Micro cours

Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique

UNIVERSITE ABDERRAHMANE MIRA DE BEJAIA

FACULTE DES SCIENECES ECONOMIQUES, COMMERCIALES ET DES SCIENCES DE GESTION

POLYCOPIE DE COURS

Elments de base de Micro-conomie

Enseignant

Dr. Samir BOUMOULA

Matre de Confrences ANNEE UNIVERSITAIRE 2013-2014 Avant propos Le cours de microconomie est souvent considr par les tudiants comme un cours abstrait et manquant de sens. Il faut dire que la microconomie est parfois prsente de faon fortement formalise et nombreux ceux qui ont le sentiment de faire davantage des mathmatiques de lconomie! Pour notre part, nous considrons que la formalisation mathmatique est ncessaire, mais non suffisante. Il faut mettre loutil mathmatique au service de lconomie et non au cur de celle-ci. Cest la raison pour laquelle nous avons cherch a relev dans ce polycopie un double dfi: donner du sens lanalyse thorique et offrir les outils mathmatiques permettant aux tudiants de russir les diffrents exercices et problmes qui leur sont demands.Lobjectif de ce polycopie est donc de prsenter de faon simple et accessible, mais nanmoins complte, les bases de lanalyse microconomique. Nous avons voulu mettre a la disposition des tudiants la fois lessentiel des connaissances acqurir et des mcanismes a assimiler et un instrument de travail permettant de se familiariser avec les principaux concepts et exercices quils seront amens a rencontrer.

Ainsi, le lecteur trouvera un cours prcis et simple, maill dencadrs ressentant la formalisation mathmatique et son application. SommaireIntroduction.4

Premire partie: La thorie du comportement du consommateur.6Chapitre 1: La fonction dutilit du consommateur..8Chapitre 2: La maximisation de la fonction dutilit..13Chapitre 3: La fonction de demande...20Deuxime partie: La thorie du comportement du producteur.30Chapitre 1: Lapproche technique par les fonctions de production31Chapitre 2: La fonction de production de longue priode...36Chapitre 3 : Lapproche conomique par les fonctions de cot47Chapitre 4: Analyse dynamique de lobjectif du producteur59Chapitre 5: La fonction doffre de lentreprise.63Conclusion...67Introduction La microconomie est une discipline de la science conomique qui tudie le comportement des agents conomiques considrs comme centres de dcisions individuels agissant pour leur bien - tre propre dans un contexte de production et de rpartition des ressources supposes rares.

Lanalyse micro-conomique utilise les instruments conceptuels de lcole No - classique dont le but est dexpliquer de la formation des prixphnomne le plus vident de la vie conomique (cf. A. Benachenhou: Introduction lanalyse conomique, OPU, Alger, 1976, p.273).

A travers lanalyse des comportements du consommateur et du producteur (on dira aussi de lentrepreneur et ou plus communment de lentreprise), les no - classiques btissent leur thorie de la production et de la rpartition des richesses et proposent en mme temps, leur propre dfinition de loptimum conomique dans un contexte de libre concurrence.

La libre concurrence entre les producteurs, ces agents conomiques qui vendent (ou qui offrent) leurs produits et les consommateurs qui achtent (ou qui demandent) les produits ncessaires la satisfaction de leurs besoins (ou qui leur procurent de lutilit) aboutit la formation de lquilibre sur le march grce au jeu de la loi de loffre et de la demande qui va imposer la formation du prix et des quantits dquilibre des biens ainsi changs.

Pour mener bien leur dmonstration, les no classiques utilisent la dmarche du raisonnement la marge. Ainsi, le consommateur naura pas atteint son quilibre tant que la consommation dune unit supplmentaire du bien demand lui procure un surcrot de satisfaction ou dutilit. Cette utilit marginale est en effet selon les no classiques la base des choix du consommateur sur le march.

De mme lentrepreneur continuera produire ou offrir des biens sur le march, tant que la productivit lie lutilisation dune unit supplmentaire dun facteur de production (utilis dans le processus de fabrication des biens quil met sur le march) reste positive, cest dire tant quelle assure un accroissement de loffre. Cette productivit marginale, (tout comme le cot marginal des facteurs) est la base du comportement d es producteurs. Pour cette raison, lcole no classique est dite galement cole marginaliste.

Lanalyse marginaliste porte sur quatre grands axes qui forment ce que lon appelle communment la thorie noclassique, objet du cours de micro conomie. Celui-ci comportera donc quatre parties, savoir:

I. Lanalyse du comportement du consommateur qui aboutit la construction de la thorie de la demande.II. Lanalyse du comportement du producteur dont lobjectif est de btir la thorie de loffre.

III. Lquilibre du march ou ce qui est appel la thorie de lquilibre partiel.

IV. Lquilibre gnral avec comme finalit la construction de la thorie de loptimum conomique.

Premire partie: La thorie du comportement du consommateurIntroductionLEcole No-classique sintresse aux conditions de production et de rpartition des biens supposs rpondre des besoins de consommation exprims par les individus.Dune manire gnrale les biens destins la satisfaction des besoins exprims ne sont pas disponibles sans efforts. Ils sont dits rares en plus du fait quils sont utiles.

Les biens rares sont appels biens conomiques. Ils sopposent ainsi la notion de biens libres dont lutilisation pour la satisfaction des besoins ne ncessite pas defforts particuliers car disponibles dans la nature en quantit suffisante (cest le cas par exemple du besoin de respirer quprouve, tout instant chacun dentre nous sans que cela nexige de nous de produire lair que lon respire). Mais comme la nature ne met pas notre disposition (tous) les moyens de satisfaction, il faut que les hommes supplent cette pauvret naturelle en fabriquant, laide dlments emprunts au milieu extrieur, mais transforms, amnags par leffort humain, des objets capables dapaiser leurs besoins. (G. Pirou: Cours dconomie politique T1, Ed. Domat Montchrtien, Paris 1947 p.8).

Les biens conomiques offerts sur le march par les producteurs sont demands par les consommateurs contre paiement dun prix: la formation du prix dquilibre sur le march dun bien constitue lobjectif des noclassiques travers lanalyse marginaliste quils proposent comme fondement de leur dmarche.

Puisquils ont la facult de satisfaire un besoin exprim, les biens conomiques sont galement utiles. En consquence, le consommateur est demandeur dun bien sur le march parce quil lui procure de lutilit. Lutilit devient alors un lment du comportement rationnel du consommateur qui demandera des biens en vue den tirer un maximum dutilit.

Ainsi on suppose que le consommateur est capable de mesurer les quantits dutilit quil obtient en consommant une certaine quantit dun bien dtermin. Dans cette conception ditecardinale, lutilit apparat comme une grandeur mesurable au mme titre que nimporte quel autre bien. En fait la conception cardinale de lutilit suggre lide que le consommateur est un agent conomique dont lactivit est de produire de lutilit en transformant les biens quil consomme, de la mme manire quune entreprise transforme les matires premires en vue de produire des biens quelle va vendre sur le march aux fins de maximiser son profit.

Dans la ralit pourtant, il est difficile de vrifier une telle hypothse (la quantification de lutilit): en effet, sil est parfaitement plausible quun consommateur soit capable tout moment dexprimer ses prfrences de consommationje prfre une glace un morceau de chocolat aucun consommateur ne pourra raisonnablement dire quil retire cinq fois plus dutilit (ou de satisfaction) dans la consommation dune glace plutt que dans la consommation dun morceau de chocolat. Cela signifie que le consommateur exprime tout au plus un ordre de prfrence parmi tous les biens qui satisfont ses besoins. Cette valuation ordinale de lutilit que procure la consommation des biens fonde la thorie des courbes dindiffrence. En dfinitive, les no classiques fondent leur analyse de la demande sur le comportement rationnel du consommateur suppos oprer des choix de consommation en fonction dune chelle de prfrence tablie sur la base de lvaluation quil fait du degr dutilit que lui procurent diffrentes combinaisons des biens et services auxquels il peut accder sur le march.

La rationalit du consommateur chez les no classique est dlimite par trois hypothses qui sont: A. Lhypothse de linsatiabilit ou encore de non saturation des besoins

A chaque fois que le consommateur pourra accder la consommation dune quantit supplmentaire dun bien, il le fera: cest lhypothse dite galement de non saturation des besoins.

B. Lhypothse du choix unique(unicit des choix)Lorsque le consommateur est en face dun choix de consommation entre deux biens X et Y, il est capable dexprimer sa prfrence. Ainsi il pourra dire sil prfre X Y, Y X ou encore sil lui est gal de consommer X ou Y. Il choisira en tout tat de cause, une seule de ces trois possibilits.

C. Lhypothse de la transitivit

Lorsquil est en face de trois biens X, Y et Z, ses choix de consommation sont ordonns de telle sorte que sil prfre X Y et Y Z, alors ncessairement, il prfre X Z.

Ces trois hypothses sont la base de la thorie du comportement du consommateur. Une fois admises, il est possible de btir sa fonction dutilit.Chapitre I: La fonction dutilit du consommateur

I. Quelques dfinitions prliminaires utilesI1. La fonction dutilit

La fonction dutilit U, est la traduction mathmatique de lchelle des prfrences de consommation exprime par un individu face plusieurs alternatives de consommation.

Elle exprime le degr de satisfaction ou dutilit que procure la consommation dune quantit (x) du bien X. Elle scrit:

UT = f(x) (1) Combinaison de biens, complexe de biens

Une combinaison de biens est une association de quantits de deux biens X et Y.

Soit x la quantit consomme du bien X et y la quantit consomme du bien Y, le couple (x, y) reprsente une combinaison des deux biens X et Y.

Une autre combinaison des biens X et Y sera reprsente par exemple par le couple (x, y)

Un complexe de biens est une association de quantits de n biens.

Soit une conomie o il nexiste (on le suppose) que trois biens X, Y et Z. Un complexe de biens sera reprsent par le triplet (x, y ,z) form des quantits x, y et z des biens X, Y et Z.

Plus gnralement, dans une conomie, il existe n biens. Aussi, un complexe de biens sera reprsent par (x1, x2, x3, ...., xn ) form des quantits des biens. Ainsi, la fonction de lutilit donn par la formule (1) prcdente nest quun cas particulier. Dans le cas gnral, la fonction dutilit devient:

U = f(x1, x2, x3, ..., xn) ( 2 )

Le problme du consommateur est de choisir parmi tous les complexes de biens celui qui lui procure un maximum de satisfaction, cest dire qui maximise sa fonction dutilit.

La solution du problme de la maximisation de la fonction dutilit permet de dterminer la fonction de demande du consommateur

II. Les postulats de base de la fonction dutilitLes postulats de base de la fonction dutilit sont au nombre de trois:

Postulat 1: La fonction dutilit exprime le degr de satisfaction que les individus tirent de la consommation de complexes de biens diffrents. Ainsi, lorsque le consommateur affecte deux valeurs U1 et U2 telles que U1 > U2, il exprime par l sa prfrence lgard du complexe de biens C1 qui lui procure un degr dutilit suprieur celui que lui procure un autre complexe C2.Postulat 2: La fonction dutilit est dfinie pour une priode temporelle donne. Cela signifie que lanalyse du comportement du consommateur est une analyse statique. Lanalyse statique ne prend pas en compte les consommations diffres.

Postulat 3: La fonction dutilit est suppose tre continue et drivable sur son intervalle de dfinition. Cela signifie que pour passer dune valeur une autre, elle prend toutes les valeurs intermdiaires. Du point de vue de la signification conomique, ce postulat veut dire que les biens (parmi lesquels soprent les choix du consommateur sont divisibles linfini). Mais sil nest pas totalement raliste (ainsi, sil peut paratre juste de parler de la consommation dun tiers de kg de sucre, il nest pas raliste daffirmer que lon puisse consommer trois cinquime de tlviseur), ce postulat est nanmoins essentiel puisquil permet dutiliser les proprits mathmatiques de la continuit des fonctions.

III. Utilit totale (UT) et Utilit marginale (UM)

1. LUT: On a dj voqu le fait que le consommateur voluait dans une conomie n biens. Supposons pour le moment que n = 1. Cela signifie que dans lconomie, il ny a quun seul bien. Soit X ce bien.

La fonction dutilit du consommateur I est alors U = f(x). La variation des quantits du bien X consommes par I lui procure des degrs variables dutilit. On peut donc supposer que lindividu I est capable de dresser un tableau des utilits totales que lui procure la consommation de quantits variables du bien X, de la manire suivante:

Quantits (x) consommes du bien XUtilit totale (U) obtenue

1

2

3

4

5

63

6

10

16

18

18

Ce tableau montre que lorsque la consommation du bien X augmente (variation des quantits x), lutilit augmentait galement sans que cette augmentation de lutilit soit proportionnelle. On dit que laugmentation de lutilit seffectue un taux dcroissant.

De plus, il est facile de comprendre que le postulat de linsatiabilit nimplique pas que lindividu consomme indfiniment. Il signifie que le consommateur est dispos augmenter ses consommations jusqu' la satisfaction complte du besoin exprim. Il existe donc un point maximal (le point de satit) au del duquel, lutilit totale naugmente plus avec laugmentation des quantits (x) consommes.

En examinant le tableau prcdent, on remarquera le passage de x = 5 x = 6 ne se traduit pas par une augmentation de lutilit. Cela montre que le consommateur nprouve plus le besoin de continuer consommer du bien X

Au point de satit, lutilit totale commence dcrotre. On dit alors que lutilit marginale du bien X est nulle.

2. LUM: Elle est dfinie comme la variation de lutilit totale UT rsultant de la variation dune unit de la quantit du bien consomm. En reprenant le tableau de lutilit total tabli prcdemment on peut donc tablir laide de cet exemple lutilit marginale UM, correspondant aux variations unitaires des quantits consommes du bien X.

(x)UTUM

1

2

3

4

5

6

73

6

10

16

18

18

143

3

4

6

2

0

-4

3. La dfinition prcdente de lutilit marginale UM peut tre exprime mathmatiquement de la manire suivante:

On sait que UT= f (x) est lexpression de la fonction de lutilit totale Ut. Elle exprime le degr dutilit que procure un individu la consommation de quantits variables x du bien X.

Elle est par ailleurs suppose continue en vertu du postulat P3. Ainsi, si (x reprsente la variation de la quantit consomme du bien X, lutilit totale reprsente la variation correspondante (U de UT = f(x).On dfinira lutilit marginale UM du bien X comme la limite du rapport (Ut/(x quand (x tend vers zro. Lutilit marginale UM du bien X exprime donc la variation de lutilit Ut conscutive une variation infinitsimale de la quantit x.Or on sait quen mathmatiques, la limite du rapport (Ut/(x quand (x tend vers zro exprime la drive de la fonction Ut = f (x) cest dire:

UM = U= f (x) = lim (Ut/(x

(x 0

Finalement, on peut crire que:

UM = f (x) = dUt/dx

Lutilit marginale dun bien X est gale la drive de la fonction dutilit totale. Elle exprime la variation de lutilit totale induite par la variation dune unit du bien consomm.

Jusqu' prsent, nous avons suppos que lutilit est fonction de la consommation dun seul bien. On avait en effet pos que n = 1. Abandonnons ce cas particulier et plaons- nous dans le cas plus gnrale o les besoins des individus sexprime lendroit de plusieurs biens de sorte que lon ait:

UT= f (x1, x2, x3,..., xn)

Par un raisonnement identique au cas prcdent, il est possible de dterminer la variation de lutilit que procure au consommateur la variation de la quantit consomme de chacun des biens. On applique pour cela le concept connu en mathmatique sous le nom de drive partielle.

Pour simplifier, supposons, dans un premier temps que n = 2.Cela signifie que la fonction dutilit de I prend la forme dune fonction deux variables. Soit x la premire variable et y la deuxime. On peut donc crire Ut = f (x, y).

1. La drive partielle de Ut par rapport x qui exprime, on le sait maintenant, lutilit marginale procure par le bien X est donne par lquation:

UT x = UMx = f x (x ,y) = lim (Ut/(x = (Ut/(x

(x 0

2. De mme, la drive partielle de Ut par rapport y qui exprime lutilit marginale procure par le bien y est donne par lquation:

UTy = UMy = f y (x, y) = lim (Ut/(y = (Ut/(y

(y 0

3. Finalement, lorsque Ut = f (x, y) on a:

UMx = (Ut/(x et UMy = (Ut/(y

et en gnralisant n biens, on aura pour UT = f (x1, x2, x3,...,xn):

UMx1 = (Ut/(x1; UMx2 = (Ut/(x2; UMx3 = (Ut/(x3;......; UMxn = (Ut/(xn IV. Les courbes dindiffrence ou diso-utilit

1. Reprenons la fonction Ut = f (x1, x2, x3, ..., xn ). Elle signifie, rappelons le, que lutilit est fonction du complexe de biens C = (x1, x2, x3, ..., xn). Supposons que ce complexe de biens se rduise la combinaison de deux biens X et Y tels que: Ut = f( C ) = f (x, y ). Considrons alors toutes les combinaisons telles que Ut = U0 par exemple, U0 = f (C1) = f (C2). Considrons de mme toutes les combinaisons telles que Ut = U1 ( U0; par exemple U1 = f (C3) = f (C4).

On dira que les combinaisons de biens qui procurent un mme niveau dutilit sont situs sur une mme courbe dindiffrence.

2. Sur la figure ci - aprs, les combinaisons de biens C1 et C2 sont situs sur la mme courbe : ils procurent au consommateur I, le mme niveau dutilit U0.De mme, les combinaisons de biens C3 et C4 sont situs sur une mme courbe: ils procurent au consommateur I le mme niveau dutilit U1. y

U0 U1 y1 C1 y2 y3 C3 C2 y4 C4 x x3 x1 x2 x4

Fig.1 Courbes dindiffrence ou diso-utilit

3. La courbe dindiffrence peut donc tre dfinie, dans le cas gnral (o C = x1, x2, x3, ..., xn) comme le lieu de tous les complexes de biens qui procurent lindividu I le mme niveau dutilit.

Les courbes dindiffrence (CI) possdent trois proprits importantes :

Les CI ont une inclinaison ou pente ngative:ce sont des courbes descendantes reprsentant des fonctions dcroissantes.

Les CI dun mme individu ne peuvent se couper: dans le cas contraire cela signifierait quil existe deux niveaux dutilit pour une mme combinaison de biens, ce qui serait contraire au postulat (P1) de la fonction dutilit tel que dfini plus haut.

Les CI sont convexes par rapport lorigine des axes de coordonnes: une diminution de la quantit de lun des deux biens est compense par une augmentation de la quantit consomme de lautre bien.

V. Le taux marginal de substitution(TMS) Les courbes dindiffrence (CI) expriment, nous lavons vu un mme niveau dutilit pour des combinaisons diffrentes de deux biens X et Y.

Il est donc utile pour le consommateur de dfinir un critre ou plus prcisment linstrument qui va lui permettre de modifier les combinaisons de consommations de ces biens tout en conservant le mme niveau dutilit.

Cet instrument est le taux marginal de substitution ou TMS, en abrg.

1. Le TMSx y permet de dterminer la quantit du bien Y laquelle renonce le consommateur pour lui substituer une certaine quantit du bien X de telle sorte quil conserve le mme niveau dutilit.

2. Le TMSy x permet linverse de dterminer la quantit du bien X laquelle renonce le consommateur pour lui substituer une certaine quantit du bien Y de telle sorte quil conserve le mme niveau dutilit.

3. Nous savons quune variation des quantits consommes des biens X et Y, implique normalement une modification du degr dutilit. Appelons dU la modification de lutilit totale UT= f (x, y), suite aux variations dx et dy respectivement de la quantit x du bien X et de la quantit y du bien Y. Par ailleurs on se rappelle queUMx = (Ut/(x et UMy = (Ut/ (y comme on se rappelle que les utilits marginales reprsentent les variations de lutilit totale suite une variation unitaire de x (ou de y). La variation de lutilit totale dU sera donc gale :

dUt = UMx.dx + UMy.dy ou encore dUt = ((Ut/(x).dx + ((Ut/(y).dy, quation qui reprsente la diffrentielle totale de lquation UT= f (x, y) Si le consommateur I dsire conserver le mme niveau dutilit tout en substituant une quantit de X une quantit de Y, cela signifie quil reste sur la mme courbe dindiffrence. Cela signifie aussi que UT= f (x, y) = U0, o U0 reste constant lorsque changent les quantits consommes. On a alors dUT = 0 (la variation de lutilit totale est gale 0). Autrement dit:

((Ut/(x).dx + ((Ut/(y).dy = 0 ( ((Ut/(x).dx = - ((Ut/(y).dy

Ce qui donne, en dfinitive: ( (Ut/(x) - dy UMx ( (Ut/(y) dx UMy

Commentaires

1. Lexpression prcdente montre que le rapport des utilits marginales est gal loppos de la drive de la fonction y = f (x) 2. La fonction y = f (x) donne la variation de la quantit y quand varie la quantit x. Lexpression dy/dx est la pente de la courbe dindiffrence reprsentative de la fonction y = f (x): elle est donc ngative (cf. supra, proprit (41) des CI).

Par dfinition, la quantit (- dy/dx ) est le taux marginal de substitution de X Y. On vient de dmontrer que le TMSx y est gal au rapport des utilits marginale des deux biens. Chapitre II: La maximisation de la fonction de lutilit I. Position ou formalisation du problme

Nous avons vu que lobjectif du consommateur tait doptimiser son utilit. Or, sa fonction dutilit dpend des quantits des biens Xn auxquels il peut accder. On a en effet Ut = f(x1, x2, x3,...xn).

Lacquisition de quantits dtermines dpend des prix (pi) de ces biens et de la consistance de son revenu (R). Sil dcide de consacrer son revenu lachat de tous les biens Xn on aura:

R=p1x1+p2x2+p3x3+...+pnxn. Cette galit est ditequation du budget ou encore quation du revenu).

Le problme du consommateur est donc un problme li, (on dit aussi sous contrainte) . Il cherche en effet, maximiser son utilit en tenant compte la fois de son revenu et des prix des biens que lui impose le march. Ce problme transcrit mathmatiquement scrit:

Max. Ut = f (xn)

n

S/C R = ( pnxn

i

Supposons pour simplifier que Ut = f (x, y) et que les prix des biens X et Y soient respectivement: px et py ,le problme gnral prcdent scrira (dans ce cas particulier o les choix du consommateur sont limits deux biens):

Max. Ut = f (x, y)

S/C R = x.px + y.pyDans ce cas particulier, lquation du revenu du consommateur reprsente lquation dune droite ditedroite du budget.II. Les conditions de maximisation de la fonction de lutilit:

Reprenons lquation de la droite du budget du consommateur I. On se souvient que dans le cas de deux biens X et Y, elle tait de la forme: R = x.px + y.py. Tirons de cette quation, la valeur de y, on aura: y =R-xpx/Py Reprenons de mme, la fonction dutilit Ut = f (x , y). En remplaant y par sa valeur dans lexpression de U, on obtient UT = f (x, (R - x.px )/py ) qui est devenu une fonction une seule variable. Par ailleurs, on sait quune fonction de la forme Ut = f (x) admet un maximum au point x0 lorsque:

1. La drive premire Ut est gale 0. Cest dire Ut = 0 (condition de 1er ordre)2. La drive seconde Ut est ngative. Cest dire Ut < 0 (condition de 2me ordre)

Exemple titre illustratif La fonction dutilit dun consommateur suppos rationnel, est donn par lquation Ut = 2xy.Soit px = 2 DA le prix du bien X et py = 1 DA le prix du bien Y. Le consommateur dispose par ailleurs dun revenu R gal 10 DA quil dcide de consacrer entirement lachat des biens X et Y. Quelles vont tre les quantits du bien X et du bien Y qui maximisent lutilit de ce consommateur?

Solution

1re mthode: Mthode de substitution ( dite encore mthode directe) On a R = x.px +y.py cest dire R = 2x +y do lon tire:

y = R - 2x (1 )

Remplaons y par sa nouvelle valeur dans lexpression de U (quation (1)). On obtient:

Ut = 2x (R-2x) ou encore Ut = - 4x2 +2xR (2)Comme on R = 10, on peut crire: U = - 4x2 +20x partir de lquation (2 ).

La drive premire de lquation U ci - dessus est alors:

Ut= -8x +20 (3) do, quand Ut = 0 il vient :

x = 20/8 = 5/2 = 2,5

Remplaons donc x par sa valeur dans lquation (1) on aura:

y = R- 2.(5/2) = R-5; comme R= 10 on obtient finalement: y = 10- 5=5

Le couple (x, y) tel que x =5/2 et y =5 est le point qui annule la drive Ut = 0.

Vrifions que Ut < 0.Reprenons lquation (3 ). Sa pente est gale (-8). Ceci montre que la drive de Ut est bien ngative: CQFD. La combinaison de biens X et Y telle que x =5/2 et y = 5 est bien la combinaison qui permet au consommateur de maximiser sa fonction dutilit, cest dire constitue la solution au problme li prsent sous la forme:

Max. Ut = 2xy

S/C R = 2x +y

Il existe une autre mthode de rsolution de ce type de problme sous contrainte: elle est dite mthode de Lagrange.

2me mthode: Mthode de LAGRANGEOn dmontre que les problmes doptimisation sous contrainte de la forme:

Max.(Min.) f (x1,x2, x3,...,xn)

S/C g (x1,x2,x3,...,xn) = 0 (1)

Admettent des solutions identiques celles des fonctions de type:

F(x1,x2,x3,...,xn) = f (x1,x2,x3,...,xn) + ( g (x1,x2,x3,...,xn) ( 2)

( est appel multiplicateur de Lagrange. Il joue le rle dune variable comme les autres dans lexpression de la fonction (2) ci dessus. Nous prciserons par la suite sa signification conomique dans le cadre du problme particulier de la maximisation de la fonction dutilit dun consommateur.

La condition ncessaire pour que la fonction (2) admette un maximum, est que ses drives partielles par rapport x1, x2, x3,..., xn et ( sannulent en mme temps. Le problme consiste donc rsoudre le systme dquation (n+1) variables de la forme:

Fx1 = 0

Fx2 = 0

(S)

Fxn = 0

F( = 0

Reprenons notre exemple prcdent. On avait:

Max. Ut =f( x, y)

S/C R = x.px + y.py (1)

Formons la fonction (2) de la mme manire que prcdemment. Il vient:

F(x, y) = 2xy + ( (R-2x-y) (2)

Pour maximiser la fonction dutilit du consommateur, il suffit donc de rsoudre le systme dquation (S ) ci aprs:

Fx = 2y - 2( = 0

Fy = 2x - ( = 0 (S )

F( = 10 - 2x - y = 0

Aprs calcul, on obtient:x = 5/2; y = 5 et ( = 5. Cette solution correspond bien au rsultat trouv par la premire mthode.

Signification conomique du multiplicateur de LAGRANGE

Reprenons le systme dquation (S ) dans le cas gnral. A partir des deux premires quations de (S ),il vient:

Fx = Utx - (px = 0 ( ( = Utx/px = ((Ut/(x)/px Fy = Uty - (py = 0 ( ( = Uty/py = ((Ut(y)/pyCes rsultats montrent que le multiplicateur ( est gal aux utilits marginales des biens X et Y pondres par leur prix

Par ailleurs, comme on a: Utx/px = Uty/py ( Utx/ Uty = px/py on peut noncer que:

Le consommateur atteint le niveau de son utilit maximale lorsque les utilits marginales pondres par les prix sont gales ou encore:

A lquilibre, le rapport des utilits marginales est gal au rapport des prix des biens consomms.

Revenons la troisime quation de (S ). On peut lcrire dans le cas gnral, de la manire suivante: F(= R - x .px - y. py = 0. Ce qui revient crire que R = x .px + y. py . Si on drive cette expression de R successivement par rapport x puis par rapport y, il vient (R/(x = px et (R/(y = py.

On peut donc crire: Utx/ Uty = ((Ut/(x(/((Ut/(y( puisquon sait dj que:

Utx/ Uty = px/py. Il vient alors: ((R/(x( /( (R/(y(=((Ut/(x(/ ((Ut/(y(. Enfin, on a

(Ut/(x = (px ( ( = ((Ut/(x)/px et (Ut/(y = (py ( ( = ((U/(y)/py (en vertu de la rsolution des deux premires quations de S ). Or, on sait aussi que: (R/(x = px et (R/(y = py on peut alors crire que : ( = ((Ut/(x)/px = ((Ut/(x)/ ((R/(x) de mme ( = ((Ut/(y)/ ((R/(y) et en simplifiant dans les deux cas, il vient finalement:

( = (Ut/(R

Ce qui signifie que ( exprime la variation de lutilit totale quand le revenu varie dune unit.

III. Reprsentation graphique de loptimum du consommateur

Nous savons maintenant que la fonction dutilit dun individu peut tre exprime graphiquement par une carte dindiffrence, cest dire par plusieurs courbes dindiffrence qui indiquent les diffrents niveaux dutilit obtenus partir de quantits variables des biens consomms.

Or les niveaux dutilit varient en fonction de la variation du montant du revenu R lorsque les prix des biens ne changent pas eux - mmes (cette. question de leffet de la variation des prix sera examine plus loin, v. infra).

Reprenons pour linstant, notre exemple prcdent o:

UT = 2xy et R = 10 avec px =2 et py = 1

Supposons que le consommateur I dcide de consacrer entirement son revenu R la consommation du seul bien X, il pourra acheter au plus x = R/px = 5 units du bien X. Ce point peut donc tre reprsent sur un graphique par le couple (5, 0).

Dans le cas o au contraire, il dcide de ne consommer que du bien Y, il obtiendra au plus une quantit y = R/py = 10 units du bien Y. Ce point peut tre reprsent sur le mme graphique par le couple (0, 10 ). En joignant ces deux points on obtient la reprsentation graphique de la droite de budget du consommateur I.

y

UE = 2xy =25

E

5

0 5/2 x

Fig.2 Equilibre du consommateur

Le point sur le graphique montre que lquilibre du consommateur I est atteint au point de tangence entre la courbe dindiffrence Ut = 25 et la droite de budget y = R/py - x.px/py = - 2x + 10 IV. Les variations de lquilibre du consommateur1. Effet de la variation du revenu: Construction de la courbe consommation-revenu (courbe dEngel):

Le point dquilibre E dtermin prcdemment a t obtenu dans des conditions de prix et du revenu donns. Aussi, est-il intressant dexaminer la situation o se modifie la contrainte de revenu.

Le consommateur tant rationnel, sa consommation dquilibre va tre modifie si son revenu R venait changer. Graphiquement cela signifie que sa droite de budget va se dplacer:

- Vers le haut lorsque R> R ou

-Vers le bas lorsque R< R

y R> R > R ( UE > UE > UE UE

(C1)

UE E

UE E

E

O x Fig.3: Courbe consommation revenu ( CCR)Ou Courbe dEngel

La courbe de niveau de vie (ou courbe consommation-revenu) appele aussi courbe dEngel est forme des points de tangence (qui expriment les points dquilibre successifs) entre les diffrentes courbes dindiffrence et les droites budgtaires. La courbe de revenu coupe les axes de coordonnes au point O car pour R = 0, les consommations des biens X et Y sont nulles (R= 0 ( x = 0 et y = 0) 2. Effet de la variation du prix de lun des biens : Construction de la courbe consommation prix ( CCP) : De la mme manire que le consommateur a t plac dans lhypothse probable de la variation de son revenu, imaginons ici lhypothse de la variation du prix sur le march de lun des deux biens.

Supposons que cest le prix du bien X qui varie.

Lorsque px diminue, tel que px< px et si le consommateur I utilise tout son revenu R lachat de X, il pourra disposer dune quantit plus importante de X. Soit x cette nouvelle quantit.

Lorsque par contre, le prix px augmente, tel que px> px et si le consommateur utilise tout son revenu lachat de X, il disposera dune quantit moins importante de X. Soit x cette nouvelle quantit.

Comme entre temps le prix de Y na pas vari, les droites de budgets obtenues auront pour point commun le point o la consommation de Y est maximale (cas o il consacre la totalit de son revenu lachat de Y uniquement).

Reprsentons graphiquement les situations que nous venons denvisager, on obtient la fig.4 ci-aprs:

y

R/py x = R/px

x= R/px E E E

(C2) x = R/px x

x x x Fig.4: Courbe consommation-prix (CCP)

La courbe qui joint les points E, E, E est appele courbe consommation - prix. Elle exprime leffet de la variation du prix de lun des deux biens sur les quantits consommes des deux biens (lautre prix et le revenu R restant constants). La courbe (C2) montre que plus le prix augmente, plus la quantit du bien X que le consommateur (I) pourra sacheter avec son revenu R (constant), diminue. Ce que lon peut rsumer schmatiquement par:

Si Px ( Dx ( La demande dun bien est une fonction dcroissante de son prix (

Si Px ( Dx

La courbe (C2 ) part du point de coordonnes (0 , R/Py ) car , en supposant que Px continue augmenter, il arrivera un moment o lindividu I ne pourra plus acqurir le bien X, cela voudra dire que dans ce cas extrme, il consacre la totalit de son revenu R la consommation de Y et dans ce cas le point dquilibre, (E) va se confondre avec le point (0, R/py ).

Cela montre quen ralit, la demande du bien X dpend du prix de ce bien (px) du revenu (R) et du prix de tous les autres biens Y (py) en plus videmment du got (G).

On exprime donc ce rsultat par la relation gnrale:

Dx = f (R, px, py, G)Chapitre III: Fonction de la demande et notion dlasticit de la demande Expression, construction et dplacement de la courbe de demande1. Lexpression de la demandeRappel: on vient de montrer que la quantit demande dun bien X quun individu I (le consommateur I ) est capable de sacheter au cours dune priode dtermine, dpend de plusieurs lments (son prix px, le prix des autres biens py, son revenu R et bien sr, ses gots G). La demande Dx peut donc tre formalise de la manire suivante:

Dx = f (px, py, R, G,) (1)

Comme G est une donne naturelle, propre chaque individu, la demande dun bien se dtermine par rapport aux autres lments, cest dire par rapport aux seules variables conomiques. On aura donc:

D = f (px, py, R) (2)

Remarque: Si lon admet que dans la ralit il existe n biens parmi lesquels I effectue ses choix, , la variable (py) va symboliser le prix de tous les autres biens Xn -1 dans la formulation de lquation (2).

Dautre part, si lon considre la priode au cours de laquelle R et py sont contants, la demande du bien X sexprime alors comme une fonction de la seule variable px. On aura donc:

D = f ( px) (3)

Comme le revenu R de I est limit, si px augmente, alors Dx diminue et si px diminue, alors Dx augmente. Ce rsultat, nous lavons interprt de la manire suivante:

La demande dun bien est une fonction dcroissante de son prix.

Dire que la demande est une fonction dcroissante du prix, cela revient dire que la pente de lquation Dx = f (px ) est ngative. Cela signifie aussi que la courbe reprsentative de la demande est dcroissante.

2. Construction et dplacement de la courbe de demande Exemple: Soit un consommateur I dont les quantits demandes du bien X varient de la manire ci - aprs (T1):

T1: Variation de la quantit demande du bien X en fonction de son prix px

Dx12345

Px108653

Point/ GrapheABCDE

En joignant les points A, B, C, D et E reprsents dans un repre orthonorm, on obtient la courbe de demande (d) du consommateur I pour le bien X ci aprs: (cf.fig.5).

Dx 8

7 (d )

6 (d )

5 E

4 D

3 (d ) C

2 B

1 A

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 px

Fig.5: Courbe de demande

Si lon faisait varier lune des variables de la fonction Dx = f (px, py, R, G), autre que la variable px, la courbe reprsentative de Dx va se dplacer de (d) (d ) ou (d ):

On dit quun changement des conditions de la demande entrane un dplacement de la courbe de demande, contrairement un dplacement le long de la courbe qui signifie une variation des quantits demandes conscutivement la variation du prix du bien.

3. Notions de bien ordinaire et bien infrieur

A. Lorsquun accroissement (une baisse) du revenu R dun consommateur I entrane une augmentation (une diminution) de la demande du bien X celui ci est un bien ordinaire pour le consommateur I. B. Lorsquune augmentation du revenu R dun consommateur I nentrane pas daccroissement de la demande du bien X, le bien X est dit bien infrieur pour le consommateur I.

1. Un dplacement (vers le haut ou vers le bas) de la courbe de demande du bien X (passage de (d) (d ) ou (d )( signifie que X est un bien ordinaire pour I.

2. Le dplacement de la courbe de demande indique une variation dans le pouvoir dachat (PA) du consommateur I.

3. Un dplacement le long de la courbe de demande (d ) du bien X indique une variation du prix (px) sur le march de X.

4. Notion de biens complmentaires et biens quivalentsA. Biens complmentaires

Dans lhypothse o le prix (px) du bien X et le revenu R du consommateur (I) restent constants, le bien Y sera dit complmentaire du bien X si une augmentation du prix (py) du bien Y entrane une diminution de la quantit demande du bien X. Cest le cas par exemple du caf (bien X) et du sucre (bien Y): Comme la consommation de sucre (Y) accompagne la consommation de caf (X), laugmentation du prix (py) du sucre va entraner la diminution de la demande de caf.

B. Biens quivalentsDans lhypothse o le prix (px) du bien X et le revenu R du consommateur (I) restent constants, le bien Y sera dit quivalent ou substituable au bien X si une augmentation du prix (py) du bien Y entrane une augmentation de la quantit du bien X. Cest le cas par exemple du caf (X) et du th (Y): Comme la consommation de caf (X) procure le mme effet que la consommation de th (Y), laugmentation du prix (py) du th impliquera une augmentation de la demande de caf (X).

5. La demande du march

La demande du march ou demande globale dun bien X indique la quantit totale demande par tous les consommateurs de ce bien au cours dune priode (P) donne . Elle est gale la somme des demandes individuelles exprimes par lensemble des consommateurs un moment donn.

Si Dx ( Dx ( P ( P

Hypothse: R et px constants

Dx D x py ( ( Dx ( DxDx py(( Dx(

Biens complmentaires Biens quivalents

R ( px, constant R ( px , constant R ( px , constant

Dx Dx Dx

Dx Dx

Dx Bien ordinaire Bien ordinaire Bien infrieur

Consommateur I1 Consommateur I2 Demande du march

D1x D2x D = D1x + D2x

II. Notion dlasticit de la demande

1. Dfinitions

A. Llasticit-prix de la demande mesure la variation relative de la quantit demande dun bien X conscutive la variation relative de son prix (px) .Ainsi, lorsque D = f (px), alors on a:

EDx/px = (x/Dx (px/px (

EDx/px = (x/(px .px/Dx Remarques1. On sait que Dx=f(px) est une fonction dcroissante du prix. Llasticit - prix de la demande est donc ngative puisque Dx et px varient en sens contraire.

2. On sait aussi que dune manire gnrale, on a Dx = f (R, px, py). On peut ainsi calculer un coefficient dlasticit - revenu et un coefficient dlasticit - prix croise de Dx.

B. Llasticit-revenu de la demande mesure la variation relative de Dx conscutive une variation relative du revenu R. Ce coefficient prend la forme mathmatique ci aprs:

EDx/R = (Dx/Dx (R/R

(

EDx/R = (Dx/(R .R/Dx

C. Llasticit prix-croise ( de substitution) de la demande du bien X mesure la variation relative de la demande Dx conscutive une variation relative du prix py du bien Y

EDx/py = (Dx/Dx (py/py (

EDx/py = (x/(py .py/Dx 2. Demande lastique, demande inlastique, demande unitaire

Remarques prliminaires

1. On sait que llasticit de la demande par rapport au prix dun bien est ngative du fait que Dx et px varient en sens contraire. Pour ne pas avoir compliquer les calculs, il suffit de multiplier par (-1) lexpression (EDx/px). On aura ainsi:

(- EDx/px) = - (Dx/(px .px/Dx > 0 (1) 2. On dfinit llasticit de la fonction Dx = f (px) comme tant la limite du rapport de laccroissement relatif de Dx laccroissement relatif de px .Cest dire:

EDx/px = lim. (Dx/Dx / (px/px = px/ Dx .dDx/dpx = px/Dx .f px (px ( 0 (2)

b. On dira que la demande Dx = f (px) est lastique lorsque (-EDx/px) >1c. On dira que la demande Dx = f (px) est inlastique lorsque (-EDx/px)