(Hitta) Esp Vectoriel Distributions

Espaces vectoriels topologiques

Distributions et EDP

Cours Master - 2008/2009

M. HITTA AmaraUniv. 8 Mai 1945

Guelma

12 Janvier 2009

Universite 8 Mai 1945 - Guelma

COURS - Master

Espaces Vectoriels Localement Convexes

Distributions, Espaces de Sobolev & E.d.p.

Mr HITTA AmaraEmail : [email protected]

2008-2009

Table des Matieres

1 Espaces vectoriels topologiques 5

1.1 Notations et Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Regularisation de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Partition de l’unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Semi-normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Topologie determinee par une famille de semi-normes . . . . . . . . . . . . 12

2 Espaces vectoriels localement convexes 15

2.1 Ensembles convexes, equilibres et absorbants . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Jauges ou fonctionnelles de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Applications et formes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Dualite dans les E.V.T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Topologie limite inductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6 Topologie des espaces de fonctions tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Distributions 31

3.1 Definitions et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Derivees partielles au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Multiplication des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Transformations de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.1 Translation d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.2 Symetrie d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.3 Changement d’echelle et distributions homogenes . . . . . . . . . . 47

Programme Master Mr HITTA Amara (2008/2009)

3.5 Topologies sur l’espace D′(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6 Topologies sur l’espace E′(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.7 Limites de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Convolutions de distributions 53

4.1 Produit tensoriel de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Convolution de deux distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.1 Motivation et definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.2 Proprietes de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.3 Solutions fondamentales de certaines equations aux derivees partielles 60

5 Transformations de Fourier, Espaces S et S′ 67

6 Espaces de Sobolev 69

6.1 L’integration par partie et derivations faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2 Espace de Sobolev H1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Chapitre 1Espaces vectoriels topologiques

1.1 Notations et Rappels

Etant donne un entier n ≥ 1, les elements de Nn sont appeles multi-indices. Pour α =

(α1, α2, · · · , αn) ∈ Nn le nombre |α| = α1 + · · · + αn est appele longueur du multi-indice

α. Pour k compris entre 1 et n, on note l’operateur de derivation par rapport a la k-ieme

variable par ∂k = ∂/∂xk et

∂α = ∂α11 · · ·∂αn

n =∂|α|

∂xα11 ∂x

α22 · · ·∂xαn

n

.

Soit k un entier superieur a 1. On dit que f : Ω → K est de classe Ck si toutes les

derivees partielles de f existent et sont continues jusqu’a l’ordre k. L’ordre dans lequel

sont effectuees les derivations est indifferent d’apres la theoreme de Schwarz. On note

Ck(Ω) l’ensemble des fonctions de classe Ck sur Ω.

On dit que f : Ω → K est de classe C∞ si elle est de classe Ck sur Ω pour chaque entier

k ≥ 1. On pose C∞(Ω) l’ensemble des fonctions de classe C∞ sur Ω, note d’apres Laurent

Schwatrz, par

E(Ω) = C∞(Ω)

On a

C∞(Ω) ⊂ · · · ⊂ Ck(Ω) ⊂ · · · ⊂ C1(Ω) ⊂ C(Ω).

Nous rappelons que :

E(Ω) = C∞(Ω) =⋂

k≥0

Ck(Ω).


On designera par Lp(Ω) l’espace des fonctions de puissance p integrable a valeurs dans K.

Muni da la norme

‖f‖p =

[∫

Ω

|f(x)|pdx]

1p

,

l’espace Lp(Ω) est un espace de Banach. Si p ≥ 1, on designe par Lpℓoc(Ω) l’espace de

fonctions f ∈ Lpℓoc(K), pour tout compact K de Ω.

1.2 Regularisation de fonctions

Definition 1.2.1 Soit f une fonction reelle definie sur un ouvert Ω ⊂ Rn. On appelle

support de f l’ensemble

supp(f) = x ∈ Ω : f(x) 6= 0.

Le support de f est alors le plus petit ferme de Rn a l’exterieure duquel la fonction f est

nul.

On note par Ckc (Ω) l’ensemble des fonctions de Ck(Ω) qui sont a support compact dans Ω.

L’objectif est de construire des fonctions permettant, en particulier, de separer deux

fermes disjoints. Ces fonctions seront utilisees dans les techniques de convolution et de

regularisation de fonctions et de distributions.

Une fonction test (ou fonction d’essai) sur Ω est, par defintion, une fonction de classe

C∞ definie sur Ω a support compact dans Ω.

L’espace vectoriel de ces fonctions tests sur Ω, dans la notation de L. Schwartz, est

D(Ω) = C∞c (Ω).

Cet espace, equipe d’une topologie appropriee que l’on precisera, jouera un role important

dans la definition des distributions sur Ω.

La fonction suivante

ρ(x) =

exp

(

1

|x|2 − 1

)

si |x| ≤ 1

0 si |x| > 1.

est C∞ a support la boule fermee de centre 0 et de rayon 1 dans Rn, notee B1(0). En

divisant ρ par l’integrale de ρ sur Rn, on obtient une autre fonction C∞ de support B1(0),


notee α, telle que∫

Rn α(x)dx = 1. Pour tout ε > 0, on definit

αε(x) =1

εnα

(

x

ε

)

.

On voit clairement que :

① αε ∈ Cα

c(Rn).

② Le support de αε est Bε(0), boule fermee de centre 0 et de rayon ε.

③∫

Rn

αε(x)dx = 1.

A l’aide de la famille (αε)ε>0, on peut regulariser les Lp-fonctions discontinues c’est-a-dire

qu’on peut montrer qu’elles peuvent etre approchees par des fonctions tests. C’est la

vocation principale du theoreme qui suivra.

Definition 1.2.2 Une fonction f definie sur Ω est dite localement integrable sur Ω si f

est integrable (au sens de Lebesgue) sur chaque compact K ⊂ Ω.

Ainsi, f est localement integrable sur Ω si, pour tout compact K ⊂ Ω, le produit f.χK

est integrable sur Ω, ou χK est la fonction caracteristique de K, qui est egale a 1 sur K

et 0 a l’exterieure de K.

Definition 1.2.3 Soit f ∈ L1ℓoc(R

n) une fonction localement integrable sur Rn. La fonc-

tion

fε(x) =

∫

Rn

f(x − y)αε(y)dy =

∫

Rn

f(x)αε(x − y)dy

est dite la convolution de f par αε, notee par f ∗ αε ou αε ∗ f .

Theoreme 1.2.1 Soit f une fonction localement integrable sur Rn, alors

① La convolution fε est une fonction C∞ dans Rn.

② Si f est a support compact K, le support de fε est contenu dans un ε-voisinage

de K definie par Kε = K +Bε(0) =⋃

x∈K

Bε(x).

③ Si f est continue, alors la suite (fε)ε>0 converge uniformement vers f sur tout

compact de Rn.

④ Si f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p < +∞, alors la suite (fε)ε>0 converge vers f dans Lp(Rn).


Preuve :

① Comme l’integrale definissant fε(x) est prise sur des compacts de Rn donc on peut

deriver sous le signe integrale.

② Si x ∈ Rn et d(x,K) > ε alors x /∈ Kε = K + Bε(0). Donc, pour tout y ∈ K,

x − y /∈ Bε(0) = suppαε donc αε(x − y) = 0. Il s’en suit que l’integrale definissant

fε(x) vaut 0pour tout x /∈ suppfε, ce qui assure que le support de fε(x) est contenu

dans Kε.

③ Supposons que f est une fonction continue et fixons K ′ un compact quelconque de

Rn. Comme f est uniformement continue sur K ′, pour tout η > 0, il existe δ > 0

tel que |f(x− y) − f(x)| < η pour tout x ∈ K ′ et |y| < δ (y est dans un voisinage

de 0 dans R). En choisissant ε < δ il vient que

|fε(x) − f(x)| ≤∫

Rn

|f(x− y) − f(x)|αε(y)dy < η,

pour tout x ∈ K ′, ce qui montre que fε converge uniformement vers f sur K ′ lorsque

ε tend vers 0.

④ Supposons que f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p < +∞. D’apres le theoreme de densite, f peut etre

approchees dans Lp(Rn) par des fonctions continues a supports compacts. D’autre

part, en utilisant l’inegalite de Minkowski dans sa forme integrale on montre que si

f ∈ Lp(Rn) alors fε ∈ Lp(Rn) telle que ‖fε‖p ≤ ‖f‖p.

Soit η > 0 et g ∈ Cc(Rn) telle que ‖f − g‖p <

η3. Il s’ensuit que ‖fε − gε‖p ≤

‖f − g‖p <η3. Ecrivons

‖fε − f‖p ≤ ‖fε − gε‖p + ‖gε − g‖p + ‖g − f‖p.

Comme g est continue a support compact, alors d’apres ③, la suite (gε)ε>0 converge

uniformement vers g sur Rn, donc gε → g dans Lp(Rn). En choisissant ε assez petit,

on en deduit que ‖gε − g‖ < η

3. Finalement, on obtient ‖fε − f‖ < η.

Ce theoreme justifie la definition suivante :

Definition 1.2.4 La famille (αε)ε>0 est dite famille regularisante des fonctions definies

sur Rn. Si ε = i−1, la suite de fonctions

αi(x) = inα(ix), i = 1, 2, · · ·

est dite suite regularisante de fonctions.

Corollaire 1.2.5 Soit Ω un ouvert de Rn. L’espace C∞c (Ω) est un dense dans Lp(Ω),

1 ≤ p < +∞.


Corollaire 1.2.6 Soit K un compact de Ω. Il existe une fonction ϕ ∈ C∞c (Ω) telle que

0 ≤ ϕ ≤ 1 et ϕ = 1 dans K.

Preuve : Sans perdre de generalite, on peut supposer que Ω est borne. Soit d la dis-

tance entre K et la frontiere Fr(Ω) et posons Kd/3 le d/3-voisinage de K defini comme

precedemment. Il est facile de voir que la fonction ϕ = χd/3 ∗ αd/3 verifie ce qui est

demande dans l’enonce du corollaire.

Corollaire 1.2.7 Soient K1 et K2 deux compacts disjoints de l’ouvert Ω ⊂ Rn. Il exoste,

alors, une fonction ϕ ∈ D(Ω) telle que

ϕ(x) =

1 si x ∈ K1

−1 si x ∈ K2

et |ϕ(x)| ≤ 1 pour tout x ∈ Ω.

Preuve : Soient U1 et U2 deux ouverts disjoints de Ω contenant respectivement K1 et

K2. D’apres le corollaire precedent, il existe ϕ1 et ϕ2 ∈ D(Ω), telles que

ϕi ≡ 1 dans Ki, ϕi ∈ D(Ui), i ∈ 1, 2,

et 0 ≤ ϕi(x) ≤ 1, i ∈ 1, 2. La fonction cherchee sera definie par ϕ(x) = ϕ1(x) −ϕ2(x), ∀x ∈ Ω.

Avec la meme argumentation, on montre que, si K est sous-ensemble compact de Rn et si

V est un voisinage arbitraire de K, il existe une fonction ϕ ∈ C∞c (Ω) telle que 0 ≤ ϕ ≤ 1,

ϕ vaut 1 sur un voisinage de K et supp(ϕ) ⊂ V .

Theoreme 1.2.2 Soient R et r ∈ R tels que 0 < r < R. Notons par BR et BR−r deux

boules concentriques de rayons respectifs R et R−r. Il existe une fonction ϕ ∈ C∞c (Ω)

telle que :

② supp(ϕ) ⊂ BR,

② ϕ(x) = 1 sur BR−r,

③ pour tout p ∈ Nn: |∂pϕ(x)| ≤ C(p, n).r−|p|, ∀x ∈ Rn.

Preuve : Posons χ la fonction caracteristique de la boule concentrique de rayon R−(2r/3)

et definissons la fonction ϕ par

ϕ(x) = χ ∗ αd(x) =

∫

BR−(2r/3)

αd(x− y)dy =1

dn

∫

BR−(2r/3)

α

(

x− y

d

)

dy


avec d = r3. Il est clair que supp(ϕ) ⊂ BR et ϕ = 1 sur BR−r. Pour tout 1 ≤ i ≤ n, on a

∂iϕ(x) =d−1

dn

∫

BR−(2r/3)

∂α

∂xi

(

x− y

d

)

dy,

ainsi

|∂iϕ(x)| ≤ d−1

dn

∫

Rn

∂iα(y

d

)

dy = d−1

∫

Rn

∂iα(t)dt ≤ C(i, n).r−1.

Une preuve analogue nous donne ③.

1.3 Partition de l’unite

L’objectif est la construction de fonctions indefiniment differentiables et a support com-

pact permettant d’obtenir des proprietes globales de fonctions ou de distributions en

etudiant leurs proprietes locales.

Proposition 1.3.1 Soit K un compact de Rn et soit (Ui)ni=1 un recouvrement ouvert

de K. Il existe une famille de compacts (Ki)ni=1 tel que Ki ⊂ Ui pour tout i = 1, · · · , n

et

K =n⋃

i=1

Ki.

Preuve : Pour chaque x ∈ K soit rx > 1 tel que B(x, rx) ⊂ ⋂

x∈Ui

Ui. Alors, on a

K ⊂ ⋃

x∈K

B(x, rx). Il existe un nombre fini x1, · · · , xn ∈ K tel que K ⊂n⋃

j=1

B(xj , rxj).

Posons

Ki = K⋂

⋃

B(xj ,rxj )⊂Ui

B(xj , rxj)

.

Il est clair que Ki est un sous-ensemble compact deK et Ki ⊂ Ui. D’autre part, soit

x ∈ K, il existe i tel que x ∈ B(xi, rxi). Par ailleurs, il existe j0 tel que xi ∈ Uj0 et alors

B(xi0 , rxi0) ⊂ Uj0. Donc x ∈ Kj0 ⊂

n⋃

i=1

Ki.

Corollaire 1.3.1 [Partition de l’unite] Soient K un compact de Rn et (Ωi)1≤i≤n un

recouvrement fini de K. Il existe des fonctions ϕi ∈ C∞c (Ω) telles que :

① 0 ≤ ϕi ≤ 1, ②k∑

i=1

ϕi = 1 sur un voisinage de K.


Preuve : On peut trouver des compacts (Ki)1≤i≤n tel que Ki ⊂ Ωi et K ⊂n⋃

i=1

Ki , ou

Ki designe l’interieur de Ki. Pour tout i, posons ψi ∈ C∞

c (Ωi) telle que 0 ≤ ψi ≤ 1 et

ψi = 1 sur K. Definissons la suite que nous cherchons de la facon suivante

ϕ = ψ1, ϕi = ψi(1 − ψ1) · · · (1 − ψi−1), i = 2, · · · , n.

Il est facilement verifiable que la suite de fonctions (ϕi)1≤i≤n verifie les proprietes de-

mandees.

Les espaces vectoriels consideres, dans la suite, ont pour corps de base K = R ou C.

1.4 Semi-normes

Definition 1.4.1 Soit E un K-espace vectoriels. On dit qu’une application p : E → R

est une semi-norme si, pour chaque x, y ∈ E et λ ∈ K, on a :

① p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ② p(λx) = |λ|p(x).

Proposition 1.4.2 Soit E un K-espace vectoriel. Si p est une semi-norme sur E alors :

① p(0) = 0 ② p(x) ≥ 0 ③ |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y).

Preuve : On a p(0) = p(0x) = 0p(x) = 0, ce qui prouve ①. Montrons ③, pour x, y ∈ E,

la sous-additivite de p revele que

p(x) = p(x− y + y) ≤ p(x− y) + p(y),

donc p(x) − p(y) ≤ p(x− y). Cependant, par homogeniete de p on deduit que

p(x− y) = p[−(y − x)] = p(y − x) ≥ p(y) − p(x).

Ce qui prouve que p(x− y) ≥ |p(x) − p(y)|.

Exemple 1.4.1 Toute norme sur E est une semi norme.

Soit Ω un ouvert non vide de Rn. On note par KΩ l’ensemble des parties compactes de Ω.

Exemple 1.4.2 Considerons l’espace C(Ω) des fonctions continues sur Ω. Pour chaque

compact K ∈ KΩ, l’application pK

: C(Ω) → R definie, pour chaque f ∈ C(Ω), par

pK(f) = sup

x∈K|f(x)|.

est une semi-norme.


Exemple 1.4.3 Soit k ∈ N∗. Pour chaque K ∈ KΩ, l’application pK

: Ck(Ω) → R

definie pour chaque f ∈ Ck(Ω) par

pK(f) = sup

x∈K,|α|≤k

|∂αf(x)|.

est une semi-norme.

Exemple 1.4.4 Pour chaque k ∈ N∗ et chaque K ∈ KΩ, l’application pK

: C∞(Ω) →R definie pour chaque f ∈ C∞(Ω) par

pk,K

(f) = supx∈K,|α|≤k

|∂αf(x)|.

est une semi-norme.

Definition 1.4.3 On dit qu’une famille (pi)i∈I de semi-normes sur un espace vectoriel E

est separante si, pour chaque x ∈ E non nul, il existe i ∈ I tel que pi(x) > 1.

Exemple 1.4.5 Les familles de semi-normes definies precedemment sur les espaces

C(Ω), Ck(Ω) et C∞(Ω) sont separantes.

1.5 Topologie determinee par une famille de semi-

normes

Les types de convergence rencontres en analyse ne rentrent pas tous dans le cadre des

espaces normes, on peut citer par exemple la convergence simple sur un ensemblee infini,

la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes d’un ouvert ...

Soit E un espace vectoriel et (pi)i∈I une famille separante de semi-normes sur E. Etant

donnes un element x0 ∈ E, un sous-ensemble fini non vide In de I et un reel r > 0, on

note

Vn(x0, r) = y ∈ E : maxi∈In

pi(x0 − y) < r.

Definition 1.5.1 On dit qu’un sous-ensemble O de E est ouvert s’il est vide ou bien si,

pour chaque x0 ∈ O, il existe un sous-ensemble fini non vide In de I et un reel r > 0 tels

que Vn(x0, r) ⊂ O.


Les ensembles de la forme Vn(x0, r) sont des ouverts et jouent un role analogue a celui

des boules ouvertes dans les espaces metriques.

Les sous-ensembles de E de la forme :

Vn(x0, r) = x ∈ E : maxi∈In

pi(x0 − x) ≤ r

sont des fermes et jouent un role analogue a celui des boules fermees dans les espaces

metriques.

Definition 1.5.2 On appelle topologie sur E determinee par la famille (pi)i∈I celle dont

les ouverts sont definis precedemment.

Proposition 1.5.3 La topologie determinee par une famille separante de semi-normes

(pi)i∈I est separee.

Preuve : Soient x, y ∈ E tels que x 6= y. Puisque (pi)i∈I est separante, il existe i0 ∈ I

tel que r = pi0(x − y) > 0. Alors Vi0(

x, r2

)

et Vi0(

y, r2

)

sont deux ouverts disjoints

contenant separement x et y.

Definition 1.5.4 Un espace vectoriel E muni d’une topologie T est un espace vectoriel

topologique (E.v.t) si :

(Tvs 1) (x, y) → x+ y est une application continue de E × E dans E.

(Tvs 2) (λ, x) → λx de K × E dans E

sont continues.

Il est evident que dans les deux axiomes on considere la topologie produit dans des espaces

vectoriels produits.

La structure d’espace vectoriel de E est dite compatible avec la topologie T si les axiomes

(Tvs 1) et (Tvs 2) sont verifies.

Exemple 1.5.1 L’espace norme (E, ‖.‖) est un espace vectoriel topologique. En effet,

par definition

‖(x+ y) − (a + b)‖ ≤ ‖x− a‖ + ‖x− b‖.On a ‖(x+ y) − (a+ b)‖ ≤ ε des que

‖x− a‖ ≤ 1

2ε et ‖y − b‖ ≤ 1

2ε.

Ce qui prouve que (x, y) → x+ y est une application continue de E ×E dans E. D’autre

part, on a

ξx− λa = (ξ − λ)(x− a) + (ξ − λ)a+ λ(x− a);


• Si λ 6= 0 et a 6= 0 : ‖ξx− λa‖ < ε, des que

|ξ − λ| < min

(√

ε

3,

ε

3‖a‖

)

et ‖x− a‖ < min

(√

ε

3,ε

3|λ|

)

• Si λ = 0 et a 6= 0 : ‖ξx− λa‖ < ε, des que

|ξ| < min

(√

ε

3,

ε

3‖a‖

)

et ‖x− a‖ <√

ε

2

• Si λ 6= 0 et a = 0 : ‖ξx− λa‖ < ε, des que

|ξ − λ| <√

ε

3et ‖x‖ < min

(√

ε

2,

√

ε

2|λ|

)

• Si λ = 0 et a = 0 : ‖ξx− λa‖ < ε, des que

|ξ| <√ε et ‖x‖ <

√ε.

Theoreme 1.5.1 Un espace vectoriel E muni de la topologie engendree par une

famille separante de semi-normes est un espace vectoriel topologique.

Preuve : Etablissons la continuite de l’addition en un point (a, b). Fixons un indice

i0 ∈ I et un reel ε > 0. Pour (x, y) ∈ E × E nous avons

pi0 [(x+ y) − (a + b)] ≤ pi0(x− a) + pi0(y − b).

Il s’en suit que pi0((x+y)− (a+b)) ≤ ε des que pi0(ϕ(x−a)) ≤ ε/2 et pi0(ϕ(y−b)) ≤ ε/2

d’ou la continuite de l’addition au point (a, b).

Pour la multiplication externe (λ, x) → λx, etablissons sa continuite en un point (α, a).

Fixons un indice i0 ∈ I et un reel ε > 0. Pour (λ, x) ∈ K × E, nous avons

pi0 [(λy) − (µa)] ≤ |λ− α|pi0(x) + |α|pi0(x− a).

Fixons un reel r > 0 tel que |α|r ≤ ε/2. Nous observons que pour x verifiant pi0(x−a) ≤ r

nous avons pi0(x) ≤ pi0(a) + r et donc |λ − α|pi0(x) ≤ |λ − α|(pi0(a) + r). Fixons alors

un reel η tel que η(pi0(a) + r) ≤ ε/2. Pour (λ, x) ∈ K × E verifiant |λ − α| ≤ η et

pi0(x − a) ≤ r nous avons pi0(λx − αa) ≤ ε, d’ou la continuite de la multiplication au

point (α, a).

On en deduit ainsi que :

① Les translations et les homotheties, de rapports 6= 0, sont des homeomorphismes.

② L’ensemble V(a) des voisinages d’un point a ∈ E est l’image par la translation τa de

l’ensembles des voisinage V(0) de 0. La topologie d’un espace vectoriel est connue

des que l’on connait les voisinages de 0 :

V(a) = τa (V(0)).

Chapitre 2Espaces vectoriels localement convexes

On va montrer qu’un espace vectoriel muni d’une famille separante de semi-normes est

un espace vectoriel topologique localement convexe.

Inversement, on montrera que tout espace vectoriel topologique localement convexe est

un espace vectoriel sur lequel on definit une famille separante de semi-normes.

2.1 Ensembles convexes, equilibres et absorbants

Definition 2.1.1 Soit A un sous-ensemble de E.

① A est convexe si, pour chaque x, y ∈ A et chaque λ ∈ [0, 1], on a λx+(1−λ)y ∈ A.

② A est equilibre si, pour chaque x ∈ A et chaque λ ∈ K : |λ| ≤ 1, on a λx ∈ A.

③ A est absorbant si, pour chaque x ∈ E et chaque λ ∈ K on a x ∈ λA.

④ A absorbe B ⊂ E, s’il existe λ ∈ R+ tel que B ⊂ λA.

⑤ A est absolument convexe s’il est convexe et equilibre.

Lemme 2.1.2 Si p est une semi-norme sur un espace vectoriel E, alors l’ensemble

B1 = x ∈ E : p(x) ≤ 1

est convexe, equilibre et absorbant.

Preuve : Soient x, y ∈ V et λ ∈ [0, 1]. Posons z = λx+ (1 − λ)y ∈ E, alors

p(z) = p(λx+ (1 − λ)y) = λp(x) + (1 − λ)p(y) ≤ λ+ (1 − λ) = 1.


Donc z ∈ B1 et B1 est convexe. Supposons que µ ∈ K et |µ| ≤ 1, comme x ∈ B1 alors

p(µx) = |µ|p(x) ≤ p(x) ≤ 1 et µx ∈ B1. Donc B1 est equilibre. Pour montrer que B1 est

absorbant, prenons x ∈ E et p(x) = k alors p(k−1) = 1 ≤ 1 donc k−1x ∈ B1.

Plus precisement, soit λ ∈ R+, on definie

Bλ = x ∈ E : p(x) ≤ λ

On verifie facilement que l’on a

Bλ = λB0.

2.2 Jauges ou fonctionnelles de Minkowski

Les jauges jouent un role important dans l’etude du lien entre les espaces vectoriels

topologiques et les espaces localement convexes.

Lorsque A est une partie absorbante d’un espace vectoriel E, alors pour chaque x ∈ E,

l’ensemble λ > 0 : x ∈ λA est non vide, on peut alors considerer

JA(x) = infλ > 0 : x ∈ λA.

On a definit ainsi une fonction reelle JA : E → R appelee jauge ou fonctionnelle de

Minkowski de A.

Si A est convexe et absorbante alors, pour tout x, y ∈ E et chaque reel λ ∈ R+, on a

JA(x + y) ≤ JA(x) + JA(y) et JA(λx) = λJA(x).

Si de plus A est equilibre, alors JA est une semi-norme :

Si A ⊂ E est convexe, absorbant et equilibre alors JA est une semi-norme sur E.

Preuve : Comme A est une partie absorbante de E alors JA est bien definie sur E et

JA : E → R+. Soient x ∈ E , y ∈ E, λ > 0 et β > 0 tels que x ∈ λA et y ∈ βA. On a

x+ y ∈ λA+ βA = (λ+ β)

[

λ

λ+ βA+

β

λ+ βA

]

⊂ (λ+ β)A

car A est convexe. D’ou l’additivite JA(x + y) ≤ JA(x) + JA(y). Finalement, puisque A

est equilibre, il vient que JA(λx) = |λ|JA(x).


On verifie facilement que

x ∈ E : JA(x) < 1 ⊂ A ⊂ x ∈ E : JA(x) ≤ 1

Nous allons montre le theoreme suivant qui donne une caracterisation des espaces locale-

ment convexes ceci justifie en meme temps le nom donnes a ces espaces.

Theoreme 2.2.1 Soit E un espace vectoriel topologique, alors on a les conditions

suivantes sont equivalentes :

① E est localement convexe;

② Il existe un systeme fondamental de voisinages convexes de l’origine;

③ Il existe un systeme fondamental de voisinages convexes, equilibres et absorbants

de l’origine.

Preuve : ① =⇒ ② : Si la topologie de E est definie par une famille de semi-normes

(pi)i∈I, alors les ensembles

Vn(ε) = x ∈ E : pi(x) ≤ ε, i ∈ In

ou 0 < ε < 1, forment un systeme fondamentale de voisinages convexes de l’origine.

③ =⇒ ① : A chaque voisinage convexe, equilibre et absorbant V on peut lui associe une

jauge JV qui est une semi-norme. La famille des jauges, ainsi, obtenue definie la topologie

de E.

② =⇒ ③ : Il suffit de montrer que si V est un voisinage convexe de l’origine alors

l’ensemble

U =⋂

|λ|=1

λV

est un voisinage convexe, absorbant et equilibre de l’origine. Comme (µ, x) → µx est

continue a l’origne (0, 0), il existe ε > 0 et un voisinage V ′ de l’origne dans E tel que

µx ∈ V pour tout |µ| ≤ ε et pour tout x ∈ V ′.

Ceci est equivalent a l’existence d’un voisinage W de 0 tel que

µW ⊂ V pour tout |µ| ≤ 1.

En particulier : µW ⊂ V pour tout |µ| = 1. Ainsi, W ⊂ λV ou |λ| = 1, ce qui implique

que U est un voisinage de 0 dans E. Il est clair que U est convexe comme intersection de

convexes. De plus U est absorbant. Montrons, enfin, que U est equilibre. Si x ∈ U , le

segment [0, x] est contenu dans U c’est-a-dire que λx ∈ U pourtout 0 ≤ λ ≤ 1. D’autre


part, si x ∈ U , de la definition de U il vient que λx ∈ U pour tout |λ| = 1. Si µ 6= 0 et

|µ| ≤ 1 on obtient

µx = |µ|. µ|µ|x ∈ U

ce qui montre que U est equilibre.

Exemple 2.2.1 Soit Ω un ouvert de Rn et 1 ≤ p < +∞. Notons Lpℓoc(Ω) l’espace des

fonctions mesurables p-localement integrable sur Ω c’est-a-dire : pour tout compact K de

Ω on a∫

K

|f(x)|p < +∞. On definie une semi-norme par

pK(f) =

[∫

K

|f(x)|p]1/p

< +∞

La famille de semi-normes (pK)K∈KΩdetermine une topologie faisant de Lp

ℓoc(Ω) un espace

vectoriel localement convexe.

Definition 2.2.1 On dit qu’une suite (xn)n de E converge vers un elements x ∈ E si,

pour chaque voisinage V de 0, il existe un entier m0 tel que, pour chaque entier m > m0,

on a xm − x ∈ V .

Comme la topologie etant separee, une suite convergente possede une seule limite. En

terme de semi-normes on a la definition equivalente :

Une suite (xn)n de E converge vers un elements x ∈ E si, et seulement si, pour chaque

indice i ∈ I et chaque ε > 0 il existe un entier m0 tel que pour chaque entier m ≥ m0

on a pi(xm − x) ≤ ε.

On peut introduire dans les espaces vectoriels topologiques la notion de suite de Cauchy :

Definition 2.2.2 On dit qu’une suite (xn)n de E est une suite de Cauchy si, et seulement

si, pour chaque voisinage V de 0, il existe un entier m0 tel que, pour chaque entier

m,m′ > m0, on a xm − xm′ ∈ V .

Ce qui se traduit en terme de semi-normes par :

Une suite (xn)n de E est une suite de Cauchy si, et seulement si, pour chaque indice

i ∈ I et chaque ε > 0, il existe un entier m0 tel que pour chaque entier m,m′ ≥ m0 on

a pi(xm − xm′) ≤ ε.


On conserve les notations, precedemment evoquees. Les topologies suivantes ne peuvent

etre determinees par des normes.

Exemple 2.2.2 Dans l’espace C(Ω), la topologie determinee par la famille de semi-

normes (pK)K∈KΩ

pK(f) = supx∈K

|f(x)|

est appelee la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes de

Ω. Une suite (fn)n de C(Ω) converge vers f si, et seulement, si pour chaque K ∈ KΩ,

la suite (fn)n converge uniformement vers f sur K. Toute suite de Cauchy de C(Ω) est

convergente. Cette topologie ne peut etre determinee par une norme.

Exemple 2.2.3 Dans l’espace Ck(Ω), k ≥ 1, la topologie determinee par la famille de

semi-normes (pK)K∈KΩ

pK(f) = supx∈K,|α|≤k

|∂αf(x)|

est appelee la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes de Ω

pour f et toutes ses derivees jusqu’a l’ordre k. Une suite (fn)n de Ck(Ω) converge vers

f si, et seulement, si pour chaque K ∈ KΩ, la suite (∂αfn)n converge uniformement vers

∂αf sur K. Toute suite de Cauchy de Ck(Ω) est convergente.

On va etudier rapidement les notions topologiques vues en Licence dans le cadre des

espaces vectoriels dont la topologie est determinee par une famille separante de semi-

normes.

Dans ce qui suit E et F sont deux espaces vectoriels munis respectivement par des topolo-

gies determinees par les familles de semi-normes (pi)i∈I et (qℓ)ℓ∈L.

Rappelons que V est un voisinage de a ∈ E si, et seulement si, il existe un sous-ensemble

fini non vide In de I et un reel r > 0 tel que Vn(a, r) ⊂ V.

Etant donne a ∈ E et A une partie non vide de E. On a a ∈ A si, et seulement si,

pour chaque sous-ensemble fini non vide In de I et pour chaque reel r > 0 on a

∀n ∈ N, ∀r > 0, Vn(a, r) ∩ A 6= ∅

Theoreme 2.2.2 L’adherence d’une partie convexe est convexe. L’adherence d’un

sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel.

Preuve : Notons par f l’application de E×E×R dans E qui, a chaque (x, y, λ) associe

f(x, y, λ) = λx+(1−λ)y. Cette application f est continue. Nous observons qu’une partie


A de E est convexe si, et seulement si, f(A×A× [0, 1]) ⊂ A. Pour chaque partie convexe

C de E nous avons

f(

C × C × [0, 1])

= f(

C × C × [0, 1])

⊂ f(C × C × [0, 1]) ⊂ C

ce qui montre la convexite de C. On utilise une methode analogue pour demontrer que

l’adherence d’un sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel.

Lemme 2.2.3 Soit E un espace localement convexe et F un ferme de E. Supposons

que V est un voisinage ouvert convexe et equilibre de 0 dans F et soit x ∈ E et x /∈ F .

Alors, il existe un voisinage W ouvert convexe et equilibre de 0 dans E tel que x /∈W et

W ∩ F = V .

Preuve : Comme F est un ferme de E, il existe un voisinage V0 ouvert convexe et

equilibre de 0 dans E tel que

(x+ V0) ∩ F = ∅ et V0 ∩ F ⊂ V

Posons W l’enveloppe convexe equilibre de V ∪ V0. Il est facile de montrer que W est

ouvert. D’autre part, on a clairement V ⊂ W ∩F . Si w ∈W ∩F , il s’ecrit w = αv+ βv0

avec v ∈ V et v0 ∈ V0 et |α| + |β| ≤ 1. On doit supposer β 6= 0, sinon il y aurait

rien a demontrer. La relation precedente implique que v0 ∈ V0 ∩ F ⊂ V , donc w ∈ V .

Finallement, supposons par contradiction que x ∈ W . Alors, x = y + z avec y ∈ F et

z ∈ V0. Ainsi, y = x− z ∈ (x+ V0) ∩ F ce qui est impossible.

2.3 Applications et formes lineaires

Definition 2.3.1 Une application f de E dans F est continue au point a ∈ E si, et

seulement si, pour chaque ℓ ∈ L et chaque reel ε > 0, il existe un sous-ensemble fini non

vide In ⊂ I et un reel r > 0 tels que

maxi∈In

pi(x − a) < r =⇒ qℓ(f(x) − f(a)) < ε

Si f est une application lineaire cette definition se reformule ainsi :


Theoreme 2.3.1 Soit f une application lineaire de E dans F . Les affirmations suiv-

antes sont equivalentes :

① f est continue;

② f est continue en 0;

③ ∀ℓ ∈ L, il existe In ⊂ I, fini, et c ∈ R+ tel que, pour chaque x ∈ E on a :

qℓ(f(x)) ≤ c maxi∈In

pi(x).

Lorsque E = F et f une forme lineaire sur E, on a

Theoreme 2.3.2 Soit f une forme lineaire de E. Les affirmations suivantes sont

equivalentes :

① f est continue;

② f est continue en 0;

③ Il existe In ⊂ I, fini, et c ∈ R+ tel que, pour chaque x ∈ E on a :

|f(x)| ≤ c maxi∈In

pi(x).

Ce resultat s’ecrit ainsi :

∀η > 0, ∃c > 0 et n ∈ N tel que f

(

Vn

(

η

c

))

⊂] − η, η[.

L’ensemble des formes lineaires continues sur E est un espace vectoriel note

E ′ appele la dual topologique de E.

Rappelons que si H est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel, les affirmations

suivantes sont equivalentes :

1. H est le noyau d’une forme lineaire non nulle definie sur l’espace vectoriel.

2. H est un element maximal, pour l’inclusion, parmi les sous-espaces vectoriels propres

de l’espace vectoriel.


Corollaire 2.3.2 Si H est un hyperplan de E alors H est ferme ou dense dans E.

Theoreme 2.3.3 Un hyperplan de E est ferme si, et seulement si, il est le noyau

d’une forme lineaire continue.

Preuve : Soient H un hyperplan ferme de E et f une forme lineaire non nulle dont H est

le noyau. Nous pouvons trouver un a ∈ E tel que f(a) = 1, l’ensemble a+H est alors un

ferme de E qui ne contient pas 0. Par definition, on peut trouver n ∈ N et r > 0 tel que

Vf,n(r) ∩ (a +H) = ∅. Nous allons montrer que pour chaque x ∈ Vf,n(r) on a |f(x)| < 1.

Supposons la contraire : il existe x0 ∈ Vf,n(r) tel que |f(x)| > 1. Quite a multiplier x0 par

un reel de module egal a 1 nous pouvons supposer que f(x0) est un reel ≥ 1. Si f(x0) = 1

alors x0 − a ∈ H (x0 + a ∈ H) ce qui est contradictoire avec Vf,n(r) ∩ (a + H) = ∅. Si

f(x) > 1 il existe un reel λ ∈]0, 1[ tel que f(λx0) = 1. Nous remarquons que λx0Vf,n(r)

et nous sommes ramenes au cas precedent. Puisque, pour chaque x ∈ E, maxi∈In

pi(x) ≤ r

entraıne |f(x) ≤ 1 et pour chaque x ∈ E nous avons |f(x)| ≤ (1/r) maxi∈In

pi(x).

Definition 2.3.3 On dit qu’une metrique d sur un espace vectoriel E est invariant par

translation si, pour chaque x, y, a ∈ E, on a d(x, y) = d(x+ a, y + a).

Deux metriques d et d′, invariantes par translation sur le meme espace vectoriel E, qui

determinent la meme topologie sont uniformement equivalentes (c’est-a-dire que IE :

(E, d) → (E, d′) et IE : (E, d′) → (E, d) sont uniformement continues). Lorsque d et d′

sont deux metriques invariantes par translation topologiquement equivalentes sur E alors

(E, d) est complet si, et seulement si, (E, d′) est complet.

Definition 2.3.4 On dit que la topologie T d’un espace vectoriel topologique E est

metrisable s’il existe une metrique sur E, invariante par translation, qui determine la

topologie T.

Theoreme 2.3.4 La topologie sur un espace vectoriel determinee par une suite

separante de semi-normes est metrisable.

Preuve : Soit (pk)k une suite separante de semi-normes sur un espace vectoriel E. Pour

x, y ∈ E definissons

d(x, y) =+∞∑

k=1

2−k pk(x− y)

1 + pk(x− y).

Il est facile de verifier que d est une distance invariante par translation sur E qui determine

la meme topologie que la suite (pk)k.


Exemple 2.3.1 Lorsque (pk)1≤k≤m est une suite finie separante de semi-normes sur

E alors

max1≤k≤

pk et

(

m∑

k=1

prk

)1r

, 1 ≤ r <∞

sont des normes equivalentes qui determinent la meme topologie que la suite (pk)1≤k<m

Un espace vectoriel muni d’une topologie determinee par une famille

separante de semi-normes est dit espace de Frechet lorsqu’il existe une dis-

tance invariante complete qui determine T.

Exemple 2.3.2 Les espaces C(Ω), Ck(Ω) et C∞(Ω) sont des espaces de Frechet.

2.4 Dualite dans les E.V.T.

Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C, le dual algebrique, note E∗, est l’espace

vectoriel des formes lineaires x∗ : E → K. On note x∗(x) =< x, x∗ > le crochet de dualite

representant la valeur de x∗ sur x ∈ E. Pour chaque x∗ ∈ E∗ posons

px∗(x) = | < x, x∗ > |.

L’application px∗ : E → K est une semi-norme sur sur E et la famille (px∗)x∗∈E∗ determine

une lopologie localement convexe sur E, notee σ(E,E∗). Dans le meme d’idees, nous

pouvons definir une topologie localement convexe sur E∗, noteeσ(E∗, E).

Lorsque E est un K-espace vectoriel topologique, Le dual topologique E ′ de E est le sous-

espace de E∗ forme des formes lineaires continues (ou fonctionnelles) sur E. La topologie

σ(E, E′) definie sur E par la famille de semi-normes (px′)x′∈E′ est dite topologie faible

sur E elle est plus fine que la topologie de E et de celle induite par σ(E,E∗).

Exemple 2.4.1 Soit E un espace vectoriel norme, E ′ son dual topologique et f ∈ E ′.

On peut recenser les ouverts qui doivent appartenir a la topologie σ(E,E ′) de la maniere

suivante : si f ∈ E ′ et U ouvert de R, il faut que f−1(U) soit un ouvert de σ(E,E ′). Mais

comme les intervalles sont une base de voisinages de R, on voir que ceci revient a dire que

pour tout intervalle I et tout f ∈ E ′, f−1(U) est dans σ(E,E ′). La topologie σ(E,E ′) est

la moins fine contenant tous les ensembles f−1(I) pour tout f ∈ E ′ et tout intervalle I de

R.

On definit, de meme, la topologie faible σ(E ′, E) sur le dual topologique E ′ de E. Il vient

qu’une suite (x′j) converge faiblement vers 0 dans E ′ si, et seulement si, pour tout x ∈ E,


la suite x′j(x) converge vers 0 dans K. Ainsi, la topologie faible σ(E ′, E) coincide avec la

topologie de la convergence simple sur E ′.

Dans E ′ on peut definir une autre importante topologie localement convexe a savoir la

topologie forte sur E′. Pour cela, on doit caracteriser les parties bornees de E.

Definition 2.4.1 Soit E un espace vectoriel topologique. On dit que A ⊂ E est borne

si, pour chaque V ∈ V0, il existe un reel λ > 0 tel que λA ⊂ V .

Lorsque E est un espace vectoriel localement convexe, chaque voisinage de 0 contient un

voisinage equilibre de 0. Ce qui justifie :

Definition 2.4.2 Si E est un espace vectoriel localement convexe A ⊂ E est borne si,

pour chaque V ∈ V0, il existe un reel ε > 0 tel que λA ⊂ V pour tout |λ| ≤ 0.

Les deux definitions sont equivalente dans le cas general, puisque tout espqce vectoriel

topologique admet une base de voisinages equilibres de 0.

En d’autres termes : B est bornee s’il est absorbee par chaque voisinage de 0 ce qui est

equivalent a : pour chaque i ∈ I on a supx∈B

pi(x) < +∞.

Exemple 2.4.2 Toute partie finie et, plus generalement, toute partie compacte de E

est bornee.

Exemple 2.4.3 Toute partie relativement compact A d’un espace localement convexe

E est bornee. En effet, soit V ∈ V0 dans E, il existe W ∈ V0 tel que W + W ⊂ V et

µW ⊂ W pour tout |µ| ≤ 1. Comme A est relativement compact, on peut trouver un

ensemble fini (xj)1≤j≤p d’elements de A tel que les ouverts (xj + W )1≤j≤p forment un

recouvrement de A. Comme (xj)1≤j≤p est borne dans E, on peut trouver 0 < λ < 1 tel

que λxj ⊂W . On a alors

λA ⊂p⋃

j=1

λ(xj +W ) ⊂ W +W ⊂ V.

Donc A est borne.

Definition 2.4.3 Soit B une partie d’un espace vectoriel topologique E. L’ensemble

polaire B de B est le sous-ensemble de E ′ definie par

B = x′ ∈ E′ : | < x, x′ > | ≤ 1, ∀x ∈ B.

Theoreme 2.4.1 Si A est une partie bornee d’un espace vectoriel topologique E alors

son ensemble polaire A ⊂ E ′ est un sous-ensemble convexe, equilibre et absorbant de

E ′.


Preuve : Si x′, y′ ∈ A et α, β ≥ 0 tels que α+ β = 1, on a

| < x, αx′ + βy′ > | ≤ α| < x, x′ > | + β| < y, y′ > | ≤ 1.

Donc A est convexe. Si x′ ∈ A et λ ∈ K tel que |λ| ≤ 1, on a

| < x, λx′ > | = |λ|.| < x, x′ > | ≤ 1.

Ainsi, λx′ ∈ A et A est equilibre. Finallement, soit z′ ∈ E ′ et considerons le voisinage

de 0 suivant V = x ∈ E : | < x, z′ > | ≤ 1. Comme A est un sous-ensemble borne de

E, il existe λ > 0 tel que λA ⊂ V , donc

| < x, λz′ > | = | < λx, z′ > | ≤ 1, ∀x ∈ A,

ce qui montre que A est un sous-ensemble absorbant dans E ′.

Les resultats de ce theoreme, nous conduit a definir, pour toute partie A borne d’un

espace vectoriel topologique E la semi-norme suivante sur E ′ par

pA (x

′) = infλ ≥ 0 : x′ ∈ λA.

Si l’on note B(E) la famille des parties bornees de E, la famille (pA )A∈B(E) definie une

topologie localement convexe et separee sur E ′, dite topologie forte de E ′. On peut

montre que la suite (x′j) converge fortement vers 0 dans E ′ si, et seulement si, la suite

(x′j(x)) converge uniformement vers 0 sur chaque partie bornee de E. Ainsi, la topologie

forte sur E ′ est dite topologie de la convergence uniforme sur les parties bornees

de E.

On note par E ′b le dual topologique E ′ muni de la topologie forte ainsi definie.

Exemple 2.4.4 Si E est un espace norme, son dual topologique E ′ muni de la norme

‖x‖E′ = sup

‖x‖E≤1

| < x, x′ > |

est un espace de Banach.

2.5 Topologie limite inductive

Nous aborderons, dans la suite, la notion de topologie limite inductive d’un point de

vue qui nous permettra de definir l’espace des fonctions tests et la notion duale des

distributions.

Soit (Ei)i∈N une suite croissante d’espaces localement convexes tels que l’application iden-

tite Ei → Ei+1 soit continue pour chaque i. Posons

E =

∞⋃

i=1

Ei.


Definissons sur E la topologie localement convexe la moins fine rendant les identites

Ei → Ei+1 continues pour i = 1, 2, · · · ,. Elle est dite topologie limite inductive de E

definie par les sous-espaces Ei. L’espace E muni de cette topologie est dit limite inductive

des espaces (Ei)i∈N.

Pour que un convexe V soit un voisinage de 0 dans la topologie limite inductive, il faut

et il suffit que chaque intersection V ∩Ei pour tout i = 1, 2, · · · . Ainsi, nous obtenons un

systeme fondamentale de voisinages de l’origine dans E en prenant toutes les enveloppes

convexes de la forme

V = Γ

(∞⋃

i=1

Vi

)

ou chaque Vi appartient au systeme fondamentale de voisinages convexes de chaque Ei,

i = 1, 2, · · · .

Proposition 2.5.1 Soit E la limite inductive de (Ei)i∈N et soit F un espace localement

convexe. Une application lineaire u : E → F est continue si, et seulement si, la restriction

ui = u|Fide u est continue de Ei dans F pour tout i ∈ N.

Preuve : Si u est continue, alors chaque restriction ui est continue puisque, par definition,

l’identite Ei → E est continue. Inversement, supposons que chaque ui de Ei → F est

continue. Fixons U un voisinage convexe de 0 dans F , il existe un voisinage convexe de

0, note Vi, dans Ei tel que ui(Vi) ⊂ U . Alors, V = Γ

( ∞⋃

i=1

Vi

)

est un voisinage de 0 dans

E, et on a u(V ) ⊂ U ; donc u est continue de E dans F .

Theoreme 2.5.1 Si E est la reunion d’une suite croissante (Ei)i∈N d’espaces locale-

ment convexes tels que :

• Pour tout i, l’identite Ei → Ei+1 est continue;

• La topologie induite par Ei+1 sur Ei coincide avec la topologie de Ei, pour tout i;

• Ei est un sous-espace ferme de Ei+1, pour tout i.

Alors :

1. La topologie limite inductive de E induit sur chaque Ei sa topologie originale.

2. Un sous-ensemble A est borne dans la topologie inductive de E si, et seulement, il

existe un indice j tel que A est contenu et borne dans Ej .

Preuve :

1. Dans le but de montrer que la topologie induite par E sur Ei coincide avec la

topologie originale de Ei, il suffit de montrer que : etant donne Vi un voisinage


convexe equilibre de 0 dans Ei, il existe un voisinage V de 0 dans E tel que Vi =

V ∩ Ei, ∀i. En appliquant le lemme, Il est facile de voir qu’il existe une suite

(Vi+k), k = 0, 1, 2, · · · , de voisinages convexe equilibre de 0 dans Ei+k tel que

Vi+k−1 = Vi+k ∩Ei+k−1, k = 1, 2, · · · .

En posant V =∞⋃

k=0

Vi+k, il est aise de voir que V est un voisinage de 0 dans E et

que Vi = V ∩ Ei.

2. Soit A un borne de E. Supposons, par contradiction, qu’il n’existe pas d’indice i tel

que A ⊂ Ei. Alors, on peut trouver une suite croissante d’indices (in) et une suite

(xn) d’elements de E tel que

xn ∈ A ∩Ein et xn /∈ Ein−1 .

D’apres le lemme, il existe une suite (Vn) de voisinages ouvert convexe et equilibre

de 0 dans Ein tel que

xn /∈ nVn et Vn ∩ Ein−1 = Vn−1.

Posons V =∞⋃

i

Vn. Alors V est un voisinage de 0 dans E tel que

V ∩ Ein = Vn et xn /∈ nVn.

Mais, ceci contredit la supposition que A est borne dans E.

Exemple 2.5.1 (L’espace Cc(Ω)). Soit (Ki) une suite croissante de compacts d’un

Ω un ouvert Rn telle que Ω =⋃

iKi. Posons E = Cc(Ω) l’espace des fonctions continues

a support compact definies sur Ω. Posons Ei = Cc(Ω, Ki) le sous-espace de Cc(Ω) forme

des fonctions continues dont le support est inclu dans Ki. On a

Cc(Ω) =⋃

i

Cc(Ω, Ki).

Definissons sur Cc(Ω, Ki) la topologie de la convergence uniforme sur Ki; elle est locale-

ment convexe puisqu’elle est definie par la norme

pKi(f) = sup

x∈Ki

|f(x)|.

L’espace Cc(Ω, Ki) muni de cette norme est un espace de Banach et l’application Cc(Ω, Ki) →Cc(Ω, Ki+1) est continue. L’espace Cc(Ω, Ki) est un sous-espace ferme de Cc(Ω, Ki+1). Les

hypotheses de theoreme precedent sont verifiees, on definit sur Cc(Ω) la topologie limite

inductive des espaces Cc(Ω, Ki). Comme consequence : une suite (ϕj) converge vers 0

dans Cc(Ω) si, et seulement si, on a :

① Il existe un compact K de Ω tel que supp(fj) ⊂ K pour chaque j;

② La suite (fj) converge uniformement vers 0 sur K.


Exemple 2.5.2 (L’espace Lpc(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞). Soit K un compact de Ω ouvert

de Rn. Designons par Lp(K), 1 ≤ p < +∞, l’espace des fonctions Lp-integrables a

support contenu dans K muni de sa norme naturelle. Les espaces Lp(K) sont des espaces

de Banach. Si K1 ⊂ K2, l’application Lp(K1) → Lp(K2) est continue et la topologie

induite par Lp(K2) sur Lp(K1) coincide avec la topologie de Lp(K1). Si (Ki) est une suite

croissante de compacts de Ω telle que Ω =⋃

i

Ki. Alors Lpc(Ω) =

⋃

i

Lp(Ki) est muni de la

topologie limite inductive.

2.6 Topologie des espaces de fonctions tests

Soit Ω un ouvert fixe de Rn. Pour chaque partie compacte K ⊂ Ω on note

DK(Ω) = ϕ ∈ E(Ω) : ∀x ∈ Ω \ K, ϕ(x) = 0.

L’espace DK(Ω) est le sous-espace vectoriel de E(Ω) dont les elements sont les fonctions

dont le support, contenu dans K, est une partie compacte de Ω. C’est un sous-espace

ferme de E(Ω), donc DK(Ω) est un espace de Frechet.

On note

D(Ω) = C∞c (Ω) =

⋃

K∈KΩ

DK(Ω)

le sous-espace vectoriel de E(Ω) dont les elements sont les fonctions dont le support est

une partie compacte de Ω. Le sous-espace D(Ω) n’est pas ferme dans E(Ω).

On note TK la topologie induite par E(Ω) sur DK(Ω). C’est la topologie determinee sur

DK(Ω) par la famille de semi-normes sur D(Ω) :

pm(ϕ) = sup|α|≤m,x∈Ω

|∂αϕ(x)| < +∞.

On va construire une topologie sur D(Ω) en distinguant une famille de parties qui sera,

en fait, une base de voisinages de 0. Pour cela, on note

V = V ⊂ D(Ω); absolument convexe et equilibre, ∀K ∈ KΩ, V ∩ DK(Ω) ∈ TK.

Pour chaque V ∈ V, sa jauge JV est une semi-norme sur D(Ω)

Corollaire 2.6.1 La famille de semi-normes (JV )V ∈V est separante.

Preuve : Soit ϕ ∈ D(Ω) telle que ϕ 6= 0. Evidemment r = supx∈Ω

|ϕ(x)| > 0. Notons

V = f ∈ D : q0(f) < r. Il est clair que V ∈ V et que JV (ϕ) ≥ 1.

On note par T la topologie sur D(Ω) determinee par la famille (JV )V ∈V.


Corollaire 2.6.2 Pour chaque V ∈ V on a V = ϕ ∈ D(Ω) : JV (ϕ) < 1 et la famille V

est un systeme de voisinage de 0 pour la topologie T. Autrement dit, pour tout voisinage

U de 0 pour T il existe V ∈ V tel que V ⊂ U .

Preuve : Il est clair que V est convexe et que ϕ ∈ D(Ω) : JV (ϕ) < 1. Reciroquement,

soit ϕ ∈ V . Il existe une partie compacte de Ω telle que ϕ appartient a l’ouvert V ∩DK(Ω)

de DK(Ω). L’application λ ∈ R → λϕ etant continue au point λ = 1 il existe alors un

reel r > 1 tel que pour tout reel λ veerifiant 1 − r ≤ λ ≤ 1 + r on a λϕ ∈ V ∩ DK(Ω).Il

decoule (1 + r)ϕ ∈ V donc JV (ϕ) < 1. La suite est clair.

Theoreme 2.6.1 Pour chaque partie compact K de Ω, la topologie TK et la topologie

induite par T sur DK(Ω) sont egaux.

Preuve : Fixons une partie compacte K de Ω. Soit U un voisinage de 0 dans DK(Ω)

muni de la topologie induite par T. D’apres le corollaire precedent nous pouvons trouver

V ∈ V tel que V ∩ DK(Ω) ⊂ U . Puisque V ∩ D

K(Ω) est un voisinage de 0 pour TK il

s’ensuit que U est aussi voisinage de 0 pour cette meme topologie. La topologie induite

par T sur DK(Ω) est donc moins fine que la topologie TK .

Reciproquement, soit W un voisinage de 0 pour TK . Puisque la suite (pm)m determine la

topologie TK sur DK(Ω) , il existe alors un m ≥ 0 et un reel r > 0 tel que

ϕ ∈ DK(Ω) : pm(ϕ) < r ⊂W.

Il est clair que V = ϕ ∈ D(Ω) : pm(ϕ) < r ∈ V, il s’ensuit que W est un voisinage de 0

pour la topologie induite par T sur DK(Ω).

Theoreme 2.6.2 Une suite (ϕm)m de D(Ω) tend vers 0 quand m tend vers +∞ si, et

seulement si, il existe un compact K ⊂ Ω tel que, pour chaque m, on a ϕm ∈ DK(Ω)

et (ϕm)m tend vers 0 pour la topologie TK .

Preuve : Puisque la topologie TK est induite par T sur DK(Ω) il est clair qu’une suite

(ϕm)m de D(Ω) telle que ϕm ∈ DK(Ω) pour chaque entier m et qui tend vers 0 dans

DK(Ω) tend aussi vers 0 dans D(Ω).

Reciproquement, considerons une suite (ϕm)m de D(Ω) tendant vers 0 et supposons que

pour chaque compact K ⊂ Ω il existe un entier m tel que la restriction ϕm|Ω\K 6= 0.

Fixons (Kℓ)ℓ une suite exhaustive de compacts de Ω. Nous pouvons alors construire une

suite strictement coissante d’entiers (mℓ)ℓ et une suite (xℓ)ℓ de Ω qui verifient, pour chaque

entier ℓ, xℓ ∈ Ω \Ki et ϕmℓ(xi) 6= 0. Notons alors

V = ϕ ∈ D(Ω) : ∀ℓ, |ϕ(xℓ)| < (1/2)|ϕmi(xi)|.

Il est clair que V est absolument convexe. Pour chaque compact K ⊂ Ω il n’y a qu’un

nombre fini de xℓ qui appartiennent a K, il s’ensuit que V ∩ DK(Ω) ∈ TK et donc V est

un voisinage de 0 pour T. La suite (ϕm)m convergeant vers 0 il existe un entier mℓ tel que

ϕmℓ∈ V ce qui est contradictoire.


Theoreme 2.6.3 Une suite (ϕm)m de DK(Ω) est Cauchy si, et seulement si, il existe

un compact K ⊂ Ω tel que, pour chaque entier m, ϕm ∈ DK(Ω) et (ϕm)m est de

Cauchy pour la topologie TK .

La preuve est identique a celle du theoreme precedent.

Theoreme 2.6.4 Toute suite de Cauchy de D(Ω) est convergente.

Theoreme 2.6.5 Soit u une application lineaire de D(Ω) dans un espace vectoriel

E muni de la topologie determinee par une famille separante de semi-normes. Les

affirmations suivantes sont equivalentes :

① u est continue,

② pour toute suite (ϕm)m → 0 dans D(Ω), la suite (u(ϕm))m tend vers 0 dans E,

③ pour tout compact K ⊂ Ω, la restriction de u a DK(Ω) est continue.

Preuve : Les affirmations ① =⇒ ② et ② =⇒ ③ sont evidentes. Montrons que

③ =⇒ ①. Pour cela nous allons etablir la continuite de u en 0. Soit W un voisinage

absolument convexe de 0 dans E. Il est clair que V = u−1(W ) est une partie absolument

convexe de D(Ω). Puisque V ∩ DK(Ω) = (u|D

K(Ω))

−1(W ) nous avons V ∩ DK(Ω) ∈ TK .

Il s’ensuit que V est un voisinage de 0 dans D(Ω).

Remarque: Soit u une forme lineaire sur D(Ω). u est continue si, et seulement si,

pour chaque compact K ⊂ Ω, il existe un reel C et un entier m ≥ 0 tels que, pour

chaque ϕ ∈ DK(Ω), on a

|u(ϕ)| ≤ C supx∈Ω,|α|≤m

|∂αϕ(x)|.

La constante C et l’entier m dependent du compact K.

Chapitre 3Distributions

3.1 Definitions et proprietes

Definition 3.1.1 Les formes lineaires continues sur D(Ω) sont appelees distributions

sur l’ouvert Ω. L’espace vectoriel de toutes les distributions sur Ω sera note D′(Ω).

L’espace D′(Ω) est le dual topologique de l’espace fonctionnel C∞c (Ω).

Ainsi, on a le resultat suivant :

Proposition 3.1.1 Une forme lineaire T est une distribution sur Ω si, et seulement

si, pour chaque compact K ⊂ Ω, il existe une constante C > 0 et un entier m ≥ 0 tels

que

| < T, ϕ > | ≤ C. supx∈Ω,|α|≤m

|∂αϕ(x)|, ∀ϕ ∈ DK(Ω). (∗)

Preuve : Soit T ∈ D′(Ω). Pour chaque compact K ⊂ Ω, T est une forme lineaire sur

DK(Ω). Il existe, alors, V ∈ V0 de la forme

V = V m,εK = ϕ ∈ D

K(Ω) : pm,K(ϕ) ≤ ε

ou pm,K(ϕ) = supx∈K,|α|≤m

|∂αϕ(x)| tel que | < T, ϕ > | ≤ 1 pour tout ϕ ∈ V . D’autre part,

si ϕ ∈ DK(Ω) est tel que ϕ 6= 0, on a

ε.ϕ

pm,K(ϕ)∈ V.


Il s’ensuit que

| < T, ϕ > | < (1/ε).pm,K(ϕ), ∀ϕ ∈ DK(Ω) \ 0.

En posant C = ε−1 on obtient (∗) lorsque ϕ 6= 0. Notons, enfin, qu’on a l’egalite dans

(∗) lorsque ϕ = 0. Inversement, si (∗) est satisfaite, alors pour chaque compact K ⊂ Ω,

T est une forme lineaire continue sur DK(Ω). D’apres la proposition 2.5.1, on en deduit

que T est une distribution sur Ω.

L’inegalite (∗) n’est le seul critere a demontrer pour verifier qu’une forme lineaire sur D(Ω)

est une distribution. Une autre caracterisation s’impose en terme de suites convergentes

dans D(Ω) :

Theoreme 3.1.2 On a T ∈ D′(Ω) si, et seulement si, pour toute suite (ϕi) conver-

gente vers 0 dans D(Ω), la suite numerique | < T, ϕi > | converge vers 0 dans K = R

ou C.

Preuve : Supposons que T ∈ D′(Ω) et (ϕi) une suite convergente vers 0 dans D(Ω). Il

existe un compact K ⊂ Ω tel que

ϕi ∈ DK(Ω), ∀i et ϕi → 0 dans D

K(Ω).

Comme T est continue dans D(Ω), d’apres (∗), on a (< T, ϕi >→ 0 lorsque i → +∞.

Inversement, Supposons que ceci est verifie. Il suffit de verifier que T est continue sur

chaque espace DK(Ω). Supposons, par contradiction, qu’il existe Ki0 telle que T n’est

pas continue sur DKi0(Ω). On peut trouver, alors, une suite (ϕi) de fonctions de DKi0

(Ω)

convergente vers 0 dans DKi0(Ω) telle que < T, ϕi > ne converge pas. Comme l’inclusion

DKi0(Ω) → DK(Ω) est continue, la suite (ϕi) doit converger vers 0 dans DK(Ω), ainsi

(< T, ϕk >) devrait converger vers 0 ; Contradiction.

Exemple 3.1.1 Soit f ∈ L1ℓoc(Ω). Definissons une forme lineaire Tf : C∞

c (Ω) → C

par

Tf(ϕ) =

∫

Ω

f(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C∞c (Ω).

Comme f ∈ L1ℓoc(Ω) alors C =

∫

Ω|f(x)|dx < +∞. Posons supp(ϕ) = K; on verifie

facilement que

|Tf(ϕ)| ≤∫

Ω

|f(x)||ϕ(x)|dx ≤ supx∈K

|ϕ(x)|.∫

Ω

|f(x)|dx ≤ C(K). supx∈K

|ϕ(x)|.

Ainsi, Tf : C∞c (Ω) → C est une distribution, dite reguliere, d’ordre α = 0. L’application

j : L1ℓoc(Ω) → D′(Ω) definie par j(f) = Tf est injective :

L1ℓoc(Ω) ⊂ D′(Ω).


Dans l’exemple suivant nous montrerons que j n’est pas surjective.

Exemple 3.1.2 Soit a ∈ Ω. On considere la forme lineaire sur D(Ω) definie par

< δa, ϕ >= ϕ(a), ∀ϕ ∈ D(Ω).

On verifie, alors que

| < δa, ϕ > | ≤ ‖ϕ‖L∞(Ω), ∀ϕ ∈ D(Ω)

donc δa est une distribution d’ordre 0 dans Ω. Cette distribution est dite masse de

Dirac au point a. Mais, δa ne s’ecrit pas en fonction d’une fonction de L1ℓoc(Ω). En

effet, supposons qu’il existe f ∈ L1ℓoc(Ω) telle que

δa = Tf c-a-d. < δa, ϕ >=

∫

Ω

f(x)ϕ(x)dx = ϕ(a), ∀ϕ ∈ D(Ω).

Posons Ω = Ω\a. Alors < δa, ϕ >=

∫

Ω

f(x)ϕ(x) = 0, ∀ϕ ∈ D(Ω). Donc f = 0 presque

partout dans Ω et donc presque partout dans Ω. Ainsi, ϕ(a) = 0 pour tout ϕ ∈ D(Ω) ce

qui contredit la fait que < δa, ϕ > 6= 0.

La masse de Dirac au point a est un exemple de distributions, dites

singulieres, qui ne proviennent pas d’une fonction appartenant a L1ℓoc(Ω).

Exemple 3.1.3 Posons Ω = R et definissons

< δ′, ϕ >=

⟨

δ,−dϕdx

⟩

= −dϕdx

(0), ∀ϕ ∈ D(R).

Il est clair que δ′ est une forme lineaire continue sur D(R). Lorsque Ω = Rn, on peut

generaliser cet exemple en posant

< ∂kδ, ϕ >= (−1)k < δ, ∂kϕ >= (−1)k∂kϕ(0)

pour tout ϕ ∈ D(Rn), 1 ≤ k ≤ n. Nous montrerons que ∂kδ n’est autre que la derivee

partielle d’ordre k de la masse de Dirac au sens des distributions.

Exemple 3.1.4 La fonction x → 1/x n’est pas localement integrable sur R, Donc

elle ne peut definir une distribution reguliere sur R. Par contre, elle l’est sur R∗ donc elle

definit une distribution que l’on pourra prolonger a R. Par definition, posons

⟨

vp

(

1

x

)

, ϕ

⟩

= limε→0

∫

|x|≥ε

ϕ(x)

xdx =

∫ +∞

0

ϕ(x) − ϕ(−x)

xdx, ∀ϕ ∈ D(R).


Cette derniere limite est dite valeur principale de Cauchy de l’integrale

∫ +∞

−∞

ϕ(x)

xdx.

On a alors∫

|x|≥ε

ϕ(x)

xdx =

∫ ε

−∞

ϕ(x)

xdx+

∫ +∞

−ε

ϕ(x)

xdx

= ϕ(−ε) log ε−∫ −ε

−∞ϕ′(x) log |x|dx− ϕ(ε) log ε−

∫ +∞

ε

ϕ′(x) log |x|dx.

Mais, on peut ecrire ϕ(x) = ϕ(0)+xψ(x) tel que ψ(0) = ϕ′(0). En remplacant, on trouve

∫

|x|≥ε

ϕ(x)

xdx = −2εψ(ε) log ε−

∫ −ε

−∞ϕ′(x) log |x|dx−

∫ +∞

ε

ϕ′(x) log |x|dx.

Passons a la limite

limε→0

∫

|x|≥ε

ϕ(x)

xdx = −

∫ +∞

−∞ϕ′(x) log |x|dx.

La derniere integrale etant convergente; elle definie une forme lineaire sur D(R). D’ou

⟨

vp

(

1

x

)

, ϕ

⟩

= limε→0

∫

|x|≥ε

ϕ(x)

xdx = −

+∞∫

−∞

ϕ′(x) log |x|dx.

D’autre part, puisque ϕ ∈ D(R) il existe, alors, un reel A tel que suppϕ ⊂ [−A,A]. Si

ε < A alors

⟨

vp

(

1

x

)

, ϕ

⟩

= limε→0

∫

|x|≥ε

ϕ(x)

xdx =

∫ A

0

ϕ(x) − ϕ(−x)x

dx = 2

∫ A

0

ϕ(x) − ϕ(0)

xdx

D’apres la formule des accroissements finis, on a

∣

∣

∣

∣

∫ A

0

ϕ(x) − ϕ(0)

xdx

∣

∣

∣

∣

≤ A.||ϕ′||∞. Donc∣

∣

∣

∣

⟨

vp

(

1

x

)

, ϕ

⟩∣

∣

∣

∣

≤ 2A||ϕ′||∞. Ainsi, vp

(

1

x

)

une distribution d’ordre inferieur ou egal

a 1. Il nous reste a montrer qu’elle n’est pas d’ordre 0. Pour cela, on utilise une partition

de l’unite, corollaire 1.3.1 page 10 :

Pour tout n ≥ 2 il existe ϕn ∈ D(R) telle que 0 ≤ ϕn ≤ 1, supp(ϕn) ⊂]0, 1[

et ϕn = 1 sur l’intervalle

[

1

n,n − 1

n

]

.

Soit ψn la fonction impaire qui coincide avec ϕn sur R+. SiK = [−1, 1], alors ψn ∈ D

K(R),

||ψn|| = 1 et∣

∣

∣

∣

⟨

vp

(

1

x

)

, ψn

⟩∣

∣

∣

∣

= 2

∫ 1

0

ϕn(x)

xdx ≥ 2 log (n− 1).


Il n’existe pas de constante CK telle que

∀ϕ ∈ DK(R)

∣

∣

∣

∣

⟨

vp

(

1

x

)

, ϕ

⟩∣

∣

∣

∣

≤ CK ||ϕ||∞.

Ce qui montre que l’ordre de la distribution vp

(

1

x

)

est different de 0.

Dans l’exemple precedent, nous avons fait appel a l’imparite de la fonction 1/x pour

definir la distribution vp

(

1

x

)

comme limite, lorsque ε→ 0, de la distribution associee a

la fonctionχ

x:|x|>1(x)

x. Pour une fonction non impaire une telle procedure ne fonctionne

pas et ce qui nous amene a introduire un terme correctif (divergent) pour pallier a ce

defaut en utilisant la methode des parties finies.

Exemple 3.1.5 [Partie finie de H(x)/x] Soit ϕ ∈ D(R) telle que suppϕ ⊂[−A,A]. On

∫ +∞

ε

ϕ(x)

xdx =

∫ A

ε

ϕ(x) − ϕ(0)

xdx+ ϕ(0) logA− ϕ(0) log ε.

Alors, lorsque ε→ 0+, on obtient

limε→0+

(∫ +∞

ε

ϕ(x)

xdx+ ϕ(0) log ε

)

=

∫ A

0

ϕ(x) − ϕ(0)

xdx+ ϕ(0) logA.

D’apres le theoreme des accroissements finis, cette expression est majoree en valeur absolue

par 2||ϕ(1)‖∞.maxA, logA. Donc

⟨

Pf

(

H(x)

x

)

, ϕ

⟩

= limε→0+

+∞∫

ε

ϕ(x)

xdx+ ϕ(0) log ε

est une distribution d’ordre inferieure egal a 1. Faisant appel une deuxieme fois a la

partition de l’unite 1.3.1 page 10 et en utilisant les memes notations que dans l’exemple

precedent pour montrer que cette distribution est d’ordre exactment 1.

Exemple 3.1.6 Soit x0 ∈ Ω alors u(ϕ) = ∂αϕ(x0), avec α ∈ Nn, est une distribution

d’orde |α|. En effet, supposons que u est d’ordre |β| < |α| et choisissons ψ ∈ D′(Ω) telle

que ψ(0) = 1 et posons

ϕε(x) = (x− x0)αψ

(

x− x0

ε

)

,

avec ε > 0. Un calcul simple montre que u(ϕε) = α! alors que

supx∈Ω

|∂βϕε| ≤ K.ε|α|−|β| → 0 si ε → 0 et |β| < |α|.


3.2 Derivees partielles au sens des distributions

Considerons une fonction f de classe C1 dans Rn et analysons l’action de ses derivees

partielles sur les fonctions tests. Si ϕ ∈ D(Ω) alors :

⟨

∂f

∂xk

, ϕ

⟩

=

∫

Rn

∂f

∂xk

(x)ϕ(x)dx = [f(x)ϕ(x)]+∞−∞ −

∫

Rn

∂ϕ

∂xk

(x)f(x)dx

= −∫

Rn

∂ϕ

∂xk(x)f(x)dx = −

⟨

f,∂ϕ

∂xk

⟩

Cette derniere formule a-t-elle un sens si on remplace f par une distribution ? Plus

precisement, on a :

Proposition 3.2.1 Soit Ω un ouvert de Rn et T ∈ D′(Ω). Pour tout 1 ≤ i ≤ n, la

forme lineaire definie par

ϕ → −⟨

T,∂ϕ

∂xk

⟩

, ϕ ∈ D(Ω)

est une distribution. Si T est d’ordre mK sur tout compact K, alors cette distriburion

est d’ordre 1 +mK .

Preuve : Pour tout ϕ ∈ DK(Ω), on a

∣

∣

∣

∣

⟨

T,∂ϕ

∂xk

⟩∣

∣

∣

∣

≤ CK . sup|α|≤mK

∥

∥

∥

∥

∂α

(

∂ϕ

∂xk

)∥

∥

∥

∥

∞≤ CK . sup

|β|≤1+mK

∥

∥∂βϕ∥

∥

∞ .

Definition 3.2.1 Soit Ω un ouvert de Rn et T ∈ D′(Ω). La derivee partielle de T par

rapport a la variable xk, 1 ≤ k ≤ Ω, est la distribution ∂T/∂xk definie par la formule

⟨

∂T

∂xk

, ϕ

⟩

= −⟨

T,∂ϕ

∂xk

⟩

, ∀ϕ ∈ D(Ω).

Soient α = (α1, · · · , αn) ∈ Nn un multi-indice et T ∈ D′(Ω). Par recurrence, on definit la

derivee partielle de T d’ordre α pat

〈∂αT, ϕ〉 = (−1)|α| 〈T, ∂αϕ〉 , ∀ϕ ∈ D(Ω).

Si Tf est une distribution reguliere definie par une fonction f localement integrable sur Ω,

une derivation par partie montre que la derivee partielle d’ordre |α| de Tf coincide avec


la derivee partielle d’ordre |α|de f au sens des fonctions. En particulier, si Tf est une

distribution reguliere associee a f ∈ L1ℓoc(Ω) ou Ω ⊂ R, on a

T ′f = −Tf ′ .

La derivation des distributions verifie les proprites suivantes :

• La derivation, au sens des distributions, est definie partout sur D′(Ω).

• Chaque distribution sur Rn admet des derivees partielles de tout ordre.

• Si T ∈ D′(Ω), alors :

∂2T

∂xi∂xk

=∂2T

∂xk∂xi

, 1 ≤ i, k ≤ n.

C’est une consequence du lemme de Schwarz. Pour f ∈ L1ℓoc(Ω), on a :

T ′′f = Tf ′′

Exemple 3.2.1 La fonction log |x| est localement integrable sur Rn, elle definie une

distribution dont la derivee est, d’apres l’exemple ??,⟨

vp

(

1

x

)

, ϕ

⟩

= −∫ ∞

−∞log |x|.ϕ′(x)dx =

∫ ∞

−∞(log |x|)′.ϕ(x)dx = 〈(log |x|)′, ϕ〉 , ∀ϕ ∈ D(Rn)

Donc

d

dxlog |x| = vp

(

1

x

)

.

Exemple 3.2.2 Supposons que Ω = R et considerons la fonction de Heaviside sur R :

H(x) =

1 si x ≥ 0

0 si x < 0

Sa derivee au sens des distributions est

< H ′(x), ϕ >= − < H,ϕ′(x) >= −∫ ∞

0

ϕ′(x) = ϕ(0) =< δ, ϕ >, ∀ϕ ∈ D(R).

Donc

H ′ = δ.


Remarque : La fonction de Heaviside est discontinue a l’origine dont le saut de dis-

continuite est egal a 1. On peut dire que sa derivee au sens des distributions est egale

au saut de la discontinuite par la mesure de Dirac a l’origine.

Exemple 3.2.3 Posons x+ = max(x, 0), alors T ′x+ = H(x).

Exemple 3.2.4 On a T ′′|x|/2 = δ.

Exemple 3.2.5 Soit f une fonction derivable sur R sauf au point x0 ou elle presente

une discontinuite de premiere espece. Soit h0 = f(x+0 ) − f(x−0 ) le saut de f au point x0.

Alors, par inetgration par parties et en tenant compte du fait que ϕ est nulle a l’infini,

on obtient

< T ′f , ϕ > = − < Tf , ϕ

′ >= −∫ x0

−∞f(x)ϕ′(x)dx−

∫ +∞

x0

ϕ′(x)dx

= ϕ(x0)[f(x+0 ) − f(x−0 )] +

∫ +∞

−∞f ′(x)ϕ(x)dx

= ϕ(x0)h0+ < Tf ′ , ϕ >

= < h0δx0, ϕ > + < Tf ′ , ϕ > .

Ainsi, on a

T ′f = Tf ′ + h0δx0

.

Plus generalement, nous allons maintenant etendre ce resultat a une classe de distributions

regulieres associees a des fonctions de classe C1 par morceaux definies sur un intervalle

ouvert ]a, b[.

Definition 3.2.2 On dit que f definie dans un intervalle ]a, b[ est de classe C1 par

morceaux s’il existe un nombre fini de points −∞ ≤ a = a0 < a1 < · · · < an = b < +∞tels que, dans chacun des intervalles ]ai, ai+1[, la derivee f ′ existe et continue et se prolonge

par continuite dans les intervalles ]a0, a1], · · · , [ai, ai+1], · · · , [an−1, an[.

Posons hi = f(a+i ) − f(a−i ) le saut de f au point ai.

Theoreme 3.2.2 Avec les notations precedentes, on a

T ′f = Tf ′ +

n−1∑

i=1

hiδai.


Preuve : En integrant par parties dans chacun des intervalles [ai, ai+1], le theoreme se

deduit aisement de l’exemple precedent.

Nous allons, maintenant, etudier l’application lineaire ∂ : D′(R) → D′(R) :

L’application continue ∂ : D(R) → D(R) est injective puisque ∂ϕ = 0 implique que ϕ est

une constante, comme elle est de support compact alors ϕ = 0.

Proposition 3.2.3 L’application ∂ : D(R) → D(R) est un morphisme injective strict

d’image un hyperplan ferme H . Soit ϕ0 donnee de D(R) telle que+∞∫

−∞ϕ0(x)dx = 1,

alors chaque element ϕ ∈ D(R) admet une decomposition unique

ϕ = λϕ0 + χ,

ou λ =+∞∫

−∞ϕ(x)dx et χ ∈ H .

Preuve : Une fonction χ ∈ D(R) est dans le sous-espace H = Im(∂) si, et seulement si,

elle verifie la relation

+∞∫

−∞

χ(x)dx = 0 (∗)

En effet, si χ = ∂ψ pour ψ ∈ D(R), alors

+∞∫

−∞

χ(x)dx =

+∞∫

−∞

∂ψ(x)dx = ψ(x)|+∞−∞ = 0.

Inversement, si χ satisfait (∗), alors la fonction ψ definie par

ψ(x) =

+∞∫

−∞

χ(x)dx

est un element de D(R) du moment que ψ est une constante pour les vaelurs de x assez

large, et d’apres (∗) cette constante ne peut etre que 0. Donc χ = ∂ψ.

La forme lineaire χ→+∞∫

−∞χ(x)dx est continue sur D(R). Donc H est un hyperplan ferme

de D(R) d’equation (∗).Soit ϕ0 une fonction fixee de D(R) telle que

+∞∫

−∞ϕ0(x)dx = 0. Chaque ϕ ∈ D(R) admet

une decomposition unique ϕ = λϕ0 + χ ou λ ∈ R et χ ∈ H . En effet, si l’on pose

λ =+∞∫

−∞ϕ(x)dx, alors ϕ−λϕ0 ∈ H et si λ1ϕ0 +χ1 = λ2ϕ0 +χ2, il vient que (λ1 −λ2)ϕ0 =


χ2 −χ1 ∈ H ; ainsi λ1 = λ2 et χ1 = χ2. Enfin, l’application χ = ∂ψ → ψ de H dans D(R)

est continue. Or, d’apres la proposition 2.5.1 p. 26, il suffit de montrer que pour chaque

compact K de R l’application χ → ψ de H ∩ DK(R) dans D(R) est continue. Soit V un

voisinage de 0 dans D(R) et soit K ′ = [a, b] un compact contenant K. Alors V ∩ D(K ′)

contient un ensemble de la forme ψ : |∂pψ(x)| ≤ ε, p ≥ m, ε > 0 et m ∈ N. Soit U un

voisinage de 0 dans H ∩ D(K) definie par

χ : |χ(x)| ≤ ε

b− a, |∂pχ(x)| ≤ ε, 0 ≤ p ≤ m− 1

.

Alors χ ∈ U implique ψ ∈ V du moment que

|ψ(x)| ≤

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x∫

a

χ(t)dt

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤ ε

b− a(b− a) = ε

et

|∂pψ(x)| = |∂p−1χ(x)| ≤ ε, pour 1 ≤ p ≤ m.

Proposition 3.2.4 L’application ∂ : D′(R) → D′(R) est un morphisme surjective

stricte dont le noyau est une sous-espace de D′(R) de dimension 1, forme par toutes

les distributions TC asociees a une constante C.

Preuve : On procede en trois etapes :

1) Soit T ∈ D′(R) tel que ∂T = S. En utilisant la decomposition de la proposition 3.2.3

p. 39, on a

< T, ϕ >= λ < T, ϕ0 > + < T, χ >= λ < T, ϕ0 > − < S, ψ >

ou χ = ∂ψ. En particulier, si S = 0, on a

< T, ϕ >= λ < T, φ0 >=

+∞∫

−∞

ϕ(x)dx;

c’est-a-dire T = Tf ou f(x) =< T, ϕ0 >.

2) Montrons que ∂ est surjective. Pour un S ∈ D′(R) donnee, choisissons une constante

k ∈ K et definissons T par

< T, ϕ >= kλ− < S, ψ >,

lorsque ϕ est une fonction arbitraire de D(R). Comme la decomposition de ϕ est

unique, T est une forme lineaire bien definie sur D(R). De plus T est contine comme

composition de fonction continues en application de la proposition 3.2.3. Enfin

< ∂T, ψ >= − < T, ∂ψ >=< S, ψ >

pour tout ψ ∈ D(R) c’est-a-dire ∂T = S. Observons, d’apres 1), la distribution T

est completement determinee par k =< T, ϕ0 >.


3) Pour chaque S ∈ D′(R) on associe une distribution T ∈ D′(R) telle que ∂T = S et

< T, ϕ0 >= 0. Posons T = I(S). L’application I : D′(R) → D′(R) est lineaire. Par

defintion, on a ∂I(S) = S, ∀S ∈ D′(R) et d’apres 1) on a

< I(S), ϕ >= − < S, ψ >, ∀S ∈ D′(R) et ϕ ∈ D(R).

Ainsi, −I est la transposee de l’application lineaire continue ϕ → ψ. D’ou I est

continue.

Remarque : D’apres ce qui precede on a

D′(R) = N ⊕ L,

ou N est forme par les distributions constantes et L par les distributions qui s’annulent

en ϕ0. Si ϕ = λϕ0 + χ ∈ D(R) , et T = k + U ∈ D′(R) ou U ∈ L, alors

< T, ϕ >= kλ+ < T, χ > .

Corollaire 3.2.3 ① Pour tout distribution S ∈ D′(R) et pour tout p ∈ N, il existe

une distribution T ∈ D′(R) telle que

∂pT = S.

② Si T ∈ D′(R) est telle que ∂pT = 0, alors T = Tf ou f est un polynome de degre

inferieure ou egal a p− 1.

Preuve : D’apres la proposition 3.2.4 p. 40, ce reultat est vrai pour p = 1. Supposons

qu’il est vrai pour p− 1 (p > 1). Il existe alors U ∈ D′(R) tel que ∂p−1U = S. D’apres la

proposition 3.2.4, il existe T ∈ D′(R) tel que ∂T = U . D’ou ∂pT = ∂p−1U = S, d’ou 1).

On procede de la meme maniere pour 2).

Proposition 3.2.5 Pour tout S ∈ D′(R), il existe T ∈ D′(R) tel que xT = S.

Si T0 est tel que xT0 = S, l’ensembles des solutions de l’equation xT = S est T0 +

kδ, k ∈ K.

Preuve : Soit χ ∈ D(R) tel que χ(0) = 1. Pour tout ϕ ∈ D(R) on associe une une

fonction ϕ definie par

ϕ(x) =

∫ 1

0

[ϕ′(tx) − ϕ(0)χ ′(tx)]dt.


L’application ϕ→ ϕ etant continue de D(R) dans lui meme comme on peut le constater

facilement. En plus, si x ∈ R∗, on a ϕ(x) =ϕ(x) − ϕ(0)χ ′(tx)

x. On pose, pour ϕ ∈ D(R),

< T, ϕ >=< S, ϕ > .

Or, ϕ → ϕ est continue alors T ∈ D′(R). Mais comme xϕ = ϕ alors on a xT = S. Soit

T ∈ D′(R) tel que xT = 0, alors pour ϕ ∈ D(R), on a

0 =< xT, ϕ >=< T, ϕ− ϕ(0)χ >=< T, ϕ > − < T, χ >< δ, ϕ > .

D’ou T =< T, χ > δ.

3.3 Multiplication des distributions

La fonction f(x) = 1√x∈ L1

ℓoc(R) definie une distribution Tf ∈ D(R). Par contre, le

produit f 2 = f.f donne la fonction g(x) = 1|x| qui n’est pas inetgrable au voisinage de

0, et ne definit pas une distribution sur R. Ainsi, le produit de deux distributions, n’est

pas en general une distribution. Mais, on montrera que l’on peut definir le produit d’une

fonction C∞ par une distribution sur Rn.

Proposition 3.3.1 Soit f ∈ C∞(Ω) et T ∈ D′(Ω). Alors la forme lineaire sur D(Ω)

definie par

ϕ→< T, fϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω)

est une distribution sur Rn note fT d’ordre inferieure a celui de T . Ainsi

< fT, ϕ >=< T, fϕ >, f ∈ C∞(Ω), T ∈ D′(Ω).

Preuve : < fT, ϕ > est bien definie car fϕ ∈ D(Ω) pour ϕ ∈ D(Ω) et f ∈ C∞(Ω).

D’autre part, si ϕ ∈ DK(Ω) pour un certain K compact de Ω alors fϕ ∈ D

K(Ω) et l’on a

| < fT, ϕ > | = | < T, fϕ > | ≤ CK sup|α|≤mK

||∂α(fϕ)||∞.

Mais, la formule de Liebniz, s’ecrit ∂α(fϕ) =∑

β≤α

Cβα∂

β∂α−βϕ et donc

sup|α|≤mK

||∂α(fϕ)||∞ ≤ C(n,mK) sup|α|≤mK

||∂αf‖|∞. sup|α|≤mK

||∂αϕ||∞.

Ce qui donne, en posant CK =≤ C(n,mK) sup|α|≤mK

||∂αf‖|∞, que

| < fT, ϕ > | ≤ CK . sup|α|≤mK

||∂αϕ||∞, ∀ϕ ∈ DK(Ω),

ce qui signifie que fT ∈ D′(Ω) et que ordK(fT ) ≤ ordK(T ) pour tout compact K de Ω.


Exemple 3.3.1 Soit f ∈ C∞(Ω) et a ∈ Ω, on a

< fδa, ϕ >=< δa, fϕ >=< f(a)δ(a), ϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω).

Ainsi

fδa = f(a)δ(a).

En particulier,

xδ = 0.

Exemple 3.3.2 Soit f ∈ C(R) et T ∈ D′(R), alors en appliquant une derivation par

parties on obtient, au sens des distributions :

(fT )′ = fT ′ + f ′T.

Proposition 3.3.2 [Formule de Leibniz] Si f ∈ C∞(Ω) et T ∈ D′(Ω) alors

∂

∂xi

(f.T ) =∂f

∂xi

.T + f.∂T

∂xi

, ∀1 ≤ k ≤ n.

Preuve : Pour tout ϕ ∈ D(Ω), on a⟨

∂

∂xi

(f.T ), ϕ

⟩

= −⟨

f.T,∂ϕ

∂xi

⟩

= −⟨

T, f.∂ϕ

∂xi

⟩

= −⟨

T,∂

∂xi

(fϕ) − ∂f

∂xi

.ϕ

⟩

=

⟨

∂T

∂xi, fϕ

⟩

+

⟨

∂f

∂xiT, ϕ

⟩

=

⟨

∂f

∂xi.T + f.

∂T

∂xi, ϕ

⟩

.

Exemple 3.3.3 Pour tout x ∈ R, on a

x.vp

(

1

x

)

= 1.

En effet, pour ϕ ∈ D(R) on a

⟨

x.vp

(

1

x

)

, ϕ

⟩

=

⟨

vp

(

1

x

)

, xϕ

⟩

=

+∞∫

0

xϕ(x) − xϕ(−x)x

dx

=

+∞∫

0

(ϕ(x) − ϕ(−x))dx =

+∞∫

−∞

1.ϕ(x)dx

= < 1, ϕ >,

ou 1 designe la distribution reguliere associee a la fonction constante x→ 1.


Exemple 3.3.4 [Equation xT = 1]. Comme x.vp

(

1

x

)

= 1, d’apres la proposi-

tion 3.2.5 page 41, alors

xT = 1 ⇐⇒ ∃k ∈ K : T = vp

(

1

x

)

+ kδ, k ∈ K.

Exemple 3.3.5 La fonction x → 1/x2 n’est pas localement integrable sur R, on

ne peut pas, de ce fait, lui associer une distribution reguliere. Pour eliminer la partie

divergente de l’integrale+∞∫

0

ϕ(x)

x2pour ϕ ∈ D(R), on definit la partie finie de cette

integrale par

⟨

Pf

(

1

x2

)

, ϕ

⟩

=

+∞∫

0

ϕ(x) + ϕ(−x) − 2ϕ(0)

x2dx.

On verifie facilement que l’on a

xPf

(

1

x2

)

= vp

(

1

x

)

et x2Pf

(

1

x2

)

= 1.

Exemple 3.3.6 considerons les fonctions suivantes :

π(x) =

0 si |x| ≥ 1/2

1 si |x| < 1/2

et sgn(x) =|x|x.

Claculons leurs derivees au sens des distributions. On peut les exprimes en terme de la

fonction de Heaviside H , il vient que

π(x) = H

(

x+1

2

)

−H

(

x− 1

2

)

et sgn(x) = 2H(x) − 1.

Comme H ′(x) = δ(x), au sens des distributions, il vient que

π′(x) = δ

(

x+1

2

)

− δ

(

x+1

2

)

et sgn′(x) = 2δ(x).

Exemple 3.3.7 Considerons la suite de fonctions

Yn(x) =

1 si x > 12n

n(

x+ 12n

)

si − 12n< x ≤ 1

2n

0 si x ≤ − 12n

.


Au sens des fonctions, la suite (Yn)n converge simplement vers la fonction

Y (x) =

1 si x > 012

si x = 0

0 si x ≤ 0.

Chaque fonction Yn est continue, derivable presque partout dont la derivee admet des

discontinuite de premieres especes aux points − 12n

et 12n

. Un calcul directe montre qu’au

sens des distributions on a Y ′n = n.χ

]− 12n , 1

2n [. En effet, pour tout ϕ ∈ D)(R, on a

< Y ′n, ϕ >= − < Yn, ϕ >= −

∫ 12n

− 12n

Y ′n(x)ϕ(x)dx−−

∫ +∞

12n

ϕ(x)dx = I1 + I2.

Une integration par parties de I1 et I2 donnera

I1 = −ϕ(

1

2n

)

+ n

∫ 12n

− 12n

ϕ(x)dx et I2 = ϕ

(

1

2n

)

.

D’ou

I = n

∫ 12n

− 12n

ϕ(x)dx =

∫ +∞

−∞n.χ]− 1

2n, 12n [ϕ(x)dx =

⟨

n.χ]− 1

2n , 12n [, ϕ

⟩

.

Proposition 3.3.3 Dans R3, on a

∆

(

1

|x|

)

= −4πδ0

ou r = |x| =√

x21 + x2

2 + x23.

Preuve : Notons par n(x) = − x

|x| la normale exterieure a B(0, ε)c. Soit ϕ une fonction

test, on a⟨

−∆

(

1

|x|

)

, ϕ

⟩

= −∫

R3

|x|−1∆ϕ(x)dx = −∫

B(0,ε)c

|x|−1∆ϕ(x)dx+O(ε2)

=

∫

B(0,ε)c

∇(|x|−1)∇ϕ(x)dx−∫

S(0,ε)

|x|−1∇ϕ(x).n(x)dσ(x) +O(ε2)

=

∫

B(0,ε)c

−|x|−3x.∇ϕ(x)dx+ ε−1

∫

S(0,ε)

∇ϕ(x).x

|x|dσ(x) +O(ε2)

=

∫

B(0,ε)c

∇(|x|−3x)ϕ(x)dx−∫

S(0,ε)

|x|−3x.n(x)ϕ(x)dσ(x) +O(ε)

=

∫

S(0,ε)

|x|−2ϕ(x)dσ(x)dx+O(ε) = ε2

∫

S(0,1)

ε−2ϕ(εy)dσ(y) +O(ε)

= 4πϕ(0) +O(ε). D’ou le resultat.


3.4 Transformations de distributions

3.4.1 Translation d’une distribution

Soit f : Rn → K une fonction et h ∈ Rn.

Definition 3.4.1 La translation τhf de f par h est definie par

τhf(x) = f(x − h), ∀x ∈ Rn.

Supposons que f ∈ L1ℓoc(Ω), la distributions reguliere associee a τhf s’ecrit, pour tout

ϕ ∈ D(Ω), comme :

< Tτhf , ϕ >=

∫

Rn

f(x−h)ϕ(x)dx =

∫

Rn

f(x)ϕ(x+h)dx =

∫

Rn

f(x)τ−hϕ(x)dx =< Tf , τ−hϕ > .

Ceci justifie la definition suivante :

Definition 3.4.2 Soit T ∈ D′(Ω). La translation de T par h ∈ Rn est la distribution

τhT definie par

< τhT, ϕ >=< T, τ−hϕ >

pour tout ϕ ∈ D(Ω). Soit que

τhT = T τ−h

La distribution T est dite periodique de periode h si τhT = T

Exemple 3.4.1 Pour tout ϕ ∈ D(Ω) on a

< τhδ, ϕ >=< δ, τ−hϕ >= τ−hϕ(0) = ϕ(h) =< δh, ϕ > .

D’ou

τhδ = δh.

3.4.2 Symetrie d’une distribution

Soit f ∈ L1ℓoc(R). Definissons f par f(x) = f(−x). Le graphe de f est le symetrique de

celui de f par rapport a l’axe y′oy. Pour tout ϕ ∈ D(R), on a

< Tf , ϕ >=

∫ +∞

−∞f(−x)ϕ(x)dx =

∫ +∞

−∞f(x)ϕ(−x)dx =< T, ϕ > .


On est amene a definir

< T , ϕ >=< T, ϕ >; ∀ϕ ∈ D(Ω).

On verifie, facilement, que T est une distribution dite symetrique de T . La distribution

T est dite paire si T = T . Une ditribution T est dite impaire si T = −T .

Exemple 3.4.2 On verifie que δ = δ, donc δ est une distribution paire. D’autre part,

la distribution δ′ est impaire car δ′ = δ′. Par ailleurs, on verifie que toute distribution

peut s’ecrire comme la somme d’une distribution paire et d’une distribution impaire.

3.4.3 Changement d’echelle et distributions homogenes

Soit hλ : x → λx l’homothetie de rapport (λ 6= 0), de R dans R. Son application inverse

est l’homothetie hλ−1(x) = h 1

λ(x) de rapport 1

λ.

Definition 3.4.3 La transformee de la distribution T ∈ D(R) par l’application hλ est la

distribution T hλ definie par

< T hλ, ϕ >=1

|λ| < T, ϕ h 1

λ> .

Si T hλ = T , on dit que T est invariante par hλ.

On dira que la distribution T est homogene de degre p, p entier, si

T hλ = λpT.

Exemple 3.4.3 La distribution |x| est homogene de degre 1. La distribution sgn(x)

est homogene de degre 0. Par contre, les distributions vp

(

1

x

)

et Pf

(

1

x2

)

sont homogenes

de degres respectifs −1 et −2 :⟨

vp

(

1

x

)

hλ, ϕ

⟩

=1

|λ|

⟨

vp

(

1

x

)

, ϕ h 1λ

⟩

=

∫ +∞

0

ϕ(

xλ

)

− ϕ(

−xλ

)

x

dx

λ

= λ−1

∫ +∞

0

ϕ(x) − ϕ(−x)x

dx

= λ−1

⟨

vp

(

1

x

)

, ϕ

⟩

.

⟨

Pf

(

1

x2

)

hλ, ϕ

⟩

=1

|λ|

⟨

Pf

(

1

x2

)

, ϕ h 1λ

⟩


=

∫ +∞

0

ϕ(

xλ

)

+ ϕ(

−xλ

)

− 2ϕ(0)

x2

dx

λ

= λ−2

∫ +∞

0

ϕ(x) + ϕ(−x) − 2ϕ(0)

xdx

= λ−2

⟨

Pf

(

1

x2

)

, ϕ

⟩

.

3.5 Topologies sur l’espace D′(Ω)

Nous avons etudier les topologies faible et forte, dans le cas general, sur des espaces

vectoriels topologiques. Plus particulierement, dans l’espace de distributions D′(Ω), la

topologie faible est la topologie engendree par la famille de semi-normes definies par

pϕ(T ) = | < T, ϕ > |, ϕ ∈ D(Ω) et T ∈ D′(Ω),

faisant de D(Ω) un espace localement convexe. La convergence pour cette topologie est

la convergence simple :

Une suite de distributions (Ti) de D′(Ω) converge faiblement vers 0 si, et seulement si,

pour tout ϕ ∈ D(Ω), la suite numerique (< Ti, ϕ >) converge vers 0 dans K = R ou C.

D’autre part, la topologie forte sur D′(Ω) est la topologie localement convexe definie

par la famille de semi-normes sur les parties polaires de sous-ensembles bornes de D(Ω).

La convergence pour cette topologie est la convergence uniforme :

Une suite de distributions (Ti) de D′(Ω) converge fortement vers 0 si, et seulement si,

pour tout ϕ ∈ D(Ω), la suite numerique (< Ti, ϕ >) converge uniformement vers 0,

dans K = R ou C, sur les parties bornees de D(Ω) .

3.6 Topologies sur l’espace E′(Ω) des distributions a

support compact

Definition 3.6.1 On dit qu’une distribution T est nulle dans l’ouvert U ⊂ Ω ⊂ Rn si

T (ϕ) = 0 pour toute ϕ ∈ D(Ω) tel que supp(ϕ) ⊂ U .


Considerons un ouvert U ⊂ Ω et T ∈ D′(Ω). Toute fonction test ϕ ∈ D(U) definit une

fonction test ϕ ∈ D(Ω) par

ϕ(x) =

ϕ(x) si x ∈ V

0 si x ∈ Ω \ V .La restriction de T a l’ouvert U , notee T |U , est definie par

< T |U , ϕ >=< T, ϕ >, ∀ϕ ∈ D(U).

Proposition 3.6.1 Soit T ∈ D′(Ω). Il existe un plus grand ouvert U ⊂ Ω tel que la

restriction T |U soit nulle.

Preuve : Considerons (Ui)i∈I une famille d’ouverts de Ω tel que T |Ui= 0. Notons U

leurs reunion. On doit montrer que T |U = 0. Pour cela, soit ϕ ∈ D(U). On peut trouver

un nombre fini d’ouverts U1, · · · , Un tels que

supp(ϕ) ⊂n⋃

i=1

Ui et T |Ui= 0, ∀i = 1, · · · , n.

Soit (ρi)i=1,··· ,n une partition de l’unite associee au recouvrement de supp(ϕ) par les ouverts

(Ui)i=1,··· ,n, alors ϕ =n∑

i=1

ρiϕ avec ρiϕ ∈ D(Ui). Donc

< T, ϕ >=

n∑

i=1

< T, ρiϕ >=

n∑

i=1

< T |Ui, ρiϕ >= 0.

Definition 3.6.2 Le support d’une distribution T , est le plus petit ferme tel que T soit

nulle dans son complementaire. On le note supp(T ).

Exemple 3.6.1 Le support d’une distribution reguliere Tf s’identifie au support de

la fonction f ∈ L1ℓoc(Ω) c’est-a-dire supp(Tf) = supp(f).

Exemple 3.6.2 Le support de la distribution associee a la fonction de Heaviside est

le ferme x ∈ R : x ≥ 0.

Exemple 3.6.3 Le support de la distribution de Dirac est 0, dit support ponctuel.

Exemple 3.6.4 Soit T ∈ D(Ω) definit par < T, ϕ >= ∂αϕ(a) avec ϕ ∈ D(Ω) et

α ∈ Nn. Alors supp(T ) = a. En effet, si ϕ ∈ D(Ω \ a) on a < T, ϕ >= 0, donc

supp(T ) ⊂ a. Pour montrer que a ∈ supp(T ) on considere un voisinage ouvert V ∈ Va

de a et χ ∈ D(V ) telle que χ ≡ 1 au voisinage de a. Posons ϕ(x) =(x− a)α

α!χ(x);

alors ϕ ∈ D(V ). En utilisant la formule de Leibniz, on trouve que ∂αϕ(a) = 1 donc

a ∈ supp(T ).


Notons par E′(Ω) le dual topologique de l’espace fonctionnel E(Ω) = C∞(Ω) muni de sa

topologie naturelle.

Theoreme 3.6.2 L’application injective

Id : D(Ω) → E(Ω).

est continue.

Preuve : Considerons (Ki) une famille exhaustive de sous-ensembles compacts de Ω.

Par definition, l’injection DKi

(Ω) → E(Ω) est continue. D’apres la proposition 2.5.1, Il

s’ensuit la continuite de Id car D(Ω) =⋃

i

DKi

(Ω).

Comme consequence a ce resultat, tout sous-ensemble borne de D(Ω) est un sous-ensemble

borne de l’espace E(Ω). De plus,

Theoreme 3.6.3 L’ensemble D(Ω) est un sous-espace dense dans E(Ω).

Preuve : Soit (Ki) une famille exhaustive de sous-ensembles compacts de Ω. Il existe

une famille de fonctions de D(Ω), notee (βi), telle que βi ≡ 1 dans chaque voisinage de

Ki. Si ϕ ∈ D(Ω), posons ϕi = βiϕ ∈ D(Ω). On verifie, aussitot, que ϕi → ϕ dans D(Ω).

D’autre part, on a l’injection

E′(Ω) → D′(Ω).

Ainsi, Tout element T ∈ E′(Ω) definie une distribution sur Ω.

Theoreme 3.6.4 T ∈ E′(Ω) si, et seulement si, il existe une constante C > 0,

un entier m ≥ 0 et un compact K ⊂ Ω tel que :

| < T, ϕ >≤ C. sup|α|≤m,x∈K

|∂αϕ(x)|, ∀ϕ ∈ E(Ω).

Preuve : Si T ∈ E′(Ω) il existe un voisinage de 0 dans E(Ω) de la forme

V = ϕ ∈ E(Ω) : pm,K(ϕ) ≤ ε

tel que

| < T, ϕ > | ≤ 1, ∀ϕ ∈ V.


Choisissons ϕ tel que pm,K(ϕ) 6= 0. Alors, ε/pm,K(ϕ) ∈ V , il s’ensuit que

| < T, ϕ > | ≤ ε−1.pm,K(ϕ).

D’autre part, soit ϕ ∈ E(Ω) verifiant pm,K(ϕ) = 0, alors < T, ϕ >= 0. En effet, une

telle fonction ϕ est dans V ainsi que les fonctions λϕ, λ ∈ K. Si < T, ϕ > 6= 0, alors

| < T, λϕ > | peut etre choisie assez large qu’on le souhaite ; ce qui contredit la premiere

inegalite. Par consequent, la premiere inegalite reste vraie pour tout ϕ ∈ E(Ω). Le reste

de la preuve est evident.

Plus precisement, nous allons montrer que :

Theoreme 3.6.5 Les elements de l’espace fonctionnel E′(Ω) sont des distributions

a supports compacts contenus dans Ω.

Preuve : Dans la preuve precedente, nous avons montre que si T ∈ E′(Ω), il existe

ε ≥ 0, un entier m ≥ 0 et un compact K de Ω tel que pour tout ϕ ∈ E(Ω) verifiant

pm,k(ϕ) ≤ ε alors | < T, ϕ > | ≤ 1. On a, aussi, remarque que pour tout ϕ ∈ E(Ω)

verifiant pm,K(ϕ) = 0 on a | < T, ϕ > | = 0. Comme tout ϕ ∈ D(Ω \ K) verifie cette

condition, il s’ensuit que T serait nulle sur Ω \K, donc le support de T est contenu dans

K.

3.7 Limites de distributions

Definition 3.7.1 On dit qu’une suite Tn de D′(Ω) converge vers T ∈ D′(Ω) si

limn→∞

〈Tn, ϕ〉 = 〈T, ϕ〉 ∀ϕ ∈ D(Ω).

Le resultat suivant donne quelques conditions suffisantes pour la convergence dans D′.

Proposition 3.7.1 Les conditions suivantes sont suffisantes pour qu’on ait fn → f

dans D′(Ω) :

① fn → f dans L1(Ω).

② fn → f dans L2(Ω).

③ Si fn → f dans L1(Ω), il existe g ∈ L1ℓoc(Ω) telle que |fi| ≤ g pour tout n.

Preuve : Supposons que fn → f dans L1(Ω). Or, pour tout n ∈ N, on a

∣

∣

∣

∣

∫

Ω

fn(x)ϕ)x)dx−∫

Ω

f(x)ϕ)x)dx

∣

∣

∣

∣

≤ ‖ϕ‖∞.‖fn − f‖L1(Ω), ∀ϕ ∈ D(Ω)


on obtient que fn → f dans D′(Ω) d’ou ①. Supposons que fn → f dans L2(Ω). D’apres

l’inegalite de Cauchy-Schwarz, pour tout n ∈ N, on a

∣

∣

∣

∣

∫

Ω

fn(x)ϕ)x)dx−∫

Ω

f(x)ϕ)x)dx

∣

∣

∣

∣

≤ ‖ϕ‖L2(Ω).‖fn − f‖L2(Ω), ∀ϕ ∈ D(Ω)

on obtient que fn → f dans D′(Ω) d’ou ②. Soit ϕ ∈ D(Ω) de support K dont la

fonction caracteristique est χK . Alors |fn(x)ϕ(x)| ≤ |g(x)|.|χK(x)|.||ϕ||∞ pour presque

tout x ∈ Ω. Comme la fonction x → |g(x)|.|χK(x)|.||ϕ||∞ est clairement dans L1(Ω),

la conclusion decouleen applicant le theoreme de la convergence dominee de Lebesgue,

d’ou ③.

Proposition 3.7.2 Soit Tn une suite telle que Tn → T dans D′(Ω). Alors, pour

tout multi-indice α ∈ Nn fixe, on a ∂αTn → ∂αT dans D′(Ω).

Preuve : On a 〈∂αTn, ϕ〉 = (−1)|α| 〈Tn, ∂αϕ〉 → (−1)|α| 〈T, ∂αϕ〉 = 〈∂αT, ϕ〉 Pour tout

ϕ ∈ D(Ω).

Exemple 3.7.1 D’apres la proposition 3.7.1, on peut calculer d’une maniere differente

la derivee dans D′(R) de x → log |x| (qui est dans L1ℓoc(R)). En effet, soit fε la fonction

definie par

fε(x) =

log |x| si |x| ≥ ε

log |ε| si |x| < ε.

C’est une fonction par morceaux et coninue donc, sa derivee dans D′(R) est donnee par

fε(x) =

1

xsi |x| ≥ ε

0 si |x| < ε.

Par ailleurs, on a fε(x) → f(x) et |fε(x)| ≤ |f(x)| presque partout donc d’apres la

proposition 3.7.1, fε → f dans D′(R). D’apres la proposition 3.7.2, f ′ε → f ′ dans D′(R)

donc

〈(log |x|)′, ϕ〉 = limε→0+

〈f ′ε, ϕ〉 = lim

ε→0+

∫

|x|≥ε

ϕ(x)

xdx,

d’ou la conclusion.

Chapitre 4Convolutions de distributions

4.1 Produit tensoriel de distributions

Soient m et n deux entiers naturels. Considerons Ω1 (resp. Ω2) un ouvert de Rn (resp.

Rm). Il est clair que Ω1 × Ω2 est un ouvert de Rn+m. L’espace vectoriel D(Ω1 × Ω2)

est forme par les fonctions indefiniment differentiables a support compact en (x, y) =

(x1, · · · , xn, y1, · · · , ym) ∈ Ω1 × Ω2.

Definition 4.1.1 Le produit tensoriel, note ϕ1 ⊗ ϕ2, de ϕ1 ∈ D(Ω1) et ϕ2 ∈ D(Ω2), est

definie par

ϕ1 ⊗ ϕ2(x, y) = ϕ1(x)ϕ2(y)

Le produit tensoriel (algebrique) est l’espace vectoriel, note D(Ω1)⊗D(Ω2), forme par les

fonctions de la forme

u(x, y) =n∑

i=1

ϕi1(x).ϕi

2(y).

ou ϕi1 ∈ D(Ω1) et ϕi

2 ∈ D(Ω2).

Le theoreme suivant nous aidera a definir le produit tensoriel de deux distributions.

Theoreme 4.1.1 L’espace D(Ω1) ⊗ D(Ω2) est dense dans D(Ω1 × Ω2).

Preuve : Toute fonction (x, y) 7→ ϕ(x, y) ∈ D(Ω1 × Ω2) peut etre approchee d’aussi

pres qu’on le souhaite par suite de polynomes (x, y) 7→ Pk(x, y). Ces polynomes etant des

sommes de monomes de la forme∑

p,q

xpyq. Comme ces monomes ne sont pas a support

compact, considerons ρ et σ deux fonctions a supports compacts telles que ρ(x)σ(y) ≡


1 sur le support de u ∈ D(Ω1 × Ω2). Il s’ensuit que la suite de fonctions (x, y) 7→ρ(x)σ(y)Pk(x, y) est dans D(Ω1) ⊗ D(Ω2) ; puisque chaque fonction est une somme de

termes de la forme ϕi1(x)ϕ

i2(y). Cette suite converge vers u ∈ D(Ω1 × Ω2).

Comme consequence a ce resultat, toute distribution T ∈ D′(Ω1 × Ω2) est definie par ses

valeurs sur l’espace des fonctions ϕ1 ⊗ ϕ2 ou ϕ1 ∈ D(Ω1) et ϕ2 ∈ D(Ω2).

Theoreme 4.1.2 Soit S ∈ D′(Ω1) et T ∈ D′(Ω2) deux distributions definies respec-

tivement sur Rn et Rm.

① Pour tout ϕ1 ∈ D(Ω1) et ϕ2 ∈ D(Ω2), la distribution S ⊗ T , est definie par .

〈S ⊗ T, ϕ1(x)ϕ2(y)〉 = 〈S, ϕ1(x)〉〈T, ϕ2(y)〉

La distribution S ⊗ T , est dite produit tensoriel de S et T sur Rn × Rm.

② Si ϕ ∈ D(Ω1 × Ω2), la distribution S ⊗ T , est definie par

〈S ⊗ T, ϕ(x, y)〉 = 〈Sx, 〈Ty, ϕ(x, y)〉〉 = 〈Tx, 〈Sy, ϕ(x, y)〉〉 .

Exemple 4.1.1 La distribution de Dirac sur R2 peut s’ecrire δ(x, y) = δ(x)δ(y).

Remarque. Le theoreme ② peut etre interpretee comme etant une extension du

theoreme de Fubini. Ainsi, si l’on considere deux fonctions S = f(x) et T = g(y)

integrables, respectivement, sur deux ouverts Ω1 ⊂ Rn et Ω2 ⊂ Rm , alors

〈Sx, 〈Ty, ϕ(x, y)〉〉 =

∫

Ω1

f(x)

∫

Ω2

g(y)ϕ(x, y)dy

dx

et

〈Ty, 〈Sx, ϕ(x, y)〉〉 =

∫

Ω2

g(y)

∫

Ω1

f(x)ϕ(x, y)dx

dy

sont egales d’apres le theoreme de Fubini.

La preuve du theoreme 4.1.2 s’appuie sur les lemmes suivants qui etendent, aux dis-

tributions, certains resultats sur la continuite et la differentiabilite des integrales a un

parametre.

Lemme 4.1.2 Soit (ϕ(x, λ))λ∈R une famille de D(Ω) a un parametre λ. supposons que :

① Lorsque λ ∈ V (λ0), le support de ϕ(x, λ) est contenu dans un compact fixe de Ω.

② Pour tout p ∈ Nn, les derivees partielles∂pϕ

∂xp(x, λ) sont continues en x et λ.

Alors 〈Tx, ϕ(x, λ)〉 est une fonction continue par rapport a λ pour tout ϕ ∈ D(Ω).


Preuve : Posons ψλ(x) = ϕ(x, λ) − ϕ(x, λ0). Les conditions du lemme assurent que

ψλ → 0 dans D(Ω) lorsque λ → 0. Donc, pour tout T ∈ D′(Ω), on a 〈Tx, ψλ〉 → 0

lorsque λ→ λ0, d’ou la continuite suivant λ de 〈Tx, ϕ(x, λ)〉.

Lemme 4.1.3 Soit (ϕ(x, λ))λ∈R une famille de fonctions a un parametre de D(Ω). sup-

posons que :

① Lorsque λ ∈ V (λ0), le support de ϕ(x, λ) est contenu dans un compact fixe de Ω.

② Pour tout p ∈ Nn,∂

∂λ

(

∂pϕ

∂xp(x, λ)

)

existent et sont continues en x et λ.

Alors 〈Tx, ϕ(x, λ)〉 est differentiable, pour tout T ∈ D(Ω), sur un voisinage de λ0 et

∂

∂λ〈Tx, ϕ(x, λ)〉 =

⟨

Tx,∂ϕ

∂λ(x, λ)

⟩

.

Preuve : Posons

ϕh =ϕ(x, λ+ h) − ϕ(x, λ)

h− ∂ϕ

∂λ(x, λ).

En utilisant les conditions du lemme, on verifie facilement que ϕh → 0 dans D(Ω), donc,

pour tout T ∈ D′(Ω), on a

⟨

Tx,ϕ(x, λ+ h) − ϕ(x, λ)

h

⟩

→⟨

Tx,∂ϕ

∂λ(x, λ)

⟩

lorsque λ→ 0.

Revenons maintenant a la preuve du theoreme precedent.

Preuve du theoreme 4.1.2 : Soit ϕ ∈ D(Ω1×Ω2). D’apres le lemme 4.1.3, 〈 Ty, ϕ(x, y)〉est une fonction de classe C∞ en la variable x = (x1, x2, · · · , xn) et de support compact

contenu dans Ω. Alors, on peut lui appliquer Sx pour obtenir 〈Sx, 〈Ty, ϕ(x, y)〉〉. De la

meme maniere, on montre que 〈Ty, 〈Sx, , ϕ(x, y)〉〉 est bien definie. Si ϕ(x, y) = ϕ1(x).ϕ2(y)

ou ϕ1 ∈ D(Ω1) et ϕ2 ∈ D(Ω2), il est clair que

〈Sx, 〈Ty, ϕ(x, y)〉〉 = 〈Ty, 〈Sx, ϕ(x, y)〉〉 = 〈S, ϕ1〉 . 〈T, ϕ2〉 .

D’apres ce qui precede les deux formes lineaires coicident sur D(Ω1) ⊗ D(Ω2). Enfin,

l’application lineaire ϕ ∈ D(Ω1 × Ω2) → 〈Ty, ϕ(x, y)〉 ∈ D(Ω1). est continue. Elle est ,

aussi, continue sur D(Ω1) ⊗ D(Ω2) muni de la topologie induite par D(Ω1 × Ω2). Ce qui

implique que 〈Ty, 〈Sx, ϕ(x, y)〉〉 et 〈Sx, 〈Ty, ϕ(x, y)〉〉 sont continues.


4.2 Convolution de deux distributions

4.2.1 Motivation et definition

Soient f et g deux fonctions localement integrables dont l’une au moins est a support

compact. Leurs convolution est definie par

(f ∗ g)(x) =

∫

Rn

f(x − y)g(y)dy =

∫

Rn

f(y)g(x − y)dy.

On peut interprete f ∗g comme etant une forme lineaire sur l’espace test D(Rn), en posant

〈f ∗ g, ϕ〉 =

∫

Rn

(f ∗ g)(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Rn).

En remplacant f ∗ g par son expression sous le signe integral et apres changement de

variable, on obtient

〈f ∗ g, ϕ〉 = 〈f(x) ⊗ g(y), ϕ(x + y)〉 .

On peut ainsi redefinir la notion de convolution des fonctions f et g par cette identite.

Mais, il nous reste a donner un sens au crochet de dualite < . > puisque ϕ(x+ y) comme

fonction a deux variables x et y n’est pas a support compact dans Rn × Rm. Ceci sera

aborde d’une maniere plus generale dans ce qui suit.

Definition 4.2.1 Considerons T, S ∈ D′(Rn) et supposons que l’une au moins est a

support compact. La convolution S ∗ T est une distribution sur Rn definie par

〈S ∗ T, ϕ〉 = 〈Sx ⊗ Ty, ϕ(x + y)〉 , ∀ϕ ∈ D(Rn).

Ce produit de convolution existe dans au moins des cas suivants :

① L’une au moins des distributions est a support compact.

② Les deux distributions ont leur support limite a gauche.

Il s’agit, en effet, dans chacun des cas de controler que l’ensemble

(x, y) ∈ R2 : x ∈ supp(S), y ∈ supp(T ) et x+ y ∈ supp(ϕ)

est borne, ce qui donnera un sens a la definition de la convolution.

La convolution est une operation associative, lorsque celle-ci est definie.


Exemple 4.2.1 Algebre de convolution D′+(R) :

On definit

D′+(R) = T ∈ D′(R) : supp(T ) ⊂ R+.

Montrons que T ∗ S est bien defini dans D′+(R) c’est-a-dire que 〈Sx, 〈Ty, ϕ(x+ y)〉〉 a un

sens pour une fonction test ϕ ∈ D(R). Pour cela, posons F (x) = 〈T, ϕ(x+ .)〉. A x

fixe, l’application y → ϕ(x+ y) est C∞c (R), donc F definit bien une fonction C∞(R). On

cherche a justifier le produit de dualite 〈S, F 〉. Soit M > 0 tel que supp(ϕ) ⊂ [−M,M ]

et O un ouvert inclus dans supp(F ). Deux cas se presentent :

① Si O ⊂ R+∗ , alors 〈S, F 〉 = 0 car S ∈ D′

+(R).

② Si O ⊂ R+∗ ∩ [M,+∞[, alors 〈S, F 〉 = 0. En effet, soit x > M et y ∈ supp(T )

c’est-a-dire y ≥ 0, alors x+ y > M et ϕ(x+ y) = 0. Par consequent F (x) = 0.

On en deduit de ce dernier point que supp(F )∩R+ ⊂ [0,M ] c’est-a-dire que supp(F )∩R+

est compact. Et puisque S ∈ D′+(R), alors 〈S, T 〉 est bien defini, ce qui montre que l’on

peut definir le produit de convolution dans D′+(R).

L’element neutre de la convolution dans D′+(R) est δ0 car δ0 ∈ D′

+(R) puisque supp(δ0) =

0 ∈ R+.

Exemple 4.2.2 Le produit de convolution n’est pas associatif lorsque les distributions

sont a support non borne : (H ∗ δ′) ∗ 1 = δ ∗ 1 = 1 6= H ∗ (δ′ ∗ 1) = H ∗ 0 = 0.

Exemple 4.2.3 Pour les distributions dont les supports sont tous limites a gauche

(resp. a droite), le produit de convolution est toujours associatif.

4.2.2 Proprietes de la convolution

① Support d’une convolution :

Soient S, T ∈ D′(Rn) deux distributions dont l’une au moins est a

support compact, alors

supp(S ∗ T ) ⊂ supp(S) + supp(T )

Preuve : Posons A = supp(S) et B = supp(T ). Comme A et B sont fermes

et que l’un d’eux est compact alors A + B est ferme. Posons Ω = (A + B)c.

Considerons ϕ ∈ D(Ω), le support de ϕ(x + y) est contenu dans l’ensemble ouvert

(x + y) ∈ Rn × Rm : x + y ∈ Ω. D’autre part, le support de S ∗ T est A × B.


Comme (x, y) ∈ A×B implique x+y ∈ A+B, le support de S ∗T est d’intersection

vide avec celui de ϕ(A+B). Par consequent 〈S ∗ T, ϕ(x+ y)〉 = 〈Sx ⊗ Ty, ϕ(x+ y)〉pour tout ϕ ∈ D(Ω).

② Application bilineaire continue :

Soient (S, T ) ∈ E′(Rn) × D′(Rn) deux distributions dont l’une au

moins est a support compact, alors (S, T ) ∈ E′(Rn)×D′(Rn) → S∗T ∈D′(Rn) est une application bilineaire continue en S et T .

Preuve : C’est une consequence des proprietes du produit direct de distributions.

③ Algebre unitaire :

L’espace (E′(Rn), ∗) est une algebre commutative, associative d’unite

δ :

δ ∗ T = T, ∀T ∈ E′(Rn).

Preuve : En effet, on a

〈δ ∗ T, ϕ〉 = 〈δx ⊗ Ty, ϕ(x+ y)〉 = 〈Ty, 〈δx, ϕ(x+ y)〉〉 = 〈Ty, ϕ(y)〉 .

Le reste est facile a demontrer.

④ Convolution par la distribution de Dirac :

Soit h ∈ Rn et notons par δh la distribution de Dirac au point h

definie par

〈δh, ϕ〉 = ϕ(h), ∀ϕ ∈ D(Rn).

Alors, on a

τhT = δh ∗ T, ∀D′(Rn)

ou τh designe la translation de vecteur h ∈ Rn.

Preuve : Comme δh est a support compact, δh ∗T est definie pour tout T ∈ D′(R).

Soit ϕ ∈ D(Rn), on peut calculer explicitement le produit de convolution

〈δh ∗ T, ϕ〉 = 〈δh ⊗ T, ϕ(x+ y)〉 = 〈δh ⊗ 〈Ty, ϕ(x+ y)〉〉= 〈Ty, ϕ(h+ y)〉 = 〈Ty, τ−hϕ(y)〉= 〈τhT, ϕ〉 .

En particulier

δ ∗ T = T, ∀T ∈ D′(Rn).


En utilisant la commutativite et l’associativite du produit de convolution, on obtient

τh(S ∗ T ) = (τhS) ∗ T = S ∗ τhT.

⑤ La derivation est une convolution :

Pour T ∈ D′(Rn), on a

∂kT = (∂kδ) ∗ T.

En general, si D est un operateur differentiel a cœfficients constants,

alors

DT = Dδ ∗ T, ∀T ∈ D(Rn).

Ainsi, deriver une convolution revient a deriver simplement l’un des

termes de la convolution,

∂k(S ∗ T ) = (∂kS) ∗ T = S ∗ (∂k).

Preuve : Soit ϕ ∈ D(Rn) alors 〈∂kT, ϕ〉 = (−1)k 〈T, ∂kϕ〉. Or, on peut ecrire

∂kϕ(x) = 〈δy, ∂kϕ(x+ y)〉 = (−1)k 〈(∂kδ)y, ϕ(x+ y)〉 .

En remplacant, on trouve

〈∂kT, ϕ〉 = (−1)k 〈T, ∂kϕ〉 = 〈Tx, 〈(∂kδ)y, ϕ(x+ y)〉〉= 〈Tx ⊗ (∂kδ)y, ϕ(x+ y)〉 = 〈(∂kδ) ∗ T, ϕ〉 .

Le reste est une consequence de l’associativite.

Exemple 4.2.4 Calculons xmδ(n)0 ∗ xpδ

(q)0 : Pour cela, on doit d’abord expliciter

la distribution xmδ(n)0 . Pour tout ϕ ∈ D(Rn), on a⟨

xmδ(n)0 , ϕ

⟩

=⟨

δ(n)0 , xmϕ

⟩

= (−1)n(xmϕ)(n)|x=0.

Mais

(xmϕ)(n) =∑

i≤n

Cni (xm)(i)ϕ(n−i) =

∑

i≤n

Cni x

m−iϕ(n−i).

Donc (xmϕ)(n)|x=0 = An,mϕ(n−m)(0) = An,mδ

(n−m)0 , ou

An,m =

0 si n ≤ m

Cnm si n ≥ m.


Ce qui revient a calculer⟨

δ(n−m)0 ∗ δ(q−p,ϕ)

0

⟩

= (−1)q−p⟨

δ(n−m)0 , ϕ(q−p)

⟩

=⟨

δ(n−m+q−p)0 , ϕ

⟩

.

Finalement, xmδ(n)0 ∗ xpδ

(q)0 = An,mAp,qδ

n−m+q−p0 .

Exemple 4.2.5 On admet que pour tout T ∈ D′+(R), il existe T−1 ∈ D′

+(R) tel que

T ∗ T−1 = δ0. Calculons H−1, (δ′0)−1 et (δ′0 − kδ0)

−1, k ∈ C :

① Soit a calculer X = H−1. Alors H ∗X = δ0. En derivant les deux termes, on obtient

H ′ ∗X = δ′0 soit que δ ∗X = δ′0 ce qui donne X = H−1 = δ′0.

② Cherchons X = H−1 tel que δ′0 ∗ X = δ0. Donc (δ0 ∗ X)′ = δ0. Une primitive de

cette expression donne X = (δ′0)−1 = H .

③ Posons X = (δ′0 − kδ0)−1, donc (δ′0 − kδ0) ∗X = δ0. En remarquant que (δ0e

−kx)′ =

(δ′0 − kδ0)e−kx, muliplions l’equation precedente par e−kx, pour obtenir

e−kx (δ′0 − kδ0) ∗X) = δ0e−kx.

Ce qui s’ecrit(

e−kx(δ′0 − kδ0))

∗(

e−kxX)

= δ0e−kx. Or, δ0e

−kx = δ0, il vient que

(δ0e−kx)′ ∗ X =

(

(δ0e−kx) ∗X

)′= δ0. En prenant la primitive des deux cotes, on

obtient δ0 ∗ e−kxX = H . Donc e−kxX = H et alors X = Hekx. Ainsi,

(δ′0 − kδ0)−1 = Hekx.

Les proprietes algebriques precedentes permettent de considerer des equations, dites de

convolution, de la forme

A ∗ X = B

Il est clair qu’au moins une solution X existe, quel que soit le second membre B, si et

seulement si, A est inversible au sens de la convolution, c’est-a-dire s’il existe G telle que

A ∗G = G ∗ A = δ. Cet inverse G ≡ A−1 s’appelle la solution elementaire.

4.2.3 Solutions fondamentales de certaines equations aux derivees

partielles

Soit

P (x, ∂) =∑

|α|≤m

aα(x)∂α

un operateur differentiel sur Rn, a cœfficient aα ∈ C∞(Rn). Si les coefficients aα sont

des constantes par rapport a x, on dit que l’operateur differentiel est a cœffcients constants

et on note

P (∂) =∑

|α|≤m

aα∂α


Une distribution E ∈ D′(Ω) est dite solution elementaire de P (∂) si elle verifie

P (∂)E = δ0 dans D′(Ω).

Notons que qu’une solution elementaire, lorsqu’elle existe, n’est pas unique. Pour le voir,

il suffit de lui ajouter une solution de l’equation homogene

P (∂)T = δ0 dans D′(Ω).

La distribution E + T est encore une solution elementaire. Il faut imposer des conditions

pour caracteriser l’une des solution et demontrer par la, l’unicite de la solution. L’existence

de la solution est assure par la resultat celebre qui suit

Theoreme 4.2.1 (Malgrange-Ehrenpreis): Tout operateur differentiel a cœffi-

cients constants P (∂) sur Rn admet une solution elementaire E dans D′(R).

La notion de solution elementaire est exploitee pour trouver les solutions de certaines

equations aux derivees partielles de la maniere suivante :

Theoreme 4.2.2 Soit P (∂) un operateur differentiel a cœfficients constants sur Rn et

E ∈ D′(R) une solution elementaire de P (∂). Alors, pour tout f ∈ E′(Rn), l’equation

P (∂)u = f

possede au moins une solution u ∈ D′(R) de la forme

u = E ∗ f.

Preuve : Comme f est a support compact, l’expression de u a un sens. On a alors

P (∂)u = P (∂)(E ∗ f) = (P (∂)E) ∗ f = δ0 ∗ f = f.

Exemple 4.2.6 (Equation de la chaleur). L’equation de la chaleur est l’equation

aux derivees partielles :

∂u

∂t=

∂2u

∂x2, x ∈ R, t ∈ R+.


Le probleme de Cauchy associe consiste a trouver la solution u(x, t) de cette equation qui

verifie la condition initiale

u(x, 0) = f(x).

La solution, au sens des distributions, est u ∈ D′x,t. Posons

D =∂

∂t− ∂2

∂x2.

Verifions que la distribution reguliere associee a la fonction localement integrable E :

R2 → R definie par

E(x, t) =1

2√πt

exp

(

−x2

4t

)

.

est une solution elementaire. On doit alors verifie que Dg = δ(0,0). n effet,

⟨(

∂

∂t− ∂2

∂x2

)

(g), ϕ

⟩

= −⟨

E,∂ϕ

∂t

⟩

−⟨

E,∂2ϕ

∂x2

⟩

= − limε→0+

∫ ∞

−∞

(∫

t>ε

1

2√πt

exp

(

−x2

4t

)

∂ϕ

∂tdt

)

dx

− limε→0+

∫ ∞

−∞

(∫

t>ε

1

2√πt

exp

(

−x2

4t

)

∂2ϕ

∂x2dt

)

dx

= − limε→0+

∫ ∞

−∞

1

2√πε

exp

(

−x2

4ε

)

ϕ(x, ε)dx

= − limε→0+

∫ ∞

−∞

1

2√πε

exp

(

−x2

4ε

)

ϕ(sqrtεx, ε)dx

= ϕ(0, 0) =⟨

δ(0,0), ϕ⟩

.

Dans la cas general, notons x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn et t ∈ R la variable temps. L’operateur

de Laplace est

∆ =∂2

∂x21

+ · · · +∂2

∂x2n

.

L’operateur differentiel

D =∂

∂t− ∆

est dit operateur de la chaleur. La distribution

E(x, t) =

(

1

2√

πt

)n

H(t) exp

(

−|x|24t

)

.

est une solution fondamentale de D.


Exemple 4.2.7 (Equation des cordes vibrantes). C’est l’equation aux derivees

partielles :

∂2u

∂t2=

∂2u

∂x2

qui satisfait aux conditions initiales

u(x, 0) = f0(x),∂u

∂t= f1(x)

ou f0 ∈ C2(R) et f1 ∈ C1(R). La solution elementaire du probleme de Cauchy est la

distribution reguliere gt associee a la fonction localement integrable

gt(x) =1

2(H(x + t) − H(x − t))

et on a limt→0+

gt = 0 et limt→0+

∂gt

∂t= δ. La solution generale de l’equation des ondes s’ecrit

ut = f0 ∗ ∂gt

∂t+ f1 ∗ gt.

En fait, la solution de l’equation des ondes est de la forme

u(x, t) = f(x + t) + g(x − t)

ou f et g sont des fonctions continues. En effet, pour tout ϕ ∈ D(R),⟨

∂2u

∂t2, ϕ

⟩

=∂2

∂t2

∫ ∞

−∞(f(x+ t) + g(x+ t))ϕ(x)dx

=

∫ ∞

−∞f(u)ϕ′′(u− t)du+

∫ ∞

−∞g(u)ϕ′′(u+ t)du

=

∫ ∞

−∞(f(x+ t) + g(x− t))ϕ′′(x)dx

=

⟨

∂2u

∂x2, ϕ

⟩

.

Exemple 4.2.8 Soit P (∂) un operateur differentiel a cœfficients constants. Posons

E = (P (∂)δ0)−1. Par definition on a (P (∂)δ0) ∗ E = δ0. Par la derivee d’un produit de

convolution P (∂)[δ0 ∗ E] = δ0 c’est-a-dire P (∂)[E] = δ0. Ainsi,

E = (P (∂)δ0)−1 est une solution fondamentale de P (∂)


Supposons que P (∂) =∑

α≤m

Cα∂α et le polynome correspondant s’ecrit P (z) =

∑

α≤m

Cαzα.

Si z1, · · · , zm sont les racines de P , on peut ecrire, a un facteur pres

P (z) = (z − z1) · · · (z − zm).

Pour calculer (P (∂)δ0)−1, on calcul dans un premier temps P (∂)δ0 :

P (∂)δ0 =∑

α≤m

Cαδ(α)0

ou δ(α)0 = δ′0 ∗ · · · δ′0 (α fois), a demontrer par recurrence. D’ou

P (∂)δ0 = (δ′0 − z1) ∗ · · · ∗ (δ′0 − zm).

On verifie facilement que

(P (∂)δ0))−1 = (δ′0 − zm)−1 ∗ · · · ∗ (δ′0 − z1)

−1.

Ainsi, et en utilisant l’exemple 4.2.5, on trouve :

(P (∂)δ0))−1 = (Hez1x) ∗ (Hez2x) ∗ · · · ∗ (Hezmx).

On a ainsi explicite la solution elementaire de tout operateur differentiel a cœffcients

constants.

Exemple 4.2.9 Si n ≥ 3, une solution fondamentale de l’operateur de Laplace ∆ est

donnee par

E = −Γ[(n − 2)/2]

4πn/2.

1

rn−2,

ou r =√

x21 + · · ·+ x2

n. Pour le voir, observons que E n’est pas continue a l’origine mais

qu’elle definie une distribution sur toute la partie de l’espace Rn telle que r ≥ ε. Pour

ϕ ∈ D(Rn), on a

〈∆E,ϕ〉 = 〈E,∆ϕ〉 = −Γ [(n− 2)/2]

4πn/2. limε→0

∫

r≥ε

(∆ϕ)(x)

rn−2dx.

Formule de Green :

∫

Ω

(u∆v − v∆u)dx =

∫

∂Ω

(

u∂v

∂n− v

∂u

∂n

)

dω

ou ∂/∂n designe la derivation dans la direction de la normale exterieure a

la frontiere ∂Ω de Ω.


Dans notre cas, Ω sera le domaine compris entre les spheres de rayon R et ε, R sera choisi

tel que supp(ϕ) soit contenu dans la boule de rayon r < R. On applique maintenant la

formule de Green pour obtenir :∫

r≥ε

∆ϕ

rn−2dx =

∫

r≥ε

ϕ∆

(

1

rn−2

)

dx+

∫

r=ε

ϕ∂

∂r

(

1

rn−2

)

εn−1dσ −∫

r=ε

1

rn−2

∂ϕ

∂rεn−1dσ,

ou dσ designe un element de surface de la sphere unite Sn−1. En fait, l’integrale est prise

sur la sphere Sε de rayon r = ε dont l’aire est egale a εn−1 l’aire de la sphere unite Sn−1.

Comme1

rn−1est une fonction harmonique alors ∆

(

1

rn−2

)

= 0 sur le complementaire de

l’origine, la premiere integrale du second membre est alors nulle. D’autre part, on a

∂

∂r

(

1

rn−2

)

= (2 − n)ε1−n

sur r = ε, la deuxieme integrale est egale a

−(n− 2)

∫

r=ε

ϕ(x)dσ = (2 − n)|Sn−1|.1

|Sn−1|

∫

r=ε

ϕ(rσ)dσ,

ou |Sn−1| = 2πn/2/Γ(n/2) est l’aire de la surface Sn−1. Lorsque ε → 0, cette expression

tend vers

(2 − n)|Sn−1|.ϕ(0) = − 4πn/2

Γ[(n− 2)/2]〈δ, ϕ〉 .

Enfin, la derniere integrale est dominee en valeur absolue par une expression de la forme

k.ε∫

σ, k une constante, donc elle tend vers 0 lorsque ε → 0. Il s’ensuit que 〈∆E,ϕ〉 =

〈δ, ϕ〉 c’est-a-dire ∆E = δ.

Remarque : (Solutions fondamentales de ∆, pour n = 2 et n = 3)

① Si n = 3, comme Γ[1/2] =√π on obtient

∆

(

1

r

)

= −4πδ.

Donc la distribution

E = − 1

4πr

est une solution fondamentale de l’operateur ∆.

② Si n = 2, la distribution

E =1

2π.log r

est une solution fondamentale de l’operateur ∆.


Exemple 4.2.10 Soit z = x+ iy ∈ C. L’operateur de Cauchy-Riemann est defini par

∂

∂z=

1

2

(

∂

∂x+ i

∂

∂y

)

.

On montre que cet operateur admet pour solution fondamentale la distribution

E =1

πz.

Chapitre 5Transformations de Fourier, Espaces S et S′

Pas assez de temps pour la frappe.

Chapitre 6Espaces de Sobolev

Nous presenterons, dans ce Chapitre, les proprietes essentielles des espaces de Sobolev

qui seront d’une tres grande utilite dans l’etude des problemes aux limites. Soit Ω un

ouvert de Rn de point generique x = (x1, · · · , xn). Sauf mention du contraire, toutes les

fonctions seront a valeurs dans R.

6.1 L’integration par partie et derivations faibles

Les derivees faibles seront introduites en utilisant la derivation par partie comme defintion.

Lemme 6.1.1 Soit Ω un ouvert de Rn, 1 ≤ i ≤ n. Pour tout ϕ ∈ C1

0(Ω) on a∫

Ω

∂ϕ

∂xidx = 0. (6.1)

Preuve : En posant ϕ(x) = 0 pour tout x ∈ Rn \ Ω, on peut prendre ϕ ∈ D(Rn). Sup-

posons alors que suppϕ ⊂ [−M,M ]n pour un certain M ∈ R. Sans perdre de generalite,

on peut supposer que i = n. Il s’en suit que, pour (x1, x2, · · · , xn−1) ∈ Rn−1, l’on a∫

R

∂ϕ

∂xn

(x1, · · · , xn−1)dxn = ϕ(x1, x2, · · · , xn−1,M) − ϕ(x1, x2, · · · , xn−1,−M).

Et alors

∫

Rn

∂ϕ

∂xndx = 0.

D’apres (6.1) on deduit que pour f ∈ C1(Ω), ϕ ∈ C10(Ω) (donc fϕ ∈ C1

0(Ω)), on a∫

Ω

∂f

∂xi

(x)ϕ(x)dx = −∫

Ω

f(x)∂ϕ

∂xi

(x)ϕ(x)dx. (6.2)

Par iteration, on obtient pour f ∈ C2(Ω), ϕ ∈ C20(Ω), on a

∫

Ω

∂2f

∂x2i

(x)ϕ(x)dx = −∫

Ω

∂f

∂xi(x)

∂ϕ

∂xi(x)dx =

∫

Ω

f(x)∂2ϕ

∂x2i

(x)dx. (6.3)


En prenant la somme pour 1 ≤ i ≤ n dans (6.3), on trouve

∫

Ω

∆f(x)ϕ(x)dx = −∫

Ω

gradf(x).gradϕ(x) =

∫

Ω

f(x)∆ϕ(x)dx. (6.4)

Dans l’integrale du milieu le point designe la produit scalaire dans Rn.

Nous allons utilise les formules precedentes comme motivation pour introduire le concept

de differentiation de certaines fonctions qui ne le sont pas necessairement dans le sens

classique.

Definition 6.1.2 Soit f ∈ L1ℓoc(Ω). Une fonction v ∈ L1

ℓoc(Ω) est dite derivee faible de

f dans la direction xi, x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn, si

∫

Ω

v(x)ϕ(x)dx = −∫

Ω

f(x)∂ϕ

∂xi

(x)dx. (6.5)

est verifiee pour toute fonction test ϕ ∈ D (Ω).

On note v = Dif . Dans le cas ou f admet des derivees faibles Dif pour i = 1, · · · , n, on

ecrit Df = (Dif, · · · , Dnf).

Il ressort de (6.2) et (6.5) que chaque f ∈ C1(Ω) admet des derivees faibles dans toute

direction a savoir, Dif = ∂f/∂xi. Cependant, il existe des fonctions qui admettent des

derivees faibles mais qui n’appartiennent pas a l’espace C1(Ω). D’autre part, il existe des

fonctions dans l’espace L1ℓoc(Ω) qui n’ont pas de derivees faibles.

Exemple 6.1.1 Soient Ω =] − 1, 1[⊂ R et f(x) = |x|. Elle admet la derivee faible

Df(x) =

1 si 0 ≤ x < 1

−1 si −1 < x < 0,

car pour tout ϕ ∈ D (] − 1, 1[), on a∫ 0

−1

(−ϕ(x))dx+

∫ 1

0

ϕ(x)dx = −∫ 1

−1

ϕ′(x).|x|dx.

Exemple 6.1.2 La fonction

f(x) =

1 si 0 ≤ x < 1

0 si −1 < x < 0,

n’admet aucune derivee faible, si c’est la casDf(x) devrait etre 0 pour x 6= 0, et puisqu’elle

est L1ℓoc alors Df ≡ 0. Mais pour ϕ ∈ D(] − 1, 1[) on a

0 =

∫ 1

−1

ϕ(x).0dx = −∫ 1

−1

ϕ′(x).f(x)dx = −∫ 1

0

ϕ′(x)dx = ϕ(0).


Exemple 6.1.3 Soit Ω =]0, 2[⊂ R. Soit

u(x) =

x si 0 < x ≤ 1

1 si 1 ≤ x < 2

et

v(x) =

1 si 0 < x ≤ 1

0 si 1 < x < 2.

Montrons que u′ = v au sens faible. Pour cela, choisissons ϕ ∈ D(Ω). On devrait montrer

que∫ 2

0

u(x)ϕ′(x)dx = −∫ 2

0

v(x)ϕ(x)dx.

Un calcul simple, nous donne

∫ 2

0

u(x)ϕ′(x)dx =

∫ 1

0

xϕ′(x)dx+

∫ 2

1

ϕ′(x)dx

= −∫ 1

0

ϕ(x)dx+ ϕ(1) − ϕ(1) = −∫ 2

0

v(x)ϕ(x)dx,

comme convenu.

Exemple 6.1.4 Soit Ω =]0, 2[⊂ R. Soit

u(x) =

x si 0 < x ≤ 1

2 si 1 ≤ x < 2.

Montrons que u′ n’existe pas au sens faible. Pour cela, supposons qu’il existe v tel que

u′ = v. Alors pour tout ϕ ∈ D(Ω), on a

−∫ 2

0

vϕdx =

∫ 2

0

u(x)ϕ′(x)dx =

∫ 1

0

xϕ′(x)dx+ 2

∫ 2

1

ϕ′(x)dx

= −∫ 1

0

ϕ(x)dx− ϕ(1).

Choisissons une suite ϕm∞m=1 de fonctions tests verifiant

0 ≤ ϕm ≤ 1, ϕm(1) = 1, ϕm(x) → 0 pour tout x 6= 1

et remplacons ϕ par ϕm et en faisant tendre m vers l’infini, on obtient

1 − limm→∞

ϕm(1) − limm→∞

[∫ 2

0

vϕm(x)dx−∫ 1

0

ϕm(x)dx

]

= 0.

Contradiction.


Les derivees faibles d’ordre superieures sont definies d’une maniere analogue. Soit f ∈L1

ℓoc(Ω), α := (α1, · · · , αn), αi ≥ 0 (i = 1, · · · , n), |α| =∑n

i=1 αi > 0, et

Dαϕ :=∂|α|

∂α1x1 · · ·∂αnxn

pour ϕ ∈ C|α|(Ω).

Une fonction v ∈ L1ℓoc(Ω) est dite la derivee α-faible de f , ce qui s’ecrit v = Dαf si

∫

Ω

v(x)ϕ(x)dx = (−1)|α|

∫

Ω

f(x)Dαϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C|α|(Ω). (6.6)

Definition 6.1.3 Soit k ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞, on definit l’espace de Sobolev W p,k(Ω) par

W p,k(Ω) = f ∈ Lp(Ω) : Dαf existe et Dαf ∈ Lp(Ω), ∀|α| ≤ k

On munit les espaces de Sobolev par une structure d’espaces normes dont les normes sont

definies par

||f ||Wp,k(Ω) :=

∑

|α|≤k

∫

Ω

|Dαf(x)|pdx

1/p

, 1 ≤ p < +∞

||f ||Wp,∞(Ω) :=∑

|α|≤k

supx∈Ω

|Dαf(x)|, p = +∞.

Exemple 6.1.5 (Exercice) Posons Ω = x ∈ Rn : ||x|| < 1 ⊂ Rn. Pour quelles

valeurs de α ∈ R on a

f(x) = ||x||α ∈W p,k(Ω) ?

Lemme 6.1.4 Soit f ∈ L1loc(Ω). Supposons que v = Dif existe. Si dist(x, ∂Ω) > h alors

Di(fh(x)) = (Dif)h(x),

ou fh est la convolution de f et un noyau ρ.

Preuve : Par differentiation sous l’integrale, on obtient

Di(fh(x)) =1

hn

∫

∂

∂xiρ

(

x− y

h

)

f(y)dy

=−1

hn

∫

∂

∂yiρ

(

x− y

h

)

f(y)dy

=1

hn

∫

ρ

(

x− y

h

)

Dif(y)dy

= (Dif)h(x). u


6.2 Espace de Sobolev H1(Ω)

Toute fonction f ∈ L2(Ω) s’identifie a une distribution sur Ω, notee f , ses derivees∂f

∂xi,

1 ≤ i ≤ n, en tant que distributions sur Ω. En general,∂f

∂xi/∈ L2(Ω), ce qui nous conduit

a introdure le sous-ensemble de L2(Ω) :

Definition 6.2.1 On appelle espace de Sobolev d’ordre 1 sur Ω, l’espace

H1(Ω) =

f ∈ L2(Ω),∂f

∂xi∈ L2(Ω), 1 ≤ i ≤ n

On munit H1(Ω) du produit scalaire

(f, g)1,Ω =

∫

Ω

(

fg +

n∑

i=1

∂f

∂xi

∂g

∂xi

)

La norme correspondante sera notee

||f ||1,Ω =√

(f, f)1,Ω

A suivre ..........

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