Cours BTS Calcul vectoriel - mathematice.frmathematice.fr/fichiers/bts/calcvectP.pdf ·...

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    Cours BTSCalcul vectoriel

    S. B.

    Lyce des EK

    S. B. Prsentation en Latex avec Beamer

  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionInterprtationPropritCoordonnes dun vecteur

    Dfinition

    Dans le plan muni dun repre (O;i ,j ), les coordonnes dun

    vecteuru sont les coordonnes de lunique point M tel que

    OM=

    u .

    On critu (x ; y) pour dire que les coordonnes du vecteur

    u

    sont (x ; y).

    S. B. Prsentation en Latex avec Beamer

  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionInterprtationPropritCoordonnes dun vecteur

    Dans lespace muni dun repre (O;i ,j ,k ) les coordonnes

    dun vecteuru sont les coordonnes de lunique point M tel

    queOM=

    u .

    On critu (x ; y ; z) pour dire que les coordonnes du vecteur

    u

    sont (x ; y ; z).

    A partir dici, on se place dans lespace. Tout peut tre ramenau plan si lon supprime la troisime coordonnes ou si on laremplace par 0.

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionInterprtationPropritCoordonnes dun vecteur

    Le vecteurOM nous donne la position du point M. Si x , y , z

    sont des fonctions de la variable t reprsentant le temps, le

    vecteurOM (t) nous donne la position du point M linstant t .

    Les fonctions x(t), y(t) et z(t) sont les quationsparamtriques de la courbe reprsentant le dplacement du

    point M au cours du temps. Dans ce cas le vecteur

    OM (t), decoordonnes (x (t); y (t); z (t)) est le vecteur vitesse et le

    vecteur

    OM (t), de coordonnes (x (t); y (t); z (t)) est levecteur acclration.

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionInterprtationPropritCoordonnes dun vecteur

    Proprit

    Deux vecteurs sont gaux si et seulement si ils ont les mmescoordonnes dans le repre choisi.

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionInterprtationPropritCoordonnes dun vecteur

    Coordonnes du vecteurAB

    Si les points A(xA; yA; zA) et B(xB; yB; zB) sont donns ;

    alors le vecteurAB a pour coordonnes :

    (xB xA; yB yA; zB zA)

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    CoordonnesPropritsSoustraction

    Dans un repre, on donne les vecteursu (x ; y ; z) et

    v (x ; y ; z ) ; alors le vecteur

    u +

    v a pour coordonnes

    (x + x ; y + y ; z + z )

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    CoordonnesPropritsSoustraction

    Proprits

    Siu ,v ,w sont trois vecteurs alors :u +

    v=v +

    u

    u +0 =

    0 +

    u=u

    (u +

    v )+

    w=

    u +(

    v +

    w)

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    CoordonnesPropritsSoustraction

    Dfinition

    Siu et

    v sont deux vecteurs alors :

    u

    v=u +(

    v )

    o v est loppos de

    v

    Mthode Chaque fois que lon rencontre une soustraction, onla remplace par laddition corrrepondante.

    Exemple :AB

    DC

    CB=

    AB +

    CD +

    BC=

    AB +

    BC

    +CD=

    AC +

    CD=

    AD

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    Produit dun vecteur par un nombre relVecteurs colinaires

    Dfinition

    est un rel etu un vecteur de coordonnes (a;b; c) dans un

    repre.Le vecteur

    u est le vecteur de coordonnes (a;b;c) dans

    le mme repre.

    u est indpendant du repre choisi.

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    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    Produit dun vecteur par un nombre relVecteurs colinaires

    Proprits

    Si A et B sont tels queu=AB, et C tel que

    u=AC alors

    A,B,C sont aligns.

    si = 0 alors C = A,si = 1 alors C = B,si 0 1 alors C [AB]

    si > 0 alors AC = AB etAB et

    AC sont de mme

    sens,

    si < 0 alors AC = AB etAB et

    AC sont de sens

    contraire.

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    Produit dun vecteur par un nombre relVecteurs colinaires

    Calculs

    u=0 = 0 ou

    u= 0

    (1)u=

    u

    u

    v=u +(

    v )

    (u +

    v ) =

    u +

    v

    (+ )u=

    u +

    u

    ()u= (

    u )

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    Produit dun vecteur par un nombre relVecteurs colinaires

    Dfinition

    Deux vecteursu et

    v non nuls sont colinaires sil existe un

    rel tel quev=

    u .

    Leurs coordonnes sont donc proportionnelles.

    Le vecteur nul0 est colinaire tous les vecteurs.

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    Produit dun vecteur par un nombre relVecteurs colinaires

    Proprits

    ABC aligns AB et

    AC sont colinaires

    les doites (AB) et (CD) sont parallles AB et

    CD sont

    colinaires

    I est le milieu de [AB] AB= 2

    AI

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionPropritsGnralisationApplication

    DfinitionSoient A et B deux points quelconques, a et b deux rels telsque a + b 6= 0. Le barycentre des points A et B affectsrespectivement des coefficients a et b est lunique point G telque :

    aGA +b

    GB=

    0

    On note G barycentre de (A,a) et (B,b). On peut alors crire :(A,a)(B,b) = (G,a + b).

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    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionPropritsGnralisationApplication

    Proprits

    Le point G vrifie :AG=

    ba + b

    AB

    Quel que soit le point M :MG=

    1a + b

    (aMA +b

    MB)

    Les coordonnes de G sont donnes par : xG =axa + bxb

    a + b

    et yG =aya + byb

    a + bSi a = b, G est le milieu de [AB].Si G est le barycentre de (A,a) et (B,b) alors G est lebarycentre de (A, ka) et (B, kb) pour k 6= 0.

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    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionPropritsGnralisationApplication

    On peut tendre la dfinition et les proprits n points du planou de lespace :

    G est le barycentre de (A1,a1), (A2,a2), . . . , (An,an), avecni=1 ai 6= 0, si

    ni=1

    aiGAi=

    0

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionPropritsGnralisationApplication

    Par exemple pour trois points distincts A, B et C, le barycentreG de (A,a), (B,b) et (C, c) avec a + b + c 6= 0 est dfini par :

    MG=

    1a + b + c

    (aMA +b

    MB +c

    MC

    )On peut alors crire (G,a + b + c) = (A,a)(B,b)(C, c)Et si G est le barycentre de (A,a), (B,b) et (C, c) alors G est lebarycentre de (A,a) et (H,b + c) o H est le barycentre de(B,b) et (C, c)

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    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionPropritsGnralisationApplication

    Le centre de gravit ou centre dinertie dun systme de pointsmatriels est le barycentre de ces points affects de leursmasses respectives.

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionPropritsApplications

    Dfinition

    Soitu et

    v deux vecteurs du plan ou de lespace.

    Siu=0 ou

    v=0, on pose

    u

    v= 0. On lit "

    u scalaire

    v ".

    Siu 6=0 et

    v 6=0, on pose

    OM=

    u et

    ON=

    v ; alors

    u

    v=

    OM

    ON=

    OM

    OH= OM ON cos

    = ||u || ||

    v || cos

    o H est le projet orthogonal de N sur la droite oriente (OM)et est langle (

    u ,v ).

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionPropritsApplications

    En repre orthonorm, si (x : y : z) et (x ; y ; z ) sont lescoordonnes respectives des vecteurs

    u et

    v , on a :

    u

    v= xx + yy + zz et ||

    u || =

    x2 + y2 + z2

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionPropritsApplications

    u

    v=v u

    (ku )

    v= k(

    u

    v )

    u (

    v +

    w) =

    u

    v +

    u

    w

    u

    v= 0

    u et

    v orthogonaux

    On note :u

    2=u u= ||

    u ||

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionPropritsApplications

    Si est langle (u ,v ) alors :

    cos =u

    v

    ||u || ||

    v ||

    Soit M un point soumis une forceF , qui se dplace de A

    B en suivant un mouvement rectiligne. Alors le travail Wde la force

    F entre A et B est :

    W =F

    AB

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionPropritsApplication

    Dfinition

    Soitu et

    v deux vecteurs de lespace orient.

    Siu et

    v sont colinaires, on pose

    u

    v=0. On lit "

    u

    vectorielv ".

    Siu et

    v ne sont pas colinaires,

    u

    v=w , le vecteur

    w tant

    dfini par les conditions suivantes :

    w est orthogonal au plan (

    u ,v ),

    (u ,v ,w) est une base directe,

    ||w || = ||

    u || ||

    v || | sin(

    u ,v )|.

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionPropritsApplication

    ||w || est aussi laire du paralllogramme form par les

    vecteursu et

    v .

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionPropritsApplication

    Proprits

    u

    v=

    v

    u

    (ku )

    v=u (k

    v ) = k(

    u

    v )

    u (

    v +

    w) =

    u

    v +

    u

    w

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionPropritsApplication

    Dans une base orthonorme directe, si (x : y : z) et (x ; y ; z )sont les coordonnes respectives des vecteurs

    u et

    v , alors

    u

    v a pour coordonnes : xy

    z

    x y

    z

    = yz zy zx xz

    xy yx

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionPropritsApplication

    Si est langle (u ,v ) alors :

    sin =||u

    v ||

    ||u || ||

    v ||

    Laire dun triangle ABC est :12

    AB AC sin A.

    La norme du produit vectoriel est ||AB

    AC || = ||

    AB

    || ||AC || | sin(

    AB,

    AC)| = AB AC sin A.

    Par consquent, laire du triangle ABC est donne par :12||AB

    AC ||.

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  • Coordonnes dun vecteurAddition de vecteurs

    Multiplication dun vecteur par un relBarycentre

    Produit scalaireProduit vectoriel

    DfinitionPropritsApplication

    Exercice : soit A(1;5;3), B(1;0;4) et C(2;3;5). Calculerlaire du triangle ABC.

    La rponse est :

    4702

    .

    Le moment par rapport au point O dune forceF applique

    en un point M est :OM

    F

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    Coordonnes d'un vecteurDfinitionInterprtationPropritCoordonnes d'un vecteur

    Addition de vecteursCoordonnesPropritsSoustraction

    Multiplication d'un vecteur par un relProduit d'un vecteur par un nombre relVecteurs colinaires

    BarycentreDfinitionPropritsGnralisationApplication

    Produit scalaireDfinitionPropritsApplications

    Produit vectorielDfinitionPropritsApplication