Le produit vectoriel

Définition

Soient −→a ,−→b ∈R3 deux vecteurs. On définit leur produit vectoriel

comme le vecteur dont les composantes sont les suivantes:

−→a × −→b B

a2b3 −a3b2a3b1 −a1b3a1b2 −a2b1

En particulier, −→a × −→b est encore un vecteur. (D’où le nom produit« vectoriel »).

Le produit vectoriel est donc une application

· × · :R3 ×R3→R3 : (−→a ,−→b ) 7→ −→a × −→b .

Remarque

Le produit vectoriel est parfois noté −→a ∧ −→b au lieu de −→a × −→b . Il n’estbien défini que pour des vecteurs de R3.

Le produit vectoriel

Définition

Soient −→a ,−→b ∈R3 deux vecteurs. On définit leur produit vectoriel

comme le vecteur dont les composantes sont les suivantes:

−→a × −→b B

a2b3 −a3b2a3b1 −a1b3a1b2 −a2b1

En particulier, −→a × −→b est encore un vecteur. (D’où le nom produit« vectoriel »).

Le produit vectoriel est donc une application

· × · :R3 ×R3→R3 : (−→a ,−→b ) 7→ −→a × −→b .

Remarque

Le produit vectoriel est parfois noté −→a ∧ −→b au lieu de −→a × −→b . Il n’estbien défini que pour des vecteurs de R3.

Le produit vectoriel

Définition

Soient −→a ,−→b ∈R3 deux vecteurs. On définit leur produit vectoriel

comme le vecteur dont les composantes sont les suivantes:

−→a × −→b B

a2b3 −a3b2a3b1 −a1b3a1b2 −a2b1

En particulier, −→a × −→b est encore un vecteur. (D’où le nom produit« vectoriel »).

Le produit vectoriel est donc une application

· × · :R3 ×R3→R3 : (−→a ,−→b ) 7→ −→a × −→b .

Remarque

Le produit vectoriel est parfois noté −→a ∧ −→b au lieu de −→a × −→b . Il n’estbien défini que pour des vecteurs de R3.

Le produit vectoriel

Définition

Soient −→a ,−→b ∈R3 deux vecteurs. On définit leur produit vectoriel

comme le vecteur dont les composantes sont les suivantes:

−→a × −→b B

a2b3 −a3b2a3b1 −a1b3a1b2 −a2b1

En particulier, −→a × −→b est encore un vecteur. (D’où le nom produit« vectoriel »).

Le produit vectoriel est donc une application

· × · :R3 ×R3→R3 : (−→a ,−→b ) 7→ −→a × −→b .

Remarque

Le produit vectoriel est parfois noté −→a ∧ −→b au lieu de −→a × −→b . Il n’estbien défini que pour des vecteurs de R3.

Le produit vectoriel

Définition

Soient −→a ,−→b ∈R3 deux vecteurs. On définit leur produit vectoriel

comme le vecteur dont les composantes sont les suivantes:

−→a × −→b B

a2b3 −a3b2a3b1 −a1b3a1b2 −a2b1

En particulier, −→a × −→b est encore un vecteur. (D’où le nom produit« vectoriel »).

Le produit vectoriel est donc une application

· × · :R3 ×R3→R3 : (−→a ,−→b ) 7→ −→a × −→b .

Remarque

Le produit vectoriel est parfois noté −→a ∧ −→b au lieu de −→a × −→b .

Il n’estbien défini que pour des vecteurs de R3.

Le produit vectoriel

Définition

Soient −→a ,−→b ∈R3 deux vecteurs. On définit leur produit vectoriel

comme le vecteur dont les composantes sont les suivantes:

−→a × −→b B

a2b3 −a3b2a3b1 −a1b3a1b2 −a2b1

En particulier, −→a × −→b est encore un vecteur. (D’où le nom produit« vectoriel »).

Le produit vectoriel est donc une application

· × · :R3 ×R3→R3 : (−→a ,−→b ) 7→ −→a × −→b .

Remarque

Le produit vectoriel est parfois noté −→a ∧ −→b au lieu de −→a × −→b . Il n’estbien défini que pour des vecteurs de R3.

Interprétation graphique

Le produit vectoriel de −→u et −→v est un vecteur orthogonal au planformé par −→u et −→v . Sa norme:∥∥∥∥−→a × −→b ∥∥∥∥= ∥∥∥−→a ∥∥∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥∥sinαest égale à l’aire du parallélogramme formé par −→u et −→v .

Interprétation graphique

Le produit vectoriel de −→u et −→v est un vecteur orthogonal au planformé par −→u et −→v .

Sa norme:∥∥∥∥−→a × −→b ∥∥∥∥= ∥∥∥−→a ∥∥∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥∥sinαest égale à l’aire du parallélogramme formé par −→u et −→v .

Interprétation graphique

Le produit vectoriel de −→u et −→v est un vecteur orthogonal au planformé par −→u et −→v . Sa norme:∥∥∥∥−→a × −→b ∥∥∥∥= ∥∥∥−→a ∥∥∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥∥sinαest égale à l’aire du parallélogramme formé par −→u et −→v .

Produit vectoriel et vecteur colinéaires de R3

Définition

On dit que deux vecteurs −→v et −→w non nuls de R3 sont colinéaires si ilexiste λ ∈R tel que

−→v = λ−→w .

Une convention: le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

L’intérêt du produit vectoriel est de détecter les vecteurs colinéaires:

Résultat

Soient −→v et −→w des vecteurs de R3. Alors −→v et −→w sont colinéaires si etseulement si −→v × −→w = 0.

Démonstration.

On utilise:∥∥∥−→v × −→w ∥∥∥= ∥∥∥−→v ∥∥∥∥∥∥−→w ∥∥∥sinθ, où θ est l’angle entre −→v et −→w .

Mais −→v et −→w sont collinéaires si et seulement si θ = 0 ou θ = π, etpour ces valeurs sin(θ) = 0.

Produit vectoriel et vecteur colinéaires de R3

Définition

On dit que deux vecteurs −→v et −→w non nuls de R3 sont colinéaires si ilexiste λ ∈R tel que

−→v = λ−→w .

Une convention: le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

L’intérêt du produit vectoriel est de détecter les vecteurs colinéaires:

Résultat

Soient −→v et −→w des vecteurs de R3. Alors −→v et −→w sont colinéaires si etseulement si −→v × −→w = 0.

Démonstration.

On utilise:∥∥∥−→v × −→w ∥∥∥= ∥∥∥−→v ∥∥∥∥∥∥−→w ∥∥∥sinθ, où θ est l’angle entre −→v et −→w .

Mais −→v et −→w sont collinéaires si et seulement si θ = 0 ou θ = π, etpour ces valeurs sin(θ) = 0.

Produit vectoriel et vecteur colinéaires de R3

Définition

On dit que deux vecteurs −→v et −→w non nuls de R3 sont colinéaires si ilexiste λ ∈R tel que

−→v = λ−→w .

Une convention: le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

L’intérêt du produit vectoriel est de détecter les vecteurs colinéaires:

Résultat

Soient −→v et −→w des vecteurs de R3. Alors −→v et −→w sont colinéaires si etseulement si −→v × −→w = 0.

Démonstration.

On utilise:∥∥∥−→v × −→w ∥∥∥= ∥∥∥−→v ∥∥∥∥∥∥−→w ∥∥∥sinθ, où θ est l’angle entre −→v et −→w .

Mais −→v et −→w sont collinéaires si et seulement si θ = 0 ou θ = π, etpour ces valeurs sin(θ) = 0.

Produit vectoriel et vecteur colinéaires de R3

Définition

On dit que deux vecteurs −→v et −→w non nuls de R3 sont colinéaires si ilexiste λ ∈R tel que

−→v = λ−→w .

Une convention: le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

L’intérêt du produit vectoriel est de détecter les vecteurs colinéaires:

Résultat

Soient −→v et −→w des vecteurs de R3. Alors −→v et −→w sont colinéaires si etseulement si −→v × −→w = 0.

Démonstration.

On utilise:∥∥∥−→v × −→w ∥∥∥= ∥∥∥−→v ∥∥∥∥∥∥−→w ∥∥∥sinθ, où θ est l’angle entre −→v et −→w .

Mais −→v et −→w sont collinéaires si et seulement si θ = 0 ou θ = π, etpour ces valeurs sin(θ) = 0.

Produit vectoriel et vecteur colinéaires de R3

Définition

On dit que deux vecteurs −→v et −→w non nuls de R3 sont colinéaires si ilexiste λ ∈R tel que

−→v = λ−→w .

Une convention: le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

L’intérêt du produit vectoriel est de détecter les vecteurs colinéaires:

Résultat

Soient −→v et −→w des vecteurs de R3. Alors −→v et −→w sont colinéaires si etseulement si −→v × −→w = 0.

Démonstration.

On utilise:∥∥∥−→v × −→w ∥∥∥= ∥∥∥−→v ∥∥∥∥∥∥−→w ∥∥∥sinθ, où θ est l’angle entre −→v et −→w .

Mais −→v et −→w sont collinéaires si et seulement si θ = 0 ou θ = π, etpour ces valeurs sin(θ) = 0.

À quoi sert le produit vectoriel?

Le produit vectoriel mesure le moment d’une force qui s’exerce sur unsolide.

Plus précisément: soit un objet qui pivote autour d’un point O et uneforce

−→F s’exerçant sur le solide en un point P .

Le moment cinétique de−→F est

donné par:−→M =

−−→OP ×

−→F .

Il mesure la capacité de la forceà mettre le solide en rotation au-tour de O .

À quoi sert le produit vectoriel?

Le produit vectoriel mesure le moment d’une force qui s’exerce sur unsolide.Plus précisément: soit un objet qui pivote autour d’un point O et uneforce

−→F s’exerçant sur le solide en un point P .

Le moment cinétique de−→F est

donné par:−→M =

−−→OP ×

−→F .

Il mesure la capacité de la forceà mettre le solide en rotation au-tour de O .

À quoi sert le produit vectoriel?

Le produit vectoriel mesure le moment d’une force qui s’exerce sur unsolide.Plus précisément: soit un objet qui pivote autour d’un point O et uneforce

−→F s’exerçant sur le solide en un point P .

Le moment cinétique de−→F est

donné par:−→M =

−−→OP ×

−→F .

Il mesure la capacité de la forceà mettre le solide en rotation au-tour de O .

À quoi sert le produit vectoriel?

Le produit vectoriel mesure le moment d’une force qui s’exerce sur unsolide.Plus précisément: soit un objet qui pivote autour d’un point O et uneforce

−→F s’exerçant sur le solide en un point P .

Le moment cinétique de−→F est

donné par:

−→M =

−−→OP ×

−→F .

Il mesure la capacité de la forceà mettre le solide en rotation au-tour de O .

À quoi sert le produit vectoriel?

Le produit vectoriel mesure le moment d’une force qui s’exerce sur unsolide.Plus précisément: soit un objet qui pivote autour d’un point O et uneforce

−→F s’exerçant sur le solide en un point P .

Le moment cinétique de−→F est

donné par:−→M =

−−→OP ×

−→F .

Il mesure la capacité de la forceà mettre le solide en rotation au-tour de O .

À quoi sert le produit vectoriel?

Le produit vectoriel mesure le moment d’une force qui s’exerce sur unsolide.Plus précisément: soit un objet qui pivote autour d’un point O et uneforce

−→F s’exerçant sur le solide en un point P .

Le moment cinétique de−→F est

donné par:−→M =

−−→OP ×

−→F .

Il mesure la capacité de la forceà mettre le solide en rotation au-tour de O .

−→M =

−−→OP ×

−→F .

Plus la norme du moment est élevée, plus la force fait pivoter le solideautour du point O . Comme:

‖−→M ‖=OP · ‖

−→F ‖sin(θ),

à intensité égale une force produit plus d’effets si elle est exercée loindu centre de rotation.

−→M =

−−→OP ×

−→F .

Plus la norme du moment est élevée, plus la force fait pivoter le solideautour du point O .

Comme:

‖−→M ‖=OP · ‖

−→F ‖sin(θ),

à intensité égale une force produit plus d’effets si elle est exercée loindu centre de rotation.

−→M =

−−→OP ×

−→F .

Plus la norme du moment est élevée, plus la force fait pivoter le solideautour du point O . Comme:

‖−→M ‖=OP · ‖

−→F ‖sin(θ),

à intensité égale une force produit plus d’effets si elle est exercée loindu centre de rotation.

−→M =

−−→OP ×

−→F .

Plus la norme du moment est élevée, plus la force fait pivoter le solideautour du point O . Comme:

‖−→M ‖=OP · ‖

−→F ‖sin(θ),

à intensité égale une force produit plus d’effets si elle est exercée loindu centre de rotation.

Équations et systèmes

Contenu de la section

Équations et systèmesSystèmes d’équationsLien avec les équations cartésiennesDistances

Équations et systèmes

DéfinitionUne équation est une égalité faisant intervenir une ou plusieursquantités inconnues.

Résoudre une équation revient à déterminer l’ensemble des valeurspossibles pour la quantité inconnue de sorte que l’égalité soit vérifiée.Ces valeurs sont les solutions de l’équation.

Dans une de ses formes les plus simples, une équation fait intervenirune unique quantité inconnue : un nombre réel. La « quantitéinconnue » (ou simplement « inconnue ») est souvent nommée x , maisce nom n’a rien de magique.

Équations et systèmes

DéfinitionUne équation est une égalité faisant intervenir une ou plusieursquantités inconnues.Résoudre une équation revient à déterminer l’ensemble des valeurspossibles pour la quantité inconnue de sorte que l’égalité soit vérifiée.Ces valeurs sont les solutions de l’équation.

Dans une de ses formes les plus simples, une équation fait intervenirune unique quantité inconnue : un nombre réel. La « quantitéinconnue » (ou simplement « inconnue ») est souvent nommée x , maisce nom n’a rien de magique.

Équations et systèmes

DéfinitionUne équation est une égalité faisant intervenir une ou plusieursquantités inconnues.Résoudre une équation revient à déterminer l’ensemble des valeurspossibles pour la quantité inconnue de sorte que l’égalité soit vérifiée.Ces valeurs sont les solutions de l’équation.

Dans une de ses formes les plus simples, une équation fait intervenirune unique quantité inconnue : un nombre réel. La « quantitéinconnue » (ou simplement « inconnue ») est souvent nommée x , maisce nom n’a rien de magique.

Équations et systèmes

Exemple

L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.

L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.

Équations et systèmes

Exemple

L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.

L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.

Équations et systèmes

Exemple

L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.

L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.

Équations et systèmes

Exemple

L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.

L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.

Équations et systèmes

Exemple

L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.

Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.

L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.

Équations et systèmes

Exemple

L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.

Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.

L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.

Équations et systèmes

Exemple

L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π.

En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.

L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.

Équations et systèmes

Exemple

L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.

L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.

Équations et systèmes

Exemple

L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,

car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.

Équations et systèmes

Exemple

L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,

car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.

Équations et systèmes

Exemple

L’équation 2x −3 = 1 a pour seule solution : x = 2.L’équation t2 −1 = 0 (dont l’inconnue est t) a pour solutions :t = 1 et t = −1. On peut écrire que l’ensemble des solutions estS = {−1,1}.L’équation sin(x) = 0 a pour solution x = 0, mais il y en a d’autres.Par exemple x = π. En fait, l’ensemble des solutions est formé del’ensemble des multiples entiers de π. On peut noterS = {kπ t.q. k ∈Z}.L’équation x2 +1 = 0 n’a pas de solution dans les nombres réels,car tout réel pris au carré est positif, donc x2 +1 ne peut jamaisêtre égal à 0. L’ensemble des solutions est donc vide. On peutnoter S = ∅.

Équations et systèmes

Une équation peut faire intervenir plusieurs inconnues. Dans ce cas,une solution est la donnée d’une valeur pour chaque inconnue.

Exemple

L’équation x2 + y2 = 0 (dont les inconnues sont x et y) a une solution :x = y = 0. Il n’y en a pas d’autres. On peut noter S = {(0,0)}.

Dans l’exemple ci-dessus, il y avait une équation, deux inconnues,mais une seule solution. C’est rare. Généralement une seule équationavec deux ou plus inconnues possède une infinité de solutions.

Exemple

L’équation x + y2 = 0 possède une infinité de solutions : pour chaquenombre réel r , les valeurs y = r et x = −r2 fournissent une solution.On peut noter S =

{(−r2,r) t.q. r ∈R

}.

Équations et systèmes

Une équation peut faire intervenir plusieurs inconnues. Dans ce cas,une solution est la donnée d’une valeur pour chaque inconnue.

Exemple

L’équation x2 + y2 = 0 (dont les inconnues sont x et y) a une solution :x = y = 0. Il n’y en a pas d’autres. On peut noter S = {(0,0)}.

Dans l’exemple ci-dessus, il y avait une équation, deux inconnues,mais une seule solution. C’est rare. Généralement une seule équationavec deux ou plus inconnues possède une infinité de solutions.

Exemple

L’équation x + y2 = 0 possède une infinité de solutions : pour chaquenombre réel r , les valeurs y = r et x = −r2 fournissent une solution.On peut noter S =

{(−r2,r) t.q. r ∈R

}.

Équations et systèmes

Une équation peut faire intervenir plusieurs inconnues. Dans ce cas,une solution est la donnée d’une valeur pour chaque inconnue.

Exemple

L’équation x2 + y2 = 0 (dont les inconnues sont x et y) a une solution :x = y = 0. Il n’y en a pas d’autres. On peut noter S = {(0,0)}.

Dans l’exemple ci-dessus, il y avait une équation, deux inconnues,mais une seule solution.

C’est rare. Généralement une seule équationavec deux ou plus inconnues possède une infinité de solutions.

Exemple

L’équation x + y2 = 0 possède une infinité de solutions : pour chaquenombre réel r , les valeurs y = r et x = −r2 fournissent une solution.On peut noter S =

{(−r2,r) t.q. r ∈R

}.

Équations et systèmes

Une équation peut faire intervenir plusieurs inconnues. Dans ce cas,une solution est la donnée d’une valeur pour chaque inconnue.

Exemple

L’équation x2 + y2 = 0 (dont les inconnues sont x et y) a une solution :x = y = 0. Il n’y en a pas d’autres. On peut noter S = {(0,0)}.

Dans l’exemple ci-dessus, il y avait une équation, deux inconnues,mais une seule solution. C’est rare. Généralement une seule équationavec deux ou plus inconnues possède une infinité de solutions.

Exemple

L’équation x + y2 = 0 possède une infinité de solutions : pour chaquenombre réel r , les valeurs y = r et x = −r2 fournissent une solution.On peut noter S =

{(−r2,r) t.q. r ∈R

}.

Équations et systèmes

Une équation peut faire intervenir plusieurs inconnues. Dans ce cas,une solution est la donnée d’une valeur pour chaque inconnue.

Exemple

L’équation x2 + y2 = 0 (dont les inconnues sont x et y) a une solution :x = y = 0. Il n’y en a pas d’autres. On peut noter S = {(0,0)}.

Dans l’exemple ci-dessus, il y avait une équation, deux inconnues,mais une seule solution. C’est rare. Généralement une seule équationavec deux ou plus inconnues possède une infinité de solutions.

Exemple

L’équation x + y2 = 0 possède une infinité de solutions : pour chaquenombre réel r , les valeurs y = r et x = −r2 fournissent une solution.On peut noter S =

{(−r2,r) t.q. r ∈R

}.

Systèmes d’équations

Contenu de la section

Équations et systèmesSystèmes d’équationsLien avec les équations cartésiennesDistances

Systèmes d’équations

Lorsqu’il y a plusieurs inconnues, il peut arriver qu’il y ait égalementplusieurs équations. On parle alors de système d’équations.

Exemple

Considérons le système d’équations suivant, dont les inconnues sont(x ,y) : x + y = 1

x − y = 3Les solutions sont x = 2 et y = −1. Il y a une unique solution.

Systèmes d’équations

Lorsqu’il y a plusieurs inconnues, il peut arriver qu’il y ait égalementplusieurs équations. On parle alors de système d’équations.

Exemple

Considérons le système d’équations suivant, dont les inconnues sont(x ,y) : x + y = 1

x − y = 3

Les solutions sont x = 2 et y = −1. Il y a une unique solution.

Systèmes d’équations

Lorsqu’il y a plusieurs inconnues, il peut arriver qu’il y ait égalementplusieurs équations. On parle alors de système d’équations.

Exemple

Considérons le système d’équations suivant, dont les inconnues sont(x ,y) : x + y = 1

x − y = 3Les solutions sont x = 2 et y = −1. Il y a une unique solution.

Systèmes d’équations

Exemple

Considérons le système d’équations suivant, dont les inconnues sont(x ,y) : x − y2 = 1

x + y2 = 3

En résolvant, on trouve x = 2 et y2 = 1. Dès lors il y a deuxpossibilités :

Soit x = 2 et y = 1,soit x = 2 et y = −1.

Il y a donc ici deux solutions: (2,1) et (2,−1).

Systèmes d’équations

Exemple

Considérons le système d’équations suivant, dont les inconnues sont(x ,y) : x − y2 = 1

x + y2 = 3

En résolvant, on trouve x = 2 et y2 = 1. Dès lors il y a deuxpossibilités :

Soit x = 2 et y = 1,soit x = 2 et y = −1.

Il y a donc ici deux solutions: (2,1) et (2,−1).

Systèmes d’équations

Exemple

Considérons le système d’équations suivant, dont les inconnues sont(x ,y) : x − y2 = 1

x + y2 = 3

En résolvant, on trouve x = 2 et y2 = 1. Dès lors il y a deuxpossibilités :

Soit x = 2 et y = 1,soit x = 2 et y = −1.

Il y a donc ici deux solutions:

(2,1) et (2,−1).

Systèmes d’équations

Exemple

Considérons le système d’équations suivant, dont les inconnues sont(x ,y) : x − y2 = 1

x + y2 = 3

En résolvant, on trouve x = 2 et y2 = 1. Dès lors il y a deuxpossibilités :

Soit x = 2 et y = 1,soit x = 2 et y = −1.

Il y a donc ici deux solutions: (2,1) et (2,−1).

Lien avec les équations cartésiennes

Contenu de la section

Équations et systèmesSystèmes d’équationsLien avec les équations cartésiennesDistances

Lien avec les équations cartésiennes

Droites du plan

Équation cartésienne

Une droite de R2 passant par p dans la direction −→v est l’ensemble despoints (x1,x2) vérifiant

(x1 − p1)v2 = (x2 − p2)v1

ou encoreax1 + bx2 + c = 0

pour a = v2,b = −v1,c = p2v1 − p1v2, c’est-à-direa(x1 − p1)+ b(x2 − p2) = 0

pour a = v2,b = −v1. On réécrit ça comme⟨−→n ,x−p⟩= 0

pour −→n = (a ,b) = (v2,− v1).En d’autres termes, −→n est un vecteur perpendiculaire (on dit « vecteurnormal ») à la droite. Ecrire

⟨−→n ,x−p⟩= 0 est une manière de retrouver

l’équation de la droite!

Lien avec les équations cartésiennes

Droites du plan

Équation cartésienne

Une droite de R2 passant par p dans la direction −→v est l’ensemble despoints (x1,x2) vérifiant

(x1 − p1)v2 = (x2 − p2)v1

ou encoreax1 + bx2 + c = 0

pour a = v2,b = −v1,c = p2v1 − p1v2,

c’est-à-direa(x1 − p1)+ b(x2 − p2) = 0

pour a = v2,b = −v1. On réécrit ça comme⟨−→n ,x−p⟩= 0

pour −→n = (a ,b) = (v2,− v1).En d’autres termes, −→n est un vecteur perpendiculaire (on dit « vecteurnormal ») à la droite. Ecrire

⟨−→n ,x−p⟩= 0 est une manière de retrouver

l’équation de la droite!

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Droites du plan

Équation cartésienne

Une droite de R2 passant par p dans la direction −→v est l’ensemble despoints (x1,x2) vérifiant

(x1 − p1)v2 = (x2 − p2)v1

ou encoreax1 + bx2 + c = 0

pour a = v2,b = −v1,c = p2v1 − p1v2, c’est-à-direa(x1 − p1)+ b(x2 − p2) = 0

pour a = v2,b = −v1.

On réécrit ça comme⟨−→n ,x−p⟩= 0

pour −→n = (a ,b) = (v2,− v1).En d’autres termes, −→n est un vecteur perpendiculaire (on dit « vecteurnormal ») à la droite. Ecrire

⟨−→n ,x−p⟩= 0 est une manière de retrouver

l’équation de la droite!

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Droites du plan

Équation cartésienne

Une droite de R2 passant par p dans la direction −→v est l’ensemble despoints (x1,x2) vérifiant

(x1 − p1)v2 = (x2 − p2)v1

ou encoreax1 + bx2 + c = 0

pour a = v2,b = −v1,c = p2v1 − p1v2, c’est-à-direa(x1 − p1)+ b(x2 − p2) = 0

pour a = v2,b = −v1. On réécrit ça comme⟨−→n ,x−p⟩= 0

pour −→n = (a ,b) = (v2,− v1).

En d’autres termes, −→n est un vecteur perpendiculaire (on dit « vecteurnormal ») à la droite. Ecrire

⟨−→n ,x−p⟩= 0 est une manière de retrouver

l’équation de la droite!

Lien avec les équations cartésiennes

Droites du plan

Équation cartésienne

Une droite de R2 passant par p dans la direction −→v est l’ensemble despoints (x1,x2) vérifiant

(x1 − p1)v2 = (x2 − p2)v1

ou encoreax1 + bx2 + c = 0

pour a = v2,b = −v1,c = p2v1 − p1v2, c’est-à-direa(x1 − p1)+ b(x2 − p2) = 0

pour a = v2,b = −v1. On réécrit ça comme⟨−→n ,x−p⟩= 0

pour −→n = (a ,b) = (v2,− v1).En d’autres termes, −→n est un vecteur perpendiculaire (on dit « vecteurnormal ») à la droite.

Ecrire⟨−→n ,x−p

⟩= 0 est une manière de retrouver

l’équation de la droite!

Lien avec les équations cartésiennes

Droites du plan

Équation cartésienne

Une droite de R2 passant par p dans la direction −→v est l’ensemble despoints (x1,x2) vérifiant

(x1 − p1)v2 = (x2 − p2)v1

ou encoreax1 + bx2 + c = 0

pour a = v2,b = −v1,c = p2v1 − p1v2, c’est-à-direa(x1 − p1)+ b(x2 − p2) = 0

pour a = v2,b = −v1. On réécrit ça comme⟨−→n ,x−p⟩= 0

pour −→n = (a ,b) = (v2,− v1).En d’autres termes, −→n est un vecteur perpendiculaire (on dit « vecteurnormal ») à la droite. Ecrire

⟨−→n ,x−p⟩= 0 est une manière de retrouver

l’équation de la droite!

Lien avec les équations cartésiennes

Plans dans l’espace

Équation vectorielle

Soient −→v et −→w deux vecteurs non-colinéaires (ce qui signifie:−→v × −→w , 0).

Un plan passant par le point p dans les directions desvecteurs −→v et −→w est l’ensemble des points x de la forme

x= p+ t −→v + s −→w .lorsque s ,t ∈R. Les vecteurs −→v ,−→w sont les vecteurs directeurs duplan.

Équations paramétriques

Un plan est l’ensemble des points (x1,x2,x3) de la formex1 = p1 + tv1 + sw1

x2 = p2 + tv2 + sw2

x3 = p3 + tv3 + sw3

pour certains réel s et t .

Lien avec les équations cartésiennes

Plans dans l’espace

Équation vectorielle

Soient −→v et −→w deux vecteurs non-colinéaires (ce qui signifie:−→v × −→w , 0). Un plan passant par le point p dans les directions desvecteurs −→v et −→w est l’ensemble des points x de la forme

x= p+ t −→v + s −→w .lorsque s ,t ∈R. Les vecteurs −→v ,−→w sont les vecteurs directeurs duplan.

Équations paramétriques

Un plan est l’ensemble des points (x1,x2,x3) de la formex1 = p1 + tv1 + sw1

x2 = p2 + tv2 + sw2

x3 = p3 + tv3 + sw3

pour certains réel s et t .

Lien avec les équations cartésiennes

Plans dans l’espace

Équation vectorielle

Soient −→v et −→w deux vecteurs non-colinéaires (ce qui signifie:−→v × −→w , 0). Un plan passant par le point p dans les directions desvecteurs −→v et −→w est l’ensemble des points x de la forme

x= p+ t −→v + s −→w .lorsque s ,t ∈R. Les vecteurs −→v ,−→w sont les vecteurs directeurs duplan.

Équations paramétriques

Un plan est l’ensemble des points (x1,x2,x3) de la formex1 = p1 + tv1 + sw1

x2 = p2 + tv2 + sw2

x3 = p3 + tv3 + sw3

pour certains réel s et t .

Lien avec les équations cartésiennes

Équation cartésienne

Un plan consiste en les points (x1,x2,x3) vérifiantax1 + bx2 + cx3 +d = 0

pour certaines constantes a ,b ,c ,d . De manière équivalente :a(x1 − p1)+ b(x2 − p2)+ c(x3 − p3) = 0

où p= (p1,p2,p3) est un point du plan.

Équation cartésienne, version 2

Un plan passant par p est l’ensemble des points x= (x1,x2,x3) vérifiant⟨x−p,−→n

⟩= 0

pour un certain vecteur −→n = (a ,b ,c) : le vecteur normal (pour dire« perpendiculaire »).

Résultat

Si −→v = (v1,v2,v3) et−→w sont deux vecteurs directeurs, alors leur

produit vectoriel est un vecteur normal.

Lien avec les équations cartésiennes

Équation cartésienne

Un plan consiste en les points (x1,x2,x3) vérifiantax1 + bx2 + cx3 +d = 0

pour certaines constantes a ,b ,c ,d . De manière équivalente :a(x1 − p1)+ b(x2 − p2)+ c(x3 − p3) = 0

où p= (p1,p2,p3) est un point du plan.

Équation cartésienne, version 2

Un plan passant par p est l’ensemble des points x= (x1,x2,x3) vérifiant⟨x−p,−→n

⟩= 0

pour un certain vecteur −→n = (a ,b ,c) : le vecteur normal (pour dire« perpendiculaire »).

Résultat

Si −→v = (v1,v2,v3) et−→w sont deux vecteurs directeurs, alors leur

produit vectoriel est un vecteur normal.

Lien avec les équations cartésiennes

Équation cartésienne

Un plan consiste en les points (x1,x2,x3) vérifiantax1 + bx2 + cx3 +d = 0

pour certaines constantes a ,b ,c ,d . De manière équivalente :a(x1 − p1)+ b(x2 − p2)+ c(x3 − p3) = 0

où p= (p1,p2,p3) est un point du plan.

Équation cartésienne, version 2

Un plan passant par p est l’ensemble des points x= (x1,x2,x3) vérifiant⟨x−p,−→n

⟩= 0

pour un certain vecteur −→n = (a ,b ,c) : le vecteur normal (pour dire« perpendiculaire »).

Résultat

Si −→v = (v1,v2,v3) et−→w sont deux vecteurs directeurs, alors leur

produit vectoriel est un vecteur normal.

Lien avec les équations cartésiennes

Lien avec les équations cartésiennes

Un exercice d’application

Question

Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?

Réponse

Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan. Par exemple le vecteur

−−→bc :

−−→bc = c−b= (0,−1,2).

Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur

−−→bc : c’est-à-dire si et seulement si

〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.Ceci donne l’équation: −y +2z = 0, soit:

y = 2z .

Lien avec les équations cartésiennes

Un exercice d’application

Question

Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?

Réponse

Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan.

Par exemple le vecteur−−→bc :

−−→bc = c−b= (0,−1,2).

Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur

−−→bc : c’est-à-dire si et seulement si

〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.Ceci donne l’équation: −y +2z = 0, soit:

y = 2z .

Lien avec les équations cartésiennes

Un exercice d’application

Question

Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?

Réponse

Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan. Par exemple le vecteur

−−→bc :

−−→bc = c−b= (0,−1,2).

Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur

−−→bc : c’est-à-dire si et seulement si

〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.Ceci donne l’équation: −y +2z = 0, soit:

y = 2z .

Lien avec les équations cartésiennes

Un exercice d’application

Question

Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?

Réponse

Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan. Par exemple le vecteur

−−→bc :

−−→bc = c−b= (0,−1,2).

Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur

−−→bc :

c’est-à-dire si et seulement si〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.

Ceci donne l’équation: −y +2z = 0, soit:y = 2z .

Lien avec les équations cartésiennes

Un exercice d’application

Question

Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?

Réponse

Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan. Par exemple le vecteur

−−→bc :

−−→bc = c−b= (0,−1,2).

Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur

−−→bc : c’est-à-dire si et seulement si

〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.

Ceci donne l’équation: −y +2z = 0, soit:y = 2z .

Lien avec les équations cartésiennes

Un exercice d’application

Question

Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?

Réponse

Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan. Par exemple le vecteur

−−→bc :

−−→bc = c−b= (0,−1,2).

Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur

−−→bc : c’est-à-dire si et seulement si

〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.Ceci donne l’équation:

−y +2z = 0, soit:y = 2z .

Lien avec les équations cartésiennes

Un exercice d’application

Question

Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?

Réponse

Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan. Par exemple le vecteur

−−→bc :

−−→bc = c−b= (0,−1,2).

Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur

−−→bc : c’est-à-dire si et seulement si

〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.Ceci donne l’équation: −y +2z = 0, soit:

y = 2z .

Lien avec les équations cartésiennes

Un exercice d’application

Question

Quelle est l’équation du plan (P) de R3 passant par a = (1,4,2) etperpendiculaire à la droite passant par les points b = (1,2,−1) etc = (1,1,1)?

Réponse

Étape 1: on calcule un vecteur directeur de la droite (bc), qui seradonc un vecteur normal au plan. Par exemple le vecteur

−−→bc :

−−→bc = c−b= (0,−1,2).

Étape 2: Un point p= (x ,y ,z) appartient au plan (P) si et seulement si−−→ap est orthogonal au vecteur

−−→bc : c’est-à-dire si et seulement si

〈(x −1,y −4,z −2),(0,−1,2)〉= 0.Ceci donne l’équation: −y +2z = 0, soit:

y = 2z .

Distances

Contenu de la section

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Distances

Projection Orthogonale

Définition

La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par

−→p =

⟨−→v ,−→w⟩

‖w‖2−→w .

La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .

Preuve de la remarque.

Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w

⟩= 0 ⇐⇒

⟨−→v ,−→w⟩=

⟨k −→w ,−→w

⟩= k

∥∥∥−→w ∥∥∥2

Distances

Projection Orthogonale

Définition

La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par

−→p =

⟨−→v ,−→w⟩

‖w‖2−→w .

La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .

Preuve de la remarque.

Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w

⟩= 0 ⇐⇒

⟨−→v ,−→w⟩=

⟨k −→w ,−→w

⟩= k

∥∥∥−→w ∥∥∥2

Distances

Projection Orthogonale

Définition

La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par

−→p =

⟨−→v ,−→w⟩

‖w‖2−→w .

La projection orthogonale de −→v sur −→w est

l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .

Preuve de la remarque.

Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w

⟩= 0 ⇐⇒

⟨−→v ,−→w⟩=

⟨k −→w ,−→w

⟩= k

∥∥∥−→w ∥∥∥2

Distances

Projection Orthogonale

Définition

La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par

−→p =

⟨−→v ,−→w⟩

‖w‖2−→w .

La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .

Preuve de la remarque.

Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w

⟩= 0 ⇐⇒

⟨−→v ,−→w⟩=

⟨k −→w ,−→w

⟩= k

∥∥∥−→w ∥∥∥2

Distances

Projection Orthogonale

Définition

La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par

−→p =

⟨−→v ,−→w⟩

‖w‖2−→w .

La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .

Preuve de la remarque.

Soit −→p = k −→w pour un certain k .

On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w⟩= 0 ⇐⇒

⟨−→v ,−→w⟩=

⟨k −→w ,−→w

⟩= k

∥∥∥−→w ∥∥∥2

Distances

Projection Orthogonale

Définition

La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par

−→p =

⟨−→v ,−→w⟩

‖w‖2−→w .

La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .

Preuve de la remarque.

Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :

⟨−→v − −→p ,−→w⟩= 0 ⇐⇒

⟨−→v ,−→w⟩=

⟨k −→w ,−→w

⟩= k

∥∥∥−→w ∥∥∥2

Distances

Projection Orthogonale

Définition

La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par

−→p =

⟨−→v ,−→w⟩

‖w‖2−→w .

La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .

Preuve de la remarque.

Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w

⟩= 0 ⇐⇒

⟨−→v ,−→w⟩=

⟨k −→w ,−→w

⟩= k

∥∥∥−→w ∥∥∥2

Distances

Projection Orthogonale

Définition

La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par

−→p =

⟨−→v ,−→w⟩

‖w‖2−→w .

La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .

Preuve de la remarque.

Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w

⟩= 0 ⇐⇒

⟨−→v ,−→w⟩=

⟨k −→w ,−→w

⟩= k

∥∥∥−→w ∥∥∥2

Distances

Projection Orthogonale

Définition

La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par

−→p =

⟨−→v ,−→w⟩

‖w‖2−→w .

La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .

Preuve de la remarque.

Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w

⟩= 0 ⇐⇒

⟨−→v ,−→w⟩=

⟨k −→w ,−→w

⟩=

k∥∥∥−→w ∥∥∥2

Distances

Projection Orthogonale

Définition

La projection orthogonale d’un vecteur −→v sur un vecteur −→w estdonnée par

−→p =

⟨−→v ,−→w⟩

‖w‖2−→w .

La projection orthogonale de −→v sur −→w est l’unique vecteur −→p de laforme −→p = k −→w tel que −→v − −→p est orthogonal à −→w .

Preuve de la remarque.

Soit −→p = k −→w pour un certain k .On écrit que −→v − −→p est orthogonal à −→w et la valeur de k en découle :⟨−→v − −→p ,−→w

⟩= 0 ⇐⇒

⟨−→v ,−→w⟩=

⟨k −→w ,−→w

⟩= k

∥∥∥−→w ∥∥∥2

Distances

Distances point-droite et point-plan

Nous savons que la distance entre deux points p et q dans Rn est lanorme ‖q−p‖. Notons d(p,q) cette quantité.

Définition

Soit p un point de Rn et E un sous-ensemble de Rn (par exemple unedroite de Rn ou un plan). La distance entre le point p et E est

d(p,E) := min {d(p,q) t.q. q ∈ E } .

Autrement dit: on regarde tous les points q de E , on calcule leurdistance à p , et on garde la plus petite de ces distances.

Distances

Distances point-droite et point-plan

Nous savons que la distance entre deux points p et q dans Rn est lanorme ‖q−p‖. Notons d(p,q) cette quantité.

Définition

Soit p un point de Rn et E un sous-ensemble de Rn (par exemple unedroite de Rn ou un plan).

La distance entre le point p et E estd(p,E) := min {d(p,q) t.q. q ∈ E } .

Autrement dit: on regarde tous les points q de E , on calcule leurdistance à p , et on garde la plus petite de ces distances.

Distances

Distances point-droite et point-plan

Nous savons que la distance entre deux points p et q dans Rn est lanorme ‖q−p‖. Notons d(p,q) cette quantité.

Définition

Soit p un point de Rn et E un sous-ensemble de Rn (par exemple unedroite de Rn ou un plan). La distance entre le point p et E est

d(p,E) := min {d(p,q) t.q. q ∈ E } .

Autrement dit: on regarde tous les points q de E , on calcule leurdistance à p , et on garde la plus petite de ces distances.

Distances

Distances point-droite et point-plan

Nous savons que la distance entre deux points p et q dans Rn est lanorme ‖q−p‖. Notons d(p,q) cette quantité.

Définition

Soit p un point de Rn et E un sous-ensemble de Rn (par exemple unedroite de Rn ou un plan). La distance entre le point p et E est

d(p,E) := min {d(p,q) t.q. q ∈ E } .

Autrement dit: on regarde tous les points q de E , on calcule leurdistance à p , et on garde la plus petite de ces distances.

Distances

Distance point-droite

RésultatLa distance entre le point p et la droite passant par q de vecteurdirecteur −→v est donnée par

‖q−p‖2 −

(⟨(p−q),−→v

⟩)2

∥∥∥−→v ∥∥∥2.

Le point de la droite réalisant ce minimum est donné par la projectionorthogonale p′ de p sur la droite :

p′ = q+

⟨(p−q),−→v

⟩∥∥∥−→v ∥∥∥2

−→v .

Distances

Distance point-droite

RésultatLa distance entre le point p et la droite passant par q de vecteurdirecteur −→v est donnée par

‖q−p‖2 −

(⟨(p−q),−→v

⟩)2

∥∥∥−→v ∥∥∥2.

Le point de la droite réalisant ce minimum est donné par la projectionorthogonale p′ de p sur la droite :

p′ = q+

⟨(p−q),−→v

⟩∥∥∥−→v ∥∥∥2

−→v .

Distances

Démonstration.Trouver le minimum de la distance revient à trouver le minimum ducarré de la distance et puis à en prendre la racine carrée ;donc il fauttrouver le minimum de f définie par f(t) =

∥∥∥q+ t −→v −p∥∥∥2

, ceci car toutpoint de la droite s’écrit q+ t −→v avec t ∈R. Or

f(t) = ‖q−p‖2 +2t⟨(q−p),−→v

⟩+ t2

∥∥∥−→v ∥∥∥2

est un polynôme du second degré en t dont le minimum se calculefacilement.

Distances

Démonstration.Trouver le minimum de la distance revient à trouver le minimum ducarré de la distance et puis à en prendre la racine carrée ;

donc il fauttrouver le minimum de f définie par f(t) =

∥∥∥q+ t −→v −p∥∥∥2

, ceci car toutpoint de la droite s’écrit q+ t −→v avec t ∈R. Or

f(t) = ‖q−p‖2 +2t⟨(q−p),−→v

⟩+ t2

∥∥∥−→v ∥∥∥2

est un polynôme du second degré en t dont le minimum se calculefacilement.

Distances

Démonstration.Trouver le minimum de la distance revient à trouver le minimum ducarré de la distance et puis à en prendre la racine carrée ;donc il fauttrouver le minimum de f définie par f(t) =

∥∥∥q+ t −→v −p∥∥∥2

, ceci car toutpoint de la droite s’écrit q+ t −→v avec t ∈R.

Or

f(t) = ‖q−p‖2 +2t⟨(q−p),−→v

⟩+ t2

∥∥∥−→v ∥∥∥2

est un polynôme du second degré en t dont le minimum se calculefacilement.

Distances

Démonstration.Trouver le minimum de la distance revient à trouver le minimum ducarré de la distance et puis à en prendre la racine carrée ;donc il fauttrouver le minimum de f définie par f(t) =

∥∥∥q+ t −→v −p∥∥∥2

, ceci car toutpoint de la droite s’écrit q+ t −→v avec t ∈R. Or

f(t) = ‖q−p‖2 +2t⟨(q−p),−→v

⟩+ t2

∥∥∥−→v ∥∥∥2

est un polynôme du second degré en t dont le minimum se calculefacilement.

Distances

Et avec un vecteur normal?

RésultatLa distance entre le point p et la droite passant par q de vecteurnormal −→n est donnée par ∣∣∣∣⟨−→n ,(p−q)

⟩∣∣∣∣∥∥∥−→n ∥∥∥ .

En d’autres termes, si la droite a pour équationax + by + c = 0

la distance entre cette droite et le point p est|ap1 + bp2 + c |√a2 + b2

Cette distance est juste la longueur de la projection orthogonale de−−→pq sur −→n !.

Distances

Et avec un vecteur normal?

RésultatLa distance entre le point p et la droite passant par q de vecteurnormal −→n est donnée par ∣∣∣∣⟨−→n ,(p−q)

⟩∣∣∣∣∥∥∥−→n ∥∥∥ .

En d’autres termes, si la droite a pour équationax + by + c = 0

la distance entre cette droite et le point p est|ap1 + bp2 + c |√a2 + b2

Cette distance est juste la longueur de la projection orthogonale de−−→pq sur −→n !.

Distances

Et avec un vecteur normal?

RésultatLa distance entre le point p et la droite passant par q de vecteurnormal −→n est donnée par ∣∣∣∣⟨−→n ,(p−q)

⟩∣∣∣∣∥∥∥−→n ∥∥∥ .

En d’autres termes, si la droite a pour équationax + by + c = 0

la distance entre cette droite et le point p est|ap1 + bp2 + c |√a2 + b2

Cette distance est juste la longueur de la projection orthogonale de−−→pq sur −→n !.

Distances

Résultat

La distance entre le point p et le plan de vecteur normal −→w = (a ,b ,c)passant par q est donnée par∣∣∣∣⟨−→w ,(p−q)

⟩∣∣∣∣∥∥∥−→w ∥∥∥ .

En d’autres termes, si le plan a pour équationax + by + cz +d = 0

la distance entre ce plan et le point p est|ap1 + bp2 + cp3 +d |√a2 + b2 + c2

Démonstration.Le vecteur ⟨−→w ,p−q

⟩∥∥∥−→w ∥∥∥2

−→w

est le projeté de p−q sur la droite normale au plan.

Distances

Résultat

La distance entre le point p et le plan de vecteur normal −→w = (a ,b ,c)passant par q est donnée par∣∣∣∣⟨−→w ,(p−q)

⟩∣∣∣∣∥∥∥−→w ∥∥∥ .

En d’autres termes, si le plan a pour équationax + by + cz +d = 0

la distance entre ce plan et le point p est|ap1 + bp2 + cp3 +d |√a2 + b2 + c2

Démonstration.Le vecteur ⟨−→w ,p−q

⟩∥∥∥−→w ∥∥∥2

−→w

est le projeté de p−q sur la droite normale au plan.

Distances

Résultat

La distance entre le point p et le plan de vecteur normal −→w = (a ,b ,c)passant par q est donnée par∣∣∣∣⟨−→w ,(p−q)

⟩∣∣∣∣∥∥∥−→w ∥∥∥ .

En d’autres termes, si le plan a pour équationax + by + cz +d = 0

la distance entre ce plan et le point p est|ap1 + bp2 + cp3 +d |√a2 + b2 + c2

Démonstration.Le vecteur ⟨−→w ,p−q

⟩∥∥∥−→w ∥∥∥2

−→w

est le projeté de p−q sur la droite normale au plan.

Fonctions réciproques

Contenu de la section

1 Fonctions réciproques

Fonctions réciproques Diagrames de Venn

Contenu de la section

1 Fonctions réciproquesDiagrames de VennFonctions réciproquesFonctions trigonométriques réciproques

Fonctions réciproques Diagrames de Venn

Diagrammes de Venn

Si A et B sont des ensembles, on définit les trois opérations :Intersection A ∩B = {x t.q. x ∈ A et x ∈ B }

Union A ∪B = {x t.q. x ∈ A ou x ∈ B }Différence A \B = {x t.q. x ∈ A et x < B }

On peut représenter les opérations sur des diagrammes appelésdiagrames de Venn.

Fonctions réciproques Diagrames de Venn

Diagrammes de Venn

Si A et B sont des ensembles, on définit les trois opérations :Intersection A ∩B = {x t.q. x ∈ A et x ∈ B }

Union A ∪B = {x t.q. x ∈ A ou x ∈ B }Différence A \B = {x t.q. x ∈ A et x < B }

On peut représenter les opérations sur des diagrammes appelésdiagrames de Venn.

Fonctions réciproques Diagrames de Venn

ExerciceVoici deux diagrammes de Venn :

A B

A B

C

Que représentent-ils?

Réponse : A ∩B et A \ (B ∪C)

Fonctions réciproques Diagrames de Venn

ExerciceVoici deux diagrammes de Venn :

A B

A B

C

Que représentent-ils?

Réponse : A ∩B et A \ (B ∪C)

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Contenu de la section

1 Fonctions réciproquesDiagrames de VennFonctions réciproquesFonctions trigonométriques réciproques

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Réciproque

DéfinitionUne fonction f : A → B

est inversible si il existe une fonction g : B → Atelle que

g(f(x)) = x ∀x ∈ A et f(g(y)) = y ∀y ∈ B .La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et senote f−1.

Remarque

Attention à ne pas confondre f−1(x) avec f(x)−1 B 1/f(x) ! Parexemple, les fonctions

f :R0 =R\{0} →R0 : x 7→ x et g :R0→R0 : x 7→ 1x

vérifient f(x)−1 = g(x) pour tout x ∈R0, par contre f−1 = f et g−1 = g(exercice facile).

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Réciproque

DéfinitionUne fonction f : A → B est inversible si il existe une fonction g : B → Atelle que

g(f(x)) = x ∀x ∈ A et f(g(y)) = y ∀y ∈ B .La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et senote f−1.

Remarque

Attention à ne pas confondre f−1(x) avec f(x)−1 B 1/f(x) ! Parexemple, les fonctions

f :R0 =R\{0} →R0 : x 7→ x et g :R0→R0 : x 7→ 1x

vérifient f(x)−1 = g(x) pour tout x ∈R0, par contre f−1 = f et g−1 = g(exercice facile).

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Réciproque

DéfinitionUne fonction f : A → B est inversible si il existe une fonction g : B → Atelle que

g(f(x)) = x ∀x ∈ A

et f(g(y)) = y ∀y ∈ B .La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et senote f−1.

Remarque

Attention à ne pas confondre f−1(x) avec f(x)−1 B 1/f(x) ! Parexemple, les fonctions

f :R0 =R\{0} →R0 : x 7→ x et g :R0→R0 : x 7→ 1x

vérifient f(x)−1 = g(x) pour tout x ∈R0, par contre f−1 = f et g−1 = g(exercice facile).

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Réciproque

DéfinitionUne fonction f : A → B est inversible si il existe une fonction g : B → Atelle que

g(f(x)) = x ∀x ∈ A et f(g(y)) = y ∀y ∈ B .La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et senote f−1.

Remarque

Attention à ne pas confondre f−1(x) avec f(x)−1 B 1/f(x) ! Parexemple, les fonctions

f :R0 =R\{0} →R0 : x 7→ x et g :R0→R0 : x 7→ 1x

vérifient f(x)−1 = g(x) pour tout x ∈R0, par contre f−1 = f et g−1 = g(exercice facile).

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Réciproque

DéfinitionUne fonction f : A → B est inversible si il existe une fonction g : B → Atelle que

g(f(x)) = x ∀x ∈ A et f(g(y)) = y ∀y ∈ B .La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et senote f−1.

Remarque

Attention à ne pas confondre f−1(x) avec f(x)−1 B 1/f(x) !

Parexemple, les fonctions

f :R0 =R\{0} →R0 : x 7→ x et g :R0→R0 : x 7→ 1x

vérifient f(x)−1 = g(x) pour tout x ∈R0, par contre f−1 = f et g−1 = g(exercice facile).

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Réciproque

DéfinitionUne fonction f : A → B est inversible si il existe une fonction g : B → Atelle que

g(f(x)) = x ∀x ∈ A et f(g(y)) = y ∀y ∈ B .La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et senote f−1.

Remarque

Attention à ne pas confondre f−1(x) avec f(x)−1 B 1/f(x) ! Parexemple, les fonctions

f :R0 =R\{0} →R0 : x 7→ x et g :R0→R0 : x 7→ 1x

vérifient f(x)−1 = g(x) pour tout x ∈R0,

par contre f−1 = f et g−1 = g(exercice facile).

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Réciproque

DéfinitionUne fonction f : A → B est inversible si il existe une fonction g : B → Atelle que

g(f(x)) = x ∀x ∈ A et f(g(y)) = y ∀y ∈ B .La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et senote f−1.

Remarque

Attention à ne pas confondre f−1(x) avec f(x)−1 B 1/f(x) ! Parexemple, les fonctions

f :R0 =R\{0} →R0 : x 7→ x et g :R0→R0 : x 7→ 1x

vérifient f(x)−1 = g(x) pour tout x ∈R0, par contre f−1 = f et g−1 = g(exercice facile).

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Résultat1 Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.

2 Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autrestermes, (

f−1)−1

= f .

Démonstration.

Si f est inversible (d’inverse g), alors f est

injective car f(x) = f(y) implique x = g(f(x)) = g(f(y)) = y .surjective car si z ∈ B , alors g(z) est un antécédent de z.

Si f est bijective, alors pour tout z ∈ B il existe un (surjectivité) unique(injectivité) antécédent.

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Résultat1 Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.2 Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autres

termes, (f−1

)−1= f .

Démonstration.

Si f est inversible (d’inverse g), alors f est

injective car f(x) = f(y) implique x = g(f(x)) = g(f(y)) = y .surjective car si z ∈ B , alors g(z) est un antécédent de z.

Si f est bijective, alors pour tout z ∈ B il existe un (surjectivité) unique(injectivité) antécédent.

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Résultat1 Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.2 Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autres

termes, (f−1

)−1= f .

Démonstration.

Si f est inversible (d’inverse g)

, alors f est

injective car f(x) = f(y) implique x = g(f(x)) = g(f(y)) = y .surjective car si z ∈ B , alors g(z) est un antécédent de z.

Si f est bijective, alors pour tout z ∈ B il existe un (surjectivité) unique(injectivité) antécédent.

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Résultat1 Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.2 Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autres

termes, (f−1

)−1= f .

Démonstration.

Si f est inversible (d’inverse g), alors f estinjective car f(x) = f(y) implique x = g(f(x)) = g(f(y)) = y .

surjective car si z ∈ B , alors g(z) est un antécédent de z.Si f est bijective, alors pour tout z ∈ B il existe un (surjectivité) unique(injectivité) antécédent.

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Résultat1 Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.2 Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autres

termes, (f−1

)−1= f .

Démonstration.

Si f est inversible (d’inverse g), alors f estinjective car f(x) = f(y) implique x = g(f(x)) = g(f(y)) = y .surjective car si z ∈ B , alors g(z) est un antécédent de z.

Si f est bijective, alors pour tout z ∈ B il existe un (surjectivité) unique(injectivité) antécédent.

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Résultat1 Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.2 Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autres

termes, (f−1

)−1= f .

Démonstration.

Si f est inversible (d’inverse g), alors f estinjective car f(x) = f(y) implique x = g(f(x)) = g(f(y)) = y .surjective car si z ∈ B , alors g(z) est un antécédent de z.

Si f est bijective, alors pour tout z ∈ B il existe un (surjectivité) unique(injectivité) antécédent.

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Résultat1 Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.2 Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autres

termes, (f−1

)−1= f .

Démonstration.

Si f est inversible (d’inverse g), alors f estinjective car f(x) = f(y) implique x = g(f(x)) = g(f(y)) = y .surjective car si z ∈ B , alors g(z) est un antécédent de z.

Si f est bijective, alors pour tout z ∈ B il existe un (surjectivité) unique(injectivité) antécédent.

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Graphe de la réciproque

Le résultat précédent montre qu’une fonction f : A → B est inversiblesi et seulement si pour tout y ∈ B , il existe un et un seul x ∈ A tel quey = f(x).

C’est cette valeur de x qui est notée f−1(x). Ou encore:

lorsque f est inversible, y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y).

Dès lors: si f : A → B est bijective, alors le graphe de sa réciproquef−1 : B → A peut s’obtenir en prenant l’image du graphe de f par unesymétrie d’axe x = y . En effet,

Γf−1 = {(y ,f−1(y)) ∈R2 t.q. y ∈ B }= {(f(x),x) ∈R2 t.q. x ∈ A }

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Graphe de la réciproque

Le résultat précédent montre qu’une fonction f : A → B est inversiblesi et seulement si pour tout y ∈ B , il existe un et un seul x ∈ A tel quey = f(x). C’est cette valeur de x qui est notée f−1(x).

Ou encore:

lorsque f est inversible, y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y).

Dès lors: si f : A → B est bijective, alors le graphe de sa réciproquef−1 : B → A peut s’obtenir en prenant l’image du graphe de f par unesymétrie d’axe x = y . En effet,

Γf−1 = {(y ,f−1(y)) ∈R2 t.q. y ∈ B }= {(f(x),x) ∈R2 t.q. x ∈ A }

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Graphe de la réciproque

Le résultat précédent montre qu’une fonction f : A → B est inversiblesi et seulement si pour tout y ∈ B , il existe un et un seul x ∈ A tel quey = f(x). C’est cette valeur de x qui est notée f−1(x). Ou encore:

lorsque f est inversible, y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y).

Dès lors: si f : A → B est bijective, alors le graphe de sa réciproquef−1 : B → A peut s’obtenir en prenant l’image du graphe de f par unesymétrie d’axe x = y . En effet,

Γf−1 = {(y ,f−1(y)) ∈R2 t.q. y ∈ B }= {(f(x),x) ∈R2 t.q. x ∈ A }

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Graphe de la réciproque

Le résultat précédent montre qu’une fonction f : A → B est inversiblesi et seulement si pour tout y ∈ B , il existe un et un seul x ∈ A tel quey = f(x). C’est cette valeur de x qui est notée f−1(x). Ou encore:

lorsque f est inversible, y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y).

Dès lors: si f : A → B est bijective, alors le graphe de sa réciproquef−1 : B → A peut s’obtenir en prenant l’image du graphe de f par unesymétrie d’axe x = y . En effet,

Γf−1 = {(y ,f−1(y)) ∈R2 t.q. y ∈ B }= {(f(x),x) ∈R2 t.q. x ∈ A }

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Exemple: logarithme et exponentielle

ln (logarithme népérien) est la fonction réciproque de l’exponentiellex 7→ exp(x) car: ∀x ∈R,∀y > 0,

exp(x) = y ⇐⇒ x = ln(y).

Fonctions réciproques Fonctions réciproques

Exemple: logarithme et exponentielle

ln (logarithme népérien) est la fonction réciproque de l’exponentiellex 7→ exp(x) car: ∀x ∈R,∀y > 0,

exp(x) = y ⇐⇒ x = ln(y).

Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques

Contenu de la section

1 Fonctions réciproquesDiagrames de VennFonctions réciproquesFonctions trigonométriques réciproques

Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques

Arcsinus

La fonction sin : [−π2,π

2]→ [−1,1] possède une réciproque notée :

arcsin : [−1,1]→[−π

2,π

2

]

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

Fig.: Graphes de sin et arcsin

Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques

Attention: Il est faux de dire que sin :R→ [−1,1] admet une fonctionréciproque!

La fonction sin admet une réciproque seulement sur unintervalle où elle est inversible, c’est-à-dire sur un intervalle où toutélément de l’image a exactement un antécédent.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

Graphes de sin et arcsinDe la même manière: sin n’est pas bijective (= inversible) sur [−π,π]!

Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques

Attention: Il est faux de dire que sin :R→ [−1,1] admet une fonctionréciproque! La fonction sin admet une réciproque seulement sur unintervalle où elle est inversible,

c’est-à-dire sur un intervalle où toutélément de l’image a exactement un antécédent.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

Graphes de sin et arcsinDe la même manière: sin n’est pas bijective (= inversible) sur [−π,π]!

Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques

Attention: Il est faux de dire que sin :R→ [−1,1] admet une fonctionréciproque! La fonction sin admet une réciproque seulement sur unintervalle où elle est inversible, c’est-à-dire sur un intervalle où toutélément de l’image a exactement un antécédent.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

Graphes de sin et arcsinDe la même manière: sin n’est pas bijective (= inversible) sur [−π,π]!

Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques

Attention: Il est faux de dire que sin :R→ [−1,1] admet une fonctionréciproque! La fonction sin admet une réciproque seulement sur unintervalle où elle est inversible, c’est-à-dire sur un intervalle où toutélément de l’image a exactement un antécédent.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

Graphes de sin et arcsinDe la même manière: sin n’est pas bijective (= inversible) sur [−π,π]!

Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques

Arccosinus

La réciproque de cos : [0,π]→ [−1,1] estarccos : [−1,1]→ [0,π]

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

Fonctions réciproques Fonctions trigonométriques réciproques

Arctangente

La réciproque de tg :]−π

2,π

2

[→ ]−∞,∞[ est

arctg : ]−∞,∞[→]−π

2,π

2

[

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3

-2

-1

1

2

3

On peut aussi définir la réciproque de cotg : ]0,π[→ ]−∞,∞[.

Questions d’examen potentielles

Contenu de la section

2 Questions d’examen potentielles

Questions d’examen potentielles

Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)

Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices

Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:

Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.

Questions d’examen potentielles

Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)

Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)

Le contenu des séances d’exercicesNe seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:

Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.

Questions d’examen potentielles

Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)

Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices

Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:

Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.

Questions d’examen potentielles

Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)

Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices

Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices.

L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:

Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.

Questions d’examen potentielles

Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)

Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices

Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris.

Précisons:

Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.

Questions d’examen potentielles

Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)

Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices

Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:

Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours.

Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.

Questions d’examen potentielles

Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)

Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices

Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:

Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.

Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.

Questions d’examen potentielles

Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)

Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices

Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:

Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen!

Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.

Questions d’examen potentielles

Exigences pour les examens (interro de Novembre etexamen de Janvier)

Le programme de l’examen se base sur:Le contenu du cours (slides en priorité et syllabus en support)Le contenu des séances d’exercices

Ne seront exigées à l’examen que des choses du même type quecelles vues en cours ou en exercices. L’objectif n’est pas de vouspiéger, mais de vérifier que vous avez compris. Précisons:

Les questions théoriques de l’examen ne porteront que sur desdémonstrations ou des notions vues en cours. Si unedémonstration/définition est dans le syllabus mais n’a pas étévue en cours, elle ne sera pas demandée.Le contenu des séances d’exercice est complémentaire au courset sera exigé à l’examen! Vous verrez en TP des méthodes (ouapplications des résultats du cours) non vues en cours qu’ilfaudra connaître pour l’examen.

Questions d’examen potentielles Questions théoriques

Contenu de la section

2 Questions d’examen potentiellesQuestions théoriquesExercices-types de l’interro de Novembre

Questions d’examen potentielles Questions théoriques

Exemple de questions théoriques POSSIBLES:

La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!

Prouver par récurrence que∑n

k=1 k =n(n+1)

2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.

Questions d’examen potentielles Questions théoriques

Exemple de questions théoriques POSSIBLES:

La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!

Prouver par récurrence que∑n

k=1 k =n(n+1)

2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.

Questions d’examen potentielles Questions théoriques

Exemple de questions théoriques POSSIBLES:

La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!

Prouver par récurrence que∑n

k=1 k =n(n+1)

2 .

Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.

Questions d’examen potentielles Questions théoriques

Exemple de questions théoriques POSSIBLES:

La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!

Prouver par récurrence que∑n

k=1 k =n(n+1)

2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .

Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.

Questions d’examen potentielles Questions théoriques

Exemple de questions théoriques POSSIBLES:

La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!

Prouver par récurrence que∑n

k=1 k =n(n+1)

2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.

De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.

Questions d’examen potentielles Questions théoriques

Exemple de questions théoriques POSSIBLES:

La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!

Prouver par récurrence que∑n

k=1 k =n(n+1)

2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?

Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.

Questions d’examen potentielles Questions théoriques

Exemple de questions théoriques POSSIBLES:

La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!

Prouver par récurrence que∑n

k=1 k =n(n+1)

2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.

Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.

Questions d’examen potentielles Questions théoriques

Exemple de questions théoriques POSSIBLES:

La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!

Prouver par récurrence que∑n

k=1 k =n(n+1)

2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)

Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.

Questions d’examen potentielles Questions théoriques

Exemple de questions théoriques POSSIBLES:

La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!

Prouver par récurrence que∑n

k=1 k =n(n+1)

2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?

Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.

Questions d’examen potentielles Questions théoriques

Exemple de questions théoriques POSSIBLES:

La liste définitive vous sera donnée avant l’examen!

Prouver par récurrence que∑n

k=1 k =n(n+1)

2 .Démontrer : si a < b et c < d , alors a + c < b +d .Écrire [−2,4[∪ ]−5,1] sous forme d’intervalle.De combien de manière peut on disposer k billes identiques dansdeux urnes?Définir la fonction racine carrée de x et donner son domaine dedéfinition.Définir ce qu’est une fonction croissante; donner un exemple etun contre-exemple)Définir le logarithme d’un nombre a en base b . À quellesconditions sur a et b ce logarithme existe-t-il?Donner et prouver la formule de Cauchy-Schwarz.etc.

Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre

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2 Questions d’examen potentiellesQuestions théoriquesExercices-types de l’interro de Novembre

Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre

Question

Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec les lettresTUVWXYZ sans utiliser deux fois la même lettre?

Réponse

On peut choisir(7

5)

« tas » de 5 lettres parmi ces 7 lettres TUVWXYZ.Ensuite, chaque « tas » donne 5! mots possibles, cas les lettres sonttoutes distinctes. Solution: 5! ·

(75)= 7!

2 = 2520.

Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre

Question

Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec les lettresTUVWXYZ sans utiliser deux fois la même lettre?

Réponse

On peut choisir(7

5)

« tas » de 5 lettres parmi ces 7 lettres TUVWXYZ.

Ensuite, chaque « tas » donne 5! mots possibles, cas les lettres sonttoutes distinctes. Solution: 5! ·

(75)= 7!

2 = 2520.

Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre

Question

Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec les lettresTUVWXYZ sans utiliser deux fois la même lettre?

Réponse

On peut choisir(7

5)

« tas » de 5 lettres parmi ces 7 lettres TUVWXYZ.Ensuite, chaque « tas » donne 5! mots possibles, cas les lettres sonttoutes distinctes.

Solution: 5! ·(7

5)= 7!

2 = 2520.

Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre

Question

Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec les lettresTUVWXYZ sans utiliser deux fois la même lettre?

Réponse

On peut choisir(7

5)

« tas » de 5 lettres parmi ces 7 lettres TUVWXYZ.Ensuite, chaque « tas » donne 5! mots possibles, cas les lettres sonttoutes distinctes. Solution: 5! ·

(75)= 7!

2 = 2520.

Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre

Question

Que vaut sin(−7π6 )?

Réponse

On ecrit que:

sin(− 7π

6

)= − sin

(7π6

)= − sin

(π+

π

6

)= sin

(π

6

)=

12.

Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre

Question

Que vaut sin(−7π6 )?

Réponse

On ecrit que:

sin(− 7π

6

)=

− sin(7π

6

)= − sin

(π+

π

6

)= sin

(π

6

)=

12.

Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre

Question

Que vaut sin(−7π6 )?

Réponse

On ecrit que:

sin(− 7π

6

)= − sin

(7π6

)=

− sin(π+

π

6

)= sin

(π

6

)=

12.

Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre

Question

Que vaut sin(−7π6 )?

Réponse

On ecrit que:

sin(− 7π

6

)= − sin

(7π6

)= − sin

(π+

π

6

)=

sin(π

6

)=

12.

Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre

Question

Que vaut sin(−7π6 )?

Réponse

On ecrit que:

sin(− 7π

6

)= − sin

(7π6

)= − sin

(π+

π

6

)= sin

(π

6

)=

12.

Questions d’examen potentielles Exercices-types de l’interro de Novembre

Question

Que vaut sin(−7π6 )?

Réponse

On ecrit que:

sin(− 7π

6

)= − sin

(7π6

)= − sin

(π+

π

6

)= sin

(π

6

)=

12.