T ES/L DM : CONVEXITE – COEFFICIENT DE GINI 14 AVRIL 2015

Exercice 1

Soit 𝑓 une fonction deux fois dérivable sur ℝ. On note 𝑓′ sa dérivée et 𝑓′′ sa dérivée seconde. La courbe représentative de la fonction dérivée notée 𝐶𝑓′ est donnée ci-dessous.

La droite T est tangente à la courbe 𝐶𝑓′ au point d'abscisse 0.

1. Par lecture graphique :

a. Résoudre 𝑓′(𝑥) = 0.

b. Résoudre 𝑓′′(𝑥) = 0.

c. Déterminer 𝑓′′(0).

2. Une des quatre courbes 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 et 𝐶4 ci-dessous est la courbe représentative de la fonction 𝑓 et

une autre la courbe représentative de la dérivée seconde 𝑓′′.

a. Déterminer la courbe qui représente 𝑓 et celle qui représente la dérivée seconde 𝑓′′.

b. Déterminer les intervalles sur lesquels 𝑓 est convexe ou concave.

c. La courbe représentative de la fonction 𝑓 admet-elle un point d'inflexion ?

Exercice 2 PARTIE A

On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 2𝑒−0,5𝑥 + 𝑥 1. Calculer 𝑓′(𝑥).

2. Étudier les variations de 𝑓 et dresser le tableau de variation de 𝑓. PARTIE B

On considère maintenant la fonction 𝐹 définie sur ℝ par 𝐹(𝑥) =𝑥2

2− 4𝑒−0,5𝑥 .

1. Montrer que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

2. Étudier les variations de la fonction 𝐹.

3. Étudier la convexité de la fonction 𝐹.

4. La courbe représentative de de la fonction 𝐹 a-t-elle un point d'inflexion ? PARTIE C

1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥2

−2

2. On note 𝐶𝑓 la courbe représentative de la fonction 𝑓 dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités

graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées). Calculer une valeur approchée à 10−2 près de l'aire en cm² de la portion du plan coloriée.

Exercice 3 (Courbe de Lorentz et Indice de Gini)

Partie A : Courbe de LORENZ D’après Wikipédia, la courbe de LORENZ a été développée (par MAX O. LORENZ) comme une représentation graphique des inégalités de revenu. Elle peut aussi servir à mesurer les inégalités de répartition d’un actif ou de toute autre distribution de richesse.

La courbe de LORENZ est la représentation graphique de la fonction qui a la part 𝑥 des ménages les moins riches associe la part y du revenu total qu’ils perçoivent. La part des ménages, classés par ordre de revenu individuel croissant, est donc en abscisse, et la part du revenu reçu en ordonnée.

1. Lectures graphiques sur la courbe de LORENZ donnée en exemple ci-contre

Exemple de lecture : les 0,4 = 40 % des ménages les moins riches se partagent 0,184 = 18,4 % du total des revenus des ménages.

(a) Le point M est de coordonnées (0,80; 0,592). Interpréter ce point.

(b) Avec la précision permise par le graphique, indiquer : • quel pourcentage du total des revenus revient aux 50 % les moins riches ? • quel pourcentage du total des revenus revient aux 20 % les plus riches ?

2. (a) On propose sur la figure ci-dessous deux courbes C1 et C2 de Lorenz associées à deux pays P1 et P2. Dans lequel de ces deux pays la répartition des revenus est-elle la moins inégale ?

(b) On suppose que tous les ménages d’un pays ont exactement la même part du total des revenus. On parle alors d’égalité parfaite. Expliquer pourquoi la courbe de LORENZ est alors confondue avec le segment [OA]. (c) On suppose qu’une seule personne possède la totalité des revenus. On parle alors d’inégalité totale. Que devient dans ce cas la courbe de LORENZ ?

3. Généralités sur les courbes de LORENZ.

(a) i. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ passe toujours par les points O et A. ii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ ne peut jamais être au-dessus de la

première bissectrice (la droite (OA) d’équation 𝑦 = 𝑥 tracée en pointillés sur les figures page précédente. On pourra se baser sur un exemple.

iii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ représente toujours une fonction croissante.

(b) Justifier que pour qu’une fonction f convienne, il faut qu’elle vérifie les points suivants :

• 𝑓 doit être définie sur [0; 1] ; • 𝑓 (0) = 0 et 𝑓 (1) = 1 ; • 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑥 pour tout 𝑥 ∈ [0; 1]; • 𝑓 croissante sur [0; 1].

(c) Montrer que les fonctions suivantes conviennent :

• 𝑓1(𝑥) = 𝑥² ;

• 𝑓2(𝑥) = 𝑥3 ; • 𝑓3(𝑥) = 𝑒𝑥 − (𝑒 − 2)𝑥 − 1 ;

Partie B : Indice de GINI D’après Wikipédia, le coefficient de GINI, noté γ, est une mesure du degré d’inégalité de la distribution des revenus dans une société donnée, développée par le statisticien italien CORRADO GINI. Mathématiquement, on a :

𝛾 =𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 [𝑂𝐴]𝑒𝑡 𝐶

𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑂𝐵𝐴

1. Expliquer pourquoi 0 ≤ 𝛾 ≤ 1 .

Préciser dans quelle situation on a 𝛾 = 0 et dans quelle situation on a = 1 .

2. Si on note 𝑓 la fonction associée à la courbe de LORENZ, montrer que 𝛾 = 1 − 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥1

0.

3. (a) Calculer 𝛾1 , 𝛾2 et 𝛾3, les coefficients de GINI correspondant aux fonctions 𝑓1 , 𝑓2 et 𝑓3 de la question 3c de la Partie A. (b) Ranger ces fonctions de celle correspondant à la répartition des salaires la plus égalitaire à la répartition la moins égalitaire.

4. Rechercher sur Internet l’indice de GINI (ou le coefficient de GINI = 100× γ) de la France et des États-Unis à une même date (on donnera l’adresse exacte de la source sur sa copie) et comparer ces deux indices.

T ES/L CORRECTION DM : CONVEXITE – COEFFICIENT DE GINI 14/04/2015

Exercice 1

Soit 𝒇 une fonction deux fois dérivable sur ℝ. On note 𝒇′ sa dérivée et 𝒇′′ sa dérivée seconde. La courbe représentative de la fonction dérivée notée 𝑪𝒇′ est

donnée ci-dessous. La droite T est tangente à la courbe 𝑪𝒇′ au point d'abscisse 0.

1. Par lecture graphique :

a. Résoudre 𝒇′(𝒙) = 𝟎. La courbe 𝐶𝑓′ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse −2.

Donc l'équation 𝑓′(𝑥) = 0 admet une seule solution 𝑥 = −2

b. Résoudre 𝒇′′(𝒙) = 𝟎.

La courbe 𝐶𝑓′ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse −1.

Donc l'équation 𝑓′′(𝑥) = 0 admet une seule solution 𝑥 = −1

c. Déterminer 𝒇′′(𝟎). La tangente T à la courbe 𝐶𝑓′ au point de coordonnées (0; 1) passe par le point de

coordonnées (2;0).

D'où : 𝑓′′(0) =1−0

0−2= −

1

2

2. Une des quatre courbes 𝑪𝟏, 𝑪𝟐, 𝑪𝟑 et 𝑪𝟒 ci-dessous est la courbe représentative de la fonction

𝒇 et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde 𝒇′′.

a. Déterminer la courbe qui représente 𝒇 et celle qui représente la dérivée seconde 𝒇′′. Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée

𝑥 − ∞ − 2 + ∞

𝑓′(𝑥) − 0 +

Variations de 𝑓

La courbe 𝐶1 est la seule courbe susceptible de représenter la fonction 𝑓.

Les variations de la fonction 𝑓′ se déduisent du signe de sa dérivée 𝑓′′.

𝑥 − ∞ − 1 + ∞

Signe de 𝑓′′(𝑥) + 0 −

𝑓′(𝑥)

La courbe 𝐶3 est la seule courbe susceptible de représenter la dérivée seconde 𝑓′′.

b. Déterminer les intervalles sur lesquels 𝒇 est convexe ou concave. Sur ] − ∞; −1], la dérivée 𝑓′ est croissante donc 𝑓 est convexe sur cet intervalle.

Sur [−1; +∞[, la dérivée 𝑓′ est décroissante donc 𝑓 est concave sur cet intervalle. La fonction 𝑓 est convexe sur ] − ∞; −1] et concave sur [−1; +∞[.

c. La courbe représentative de la fonction 𝒇 admet-elle un point d'inflexion ? La dérivée seconde s'annule en (−1) en changeant de signe donc

La courbe représentative de la fonction 𝑓 admet un point d'inflexion en (−1).

Exercice 2 PARTIE A

On considère la fonction 𝒇 définie sur ℝ par 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒆−𝟎,𝟓𝒙 + 𝒙 1. Calculer 𝒇′(𝒙).

La fonction 𝑓 est dérivable sur ℝ comme somme de fonctions dérivables sur ℝ

Alors 𝑓′(𝑥) = 2 × (−0,5) × 𝑒−0,5𝑥 + 1 = −𝑒−0,5𝑥 + 1

Donc 𝑓′ est la fonction définie pour tout réel 𝑥 par 𝑓′(𝑥) = 1 − 𝑒−0,5𝑥

2. Étudier les variations de 𝒇 et dresser le tableau de variation de 𝒇.

Les variations de 𝑓 se déduisent du signe de sa dérivée. Or : 𝑓′(𝑥) < 0

1 − 𝑒−0,5𝑥 < 0

1 < 𝑒−0,5𝑥

𝑒0 < 𝑒−0,5𝑥

0 < −0,5𝑥 0 > 𝑥

D'où le tableau de variations de la fonction f :

𝑥 − ∞ 0 + ∞

Signe de 𝑓′(𝑥) − 0 +

Variation de 𝑓

2

𝑓(0) = 2𝑒−0,5×0 + 0 = 2 × 𝑒0 = 2 × 1 = 2 PARTIE B

On considère maintenant la fonction 𝑭 définie sur ℝ par 𝑭(𝒙) =𝒙𝟐

𝟐− 𝟒𝒆−𝟎,𝟓𝒙 .

1. Montrer que 𝑭′(𝒙) = 𝒇(𝒙).

𝐹′(𝑥) =2𝑥

2− 4 × (−0,5) × 𝑒−0,5𝑥 = 𝑥 + 2𝑒−0,5𝑥 = 𝑓(𝑥)

Pour tout réel x, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) donc 𝐹 est une primitive de la fonction 𝑓 sur ℝ

2. Étudier les variations de la fonction 𝑭. Le minimum de la fonction 𝑓 est atteint pour 𝑥 = 0 et 𝑓(0) = 2

donc pour tout réel 𝑥, 𝑓(𝑥) > 0 d’où pour tout réel 𝑥, 𝐹′(𝑥) > 0

Donc la fonction 𝐹 est strictement croissante sur ℝ.

3. Étudier la convexité de la fonction 𝑭. Pour tout réel 𝑥, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

D'après les variations de la fonction 𝑓 étudiées dans la partie A : Sur l'intervalle ] − ∞; 0], la fonction 𝑓 est décroissante

d’où 𝐹′ est décroissante donc la fonction F est concave sur ] − ∞; 0]. Sur l'intervalle [0; +∞[, la fonction 𝑓 est croissante

d’où 𝐹′ est croissante donc la fonction F est convexe sur [0; +∞[.

4. La courbe représentative de de la fonction 𝑭 a-t-elle un point d'inflexion ? Pour tout réel x, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) donc 𝐹′′(𝑥) = 𝑓′(𝑥)

En 0, la dérivée seconde de la fonction 𝐹 s'annule en changeant de signe, donc la courbe représentative de de la fonction F admet le point de coordonnées (0; −4) comme point d'inflexion.

PARTIE C

1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale 𝑰 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝟐

−𝟐

Comme F est une primitive de la fonction f,

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥2

−2

= [𝐹(𝑥)]−22 = 𝐹(2) − 𝐹(−2)

𝐼 = (22

2− 4𝑒−0,5×2) − (

(−2)2

2− 4𝑒−0,5×(−2) )

𝐼 = 2 − 4𝑒−1 − 2 + 4𝑒1

𝐼 = 4𝑒 −4

𝑒

Donc 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥2

−2= 4𝑒 −

4

𝑒

2. On note 𝑪𝒇 la courbe représentative de la fonction 𝒇 dans le plan muni d'un repère orthogonal

(unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées). Calculer une valeur approchée à 10−2 près de l'aire en cm² de la portion du plan coloriée.

La fonction 𝑓 est positive. Donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe 𝐶𝑓, l'axe des

abscisses et les droites d'équation 𝑥 = −2 et 𝑥 = 2 est égale à l'intégrale 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥2

−2=

4𝑒 −4

𝑒 unités d'aire.

Comme l'unité d'aire est celle d'un rectangle de 2 cm², l'aire du domaine colorié est en cm² :

2 × (4𝑒 −4

𝑒) ≈ 18,8

Arrondie au centième près, l'aire du domaine colorié est 18,8 cm².

Exercice 3 Courbe de Lorentz et Indice de Gini

Partie A : Courbe de LORENZ D’après Wikipédia, la courbe de LORENZ a été développée (par MAX O. LORENZ) comme une représentation graphique des inégalités de revenu. Elle peut aussi servir à mesurer les inégalités de répartition d’un actif ou de toute autre distribution de richesse.

La courbe de LORENZ est la représentation graphique de la fonction qui a la part 𝒙 des ménages les moins riches associe la part y du revenu total qu’ils perçoivent. La part des ménages, classés par ordre de revenu individuel croissant, est donc en abscisse, et la part du revenu reçu en ordonnée.

1. Lectures graphiques sur la courbe de LORENZ donnée en exemple ci-contre

Exemple de lecture : les 𝟎, 𝟒 = 𝟒𝟎 % des ménages les moins riches se partagent 𝟎, 𝟏𝟖𝟒 =𝟏𝟖, 𝟒 % du total des revenus des ménages.

(a) Le point M est de coordonnées (𝟎, 𝟖𝟎; 𝟎, 𝟓𝟗𝟐). Interpréter ce point. Cela signifie que les 80 % des ménages les moins riches se partagent 59,2% du total des revenus des ménages.

(b) Avec la précision permise par le graphique, indiquer :

• quel pourcentage du total des revenus revient aux 50 % les moins riches ? La courbe de Lorenz passe par le point (0,5; 0,25) donc les 50 % des ménages les moins riches se partagent 25 % du total des revenus des ménages.

• quel pourcentage du total des revenus revient aux 20 % les plus riches ?

On sait que la courbe de Lorenz passe par le point (0,80; 0,592) et donc que les 80 % des ménages les moins riches se partagent 59,2 % du total des revenus des ménages. Les 20 % les plus riches se partagent donc 100−59,2 = 40,8 % du total des revenus des ménages.

2. (a) On propose sur la figure ci-dessous deux courbes C1 et C2 de Lorenz associées à deux pays P1 et P2. Dans lequel de ces deux pays la répartition des revenus est-elle la moins inégale ?

On remarque que la courbe 𝐶2 est toujours située au-dessus de la courbe 𝐶1 donc, pour un même pourcentage des moins riches, ils se partagent alors un pourcentage du total des revenus supérieur dans le second pays que dans le premier. La répartition des revenus est donc moins inégale dans le second pays.

(b) On suppose que tous les ménages d’un pays ont exactement la même part du total des revenus. On parle alors d’égalité parfaite. Expliquer pourquoi la courbe de LORENZ est alors confondue avec le segment [OA].

Si tous les ménages ont le même revenu, si l’on prend les 10 % les moins riches (n’importe quels 10 % de la population puisqu’ils sont tous à égalité), ils se partagent 10 % des revenus, si on prend les 20 % les moins riches de la population, ils se partagent 20 % des revenus, etc. Plus généralement 𝑥 % de la population se partage 𝑥 % des revenus et la

courbe de Lorenz est donc d’équation 𝑦 = 𝑥, où 𝑦 est le pourcentage de revenu partagé et 𝑥 les 𝑥 % les moins riches.

(c) On suppose qu’une seule personne possède la totalité des revenus. On parle alors d’inégalité totale. Que devient dans ce cas la courbe de LORENZ ?

La courbe est alors constituée d’un segment passant par (0; 0) et (1; 0), ce dernier point étant exclu, et du point (1; 1).

En effet, pour 𝑥 ∈ [0; 1[, les 𝑥 % les moins riches disposent de 0 % des

revenus et pour 𝑥 = 1, soit 100 % de la population, 100 % des revenus sont partagés, d’où le point (1; 1).

3. Généralités sur les courbes de LORENZ.

(a) i. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ passe toujours par les points O et A.

Les 0 % les moins riches se partagent toujours 0 % des revenus, donc la courbe de Lorenz passe forcément par O (0; 0). Les 100 % les moins riches se partagent toujours 100 % des revenus, donc la courbe de Lorenz passe forcément par A(1; 1).

ii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ ne peut jamais être au-dessus de

la première bissectrice (la droite (OA) d’équation 𝒚 = 𝒙 tracée en pointillés sur les figures page précédente. On pourra se baser sur un exemple.

Supposons que la courbe passe par (0,5; 0,6) qui est situé au-dessus de la première bissectrice. On aurait alors les 50 % les moins riches qui toucheraient 60 % du revenu disponible, ce qui signifierait qu’il ne resterait alors que 40 % du revenu pour les 50 % les plus riches de la population. Les plus riches seraient moins riches que les moins riches, ce qui est contradictoire.

iii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ représente toujours une fonction

croissante.

Soient 𝑥 et 𝑥 ′ deux pourcentages de la population telles que 𝑥 < 𝑥′ et 𝑦 et

𝑦 ′ les pourcentages respectifs du revenu total qu’ils se partagent. D’après la définition de la courbe de Lorenz, étant des fréquences cumulées,

les 𝑥 les moins riches sont contenus dans les 𝑥′ les moins riches, donc les revenus cumulés correspondant à 𝑥′ contiennent les revenus cumulés correspondant à 𝑥, donc 𝑦 < 𝑦′ . On a donc : si 𝑥 < 𝑥′ alors < 𝑦′ , ce qui correspond à la définition d’une fonction croissante. Remarque : Certains ont expliqué la croissance de la fonction par le fait qu’on partait des moins riches vers les plus riches donc que le revenu des derniers était supérieur au revenu des premiers. Ce n’est pas le bon argument. En effet, si on décidait de classer des plus riches au moins riches et qu’on faisait le cumul des revenus, on obtiendrait aussi une fonction croissante (mais située au-dessus de la première bissectrice). Bref l’argument est que l’on cumule les revenus, et pas que les revenus sont classés du plus petit au plus grand.

(b) Justifier que pour qu’une fonction f convienne, il faut qu’elle vérifie les points suivants :

• 𝒇 doit être définie sur [𝟎; 𝟏] ; • 𝒇 (𝟎) = 𝟎 et 𝒇 (𝟏) = 𝟏 ; • 𝒇 (𝒙) ≤ 𝒙 pour tout 𝒙 ∈ [𝟎; 𝟏]; • 𝒇 croissante sur [𝟎; 𝟏].

• 𝑥 variant de 0 à 1, la fonction f doit être définie sur [0; 1] • On a vu qu’une courbe de Lorenz passe forcément par O et A,

donc 𝑓 (0) = 0 et 𝑓 (1) = 1. • On a vu qu’une courbe de Lorenz y = f (x) est forcément au-dessous de la première bissectrice y = x,

donc 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑥. • On a vu qu’une courbe de Lorenz est la représentation graphique d’une fonction croissante.

(c) Montrer que les fonctions suivantes conviennent :

• 𝒇𝟏(𝒙) = 𝒙² ;

• 𝒇𝟐(𝒙) = 𝒙𝟑 ; • 𝒇𝟑(𝒙) = 𝒆𝒙 − (𝒆 − 𝟐)𝒙 − 𝟏 ;

• 𝑓1(𝑥) = 𝑥² • 𝑓1 est définie sur [0; 1] • 𝑓1(0) = 02 = 0 et 𝑓1(1) = 12 = 1

• sur [0 ; 1], 𝑓1 (𝑥) ≤ 𝑥

Car sur [0 ; 1] 𝑥(𝑥 − 1) ≤ 0

𝑥2 − 𝑥 ≤ 0

𝑥2 ≤ 𝑥0

• la fonction carrée est croissante sur [0,1] donc 𝑓1 est croissante sur [0; 1]

• 𝑓2(𝑥) = 𝑥3 • 𝑓2 est définie sur [0; 1] • 𝑓2(0) = 03 = 0 et 𝑓2(1) = 13 = 1

• sur [0 ; 1], 𝑓2 (𝑥) ≤ 𝑥

Car sur [0 ; 1] 𝑥(𝑥² − 1) ≤ 0

𝑥3 − 𝑥 ≤ 0

𝑥3 ≤ 𝑥 • la fonction cube est croissante sur [0,1]

donc 𝑓2 est croissante sur [0; 1]

• 𝑓3(𝑥) = 𝑒𝑥 − (𝑒 − 2)𝑥 − 1 • 𝑓3 est définie sur [0; 1] • 𝑓3(0) = 𝑒0 − (𝑒 − 2) × 0 − 1 = 𝑒0 − 1 = 1 − 1 = 0

et 𝑓3(1) = 𝑒1 − (𝑒 − 2) × 1 − 1 = 𝑒 − 𝑒 + 2 − 1 = 1

• sur [0 ; 1], 𝑓3 (𝑥) ≤ 𝑥

Car … On pose :

ℎ(𝑥) = 𝑥 − 𝑓3(𝑥) = 𝑥 − (𝑒𝑥 − (𝑒 − 2)𝑥 − 1)

= 𝑥 − 𝑒𝑥 + (𝑒 − 2)𝑥 − 1

= −𝑒𝑥 + (𝑒 − 2 + 1)𝑥 − 1

= −𝑒𝑥 + (𝑒 − 1)𝑥 − 1

On étudie le signe de ℎ(𝑥) ℎ(𝑥) = −𝑒𝑥 + (𝑒 − 1)𝑥 − 1

Alors ℎ′(𝑥) = −𝑒𝑥 + 𝑒 − 1

Et ℎ′(𝑥) > 0 −𝑒𝑥 + 𝑒 − 1 > 0 𝑒 − 1 > 𝑒𝑥 ln(𝑒 − 1) > ln(𝑒𝑥) ln(𝑒 − 1) > 𝑥 On en déduit le tableau de variations suivant :

Donc sur [0 ; 1], ℎ(𝑥) ≥ 0

𝑥 − 𝑓3(𝑥) ≥ 0

𝑥 ≥ 𝑓3(𝑥)

• On a 𝑓3(𝑥) = 𝑒𝑥 − (𝑒 − 2)𝑥 − 1

Alors 𝑓3 = 𝑢 + 𝑣 avec 𝑢(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑢′(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑣(𝑥) = −(𝑒 − 2)𝑥 − 1 𝑣′(𝑥) =−(𝑒 − 2)

Et 𝑓3′ = 𝑢′ + 𝑣′

D’où 𝑓3′(𝑥) = 𝑒𝑥 − (𝑒 − 2)

Pour pour tout réel 𝑥 de [0,1], 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

𝑒0 ≤ 𝑒𝑥 ≤ 𝑒1 1 ≤ 𝑒𝑥 ≤ 𝑒 1 − (𝑒 − 2) ≤ 𝑒𝑥 ≤ 𝑒 − (𝑒 − 2)

1 − 𝑒 + 2 ≤ 𝑒𝑥 ≤ 2

0 ≤ 3 − 𝑒 ≤ 𝑒𝑥 ≤ 2 Donc pour tout réel 𝑥 de [0,1], 0 ≤ 𝑓3′(𝑥)

Par conséquent, la fonction 𝑓3 est strictement croissante sur [0; 1].

Partie B : Indice de GINI D’après Wikipédia, le coefficient de GINI, noté γ, est une mesure du degré d’inégalité de la distribution des revenus dans une société donnée, développée par le statisticien italien CORRADO GINI. Mathématiquement, on a :

𝜸 =𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 [𝑶𝑨]𝒆𝒕 𝑪

𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒅𝒖 𝒕𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒍𝒆 𝑶𝑩𝑨

1. Expliquer pourquoi 𝟎 ≤ 𝜸 ≤ 𝟏 .

Préciser dans quelle situation on a 𝜸 = 𝟎 et dans quelle situation on a = 𝟏 . Une aire est positive donc le quotient de deux aires est aussi positif. Par ailleurs, la courbe de Lorenz étant située sous le segment [OA] et au-dessus de l’axe des abscisses (la part du revenu total est une quantité toujours positive), l’aire de la partie grisée est inférieure à l’aire du triangle OAB, donc le quotient est inférieur à 1.

On a donc 0 ≤ 𝛾 ≤ 1. On a vu qu’en cas d’égalité parfaite la courbe de Lorenz est confondue avec de segment

[OA]. Dans ce cas l’aire de la partie grisée est nulle et 𝛾 = 0.

En cas d’inégalité totale la courbe de Lorenz est le segment [OB] (B exclu) donc l’aire de

la partie grisée est égale à l’aire du triangle OBA et 𝛾 = 1.

2. Si on note 𝒇 la fonction associée à la courbe de LORENZ,

montrer que 𝜸 = 𝟏 − 𝟐 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝟏

𝟎.

On a :

Aire du triangle OBA =1

2

Aire de la partie grisée = aire du triangle OBA − ∫ 𝑓(𝑥)1

0𝑑𝑥.

Donc

𝛾 =𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 [𝑂𝐴]𝑒𝑡 𝐶

𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑂𝐵𝐴=

12 − ∫ 𝑓(𝑥)

1

0𝑑𝑥

12

= (1

2− ∫ 𝑓(𝑥)

1

0

𝑑𝑥) × 2 = 1 − ∫ 𝑓(𝑥)1

0

𝑑𝑥

3. (a) Calculer 𝜸𝟏 , 𝜸𝟐 et 𝜸𝟑, les coefficients de GINI correspondant aux fonctions 𝒇𝟏 , 𝒇𝟐 et 𝒇𝟑 de la question 3c de la Partie A.

• 𝑓1(𝑥) = 𝑥² donc 𝐹1(𝑥) =1

3 𝑥3 est une primitive de 𝑓1.

Alors 𝛾1 = 1 − 2 ∫ 𝑓1(𝑥)1

0𝑑𝑥 = 1 − 2(𝐹1(1) − 𝐹1(0))

= 1 − 2 (1

3× 13 −

1

3× 03) = 1 −

2

3=

1

3≈ 0,33

• 𝑓2(𝑥) = 𝑥3 donc 𝐹2(𝑥) =1

4 𝑥4 est une primitive de 𝑓2.

Alors 𝛾2 = 1 − 2 ∫ 𝑓2(𝑥)1

0𝑑𝑥 = 1 − 2(𝐹2(1) − 𝐹2(0))

= 1 − 2 (1

4× 14 −

1

4× 04) = 1 −

1

2=

1

2= 0,5

• 𝑓3(𝑥) = 𝑒𝑥 − (𝑒 − 2)𝑥 − 1 donc 𝐹3(𝑥) = 𝑒𝑥 − (𝑒 − 2)𝑥2

2− 𝑥 est une primitive de 𝑓3.

Alors 𝛾3 = 1 − 2 ∫ 𝑓3(𝑥)1

0𝑑𝑥 = 1 − 2(𝐹3(1) − 𝐹3(0))

= 1 − 2 ((𝑒1 − (𝑒 − 2) ×12

2− 1) − (𝑒0 − (𝑒 − 2)

02

2− 0))

= 1 − 2 (𝑒 −1

2(𝑒 − 2) − 1 − 1)

= 1 − 2 (𝑒 −1

2𝑒 + 1 − 1 − 1)

= 1 − 2 (1

2𝑒 − 1)

= 1 − 𝑒 + 3

= 3 − 𝑒 ≈ 0,28

(b) Ranger ces fonctions de celle correspondant à la répartition des salaires la plus égalitaire à la répartition la moins égalitaire.

Plus l’indice de Gini est proche de 0 et plus la répartition est égalitaire et plus l’indice de Gini est proche de 1 et plus la répartition est inégalitaire.

On a 0 < 𝛾3 < 𝛾1 < 𝛾2 < 1

Donc les fonctions sont, dans l’ordre demandé, 𝑓3, 𝑓1 et 𝑓2.

4. Rechercher sur Internet l’indice de GINI (ou le coefficient de GINI = 100× γ) de la France et des États-Unis à une même date (on donnera l’adresse exacte de la source sur sa copie) et comparer ces deux indices.

Toutes les sources (récentes) indiquent que l’indice de GINI de la France est inférieur à celui des USA donc que la France est moins inégalitaire que les USA.

T ES/L INDICATIONS : DM : CONVEXITE – COEFFICIENT DE GINI 14/04/2015

Exercice 1

1. Par lecture graphique : • Bien faire attention à la courbe tracée : 𝐶𝑓

′

• 𝑓′′ est la dérivée seconde de 𝑓 et également la dérivée de 𝑓′

D’où 𝑓′′(0) est le nombre dérivé de … ou le coefiicient directeur de …

2. Une des quatre courbes 𝑪𝟏, 𝑪𝟐, 𝑪𝟑 et 𝑪𝟒 ci-dessous est la courbe représentative de la fonction 𝒇 et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde 𝒇′′.

a. Déterminer la courbe qui représente 𝒇 et celle qui représente la dérivée seconde 𝒇′′. Chercher les variations de la fonction 𝑓 et celles de la fonction 𝑓′ Puis en déduire les signes de la dérivée.

b. Déterminer les intervalles sur lesquels 𝒇 est convexe ou concave. Pour connaitre la convexité d’une fonction, il faut connaitre le signe de sa dérivée seconde

c. La courbe représentative de la fonction 𝒇 admet-elle un point d'inflexion ? Il y a un point d’inflexion quand…

Exercice 2 PARTIE B

2. Étudier les variations de la fonction 𝑭. Il faut se souvenir que pour tout 𝑥, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

En connaissant le signe de la fonction 𝑓 on en déduit les variations de 𝐹

3. Étudier la convexité de la fonction 𝑭. Pour connaitre la convexité d’une fonction, il faut connaitre les variations de sa dérivée

Exercice 3 Courbe de Lorentz et Indice de Gini

Partie A : Courbe de LORENZ 2. (b) On suppose que tous les ménages d’un pays ont exactement la même part du total

des revenus. On parle alors d’égalité parfaite. Expliquer pourquoi la courbe de LORENZ est alors confondue avec le segment [OA].

Si tous les ménages ont le même revenu, si l’on prend les 10 % les moins riches (n’importe quels 10 % de la population puisqu’ils sont tous à égalité), ils se partagent 10 % des revenus, si on prend les 20 % les moins riches de la population, ils se partagent 20 % des revenus, etc.

Plus généralement 𝑥 % de la population se partage 𝑥 % des revenus et la courbe de Lorenz est donc d’équation 𝑦 = 𝑥, où 𝑦 est le pourcentage de revenu partagé et 𝑥 les 𝑥 % les moins riches.

3. Généralités sur les courbes de LORENZ. (a) i. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ passe toujours par les points O et A.

Les 0 % les moins riches se partagent toujours 0 % des revenus, donc la courbe de Lorenz passe forcément par O (0; 0). Les 100 % les moins riches se partagent toujours 100 % des revenus, donc la courbe de Lorenz passe forcément par A(1; 1).

ii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ ne peut jamais être au-dessus de

la première bissectrice (la droite (OA) d’équation 𝒚 = 𝒙 tracée en pointillés sur les figures page précédente. On pourra se baser sur un exemple.

Supposons que la courbe passe par (0,5; 0,6) qui est situé au-dessus de la première bissectrice. On aurait alors les 50 % les moins riches qui toucheraient 60 % du revenu disponible, ce qui signifierait qu’il ne resterait alors que 40 % du revenu pour les 50 % les plus riches de la population. Les plus riches seraient moins riches que les moins riches, ce qui est contradictoire.

iii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ représente toujours une fonction croissante.

Soient 𝑥 et 𝑥 ′ deux pourcentages de la population telles que 𝑥 < 𝑥′ et 𝑦 et 𝑦 ′ les pourcentages respectifs du revenu total qu’ils se partagent. D’après la définition de la courbe de Lorenz, étant des fréquences cumulées,

les 𝑥 les moins riches sont contenus dans les 𝑥′ les moins riches, donc les

revenus cumulés correspondant à 𝑥′ contiennent les revenus cumulés correspondant à 𝑥, donc 𝑦 < 𝑦′ . On a donc : si 𝑥 < 𝑥′ alors < 𝑦′ , ce qui correspond à la définition d’une fonction croissante.

(b) Justifier que pour qu’une fonction f convienne, il faut qu’elle vérifie les points suivants :

• 𝒇 doit être définie sur [𝟎; 𝟏] ; • 𝒇 (𝟎) = 𝟎 et 𝒇 (𝟏) = 𝟏 ; • 𝒇 (𝒙) ≤ 𝒙 pour tout 𝒙 ∈ [𝟎; 𝟏]; • 𝒇 croissante sur [𝟎; 𝟏].

• 𝑥 variant de 0 à 1, la fonction f doit être définie sur [0; 1] • On a vu qu’une courbe de Lorenz passe forcément par O et A,

donc 𝑓 (0) = 0 et 𝑓 (1) = 1. • On a vu qu’une courbe de Lorenz y = f (x) est forcément au-dessous de la première bissectrice y = x,

donc 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑥. • On a vu qu’une courbe de Lorenz est la représentation graphique d’une fonction croissante.

(c) Montrer que les fonctions suivantes conviennent :

• 𝒇𝟏(𝒙) = 𝒙² ;

• 𝒇𝟐(𝒙) = 𝒙𝟑 ; • 𝒇𝟑(𝒙) = 𝒆𝒙 − (𝒆 − 𝟐)𝒙 − 𝟏 ;

Il faut donc vérifier que ces fonctions vérifient bien les quatre conditions du (b)

• 𝑓1(𝑥) = 𝑥² Aucun souci

• 𝑓2(𝑥) = 𝑥3 Aucun souci

• 𝑓3(𝑥) = 𝑒𝑥 − (𝑒 − 2)𝑥 − 1

• sur [0 ; 1], 𝑓3 (𝑥) ≤ 𝑥

Car …

Il faut poser une fonction ℎ tel que ℎ(𝑥) = 𝑥 − 𝑓3(𝑥)

Pour étudier le signe de ℎ(𝑥), il faut étudier ses variations et montrer qu’elle admet un minimum de 0 sur [0; 1] Voici le tableau qu’on doit obtenir :

• la fonction 𝑓3 est strictement croissante sur [0; 1] Car…

Il faut déterminer sa dérivée puis étudier le signe de celle-ci

Pour pour tout réel 𝑥 de [0,1], 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 …

0 ≤ 3 − 𝑒 ≤ 𝑒𝑥 ≤ 2 Donc pour tout réel 𝑥 de [0,1], 0 ≤ 𝑓3′(𝑥)

Partie B : Indice de GINI

3. (a) Calculer 𝜸𝟏 , 𝜸𝟐 et 𝜸𝟑, les coefficients de GINI correspondant aux fonctions 𝒇𝟏 , 𝒇𝟐 et 𝒇𝟑 de la question 3c de la Partie A.

• 𝑓1(𝑥) = 𝑥² donc 𝐹1(𝑥) =……. est une primitive de 𝑓1.

Alors 𝛾1 = ……………………..

• 𝑓2(𝑥) = 𝑥3 donc 𝐹2(𝑥) =…….. est une primitive de 𝑓2.

Alors 𝛾2 =……………………..

• 𝑓3(𝑥) = 𝑒𝑥 − (𝑒 − 2)𝑥 − 1 donc 𝐹3(𝑥) = 𝑒𝑥 − (𝑒 − 2)𝑥2

2− 𝑥 est une primitive de 𝑓3.

Alors 𝛾3 =………………………..