Calcul vectoriel – Produit scalaire
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205
CORRIGÉS Exercices 1 à 16 223
EXERCICES & SUJETS
SE TESTER Exercices 1 à 4 216DÉMONSTRATIONS CLÉS Exercices 5 et 6 217S’ENTRAÎNER Exercices 7 à 14 217OBJECTIF BAC Exercices 15 et 16 • Sujets guidés 219
FICHES DE COURS
23 Rappels sur les vecteurs 20624 Produit scalaire de deux vecteurs 20825 Produit scalaire et orthogonalité 21026 Équations du premier degré à une inconnue 212
MÉMO VISUEL 214
Le calcul vectoriel et le produit scalaire combinent vision géo-métrique et calculs. La notion de produit scalaire, apparue au XIXe siècle pour les besoins de la physique, permet de modéliser, entre autres, le travail d’une force lors d’un déplacement.
Calcul vectoriel – Produit scalaire
GÉOMÉTRIE
206
En bref
Défi nitions et propriétés1 Égalité de vecteurs
� �� � ���AB = CD si et seulement si la translation qui transforme A en B transforme
également C en D.
� �� � ���AB = CD si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
Si les points A et B ont pour coordonnées (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le vecteur � ��AB a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA).
2 Somme de deux vecteurs Relation de Chasles :
� �� � �� � ���AB + BC = AC.
Règle du parallélogramme : � �� � ��� � ���AB + AC = AD avec D tel que ABDC soit un paral-
lélogramme (éventuellement aplati).
Si ��u et
�v ont pour coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′), alors u v+
�� � a pour coordon-
nées (x + x′ ; y + y′).
3 Produit d’un vecteur par un nombre réelSi k est un nombre réel et
��u le vecteur de coordonnées (x ; y),
��ku est le vecteur de
coordonnées (kx ; ky).
Vecteurs colinéaires Deux vecteurs non nuls u
�� et
�v sont colinéaires si et seulement si il existe un
réel k tel que � ��v ku= .
Le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.
Dans un repère du plan, ��u x y( ; ) et v(x ; y ) sont coli-
néaires si et seulement si xy′ – x′y = 0.
Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts, les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs
� ��AB et
� ���CD sont colinéaires.
Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs � ��AB et
� ���AC sont
colinéaires.
I
II
MOT CLÉLe nombre xy′ – x′y est le déterminant des vecteurs �u et v
� dans le repère
considéré.
Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme. En physique, il permet de modéliser une grandeur qui ne peut être défi nie par un nombre seul (déplacement, force, vitesse, champ électrique…).
Rappels sur les vecteurs23
207Calcul vectoriel – Produit scalaire
COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS
Méthodes1 Montrer qu’un point est le milieu d’un segment
Soit A, B, C trois points non alignés, R le point tel que � ��� � ��CR = AB, M le point
tel que BM = BA + BC.
Montrer que � ��� � ��CM = BA. En déduire que C est le milieu du segment [RM].
SOLUTION
• D’après la relation de Chasles : � ��� � �� � ���CM = CB + BM.
Or � ��� � �� � ��BM = BA + BC, donc
� ��� � �� � �� � ���CM = CB + BA + BC.
Comme � �� � �� �CB + BC = 0, on a CM = BA.
• � ��� � ��CM = BA et
� ��� � ��CR = AB, donc les vecteurs
� ���CM et
� ���CR
sont opposés (� ��� � ���CR = –CM), donc C est le milieu du
segment [RM].
2 Déterminer les coordonnées d’un pointLe plan est muni d’un repère (O, I, J). On considère les points A(–3 ; –1), B(–1 ; 3) et C(–1 ; –3).
Déterminer les coordonnées du point M tel que � ��� � �� � ���AM =
12
AB + 2AC .
SOLUTION
On a AB(2 ; 4)� ��
et � ��1
2AB(1 ; 2), puis AC(2 ; –2)
� ��� et
2AC(4 ; –4)� ���
. 12
AB + 2AC� �� � ���
a donc pour coordonnées
(5 ; –2). On note M(x ; y), AM� ���
a pour coordonnées (x + 3 ; y + 1).
On a donc le système : x
y
+ 3 = 5
+ 1 = –2
D’où x = 2 et y = –3. M est le point de coordonnées (2 ; –3).
CONSEILS À l’aide de la relation de Chasles, écrivez le vecteur CM
� ��� sous forme d’une somme
de deux vecteurs, puis montrez que les vecteurs CM� ���
et CR� ���
sont opposés.
AC
BR
M
CONSEILS Calculez les coordonnées des vecteurs AB
� ���,
12
AB� ���
, AC� ���
et 2AC� ���
, puis celles du vec-
teur 12
AB + 2AC� ��� � ���
. Notez (x ; y) les coordonnées de M et exprimez les coordon-
nées du vecteur AM� ���
.
I
J
OA
B
CM
208
En bref L’outil « produit scalaire » permet de résoudre de nouveaux problèmes de géométrie, par exemple calculer une mesure d’angle ou la longueur d’un segment.
Produit scalaire de deux vecteurs24
Défi nition Soit
��u et
�v deux vecteurs du plan. Leur produit scalaire est un nombre réel noté
⋅�� �u v (on lit « u scalaire ν »).
Si l’un des vecteurs ��u ou
�v est le vecteur nul, alors ⋅ = 0
�� �u v .
Si aucun des vecteurs ��u et
�v n’est le vecteur nul, alors
on considère trois points A, B et C tels que = AB�� � ��u et
= AC� � ���v .
On appelle H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), alors :
×
×u v· =
AB AH si AB et AH sont de même sens
–AB AH si AB et AH sont de sens opposés
Cas particulier : si ��u et
�v sont colinéaires et u 0 et v 0, alors :
u · v =||u|| ||v||si u et v sont de même sens
–||u|| ||v||si u et v sont de sens opposés
Propriétés Symétrie : pour tous vecteurs u et
�v, ⋅ ⋅=
�� � � ��u v v u .
Bilinéarité : pour tous vecteurs ��u,
�v et
��w et tout réel k :
u v w u v u w
u kv ku v k u v
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
( + ) = +
( ) = ( ) = ( )
Expression dans une base orthonormée Si les vecteurs
��u et
�v ont pour coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′) dans une même
base orthonormée du plan, alors :
u v = xx + yy
Norme d’un vecteur : pour tout vecteur ��u de coordonnées (x ; y) dans une
base orthonormée :
|| ||= +2 2��u x y
I
À NOTERPuisque u 0 et v 0, on a A ≠ B et A ≠ C.
MOT CLÉu u·� �
est le carré scalaire de u
� ; u u =||u||2.
II
III
209Calcul vectoriel – Produit scalaire
COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS
MéthodeCalculer des produits scalaires
Sur la fi gure ci-contre, ABCD est un rectangle tel que AB = 4 et BC = 3, ABE est un triangle équilatéral, H est le milieu du segment [AB].
Calculer les produits scalaires suivants :
a. ⋅BC CD� �� � ���
b. ⋅DC DH� ��� � ���
c. ⋅AB AC� �� � ���
d. ⋅BA AE� �� � ��
e. ⋅AB EC� �� � ��
SOLUTION
a. Les droites (BC) et (CD) sont perpendiculaires, donc les vecteurs BC� ��
et CD� ���
sont orthogonaux, donc ⋅⋅BC CD = 0.
b. DH = DA + AH� ��� � ��� � ���
, donc ⋅ ⋅ ⋅ ⋅DC DH = DC (DA + AH) = DC DA + DC AH� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ���
.
Les vecteurs DC� ���
et DA� ���
sont orthogonaux (les droites (DC) et (DA) sont perpendiculaires), donc ⋅
� ��� � ���DC DA = 0.
⋅ ×� ��� � ���DC AH = DC AH car les vecteurs DC
� ��� et
� ���AH sont colinéaires de même sens.
Or DC = AB = 4 et AH =12
AB = 2, donc ⋅ ×� ��� � ���DC AH = 4 2 = 8.
D’où � ��� � ���DC · DH = 0 + 8, soit ⋅⋅DC DH = 8.
c. Le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) est B, donc ⋅ ×� �� � ���AB AC = AB AB,
donc ⋅⋅AB AC= 16.
d. On a ⋅ ⋅� �� � �� � �� � ��BA AE = –AB AE. Le triangle ABE est équilatéral, donc
(EH) est la médiatrice du segment [AB]. Le projeté orthogonal de E sur la droite (AB) est donc H. Les vecteurs AB
� ��� et AH
� ��� sont colinéaires
de même sens, donc ⋅ ×� �� � ��AB AE = AB AH, donc ⋅ ×
� �� � ��BA AE = –AB AH,
soit ⋅⋅BA AE = –8.
e. Par la relation de Chasles : ⋅ ⋅ ⋅ ⋅� �� � �� � �� � �� � ��� � �� � �� � �� � ���AB EC = AB (EA + AC) = AB EA + AB AC.
⋅ ⋅ ⋅� �� � �� � �� � �� � �� � ��AB EA = (–BA) (–AE) = BA AE, donc
� �� � ��AB · EA = –8. De plus ⋅
� �� � ���AB AC = 16.
Donc ⋅� �� � ��AB EC = –8 + 16, soit ⋅⋅AB EC = 8.
E
HBA
D C
CONSEILS a. Considérez les directions des deux vecteurs.b. Décomposez le vecteur DH
� ��� en utilisant la relation de Chasles.
c. Considérez le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).d. Remarquez que BA = –AB
� ��� � ���, puis considérez le projeté orthogonal de E sur la
droite (AB).e. Utilisez les résultats des deux questions précédentes.
210
En bref
Autre expression du produit scalaireSoit
�u et
�v deux vecteurs du plan.
Si l’un des vecteurs �u ou
�v est le vecteur nul, alors ⋅
� �u v = 0.
Si aucun des vecteurs �u et
�v n’est le vecteur nul, alors on considère trois points
A, B et C tels que � � ��u = AB et
� � ���v = AC. Avec α une mesure de l’angle BAC� on a :
⋅ × × α� �u v = AB AC cos
Remarques :
• Si l’angle BAC� est aigu, alors 0 ;2
α ∈π
et cos α > 0, donc u v 0� �⋅ > .
• Si l’angle BAC� est obtus, alors 2; α ∈
ππ et cos α < 0, donc u v 0
� �⋅ < .
• Si BAC� est un angle droit, alors cos α = 0 et ⋅� �u v = 0.
Vecteurs orthogonaux1 Défi nition
Soit �u et
�v deux vecteurs du plan.
�u et
�v sont orthogonaux si et seulement si : ⋅
� �u v = 0
Le vecteur nul �0 est orthogonal à tous les vecteurs du plan.
Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs � ��AB et
� ���CD sont orthogonaux.
Si �u est un vecteur directeur de la droite 𝒟, alors tout vecteur non nul ortho-
gonal à �u est appelé vecteur normal à 𝒟 FICHE 27 .
2 Critère d’orthogonalitéSi les vecteurs
�u et
�v ont pour coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′) dans une même base
orthonormée du plan, alors �u et
�v sont orthogonaux si et seulement si :
xx′ + yy′ = 0
I
II
Le produit scalaire de deux vecteurs peut s’exprimer à partir de leurs normes et de leur angle. L’orthogonalité de deux vecteurs, prouvée à l’aide d’un calcul de produit scalaire, est associée à la perpendicularité de deux droites.
Produit scalaire et orthogonalité25
Calcul vectoriel – Produit scalaire
COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS
Méthodes1 Montrer que deux droites sont perpendiculairesABCD est un carré de côté c. Les points E et F sont défi nis par
� �� � ���CE =
32
CD
et � �� � ��BF =
32
BC. Montrer que les droites (AF) et (BE) sont perpendiculaires.
SOLUTION� �� � �� � �� � �� � ��AF = AB + BF = AB +
32
BC et � �� � �� � �� � �� � ���BE = BC + CE = BC +
32
CD.
Donc AF BE = AB +32BC BC +
32CD et, en développant :
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅� �� � �� � �� � �� � �� � ��� � �� � �� � �� � ���AF BE = AB BC +
32
AB CD +32
BC BC +94
BC CD.
⋅� �� � ��AB BC = 0 et ⋅
� �� � ���BC CD = 0 car
� ��BC est orthogonal à
� ��AB et à
� ���CD.
⋅� �� � ���
cAB CD = – 2 et ⋅� �� � ��
cBC BC = 2, d’où ⋅ ×� �� � ��
c cAF BE = 0 –32
+32
+94
0 = 02 2 .� ��AF et
� ��BE sont orthogonaux, donc (AF) et (BE) sont perpendiculaires.
2 Calculer la mesure d’un angleDans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(2 ; 4), B(–2 ; 2) et C(6 ; –2). Calculer le produit scalaire ⋅
� �� � ���AB AC et en
déduire la mesure α en degrés de l’angle BAC� à 0,1 degré près.
SOLUTION� ��AB(–4 ; –2) et
� ���AC(4 ; –6), donc ⋅ − × ×AB AC = 4 4 + (–2) (–6) = –4.
On sait que ⋅ × × α� �� � ���AB AC = AB AC cos où α est la mesure de l’angle BAC� .
Donc α ⋅×
� �� � ���
cos =AB ACAB AC
.
Or AB = 16 + 4 = 20 = 2 5 et AC = 16 + 36 = 52 = 2 13AC = 16 + 36 = 52 = 2 13 .
Donc cos =–4
2 5 2 13α
×, soit cos = –
165
α et α = 97,1° à 0,1 degré près.
E
D
C FB
ACONSEILS Utilisez la relation de Chasles pour décomposer les vec-
teurs AF� ���
et BE� ��
et les écrire en fonction des vecteurs AB� ���
, BC� ���
et CD� ���
, puis calculez leur produit scalaire.
CONSEILS Calculez les coordonnées des vecteurs AB
� ��� et AC
� ���. Utilisez une expression du
produit scalaire pour calculer les distances AB et AC, puis cos α.
211
212
En bref
Développement de vu|| + ||2� �
Pour tous vecteurs �u et
�v du plan :
||u + v||2 =||u||2 + 2u v +||v||2
En remplaçant �v par
�v– , on obtient :
||u – v||2 =||u||2 – 2u v +||v||2.
On peut exprimer u v� �
⋅ à l’aide des normes :
u v =12(||u + v||2 –||u||2 –||v||2) et u v =
12(||u||2 +||v||2 –||u – v||2).
Formule d’Al-Kashi Soit ABC un triangle et α la mesure de l’angle BAC� .
On a :
BC = AB + AC – 2 AB AC cos2 2 2 × × α
Pour la démonstration de cette formule, voir EXERCICE 5 .
La formule d’Al-Kashi peut également s’écrire :
AC2 = BA2 + BC2 – 2 BA × BC × cos β, avec β mesure de ABC� ;
AB2 = CA2 + CB2 – 2 CA × CB × cos γ, avec γ mesure de ACB� .
Transformation de MA MB⋅ A et B sont deux points du plan, I est le milieu du segment [AB].
Pour tout point M du plan :
⋅� ��� � ���MA MB = MI – IA2 2
Ou encore : ⋅� ��� � ���MA MB = MI –
14
AB2 2
Pour la démonstration de ces formules, voir EXERCICE 6 .
I
II À NOTER
Si απ
=2
, le triangle ABC
est rectangle en A et on retrouve le théorème de Pythagore. Ainsi le théorème d’Al-Kashi est appelé « théorème de Pythagore généralisé ».
II
On peut à l’aide des propriétés du produit scalaire transformer des expressions dépendant de vecteurs. La formule d’Al-Kashi est une conséquence de l’une de ces transformations.
Transformation d’expressions et formule d’Al Kashi26
213Calcul vectoriel – Produit scalaire
COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS
Méthodes1 « Résoudre » un triangle à l’aide de la formule d’Al-KashiSoit ABC un triangle tel que AB = 9, AC = 4 et BAC� a pour mesure 60°.
Calculer BC et déterminer une mesure approchée des angles ABC� et BCA.�
SOLUTION
D’après la formule d’Al-Kashi, BC2 = AB2 + AC2 – 2 AB × AC × cos (60°).
D’où × × ×BC = 81 + 16 – 2 9 412
= 612 , soit BC = 61.
Si β est la mesure de l’angle ABC�, alors AC2 = BA2 + BC2 – 2 BA × BC × cos β.
Donc cos =BA + BC – AC
2 BA BC
2 2 2
β×
, soit cos =126
18 61=
761
β .
Avec la calculatrice, ABC� a pour mesure environ 26,3° et, la somme des mesures des angles étant égale à 180°, ACB� a pour mesure environ 93,7°.
2 Détermination d’un ensemble de pointsA et B sont deux points tels que AB = 6. I est le milieu du segment [AB].
On appelle ℰ l’ensemble des points M du plan tels que ⋅� ��� � ���MA MB = 27.
a. Soit C le symétrique de I par rapport à A. Montrer que C appartient à ℰ.
b. Déterminer l’ensemble ℰ.
SOLUTION
a. Les vecteurs � ���CA et
� ��CB sont colinéaires de même sens, donc
CA CB = CA CB� ��� � ���
⋅ × . CA = 3 et CB = 9, donc ⋅ ×� ��� � ��CA CB = 3 9 = 27, donc C ∈ ℰ.
C A I B
b. MA MB = MI –14
AB = MI – 92 2 2� ���� � ���
⋅ , donc :
M ∈ ℰ ⇔ MI2 – 9 = 27 ⇔ MI2 = 36 ⇔ MI = 6.
ℰ est donc le cercle de centre I et de rayon 6 (passant par C).
CONSEILS Utilisez la formule d’Al-Kashi pour calculer BC, puis cos β, avec β mesure de l’angle ABC�, et déterminez une valeur approchée de β à l’aide de la calcula-trice. Rappelez-vous que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°.
CONSEILS Utilisez l’égalité MA MB = MI –
14
AB2 2� ���� � ���
⋅ et déduisez-en que ℰ est un cercle de centre I.
214
MÉMO VISUEL
Qu’est-ce que deux vecteurs colinéa i r es
?
Qu
elles sont les propriétés du produit scalaire ?
Comment caractériser des vecteurs o
rtho
gon
aux
?
Com
men
t cal
cule
r le
pro
du
it s
cala
ire
?
Comm
ent calcule-t-o
n avec d
es vecteurs ?
Vecteurs colinéaires
Vecteurs orthogonaux
Opérations
Avec le projeté orthogonal
u = AB, v = AC et H projeté orthogonal de C sur (AB).● u ⋅ v = AB × AH si AB et AH sont de même sens● u ⋅ v = –AB × AH si AB et AH sont de sens contraires
Dans une base orthonormée
u(x ; y) et v(x’ ; y’) dans une base orthonormée : u ⋅ v = xx’ + yy’
Propriétésdu produit scalaire
CALCULET PRODUIT
VECTORIELSCALAIRE
Expressions du produit scalaire
Produit d’un vecteur par un réel
Soit u(x ; y) et k ∊ ℝ, ku est le vecteur
de coordonnées (kx ; ky).
Somme de deux vecteurs
Avec un cosinus
u = AB ; v = AC et α mesure de BAC alors : u ⋅ v = AB × AC × cos α
Propriétésdu produit scalaire
● u ⋅ v = v ⋅ u● u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w● u ⋅ (kv) = (ku)⋅ v = k(u ⋅ v)
|| u + v ||2 = || u 2|| + 2u ⋅ v + || v 2||
Développementde ||u + v||2
● Relation de Chasles : AB + BC = AC.● Règle du parallélogramme : AB + AC = AD
avec ABDC parallélogramme.● Soit u(x ; y) et v(x’ ; y’), alors u + v
a pour coordonnées (x + x’ ; y + y’).
● u et v sont orthogonaux si et seulement si u ⋅ v = 0.● Soit u(x ; y) et v(x’ ; y’) dans une base orthonormée, u et v sont orthogonaux si et seulement si xx’ + yy’ = 0.
● 0 est colinéaire à tout autre vecteur.● Si u ≠ 0 et v ≠ 0, u et v sont colinéaires si v = ku avec k ∊ ℝ.● Soit u(x ; y) et v(x ; y), u et v sont colinéaires si et seulement si xy’ – x’y = 0.
Formule d’Al-Kashi
Si α est la mesure de BAC, on a :BC2 = AB2 + AC2 – 2AB × AC × cos α
Transformationd’une expression
I milieu de [AB], pour tout point M :
MA ⋅MB = MI2 –14
AB2
215
COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS
Qu’est-ce que deux vecteurs colinéa i r es
?
Qu
elles sont les propriétés du produit scalaire ?
Comment caractériser des vecteurs o
rtho
gon
aux
?
Com
men
t cal
cule
r le
pro
du
it s
cala
ire
?
Comm
ent calcule-t-o
n avec d
es vecteurs ?
Vecteurs colinéaires
Vecteurs orthogonaux
Opérations
Avec le projeté orthogonal
u = AB, v = AC et H projeté orthogonal de C sur (AB).● u ⋅ v = AB × AH si AB et AH sont de même sens● u ⋅ v = –AB × AH si AB et AH sont de sens contraires
Dans une base orthonormée
u(x ; y) et v(x’ ; y’) dans une base orthonormée : u ⋅ v = xx’ + yy’
Propriétésdu produit scalaire
CALCULET PRODUIT
VECTORIELSCALAIRE
Expressions du produit scalaire
Produit d’un vecteur par un réel
Soit u(x ; y) et k ∊ ℝ, ku est le vecteur
de coordonnées (kx ; ky).
Somme de deux vecteurs
Avec un cosinus
u = AB ; v = AC et α mesure de BAC alors : u ⋅ v = AB × AC × cos α
Propriétésdu produit scalaire
● u ⋅ v = v ⋅ u● u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w● u ⋅ (kv) = (ku)⋅ v = k(u ⋅ v)
|| u + v ||2 = || u 2|| + 2u ⋅ v + || v 2||
Développementde ||u + v||2
● Relation de Chasles : AB + BC = AC.● Règle du parallélogramme : AB + AC = AD
avec ABDC parallélogramme.● Soit u(x ; y) et v(x’ ; y’), alors u + v
a pour coordonnées (x + x’ ; y + y’).
● u et v sont orthogonaux si et seulement si u ⋅ v = 0.● Soit u(x ; y) et v(x’ ; y’) dans une base orthonormée, u et v sont orthogonaux si et seulement si xx’ + yy’ = 0.
● 0 est colinéaire à tout autre vecteur.● Si u ≠ 0 et v ≠ 0, u et v sont colinéaires si v = ku avec k ∊ ℝ.● Soit u(x ; y) et v(x ; y), u et v sont colinéaires si et seulement si xy’ – x’y = 0.
Formule d’Al-Kashi
Si α est la mesure de BAC, on a :BC2 = AB2 + AC2 – 2AB × AC × cos α
Transformationd’une expression
I milieu de [AB], pour tout point M :
MA ⋅MB = MI2 –14
AB2
Calcul vectoriel – Produit scalaire
SE TESTER QUIZ
216
Vérifi ez que vous avez bien compris les points clés des fi ches 23 à 26.
1 Rappels sur les vecteurs FICHE 23
1. Le vecteur u� de coordonnées
13; –2 dans un repère quelconque est
colinéaire au vecteur v� de coordonnées :
a. 3 ; –12
b. (–1 ; 6) c. 2 ; –13
2. ABCD est un parallélogramme, E est le point défi ni par : BE =12BA + BC.
Alors :
a. E est le milieu de [CD].
b. A, E et C sont alignés.
c. AE = BC.
2 Produit scalaire de deux vecteurs FICHE 24
1. A, B, C sont trois points tels que ⋅AB AC = 9 et AB = 4. Alors ⋅AB BC est égal à :
a. 25 b. 7 c. –7
2. ABC est un triangle équilatéral de centre O et de côté 6. Alors ⋅OA OB est égal à :
a. 18 b. 6 c. –6
3 Produit scalaire et orthogonalité FICHE 25
1. ABCD est un parallélogramme tel que AB = 4, AD = 6 et l’angle �ABC a
pour mesure 150°. Alors ⋅AB AD est égal à :
a. 6 3 b. 12 c. 12 3
2. Dans un repère orthonormé, on considère les points A(3 ; –5), B(2 ; 1) et C(7 ; y). Pour que les droites (AB) et (BC) soient perpendiculaires, y doit être égal à :
a. 116
b. 56
c. –116
4 Transformation d’expressions et formule d’Al-Kashi FICHE 26
ABC est un triangle tel que AB = 12, AC = 8 et BC = 10. Alors ⋅AB AC est égal à :
a. 54 b. 96 c. 72
217Calcul vectoriel – Produit scalaire
COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS
DÉMONSTRATIONS5 Démontrer la formule d’Al-Kashi avec le produit scalaire FICHE 26
Soit ABC un triangle et α la mesure de l’angle �BAC.
En écrivant BC = BC BC2� �� � ��
⋅ et � �� � �� � ���BC = BA + AC, donner une expression de BC2 en
fonction de AB, AC et cos α.
6 Déterminer l’ensemble des points M tels que ⋅MA MB = 0 FICHE 26
Soit A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB].
a. Soit M un point quelconque.
En écrivant � ��� � �� ���MA = MI – IA et
� ��� � �� ���MB = MI + IB, montrer que :
� ��� � ���⋅MA MB = MI –
14
AB2 2.
b. En déduire que l’ensemble 𝒞 des points M du plan tels que � ��� � ���
⋅MA MB = 0 est le cercle de diamètre [AB].
S’ENTRAÎNER7 Montrer que trois points sont alignés FICHE 23
Soit A, B et C trois points donnés.
Les points D et E sont défi nis par :� ��� � ���AD =
32
AC et � �� � �� � ��BE = –
18
BA +38
BC.
a. Déterminer des réels α, β, α′ et β′ tels que :� ��� � �� � ���
α βBD = AB + AC et � �� � �� � ���
′α ′βBE = AB + AC.
b. Montrer que les points B, D et E sont alignés.
8 Montrer que deux droites sont perpendiculaires FICHES 24 et 25
A, B, C, D et E sont cinq points deux à deux distincts tels que :� �� � ��� � �� � ��
⋅ ⋅AB CD = AB CE.
Montrer que les droites (AB) et (ED) sont perpendiculaires.
9 Utiliser les relations entre longueurs, mesures d’angles et produits scalaires FICHE 25
A, B et C sont trois points du plan deux à deux distincts.
Recopier et compléter le tableau ci-après.
CLÉS
218
AB AC Mesure de �BAC ⋅AB AC
1 2 120°
6 45° 10
4 5 –10
4 60° 7,5
10 Transformer l’expression MA2 + MB2 FICHE 26
Soit A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB].
Par une méthode analogue à celle utilisée dans l’exercice 6, montrer que :
MA + MB = 2MI +12
AB2 2 2 2.
11 Montrer que les médianes d’un triangle sont concourantes au centre de gravité FICHES 23 et 26
Soit ABC un triangle. On appelle A′, B′, C′ les milieux respectifs des côtés [BC], [CA] et [AB].
a. Montrer qu’il existe un unique point G tel que � ��� � ��� � ��� �GA + GB + GC = 0.
G est appelé centre de gravité du triangle ABC.
b. Montrer que � ��� � �� � ���
′AA =12
(AB + AC).
c. En déduire que G appartient à la médiane (AA′) et déterminer le réel k tel que
k� ��� � ���
′AG = AA .
d. Énoncer des conclusions similaires en remplaçant A par B, puis par C.
e. Conclure quant aux trois médianes du triangle ABC. Préciser la position de G.
12 Calculer une valeur approchée de la mesure d’un angle dans un cube FICHES 24 et 25
ABCDEFGH est un cube d’arête a. On appelle O le centre de ce cube, c’est-à-dire le milieu des diagonales [AG], [BH], [CE] et [DF].
En calculant de deux manières différentes le produit scalaire � ��� � ���
⋅OA OB, déterminer
une valeur approchée à 0,1° près de la mesure en degrés de l’angle �AOB.
13 Appliquer plusieurs fois la formule de la médiane FICHE 26
On rappelle la formule de la médiane (voir exercice 10) :
« Si A et B sont deux points distincts et I le milieu du segment [AB] alors :
MA + MB = 2MI +12
AB2 2 2 2. »
ABCD est un quadrilatère. I est le milieu de la diagonale [AC], J est le milieu de la diagonale [BD].
A
B
CI
J
D
a. En appliquant deux fois la formule de la médiane, montrer que :AB2 + AD2 + CB2+ CD2 = 2AJ2 + 2CJ2 + BD2.
b. En appliquant à nouveau la formule de la médiane, montrer que :AB2 + AD2 + CB2+ CD2 = 4IJ2 + AC2 + BD2.
c. Justifier l’affirmation d’Euler (1707-1783) : « Dans un quadrilatère, la somme des carrés des côtés est supérieure ou égale à la somme des carrés des diagonales. »
d. Peut-il y avoir égalité des deux sommes ? Si oui, dans quel cas ?
14 Calculer les coordonnées d’un point (algorithme) FICHES 24 et 25
a et b sont deux réels non nuls.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé d’origine O, on considère le point A de coordonnées (a ; 0) et le point B de coordonnées (0 ; b).
On appelle H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB, c’est-à-dire le projeté orthogonal de O sur la droite (AB).
Écrire un algorithme calculant les coordonnées du point H, les nombres a et b étant saisis par l’utilisateur.
OBJECTIF Calculer la longueur des côtés d’un triangle
Dans cet exercice, une situation géométrique est traduite, en utilisant le produit scalaire, par des égalités algébriques. Ces égalités permettent ensuite de calculer des longueurs.
BAC45 min
15
219Calcul vectoriel – Produit scalaire
COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS
ABCD est un quadrilatère. I est le milieu de la diagonale [AC], J est le milieu de la diagonale [BD].
A
B
CI
J
D
a. En appliquant deux fois la formule de la médiane, montrer que :AB2 + AD2 + CB2+ CD2 = 2AJ2 + 2CJ2 + BD2.
b. En appliquant à nouveau la formule de la médiane, montrer que :AB2 + AD2 + CB2+ CD2 = 4IJ2 + AC2 + BD2.
c. Justifi er l’affi rmation d’Euler (1707-1783) : « Dans un quadrilatère, la somme des carrés des côtés est supérieure ou égale à la somme des carrés des diagonales. »
d. Peut-il y avoir égalité des deux sommes ? Si oui, dans quel cas ?
14 Calculer les coordonnées d’un point (algorithme) FICHES 24 et 25
a et b sont deux réels non nuls.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé d’origine O, on considère le point A de coordonnées (a ; 0) et le point B de coordonnées (0 ; b).
On appelle H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB, c’est-à-dire le projeté orthogonal de O sur la droite (AB).
Écrire un algorithme calculant les coordonnées du point H, les nombres a et b étant saisis par l’utilisateur.
OBJECTIF Calculer la longueur des côtés d’un triangle
Dans cet exercice, une situation géométrique est traduite, en utilisant le produit scalaire, par des égalités algébriques. Ces égalités permettent ensuite de calculer des longueurs.
BAC45 min
15
220
LE SUJETa et ℓ sont deux réels strictement positif, avec ℓ < a.ABC est un triangle équilatéral de côté a.D, E et F sont trois points appartenant respectivement aux côtés [AB], [BC] et [CA] de ce triangle, tels que AD = BE = CF = ℓ.
A
D
B E C
F
a. Exprimer � ��� � ���CE CF⋅ en fonction de a et ℓ.
b. En déduire que � �� � ��
� �FC FE =32
–12
2 a⋅ .
c. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le triangle CFE soit rectangle en F.
d. Lorsque cette condition est remplie, calculer la longueur des trois côtés du triangle DEF pour a = 4.
a. On peut déterminer une expression des normes des vecteurs CE et CF en fonction de a et de ℓ. Notez que l’angle �ECF a pour mesure 60°.
b. Les vecteurs FC et FE peuvent être exprimés de manière simple en fonction des
vecteurs CE et CF qui apparaissent dans la question précédente.
c. La condition nécessaire et suffisante cherchée est une relation entre a et ℓ.
d. Dans cette question, a = 4. La valeur correspondante de ℓ en découle d’après la condition établie à la question précédente. Les longueurs cherchées se calculent ensuite à l’aide de la valeur de ℓ.
LIRE LE SUJET
LA FEUILLE DE ROUTEa. Exprimer un produit scalaire en fonction de deux nombres FICHE 25
Utilisez l’expression du produit scalaire avec un cosinus.
b. Déterminer une autre expression d’un produit scalaire FICHE 24
Écrivez le vecteur ���FE comme somme de deux vecteurs à l’aide de la relation
de Chasles, puis utilisez le résultat de la question précédente.
221Calcul vectoriel – Produit scalaire
COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS
c. Établir une condition nécessaire et suffi sante pour qu’un triangle soit rectangle FICHE 25
Le triangle CFE est rectangle en F si et seulement si les vecteurs � ��FC et
���FE sont
orthogonaux, c’est-à-dire si et seulement si � �� ���
⋅FC FE = 0.
d. Calculer des distances FICHE 25
Justifi ez que le triangle DEF est équilatéral. Puis, après avoir calculé ℓ, utilisez la formule d’Al-Kashi, par exemple dans le triangle ADF.
Montrer par deux méthodes différentes que des points sont alignés
Cet exercice met en œuvre deux méthodes diff érentes pour prouver un même résultat. C’est l’occasion de comparer l’effi cacité et la diffi culté de ces deux méthodes : calcul de produits scalaires et utilisation d’un repère.
LE SUJETSur la fi gure ci-dessous, ABCD est un carré de côté 1.Le point E est intérieur au carré ABCD et placé de façon que le triangle ABE soit équilatéral.Les point F et G sont extérieurs au carré ABCD et placés de façon que le quadri-latère EBFG soit un carré.L’objectif de l’exercice est de montrer que les points D, E et F sont alignés.
D
E
A B
F
G
C
a. Montrer que ⋅BC BE =32
. En déduire ⋅DA BE.
b. Calculer ⋅EA EB.
c. Montrer que le triangle BCF est équilatéral. En déduire ⋅BC BF et ⋅DA EG.
d. Montrer que ⋅AE EG =32
.
e. Calculer ⋅DE BG en décomposant les vecteurs � ���DE et
� ���BG avec la relation de
Chasles et conclure.
f. Montrer, en utilisant le repère orthonormé (A ; B, D), que les points D, E et F sont alignés.
50 min16
222
a. Dans cette configuration, de nombreux segments ont pour longueur 1, et un certain nombre d’angles ont une mesure connue ou facilement calculable. L’expression du produit scalaire avec le cosinus est à privilégier.
b. Les vecteurs EA et EB correspondent à deux côtés du triangle équilatéral ABE.
c. Un triangle isocèle dont l’un des angles a pour mesure 60° est nécessairement équilatéral.
d. Le vecteur AE est l’opposé du vecteur EA, donc ⋅ ⋅AE EG = – EA EG.
e. On rappelle que deux droites du plan perpendiculaires à la même droite sont parallèles, et que deux droites parallèles ayant (au moins) un point commun sont confondues.
f. Dans cette question, le plus simple est de déterminer les coordonnées des points D, E et F, et de vérifier la condition rappelée à la fin de la fiche 23. Dans le repère (A ; B, D), un point M a pour coordonnées (x ; y) si et seulement si x yAM = AB + AD.
LIRE LE SUJET
LA FEUILLE DE ROUTEa. et b. Calculer des produits scalaires FICHE 25
Utilisez l’expression du produit scalaire avec le cosinus. Déterminez la mesure de l’angle des deux vecteurs.
c. Montrer qu’un triangle est équilatéral et en déduire l’expression de deux produits scalairesMontrez que, dans le triangle BCF, deux côtés ont la même longueur et un angle a pour mesure 60°.
d. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs FICHES 24 et 25
Déterminez la mesure de l’angle �AEG. Cet angle étant obtus, EA EG < 0, donc ⋅ >AE EG 0.
e. Utiliser l’orthogonalité de deux vecteurs pour montrer que des points sont alignés FICHE 25
Montrez que les vecteurs � ���DE et
� ���BG sont orthogonaux, puis que les droites (DE)
et (EF) sont confondues.
f. Déterminer les coordonnées de points et de vecteurs dans un repère donné et montrer que des points sont alignés FICHE 23
Déterminez les coordonnées, dans le repère (A ; B, D), des points D, E et F, puis
celles des vecteurs � ���DE et
� ��DF. Déduisez-en que ces deux vecteurs sont colinéaires.
SE TESTER
1 Rappels sur les vecteurs1. Réponse b.Le déterminant, dans le repère considéré, des vecteurs u
13 ; –2 et
v�(–1 ; 6) est × ×
13
6 – (– 1) (– 2) = 0. Leur déterminant est nul, ces deux vecteurs
sont colinéaires et on a v u� �
= –3 .
Dans le même repère, le déterminant du vecteur u� et du vecteur de coordonnées
3 ; – 12
, ainsi que le déterminant de u� et du vecteur de coordonnées 2 ; –
13
ne
sont pas nuls. Les réponses a. et c. sont fausses.
2. Réponse a. On a la figure ci-contre.� ��� � ��� � �� � ��DE = DA + AB + BE
� ��� � �� � �� � ��
= DA + AB +12
BA + BC
� ��
=12
AB.
En effet, � ��� � �� �DA + BC = 0.
Donc � ��� � ���DE =
12
DC, E est le milieu de [CD].
La réponse b. est fausse d’après le résultat précédent.
La réponse c. est fausse, car � �� � �� � �� � �� � �� � ��AE = AB + BE = AB +
12
BA + BC,
soit � �� � �� � ��AE =
12
AB + BC , donc � �� � ��
≠AE BC .
2 Produit scalaire de deux vecteurs1. Réponse c.� �� � �� � �� � �� � ��� � �� � �� � �� � ���
⋅ ⋅ ⋅ ⋅AB BC = AB (BA + AC) = AB BA + AB AC� �� � �� � �� � ���
⋅ ⋅AB BC = – AB + AB AC = –16 + 9 = –72 .
2. Réponse c. L’angle �AOB a pour mesure 120°, il est obtus, donc ⋅ <OA OB 0.
3 Produit scalaire et orthogonalité1. Réponse c.
� �� � ���⋅ × αAB AD = AB AD cos où α est la mesure de l’angle �BAD ; donc
� �� � ���⋅ αAB AD = 24 cos .
Puisque ABCD est un parallélogramme, les angles �BAD et �ABC sont supplémen-taires (la somme de leurs mesures est égale à 180°) donc �BAD a pour mesure 30°
(soit π6
radians). Donc � �� � ���
⋅π
×AB AD = 24 cos6
= 243
2= 12 3.
QUIZ
A B
CDE
223
CORRIGÉS
Calcul vectoriel – Produit scalaire
COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS
SE TESTER
1 Rappels sur les vecteurs1. Réponse b.Le déterminant, dans le repère considéré, des vecteurs u
13 ; –2 et
v�(–1 ; 6) est × ×
13
6 – (– 1) (– 2) = 0. Leur déterminant est nul, ces deux vecteurs
sont colinéaires et on a v u� �
= –3 .
Dans le même repère, le déterminant du vecteur u� et du vecteur de coordonnées
3 ; – 12
, ainsi que le déterminant de u� et du vecteur de coordonnées 2 ; –
13
ne
sont pas nuls. Les réponses a. et c. sont fausses.
2. Réponse a. On a la fi gure ci-contre.� ��� � ��� � �� � ��DE = DA + AB + BE
� ��� � �� � �� � ��
= DA + AB +12
BA + BC
� ��
=12
AB.
En effet, � ��� � �� �DA + BC = 0.
Donc � ��� � ���DE =
12
DC, E est le milieu de [CD].
La réponse b. est fausse d’après le résultat précédent.
La réponse c. est fausse, car � �� � �� � �� � �� � �� � ��AE = AB + BE = AB +
12
BA + BC,
soit � �� � �� � ��AE =
12
AB + BC , donc � �� � ��
≠AE BC .
2 Produit scalaire de deux vecteurs1. Réponse c.� �� � �� � �� � �� � ��� � �� � �� � �� � ���
⋅ ⋅ ⋅ ⋅AB BC = AB (BA + AC) = AB BA + AB AC� �� � �� � �� � ���
⋅ ⋅AB BC = – AB + AB AC = –16 + 9 = –72 .
2. Réponse c. L’angle �AOB a pour mesure 120°, il est obtus, donc ⋅ <OA OB 0.
3 Produit scalaire et orthogonalité1. Réponse c.
� �� � ���⋅ × αAB AD = AB AD cos où α est la mesure de l’angle �BAD ; donc
� �� � ���⋅ αAB AD = 24 cos .
Puisque ABCD est un parallélogramme, les angles �BAD et �ABC sont supplémen-taires (la somme de leurs mesures est égale à 180°) donc �BAD a pour mesure 30°
(soit π6
radians). Donc � �� � ���
⋅π
×AB AD = 24 cos6
= 243
2= 12 3.
QUIZ
A B
CDE
224
2. Réponse a. Les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs
� ��AB et
� ��BC sont orthogonaux, c’est-à-dire si et seulement si
� �� � ��⋅AB BC = 0.
AB(– 1 ; 6) et y� ��BC(5 ; – 1) d’où y y⋅AB BC = – 5 + 6( – 1) = 6 – 11.
� �� � ��⋅AB BC = 0 équivaut à 6y = 11, c’est-à-dire y =
116
.
4 Transformation d’expressions et formule d’Al-KashiRéponse a. D’après la formule d’Al-Kashi, BC2 = AB2 + AC2 – 2AB × AC × cos α, avec α la mesure de l’angle �BAC.
D’où α× × ×
cos =AB + AC – BC
2AB AC=
144 + 64 – 1002 12 8
=108192
=916
2 2 2
.
Alors � �� � ���
⋅ × α × ×AB AC = AB AC cos = 12 8916
= 54 .
DÉMONSTRATIONS
5 Démontrer la formule d’Al-Kashi avec le produit scalaireOn a
� �� � ��⋅BC = BC BC2 et
� �� � �� � ���BC = BA + AC, donc :� �� � ��� � �� � ���
⋅BC = (BA + AC) (BA + AC)2
� �� � ���
⋅= BA + 2BA AC + AC2 2
� �� � ���
⋅= AB – 2AB AC + AC2 2.Or
� �� � ���⋅ × × αAB AC = AB AC cos , donc :
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB × AC × cos α (formule d’Al-Kashi).
6 Déterminer l’ensemble des points M tels que ⋅MA MB = 0a. On a
� ��� � ��� � �� ��� � �� ���⋅ ⋅MA MB = (MI + IA) (MI + IB), donc :
� ��� � ��� � �� � �� � �� ��� ��� � �� ��� ���⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅MA MB = MI MI + MI IB + IA MI + IA IB.
Or ��� ���IB = – IA et
��� ��� �IA + IB = 0 car I est le milieu de [AB], donc :� ��� � ��� � �� ��� ���
⋅ ⋅MA MB = MI + MI (IA + IB) – IA2 2
= MI2 – IA2.
Or IA =12
AB, donc IA =14
AB2 2, donc en remplaçant :
⋅MA MB = MI –14AB2 2.
b. Soit 𝒞 l’ensemble des points M du plan tels que � ��� � ���
⋅MA MB = 0.D’après la question précédente, les distances étant positives :
M � MI2 –14AB2 = 0
MI =12AB.
L’ensemble 𝒞 est donc le cercle de centre I et de rayon 12
AB, c’est-à-dire le cercle de diamètre [AB].
CLÉS
S’ENTRAÎNER
7 Montrer que trois points sont alignés
a. • � ��� � �� � ���BD = BA + AD, donc
� ��� � �� � ���BD = – AB +
32
AC.
En identifiant avec l’égalité � ��� � �� � ���
α βBD = AB + AC, on trouve α = –1 et β =32
.
• � �� � �� � ��BE = –
18
BA +38
BC� �� � �� � ���
=18
AB +38
(BA + AC)
=18–38
AB +38AC
� �� � ���= –
14
AB +38
AC.
En identifiant avec l’égalité � �� � �� � ���
′α ′βBE = AB + AC, on trouve ′α = –14
et ′β =38
.
b. D’après la question précédente, � �� � ���BE =
14
BD. Les vecteurs � ���BD et
� ��BE sont coli-
néaires, donc les points B, D et E sont alignés.
8 Montrer que deux droites sont perpendiculairesOn calcule le produit scalaire
� �� � ���⋅AB ED :� �� � ��� � �� � �� � ���
⋅ ⋅AB ED = AB (EC + CD)
� �� � �� � �� � ���⋅ ⋅= AB EC + AB CD
� �� � �� � �� � ���
⋅ ⋅= – AB CE + AB CD = 0.
Les vecteurs � ��AB et
� ���ED sont orthogonaux, donc les droites (AB) et (ED) sont per-
pendiculaires.
9 Utiliser les relations entre longueurs, mesures d’angles et produits scalaires
AB AC Mesure de �BAC� ��� � ���
⋅AB AC
1 2 120° –1 (1)
5 23
(2) 6 45° 10
4 5 120° (3) –10
4 3,75 (4) 60° 7,5
Justifications : on utilise dans tous les cas la définition du produit scalaire avec le cosinus,
� �� � ���⋅ × αAB AC = AB AC cos où α est la mesure en radians de l’angle �BAC.
225Calcul vectoriel – Produit scalaire
COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS
S’ENTRAÎNER
7 Montrer que trois points sont alignés
a. • � ��� � �� � ���BD = BA + AD, donc
� ��� � �� � ���BD = – AB +
32
AC.
En identifi ant avec l’égalité � ��� � �� � ���
α βBD = AB + AC, on trouve α = –1 et β =32
.
• � �� � �� � ��BE = –
18
BA +38
BC� �� � �� � ���
=18
AB +38
(BA + AC)
=18–38
AB +38AC
� �� � ���= –
14
AB +38
AC.
En identifi ant avec l’égalité � �� � �� � ���
′α ′βBE = AB + AC, on trouve ′α = –14
et ′β =38
.
b. D’après la question précédente, � �� � ���BE =
14
BD. Les vecteurs � ���BD et
� ��BE sont coli-
néaires, donc les points B, D et E sont alignés.
8 Montrer que deux droites sont perpendiculairesOn calcule le produit scalaire
� �� � ���⋅AB ED :� �� � ��� � �� � �� � ���
⋅ ⋅AB ED = AB (EC + CD)
� �� � �� � �� � ���⋅ ⋅= AB EC + AB CD
� �� � �� � �� � ���
⋅ ⋅= – AB CE + AB CD = 0.
Les vecteurs � ��AB et
� ���ED sont orthogonaux, donc les droites (AB) et (ED) sont per-
pendiculaires.
9 Utiliser les relations entre longueurs, mesures d’angles et produits scalaires
AB AC Mesure de �BAC� ��� � ���
⋅AB AC
1 2 120° –1 (1)
5 23
(2) 6 45° 10
4 5 120° (3) –10
4 3,75 (4) 60° 7,5
Justifi cations : on utilise dans tous les cas la défi nition du produit scalaire avec le cosinus,
� �� � ���⋅ × αAB AC = AB AC cos où α est la mesure en radians de l’angle �BAC.
226
(1) °π
120 =23
rad et π
cos23
= –12
FICHE 21 ,
donc AB AC = 1 2 –12
= –1.
(2) × ×10 = AB 62
2 car °
π45 =
4rad et
πcos
4=
22
FICHE 21 .
Donc ×
AB =10
3 2=
10 23 2
=5 2
3.
(3) –10 = 4 × 5 cos α où α est la mesure en radians de l’angle �BAC.
Donc αcos = –12
et une mesure de α est απ
=23
rad, soit α = 120°.
(4) × ×7,5 = 4 AC12
car °π
60 =3
rad et π
cos3
=12
FICHE 21 .
Donc AC =7,521
= 3,75.
10 Transformer l’expression MA2 + MB2
� �� ��� � �� ��� � �� ��� � �� ���⋅ ⋅MA + MB = (MI + IA) (MI + IA) + (MI + IB) (MI + IB)2 2
� �� � �� � �� ��� ��� ��� � �� � �� � �� ��� ��� ���
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= MI MI + 2MI IA + IA IA + MI MI + 2MI IB + IB IB
� �� ��� ���⋅= 2MI + 2MI (IA + IB) + IA + IB2 2 2.
Or ��� ��� �IA + IB = 0 et IA = IB =
14
AB2 2 2, donc en remplaçant :
MA + MB = 2MI +12AB2 2 2 2.
11 Montrer que les médianes d’un triangle sont concourantes au centre de gravité
a. � ��� � ��� � ��� �GA + GB + GC = 0 équivaut, en utilisant la relation de Chasles, à :
� ��� � ��� � �� � ��� � ��� �GA + GA + AB + GA + AC = 0, c’est-à-dire
� ��� � �� � ��� �3GA + AB + AC = 0,
d’où � ��� � �� � ���
3AG = AB + AC et AG =13(AB + AC).
Cette dernière relation montre que le point G vérifiant � ��� � ��� � ��� �GA + GB + GC = 0 existe et est unique.
b. � �� � ��� � ��� � ��� � ��� � ���
′ ′ ′ ′12
(AB+ AC)=12
(AA + A B+ AA + A C) car � �� � ��� � ���
′ ′AB= AA + A B et � ��� � ��� � ���
′ ′AC = AA + A C .
Or � ��� � ��� �
′ ′A B + A C = 0 car A′ est le milieu de [BC], donc ′ AACCAA =12(AB + ).
c. D’après les questions précédentes, � �� � ��� � ���
+ = ′AB AC 2AA et � �� � ��� � ���AB + AC = 3AG, donc
� ��� � ���′AG =
23
AA . Les vecteurs � ���
′AA et � ���AG sont donc colinéaires, les points A, A′ et G
sont alignés, donc G appartient à la médiane (AA′).
On a bien k� ��� � ���
′AG = AA avec k =23
.
À NOTERAB AC<0 car l’angle BAC� est obtus.
MOT CLÉCe résultat est appelé « formule de la médiane ».
MOT CLÉG est appelé centre de gravité du triangle ABC.
227Calcul vectoriel – Produit scalaire
COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS
d. On montre de la même façon que ′BG = BB23
et que ′= CCCG23
.
Donc G appartient également aux médianes (BB′) et (CC′).
e. On en déduit que les trois médianes du triangle ABC sont concourantes en G,
et que G se trouve sur chacune aux 23
à partir du sommet.
12 Calculer une valeur approchée de la mesure d’un angle dans un cubeOn se place dans le plan (OAB), auquel appar-tiennent également les points G et H.� ��� � ���
⋅OA OB =12
(OA + OB – AB )2 2 2 FICHE 26
et OA = OB =12
AG.
D’autre part, en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ACG rectangle en C, on a AG2 = AC2 + CG2. En en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B, on a AC2 = AB2 + BC2.
On en déduit successivement : aAC = 2, aAG = 3 et a
OA =3
2.
D’où OA OB =12
34a2 +
34a2 – a2 , soit ⋅OA OB =
14
2a .
D’autre part, � ��� � ���
⋅ × αOA OB = OA OB cos , où α est la mesure en radians de l’angle
�AOB. Donc ⋅ αOA OB =34
cos2a .
En comparant les deux expressions de � ��� � ���
⋅OA OB, on en
déduit αcos =13..
À l’aide de la calculatrice, on en déduit que l’angle �AOB a pour mesure 70,5° à 0,1° près.
13 Appliquer plusieurs fois la formule de la médianea. D’après la formule de la médiane appliquée au segment [BD] pour les points A et C :
AB + AD = 2AJ +12
BD2 2 2 2 et CB + CD = 2CJ +12
BD2 2 2 2.
En additionnant membre à membre les deux égalités précédentes, on obtient :AB + AD + CB + CD = 2AJ + 2CJ + BD2 2 2 2 2 2 2.
b. On utilise à nouveau la formule de la médiane pour le segment [AC] et le point J,
on a : AJ + CJ = 2IJ +12
AC2 2 2 2.
D’où 2AJ + 2CJ = 4IJ + AC2 2 2 2.
F
GH
E
A
DC
B
O
À NOTERLa mesure de cet angle est indépendante de la longueur de l’arête du cube.
228
En reportant dans l’égalité obtenue à la question a., on en déduit :
AB + AD + CB + CD = 4IJ + AC + BD2 2 2 2 2 2 2.c. Le résultat précédent peut être énoncé de la manière suivante : « Dans un qua-drilatère quelconque, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales plus quatre fois le carré de la distance de leurs milieux. »Or ⩾4IJ 02 , donc AB2 + AD2 + CB2 + CD2 ⩾ AC2 + BD2.Donc « la somme des carrés des côtés est supérieure ou égale à la somme des carrés des diagonales ».d. Les deux sommes sont égales (AB2 + AD2 + CB2 + CD2 = AC2 + BD2) si et seule-ment si 4IJ2 = 0 c’est-à-dire si et seulement si I = J.Donc les deux sommes sont égales si et seulement si les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu, c’est-à-dire si et seulement si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
14 Calculer les coordonnées d’un point (algorithme)Le point H est caractérisé par les deux conditions suivantes : « les droites (OH) et (AB) sont perpendiculaires » et « les points A, B et H sont alignés ».Vectoriellement, ces conditions se traduisent par : «
� ��� � ��⋅OH AB = 0 » (1) et « les vec-
teurs � ���AH et
� ��AB sont colinéaires » (2).
On note (x ; y) les coordonnées de H. On a x y� ���OH( ; ), a b
� ��AB(– ; ) et x a y
� ���AH( – ; ).
(1) équivaut à –ax + by = 0, c’est-à-dire yab
x= (car b ≠ 0).
(2) équivaut à b (x – a) + ay = 0, c’est-à-dire bx + ay = ab.
En remplaçant y par ab
x, la condition devient bxab
x ab+ =2
, soit b a
bx ab
( + )=
2 2
,
qui équivaut à =+
2
2 2xab
a b.
On en déduit yab
aba b
×=+
2
2 2 , c’est-à-dire =+
2
2 2ya b
a b.
Pour calculer les coordonnées de H, on peut utiliser l’algorithme suivant :
←Xab
a b
2
2 2+
←Ya b
a b
2
2 2+
Afficher (X ; Y)
Les nombres a et b (réels non nuls) sont saisis par l’utilisateur. À la fin de l’exécu-tion de l’algorithme, les coordonnées du point H sont contenues dans les variables X et Y, on les affiche.
229Calcul vectoriel – Produit scalaire
COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS
OBJECTIF
15 Calculer la longueur des côtés d’un triangle
a. L’angle �ECF a pour mesure 60°, c’est-à-dire π3
radians, donc :� �� � ��
⋅ ×π
CE CF = CE CF cos3
a � �× ×= ( – )12
� �a=12
–12
2.
b. � �� ��� � �� � �� � ��
⋅ ⋅FC FE = FC (FC + CE)
� �� � �� � �� � ��⋅ ⋅= FC FC + FC CE
� �� � ��
⋅= FC – CE CF2
a� � �= –12
+12
2 2.
Soit fi nalement ⋅ aFC FE =32
–12
2 .
c. Le triangle CFE est rectangle en F si et seulement si � �� ���
⋅FC FE = 0, c’est-à-dire si et
seulement si a� �32
–12
= 02 .
Cette condition équivaut à a� �12
(3 – ) = 0, c’est-à-dire ℓ = 0 ou a
� =3
.
Or ℓ = 0 est impossible, car ℓ > 0. Donc fi nalement ��a
=3
.
d. Dans les triangles ADF, BED et CFE, on a AD = BE = CF = ℓ, AF = BD = CE = a – ℓ et ���DAF = EBD = FCE (ces trois angles ont pour mesure 60°), donc les triangles ADF,
BED et CFE sont superposables, donc DE = EF = FD. Il en découle que le triangle DEF est équilatéral.
Pour a = 4, lorsque la condition de la question précédente est remplie, on a � =43
.
Dans le triangle CFE rectangle en F, d’après le théorème de Pythagore :
EC2 = EF2 + FC2, d’où EF2 = EC2 – FC2, soit EF2 =83
2
–43
2
.
Donc EF =489
=163
2 et EF =43
.
Les côtés du triangle équilatéral DEF ont pour longueur 4 33
.
16 Montrer par deux méthodes différentes que des points sont alignés
a. � ��EBC = ABC – ABE. Donc � ° °EBC = 90 – 60 , soit � °π
EBC = 30 =6
rad.
D’où � �� � ��
⋅ ×π
BC BE = BC BE cos6
, soit ⋅BC BE =32
.
D’autre part, � ��� � �� � �� � �� � �� � ��
⋅ ⋅ ⋅DA BE = CB BE = –BC BE.
BAC
A
D
B E C
F
230
Donc ⋅DA BE = –32
.
b. L’angle �AEB a pour mesure 60°, c’est-à-dire π3
rad, donc :� �� � ��
⋅ ×π
EA EB = EA EB cos3
, soit ⋅EA EB =12
.
c. Dans le triangle BCF, on a BC = BF.�� �CBF = EBF – EBC, donc �CBF a pour mesure 90° – 30°, c’est-à-dire 60°.
Le triangle BCF est isocèle et a un angle de 60°, donc il est équilatéral.
Donc ⋅BC BF =12 (même calcul que pour
� ��� � ���⋅EA EB).
De plus, � ��� � ��� � �� � �� � �� � ��
⋅ ⋅ ⋅DA EG = CB BF = –BC BF, soit ⋅DA EG = –12
.
d. � �� � ��� � ��� � ���
⋅ ⋅AE EG = –EA EG et � ��AEG = AEB + BEG, donc �AEG a pour mesure 150°, c’est-
à-dire π56
rad.
On en déduit � �� � ���
⋅ ×π
AE EG = –EA EG cos56
, soit AE EG = –1 –32
=32
.
e. On a :� ��� � ��� � ��� � �� � �� � ���
⋅ ⋅DE BG = (DA + AE) (BE + EG)
� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � �� � ���
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= DA BE + DA EG + AE BE + AE EG.
Les produits scalaires � ��� � ���
⋅DA BE, � ��� � ���
⋅DA EG et � ��� � ���
⋅AE EG ont été calculés précédemment ;
de plus, � �� � ��� � ��� � ���
⋅ ⋅AE BE = EA EB =12
. Donc :
� ��� � ���⋅DE BG = –
32
–12
+12
+3
2, soit ⋅DE BG = 0.
Les vecteurs � ���DE et
� ���BG sont orthogonaux, donc les droites (DE) et (BG) sont per-
pendiculaires.D’autre part, les deux diagonales (EF) et (BG) du carré EBFG sont perpendiculaires.Les droites (DE) et (EF), toutes deux perpendiculaires à la droite (BG), sont donc parallèles ; comme elles ont le point E en commun, elles sont confondues, et les points D, E et F sont alignés.
D
E
A B
F
G
C
231Calcul vectoriel – Produit scalaire
COURS & MÉTHODES EXERCICES & SUJETS CORRIGÉS
f. On calcule les coordonnées, dans le repère (A ; B, D), des points D, E et F.• D a pour coordonnées (0 ; 1).
• Si on appelle I le milieu de [AB], alors I a pour coordonnées 12; 0 ; E a la même
abscisse que I et son ordonnée est 3
2, d’où E
12;
32
.
• Le point F vérifi e BF = 1 et � ��� � ��
⋅BE BF = 0.
Le vecteur � ��BE a pour coordonnées –
12;
32
Si on note (xF ; yF) les coordonnées du point F, � ��BF a
pour coordonnées (xF – 1 ; yF) et on a :
x y x y( – 1) + = 1 (1) et –12
( – 1) +3
2= 0 (2).F
2F2
F F
D’après (2), yx
=– 1
3FF et en remplaçant dans (1) :
xx
( – 1) +( – 1)
3= 1F
2 F2
, donc x43
( – 1) = 1F2 , soit x( – 1) =
34F
2 .
Comme xF > 1, d’après la fi gure, on a xF – 1 > 0, donc x – 1 =3
2F et x = 1 +3
2F .
On en déduit : yx
=– 1
3=
12F
F . D’où F 1 +32
; 12
.
• On a alors DE12;
32
– 1 et DF 1 +32
; –12
.
Le déterminant des vecteurs � ���DE et
� ��DF vaut :
12
–12
– 1 +32
32
– 1 = –14–
34– 1 = –
14+14= 0.
On en déduit que les vecteurs � ���DE et
� ��DF sont colinéaires, les points D, E et F sont
donc alignés.
À NOTERDans un triangle équilatéral de côté a, la longueur
d’une hauteur est 3
2a .