RemarqueRemarque::1

1

n n

+

=

1

1

n n

+

=


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Par comparaison l'intgrale de la fonction f :Par comparaison l'intgrale de la fonction f :dfinie par f(x)=1/xdfinie par f(x)=1/x = x= x-- sur l'intervalle [1,+ [.sur l'intervalle [1,+ [.f dcrot strictement et on a pour tout n :f dcrot strictement et on a pour tout n : 1

1 1nn

d x x n

>

l'aire correspondantl'aire correspondant la somme de la la somme de lasrie est indique ensrie est indique en


Par suite :Par suite :

On voit que la srie de Riemann converge pourOn voit que la srie de Riemann converge pour> 1. La majoration> 1. La majorationest alorsest alors (( -- 1).1).

Le casLe cas = 1 est divergent, il correspond la srie harmonique.= 1 est divergent, il correspond la srie harmonique.

11

1 1 1 1 11 ... 1

2 3 1

n n

k

nd x

k n x

=

= + + + + < + =

..


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VIVI.. SRIESSRIES TERMESTERMES POSITIFSPOSITIFSVIVI..11 IntroductionIntroduction

DansDans cettecette tude,tude, onon privilgieprivilgie lesles sriessries termestermes positifspositifs..

videmment,videmment, cece quiqui vava tretre ditdit pourpour lesles sriessries termestermes positifspositifsvautvaut aussiaussi pourpour lesles sriessries termestermes ngatifsngatifs moyennantmoyennant desdesmodificationsmodifications mineuresmineures..


EtantEtant donndonn uneune sriesrie termestermes positifspositifs (U(Unn 00,, n)n) alorsalorslala suitesuite desdes sommessommes partiellespartielles (S(Snn)) estest uneune suitesuite croissantecroissante puisquepuisque::

OrOr onon saitsait queque pourpour quunequune suitesuite croissantecroissante soitsoit convergenteconvergente ililfautfaut etet ilil suffitsuffit quellequelle soitsoit majoremajore..

DoDo lele rsultatrsultat suivantsuivant::

nU

1 1 0

n n nS S U

+ +

=


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Montrer que la srie : est divergente.Montrer que la srie : est divergente.

Exemple dutilisation du critre de comparaisonExemple dutilisation du critre de comparaison

1

1

n n

=

1 1

n nPour toutPour tout n n 1 on a : 1 on a :


1

1

n n

=

1

1

n n

=

Comme la srie est divergente, la srieComme la srie est divergente, la srie

est aussi divergente.est aussi divergente.


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Soit et deux sries termes positifs telles queSoit et deux sries termes positifs telles que

i.e., lorsquei.e., lorsque

nU nV

lim 0nn

n

U k V

= >n nU kV

VIVI..22..22 critrecritre dquivalencedquivalence

n


Alors les sries et sont de mme nature, i.e.,Alors les sries et sont de mme nature, i.e.,

toutes deux convergentes ou toutes deux divergentestoutes deux convergentes ou toutes deux divergentes

nU nV


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Dterminer la nature de la srie :Dterminer la nature de la srie :Exemple dutilisation du critre dquivalenceExemple dutilisation du critre dquivalence

1

1sin

n n

=

0

sinlim 1 x

x

= ( )sin 1/ lim 1n =On a . Par consquentOn a . Par consquent


1

1

n n

=

11sin

n n

=

Comme la srie est divergente, il en rsulteComme la srie est divergente, il en rsulte

que la srie est aussi divergente.que la srie est aussi divergente.


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nU lim n nn U L =VIVI..22..33 critrecritre dede CauchyCauchy

U

a)a) SiSi partirpartir d'und'un certaincertain rangrang nn >> NN onon aa L> NN onon aa L>L> 11

Alors la srie est divergenteAlors la srie est divergente


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Examiner la nature de la srie :Examiner la nature de la srie :Exemple dutilisation du critre de CauchyExemple dutilisation du critre de Cauchy

1

2 13 4

n

n

nn

=

+ +


2 13 4n

nan

+= +

Donc La srie converge.Donc La srie converge.

2 13 4

nn na n

+=

+

2 1 2lim 13 4 3n

nn

+= > NN onon aa L> NN onon aa L>L> 11

Alors la srie est divergenteAlors la srie est divergente


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Soit une fonction positive sur ,Soit une fonction positive sur ,

dcroissante partir d'une certaine valeur de xdcroissante partir d'une certaine valeur de x

( ) f x [ [, I a= +

+

0a >

VIIVII..22..44 critrecritre dede comparaisoncomparaison avecavec uneune intgraleintgrale


ors n gra eors n gra e

et la srie de terme gnralet la srie de terme gnral

sont de mme nature.sont de mme nature.

( )a f x dx

( )nU f n=


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Une srie est dite absolument convergente si laUne srie est dite absolument convergente si la

srie est convergente.srie est convergente.

nU

nU

VIII.2VIII.2 Convergence absolueConvergence absolue


PropritPropritUne srie absolument convergente est convergente.Une srie absolument convergente est convergente.

RemarqueRemarqueLa rciproque est fausse en gnral.La rciproque est fausse en gnral.


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Si la srie diverge et que la srie estSi la srie diverge et que la srie est

convergente alors la srieconvergente alors la srie

nU nU

VIII.3 SemiVIII.3 Semi-- ConvergenceConvergence


est dite semiest dite semi--convergente.convergente.

n

l d h ll d h ll d h ll d h l


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La srie est dite alterne si son terme gnralLa srie est dite alterne si son terme gnralest alternativement positif et ngatif partir d'un certainest alternativement positif et ngatif partir d'un certain

rang, i.e., telle que,rang, i.e., telle que,ThormeThorme::

nU

n( )1 nn nU V =

VIII.4VIII.4 Sries alternesSries alternes


our qu une s r e a ern e converge, su que a va eurour qu une s r e a ern e converge, su que a va eurabsolue de son terme gnral tend vers 0 en dcroissant, cestabsolue de son terme gnral tend vers 0 en dcroissant, cest----dire si les conditions suivantes sont satisfaites:dire si les conditions suivantes sont satisfaites:

soit dcroissantesoit dcroissantenU lim 0nn U

=

E l i d T h l iE l i d T h l iE l i d T h l iE l i d T h l i


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Soit la srie alterne suivante:Soit la srie alterne suivante:

La srie des valeurs absoluesLa srie des valeurs absolues

Exemple de srie alterneExemple de srie alterne( ) 1

1

11

n

n n

+

=

( ) 11 1

1 11

n

n nn n

+

= =

=


es vergen e.es vergen e.

La srie nest pas absolument convergenteLa srie nest pas absolument convergente

mais convergente comme le montre le critre pour lesmais convergente comme le montre le critre pour lessries alternes. La srie est donc semisries alternes. La srie est donc semi--convergente.convergente.

( ) 11

11

n

n n

+

=

E l i d T h l iE l i d T h l iE l i d T h l iE l i d T h l i


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FINFIN


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