Courbe de Lorentz et coefficient de Gini
Terminale ESAnalyseActivit
Courbe de Lorentz et coefficient de Gini.
A. Un premier exemple:
Dans une entreprise, on a relev la rpartition des salaires mensuels entre les diffrents employs. Les rsultats de lenqute sont donns dans le tableau suivant:
Salaire mensuel en 1124156119692149225723652473297735594060
Nombre demploys10183544933293816105
Pour tudier cette chelle des salaires et pour en mesurer dventuelles ingalits, on dsire pouvoir rpondre des questions telles que: quelle part de la masse salariale revient aux 20% des salaris les plus pauvres? Aux 50% les plus pauvres?
1) Complter le tableau suivant:
SalaireEffectifs00
1124101
156183
196954
214949
225733
236529
247338
297716
355910
40605
Total:Total:
salaire nombre frquences frquences masse frquences frquences cumules
mensueld'employsen %cumulessalarialedes massesdes masses
SiNifiximisalariales en %salariales yi
2)a) Reprsenter graphiquement les points de coordonnes x et y du tableau prcdent, x reprsentant le % des employs les plus pauvres et y le % de la masse salariale qui leur est attribu. Puis tracer une courbe passant par ces points. On effectue ainsi un ajustement du nuage de points par une courbe.Masse_salariale.xlsAcadmie de Nancy-MetzTerminale ESProgramme 2002AnalyseActivit GiniPage 1/3
b) En utilisant cette courbe indiquez quel pourcentage de la masse salariale revient aux 20% des salaris les plus pauvres, aux 50% des salaris les plus pauvres, aux 25% des employs les plus riches.
Cette courbe reprsentative sappelle une courbe de Lorentz.Remarque: la frquence nest pas obligatoirement exprime en %.
B. Un peu de thorie:
Plus la courbe de Lorentz est loigne de la premire bissectrice, plus la concentration de la grandeur tudie est forte et la rpartition ingalitaire. Cette concentration est mesure par un indice appel le coefficient de Gini dfini par le nombre:
,
o laire de concentration est celle du domaine dlimit par la courbe de Lorentz et la droite dquation .
Le coefficient de Gini est compris entre 0 et 1:
si = 0, la rpartition est parfaitement galitaire,
si = 1, la rpartition est parfaitement ingalitaire.
Voici les courbes de Lorentz associes aux salaires de deux entreprises:
Entreprise 1Entreprise 2
Dans quelle entreprise la rpartition des salaires est-elle la moins ingalitaire?
Acadmie de Nancy-MetzTerminale ESProgramme 2002AnalyseActivit GiniPage 2/3
C. Calcul du coefficient de Gini.
La courbe ci-dessous rend compte de la concentration du revenu des mnages en France ( Insee, 1996).
1)a) Quel pourcentage du revenu des mnages se partagent les 40% des mnages les plus pauvres?
b) Sur cette courbe interprter le point de coordonnes ( 75; 50 ).
c) Quelle part du total des revenus les 20% des mnages les plus riches se partagent-ils?
2)a) Tracer sur le graphique prcdent la courbe (C) reprsentative de la fonction dfinie sur lintervalle [ 0; 1 ] par .
Expliquer pourquoi cette courbe est une bonne approche de la courbe de Lorentz du revenu. Concentration_revenu.xls
b) Calculer lintgrale . En dduire le coefficient de Gini du revenu obtenu laide de la courbe (C).
3) Dans la partie B on a vu lexemple des rpartitions des salaires deux entreprises.
Calculer le coefficient de Gini dans chacun des deux cas sachant que:
a) Pour lentreprise 1 la courbe de Lorentz a pour quation .
b) Pour lentreprise 2 la courbe de Lorentz a pour quation .
Acadmie de Nancy-MetzTerminale ESProgramme 2002AnalyseActivit GiniPage 3/3_1086718479.unknown
_1086895050.xlsGraph1
00
15
310
415
620
925
1230
1535
1840
2245
2550
2855
3460
3865
4370
5075
5780
6585
7490
8695
100100
Graph2
00
0.010.05
0.030.1
0.040.15
0.060.2
0.090.25
0.120.3
0.150.35
0.180.4
0.220.45
0.250.5
0.280.55
0.340.6
0.380.65
0.430.7
0.50.75
0.570.8
0.650.85
0.740.9
0.860.95
11
Graph3
000
0.010.050.008259375
0.030.10.02215
0.040.150.040509375
0.060.20.0624
0.090.250.087109375
0.120.30.11415
0.150.350.143259375
0.180.40.1744
0.220.450.207759375
0.250.50.24375
0.280.550.283009375
0.340.60.3264
0.380.650.375009375
0.430.70.43015
0.50.750.493359375
0.570.80.5664
0.650.850.651259375
0.740.90.75015
0.860.950.865509375
111
Feuil1
xyx'y'Ajustement
000.000.000.00
510.050.010.01
1030.100.030.02
1540.150.040.04
2060.200.060.06
2590.250.090.09
30120.300.120.11
35150.350.150.14
40180.400.180.17
45220.450.220.21
50250.500.250.24
55280.550.280.28
60340.600.340.33
65380.650.380.38
70430.700.430.43
75500.750.500.49
80570.800.570.57
85650.850.650.65
90740.900.740.75
95860.950.860.87
1001001.001.001.00
% de la% des
populationrichesses
Feuil2
Feuil3
_1086962662.xlsGraph1
00
0.0153570050.05
0.03334273520.1
0.05409196850.15
0.07774639250.2
0.10445495960.25
0.1343742590.3
0.16766890860.35
0.20451196630.4
0.24508536270.45
0.28958035650.5
0.33819801220.55
0.39114970330.6
0.44865764050.65
0.51095542750.7
0.57828864530.75
0.65091546570.8
0.72910729770.85
0.81314946550.9
0.90334192230.95
11
Feuil1
xy
00
0.050.015357005
0.10.0333427352
0.150.0540919685
0.20.0777463925
0.250.1044549596
0.30.134374259
0.350.1676689086
0.40.2045119663
0.450.2450853627
0.50.2895803565
0.550.3381980122
0.60.3911497033
0.650.4486576405
0.70.5109554275
0.750.5782886453
0.80.6509154657
0.850.7291072977
0.90.8131494655
0.950.9033419223
11
Feuil1
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
Feuil2
Feuil3
_1086720047.unknown
_1086894442.xlsGraph4
00
0.0001250.05
0.0010.1
0.0033750.15
0.0080.2
0.0156250.25
0.0270.3
0.0428750.35
0.0640.4
0.0911250.45
0.1250.5
0.1663750.55
0.2160.6
0.2746250.65
0.3430.7
0.4218750.75
0.5120.8
0.6141250.85
0.7290.9
0.8573750.95
11
Feuil1
000
0.050.0001250.0025
0.10.0010.01
0.150.0033750.0225
0.20.0080.04
0.250.0156250.0625
0.30.0270.09
0.350.0428750.1225
0.40.0640.16
0.450.0911250.2025
0.50.1250.25
0.550.1663750.3025
0.60.2160.36
0.650.2746250.4225
0.70.3430.49
0.750.4218750.5625
0.80.5120.64
0.850.6141250.7225
0.90.7290.81
0.950.8573750.9025
111
Feuil1
Feuil2
00
0.00250.05
0.010.1
0.02250.15
0.040.2
0.06250.25
0.090.3
0.12250.35
0.160.4
0.20250.45
0.250.5
0.30250.55
0.360.6
0.42250.65
0.490.7
0.56250.75
0.640.8
0.72250.85
0.810.9
0.90250.95
11
Feuil3
_1086894563.unknown
_1086779611.unknown
_1086719757.unknown
_1086717208.unknown
_1086717249.unknown
_1086715533.unknown
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