Courbe de Lorentz et coefficient de Gini

Terminale ESAnalyseActivit

Courbe de Lorentz et coefficient de Gini.

A. Un premier exemple:

Dans une entreprise, on a relev la rpartition des salaires mensuels entre les diffrents employs. Les rsultats de lenqute sont donns dans le tableau suivant:

Salaire mensuel en 1124156119692149225723652473297735594060

Nombre demploys10183544933293816105

Pour tudier cette chelle des salaires et pour en mesurer dventuelles ingalits, on dsire pouvoir rpondre des questions telles que: quelle part de la masse salariale revient aux 20% des salaris les plus pauvres? Aux 50% les plus pauvres?

1) Complter le tableau suivant:

SalaireEffectifs00

1124101

156183

196954

214949

225733

236529

247338

297716

355910

40605

Total:Total:

salaire nombre frquences frquences masse frquences frquences cumules

mensueld'employsen %cumulessalarialedes massesdes masses

SiNifiximisalariales en %salariales yi

2)a) Reprsenter graphiquement les points de coordonnes x et y du tableau prcdent, x reprsentant le % des employs les plus pauvres et y le % de la masse salariale qui leur est attribu. Puis tracer une courbe passant par ces points. On effectue ainsi un ajustement du nuage de points par une courbe.Masse_salariale.xlsAcadmie de Nancy-MetzTerminale ESProgramme 2002AnalyseActivit GiniPage 1/3

b) En utilisant cette courbe indiquez quel pourcentage de la masse salariale revient aux 20% des salaris les plus pauvres, aux 50% des salaris les plus pauvres, aux 25% des employs les plus riches.

Cette courbe reprsentative sappelle une courbe de Lorentz.Remarque: la frquence nest pas obligatoirement exprime en %.

B. Un peu de thorie:

Plus la courbe de Lorentz est loigne de la premire bissectrice, plus la concentration de la grandeur tudie est forte et la rpartition ingalitaire. Cette concentration est mesure par un indice appel le coefficient de Gini dfini par le nombre:

,

o laire de concentration est celle du domaine dlimit par la courbe de Lorentz et la droite dquation .

Le coefficient de Gini est compris entre 0 et 1:

si = 0, la rpartition est parfaitement galitaire,

si = 1, la rpartition est parfaitement ingalitaire.

Voici les courbes de Lorentz associes aux salaires de deux entreprises:

Entreprise 1Entreprise 2

Dans quelle entreprise la rpartition des salaires est-elle la moins ingalitaire?

Acadmie de Nancy-MetzTerminale ESProgramme 2002AnalyseActivit GiniPage 2/3

C. Calcul du coefficient de Gini.

La courbe ci-dessous rend compte de la concentration du revenu des mnages en France ( Insee, 1996).

1)a) Quel pourcentage du revenu des mnages se partagent les 40% des mnages les plus pauvres?

b) Sur cette courbe interprter le point de coordonnes ( 75; 50 ).

c) Quelle part du total des revenus les 20% des mnages les plus riches se partagent-ils?

2)a) Tracer sur le graphique prcdent la courbe (C) reprsentative de la fonction dfinie sur lintervalle [ 0; 1 ] par .

Expliquer pourquoi cette courbe est une bonne approche de la courbe de Lorentz du revenu. Concentration_revenu.xls

b) Calculer lintgrale . En dduire le coefficient de Gini du revenu obtenu laide de la courbe (C).

3) Dans la partie B on a vu lexemple des rpartitions des salaires deux entreprises.

Calculer le coefficient de Gini dans chacun des deux cas sachant que:

a) Pour lentreprise 1 la courbe de Lorentz a pour quation .

b) Pour lentreprise 2 la courbe de Lorentz a pour quation .

Acadmie de Nancy-MetzTerminale ESProgramme 2002AnalyseActivit GiniPage 3/3_1086718479.unknown

_1086895050.xlsGraph1

00

15

310

415

620

925

1230

1535

1840

2245

2550

2855

3460

3865

4370

5075

5780

6585

7490

8695

100100

Graph2

00

0.010.05

0.030.1

0.040.15

0.060.2

0.090.25

0.120.3

0.150.35

0.180.4

0.220.45

0.250.5

0.280.55

0.340.6

0.380.65

0.430.7

0.50.75

0.570.8

0.650.85

0.740.9

0.860.95

11

Graph3

000

0.010.050.008259375

0.030.10.02215

0.040.150.040509375

0.060.20.0624

0.090.250.087109375

0.120.30.11415

0.150.350.143259375

0.180.40.1744

0.220.450.207759375

0.250.50.24375

0.280.550.283009375

0.340.60.3264

0.380.650.375009375

0.430.70.43015

0.50.750.493359375

0.570.80.5664

0.650.850.651259375

0.740.90.75015

0.860.950.865509375

111

Feuil1

xyx'y'Ajustement

000.000.000.00

510.050.010.01

1030.100.030.02

1540.150.040.04

2060.200.060.06

2590.250.090.09

30120.300.120.11

35150.350.150.14

40180.400.180.17

45220.450.220.21

50250.500.250.24

55280.550.280.28

60340.600.340.33

65380.650.380.38

70430.700.430.43

75500.750.500.49

80570.800.570.57

85650.850.650.65

90740.900.740.75

95860.950.860.87

1001001.001.001.00

% de la% des

populationrichesses

Feuil2

Feuil3

_1086962662.xlsGraph1

00

0.0153570050.05

0.03334273520.1

0.05409196850.15

0.07774639250.2

0.10445495960.25

0.1343742590.3

0.16766890860.35

0.20451196630.4

0.24508536270.45

0.28958035650.5

0.33819801220.55

0.39114970330.6

0.44865764050.65

0.51095542750.7

0.57828864530.75

0.65091546570.8

0.72910729770.85

0.81314946550.9

0.90334192230.95

11

Feuil1

xy

00

0.050.015357005

0.10.0333427352

0.150.0540919685

0.20.0777463925

0.250.1044549596

0.30.134374259

0.350.1676689086

0.40.2045119663

0.450.2450853627

0.50.2895803565

0.550.3381980122

0.60.3911497033

0.650.4486576405

0.70.5109554275

0.750.5782886453

0.80.6509154657

0.850.7291072977

0.90.8131494655

0.950.9033419223

11

Feuil1

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

Feuil2

Feuil3

_1086720047.unknown

_1086894442.xlsGraph4

00

0.0001250.05

0.0010.1

0.0033750.15

0.0080.2

0.0156250.25

0.0270.3

0.0428750.35

0.0640.4

0.0911250.45

0.1250.5

0.1663750.55

0.2160.6

0.2746250.65

0.3430.7

0.4218750.75

0.5120.8

0.6141250.85

0.7290.9

0.8573750.95

11

Feuil1

000

0.050.0001250.0025

0.10.0010.01

0.150.0033750.0225

0.20.0080.04

0.250.0156250.0625

0.30.0270.09

0.350.0428750.1225

0.40.0640.16

0.450.0911250.2025

0.50.1250.25

0.550.1663750.3025

0.60.2160.36

0.650.2746250.4225

0.70.3430.49

0.750.4218750.5625

0.80.5120.64

0.850.6141250.7225

0.90.7290.81

0.950.8573750.9025

111

Feuil1

Feuil2

00

0.00250.05

0.010.1

0.02250.15

0.040.2

0.06250.25

0.090.3

0.12250.35

0.160.4

0.20250.45

0.250.5

0.30250.55

0.360.6

0.42250.65

0.490.7

0.56250.75

0.640.8

0.72250.85

0.810.9

0.90250.95

11

Feuil3

_1086894563.unknown

_1086779611.unknown

_1086719757.unknown

_1086717208.unknown

_1086717249.unknown

_1086715533.unknown