cours d'Analyse du Dr tchuen.pdf

8/16/2019 cours d'Analyse du Dr tchuen.pdf

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UNIVERSITÉ DE DSCHANG

Institut Universitaire De Technologie

Fotso Victor de Bandjoun - Cameroun

COURS D’ANALYSE

Dr. Ghislain TCHUENChargé de cours


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Table des matières

Objectifs du cours d’Analyse 4

1 Fonction d’une variable réelle 51.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Continuit́e en un point xo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Continuit́e à droite, à gauche de xo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1 Limite à droite, à gauche de xo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3 Quelques conseils dans la recherche des Limites . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.4 Limite d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Fonction à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Fonction racine nieme (n∈ N ∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.2 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.3 Dérivée successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.4 Interpŕetation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.5 Oṕerations sur les dériv́ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.6 Dériv́ees des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.7 Exemple de calculs de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.8 Exemple de calculs diff́erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.9 Notation diff́erentielle en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Notion de fonctions inverses ou reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.2 Résultat fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.3 Dérivée et graphe de f −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8 Rappels sur l ’́etude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.9 Quelques fonctions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9.1 Fonctions trigonométriques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.9.2 Fonctions hyperboliques directes et réciproque . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10 Formule des accroissement finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.10.1 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.10.2 Formule des accroissement finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.11 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11.1 Applications pratiques des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Formule de Taylor et Développements limités 232.1 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Formule de MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Développement limités et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231


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2.3.2 Formation des développements limit́es au voisinage de zéro . . . . . . . . 242.3.3 Développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.4 Formation des développements limités au voisinage de xo . . . . . . . . . 242.3.5 Opération sur les développements limit́es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.6 Applcations de développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Fonction de plusieurs variables réelles 273.1 Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Dériv́ees partielles d’ordres supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5 Théorème de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.6 Matrice Jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.7.1 Intégrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7.2 Intégrale double - Aire Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.8 Intégrale Triple - Calcul de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.8.1 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Intégrations 32

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2 Intégrale d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.1 notion de primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.2 Intégrale d’une fonction continue sur [a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.1 relation de chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.2 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.3 Cas des fonction paires ou impaires sur I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.4 Autre propiétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.5 Inégalit́e de la moyenne - valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.6 valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.7 cas des fonctions continues par morceaux sur [a,b] . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 Calcul Intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4.1 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4.3 Intégration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4.4 Intégration des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4.5 Intégration des fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4.6 Intégrales faisant intervenir√

ax2 + bx + c ou n

ax+bcx+d . . . . . . . . . . . 36

4.5 Calcul numérique d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.5.1 Méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.5.2 Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.5.3 Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Equations différentielles 385.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3 Equations différentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3.1 Equations à variables séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3.2 Equations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3.3 Equations incomplètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3.4 Equations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4 Equations différentielles du second ordre à coéfficients constants . . . . . . . . . . 40

2


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5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Analyse II : Suites 436.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.1.2 Opérations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.1.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.1.4 Suites bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.1.5 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.6 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.7 Suite adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.8 Suite extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.9 Suite récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.2.1 Taux de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.2.2 Intérêts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.2.3 Valeur acquise - Valeur actuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2.4 Taux équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 Séries de Fourier 487.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8 Séries entières 498.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9 Transformée de Laplace et applications 509.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

10 Transformée de Laplace discrète ou (Z) et Applications 5110.1 I ntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

11 TRAVAUX DIRIGES 52


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Objectifs du cours d’Analyse

COURS d’ANALYSE I

Volume Horaire : 60 heures, (40h. CM ; 20h. TD)

Objectifs : Fournir les outils indispensables aux autres disciplines ; donner aux futurs tech-niciens la culture scientifique leur permettant une actualisation ultérieure.

Programme :- Fonction d’une et de plusieurs variables réelle- Formule de Taylor et dérivation- Intégration- Equations différentielles

Mots clés : Fonctions, Dérivation, Intégration, Equations différentielles

COURS d’ANALYSE II

Volume Horaire : 60 heures, (40h. CM ; 20h. TD)Objectifs : Introduction aux transformations fonctionnelles et à leurs approximations discrètes.

Programme :- Suite- Séries de Fourier- Transformées de Fourier, de Laplace et en Z

- Séries numériques- Séries entières- Probabilités et statistiques (séries statistiques, variables aléatoires discrètes et continues, lois,tests)

Mots clés : Suites, Séries de Fourier, Transformées de Fourier, Transformée de Laplace, Trans- formée en Z, Séries numériques, séries entières, probabilités, statistiques .


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Chapitre 1

Fonction d’une variable réelle

1.1 Rappels

On appelle fonction numérique d’une variable réelle toute application de D ⊂ R −→ R.L’ensemble D est le domaine de définition de cette fonction. Si f est une telle fonction, xo ∈ D,y ∈

R tel que y = f (xo

) alors y est la valeur de la fonction f en xo

.Nous rencontrerons aussi des fonctions à plusieurs variables et des fonctions à valeurs complexes,l’ensemble d’arrivée étant cette fois le corps C des nombres complexes.Exemples fonctions classiques :- la fonction linéaire x −→ ax, où a ∈ R- la fonction affine x −→ ax + b, où a, b ∈ R- la fonction trinomiale du second dégré x −→ ax2 + bx + c, où a, b, c ∈ R- la fonction sinus x −→ sin(x)- La dépense W en énergie électrique consommée par une lampe dépend de la durée t d’́eclairage,et se traduit par une fonction linéaire : W = RI 2t- L’intensité I d’un courant alternatif est une fonction sinusöıdale du temps : I = I osin(wt).

1.2 Continuité

1.2.1 Continuité en un point xo

Soit f une fonction de f : D → R, xo ∈ D• f continue en xo si et seulement si

∀ε > 0, ∃αR∗+, ∀xD, |x − xo| < α |f (x) − f (xo)| < ε (1.1)

• f n’est pas continue en xo si et seulement si :négation de la proposition ci-dessus : (P q ) ⇐⇒ p∧q

1.2.2 Continuité à droite, à gauche de xo

soit f une fonction définit sur R et xo un élement de D . f est continue à droite de xorespectivement à gauche de xo si et seulement si :

∀ε > 0, ∃αR∗+, x − xo < α |f (x) − f (xo)| < ε (1.2)

respectivement∀ε > 0, ∃αR∗+, xo − x < α |f (x) − f (xo)| < ε (1.3)

Th́eorème 1 f est continue en un point xo si et seulement si elle est respectivement continue àgauche et à droite de xo.

Théorème 2 soit xo un point de D et λ un nombre réel, f et g 2 fonctions continues en xo.


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lim f lim g limf +g lim f limg lim fxg lim f lim g lim f /g

l m l+m l m lxm l m = 0 l/ml ∞ ∞ l(l = 0) ∞ ∞ l ∞ 0−∞ +∞ F.I 0 ∞ F.I ∞ ∞ F.I−∞ −∞ −∞ +∞ -∞ -∞ l(l = 0) 0 ∞+∞ +∞ +∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 F.I.

Tab. 1.1 – Opérations classiques sur les limites

i)- f .g, f +g, λf , λg sont également continue en xo.ii)- Si g(xo) = 0 la fonction f g est continue en xo.Théor̀eme 3 Si f est une fonction continue en un point xo et g une fonction continue en f (xo)alors gof est continue en xo.

1.3 Limites

La notion de limite d’une fonction en un point est fondamentale en Analyse. Soit f : D −→ Ret xo ∈ D. On dit que f(x) admet pour limite un réel l lorsque x tend vers xo, si et seulement sif(x) peut prendre des valeurs aussi voisines que l’on veut de l à condition de choisir x suffisamentproche de xo. En toute rigueur

∀ε > 0, ∃αR∗+, ∀x ∈ D, | x − xo |< α |f (x) − l| < ε (1.4)

Remarques• Si un tel nombre l existe, il est unique et ne dépend pas de x.• Il n’est pas nécessaire que f soit défini en xo.• Notation : limx→xo f (x) = l

• On peut étendre cette notation aux cas où x tend vers

±∞ et au cas où la limite est infinie

Exemple : limx→xo f (x) = +∞ se traduit par :

∀A > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ D, | x − xo |< α f (x) > A

1.3.1 Limite à droite, à gauche de xo

• On dit que f(x) admet une limite l à droite en xo si limx→x+o f (x) = l (x+o indique que xtend vers xo par valeurs supérieures.)• De même f(x) admet une limite l à gauche en xo si limx→x−o f (x) = l• On ne se soucie pas de savoir si xo appartient à D ou pas. Par contre, on a le résultats suivant :limx→xo f (x) = l ⇐⇒ limx→x−o f (x) = limx→x+o f (x) = l. Si de plus xo ∈ D, alors l = f (xo).

1.3.2 Opérations sur les limites

Soient deux fonctions f et g admettant respectivement pour limite l et m lorsque x tend versxo ou vers l’infini ; nous avons le tableau suivant Tab1.1 : De plus limx→xo λf (x) = λ.l (pourtout réel λ)Remarques :

* Les formes 0∞ donnent 0 et ∞0 donnent ∞ (avec le signe à préciser éventuellement).

*Les 4 cas suivants : ∞−∞, 0x∞, ∞∞ et 00 sont des formes indéterminées. Indétermination qu’onse devra de “lever”.


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1.3.3 Quelques conseils dans la recherche des Limites

Les difficultés interviennent uniquement au niveau des formes indéterminées. Pour aborder,on procede de la manière suivante :i)- Regrouper les expressions qui posent problèmes pour les transformer :Exemple :

limx→0+ x 1 − xx qui donne une F.I (0x∞)

On va regrouper le “x” qui est en facteur et celui du dénominateur du radical. Compte tenu dudomaine ]0,1] :

x

1 − x

x =

x√ x

√ 1 − x = lim

x→0+√

x√

1 − x = 0+

ii)- Transformer les sommes en quotients, plus facile à manier :Exemple :

limx→1

2

x2 − 1 − 3

x3 − 1 qui donne une F.I (∞ − ∞)

limx→1 2x2 −

x

−1

(x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1) qui donne une F.I (0

0 ) qui est facile à lever en

factorisant par (x-1) au numérateur. Et en simplifiant par (x-1) avant de passer à la limite.

limx→1

2x + 1

(x + 1)(x2 + x + 1)

=

1

2

iii)- Lorsqe x tend vers xo comme dans ii) penser à mettre (x-xo) en facteur :Exemple :

limx→a

x3 − a3x − a = limx→a

(x − a)(x2 + ax + a2)x − a = limx→a(x

2 + ax + a2) = 3a2

iv)- Lorsqe x tend vers l’infini, mettre la plus forte puissance de x en facteur ou poser x= 1hRappel un polynôme se comporte comme son terme de plus haut dégré à l’infini (et uniquementà l’infini) Exemple :

limx→−∞(x

3 − x + 2) = limx→−∞x

3 = −∞

limx→+∞

x2 − 2x + 1x3 − x + 2 = limx→+∞

x2

x3 = lim

x→+∞1

x = 0+

v)- Avec les radicaux, utiliser la quantité conjuguée :Exemple :

limx→+∞( x +

√ x − √ x)donne une F.I(∞ − ∞)

or x +

√ x − √ x = (

x +

√ x − √ x)(

x +

√ x +

√ x)

x +√

x +√

x=

√ x

x +√

x +√

x

qui donne a nouveau une F.I ( 00). Il faut essayer de simplifier par √

x en le factorisant audénominateur :

x +√

x =

x

1 +

√ x

x

=

√ x

1 +

√ x

x

on est donc ramené à :

limx

→+

∞

1

1 +

√ xx + 1

En remarquant que limx

→+

∞

√ x

x = lim

x

→+

∞

1√ x

= 0


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On obtient

limx→+∞(

x +

√ x − √ x) = 1

2

vi)- Les développements limités fournissent également l’outil essentiel à la recherche de limites (à voir +tard)vii)- Règle de l’Hospital Soient f et g deux fonctions à valeurs dans

R :

- Continues sur [a,b]- dérivables sur ]a,b[telle que f(a)=g(a)=0

Si limx→a

f (x)g(x)

existe, alors : limx→a

f (x)

g(x) = lim

x→af (x)g(x)

Exemple :

limx→1

x4 + 5x3 − 62x3 − x2 − 1 qui donne une F.I.(

0

0)

La méthode traditionnelle consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur par (x-1).

Comme on a justement une expression de la forme f (x)g(x) avec f(1)=g(1)=0, la règle de l’Hospitalnous permet d’écrire :

limx→1

f (x)g(x)

= limx→1

4x3 + 15x2

6x2 − 2x = 19

4

1.3.4 Limite d’une fonction composée

Propríet́es :P1)- Si f admet une limite l dans un voisinnage de xo et si g est continue au point l, alors gof apour limite g(l) en xo.P2)- Si f admet pour limite l en xo et si ∀x ∈ I, f (x) = l et si g admet une limite en l alors gof admet cette limite en xoP3)- Si f admet pour limite ∞ dans un voisinnage donnée et si g admet une limite en ∞ alorsgof admet cette limite dans ce voisinnage.

Cas particulier des fonctions trigonométriques

Soit f une fonction de f : R → R avec

f (x) = sin(ax + b)

ax + b

Calculer la limite de f(x) quand x −→ − ba

limx→0

sin(x)x

= sin(x) − sin(0)x − 0 = limx→0

f (x) − f (0)x − 0 = f

(0) = 1

Remarques* Les fonctions Sin, Cos, tan n’ont pas de limite au voisinnage de l’infini.* Les fonctions x → sin(ax + b), x → cos(ax + b), x → tan(ax + b). sont continues en toutpoint où elles sont définies car la fonction x → (ax + b) est continue sur R.Exercices

limx→0

sin(4x)

sin(3x); lim

x→∞sin(x) − cos(x)

x − π/4

limx→0

sin(4x)

sin(3x)

= sin(4x)

4x

x 4x

sin(3x)

x3x

3x

= limx→0

4x

3x

xsin(4x)

4x

x 1

sin(3x)3x

= 3

4


10/67

limx→0

sin(x) − cos(x)x − π/4 =

√ 2(

√ 22 sin(x) −

√ 22 cos(x))

x − π/4(n’existe pas car ∞ mais si x −→ 0 ≡ √ 2)Propríet́es* Les fonctions classiques sont continues sur leur domaine de définition : polynôme, fonctionrationnelle, fonction trigonométriques usuelles, logarithme, exponentielle, valeur absolue.

* Toute fonction f continue sur un intervalle [a,b] ; y admet un maximun M et un minimun m :m=inf f(x); M=Sup f(x) et pour tout x de [a,b], on a m≤f(x)≤ M.

1.4 Fonction à valeurs complexes

Dans de nombreux problèmes (dérivation, intégration, calcul des primitives, calcul des développementlimités, équations différentielles), il est commode de considérer des fonctions d’une variable réelleà valeurs complexes , c’est à dire des applications définies sur une partie du corps des nombresŕeels à valeurs dans le corps des nombres complexes. Une telle fonction f est de la forme :

f = P + jQ (1.5)

où P et Q sont des fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles.Exemplesf 1(x) = 3x + j(x

2 − 1) ; P et Q sont définies par : P (x) = 3x, Q(x) = x2 − 1f 2(x) = e

jx = cos(x) + jsin(x)On démontre aisément que f admet une limite si et seulement si P et Q admettent des limites.Dans ces conditions,

limx→xo

f (x) = limx→xo

P (x) + j limx→xo

Q(x)

De même, pour que f soit continue, il faut et il suffit que P et Q le soient.

1.5 Fonction racine nieme

(n∈ N ∗)Soit f : R −→ R, x −→ xn (n∈ N ∗)

* Si n est pair, ∀x ∈ R, xn ≥ 0 (−x)n = xn =⇒ f est paire* Si n est impair, ∀x ∈ R, (−x)n = −xn =⇒ f est impaire

∀x ∈ R, xn > 0, on peut étudier f sur [0,+∞[ (c’est le Df )∀x ∈ [0, +∞[, xn > 0, on suppose x1 < x2 et on étudie le signe de xn2 − xn1 . Développement deNewton :xn2 − xn1 = (x2 − x1)(xn−12 + xn−22 x1 + ... + xn−21 x2 + xn−11 ).xn2 − xn1 > 0 car x2 − x1 > 0, ∀x1 ∈ R+, ∀x2 ∈ R+, xn−12 + xn−22 x1 + ... + xn−21 x2 + xn−11 > 0.Conclusion : f est strictement croissante sur R+, d’autre part, f : x

−→xn est continue sur

R.

De même sur ] − ∞, 0] f est continue et strictement monotone d’où f est une bijection.

a)-Définition de la racine nieme

Soit n∈ N ∗, on appelle racine nieme et on note n√ x la bijection reciproque de la bijection définiede R+ sur R+ qui à x → xn. Cette bijection reciproque est donc la fonction qui à x associe n√ x.b)- Propriét́es ∀x ∈ R+

P1)- n√

xn = x; n

p√

x = np√

x; n

x

y =

n√

xn√

y; n

√ x = np

√ x p;

n√

x p

= n√

x p

P2)-xn.xm = xn+m; (xn)m = xn.m; xn

xm = xn−m; (xy)n = xnyn;

x

yn

= xn

yn


11/67

1.6 Dérivabilité

Cette section traite de la notion de dérivée d’une fonction, outil mathématique très puissantqui sert d’introduction à l’étude du calcul différentiel et intégral.

Les dérivées sont apparues au X V I I e siècle à la suite de l’étude des tangentes aux courbes,faite par le mathématicien et physicien anglais Newton et par le mathématicien et philosopheallemand Leibniz. On traitera également ici des applications des dérivées à l’étude du sens devariation des fonction, et en particulier à la recherche des extrêmuns.

1.6.1 Définition

soit f : R −→ R On dit que f est dérivable en xo ∈ D si le rapport f (x)−f (xo)x−xo admet unelimite lorsque x tend vers xo. Cette limite unique est appelée nombre dérivé de f en xo, et onnote :

f (xo) = limx→xo

f (x) − f (xo)x − xo (1.6)

On peut également poser x = xo + h

f (xo) = limh→0f (xo + h)

−f (xo)

h (1.7)

plus généralement f’(xo) est la dérvée de f en xo.Remarques :- Comme pour les limites et la continuité, on peut définir la dérivée à droite en xo : f’(x

+o ) ou à

gauche : f’ (x−o ). En particulier si f est dérivable en xo, on a : f’(xo) = f’(x−o ) =f’(x+o ).- Toute foncton dérivable en un point est continue en ce point (la reciproque est fausse : f(x)=| x |est continue en xo avec f’(0

−)=-1 = f’(0+)=1).

1.6.2 Fonction dérivée

Si f est dérivable en tout point deD

, on dit que f est dérivable surD

, et on note f ’ la fonctiondérivée définie par :D → Rx −→ f (x) Notation de la dérivée : f ’ ou df dx ou f (

).

1.6.3 Dérivée successives

Si f est dérivable, on obtient la dérivée seconde en f en dérivant f ’ : f ” ou d2f dx2 ou f

(2). Plusgénéralement, si n est un entier naturel non nul, on obtient la dérivée nieme ou d’ordre n de f :f (n) ou d

nf dxn définie par : f

(n) = [f (n−1)]

Exemples :

- La fonction f (x) = x5

est indéfiniment dérivable sur R, ses dérivées successives sont :f (x) = 5x4, f (x) = 20x3, f (x) = 60x2, f (4)(x) = 120x, f (5)(x) = 120, les dérivées suivantesétant toutes nulles.- La fonction f (x) = 5x−4 est indéfiniment dérivable sur son ensemble de définition R∗ :f (x) = −20x−5, f (x) = 100x−6, f (x) = −600x−7, ..., f (n)(x) = (−1)n 56(n + 3)!x−n−4,...

1.6.4 Interprétation géométrique

Soit M o(xo, f (xo)) un point de (C) Courbe représentative de f dans un repère (O, −→i , −→ j ) :- Si f est dérivable en xo, (C) admet en xo une tangente d’équation : y − f (xo) = f (xo)(x − xo).- Si f n’est dérivable qu’à droite (ou à gauche) en xo, (C) admet alors une demi-tangente en M oà droite (ou à gauche)


12/67

- Si limx→xof (x)−f (xo)

x−xo = ∞ ; (C) admet en M o une tangente parallèle à −→ j .

Exemple : f (x) =√

x et D = [0, +∞[.f (x) = 1

2√ x

pour x = 0 et x > 0- En x = 1 ; la tangente à la courbe a pour équation :y − f (1) = f (1)(x − 1) qui donne y = 12x + 12 ;- En x = 0 ; limx→0+

f (x)−f (0)x

−0 = limx→0+

√ xx = limx→0+

1√ x

= +∞ (n’est pas dérivable en 0+)

1.6.5 Opérations sur les dérivées

Soient f et g dérivables :a)-Dérivée d’une somme, d’un produitSomme : (f+g)’=f’+g’Produit : (f.g)’=f’.g+f.g’(En particulier si g est une constante et égale à a, (af)’=af’) La formule relative à la dérivée d’unproduit de deux fonctions s’étend par récurrence au cas du produit de n fonctions dérivables :Soient f 1, f 2,...,f n des fonctions numériques définies et dérivables sur un intervalle I de R et

(f 1f 2...f n) =

ni=1

f 1f 2...f i−1f if i+1...f n

Par exemple, si les fonctions f 1, f 2,...,f n sont toutes égales à une même fonction f ,

(f n) = nf n−1f

Exemple :- La dérivée de xn est (xn) = nxn−1

- La dérivée de f (x) = ax2 + bx + c est f (x) = 2ax + bb)- Dérivée d’un quotient (avec g non nulle)

f g

= f .1g − f g

g2 = f g−fg

g2

c)- Dérivée d’une composition de fonctionsSoit f (x) = (gou)x = g[u(x)] alors f (x) = g (u).u(x) où g (u) est la dérivée de g par rapport àu. Et u(x) est la dérivée de u par rapport à x.Exemple : f (x) =

(x2 + 1) =

√ u = g(u) avec u(x) = x2 + 1

f (x) = (√

u).(x2 + 1) = 12√ u

(2x) = x√ x2+1

Formule de Leibniz (dérivée d’ordre n d’un produit)En posant par convention que f (o) = f et g (o) = g, on démontre par récurrence sur n que :

(f.g)(n) =n

k=o

C knf (n−k).gk Rappel C kn =

n!

k!(n − k)!

Exemple : Calculer la dérivée d’ordre n de U (x) = x2

x−1u(x) = x

2

x−1 = 1x−1x

2 = f (x).g(x)

f (x) = 1x−1 ; f (x) = − 1(x−1)2 ; f (x) = 2(x−1)3 et par récurrence f n(x) = (−1)

nn!(x−1)n+1

g(x) = x2 ; g(x) = 2x ; g (x) = 2 et pour n ≥ 3, gn(x) = 0.un(x) = f (n)(x)g(x) + nf (n−1)(x)g(x) + n(n−1)2 f

(n−2)(x)g(x) ceci pour n ≥ 2. Sinon f (n−2) n’apas de sens.

u(n)(x) = (−1)nn!

(x−1)n+1 x2 + n (−1)

n−1(n−1)!(x−1)n 2x +

n(n−1)2

(−1)n−2(n−2)!(x−1)n−1 2

u(n)(x) = (−1)nn!

(x−1)n+1

x2 − 2x(x − 1) + (x − 1)2 = (−1)nn!(x−1)n+1 pour n ≥ 2Soit u(x) = x

2−2x(x−1)2 directement.

On pourrait éviter la formule de Leibniz en remarquant que


13/67

f(x) f’(x) f(x) f ’(x) f(x) f’(x)

Constante 0 Tan x 1cos2x = 1 + tan2x Cos u -u’sinu

xn(n∈ N ) nxn−1 Cotanx − 1sin2x

= −(1 + cotan2x) sin u u’cosuSinx Cosx Ln (x) 1x Ln u

uu

Cosx −Sinx ex ex eu ueu√ x 1

2√ x

√ u u

2√ u

m√

x 1m( m

√ x)m−1

Tab. 1.2 – Dérivées de quelques fonctions classiques

u(x) = x + 1 + 1x−1 = x + 1 + f (x)u(x) = 1 + −1(x−2)2 =

x2−2x(x−1)2

Pour n ≥ 2 U (n)(x) = 0 + f (n)(x) = (−1)nn!(x−1)n+1

1.6.6 Dérivées des fonctions usuelles

Les dérivées de quelques fonctions classiques sont regroupées dans le tableau Tab 1.2 :

1.6.7 Exemple de calculs de dérivées

Calculer la dérivées des fonctions suivantes :1. La fonction f (x) =

x−1x+2 est définie sur la réunion des intervalles ] − ∞, −2[U [1, +∞[

2. La fonction f (x) = tan2(1/x) définie pour x = 2π(1+2k)3. La fonction f (x) =

(1 − sin3x)3 définie sur R

4. La fonction f (x) = Arctg1/(1 − 4x2) définie pour tout x différent de -1/2 et de 1/2.5. La fonction f (w) =

√ R2 + L2w2 définie sur R

Réponses :

1. f (x) = 2

2(x+2)√ (x+2)(x−1)2. f

(x) =

− 2

x2

sin(1/x)

cons3

(1/x) 3. f

(x) =

−9

2sin2(x)cos(x) 1 − sin3(x)

4. f (x) = 8x1+(1−4x2)2 5. f (w) = 2L

2w2√ R2+L2w2

= L2w√

R2+L2w2

1.6.8 Exemple de calculs différentiels

a). Dans de nombreux cas, il suffit d’écrire df = f (x)dx. Ainsi :f (x) = sin(x) df = cos(x)dxf (x) =

√ x df = 1

2√ x

dx

f (x) = Arcsin(x) df = dx√ 1−x2

f (x) = tan(x) df = 1cos2xdxf (x) = Arctan(x) df = 11+x2 dx

b). Produit : f (x) = cos(x)

sin(x) df = (−sin(x) sin(x) + cos2x2√ sin(x)

)dx

1.6.9 Notation différentielle en physique

En physique, on étudie généralement la variation d’une fonction f pour des petites valeurs del’accroissement ∆x de la variable. Le rapport ∆f /∆x est sensiblement égal à la dérivée f (x) ;soit

∆f ≈ f (x)∆x (1.8)On remplace cette relation approchée par la relation rigoureuse : df = f (x)dxExemples :


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1). Le travail éĺementaire ∆W de la force F pour un allongement élémentaire ∆x d’un ressortest : ∆W = F ∆x or F = kx alors ∆W = kx∆x2). La quantité de chaleur dégagée par un courant sinusöıdal d’intensité I = I osin(wt) à traversune résistance R pendant le temps ∆t est : ∆W = RI 2∆t = RI 2osin

2wt∆t3). En radio, la longuer d’onde d’un ciruit oscillant est donnée par la formule : λ = k

L(C + C o)

où L est l’inductance de la bobine, C la capacité du condensateur, C o la capacité propre dubobinage, k une constante dépendant du système d’unités choisi.Si C varie de ∆C , de combien varie λ ?

dλ = k 12√ L(C +C o)

LdC = k2

LC +C o

dC d’où ∆λ = k2

LC +C o

∆C

1.7 Notion de fonctions inverses ou reciproques

1.7.1 Définition

Soit f : R → R, x −→ y=f(x)=ax+b (a= 0)pour tout réel x on peut calculer y, réciproquement pour tout y réel on peut déterminer un x etun seul, x = 1a(y − b). On peut donc envisager l’application.ϕ :

R→ R

, y −→

x=ϕ(y) = 1a

(y−

b);(a=0)

ϕ est la fonction inverse ou reciproque de f.

1.7.2 Résultat fondamental

Soit f : [a, b] → [f (a), f (b)], x −→ y=f(x) continue, strictement monotone. Alors il existe :ϕ : [f (a), f (b)] → [a, b], y−→ x=ϕ(y) continue, strictement monotone (de même sens que f).ϕ est la fonction réciproque ou inverse de f sur [a,b]. On utilise souvent la notation ϕ = f −1, eton a f of −1 = f −1of = I dR (application identique).

y = f (x) x ∈ [a, b] ⇐⇒ x = f −1(y) y ∈ [f (a), f (b)]

1.7.3 Dérivée et graphe de f −1

• Dérivée : Soit f dérivable en xo ∈ [a, b]Si yo = f (xo) alors xo = f

−1(yo) on a :

limy→yo

f −1(y) − f −1(yo)y − yo = limx→xo

x − xof (x) − f (xo) = limx→xo

1f (x)−f (xo)

x−xo=

1

f (xo)

et pour f (xo) = 0, (f −1)(yo) = 1f (xo) = 1f [f −1(yo)] ou encore.

(f −1) = 1

f of −1 (1.9)

• Graphe de f −1 :Pour représenter graphiquement x = f −1(y), il faut inverser les axes traditionnels. Pour évitercette ”manoeuvre”, et afin de repŕesenter les graphes de f et f −1 dans le même repère, onéchange x et y dans l’expression de f −1. Ce qui se traduit par une symétrie des graphes parrapport à la première bissectrice d’équation y = x.

1.8 Rappels sur l’étude d’une fonction

l’étude d’une fonction suit généralement le plan suivant :a). Ensemble de définition D ; i.e la partie D de l’ensemble R sur laquelle f est définie. b). Onétudie la parité de la fonction


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- Si pour tout x D, f (−x) = f (x) alors f est paire et le graphe de f est symétrique par rapportà Oy.- Si pour tout x D, f (−x) = −f (x) alors f est impaire et le graphe de f est symétrique parrapport à O.Dans les deux cas on peut réduire l’ensemble d’étude à D = D ∩ [0, +∞[. et le graphe se déduitde celui de la restriction de f à D par une symétrie.c). On étudie la périodicité de f : si f(x+T)=f(x) alors T est une période de f. On peut définirl’ensemble d’étude à son intersection D avec l’intervalle [0,T]. Le graphe de f se déduit par destranslation parallèlement à Ox.d). étude de la continuit́e de f et calcul des limites eventuelles aux extremités des intervallescontenus dans l’ensemble d’étudee). étudie de la dérivabilité de f et déterminer sa fonction dérivée f

. On en déduit les maxi-

mums, les minimums de f, ainsi que le sens de variation.f). Dresser le tableau de variation.g). Rechercher les points remarquables (point d’inflexion, d’intersection avec les axes, les extre-mums, etc...), étude de la concavité.h). étudier les branches infinies et asymptôtes :Si limx

→xo f (x) =

±∞ alors x = xo est asymptote verticale au graphe f

Si limx→±∞ f (x) = l alors y = l est asymptote horizontale. au graphe f Si limx→±∞ f (x) = ±∞. On forme alors le rapport f (x)x . Si ce rapport tend vers 0, on dit que f présente une branche parabolique dans la direction Ox, si ce rapport tend vers ±∞, on dit quele graphe de f présente une branche parabolique dans la direction Oy. Si ce rapport tend versune limite non nulle a, on dit que le graphe de f présente une branche infinie dans la directionde pente a. Dans ces condition, on étudie la fonction g (x) = f (x) − ax .Si g(x) tend vers ±∞, on dit que le graphe de f présente une branche parabolique dans la direc-tion de pente a.Si g(x) tend vers une limite finie b, on dit que le graphe de f admet pour assymptote oblique ladroite effine d’équation y = ax + b.i). Tracer la courbe.

1.9 Quelques fonctions fondamentales

1.9.1 Fonctions trigonométriques inverses

a).Fonction ArcSinDéfinition : f (x) = sinx est continue, strictement croissante de [−π/2, π/2] sur [-1,1]. f admetdonc une fonction réciproque f −1 de [-1,1] sur [−π/2, π/2] notée Arcsin.y = Arcsinx pour −1 ≤ x ≤ 1 ⇐⇒ x = siny pour −π/2 ≤ y ≤ π/2y = Arcsinx se lit : Arc compris entre −π/2 et π/2 dont le sinus est xRelations :

Arcsin(−x) = −Arcsin(x)Sin(Arcsinx) = xCos(Arcsinx) =

√ 1 − x2

Dérivée et graphe En utilisant la dérivée de la fonction inverse avec pour variable y, nousavons :(f −1)y = 1f (x) =

1cos(Arcsiny) =

1√ 1−y2 et en reprenant x comme variable, il vient :

(Arcsinx) = 1√ 1−x2

b).Fonction ArcCosy = Arccosx pour −1 ≤ x ≤ 1 ⇐⇒ x = cosy pour 0 ≤ y ≤ πRelations :

cos(Arccosx) = x


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Sin(Arccosx) =√

1 − x2Arccosx + Arcsinx = π/2Dérivée et graphe : (Arccosx) = −1√

1−x2

c).Fonction ArcTany = Arctanx pour −∞ ≤ x ≤ +∞ ⇐⇒ x = cosy pour −π/2 ≤ y ≤ π/2Relations :Arctan(−x) = −ArctanxArctanx + Arctan 1x = ....π/2et − π/2Dérivée et graphe : (Arctanx) = 1√

1+x2

d).Fonction logarithme népérien (Rappel)

La fonction logarithme néperien est sur ]0, +∞[, la primitive de f (x) = 1x s’annulant pour x=1.

ln(x) =

x1

dt

t ⇔ (lnx) = 1

x avec ln1 = 0

Propríet́es : pour tout a > 0 et b > 0 on a : lnab = lna + lnb lnab = lna − lnb lna p = plna (pour p tout rationnel)quelques limites :

limx→+∞ ln(x) = +∞ ; limx→+∞ ln(x)x = 0+ ; limx→0+ ln(x) = −∞ ; limx→0+ xln(x) = 0− ; Plusgénéralement pour α réel positif, on a : limx→+∞

ln(x)xα = 0

+ ; limx→0+ xαln(x) = 0− ; On dit quela puissance l’empore sur le ln en +∞ et en 0+ et enfin limx→h ln(1+h)h = 1 ;Pour a > 1, a = 1 loga(x) = ln(x)ln(a) (logarithme en base a) qui est une fonction définie sur ]0, +∞[comme le logarithme néperien et qui possede les même propriétés. pour a = 10 on obtient le logarithme décimal noté Log et qui vérifie Log(1) = 0, Log(10) = 1

e).Fonction exponentielle de base eDéfinition : On appelle fonction exponentielle de base e (x → ex), la fonction reciproque de lafonction logarithme népérien définie par :y = ex pour x ∈ R ⇐⇒ x = ln(y) pour y ∈ R∗+Propríet́es :- Pour tout x ∈ R, ex > 0ln(ex) = eln(x) = x de plus ln1 = 0 ⇔ e0 = 1lne = 1 ⇔ e1 = e 2, 71828 par défaut.- ∀(x, y) ∈ R ex+y = exey ; ex−y = exey- ∀α ∈ R eαx = [ex]αDérivé :

∀x ∈ R (ex

) = ex

; (e

u

) = ueu

;quelques limites :

limx→−∞ ex = 0+ ; limx→+∞ ex = +∞ ; limx→−∞ xex = 0− ; limx→+∞ exx = +∞ ; limx→0 ex−1x =

1; limx→+∞ xex = 0; limx→+∞ln(x)ex = 0 ; et plus généralement ∀α ∈ R limx→−∞ xαex = 0 et

limx→+∞ ex

xα = +∞Variation et garphe :

f).Fonction exponentielle de base a (a > 0, a = 1)Définition : C’est la reciproque de la fonction logarithme de base a loga not́ee :y = ax pour x ∈ R ⇐⇒ x = loga(y) pour y > 0Propríet́es :

- Pour tout x ∈ R, ax

= exln(a)


17/67

Les propriétés algébriques sont les mêmes que celles de l’exponentielle de base e.Dérivé :∀x ∈ R (ax) = ln(a)ax ;garphe :

g).Fonction puissanceDéfinition : Soit α

∈R, on appelle fonction puissance x

→xα la fonction de R

∗+ vers R d́efinie

par xα = eαln(x)

Propríetés algébriques :- ∀(x, y) ∈ R∗+xR∗+, ∀α ∈ R (xy)α = xαyα-∀x ∈ R∗+, ∀(α, β ) ∈ R2 xα+β = xαxβ -∀x ∈ R∗+, ∀α ∈ R, x−α = 1xαDérivé :∀x ∈ R∗+ (xα) = αxα−1Graphe :

1.9.2 Fonctions hyperboliques directes et réciproque

a).Définition En décomposant ex = f (x) + g(x) avec f paire et g impaire d’où e−x =f (−x) + g(−x) = f (x) − g(x)On définit ainsi le cosinus hyperbolique (Ch) et le sinuis hyperbolique (Sh) par :

Ch(x) = 1

2(ex + e−x) Sh(x) =

1

2(ex − e−x)

et par analogie avec les lignes trigonométriques, la tangente hyperbolique (th)

th(x) = Sh(x)

Ch(x) =

ex − e−xex + e−x

= e2x − 1e2x + 1

= 1 − e−2x1 + e−2x

b).Variation et représentation graphique

♣ y = ch(x), y = sh(x)♣ y = sh(x), y = ch(x)♣ y = th(x), y = 1ch2x = 1 − th2xc).Trigonométrique hyperboliqueL’analogie avec la trigonométrie circulaire passe par les formules d’Euler

cos(x) = 1

2(e jx + e− jx) et sin(x) =

1

2 j(e jx − e− jx)

Les formules établies pour les fonctions sin et cos restent valables pour les fonctions Sh et Chen changeant cos(x) en Ch(x) et sin(x) en jSh(x).Exemples

• cos2x + sin2x = 1 donne C h2x + ( jS hx)2 = 1 soit Ch2x − Sh2x = 1• y = tan(x) =⇒ y = 1cos2x = 1 + tan2xy = th(x) =⇒ y = 1Ch2x = 1 + ( jSh(x)ch(x) )2 = 1 − th2(x)Quelques formules importantesSh(2x) = 2Sh(x)Ch(x) ; C h(2x) = C h2(x) + Sh2(x) = 2Ch2(x) − 1 = 1 + 2Sh2(x)Ch(a + b) = C h(a)Ch(b) + Sh(a)Sh(b) ; Sh(a + b) = S h(a)Ch(b) + Sh(b)Sh(a)

d).Fonction hyperbolique reciproquei)-Argument Cosinus hyperboliqueLa fonction Ch est continue et stritement monotone pour x ≥ 1, elle admet donc une fonctionréciproque notée ArgCh :

y = ArgCh(x) pour x ≥ 1 ⇐⇒ x = C h(y) pour y ≥ 0


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y = 1√ x2−1

Remarque En résolvant en y l’équation x = C h(y) = 12(ey + e−y) avec y ≥ 0, il vient e2y−2xey +

1 = 0, une racine convient ey = x +√

x2 − 1 qui donne :y = ArgCh(x) = ln(x +

√ x2 − 1)

ii)-Argument Sinus hyperbolique

De même on définit pour tout xy = ArgSh(x) pour x ∈ R ⇐⇒ x = Sh(y) pour y ∈ Ry = 1√

x2+1 ; y = ArgSh(x) = ln(x +

√ x2 + 1)

iii)-Argument tangente hyperboliquey = Argth(x) pour −1 < x


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1.11 Exercices d’application

1.11.1 Applications pratiques des dérivées

Problème de la boite

Pour fabriquer une bôıte sans couvercle, on prend une feuille carrée en carton ou en métaldont le côté à une longueur donnée a. A chacun des quatre angles, on découpe un carré dont lecôté a une longueur égale à x ; on rabat perpendiculairement les quatre bandes qui restent (fig.5.1). Déterminer x pour que le volume de la bôıte soit maximal.

Problème de la casserole

On veut fabriquer une casserole en aluminium embouti au moyen d’une feuille de métal d’aireA. Déterminer le rapport de la hauteur h et du rayon r pour que le volume soit maximal. Onsuppose qu’il n’y a aucun déchet de métal, que l’épaisseur reste constante et qu’il n’y a pas decouvercle (fig. 5.2).

Problème de la reflexion de la lumière (descartes)

Soient un miroir plan, S une source lumineuse et O un oeil qui regarde dans le miroir.Trouver la position du point M où un rayon issu de S frappe le miroir pour aller ensuite dansl’oeil, sachant que la lumière suit le chemin le plus court.

Problème de la refraction de la lumière (descartes)

Soient une cuve remplie deau (Fig.5.4), S une source lumineuse à la distance a de la surface,O un oeil à la profondeur b recevant un rayon lumineux venant de S. Trouver la position dupoint M où le rayon frappe la surface de l’eau, sachant que la lumière met le temps minimal pouraller de S en O ; la vitesse de la lumière étant V

l’air dans l’air et V dans l’eau, avec V > V .

En déduire la loi de la réfraction de la lumière.

Problème du transformateur électrique

Soit une générateur alternatif, de force électronique E et de résistance interne P que l’onrelie à une resistance fixe R au moyen d’un transformateur, supposé parfait, c’est-a-dire dont lerendement est de 100% (sans perte et sans fuites). Calculer le rapport de transformation n pourque le courant dans R soit maximal (Fig.5.7)

Problème du projectile

On lance obliquemant, sous un angle α , un projectile avec une vitesse initiale V. Trouver lavaleur de l’angle α pour que la portée du tir soit maximale, et trouver la hauteur maximale de

la trajectoire. On néglige la résistance de l’air (Fig.5.8).

Problème de la résonance électrique

Mettons en série un condensateur de capacité C et une bobine de résistance R dont l’induc-tance est L. Branchons le tout sur une d.d.p. alternative V. On sait que le courant I a pourvaleur :

I = V

R2 + (Lw − 1/Cw)2En suposant la capacité C variable, chercher dans quelle conditions le courant I peut devenirmaximal.


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Problème de la puissance électrique maximale

C’est un problème très important en électricité, on le rencontre aussi en radio, dans l’étudede la réception et de l’émission.Soit un générateur de force électronique E et de résistance interne r qui débite sur une résistanceextérieure R variable. Trouver la valeur de R pour que la puissance dégagée dans R soit maximale(Fig.5.9).


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Corrections exercices d’application

Problème de la bôıte

L’aire du fond de la bôte est A = (a − 2x)2Le volume de la bôıte est donc V = xA = x(a − 2x)2 = 4x3 − 4ax2 + a2xPour que le volume soit maximal, il faut que la dérivée de V soit nulle :

V = 12x2−8ax+ a2 = 0 équation dont les racines sont x = 4a±√ 16a2−12a212 = 4a±2a12 soit x = a/2et x = a/6La dérive V’ est positive pour x < a/6 et x > a/2La dérive V’ est négative pour a/6 < x < a/2Le maximun de V es atteint pour a=a/6, ce maximun est égal à 2a3/27. Pour x = a/2, V prendla valeur 0 ; la boı̂te est alors réduite à un point.

Problème de la casserole

Le volume est de V = πr2hIl y a deux variables, r et h, mais il existe une relation entre ces variables : en effet, l’aire totale

est constante, soit πr2

+ 2πrh = A D’où h = (A − πr2

)/2πr Portons dans V : V = πr2A

−πr2

2πr =r2(A − πr2) = rA2 − πr

3

2Le volume est ainsi exprimé en fonction de la seule variable r ; pour déterminer le maximun,annulons la dérive de V : dV dr =

A2 − 3πr

2

2 = 0

On en tire : 3πr2 = A et r =

A/3π.Compte tenu de la relation (1), nous voyons que πr2 + 2πrh = 3πr2, d’où 2πr2 = 2πrh et r = hRemarquons que pour r <

A/3π la dérivée est positive, et que pour r >

A/3π elle est

négative. Il s’agit donc bien d’un maximum de volume.

Problème de la reflexion de la lumière (descartes)

C’est en effet cette hypothèse qui régnant au XVIIe siècle, et qui a été reconnue exacte par la

suite. et c’est grâce aux dérivées que, dès cette époque, on a pu énoncer la loi de la reflexion dela lumière. On se donne a, b et l (Fig.5.3) et on détermine la position du point M par la distancex. Ensuite, nous chercherons une relation trigonométrique au sujet des angles situés autour dupoint M. La distance totale est

D’oùLa dérive s’annule pourElevons deux membres au carré pour supprimer les racines carrées :Egalons les produits des extrêmes et des moyens, et simplifions ; il reste :Puisque x et l-x sont positifset finalementLa relation (1) a une interprétation trogométrique fort simple : elle signifie que les angles i

et r ont les mêmes sinus, et donc qu’ils sont égaux :L’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion, c’est la loi de la réflexion de la lumière,

trouvée par Descartes. On a bien un minimum de parcours, car si, dans la dérivée, on remplacex par une valeur inférieure à al/(a+b), par exemple par zéro, on constate que cette dérivée estnégative, donc d décroı̂t, on aura donc un minimum de la distance d.)))

Problème de la refraction de la lumière (descartes)

Cette dernière hypothèse, V¿V, était connue au XVIIe siècle, du temps de Descartes. L’expériencemontre que la lumìere, pour aller de S en O, suit une logne crisée SMO. La position du pointM sera déterminée par la distance x, nous en déduirns ensuite une relation trigonométrique ausujet des angles autour du point M (Fig.5.4) Calculons la durée totale t du parcour, puis nous


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annulerons la dérivée t=dt/dx Le temps pour aller de S en M est SM/V, et le temps pour allerde M en O est MO/V.))

Problème du transformateur électrique

On remarquera que, si le courant est maximal, il en sera de même de la différence de potentielV aux bornes de R, ainsi que de la puissance éectrique On sait que le rapport de transformation

estCalculons dont V en fonction de n. or,D’autre part,oun étant la seule variable ; annulons donc la dérivée de ce quotient par rapport à noud’oùEst-ce bien un maximun de V ? Etudions le signe de la dérivée un peu avant la valeur critique

de nComme la dérivée s’annule ensuite, on aura un maximun de V ainsi que du courant i, dans

R, ainsi que de la puissance dans R. Si par hasard R = p, n =1 et il n’y a aucun avantage à

utiliser un transformateur, où il y a toujours des pertes d’énergie. Cependant, même si n = 1,un transformateur est souvent utile car il isole le primaire du secondaire, dans le cas o ù l’onaurait accidentellement de la haute tension dans le primaire.))

Problème du projectile

On démontre, en mécanique, que l’abscisse x et l’ordonnée y du projectile sont reliées entreelles par

C’est un trinône du second dégré, représenté par une parabole d’axe vertical (a est négatif ),et passant par un maximun.

La portée, c’est-à-dire la valeur maximale de x, est obtenue en faisant y=O, d’où et Si varie,la portée maximale sera obtenue en annulant la dérivée de x par rapport à :

Est-ce bien un amximun ? x est positif pour Donc x crôıit pour décrôıtre ensuite. On a doncbien un maximun, si l’angle de tir est de 45Ý Quand au maximun de hauteur atteinte par leprojectile, annulons y, ce qui nous donnera la valeur de x d’où et On remarque que c’est l amoitiéde la portée maximale. on en déduit facilement la valeur de y à ce moment : et, pour

On verrait ainsi que, si V= 1000m/s, on trouve une hauteur maximale de 25km, l’abscisse xétant à ce moment de 100km(ceci en négligeant naturellement la résistance de l’air).))))

Problème de la résonance électrique

En supposant la capacité C variable, chercher dans quelles conditions le courant I peutdevenir maximal. Le courant I peut s’écrire :

Annulons donc la dérivée par rapport à C : d’oùLa fréquence f de la source et la fréquence F du circuit oscillant sont égales : on dit qu’ily a résonance. - Est-ce un maximum de I ? -Faisons C < , par exemple ; le dénominateur de Iest posisitif, la parenthèse du nemérateur est négative, donc I est positive, le courant I crôıt ,etcomme la dérivée s’annule ensuite, c’est que l’on a un maximun de courant.On voit ainsi que,en donnant à C une valeur convenable, le courant I est maximal ; il en résulte que la différencede potentiel aux bornes du condensateur est aussi maximale (il y a surtension). Cette propriétéest utilisée dans tous les montages de radio.) Le courant I

Problème de la puissance électrique maximale

La puissance est donnée par la loi de Joule :


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Or,doncAnnulons la dérivée par raport à R :Il en découle que P =O pourLa résistance externe doit être égale à la résistance interne Est-ce unj maximum de P ou

bien un minimum ? Etudions le signe P : la dérivée a le signe du numérateur, c’est-àdire de )


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Chapitre 2

Formule de Taylor etDéveloppements limités

2.1 Formule de Taylor

Définition : Soit une fonction n fois (n ∈ N ) continûment dérivable sur [a,b] et telle quef (n+1) existe sur ]a,b[, Alors il existe au moins un réel c de l’intervalle ]a,b[ telle que :

f (b) = f (a) + b − a

1! f (a) +

(b − a)22!

f (a) + ... + (b − a)n

n! f n(a) +

(b − a)n+1(n + 1)!

f (n+1)(c) (2.1)

(b−a)n+1

(n+1)! f (n+1)(c) est le reste de Lagrange

pour n = 0, on retrouve la formule des acroissements finis Autre forme : on pose b=a+h et c=a+θh avec 0 < θ


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P n(x) est la partie régulière ou principale du DLn ;xnε(x) est le terme complémentaire ou le reste d’ordre n.Remarques• Si on remplace x par (x − xo), on obtient un DLn au V (xo)• Si on remplace x par 1x , on obtient un DLn au V (∞)Propríet́es Unicité : Si f admet un DL

n au

V (o), il est unique

Existence (Théorème de Taylor-Young) : Si f n(0)existe, f admet un DLn au V (0) et on a :

f (x) = f (0) + f (0)

1! x +

f (0)2!

x2 + ... + f n(0)

n! xn + xnε(x)

∀n ∈ N , tout polynôme admet un DLn au V (0) si f admet un DLn au V (0), alors pour tout p ≤ n, f admet un DL p au V (0) : i.eSi f (x) = ao + a1x + ... + a px

p + ... + anxn + xnε(x)

Alors f (x) = ao + a1x + ... + a px p + x pε(x)

Si f est paire (impaire), sa partie régulière est paire (impaire).

2.3.2 Formation des développements limités au voisinage de zéroOn utilise la formule de MacLaurin :

f (x) = f (0) + x

1!f (0) +

x2

2!f (0) + ... +

xn

n!f n(0) +

xn+1

(n + 1)!f (n+1)(θx)

Exemple f (x) = 11−xf (x) = 1(1−x)2 ; f

(x) = 2(1−x)3 et par récurrence f n(x) = n!(1−x)n+1 pour tout n on a f

(n)(0) = n!

d’où : f (x) = 11−x = 1 + x + x2 + ... + xn + xnε(x) au voisinage de 0.

2.3.3 Développements limités usuels

◦ 11−x = 1 + x + x2 + ... + xn + xnε(x)◦ En changeant x en −x : 11+x = 1 − x + x2 + ... + (−1)nxn + xnε(x)◦ En changeant x en x2 : 11+x2 = 1 − x2 + x4 + ... + (−1) px2 p + x2 pε(x)◦ Pour tout α ∈ R(1 + x)α = 1 + αx +

α(α−1)2! x

2 + ... + α(α−1)(α−2)...(α−n+1)

n! xn + xnε(x)

◦ ln(1 + x) = x − x22 + x3

3 + ... + (−1)n+1xn+1

n+1 + xn+1ε(x)

◦ ex = 1 + x + x22! + ... + xn

n! + xnε(x)

◦ sin(x) = x − x33! + x5

5! + ... + (−1) p x2p+1

(2 p+1)! + x2 p+2ε(x)

◦ cos(x) = 1 − x22! + x4

4! + ... + (−1) p x2p

(2 p)! + x2 p+1ε(x)

◦ Ces formules ne sont valables qu’au

V (0)

◦ Le terme ε(x) n’est évidemment pas le même dans tous les cas, par contre on a limx→0 ε(x) = 0

2.3.4 Formation des développements limités au voisinage de xo

On pose u = x − xo et on effectue le DL de f(u) au V (0)Exemple : f (x) = ex avec un DL2 au V (1)On pose u = x − 1 et ex = eu+1 = e.eu u est au V (0), on peut donc utiliser le DL classique deex vu dans les développements usuels ; à l’ordre 2 cela donne :eu = 1 + u + u

2

2! + u2ε(u)

et ex = e(1 + (x − 1) + (x−1)22! + x2ε(x))


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2.3.5 Opération sur les développements limités

i)- Développement limité d’une sommeSi f et g admettent un DLn au V (0), alors f+g admet un DLn au V (0). La partie régulière estobtenue en faisant la somme des parties régulières.Exemple : DLn de f(x)=ch(x) au V (0)ch(x) = 12(e

x + e−x) =12

1 + x + x22! + ... +

xnn! + x

nε1(x)

+

1 − x + x22! + ... + (−1)n xnn! + xnε2(x)

=⇒ ch(x) = 1 + x22! + x4

4! + ... + x2p

(2 p)! + x2 pε(x)

Remarque : ex = sh(x) + ch(x)sh(x) est donc la partie impaire du DL de ex, ch(x) en est la partie paire.ii)- Développement limité d’un produit (même ordre)Si f et g admettent un DLn au V (0), alors f.g admet un DLn au V (0). La partie régulière est ob-tenue en faisant le produit des parties régulières et en ne conservant que les termes de degré≤ n.Exemple : DL3 au V (0) de f (x) = exsin(x)f (x) =

1 + x + x

2

2! + x3

3! + x3ε1(x)

x − x33! + x3ε2(x)

f (x) = x + x2 + x3

2! − x3

3! + x3ε(x)

f (x) = x + x2 + x3

3 + x3ε(x)

iii)- Développement limité d’un quotient (même ordre)

Si f et g admettent un DLn au V (0), avec g(0) = 0, alors f g admet un DLn au V (0). La partierégulière est obtenue en effectuant la division des parties régulières suivant les puissances crois-santes à l’ordre n.Exemple : DL3 au V (0) de f (x) = tan(x)tan(x) = sin(x)cos(x) =

x−x33! +x3ε1(x)

1−x22! +x3ε2(x)

= x + x3

3 + x3ε(x)

Remarque : On peut utiliser le produit en considérant1

cos(x) = 1

1

−x2

2! +x3ε2(x)

= 1 + x2

2 + x3ε(x)

iv)- DérivationSi f admet un DLn au V (0), alors f’ admet un DLn−1 au V (0). La partie régulière est obtenuepar dérivation de la partie régulière de f.Exemple : f (x) = 11−x2 = 1 + x

2 + x4 + ... + x2n + x2nε(x)

f (x) = 2x(1−x2)2 = 2x + 4x3 + ... + 2nx2n−1 + x2nε(x)

v)- IntégrationSi f admet un DLn au V (0), alors une primitive F de f admet un DLn+1 au V (0). La partierégulière de F est la primitive de la partie régulière de f prenant la valeur F(0) pour x=0.Exemple : ln(1+x), Arcsin(x), Arccos(x),...Prenons f(x)=Arcsin(x) et calculons son DL3 au V (0). On calcule le DL2 au V (0) de sa dérivée :f (x) = 1√

1−x2

= (1

−x2)−1/2 = 1 + 12x

2 + x2εx

f (x) = x + x3

6 + x3ε(x) + K , pour x=0, on obtient K=f(0)=Arcsin(0)=0.

Arcsin(x) = x + x3

6 + x3ε(x).

vi)- Composition de fonctionsSoit f (x) = g[u(x)], deux cas possibles :

u(0) = 0 : on effectue un DLn de g(u) au V (0) en utilisant les DL usuels. On effectue ensuiteun DLn de u(x) au V (0) et on remplace u par son DL dans le DLn de g(u) en ne conservantque les termes de d◦ ≤ n.Exemple : f (x) = esin(x) = g[u(x)] avec g(u) = eu et u(x) = sin(x)

DL3 au V (0) u(x) = sin(x) = x − x33! + x3ε(x) car x ∈ V (0)


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f (x) = ex−x3

3! +x3ε(x) = eu = 1 + u + u

2

2! + u3

3! + u3ε(u) car u ∈ V (0)

f (x) = 1 +

x − x33!

+ 12

x − x33!

2+ 16

x − x33!

3

+ x3ε(x) et en ne conservant que les termes

de degré≤ 3 :f (x) = 1 +

x − x33!

+ 12x

2 + 16x3 + x3ε(x)

esin(x) = 1 + x + 12x2 + x3ε(x)

u(0) = 0, soit u(0) = a : On effectue le DLn de g(u) au V (u = a) dans lequel on rem-place son DL au V (x = 0)Exemple : f (x) = ecos(x), DL3 au V (0)On commence par un DL3 de cos(x) au V (0) :cos(x) = 1 − x22! + x3ε(x) d’où f (x) = e1−

x2

2 +x3ε(x)

On pose u(x) = −x22! ∈ V (0). On peut donc appliquer les DL usuels :e1−

x2

2! = e1+u = e.eu = e(1 + u + uε(u)) l’ordre 1 suffit car le terme en u2 donnerait du degré 4en x.ecos(x) = e

1 − x22! + x3ε(x)

2.3.6 Applcations de développements limités

i)- Recherche de limiteOn a vu que certains calcul de limites présentent quelques difficultés (forme indéterminées) queles DL permettent de lever.Exemple 1 : f (x) = (sin(x) + cos(x))1/x ; calculer limx→0 f (x)limx→0 f (x) = 1∞ qui est une forme indeterminée. On calcul le DL1 de f(x) au V (0) :f (x) = (x + 1 + xε1(x))

1/x = e1/xln(1 + x + xε1(x)) = e1/x(x + xε2(x))

donc limx→0 f (x) = eExemple 2 : f (x) =

ln(sinπx2 )

(x−1)2 ; calculer limx→1 f (x)C’est une F.I. (0/0). On peut essayer la règle de l’Hospital. On utilise un DL2 au

V (1) ; (l’ordre

du DL est imposé par le degré du dénominateur). Posons u = x − 1ln[sinπ/2(u+1)]

u2 = ln(cosu.π/2)

u2 = 1u2 ln

1 − (uπ/2)22 + u2ε(u)

= 1u2

− (u2π2)8 + u2ε(u)

d’où limx→1 f (x) = −π28

Exemple 3 : f (x) = x( x√

3 − 1), calculer limx→∞ f (x)Posons u = 1x ;1u(3

u − 1) = 1u(euln3 − 1) = 1u(1 + uln3 + u(u) − 1)d’où limx→+∞ f (x) = ln3ii)- Etude locale de courbes Au V (x0) : soit y=f(x), on envisage un DL2 au V (x0) :f (x) = f (x0) + (x

−x0)f

(x0) + (x−x0)2

2! f (x0) + x2ε(x)

On reconnaı̂t l’équation de la tangente à la courbe au point M 0(x0, f (x0)) : y = f (x0) + (x −x0)f

(x0) et on est rameńe à l’étude classique de la position de la courbe par rapport à satangente en M 0 :f (x0) > 0 concavité vers les y > 0f (x0) < 0 concavité vers les y


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Chapitre 3

Fonction de plusieurs variablesréelles

3.1 Calcul différentiel

Définition Ce sont des fonctions définies sur une partie d’un espace vectoriel E (ev-n) réelde dimension finie et à valeur dans un. (ev-n) F réel de dimension finie : Soit f : E → F d́efiniesur D ⊂ E . Tout x de E sera noté x = ni=1 xiei ou aussi (x1, x2,...,xn), ainsi ∀x ∈ D son imagepar f est f (x) = f (

ni=1 xiei) aussi notée f (x1, x2,...,xn).

3.2 Continuité

Théorème : Si f est continue en x, chacune de ses fonctions partielles f (xi) est continue enxiExemple : Etudier la continuit́e en (0,0) de f : R2 → R définie parf (x, y) = xyx2+y2 si (x, y) = (0, 0), f (0, 0) = 0Solution : - Les deux fonctions partielles en (0,0) : x → f (x, 0) et y → f (0, y) sont identiquementnulles, donc continue.- pour x = 0, on a f (x, x) = 12 ; la restriction de f à la droite Ru où u = (1, 1) ; n’est donc pascontinue en (0,0) et il en est de même pour f.

3.3 Dérivées partielles

La jieme dérivée partielle de f est, lorsqu’elle existe la dérivée de f en xo suivant le vecteure j (1 ≤ j ≤ n). On le note D jf (xo) ou ∂f (xo)∂xj

∂f (a)

∂x j

= D jf (a) = lim

t→0

f (x1,...,x j + t, x j+1,...,xn) − f (x1,...,x j,...,xn)t

3.4 Dérivées partielles d’ordres supérieurs

On dit que f admet en xo une (k, j)ieme dérivée partielle seconde notée D2kjf (xo) ou

∂ 2f ∂xk∂xj

(xo).

On peut si possible en itérant le procédé de la dérivée seconde, obtenir les dérivées partiellestriples, quatriple, etc, ...f xj =

∂f ∂xj

= D jf

f xkxj = ∂ 2f ∂xk∂xj

= ∂ ∂xk ( ∂ f ∂xj

) = D2kjf .....f (q)xjq ...xj2xj1 =

∂ qf ∂xjq ...∂xj2∂xj1

= ∂ ∂xjq ( ∂ q−1f

∂xjq−1...∂xj2∂xj1

)


29/67

3.5 Théorème de Schwarz

Soit E de dimension 2 et f : E → R qui a (x, y) → f (x, y) admettant des fonctions dérivéespartielles seconde ∂

2f ∂x∂y et

∂ 2f ∂y∂x . Si ces fonctions sont continues en (a,b), on a :

∂ 2f ∂x∂y (a, b) =

∂ 2f ∂y∂x(a, b)

3.6 Matrice Jacobienne

• Si f est différentiable en a, la matrice de df a par rapport au couple de base (e j)1≤ j≤n,(e j)1≤ j≤ p de E et F respectivement est appelée matrice Jacobienne de f en a, on la note J f (a)et on a :

J f (a) =

∂f i∂x j

(a)

∈ M pn(R)

(i :indice de ligne ; j :indice de colonne)• Le déterminant de J f (a) est appelé Jacobien ou déterminant fonctionnel de f en a, on le note

D(f 1, f 2,...,f n)

D(x1, x2,...,xn)

(a) = detJ f (a)

Exemple1)- Etudier la differentiabilité de f : R2 → R2, (r, θ) → (x, y) = (rcosθ, rsinθ). Calculer lamatrice jacobienne et le Jacobien de f en (r, θ)2)- Même question pour :f : R3 → R3, (r,θ,ϕ) → (x,y,z) = (rcosϕcosθ, rcosϕsinθ, rsinϕ)SolutionDans les 2 cas, on a evidemment à faire à des fonctions de classe C 1 sur R2 ou R3.1er cas

J f (r, θ) = cosθ −rsinθsinθ rcosθ

D(x,y)D(r,θ) = detJ f (r, θ) = r2eme cas

J f (r,θ,ϕ) =

cosϕcosθ −rsinϕsinθ −rsinϕcosθcosϕsinθ rcosϕcosθ −rsinϕsinθ

sinϕ 0 rcosϕ

D(x,y,z)D(r,θ,ϕ) = detJ f (r,θ,ϕ) = r

2cosϕ

3.7 Calcul intégral

3.7.1 Intégrale curviligne

a)- Définition : Soit w une forme différentielle continue sur E et γ = ([a, b], ϕ) un arc declasse C par morceau dont le support Γ est inclus dans E. On appelle intégrale curviligne de wle long de γ le réel :

γ w =

ba

w(ϕ(t)).[ϕ(t)]dt

Remarque• L’application [a, b] −→ Rt −→ w(ϕ(t)).[ϕ(t)] est continue par morceau.


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• Dans le cas n=2, w = P dx + Qdy etϕ : [a, b] −→ E , t −→ ϕ(t) = (x(t), y(t)) on a :

γ

w =

ba

[x(t)P (x(t), y(t)]dt

b)- Propriét́es

i)-Relation de Chasles soit les arcs par morceau suivant :γ a,c = ([a, c], ϕ)γ c,b = ([c, b], ϕ) et γ = γ a,b alors

a,b w =

a,c w +

c,b w

ii)- Si Γ est une courbe fermée orientée, l’intégrale curviligne Γ w ne dépend pas de l’origine sur

Γ.ExempleCalculer l’intégrale curviligne

Γ y

2dx + x2dy lorsque Γ est l’une des courbes suivantes :1)- x2 + y2 − ay = 02)- x

2

a2 + y

2

b2 − 1 = 0

3)- x2

a2 + y2

b2 − 2xa − 2yb = 0 où a > 0, b > 0

Solution1)- Paramétrisation de Γ1 : x

2 + y2

−ay = 0

[−π2 , π2 ] −→ R2, t −→ M 1(t) ; x = acostsint, y = asin2t Γ1 y

2dx + x2dy = a3

4

π0 [(1 − cos2t)2cos2t + sin32t]dt

Γ1 y2dx + x2dy = −πa34

2)- Paramétrisation de Γ2 : x2

a2 + y2

b2 − 1 = 0

[−π, π] −→ R2, t −→ M 2(t) ; x = acost, y = bsint Γ2 y

2dx + x2dy = π−π[−ab2sin2tsint + a2bcos2tcost]dt

Γ2 y2dx + x2dy = 0

3)- Paramétrisation de Γ3 : (x−a)2

a2 + (y−b)2

b2 − 1 = 0

[−π, π] −→ R2, θ −→ M 3(θ) ; x = a(1 +√

2cosθ), y = b(1 +√

2sinθ)

Γ3 y2dx + x2dy = π−π[−ab2sinθ(1

−

√ 2cosθ)2 + a2b

√ 2cosθ(1 +

√ 2cosθ)2]dθ

Γ3 y2dx + x2dy = 4πab(a − b)

3.7.2 Intégrale double - Aire Plane

a)- Notation Une intégrale, sur un compact mesurable de R2, de f : ∆ −→ E s’appelle une intégrale double,on le note :

∆ f =

∆ f (x, y)dxdy (x et y sont des variables dites muettes).

Remarque l’aire de ∆ est l’intégrale (double) sur ∆ de la fonction constante 1 : A(∆) =

∆ dxdy

b)- Théorème de Fubini

i)- cas où ∆ est un pavé : ∆ = [a, b]x[c, d] ; a ≤ b et c ≤ d ∆ f (x, y)dxdy =

ba [ dc f (x, y)dy]dx =

dc [ ba f (x, y)dx]dy

ii)- ∆ = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, u(x) ≤ y ≤ v(x)} où u, v : [a, b] −→ R sont continues et u ≤ v. ∆ f (x, y)dxdy =

ba [ v(x)u(x) f (x, y)dy]dx

Exemple 1 Calculer

∆ yxdxdy où ∆ : 0 < a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ 1.

Solution Ici ∆ = [a, b]x[0, 1] est un pavé et f : ∆ −→ R ; (x, y) −→ yx est continue. (notons quepour 0 < y


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et

∆ xydxdy = 10 (x

√ xx2

ydy)dx = 10 (

x2

2 − x5

2 )dx = 112

c)- Changement de variables L’application ϕ : D −→ D ; (u, v) −→ (x, y) définit un changement de variable ; le Jacobien deϕ, J ϕ est aussi noté

D(x,y)D(u,v) .

i)- Formule de changement de variable dans les intégrales doubles ∆

f (x, y)dxdy =

D

f (x(u, v), y(u, v) | D(x, y)D(u, v)

| dudv

ii)- Coordonnées polaires

ϕ : R2 −→ R2, (r, θ) −→ (x = rcosθ, y = rsinθ, le Jacobien de ϕ est : D(x,y)D(u,v) =

cosθ −rsinθsinθ rcosθ

=

r. La formule de changement de variable s’écrit alors : ∆

f (x, y)dxdy =

D

f (rcosθ, rsinθ)|r|drdθ

iii)- Coordonnées elliptiques 0

≤u

≤1

ϕ : R2 −→ R, (u, θ) −→ (x = aucosθ, y = businθ) le Jacobien de ϕ est D(x,y)D(u,θ) =

acosθ −ausinθbsinθ bucosθ

=

abuet la formule de changement de variable s’écrit :

∆=

D

f (aucosθ, businθ)|abu|dudθ

Exemple1 Calculer I =

∆1

1+x2+y2dxdy où ∆ est le disque fermé de centre (0,0) et de rayon

1.Solution Il est naturel d’utiliser les cordonnées polaires :∆ : x2 + y2

≤1

D : 0 ≤ r ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2πx = rcosθ,y = rsinθI =

r1+r2 drdθ = πln2

Exemple2 Calculer I =

∆(x2 + y2)dxdy où ∆ est le disque elliptique fermée donnée par

x2

a2 + y2

b2 ≤ 1, (a > 0, b > 0).Solution Il est naturel d’utiliser les coordonnées elliptiques

x = aucosθ, y = businθ. ∆ : x2

a2 + y2

b2 ≤ 1, D : 0 ≤ u ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2π.

I = ab

10

u3du

2π0

(a2cos2θ + b2sin2θ)dθ = π

4ab(a2 + b2)

3.8 Int́egrale Triple - Calcul de volumes

a)- Notation ∆

f =

∆

f (x,y ,z)dxdydz

s’appelle intégrale triple.b)- Théorème de Fubini i)- Cas où ∆ est un pavé, ∆ = [a, a]x[b, b]x[c, c]

∆

f (x,y,z)dxdydz = a

a

b

b

( c

c

f (x,y ,z)dz)dy dx


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ii)- Cas où ∆ : (x, y) ∈ D ; u(x, y) ≤ z ≤ v(x, y)

∆f (x,y ,z)dxdydz =

D

v(x,y)u(x,y)

f (x,y ,z)

dxdy

iii)- Cas où ∆ : a ≤ z ≤ b, (x, y) ∈ D(z) avec z ∈ [a, b]

∆f (x,y ,z)dxdydz =

ba

D(z)

f (x,y ,z)dxdy

dz

3.8.1 Changement de variable

i)- Formule ∆ f (x,y ,z)dxdydz =

D f (x(u,v,w)), y(u,v,w), z(u,v,w)) | D(x,y,z)D(u,v,w) | dudvdw

ii)- Coordonnées cylindriques φ : R2 −→ R2; (r,θ,z) −→ (x = rcosθ, rsinθ, z) le jacobien de φest : D(x,y,z)D(r,θ,z) = r la formule du changement de variable s’écrit alors :

∆ f (x,y ,z)dxdydz =

D f (rcosθ, rsinθ, z) | r | drdθdz

iii)- Coordonnées sphériques φ : R3 −→ R3, (r,θ,ϕ) −→ (x = rcosθcosϕ, rsinθcosϕ, z = rsinϕ)

D(x,y,z)

D(r,θ,ϕ) =

cosθcosϕ −rsinθcosϕ −rcosθsinϕsinθcosϕ rcosθcosϕ −rsinθsinϕ

sinϕ 0 rcosϕ

= r2cosϕ


D F (rcosθcosϕ, rsinθcosϕ, rsinϕ)

r2|cosϕ|drdθdϕiii)- Coordonnées ellipsoı̈dique φ : R3 −→ R3, (u,θ,ϕ) −→ (x = aucosθcosϕ, y = businθcosϕ, z = cusinϕ le jacobien est| D(x,y,z)D(u,θ,ϕ) |= abcu2cosϕ


D f (aucosθcosϕ, businθcosϕ, cusinϕ)abcu2 | cosϕ | dudθdϕ


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Chapitre 4

Intégrations

4.1 Introduction

L’objet essentiel du calcul des primitives est de déterminer une fonction dont on connâıt ladérivée. Le calcul de primitives débouche sur la notion de calcul intégral dont les applicationssont nombreuses. Pour n’en citer que quelques unes parmi les plus importantes :- en mathématique : calcul d’aires, de volumes, de longueurs de courbes etc ;- en électricité : valeur moyenne et efficace d’une fonction, puissance, champ et potentiel électriques,champ magnetiques crée par un circuit, etc...

4.2 Int́egrale d’une fonction continue

4.2.1 notion de primitive

i). définition soit f définie et continue sur I=[a,b]. F définie, dérivable sur I est une primitivede f sur I ssiF (x) = f (x) ∀x ∈ I (4.1)

Exemple : f (x) = 1x pour x > 0, F (x) = ln(x)ii). Existence de primitive On admet que toute fonction continue sur I, y admet une primitive.iii). Primitrives usuellesQuelques primitives de certaines fonctions classiques sont regroupées dans la table 4.1

4.2.2 Intégrale d’une fonction continue sur [a,b]

i). Définition d’une intégrale soit F une primitive de f sur I = [a, b], le nombre reel F(b) -

F(a) qui est independant du choix de F est appelé integrale de f de a à b et on le note :

F (b) − F (a) = ba

f (t)dt (4.2)

ii). Interprétation géométrique soit f définie continue sur [a,b] avec a < b. On admet que

f (b) − F (a) = ba f (x)dx est l’aire algébrique du domaine D par x=a, x=b, l’axe x’ox et y=f(x).D = {M (x, y)/a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f (x)}..... dessin à inserer ....


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f(x) F(x) f(x) F(x) f(x) F(x)

a ax+c 1sin2x −cotan(x) + C Sh(x) Ch(x)+cxn(n=-1 xn+1n+1 +c 1sin2x −cotan(x) + c 1Ch2x th(x)1x ln

|x

|+c ax a

x

ln(a)+c 1

Sh2x

−Coth(x)

Sinx −Cosx+c 1√ 1−x2 Arcsin(x)+c

uu Ln u +c

Cosx Sinx+c 11+x2 Arctan(x)+c ueu eu+c

1cos2x tan(x)+c Ch(x) Sh(x)+c

1√ x2+1

ln(x +√

x2 + 1)+c

Tab. 4.1 – Quelques primitives classiques

4.3 propriétés de l’intégrale

4.3.1 relation de chasles

ba

f (t)dt +

cb

f (t)dt =

ca

f (t)dt (4.3)

entre autre ba f (t)dt = −

ab f (t)dt (en posant c=a)

4.3.2 Linéarité

ba

[f (t) + g(t)]dt = ba

f (t)dt + ba

g(t)dt (4.4)

Pour tout λ ŕeel : ba λf (t)dt = λ

ba f (t)dt

4.3.3 Cas des fonction paires ou impaires sur I

f paire sur I : a−a f (t)dt = 2

a0 f (t)dt

f impaire sur I : a−a f (t)dt = 0

4.3.4 Autre propiétés

- Si f et g sont intégrables sur [a,b] et vérifient ∀t ∈ [a, b] :f (t) ≤ g(t) alors : a−a f (t)dt ≤ a−a g(t)dt- si f est intrégrable sur [a,b] alors : | a−a f (t)dt |≤ a−a | f (t) | dt4.3.5 Inégalité de la moyenne - valeur moyenne

i). Inégalité de la moyenne• Si f est intégrable sur [a,b] et ∀t ∈ [a, b], m ≤ f (t) ≤ M alors on a : m(b − a) ≤ a−a f (t)dt ≤M (b − a).• On a plus généralementSi ∀t ∈ [a, b], | f (t) |≤ k alors on a : | ba f (t)dt |≤ k(b − a)


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exemple : Trouver un encadrement de I = 0−1 te

tdt.

Les variations de f (t) = tet sur [-1,0] nous donnent −1e ≤ f (t) ≤ 0, d’où : −1e (0 + 1) ≤ I ≤ 0 et−1e ≤ I ≤ 0ii). valeur moyenne Lorsque f est intégrable sur [a,b], on appelle valeur moyenne de f sur [a,b]

F = 1b−a ba f (t)dt de plus si f est continue sur [a,b], ∃c ∈ [a, b] tel que f (c) = F .

exemple : Soit f (t) = 1t sur [1,e]

F = 1e−1 e1 dtt = lne−ln1e−1 = 1e−1 f est continue, donc ∃c ∈ [1, e] vérifiant f (c) = F

1c =

1e−1 ⇔ c = e − 1

4.3.6 valeur efficace

Elle est définie à partir de la valeur moyenne de f 2, et on la note F ou f eff telle que :

F 2 = f 2eff = 1b−a

ba f

2(t)dt. f eff est la valeur efficace de f sur l’intervalle [a,b]. Elle est trèsutilisée en physique.exemple : soit i(t) = I mCos(wt) avec w =

2πT .

I 2 = i2eff = 1T

T 0 I

2mcos

2wtdt = I 2m2 d’où I = ieff = I m

√ 22

4.3.7 cas des fonctions continues par morceaux sur [a,b]

définition : f est continue par morceaux sur [a,b] si f est continue sur [a,b] sauf en un nombrefini de points en lesquels elle admet une limite à droite et à gauche. en physique, les signauxrectangulaire ou triangulaires par exemple sont continus par morceaux.exemple : soit le signal périodique (T=2)

défini par : f (t) =

t pour 0 ≤ t ≤ 1−1 pour 1 ≤ t ≤ 2 calculer la valeur moyenne et efficace de f.

• F = 1b−a ba f (t)dt =

12−0

10 tdt +

21 (−1)dt

= −14

F 2

= f 2

eff = 1

b−a ba f 2(t)dt = 12 10 t2dt + 21 (−1)2dt = 23⇒ F = f eff =

23

4.4 Calcul Intégral

4.4.1 Changement de variable

soit I = ba f (x)dx ; on pose x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ(t)dt qui donne

I = β α f [ϕ(t)]ϕ

(t)dt avec a = ϕ(α) et b = ϕ(β ).

exemple : I = 10 √ 1 − x

2

dx x = ϕ(t) = sint ⇒ dx = costdt etI =

π/20 cos

2tdt = [t/2 + sin(2t)/4]π/20 =

π4

exemple : I = e1lnxx dx ; t = lnx, dx = e

tdt ⇒ I = 10 tetet dt = t22 10 = 124.4.2 Intégration par parties

Soient u et v dérivables et à dérivées continues : ba u(x)v

(x)dx = [u(x).v(x)]ba − ba u

(x)v(x)dxexemple 1 I =

10 xe

xdxOn pose u(x) = x ⇒ u(x) = 1, v (x) = ex ⇒ v(x) = ex

I = [xex

]1

0 − 10 exdx = [xex − ex]10 = 1


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exemple 2 I =

ln(ax + b)dx0n pose u(x) = ln(ax + b) u(x) = aax+bv(x) = 1, v(x) = xI = xln(ax + b) − axax+b il vientI = xln(ax + b) − x + ba ln(ax + b) + c

4.4.3 Intégration des fractions rationnelles

Dans la plupart des cas, il faut passer par la décomposition en élément simple dans R.exemple 1 I =

xdxx2+2x−8 =

1/3x−2 +

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