IX) Moments angulaires

Le moment cinétique, L, de la mécanique classique est défini par le produit vectoriel :

L r p

Où est le vecteur distance à l’origine et le vecteur quantité de mouvement.

Les composantes de L sont données par :

r

p

x z y

y x z

z y x

L yp zp

L zp xp

L xp yp

Si r est perpendiculaire à p, le mouvement est circulaire.

en kg m2s-1 = Js

1) Etude générale

(Instable)

Quelle fonctions d’onde s’attend on à trouver pour un tel « mouvement » orbital ?

Seules certaines ondes vérifieront la condition de stabilité => Il y aura quantification du moment cinétique orbital.

Comme précédemment, nous allons introduire l’opérateur quantique de moment cinétique en utilisant les opérateurs quantiques X et P que nous avons déjà définis.

x z y

y x z

z y x

J YP ZP

J ZP XP

J XP YP

(NB : l’opérateur L a une signification de moment orbital. Nous verrons qu’il existe d’autres moments angulaires et nous adoptons donc un opérateur général : J)

Nous cherchons une fois de plus à déterminer les états propres et valeurs propres de cet opérateur moment cinétique. Il suffirait de faire cela pour chacune de ses composantes Jx Jy et Jz …..

MAIS ce n’est pas possible car les composantes ne commutent pas entre elles.

En effet : , ,

, ,

, ,

x y z y x z

z x y z

z x x z y z z y

x z y z

x y

z

J J YP ZP ZP XP

YP ZP ZP XP

YP ZP ZP YP ZP XP XP ZP

YP P Z XP Z P

i YP i XP

i J

On arrive alors aux relations :

,

,

,

x y z

y z x

z x y

J J i J

J J i J

J J i J

Notez la permutation circulaire des indices

Il est donc impossible de définir plus d'une composante de J à la fois !

xx

yz

Essayons de voir s'il est possible de déterminer la norme du vecteur en plus d'une de ses composantes.Pour cela, étudions l'opérateur J 2

2 2 2 2

x y zJ J J J

Et voyons si il commute avec Jz par exemple

2 2 2 2

2 2 2

, ,

, , ,

, , , ,

0

z x y z z

x z y z z z

x x z x z x y y z y z y

x y y x y x x y

J J J J J J

J J J J J J

J J J J J J J J J J J J

i J J i J J i J J i J J

0

On peut donc déterminer simultanément la norme du moment angulaire et une de ses composantes.

z

JLe moment angulaire se trouve donc défini par la génératrice d'un cône de révolution dont l'axe de symétrie est l'axe de projection.

Jz

Un vecteur d'état de moment angulaire sera vecteur propre de Jz et de J 2 (c'est

à dire qu'il possède une norme et une projection sur z). Cependant la valeur propre sera différente pour les deux opérateurs.

La valeur propre de Jz sera notée : où m est sans dimension.

La valeur propre de J 2 sera notée : où est sans dimension et .

Par commodité ultérieure, il sera pratique d'écrire sous la forme j( j +1) avec

Le ket | j ,m> déterminera donc cet état avec :

m2

2 2, ( 1) ,

, ,z

J j m j j j m

J j m m j m

0j

0

Comme dans l'étude de l'oscillateur harmonique, nous allons définir les opérateurs J

+ et J

-

x y

x y

J J iJ

J J iJ

On a

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

,

,

x y x y

x y x y

x y z z z

x y x y

x y x y

x y z z z

J J J iJ J iJ

J J i J J

J J J J J J

J J J iJ J iJ

J J i J J

J J J J J J

Et donc

2 21

2 zJ J J J J J

On a aussi les relations de commutation :

2 2 2

,

,

, 2

, , , 0

z

z

z

z

J J J

J J J

J J J

J J J J J J

Écrivons que le carré de la norme de J+|j,m> et de J-|j,m> est positif :

2

2

, , , 0

, , , 0

J j m j m J J j m

J j m j m J J j m

Car J+ et J- sont adjoints

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

, , , ,

( 1)

, , , ,

( 1)

z z

z z

j m J J j m j m J J J j m

j j m m

j m J J j m j m J J J j m

j j m m

Donc :

( 1) ( 1) ( )( 1) 0

( 1) ( 1) ( 1)( ) 0

j j m m j m j m

j j m m j m j m

mj-j-1

j-m

j+m+1

Neg Pos Neg

D’où

( 1)

1

j m j

j m j

soit

j m j

On peut montrer que J- |j,m> est une fonction propre de Jz avec la valeur propre (m-1)

, ( 1) ,z

J J j m m J j m

Notons que comme

,m j

, ( 1) ,z

J J j j j J j j

doit être nul

Et donc

, 0J j j

De même, on peut montrer que J+ |j,m> est une fonction propre de Jz avec la valeur propre (m+1)

, ( 1) ,z

J J j m m J j m

Notons que comme

,m j

, ( 1) ,z

J J j j j J j j

doit être nul

Et donc

, 0J j j

( 2,3 1,6 2,3)j m j Nous avons vu que

Il doit exister un entier p tel que

1 2,3 1,6 2 1,3j m p j

En appliquant p fois l’opérateur J- au ket |j,m> on va arriver à une valeur propre (m-p) mais toute nouvelle application de J- donnera une valeur interdite par la relation . Sauf si

m - p= -j

Car cette valeur propre est associée au ket |j,-j> et on a vu que toute application de J- sur |j,-j> est nulle

m j

De même, il doit exister un entier q tel que

1j m q j

En appliquant q fois l’opérateur J+ au ket |j,m> on va arriver à une valeur propre (m+q) mais toute nouvelle application de J+ donnera une valeur interdite par la relation Sauf si

m + q= j

Car cette valeur propre est associée au ket |j, j> et on a vu que toute application de J+ sur |j,j> est nulle

m j

m - p= -j

m + q= jDonc p + q = 2j

Comme p et q sont des entiers, on peut en conclure que j doit être entier ou demi entier.

j = 0, ½, 1, 3/2, 2, 5/2 ….

Et m variera par pas de 1 entre –j et +j, (2j +1) valeurs possibles.

La normalisation des équations aux valeurs propres donne :

, ( 1) ( 1) , 1

, ( 1) ( 1) , 1

J j m j j m m j m

J j m j j m m j m

Interprétation vectorielle :

Seules certaines orientations du vecteur sont possibles du fait de la quantification

J+

J-

j

| J |

J

Jx

Jy

Jz

x z y

y x z

z y x

L YP ZP i y zz y

L ZP XP i z xx z

L XP YP i x yy x

2) Moment cinétique Orbital

Moment cinétique en coordonnées cartésiennes

Il est plus pratique d’utiliser des coordonnées sphériques (r,,) pour étudier la rotation

L’élément de volume est :

3 2 2 sind r r dr d r dr d d

Élément de volume angulaire

Élément de volume radial

0

0 2

Dans les coordonnées sphériques, le moment cinétique s’écrit :

cossin

tan

sincos

tan

x

y

z

L i

L i

L i

2 22 2

2 2 2

1 1

tan sin

cot

cot

i

i

L

L e i

L e i

Et les opérateurs vus précédemment :

Les fonctions propres (r,) associées aux valeurs propres de L2 et aux valeurs propres de Lz vérifient donc :

2( 1)l l m

2 2

2 2 2

1 1( , , ) ( 1) ( , , )

tan sin

( , , ) ( , , )

r l l r

i r m r

Comme il n’y a aucun terme en r dans les opérateurs, on peut écrire (r,) Sous la forme :

( , , ) ( ) ( , )m

lr R r Y

Et alors :2 2( , ) ( 1) ( , )

( , ) ( , )

m m

l l

m m

z l l

L Y l l Y

L Y m Y

( , ) ( , )m m

l li Y m Y

La seconde équation devient simplement

Et l’on voit que la partie en est également factorisable :

( , ) ( )m m im

l lY F e

Conditions aux limites :La fonction d’onde en doit être égale à la fonction d’onde en .

(2 ) (0) 1im ime e

m doit donc être entier, ce qui implique que l est également entierPuisqu on a vu que avec un incrément de 1.l m l

Pour déterminer F() nous allons utiliser la relation vue précédemment :

, 0J j j

Qui dans notre cas prend la forme

0

cot ( ) 0

cot ( ) 0

l

l

l il

l

l

l

L Y

i F e

l F

Dont la solution est :

( ) (sin )l l

l lF c

Finalement

( , ) (sin )l l il

l lY c e Où cl est une constante

de normalisation

Il suffit ensuit d’appliquer L- pour trouver et de recommencer pour trouver les autres fonctions jusqu’à

1l

lY

l

lY

1( , ) ( 1) ( 1) ( , )m m

l lL Y l l m m Y

On peut montrer la relation générale :

Les fonctions sont appelées harmoniques sphériques( , )m

lY

Lorsque l=0 l’harmonique sphérique est une fonction réelle, sinon c’est une fonction complexe.Cependant, pour un système isolé, l’énergie provenant de la rotation ne dépend que du nombre quantique l. En effet, l’énergie classique d’une particule de masse en mouvement circulaire de rayon r vaut :

2

22rot

LE

r

En termes quantiques, si le système se trouve dans un état représenté par une harmonique sphérique on aura :( , )m

lY

2

2

( 1)

2rot

l lE m

r

*( , ) ( 1) ( , )m m m

l lY Y

On peut de plus montrer qu’il existe la relation suivante entre ( , ) et ( , )m m

l lY Y

Comme nous l’avons déjà montré, toute combinaison de fonctions propres ayant la même valeur propre est aussi fonction propre pour la même valeur propre. On va donc pouvoir écrire :

1( 1) 0

21

( 1) 02

m m m m

l l l

m m mm

l l l

Y Y Y si m

Y Y Y si mi

Ces fonctions seront réelles, car le terme entre parenthèse sera soit un cosinus, soit un sinus en , suivant le signe de m.

Remarque : et on a omis la barre sur le Y montrant ses combinaisons réelles.

m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5

l=0

l=1

l=2

l=3

l=4

l=5

Projection sur une sphère : la couleur dépend de la valeur de la fonction, noir : 0 bleu : valeurs positives ; rouge : valeurs négatives.

Autre représentation : Pour chaque valeur de on trace un trait dont la longueur est proportionnelle à la valeur absolue de la fonction. (rouge : valeurs positives ; bleu : valeurs négatives)

3) Moment cinétique de spin (1922)

Otto SternWalter Gerlach

W. Pauli et N. Bohr

Nous admettrons que tout système possédant un moment cinétique, , que l’on connaît par les états propres de J2 , possède un moment magnétique tel que

J

J

Moment magnétiqueMoment cinétique

Facteur gyromagnétique

Si l’on plonge le système dans un champs magnétique l’opérateur énergie magnétique est donné par :

B

cosmag

H B B

J

Angle entre les vecteurs

On voit que les harmoniques sphériques seront fonctions propres de cet opérateur. Les valeurs propres seront :

cosmag

E m B

Cette fois, l’énergie du système dépend aussi du nombre quantique m.Il y a levée de dégénérescence de l’énergie des harmoniques sphériques pour l donné.

m

lY

Historique sur l’expérience de Stern et Gerlach : clic ici

Stern et Gerlach ont imaginé une expérience permettant d’observer cet effet.Ils ont utilisé un faisceau d’atomes d’argents.

Résultat classique : pas de quantification de m, toutes les valeurs sont possibles

Résultat quantique, on obtient un trait par valeur de m

La figure historique : 2 TRAITS

m ne peut prendre que deux valeur ! Ceci implique que :

1 1

2 2j et m

Nous avons vu qu’il était possible d’avoir des valeurs de j demi entières, mais les moments cinétiques orbitaux ont des valeurs de j entières !

Cette expérience met en évidence un moment cinétique qui n’est pas un moment cinétique orbital : LE SPIN.

Le spin est une propriété intrinsèque des particules au même titre que leur masse ou leur charge.C’est une propriété quantique, qui n’a pas d’équivalent classique (ce n’est PAS un mouvement de rotation de la particule sur elle même).On notera s et ms les nombres quantiques associés à ce moment cinétique.Le spin peut être entier ou demi entier.

Spin entier

Spin demi entier

Proton (s=1/2)

Neutron (s=1/2)

Opérateur moment cinétique de spin

On se restreint ici à l’étude de l’électron de qui a un spin s = ½.On a donc uniquement deux états propres possibles :

2 2, ( 1) ,

, ,

s s

z s s s

S s m s s s m

S s m m s m

Il vérifie les relations vues précédemment :

1 1,

2 2

1 1,

2 2

Notation

2 23

41

2z

S

S

Les relations se réduisent donc à

forment une base complète et orthonormée pour les opérateurs S et Sz

1

0

et

+ + - - 1

Relation de fermeture

Notons que tout vecteur de l’espace des états de spin ½ est fonction propre de l’opérateur S2. En effet

2 2 2

2 23 3

4 4

c c

S c S c S

c c

Soit

Alors

Il existe un opérateur qui possède une propriété similaire, c’est l’opérateur identité :

1

On en déduit que l’opérateur S2 est représenté dans la base par : ;

2

2 2

2

03

40

S

3

41 =3

4

L’action des opérateurs S+ et S-x y

x y

S S iS

S S iS

est très simple0

0

S S

S S

Comme

1( )

2

( )2

x

y

S S S

iS S S

1( )

2 21

( )2 2

( )2 2

( )2 2

x

x

y

y

S S S

S S S

iS S S i

iS S S i

2 2 2

2 2 2

x y z

x y z

S S i S

S S i S

En résumé :

Et la représentation de ces opérateurs dans la base est : ;

0 1

1 02xS

0

02y

iS

i

1 0

0 12zS

Matrices de Pauli