Calcul vectoriel – Produit scalaire

28
205 CORRIGÉS Exercices 1 à 16 223 EXERCICES & SUJETS SE TESTER Exercices 1 à 4 216 DÉMONSTRATIONS CLÉS Exercices 5 et 6 217 S’ENTRAÎNER Exercices 7 à 14 217 OBJECTIF BAC Exercices 15 et 16 • Sujets guidés 219 FICHES DE COURS 23 Rappels sur les vecteurs 206 24 Produit scalaire de deux vecteurs 208 25 Produit scalaire et orthogonalité 210 26 Équations du premier degré à une inconnue 212 MÉMO VISUEL 214 Le calcul vectoriel et le produit scalaire combinent vision géo- métrique et calculs. La notion de produit scalaire, apparue au XIX e  siècle pour les besoins de la physique, permet de modéliser, entre autres, le travail d’une force lors d’un déplacement. Calcul vectoriel – Produit scalaire GÉOMÉTRIE

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Page 1: Calcul vectoriel – Produit scalaire

205

CORRIGÉS Exercices 1 à 16 223

EXERCICES & SUJETS

SE TESTER Exercices 1 à 4 216DÉMONSTRATIONS CLÉS Exercices 5 et 6 217S’ENTRAÎNER Exercices 7 à 14 217OBJECTIF BAC Exercices 15 et 16 • Sujets guidés 219

FICHES DE COURS

23 Rappels sur les vecteurs 20624 Produit scalaire de deux vecteurs 20825 Produit scalaire et orthogonalité 21026 Équations du premier degré à une inconnue 212

MÉMO VISUEL 214

Le calcul vectoriel et le produit scalaire combinent vision géo-métrique et calculs. La notion de produit scalaire, apparue au XIXe siècle pour les besoins de la physique, permet de modéliser, entre autres, le travail d’une force lors d’un déplacement.

Calcul vectoriel – Produit scalaire

GÉOMÉTRIE

Page 2: Calcul vectoriel – Produit scalaire

206

En bref

Défi nitions et propriétés1 Égalité de vecteurs

� �� � ���AB = CD si et seulement si la translation qui transforme A en B transforme

également C en D.

� �� � ���AB = CD si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

Si les points A et B ont pour coordonnées (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le vecteur � ��AB a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA).

2 Somme de deux vecteurs Relation de Chasles :

� �� � �� � ���AB + BC = AC.

Règle du parallélogramme : � �� � ��� � ���AB + AC = AD avec D tel que ABDC soit un paral-

lélogramme (éventuellement aplati).

Si ��u et

�v ont pour coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′), alors u v+

�� � a pour coordon-

nées (x + x′ ; y + y′).

3 Produit d’un vecteur par un nombre réelSi k est un nombre réel et

��u le vecteur de coordonnées (x ; y),

��ku est le vecteur de

coordonnées (kx ; ky).

Vecteurs colinéaires Deux vecteurs non nuls u

�� et

�v sont colinéaires si et seulement si il existe un

réel k tel que � ��v ku= .

Le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.

Dans un repère du plan, ��u x y( ; ) et v(x ; y ) sont coli-

néaires si et seulement si xy′ – x′y = 0.

Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts, les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs

� ��AB et

� ���CD sont colinéaires.

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs � ��AB et

� ���AC sont

colinéaires.

I

II

MOT CLÉLe nombre xy′ – x′y est le déterminant des vecteurs �u et v

� dans le repère

considéré.

Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme. En physique, il permet de modéliser une grandeur qui ne peut être défi nie par un nombre seul (déplacement, force, vitesse, champ électrique…).

Rappels sur les vecteurs23

Page 3: Calcul vectoriel – Produit scalaire

207Calcul vectoriel – Produit scalaire

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

Méthodes1 Montrer qu’un point est le milieu d’un segment

Soit A, B, C trois points non alignés, R le point tel que � ��� � ��CR = AB, M le point

tel que BM = BA + BC.

Montrer que � ��� � ��CM = BA. En déduire que C est le milieu du segment [RM].

SOLUTION

• D’après la relation de Chasles : � ��� � �� � ���CM = CB + BM.

Or � ��� � �� � ��BM = BA + BC, donc

� ��� � �� � �� � ���CM = CB + BA + BC.

Comme � �� � �� �CB + BC = 0, on a CM = BA.

• � ��� � ��CM = BA et

� ��� � ��CR = AB, donc les vecteurs

� ���CM et

� ���CR

sont opposés (� ��� � ���CR = –CM), donc C est le milieu du

segment [RM].

2 Déterminer les coordonnées d’un pointLe plan est muni d’un repère (O, I, J). On considère les points A(–3 ; –1), B(–1 ; 3) et C(–1 ; –3).

Déterminer les coordonnées du point M tel que � ��� � �� � ���AM =

12

AB + 2AC .

SOLUTION

On a AB(2 ; 4)� ��

et � ��1

2AB(1 ; 2), puis AC(2 ; –2)

� ��� et

2AC(4 ; –4)� ���

. 12

AB + 2AC� �� � ���

a donc pour coordonnées

(5 ; –2). On note M(x ; y), AM� ���

a pour coordonnées (x + 3 ; y + 1).

On a donc le système : x

y

+ 3 = 5

+ 1 = –2

D’où x = 2 et y = –3. M est le point de coordonnées (2 ; –3).

CONSEILS À l’aide de la relation de Chasles, écrivez le vecteur CM

� ��� sous forme d’une somme

de deux vecteurs, puis montrez que les vecteurs CM� ���

et CR� ���

sont opposés.

AC

BR

M

CONSEILS Calculez les coordonnées des vecteurs AB

� ���,

12

AB� ���

, AC� ���

et 2AC� ���

, puis celles du vec-

teur 12

AB + 2AC� ��� � ���

. Notez (x ; y) les coordonnées de M et exprimez les coordon-

nées du vecteur AM� ���

.

I

J

OA

B

CM

Page 4: Calcul vectoriel – Produit scalaire

208

En bref L’outil « produit scalaire » permet de résoudre de nouveaux problèmes de géométrie, par exemple calculer une mesure d’angle ou la longueur d’un segment.

Produit scalaire de deux vecteurs24

Défi nition Soit

��u et

�v deux vecteurs du plan. Leur produit scalaire est un nombre réel noté

⋅�� �u v (on lit « u scalaire ν »).

Si l’un des vecteurs ��u ou

�v est le vecteur nul, alors ⋅ = 0

�� �u v .

Si aucun des vecteurs ��u et

�v n’est le vecteur nul, alors

on considère trois points A, B et C tels que = AB�� � ��u et

= AC� � ���v .

On appelle H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), alors :

×

×u v· =

AB AH si AB et AH sont de même sens

–AB AH si AB et AH sont de sens opposés

Cas particulier : si ��u et

�v sont colinéaires et u 0 et v 0, alors :

u · v =||u|| ||v||si u et v sont de même sens

–||u|| ||v||si u  et v sont de sens opposés

Propriétés Symétrie : pour tous vecteurs u et

�v, ⋅ ⋅=

�� � � ��u v v u .

Bilinéarité : pour tous vecteurs ��u,

�v et

��w et tout réel k :

u v w u v u w

u kv ku v k u v

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

( + ) = +

( ) = ( ) = ( )

Expression dans une base orthonormée Si les vecteurs

��u et

�v ont pour coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′) dans une même

base orthonormée du plan, alors :

u v = xx + yy

Norme d’un vecteur  : pour tout vecteur ��u de coordonnées (x ; y) dans une

base orthonormée :

|| ||= +2 2��u x y

I

À NOTERPuisque u 0 et v 0, on a A ≠ B et A ≠ C.

MOT CLÉu u·� �

est le carré scalaire de u

� ; u u =||u||2.

II

III

Page 5: Calcul vectoriel – Produit scalaire

209Calcul vectoriel – Produit scalaire

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

MéthodeCalculer des produits scalaires

Sur la fi gure ci-contre, ABCD est un rectangle tel que AB = 4 et BC = 3, ABE est un triangle équilatéral, H est le milieu du segment [AB].

Calculer les produits scalaires suivants :

a.  ⋅BC CD� �� � ���

b.  ⋅DC DH� ��� � ���

c.  ⋅AB AC� �� � ���

d.  ⋅BA AE� �� � ��

e.  ⋅AB EC� �� � ��

SOLUTION

a. Les droites (BC) et (CD) sont perpendiculaires, donc les vecteurs BC� ��

et CD� ���

sont orthogonaux, donc ⋅⋅BC CD = 0.

b. DH = DA + AH� ��� � ��� � ���

, donc ⋅ ⋅ ⋅ ⋅DC DH = DC (DA + AH) = DC DA + DC AH� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ���

.

Les vecteurs DC� ���

et DA� ���

sont orthogonaux (les droites (DC) et (DA) sont perpendiculaires), donc ⋅

� ��� � ���DC DA = 0.

⋅ ×� ��� � ���DC AH = DC AH car les vecteurs DC

� ��� et

� ���AH sont colinéaires de même sens.

Or DC = AB = 4 et AH =12

AB = 2, donc ⋅ ×� ��� � ���DC AH = 4 2 = 8.

D’où � ��� � ���DC · DH = 0 + 8, soit ⋅⋅DC DH = 8.

c. Le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) est B, donc ⋅ ×� �� � ���AB AC = AB AB,

donc ⋅⋅AB AC= 16.

d.  On a ⋅ ⋅� �� � �� � �� � ��BA AE = –AB AE. Le triangle ABE est équilatéral, donc

(EH) est la médiatrice du segment [AB]. Le projeté orthogonal de E sur la droite (AB) est donc H.  Les vecteurs AB

� ��� et AH

� ��� sont colinéaires

de même sens, donc ⋅ ×� �� � ��AB AE = AB AH, donc ⋅ ×

� �� � ��BA AE = –AB AH,

soit ⋅⋅BA AE = –8.

e. Par la relation de Chasles : ⋅ ⋅ ⋅ ⋅� �� � �� � �� � �� � ��� � �� � �� � �� � ���AB EC = AB (EA + AC) = AB EA + AB AC.

⋅ ⋅ ⋅� �� � �� � �� � �� � �� � ��AB EA = (–BA) (–AE) = BA AE, donc

� �� � ��AB · EA = –8. De plus ⋅

� �� � ���AB AC = 16.

Donc ⋅� �� � ��AB EC = –8 + 16, soit ⋅⋅AB EC = 8.

E

HBA

D C

CONSEILS a. Considérez les directions des deux vecteurs.b. Décomposez le vecteur DH

� ��� en utilisant la relation de Chasles.

c. Considérez le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).d. Remarquez que BA = –AB

� ��� � ���, puis considérez le projeté orthogonal de E sur la

droite (AB).e. Utilisez les résultats des deux questions précédentes.

Page 6: Calcul vectoriel – Produit scalaire

210

En bref

Autre expression du produit scalaireSoit

�u et

�v deux vecteurs du plan.

Si l’un des vecteurs �u ou

�v est le vecteur nul, alors ⋅

� �u v = 0.

Si aucun des vecteurs �u et

�v n’est le vecteur nul, alors on considère trois points

A, B et C tels que � � ��u = AB et

� � ���v = AC. Avec α une mesure de l’angle BAC� on a :

⋅ × × α� �u v = AB AC cos

Remarques :

• Si l’angle BAC� est aigu, alors 0 ;2

α ∈π

et cos α > 0, donc u v 0� �⋅ > .

• Si l’angle BAC� est obtus, alors 2; α ∈

ππ et cos α < 0, donc u v 0

� �⋅ < .

• Si BAC� est un angle droit, alors cos α = 0 et ⋅� �u v = 0.

Vecteurs orthogonaux1 Défi nition

Soit �u et

�v deux vecteurs du plan.

�u et

�v sont orthogonaux si et seulement si : ⋅

� �u v = 0

Le vecteur nul �0 est orthogonal à tous les vecteurs du plan.

Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs � ��AB et

� ���CD sont orthogonaux.

Si �u est un vecteur directeur de la droite 𝒟, alors tout vecteur non nul ortho-

gonal à �u est appelé vecteur normal à 𝒟 FICHE 27 .

2 Critère d’orthogonalitéSi les vecteurs

�u et

�v  ont pour coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′) dans une même base

orthonormée du plan, alors �u et

�v  sont orthogonaux si et seulement si :

xx′ + yy′ = 0

I

II

Le produit scalaire de deux vecteurs peut s’exprimer à partir de leurs normes et de leur angle. L’orthogonalité de deux vecteurs, prouvée à l’aide d’un calcul de produit scalaire, est associée à la perpendicularité de deux droites.

Produit scalaire et orthogonalité25

Page 7: Calcul vectoriel – Produit scalaire

Calcul vectoriel – Produit scalaire

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

Méthodes1 Montrer que deux droites sont perpendiculairesABCD est un carré de côté c. Les points E et F sont défi nis par

� �� � ���CE =

32

CD

et � �� � ��BF =

32

BC. Montrer que les droites (AF) et (BE) sont perpendiculaires.

SOLUTION� �� � �� � �� � �� � ��AF = AB + BF = AB +

32

BC et � �� � �� � �� � �� � ���BE = BC + CE = BC +

32

CD.

Donc AF BE = AB +32BC BC +

32CD et, en développant :

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅� �� � �� � �� � �� � �� � ��� � �� � �� � �� � ���AF BE = AB BC +

32

AB CD +32

BC BC +94

BC CD.

⋅� �� � ��AB BC = 0 et ⋅

� �� � ���BC CD = 0 car

� ��BC est orthogonal à

� ��AB et à

� ���CD.

⋅� �� � ���

cAB CD = – 2 et ⋅� �� � ��

cBC BC = 2, d’où ⋅ ×� �� � ��

c cAF BE = 0 –32

+32

+94

0 = 02 2 .� ��AF et

� ��BE sont orthogonaux, donc (AF) et (BE) sont perpendiculaires.

2 Calculer la mesure d’un angleDans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(2 ; 4), B(–2 ; 2) et C(6 ; –2). Calculer le produit scalaire ⋅

� �� � ���AB AC et en

déduire la mesure α en degrés de l’angle BAC� à 0,1 degré près.

SOLUTION� ��AB(–4 ; –2) et

� ���AC(4 ; –6), donc ⋅ − × ×AB AC = 4 4 + (–2) (–6) = –4.

On sait que ⋅ × × α� �� � ���AB AC = AB AC cos où α est la mesure de l’angle BAC� .

Donc α ⋅×

� �� � ���

cos =AB ACAB AC

.

Or AB = 16 + 4 = 20 = 2 5 et AC = 16 + 36 = 52 = 2 13AC = 16 + 36 = 52 = 2 13 .

Donc cos =–4

2 5 2 13α

×, soit cos = –

165

α et α = 97,1° à 0,1 degré près.

E

D

C FB

ACONSEILS Utilisez la relation de Chasles pour décomposer les vec-

teurs AF� ���

et BE� ��

et les écrire en fonction des vecteurs AB� ���

, BC� ���

et CD� ���

, puis calculez leur produit scalaire.

CONSEILS Calculez les coordonnées des vecteurs AB

� ��� et AC

� ���. Utilisez une expression du

produit scalaire pour calculer les distances AB et AC, puis cos α.

211

Page 8: Calcul vectoriel – Produit scalaire

212

En bref

Développement de vu|| + ||2� �

Pour tous vecteurs �u et

�v du plan :

||u + v||2 =||u||2 + 2u v +||v||2

En remplaçant �v par

�v– , on obtient :

||u – v||2 =||u||2 – 2u v +||v||2.

On peut exprimer u v� �

⋅ à l’aide des normes :

u v =12(||u + v||2 –||u||2 –||v||2) et u v =

12(||u||2 +||v||2 –||u – v||2).

Formule d’Al-Kashi Soit ABC un triangle et α la mesure de l’angle BAC� .

On a :

BC = AB + AC – 2 AB AC cos2 2 2 × × α

Pour la démonstration de cette formule, voir EXERCICE 5 .

La formule d’Al-Kashi peut également s’écrire :

AC2 = BA2 + BC2 – 2 BA × BC × cos β, avec β mesure de ABC� ;

AB2 = CA2 + CB2 – 2 CA × CB × cos γ, avec γ mesure de ACB� .

Transformation de MA MB⋅ A et B sont deux points du plan, I est le milieu du segment [AB].

Pour tout point M du plan :

⋅� ��� � ���MA MB = MI – IA2 2

Ou encore : ⋅� ��� � ���MA MB = MI –

14

AB2 2

Pour la démonstration de ces formules, voir EXERCICE 6 .

I

II À NOTER

Si απ

=2

, le triangle ABC

est rectangle en A et on retrouve le théorème de Pythagore. Ainsi le théorème d’Al-Kashi est appelé « théorème de Pythagore généralisé ».

II

On peut à l’aide des propriétés du produit scalaire transformer des expressions dépendant de vecteurs. La formule d’Al-Kashi est une conséquence de l’une de ces transformations.

Transformation d’expressions et  formule d’Al Kashi26

Page 9: Calcul vectoriel – Produit scalaire

213Calcul vectoriel – Produit scalaire

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

Méthodes1 « Résoudre » un triangle à l’aide de la formule d’Al-KashiSoit ABC un triangle tel que AB = 9, AC = 4 et BAC� a pour mesure 60°.

Calculer BC et déterminer une mesure approchée des angles ABC� et BCA.�

SOLUTION

D’après la formule d’Al-Kashi, BC2 = AB2 + AC2 – 2 AB × AC × cos (60°).

D’où × × ×BC = 81 + 16 – 2 9 412

= 612 , soit BC = 61.

Si β est la mesure de l’angle ABC�, alors AC2 = BA2 + BC2 – 2 BA × BC × cos β.

Donc cos =BA + BC – AC

2  BA BC

2 2 2

β×

, soit cos =126

18 61=

761

β .

Avec la calculatrice, ABC� a pour mesure environ 26,3° et, la somme des mesures des angles étant égale à 180°, ACB� a pour mesure environ 93,7°.

2 Détermination d’un ensemble de pointsA et B sont deux points tels que AB = 6. I est le milieu du segment [AB].

On appelle ℰ l’ensemble des points M du plan tels que ⋅� ��� � ���MA MB = 27.

a. Soit C le symétrique de I par rapport à A. Montrer que C appartient à ℰ.

b. Déterminer l’ensemble ℰ.

SOLUTION

a.  Les vecteurs � ���CA et

� ��CB sont colinéaires de même sens, donc

CA CB = CA CB� ��� � ���

⋅ × . CA = 3 et CB = 9, donc ⋅ ×� ��� � ��CA CB = 3 9 = 27, donc C ∈ ℰ.

C A I B

b. MA MB = MI –14

AB = MI – 92 2 2� ���� � ���

⋅ , donc :

M ∈ ℰ ⇔ MI2 – 9 = 27 ⇔ MI2 = 36 ⇔ MI = 6.

ℰ est donc le cercle de centre I et de rayon 6 (passant par C).

CONSEILS Utilisez la formule d’Al-Kashi pour calculer BC, puis cos β, avec β mesure de l’angle ABC�, et déterminez une valeur approchée de β à l’aide de la calcula-trice. Rappelez-vous que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°.

CONSEILS Utilisez l’égalité MA MB = MI –

14

AB2 2� ���� � ���

⋅ et déduisez-en que ℰ est un cercle de centre I.

Page 10: Calcul vectoriel – Produit scalaire

214

MÉMO VISUEL

Qu’est-ce que deux vecteurs colinéa i r es

?

Qu

elles sont les propriétés du produit scalaire ?

Comment caractériser des vecteurs o

rtho

gon

aux

?

Com

men

t cal

cule

r le

pro

du

it s

cala

ire

?

Comm

ent calcule-t-o

n avec d

es vecteurs ?

Vecteurs colinéaires

Vecteurs orthogonaux

Opérations

Avec le projeté orthogonal

u = AB, v = AC et H projeté orthogonal de C sur (AB).● u ⋅ v = AB × AH si AB et AH sont de même sens● u ⋅ v = –AB × AH si AB et AH sont de sens contraires

Dans une base orthonormée

u(x ; y) et v(x’ ; y’) dans une base orthonormée : u ⋅ v = xx’ + yy’

Propriétésdu produit scalaire

CALCULET PRODUIT

VECTORIELSCALAIRE

Expressions du produit scalaire

Produit d’un vecteur par un réel

Soit u(x ; y) et k ∊ ℝ, ku est le vecteur

de coordonnées (kx ; ky).

Somme de deux vecteurs

Avec un cosinus

u = AB ; v = AC et α mesure de BAC alors : u ⋅ v = AB × AC × cos α

Propriétésdu produit scalaire

● u ⋅ v = v ⋅ u● u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w● u ⋅ (kv) = (ku)⋅ v = k(u ⋅ v)

|| u + v ||2 = || u 2|| + 2u ⋅ v + || v 2||

Développementde ||u + v||2

● Relation de Chasles : AB + BC = AC.● Règle du parallélogramme : AB + AC = AD

avec ABDC parallélogramme.● Soit u(x ; y) et v(x’ ; y’), alors u + v

a pour coordonnées (x + x’ ; y + y’).

● u et v sont orthogonaux si et seulement si u ⋅ v = 0.● Soit u(x ; y) et v(x’ ; y’) dans une base orthonormée, u et v sont orthogonaux si et seulement si xx’ + yy’ = 0.

● 0 est colinéaire à tout autre vecteur.● Si u ≠ 0 et v ≠ 0, u et v sont colinéaires si v = ku avec k ∊ ℝ.● Soit u(x ; y) et v(x ; y), u et v sont colinéaires si et seulement si xy’ – x’y = 0.

Formule d’Al-Kashi

Si α est la mesure de BAC, on a :BC2 = AB2 + AC2 – 2AB × AC × cos α

Transformationd’une expression

I milieu de [AB], pour tout point M :

MA ⋅MB = MI2 –14

AB2

Page 11: Calcul vectoriel – Produit scalaire

215

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

Qu’est-ce que deux vecteurs colinéa i r es

?

Qu

elles sont les propriétés du produit scalaire ?

Comment caractériser des vecteurs o

rtho

gon

aux

?

Com

men

t cal

cule

r le

pro

du

it s

cala

ire

?

Comm

ent calcule-t-o

n avec d

es vecteurs ?

Vecteurs colinéaires

Vecteurs orthogonaux

Opérations

Avec le projeté orthogonal

u = AB, v = AC et H projeté orthogonal de C sur (AB).● u ⋅ v = AB × AH si AB et AH sont de même sens● u ⋅ v = –AB × AH si AB et AH sont de sens contraires

Dans une base orthonormée

u(x ; y) et v(x’ ; y’) dans une base orthonormée : u ⋅ v = xx’ + yy’

Propriétésdu produit scalaire

CALCULET PRODUIT

VECTORIELSCALAIRE

Expressions du produit scalaire

Produit d’un vecteur par un réel

Soit u(x ; y) et k ∊ ℝ, ku est le vecteur

de coordonnées (kx ; ky).

Somme de deux vecteurs

Avec un cosinus

u = AB ; v = AC et α mesure de BAC alors : u ⋅ v = AB × AC × cos α

Propriétésdu produit scalaire

● u ⋅ v = v ⋅ u● u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w● u ⋅ (kv) = (ku)⋅ v = k(u ⋅ v)

|| u + v ||2 = || u 2|| + 2u ⋅ v + || v 2||

Développementde ||u + v||2

● Relation de Chasles : AB + BC = AC.● Règle du parallélogramme : AB + AC = AD

avec ABDC parallélogramme.● Soit u(x ; y) et v(x’ ; y’), alors u + v

a pour coordonnées (x + x’ ; y + y’).

● u et v sont orthogonaux si et seulement si u ⋅ v = 0.● Soit u(x ; y) et v(x’ ; y’) dans une base orthonormée, u et v sont orthogonaux si et seulement si xx’ + yy’ = 0.

● 0 est colinéaire à tout autre vecteur.● Si u ≠ 0 et v ≠ 0, u et v sont colinéaires si v = ku avec k ∊ ℝ.● Soit u(x ; y) et v(x ; y), u et v sont colinéaires si et seulement si xy’ – x’y = 0.

Formule d’Al-Kashi

Si α est la mesure de BAC, on a :BC2 = AB2 + AC2 – 2AB × AC × cos α

Transformationd’une expression

I milieu de [AB], pour tout point M :

MA ⋅MB = MI2 –14

AB2

Calcul vectoriel – Produit scalaire

Page 12: Calcul vectoriel – Produit scalaire

SE TESTER QUIZ

216

Vérifi ez que vous avez bien compris les points clés des fi ches 23 à 26.

1 Rappels sur les vecteurs FICHE 23

1. Le vecteur u� de coordonnées

13; –2 dans un repère quelconque est

colinéaire au vecteur v� de coordonnées :

a.  3 ; –12

b. (–1 ; 6) c.  2 ; –13

2. ABCD est un parallélogramme, E est le point défi ni par : BE =12BA + BC.

Alors :

a. E est le milieu de [CD].

b. A, E et C sont alignés.

c. AE = BC.

2 Produit scalaire de deux vecteurs FICHE 24

1. A, B, C sont trois points tels que ⋅AB AC = 9 et AB = 4. Alors ⋅AB BC est égal à :

a. 25 b. 7 c. –7

2. ABC est un triangle équilatéral de centre O et de côté 6. Alors ⋅OA OB est égal à :

a. 18 b. 6 c. –6

3 Produit scalaire et orthogonalité FICHE 25

1. ABCD est un parallélogramme tel que AB = 4, AD = 6 et l’angle �ABC a

pour mesure 150°. Alors ⋅AB AD est égal à :

a. 6 3 b. 12 c. 12 3

2. Dans un repère orthonormé, on considère les points A(3 ; –5), B(2 ; 1) et C(7 ; y). Pour que les droites (AB) et (BC) soient perpendiculaires, y doit être égal à :

a. 116

b. 56

c. –116

4 Transformation d’expressions et formule d’Al-Kashi FICHE 26

ABC est un triangle tel que AB = 12, AC = 8 et BC = 10. Alors ⋅AB AC est égal à :

a. 54 b. 96 c. 72

Page 13: Calcul vectoriel – Produit scalaire

217Calcul vectoriel – Produit scalaire

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

DÉMONSTRATIONS5 Démontrer la formule d’Al-Kashi avec le produit scalaire FICHE 26

Soit ABC un triangle et α la mesure de l’angle �BAC.

En écrivant BC = BC BC2� �� � ��

⋅ et � �� � �� � ���BC = BA + AC, donner une expression de BC2 en

fonction de AB, AC et cos α.

6 Déterminer l’ensemble des points M tels que ⋅MA MB = 0 FICHE 26

Soit A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB].

a. Soit M un point quelconque.

En écrivant � ��� � �� ���MA = MI – IA et

� ��� � �� ���MB = MI + IB, montrer que :

� ��� � ���⋅MA MB = MI –

14

AB2 2.

b. En déduire que l’ensemble 𝒞 des points M du plan tels que � ��� � ���

⋅MA MB = 0 est le cercle de diamètre [AB].

S’ENTRAÎNER7 Montrer que trois points sont alignés FICHE 23

Soit A, B et C trois points donnés.

Les points D et E sont défi nis par :� ��� � ���AD =

32

AC et � �� � �� � ��BE = –

18

BA +38

BC.

a. Déterminer des réels α, β, α′ et β′ tels que :� ��� � �� � ���

α βBD = AB + AC et � �� � �� � ���

′α ′βBE = AB + AC.

b. Montrer que les points B, D et E sont alignés.

8 Montrer que deux droites sont perpendiculaires FICHES 24 et 25

A, B, C, D et E sont cinq points deux à deux distincts tels que :� �� � ��� � �� � ��

⋅ ⋅AB CD = AB CE.

Montrer que les droites (AB) et (ED) sont perpendiculaires.

9 Utiliser les relations entre longueurs, mesures d’angles et produits scalaires FICHE 25

A, B et C sont trois points du plan deux à deux distincts.

Recopier et compléter le tableau ci-après.

CLÉS

Page 14: Calcul vectoriel – Produit scalaire

218

AB AC Mesure de �BAC ⋅AB AC

1 2 120°

6 45° 10

4 5 –10

4 60° 7,5

10 Transformer l’expression MA2 + MB2 FICHE 26

Soit A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB].

Par une méthode analogue à celle utilisée dans l’exercice 6, montrer que :

MA + MB = 2MI +12

AB2 2 2 2.

11 Montrer que les médianes d’un triangle sont concourantes au centre de gravité FICHES 23 et 26

Soit ABC un triangle. On appelle A′, B′, C′ les milieux respectifs des côtés [BC], [CA] et [AB].

a. Montrer qu’il existe un unique point G tel que � ��� � ��� � ��� �GA + GB + GC = 0.

G est appelé centre de gravité du triangle ABC.

b. Montrer que � ��� � �� � ���

′AA =12

(AB + AC).

c. En déduire que G appartient à la médiane (AA′) et déterminer le réel k tel que

k� ��� � ���

′AG =  AA .

d. Énoncer des conclusions similaires en remplaçant A par B, puis par C.

e. Conclure quant aux trois médianes du triangle ABC. Préciser la position de G.

12 Calculer une valeur approchée de la mesure d’un angle dans un cube FICHES 24 et 25

ABCDEFGH est un cube d’arête a. On appelle O le centre de ce cube, c’est-à-dire le milieu des diagonales [AG], [BH], [CE] et [DF].

En calculant de deux manières différentes le produit scalaire � ��� � ���

⋅OA OB, déterminer

une valeur approchée à 0,1° près de la mesure en degrés de l’angle �AOB.

13 Appliquer plusieurs fois la formule de la médiane FICHE 26

On rappelle la formule de la médiane (voir exercice 10) :

« Si A et B sont deux points distincts et I le milieu du segment [AB] alors :

MA + MB = 2MI +12

AB2 2 2 2. »

ABCD est un quadrilatère. I est le milieu de la diagonale [AC], J est le milieu de la diagonale [BD].

A

B

CI

J

D

a. En appliquant deux fois la formule de la médiane, montrer que :AB2 + AD2 + CB2+ CD2 = 2AJ2 + 2CJ2 + BD2.

b. En appliquant à nouveau la formule de la médiane, montrer que :AB2 + AD2 + CB2+ CD2 = 4IJ2 + AC2 + BD2.

c. Justifier l’affirmation d’Euler (1707-1783) : « Dans un quadrilatère, la somme des carrés des côtés est supérieure ou égale à la somme des carrés des diagonales. »

d. Peut-il y avoir égalité des deux sommes ? Si oui, dans quel cas ?

14 Calculer les coordonnées d’un point (algorithme) FICHES 24 et 25

a et b sont deux réels non nuls.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé d’origine O, on considère le point A de coordonnées (a ; 0) et le point B de coordonnées (0 ; b).

On appelle H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB, c’est-à-dire le projeté orthogonal de O sur la droite (AB).

Écrire un algorithme calculant les coordonnées du point H, les nombres a et b étant saisis par l’utilisateur.

OBJECTIF Calculer la longueur des côtés d’un triangle

Dans cet exercice, une situation géométrique est traduite, en utilisant le produit scalaire, par des égalités algébriques. Ces égalités permettent ensuite de calculer des longueurs.

BAC45 min

15

Page 15: Calcul vectoriel – Produit scalaire

219Calcul vectoriel – Produit scalaire

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

ABCD est un quadrilatère. I est le milieu de la diagonale [AC], J est le milieu de la diagonale [BD].

A

B

CI

J

D

a. En appliquant deux fois la formule de la médiane, montrer que :AB2 + AD2 + CB2+ CD2 = 2AJ2 + 2CJ2 + BD2.

b. En appliquant à nouveau la formule de la médiane, montrer que :AB2 + AD2 + CB2+ CD2 = 4IJ2 + AC2 + BD2.

c. Justifi er l’affi rmation d’Euler (1707-1783) : « Dans un quadrilatère, la somme des carrés des côtés est supérieure ou égale à la somme des carrés des diagonales. »

d. Peut-il y avoir égalité des deux sommes ? Si oui, dans quel cas ?

14 Calculer les coordonnées d’un point (algorithme) FICHES 24 et 25

a et b sont deux réels non nuls.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé d’origine O, on considère le point A de coordonnées (a ; 0) et le point B de coordonnées (0 ; b).

On appelle H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB, c’est-à-dire le projeté orthogonal de O sur la droite (AB).

Écrire un algorithme calculant les coordonnées du point H, les nombres a et b étant saisis par l’utilisateur.

OBJECTIF Calculer la longueur des côtés d’un triangle

Dans cet exercice, une situation géométrique est traduite, en utilisant le produit scalaire, par des égalités algébriques. Ces égalités permettent ensuite de calculer des longueurs.

BAC45 min

15

Page 16: Calcul vectoriel – Produit scalaire

220

LE SUJETa et ℓ sont deux réels strictement positif, avec ℓ < a.ABC est un triangle équilatéral de côté a.D, E et F sont trois points appartenant respectivement aux côtés [AB], [BC] et [CA] de ce triangle, tels que AD = BE = CF = ℓ.

A

D

B E C

F

a. Exprimer � ��� � ���CE CF⋅ en fonction de a et ℓ.

b. En déduire que � �� � ��

� �FC FE =32

–12

2 a⋅ .

c. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le triangle CFE soit rectangle en F.

d.  Lorsque cette condition est remplie, calculer la longueur des trois côtés du triangle DEF pour a = 4.

a. On peut déterminer une expression des normes des vecteurs CE et CF en fonction de a et de ℓ. Notez que l’angle �ECF a pour mesure 60°.

b. Les vecteurs FC et FE peuvent être exprimés de manière simple en fonction des

vecteurs CE et CF qui apparaissent dans la question précédente.

c. La condition nécessaire et suffisante cherchée est une relation entre a et ℓ.

d. Dans cette question, a = 4. La valeur correspondante de ℓ en découle d’après la condition établie à la question précédente. Les longueurs cherchées se calculent ensuite à l’aide de la valeur de ℓ.

LIRE LE SUJET

LA FEUILLE DE ROUTEa. Exprimer un produit scalaire en fonction de deux nombres FICHE 25

Utilisez l’expression du produit scalaire avec un cosinus.

b. Déterminer une autre expression d’un produit scalaire FICHE 24

Écrivez le vecteur ���FE comme somme de deux vecteurs à l’aide de la relation

de Chasles, puis utilisez le résultat de la question précédente.

Page 17: Calcul vectoriel – Produit scalaire

221Calcul vectoriel – Produit scalaire

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

c. Établir une condition nécessaire et suffi sante pour qu’un triangle soit rectangle FICHE 25

Le triangle CFE est rectangle en F si et seulement si les vecteurs � ��FC et

���FE sont

orthogonaux, c’est-à-dire si et seulement si � �� ���

⋅FC FE = 0.

d. Calculer des distances FICHE 25

Justifi ez que le triangle DEF est équilatéral. Puis, après avoir calculé ℓ, utilisez la formule d’Al-Kashi, par exemple dans le triangle ADF.

Montrer par deux méthodes différentes que des points sont alignés

Cet exercice met en œuvre deux méthodes diff érentes pour prouver un même résultat. C’est l’occasion de comparer l’effi cacité et la diffi culté de ces deux méthodes : calcul de produits scalaires et utilisation d’un repère.

LE SUJETSur la fi gure ci-dessous, ABCD est un carré de côté 1.Le point E est intérieur au carré ABCD et placé de façon que le triangle ABE soit équilatéral.Les point F et G sont extérieurs au carré ABCD et placés de façon que le quadri-latère EBFG soit un carré.L’objectif de l’exercice est de montrer que les points D, E et F sont alignés.

D

E

A B

F

G

C

a. Montrer que ⋅BC BE =32

. En déduire ⋅DA BE.

b. Calculer ⋅EA EB.

c. Montrer que le triangle BCF est équilatéral. En déduire ⋅BC BF et ⋅DA EG.

d. Montrer que ⋅AE EG =32

.

e. Calculer ⋅DE BG en décomposant les vecteurs � ���DE et

� ���BG avec la relation de

Chasles et conclure.

f. Montrer, en utilisant le repère orthonormé (A ; B, D), que les points D, E et F sont alignés.

50 min16

Page 18: Calcul vectoriel – Produit scalaire

222

a. Dans cette configuration, de nombreux segments ont pour longueur 1, et un certain nombre d’angles ont une mesure connue ou facilement calculable. L’expression du produit scalaire avec le cosinus est à privilégier.

b. Les vecteurs EA et EB correspondent à deux côtés du triangle équilatéral ABE.

c. Un triangle isocèle dont l’un des angles a pour mesure 60° est nécessairement équilatéral.

d. Le vecteur AE est l’opposé du vecteur EA, donc ⋅ ⋅AE EG = – EA EG.

e. On rappelle que deux droites du plan perpendiculaires à la même droite sont parallèles, et que deux droites parallèles ayant (au moins) un point commun sont confondues.

f. Dans cette question, le plus simple est de déterminer les coordonnées des points D, E et F, et de vérifier la condition rappelée à la fin de la fiche 23. Dans le repère (A ; B, D), un point M a pour coordonnées (x ; y) si et seulement si x yAM = AB + AD.

LIRE LE SUJET

LA FEUILLE DE ROUTEa. et b. Calculer des produits scalaires FICHE 25

Utilisez l’expression du produit scalaire avec le cosinus. Déterminez la mesure de l’angle des deux vecteurs.

c. Montrer qu’un triangle est équilatéral et en déduire l’expression de deux produits scalairesMontrez que, dans le triangle BCF, deux côtés ont la même longueur et un angle a pour mesure 60°.

d. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs FICHES 24 et 25

Déterminez la mesure de l’angle �AEG. Cet angle étant obtus, EA EG < 0, donc ⋅ >AE EG 0.

e. Utiliser l’orthogonalité de deux vecteurs pour montrer que des points sont alignés FICHE 25

Montrez que les vecteurs � ���DE et

� ���BG sont orthogonaux, puis que les droites (DE)

et (EF) sont confondues.

f. Déterminer les coordonnées de points et de vecteurs dans un repère donné et montrer que des points sont alignés FICHE 23

Déterminez les coordonnées, dans le repère (A ; B, D), des points D, E et F, puis

celles des vecteurs � ���DE et

� ��DF. Déduisez-en que ces deux vecteurs sont colinéaires.

SE TESTER

1 Rappels sur les vecteurs1. Réponse b.Le déterminant, dans le repère considéré, des vecteurs u

13  ; –2 et

v�(–1 ; 6) est × ×

13

6 – (– 1) (–  2) = 0. Leur déterminant est nul, ces deux vecteurs

sont colinéaires et on a v u� �

= –3 .

Dans le même repère, le déterminant du vecteur u� et du vecteur de coordonnées

3 ; – 12

, ainsi que le déterminant de u� et du vecteur de coordonnées 2  ; –

13

ne

sont pas nuls. Les réponses a. et c. sont fausses.

2. Réponse a. On a la figure ci-contre.� ��� � ��� � �� � ��DE = DA + AB + BE

� ��� � �� � �� � ��

= DA + AB +12

BA + BC

� ��

=12

AB.

En effet, � ��� � �� �DA + BC = 0.

Donc � ��� � ���DE =

12

DC, E est le milieu de [CD].

La réponse b. est fausse d’après le résultat précédent.

La réponse c. est fausse, car � �� � �� � �� � �� � �� � ��AE = AB + BE = AB +

12

BA + BC,

soit � �� � �� � ��AE =

12

AB + BC , donc � �� � ��

≠AE BC .

2 Produit scalaire de deux vecteurs1. Réponse c.� �� � �� � �� � �� � ��� � �� � �� � �� � ���

⋅ ⋅ ⋅ ⋅AB BC = AB (BA + AC) = AB BA + AB AC� �� � �� � �� � ���

⋅ ⋅AB BC = – AB + AB AC = –16 + 9 = –72 .

2. Réponse c. L’angle �AOB a pour mesure 120°, il est obtus, donc ⋅ <OA OB 0.

3 Produit scalaire et orthogonalité1. Réponse c. 

� �� � ���⋅ × αAB AD = AB AD cos où α est la mesure de l’angle �BAD ; donc

� �� � ���⋅ αAB AD = 24 cos .

Puisque ABCD est un parallélogramme, les angles �BAD et �ABC sont supplémen-taires (la somme de leurs mesures est égale à 180°) donc �BAD a pour mesure 30°

(soit π6

radians). Donc � �� � ���

⋅π

×AB AD = 24 cos6

= 243

2= 12 3.

QUIZ

A B

CDE

Page 19: Calcul vectoriel – Produit scalaire

223

CORRIGÉS

Calcul vectoriel – Produit scalaire

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

SE TESTER

1 Rappels sur les vecteurs1. Réponse b.Le déterminant, dans le repère considéré, des vecteurs u

13  ; –2 et

v�(–1 ; 6) est × ×

13

6 – (– 1) (–  2) = 0. Leur déterminant est nul, ces deux vecteurs

sont colinéaires et on a v u� �

= –3 .

Dans le même repère, le déterminant du vecteur u� et du vecteur de coordonnées

3 ; – 12

, ainsi que le déterminant de u� et du vecteur de coordonnées 2  ; –

13

ne

sont pas nuls. Les réponses a. et c. sont fausses.

2. Réponse a. On a la fi gure ci-contre.� ��� � ��� � �� � ��DE = DA + AB + BE

� ��� � �� � �� � ��

= DA + AB +12

BA + BC

� ��

=12

AB.

En effet, � ��� � �� �DA + BC = 0.

Donc � ��� � ���DE =

12

DC, E est le milieu de [CD].

La réponse b. est fausse d’après le résultat précédent.

La réponse c. est fausse, car � �� � �� � �� � �� � �� � ��AE = AB + BE = AB +

12

BA + BC,

soit � �� � �� � ��AE =

12

AB + BC , donc � �� � ��

≠AE BC .

2 Produit scalaire de deux vecteurs1. Réponse c.� �� � �� � �� � �� � ��� � �� � �� � �� � ���

⋅ ⋅ ⋅ ⋅AB BC = AB (BA + AC) = AB BA + AB AC� �� � �� � �� � ���

⋅ ⋅AB BC = – AB + AB AC = –16 + 9 = –72 .

2. Réponse c. L’angle �AOB a pour mesure 120°, il est obtus, donc ⋅ <OA OB 0.

3 Produit scalaire et orthogonalité1. Réponse c. 

� �� � ���⋅ × αAB AD = AB AD cos où α est la mesure de l’angle �BAD ; donc

� �� � ���⋅ αAB AD = 24 cos .

Puisque ABCD est un parallélogramme, les angles �BAD et �ABC sont supplémen-taires (la somme de leurs mesures est égale à 180°) donc �BAD a pour mesure 30°

(soit π6

radians). Donc � �� � ���

⋅π

×AB AD = 24 cos6

= 243

2= 12 3.

QUIZ

A B

CDE

Page 20: Calcul vectoriel – Produit scalaire

224

2. Réponse a. Les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs

� ��AB et

� ��BC sont orthogonaux, c’est-à-dire si et seulement si

� �� � ��⋅AB BC = 0.

AB(– 1 ; 6) et y� ��BC(5 ; – 1) d’où y y⋅AB BC = – 5 + 6( – 1) = 6 – 11.

� �� � ��⋅AB BC = 0 équivaut à 6y = 11, c’est-à-dire y =

116

.

4 Transformation d’expressions et formule d’Al-KashiRéponse a. D’après la formule d’Al-Kashi, BC2 = AB2 + AC2 – 2AB × AC × cos α, avec α la mesure de l’angle �BAC.

D’où α× × ×

cos =AB + AC – BC

2AB AC=

144 + 64 – 1002 12 8

=108192

=916

2 2 2

.

Alors � �� � ���

⋅ × α × ×AB AC = AB AC cos = 12 8916

= 54 .

DÉMONSTRATIONS

5 Démontrer la formule d’Al-Kashi avec le produit scalaireOn a

� �� � ��⋅BC = BC BC2 et

� �� � �� � ���BC = BA + AC, donc :� �� � ��� � �� � ���

⋅BC = (BA + AC) (BA + AC)2

� �� � ���

⋅= BA + 2BA AC + AC2 2

� �� � ���

⋅= AB – 2AB AC + AC2 2.Or

� �� � ���⋅ × × αAB AC = AB AC cos , donc :

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB × AC × cos α (formule d’Al-Kashi).

6 Déterminer l’ensemble des points M tels que ⋅MA MB = 0a. On a

� ��� � ��� � �� ��� � �� ���⋅ ⋅MA MB = (MI + IA) (MI + IB), donc :

� ��� � ��� � �� � �� � �� ��� ��� � �� ��� ���⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅MA MB = MI MI + MI IB + IA MI + IA IB.

Or ��� ���IB = –  IA et

��� ��� �IA + IB = 0 car I est le milieu de [AB], donc :� ��� � ��� � �� ��� ���

⋅ ⋅MA MB = MI + MI (IA + IB) – IA2 2

= MI2 – IA2.

Or IA =12

AB, donc IA =14

AB2 2, donc en remplaçant :

⋅MA MB = MI –14AB2 2.

b. Soit 𝒞 l’ensemble des points M du plan tels que � ��� � ���

⋅MA MB = 0.D’après la question précédente, les distances étant positives :

M � MI2 –14AB2 = 0

MI =12AB.

L’ensemble 𝒞 est donc le cercle de centre I et de rayon 12

AB, c’est-à-dire le cercle de diamètre [AB].

CLÉS

S’ENTRAÎNER

7 Montrer que trois points sont alignés

a. • � ��� � �� � ���BD = BA + AD, donc

� ��� � �� � ���BD = – AB +

32

AC.

En identifiant avec l’égalité � ��� � �� � ���

α βBD = AB + AC, on trouve α = –1 et β =32

.

• � �� � �� � ��BE = –

18

BA +38

BC� �� � �� � ���

=18

AB +38

(BA + AC)

=18–38

AB +38AC

� �� � ���= –

14

AB +38

AC.

En identifiant avec l’égalité � �� � �� � ���

′α ′βBE = AB + AC, on trouve ′α = –14

et ′β =38

.

b.  D’après la question précédente, � �� � ���BE =

14

BD. Les vecteurs � ���BD et

� ��BE sont coli-

néaires, donc les points B, D et E sont alignés.

8 Montrer que deux droites sont perpendiculairesOn calcule le produit scalaire

� �� � ���⋅AB ED :� �� � ��� � �� � �� � ���

⋅ ⋅AB ED = AB (EC + CD)

� �� � �� � �� � ���⋅ ⋅= AB EC + AB CD

� �� � �� � �� � ���

⋅ ⋅= – AB CE + AB CD = 0.

Les vecteurs � ��AB et

� ���ED sont orthogonaux, donc les droites (AB) et (ED) sont per-

pendiculaires.

9 Utiliser les relations entre longueurs, mesures d’angles et produits scalaires

AB AC Mesure de �BAC� ��� � ���

⋅AB AC

1 2 120° –1 (1)

5 23

(2) 6 45° 10

4 5 120° (3) –10

4 3,75 (4) 60° 7,5

Justifications : on utilise dans tous les cas la définition du produit scalaire avec le cosinus,

� �� � ���⋅ × αAB AC = AB AC cos où α est la mesure en radians de l’angle �BAC.

Page 21: Calcul vectoriel – Produit scalaire

225Calcul vectoriel – Produit scalaire

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

S’ENTRAÎNER

7 Montrer que trois points sont alignés

a. • � ��� � �� � ���BD = BA + AD, donc

� ��� � �� � ���BD = – AB +

32

AC.

En identifi ant avec l’égalité � ��� � �� � ���

α βBD = AB + AC, on trouve α = –1 et β =32

.

• � �� � �� � ��BE = –

18

BA +38

BC� �� � �� � ���

=18

AB +38

(BA + AC)

=18–38

AB +38AC

� �� � ���= –

14

AB +38

AC.

En identifi ant avec l’égalité � �� � �� � ���

′α ′βBE = AB + AC, on trouve ′α = –14

et ′β =38

.

b.  D’après la question précédente, � �� � ���BE =

14

BD. Les vecteurs � ���BD et

� ��BE sont coli-

néaires, donc les points B, D et E sont alignés.

8 Montrer que deux droites sont perpendiculairesOn calcule le produit scalaire

� �� � ���⋅AB ED :� �� � ��� � �� � �� � ���

⋅ ⋅AB ED = AB (EC + CD)

� �� � �� � �� � ���⋅ ⋅= AB EC + AB CD

� �� � �� � �� � ���

⋅ ⋅= – AB CE + AB CD = 0.

Les vecteurs � ��AB et

� ���ED sont orthogonaux, donc les droites (AB) et (ED) sont per-

pendiculaires.

9 Utiliser les relations entre longueurs, mesures d’angles et produits scalaires

AB AC Mesure de �BAC� ��� � ���

⋅AB AC

1 2 120° –1 (1)

5 23

(2) 6 45° 10

4 5 120° (3) –10

4 3,75 (4) 60° 7,5

Justifi cations : on utilise dans tous les cas la défi nition du produit scalaire avec le cosinus,

� �� � ���⋅ × αAB AC = AB AC cos où α est la mesure en radians de l’angle �BAC.

Page 22: Calcul vectoriel – Produit scalaire

226

(1) °π

120 =23

rad et π

cos23

= –12

FICHE 21 ,

donc AB AC = 1 2 –12

= –1.

(2) × ×10 = AB 62

2 car °

π45 =

4rad et

πcos

4=

22

FICHE 21 .

Donc ×

AB =10

3 2=

10 23 2

=5 2

3.

(3) –10 = 4 × 5 cos α où α est la mesure en radians de l’angle �BAC.

Donc αcos = –12

et une mesure de α est απ

=23

rad, soit α = 120°.

(4) × ×7,5 = 4 AC12

car °π

60 =3

 rad et π

cos3

=12

FICHE 21 .

Donc AC =7,521

= 3,75.

10 Transformer l’expression MA2 + MB2

� �� ��� � �� ��� � �� ��� � �� ���⋅ ⋅MA + MB = (MI + IA) (MI + IA) + (MI + IB) (MI + IB)2 2

� �� � �� � �� ��� ��� ��� � �� � �� � �� ��� ��� ���

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= MI MI + 2MI IA + IA IA + MI MI + 2MI IB + IB IB

� �� ��� ���⋅= 2MI + 2MI (IA + IB) + IA + IB2 2 2.

Or ��� ��� �IA + IB = 0 et IA = IB =

14

AB2 2 2, donc en remplaçant :

MA + MB = 2MI +12AB2 2 2 2.

11 Montrer que les médianes d’un triangle sont concourantes au centre de gravité

a. � ��� � ��� � ��� �GA + GB + GC = 0 équivaut, en utilisant la relation de Chasles, à :

� ��� � ��� � �� � ��� � ��� �GA + GA + AB + GA + AC = 0, c’est-à-dire

� ��� � �� � ��� �3GA + AB + AC = 0,

d’où � ��� � �� � ���

3AG = AB + AC et AG =13(AB + AC).

Cette dernière relation montre que le point G vérifiant � ��� � ��� � ��� �GA + GB + GC = 0 existe et est unique.

b. � �� � ��� � ��� � ��� � ��� � ���

′ ′ ′ ′12

(AB+ AC)=12

(AA + A B+ AA + A C) car � �� � ��� � ���

′ ′AB= AA + A B et � ��� � ��� � ���

′ ′AC = AA + A C .

Or � ��� � ��� �

′ ′A B + A C = 0 car A′ est le milieu de [BC], donc ′ AACCAA =12(AB + ).

c.  D’après les questions précédentes, � �� � ��� � ���

+ = ′AB AC 2AA et � �� � ��� � ���AB + AC = 3AG, donc

� ��� � ���′AG =

23

AA . Les vecteurs � ���

′AA et � ���AG sont donc colinéaires, les points A, A′ et G

sont alignés, donc G appartient à la médiane (AA′).

On a bien k� ��� � ���

′AG = AA avec k =23

.

À NOTERAB AC<0 car l’angle BAC� est obtus.

MOT CLÉCe résultat est appelé « formule de la médiane ».

MOT CLÉG est appelé centre de gravité du triangle ABC.

Page 23: Calcul vectoriel – Produit scalaire

227Calcul vectoriel – Produit scalaire

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

d. On montre de la même façon que ′BG = BB23

et que ′= CCCG23

.

Donc G appartient également aux médianes (BB′) et (CC′).

e. On en déduit que les trois médianes du triangle ABC sont concourantes en G,

et que G se trouve sur chacune aux 23

à partir du sommet.

12 Calculer une valeur approchée de la mesure d’un angle dans un cubeOn se place dans le plan (OAB), auquel appar-tiennent également les points G et H.� ��� � ���

⋅OA OB =12

(OA + OB – AB )2 2 2 FICHE 26

et OA = OB =12

AG.

D’autre part, en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ACG rectangle en C, on a AG2 =  AC2 +  CG2. En en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B, on a AC2 = AB2 + BC2.

On en déduit successivement : aAC = 2, aAG = 3 et a

OA =3

2.

D’où OA OB =12

34a2 +

34a2 – a2 , soit ⋅OA OB =

14

2a .

D’autre part, � ��� � ���

⋅ × αOA OB = OA OB cos , où α est la mesure en radians de l’angle

�AOB. Donc ⋅ αOA OB =34

cos2a .

En comparant les deux expressions de � ��� � ���

⋅OA OB, on en

déduit αcos =13..

À l’aide de la calculatrice, on en déduit que l’angle �AOB a pour mesure 70,5° à 0,1° près.

13 Appliquer plusieurs fois la formule de la médianea. D’après la formule de la médiane appliquée au segment [BD] pour les points A et C :

AB + AD = 2AJ +12

BD2 2 2 2 et CB + CD = 2CJ +12

BD2 2 2 2.

En additionnant membre à membre les deux égalités précédentes, on obtient :AB + AD + CB + CD = 2AJ + 2CJ + BD2 2 2 2 2 2 2.

b. On utilise à nouveau la formule de la médiane pour le segment [AC] et le point J,

on a : AJ + CJ = 2IJ +12

AC2 2 2 2.

D’où 2AJ + 2CJ = 4IJ + AC2 2 2 2.

F

GH

E

A

DC

B

O

À NOTERLa mesure de cet angle est indépendante de la longueur de l’arête du cube.

Page 24: Calcul vectoriel – Produit scalaire

228

En reportant dans l’égalité obtenue à la question a., on en déduit :

AB + AD + CB + CD = 4IJ + AC + BD2 2 2 2 2 2 2.c. Le résultat précédent peut être énoncé de la manière suivante : « Dans un qua-drilatère quelconque, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales plus quatre fois le carré de la distance de leurs milieux. »Or ⩾4IJ 02 , donc AB2 + AD2 + CB2 + CD2 ⩾ AC2 + BD2.Donc « la somme des carrés des côtés est supérieure ou égale à la somme des carrés des diagonales ».d. Les deux sommes sont égales (AB2 + AD2 + CB2 + CD2 = AC2 + BD2) si et seule-ment si 4IJ2 = 0 c’est-à-dire si et seulement si I = J.Donc les deux sommes sont égales si et seulement si les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu, c’est-à-dire si et seulement si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

14 Calculer les coordonnées d’un point (algorithme)Le point H est caractérisé par les deux conditions suivantes : « les droites (OH) et (AB) sont perpendiculaires » et « les points A, B et H sont alignés ».Vectoriellement, ces conditions se traduisent par : «

� ��� � ��⋅OH AB = 0 » (1) et « les vec-

teurs � ���AH et

� ��AB sont colinéaires » (2).

On note (x ; y) les coordonnées de H. On a x y� ���OH( ; ), a b

� ��AB(– ; ) et x a y

� ���AH( – ; ).

(1) équivaut à –ax + by = 0, c’est-à-dire yab

x= (car b ≠ 0).

(2) équivaut à b (x – a) + ay = 0, c’est-à-dire bx + ay = ab.

En remplaçant y par ab

x, la condition devient bxab

x ab+ =2

, soit b a

bx ab

( + )=

2 2

,

qui équivaut à =+

2

2 2xab

a b.

On en déduit yab

aba b

×=+

2

2 2 , c’est-à-dire =+

2

2 2ya b

a b.

Pour calculer les coordonnées de H, on peut utiliser l’algorithme suivant :

←Xab

a b

2

2 2+

←Ya b

a b

2

2 2+

Afficher (X ; Y)

Les nombres a et b (réels non nuls) sont saisis par l’utilisateur. À la fin de l’exécu-tion de l’algorithme, les coordonnées du point H sont contenues dans les variables X et Y, on les affiche.

Page 25: Calcul vectoriel – Produit scalaire

229Calcul vectoriel – Produit scalaire

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

OBJECTIF

15 Calculer la longueur des côtés d’un triangle

a. L’angle �ECF a pour mesure 60°, c’est-à-dire π3

radians, donc :� �� � ��

⋅ ×π

CE CF = CE CF cos3

a � �× ×= ( – )12

� �a=12

–12

2.

b. � �� ��� � �� � �� � ��

⋅ ⋅FC FE = FC (FC + CE)

� �� � �� � �� � ��⋅ ⋅= FC FC + FC CE

� �� � ��

⋅= FC – CE CF2

a� � �= –12

+12

2 2.

Soit fi nalement ⋅ aFC FE =32

–12

2 .

c. Le triangle CFE est rectangle en F si et seulement si � �� ���

⋅FC FE = 0, c’est-à-dire si et

seulement si a� �32

–12

= 02 .

Cette condition équivaut à a� �12

(3 – ) = 0, c’est-à-dire ℓ = 0 ou a

� =3

.

Or ℓ = 0 est impossible, car ℓ > 0. Donc fi nalement ��a

=3

.

d. Dans les triangles ADF, BED et CFE, on a AD = BE = CF = ℓ, AF = BD = CE = a – ℓ et ���DAF = EBD = FCE (ces trois angles ont pour mesure 60°), donc les triangles ADF,

BED et CFE sont superposables, donc DE = EF = FD. Il en découle que le triangle DEF est équilatéral.

Pour a = 4, lorsque la condition de la question précédente est remplie, on a � =43

.

Dans le triangle CFE rectangle en F, d’après le théorème de Pythagore :

EC2 = EF2 + FC2, d’où EF2 = EC2 – FC2, soit EF2 =83

2

–43

2

.

Donc EF =489

=163

2 et EF =43

.

Les côtés du triangle équilatéral DEF ont pour longueur 4 33

.

16 Montrer par deux méthodes différentes que des points sont alignés

a. � ��EBC = ABC – ABE. Donc � ° °EBC = 90 – 60 , soit � °π

EBC = 30 =6

rad.

D’où � �� � ��

⋅ ×π

BC BE = BC BE cos6

, soit ⋅BC BE =32

.

D’autre part, � ��� � �� � �� � �� � �� � ��

⋅ ⋅ ⋅DA BE = CB BE = –BC BE.

BAC

A

D

B E C

F

Page 26: Calcul vectoriel – Produit scalaire

230

Donc ⋅DA BE = –32

.

b. L’angle �AEB a pour mesure 60°, c’est-à-dire π3

rad, donc :� �� � ��

⋅ ×π

EA EB = EA EB cos3

, soit ⋅EA EB =12

.

c. Dans le triangle BCF, on a BC = BF.�� �CBF  = EBF – EBC, donc �CBF a pour mesure 90° – 30°, c’est-à-dire 60°.

Le triangle BCF est isocèle et a un angle de 60°, donc il est équilatéral.

Donc ⋅BC BF =12 (même calcul que pour

� ��� � ���⋅EA EB).

De plus, � ��� � ��� � �� � �� � �� � ��

⋅ ⋅ ⋅DA EG = CB BF = –BC BF, soit ⋅DA EG = –12

.

d. � �� � ��� � ��� � ���

⋅ ⋅AE EG = –EA EG et � ��AEG = AEB + BEG, donc �AEG a pour mesure 150°, c’est-

à-dire π56

rad.

On en déduit � �� � ���

⋅ ×π

AE EG = –EA EG cos56

, soit AE EG = –1 –32

=32

.

e. On a :� ��� � ��� � ��� � �� � �� � ���

⋅ ⋅DE BG = (DA + AE) (BE + EG)

� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � �� � ���

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= DA BE + DA EG + AE BE + AE EG.

Les produits scalaires � ��� � ���

⋅DA BE, � ��� � ���

⋅DA EG et � ��� � ���

⋅AE EG ont été calculés précédemment ;

de plus, � �� � ��� � ��� � ���

⋅ ⋅AE BE = EA EB =12

. Donc :

� ��� � ���⋅DE BG = –

32

–12

+12

+3

2, soit ⋅DE BG = 0.

Les vecteurs � ���DE et

� ���BG sont orthogonaux, donc les droites (DE) et (BG) sont per-

pendiculaires.D’autre part, les deux diagonales (EF) et (BG) du carré EBFG sont perpendiculaires.Les droites (DE) et (EF), toutes deux perpendiculaires à la droite (BG), sont donc parallèles ; comme elles ont le point E en commun, elles sont confondues, et les points D, E et F sont alignés.

D

E

A B

F

G

C

Page 27: Calcul vectoriel – Produit scalaire

231Calcul vectoriel – Produit scalaire

COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS

f. On calcule les coordonnées, dans le repère (A ; B, D), des points D, E et F.• D a pour coordonnées (0 ; 1).

• Si on appelle I le milieu de [AB], alors I a pour coordonnées 12;  0 ; E a la même

abscisse que I et son ordonnée est 3

2, d’où E

12;

32

.

• Le point F vérifi e BF = 1 et � ��� � ��

⋅BE BF = 0.

Le vecteur � ��BE a pour coordonnées –

12;

32

Si on note (xF ; yF) les coordonnées du point F, � ��BF a

pour coordonnées (xF – 1 ; yF) et on a :

x y x y( – 1) + = 1 (1) et –12

( – 1) +3

2= 0 (2).F

2F2

F F

D’après (2), yx

=– 1

3FF et en remplaçant dans (1) :

xx

( – 1) +( – 1)

3= 1F

2 F2

, donc x43

( – 1) = 1F2 , soit x( – 1) =

34F

2 .

Comme xF > 1, d’après la fi gure, on a xF – 1 > 0, donc x – 1 =3

2F et x = 1 +3

2F .

On en déduit : yx

=– 1

3=

12F

F . D’où F 1 +32

  ; 12

.

• On a alors DE12;

32

– 1 et DF 1 +32

; –12

.

Le déterminant des vecteurs � ���DE et

� ��DF vaut :

12

–12

– 1 +32

32

– 1 = –14–

34– 1 = –

14+14= 0.

On en déduit que les vecteurs � ���DE et

� ��DF sont colinéaires, les points D, E et F sont

donc alignés.

À NOTERDans un triangle équilatéral de côté a, la longueur

d’une hauteur est 3

2a .

Page 28: Calcul vectoriel – Produit scalaire