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Module 040 OUTILS ANALYTIQUES

Analyse drsquoineacutegaliteacute Lrsquoindice de Gini

Analyse drsquoineacutegaliteacute Lrsquoindice de Gini par Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lrsquoassistance aux politiques FAO Italie

Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie pour le compte de Organisation des Nations-Unies pour lrsquoalimentation et lrsquoagriculture

Agrave propos drsquoEASYPol EASYPol est un reacutefeacuterentiel interactif multilingue en ligne qui propose des ressources teacuteleacutechargeables visant agrave renforcer les capaciteacutes en matiegravere deacutelaboration de politiques alimentaire agricole et deacuteveloppement rural Ladresse de sa page drsquoaccueil est wwwfaoorgtceasypol Les ressources dEASYPol sont creacuteeacutees et mises agrave jour par le Service de soutien aux politiques agricoles de la FAO

Les termes employeacutes et la preacutesentation du contenu de ce document drsquoinformation ne repreacutesentent en aucune maniegravere lrsquoopinion de lrsquoOrganisation des Nations-Unies pour lrsquoalimentation et lrsquoagriculture quant au statut juridique dun pays drsquoun territoire drsquoune ville ou drsquoune reacutegion quelconque ou de ses autoriteacutes ou quant agrave la deacutelimitation de ses frontiegraveres ou limites

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Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini

Sommaire

1 Reacutesumeacute 1

2 Introduction1

3 Contexte conceptuel 2 31 Lrsquoindice de Gini 2 32 Lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (Gv) 6

4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini9 41 Lrsquoindice de Gini 9 42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute 11

5 Exemple numeacuterique du mode de calcul de lrsquoindice de Gini12 51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz 12 52 Indice de Gini standard avec formule de covariance 13 53 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute 13

6 Proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini14

7 Intersection de Lorenz et indice de Gini 16

8 Synthegravese des proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee18

9 Remarques agrave lrsquointention des lecteurs 18 91 Liens EASYPol 18

10 Annexe I ndash Autres meacutethodes de calcul de lrsquoindice de Gini20 Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible 20 101 Indice de Gini avec formule de covariance 21 102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini 22

11 Ouvrages de reacutefeacuterence et autres ressources 24

Meacutetadonneacutees du module25

Analyse drsquoineacutegaliteacute lrsquoindice de Gini 1

1 REacuteSUMEacute

Le preacutesent document traite de lrsquoindicateur drsquoineacutegaliteacute le plus freacutequemment utiliseacute lrsquoindice de Gini Il en preacutesente les caracteacuteristiques et le lien qursquoil entretient avec un autre outil de repreacutesentation graphique de lrsquoineacutegaliteacute largement usiteacute la courbe de Lorenz Il aborde eacutegalement une version eacutetendue de cet indice faisant appel agrave diffeacuterents facteurs de pondeacuteration Une proceacutedure deacutetailleacutee et des exemples numeacuteriques expliquent les modaliteacutes drsquoutilisation de lrsquoindice de Gini et de ses versions geacuteneacuteraliseacutees

2 INTRODUCTION

Objectifs

Ce module preacutesente lrsquoutilisation des indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute compare les distributions de revenus et en explique les avantages et les inconveacutenients respectifs Public

Ce module srsquoadresse aux analystes des politiques actuels ou futurs deacutesireux drsquoajouter lrsquoanalyse des distributions de revenus agrave leurs capaciteacutes drsquoanalyse des impacts des politiques de deacuteveloppement sur lrsquoineacutegaliteacute De ce fait il constituera un document de reacutefeacuterence utile pour les eacuteconomistes et les praticiens travaillant dans des administrations publiques des ONG des organisations professionnelles ou des cabinets de conseil Les professeurs pourront lrsquoutiliser agrave lrsquoappui de leurs cours consacreacutes agrave lrsquoanalyse coucirctbeacuteneacutefice (ACB) et agrave lrsquoeacuteconomie du deacuteveloppement Enfin il permettra agrave toute personne qui le souhaite drsquoameacuteliorer ses compeacutetences en matiegravere drsquoACB et de compleacuteter sa formation Connaissances preacutealables requises

Les utilisateurs devront posseacuteder des notions eacuteleacutementaires de matheacutematiques et de statistiques et avoir maicirctriseacute les concepts

de distribution des revenus et drsquoineacutegaliteacute des revenus

de courbes de Lorenz

drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Des liens vers les modules EASYPol pertinents des ouvrages consacreacutes agrave ces sujets et des documents de reacutefeacuterence figurent dans les notes de bas de page et agrave la section 9 du preacutesent module1

1 Les liens hypertexte vers des documents EASYPol apparaissent en bleu

a) parcours de formation en gras souligneacute b) autres modules EASYPOL ou mateacuteriels EASYPOL compleacutementaires en italique gras souligneacute c) liens vers le glossaire en gras et d) liens externes en italique

Module EASYPol 040 Outils analytiques

2

3 CONTEXTE CONCEPTUEL

Lrsquoindice de Gini est un indicateur associeacute agrave lrsquoapproche descriptive de la mesure de lrsquoineacutegaliteacute Lambert (1993) a reacutesumeacute la base analytique permettant drsquoeacutetablir le rapport entre lrsquoindice de Gini et les fonctions de bien-ecirctre social et donc de le faire entrer dans le champ de lrsquoanalyse du bien-ecirctre Dans les pages suivantes nous nrsquoaborderons que lrsquoapproche descriptive Lrsquoapproche bien-ecirctre sera traiteacutee dans des outils plus avanceacutes Lrsquoindice de Gini est un indicateur drsquoineacutegaliteacute2 complexe et syntheacutetique comme de nombreux autres de mecircme nature De ce fait il fournit des informations condenseacutees sur la distribution des revenus mais pas sur ses caracteacuteristiques telles que localisation et forme Pour cet indice nous appliquons la logique des axiomes drsquoineacutegaliteacute3 dans la mesure ougrave ceux-ci constituent des critegraveres eacuteligibles drsquoeacutevaluation des performances des indicateurs

31 Lrsquoindice de Gini

Lrsquoindice de Gini a eacuteteacute eacutelaboreacute par Gini en 1912 et entretient un lien strict avec la repreacutesentation de lrsquoineacutegaliteacute des revenus agrave lrsquoaide de la courbe de Lorenz En particulier il mesure le ratio entre lrsquoaire situeacutee entre la courbe de Lorenz et la droite

deacutequidistribution (et donc lrsquoaire de concentration) et lrsquoaire de concentration maximale La figure 1 repreacutesente ces aires elle trace trois courbes de Lorenz agrave partir de trois distributions de revenus hypotheacutetiques A B et C La courbe baseacutee sur la distribution des revenus A est la courbe standard que donne lrsquoanalyse des distributions de revenus reacuteelles Celle de la distribution B repreacutesente le cas extrecircme ougrave tous les revenus sont eacutegaux Dans ce cas elle prend aussi le nom de droite drsquoeacutequidistribution Enfin la courbe de la distribution C illustre un autre cas extrecircme celui ougrave tous les revenus sont nuls sauf le dernier Dans la figure 1 OP est la droite drsquoeacutequidistribution et ORP lrsquoaire deacutefinie par la courbe de Lorenz de la distribution des revenus standard et la courbe drsquoeacutequidistribution baptiseacutee aire de concentration OPQ est lrsquoaire de concentration maximale cest-agrave-dire la zone entre la courbe de Lorenz de la distribution de revenus C et la droite drsquoeacutequidistribution La droite drsquoeacutequidistribution OP et lrsquoaire OPQ repreacutesentent les valeurs extrecircmes de lrsquoaire de concentration dans une courbe de Lorenz Soit cette aire est nulle (comme dans le cas de la droite drsquoeacutequidistribution de la distribution B) soit elle est maximale (cas de la distribution C) Pour une distribution des revenus standard lrsquoaire de concentration se situe quelque part entre zeacutero et lrsquoaire de concentration maximale comme dans la figure 1

2 Voir le module EASYPol 080 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute indicateurs simples dineacutegaliteacute 3 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure


Lrsquoindice de Gini mesure le ratio entre lrsquoaire de concentration et lrsquoaire de concentration maximale Par conseacutequent dans la figure 1 [1]

OPQORPG ==

aire de concentration maximale

i d i aire de concentration

Comme lrsquoaire de concentration maximale correspond agrave une distribution ougrave un seul individu deacutetient la totaliteacute des revenus lrsquoindice de Gini G mesure en geacuteneacuteral la distance entre lrsquoaire deacutefinie par une quelconque distribution de revenus standard et lrsquoaire de concentration maximale Il faut maintenant comprendre comment srsquoapplique la formule de la figure 1 dans la pratique Commenccedilons par le deacutenominateur de G Nous avons deacutejagrave expliqueacute4 que les coordonneacutees maximales de la courbe de Lorenz se situent au point (11) Par conseacutequent lrsquoaire OPQ doit ecirctre un triangle posseacutedant une longueur de base de 1 et une hauteur de 1 Son aire est donc eacutegale agrave frac12 Le deacutenominateur de G est donc frac12 Figure 1 Courbe de Lorenz et indice de Gini

00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

00 200 400 600 800 1000

Proportion cumuleacutee de la population ()

Pro

port

ion c

um

uleacute

e d

es

revenus

()

Dis_A Dis_B Dis_C

O

P

Q

ORP = Aire deconcentration

R

OPQ = Aire deconcentration

maximale

ORPOPQ

GINI =Aire de concentration

=Aire de concentration maximale

Mais qursquoen est-il du numeacuterateur Au lieu de calculer directement lrsquoaire de concentration nous pouvons exploiter le fait que cette aire repreacutesente la diffeacuterence entre lrsquoaire de concentration maximale et lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (cette derniegravere eacutetant

4 Voir le module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute des revenus la courbe de Lorenz


4

donneacutee par ORPQ) Le mode de calcul le plus facile de lrsquoaire sous la courbe de Lorenz est deacutecrit ci-apregraves

5Commenccedilons par rappeler la deacutefinition des coordonneacutees de la courbe de Lorenz Si nyyy lelele 21

proportion cumuleacutee de la population

proportion cumuleacutee des revenus

21

21 21

rarr =

rarr+++

= + + + + + +

=

n i p

Yyyy

y y y y yy

q

i

i

n i

i ougrave q =p =0 et q =p0 0 n n=1 Lrsquoaire sous la courbe de Lorenz ORPQ est la somme des aires drsquoune seacuterie de polygones Regardons la figure 2 ougrave une courbe de Lorenz simplifieacutee a eacuteteacute creacuteeacutee pour une population de quatre individus Le premier polygone est un triangle (p q po 1 1) et les trois autres sont des trapegravezes isocegraveles pivoteacutes On peut donc calculer chaque aire seacutepareacutement et ajouter les reacutesultats obtenus pour obtenir la valeur de lrsquoaire globale Symbolisons lrsquoaire du iegraveme polygone par Zi et lrsquoaire totale obtenue de cette maniegravere par Z Lrsquoaire du triangle est donneacutee par

2

hauteur

1

base

11

qpZ = tandis que lrsquoaire de chaque trapegraveze est donneacutee par

( ) ( )2

hauteur

1

base longue + base courte

186minusminus minus+

= iiiii

ppqZ

q

Comme q =p =0 la somme de toutes ces aires donne 0 0

( )([ ]sumsum minusminus=

minus+==i

iiii

n

ii ppqqZZ 11

1 21 )

pour n=4

5 Voir le module EASYPOL 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute des revenus la courbe de Lorenz


Figure 2 Mode de calcul de lrsquoaire de concentration

TRIANGLE 1 TRAPEgraveZE 2 TRAPEgraveZE 4

TRAPEgraveZE 3

00

02

04

06

08

10

0 025 05 075 1

q1

q2

q3

q4

q0=p0 p1 p2 p3 p4

Aire de concentration (12)-Z

Cependant Z nrsquoest pas lrsquoaire de concentration mais lrsquoaire sous la courbe de Lorenz Pour calculer lrsquoaire de concentration (numeacuterateur de lrsquoindice de Gini) il suffit maintenant de soustraire Z de lrsquoaire de concentration maximale (frac12 ) comme suit

( )([ ]sum minusminus minus+minus=minus=i

iiii ppqqZ 1121

21

21ionconcentrat de Aire )

Selon [1] lrsquoindice de Gini G est donc eacutegal agrave

( )( )[ ]( )([ ]sum

summinusminus

minusminus

minus+minus=minus+minus

=i

iiiii

iiii

ppqqppqq

G 11

11

1

21

21

21

)

[2] que lrsquoon peut eacutegalement eacutecrire

ZG 21minus= [3] La formule ci-dessus indique seulement que lrsquoindice de Gini est eacutegal agrave 1 moins deux fois lrsquoaire sous la courbe de Lorenz


6

Cette interpreacutetation geacuteomeacutetrique baseacutee sur la courbe de Lorenz ne constitue que lrsquoun des modes de calcul possibles de lrsquoindice de Gini Une autre approche qui va srsquoaveacuterer particuliegraverement utile ci-apregraves consiste agrave exprimer directement lrsquoindice de Gini en termes de covariance entre les niveaux de revenus et la distribution cumuleacutee des revenus En particulier

( )( )y

yFyCovG 2=[4] ougrave Cov repreacutesente la covariance entre des niveaux de revenus y et la distribution cumuleacutee des mecircmes revenus F(y) et ougrave y est le revenu moyen Il est utile de rappeler ici que la covariance est la valeur attendue E des produits des eacutecarts sur la moyenne de chaque variable Soit dans ce cas preacutecis

[ ] [ ] [ ])()()( yFyFyyEyFyCov minussdotminus= [5]

32 Lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (Gv)

Pour eacutevaluer lrsquoimpact des politiques sur lrsquoineacutegaliteacute nous disposons drsquoune mesure suffisamment souple pour incarner les preacutefeacuterences de diffeacuterents deacutecisionnaires concernant par exemple le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Apregraves tout deux deacutecisionnaires adoptant des attitudes diffeacuterentes vis-agrave-vis de lrsquoineacutegaliteacute eacutevalueront diffeacuteremment les effets drsquoune mecircme politique Lrsquoindice de Gini eacutelaboreacute dans la section preacuteceacutedente (appeleacute ci-apregraves indice de Gini standard) ne permet pas de prendre en compte ces diffeacuterences drsquoattitude ou en drsquoautres termes le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La geacuteneacuteralisation de lrsquoindice de Gini de Yitzhaki (1983) le rend deacutependant drsquoun degreacute speacutecifieacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute La formule correspondante est la suivante

G v( )= minus vy

Cov y 1minus F(y)( )vminus1⎡ ⎣ ⎢

⎤⎦⎥ [6]

ougrave tous les termes ont le mecircme sens que dans [4] et ougrave v exprime le degreacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Lrsquoaffectation de diffeacuterentes valeurs agrave v risque de modifier la valeur de lrsquoindice de Gini du fait drsquoune pondeacuteration diffeacuterente des revenus agrave diffeacuterentes parties de leur distribution Agrave noter que lorsque v=2 lrsquoexpression [6] revient agrave lrsquoindice de Gini standard (expression [4]) Pour comprendre la signification de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute rappelons la deacutefinition eacutetendue suivante du terme de covariance dans [6]

( )[ ] [ ] ( ) ( )[ ])(1)(1)(1 yFyFyyEyFyCov minusminusminussdotminus=minus[7]


Les seconds crochets agrave la droite de lrsquoexpression [7] doivent ecirctre interpreacuteteacutes comme la pondeacuteration agrave affecter agrave chaque niveau de revenu crsquoest-agrave-dire agrave chaque eacutecart sur la moyenne du niveau de revenus (premiers crochets) Pour les bas revenus (infeacuterieurs au revenu moyen) le terme des premiers crochets est neacutegatif et le second positif Pour les revenus eacuteleveacutes (supeacuterieurs agrave la moyenne) la situation est inverseacutee Les eacutecarts sur la moyenne sont positifs tandis que le terme des seconds crochets est neacutegatif Agrave noter la proprieacuteteacute de la fonction de distribution cumuleacutee (FDC) sa moyenne est eacutegale agrave sa meacutediane (frac12) De ce fait la valeur des seconds crochets sera positive jusqursquoagrave la meacutediane de la FDC Cela signifie que la meacutediane de la distribution des revenus aura une pondeacuteration nulle puisque le revenu meacutedian est le niveau de revenu ougrave F(y) = frac12 Il nous faut maintenant comprendre ce qui arrive aux revenus situeacutes avant et apregraves la meacutediane quand la valeur de v augmente La figure 3 se penche sur ce problegraveme La droite rouge repreacutesente la diffeacuterence de [1-F(y)] sur la moyenne dans le cas standard de v=2 Elle coupe lrsquoaxe des x au niveau meacutedian de cette distribution de revenus hypotheacutetique Si nous prenons le cas ougrave v=3 (courbe noire eacutepaisse) on voit relativement facilement qursquoune fraction des personnes riches (agrave droite de lrsquointersection avec v=2 dans la zone sud-est du graphique) possegravede (en termes absolus) une pondeacuteration infeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe au-dessus de la droite rouge dans le graphique Dans le mecircme temps une fraction des personnes pauvres (agrave gauche de lrsquointersection avec v=2 dans la zone nord-ouest du graphique) preacutesente une pondeacuteration supeacuterieure que lorsque v=2 Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire eacutepaisse se situe agrave nouveau au-dessus de la droite rouge dans le graphique Lorsque lrsquoon augmente v la fraction de personnes riches dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration infeacuterieure agrave celle de v=2 augmente Dans le mecircme temps la fraction de personnes pauvres dont lrsquoeacutecart de revenus sur la moyenne reccediloit une pondeacuteration supeacuterieure agrave celle de v=2 diminue La figure 3 rend compte des cas ougrave v=2 v=4 v=8 et v=16 Par conseacutequent quand v augmente le nombre de bas revenus posseacutedant une pondeacuteration importante diminue et le nombre de personnes posseacutedant une pondeacuteration nulle augmente Dans le calcul de Gini augmenter v signifie donc se focaliser plutocirct sur lrsquoineacutegaliteacute dans une fraction progressivement infeacuterieure de la distribution des revenus6

6 Crsquoest la raison pour laquelle on considegravere souvent v comme un laquo paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute raquo


8

Figure 3 Pondeacuteration dans lrsquoindice de Gini

-06

-04

-02

00

02

04

06

08

10

Niveaux de revenus

(1-F

(y))

eacute

cart

s su

r la

moyenne

v=2 v=3 v=4 v=8 v=16

Quand v augmente un ensemble progressivement plus important drsquoindividus riches compte moins que quand v=2 Quand v=16 mecircme certaines personnes agrave bas revenus comptent pour zeacutero car une pauvreteacute plus extrecircme devient progressivement le point de focalisation

Quand v augmente un ensemble progressivement moindre drsquoindividus pauvres compte davantage que quand v=2 Plus v est eacuteleveacute plus le poids des individus diminue rapidement Quand v=16 peu de personnes agrave bas revenus comptent beaucoup

De ce fait lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute donne davantage de souplesse agrave leacutevaluation des programmes et des politiques de deacuteveloppement que lrsquoindice de Gini standard parce qursquoil permet drsquoincarner diffeacuterents degreacutes drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Pour mieux comprendre ce point utilisons lrsquoexemple du tableau 1 Tableau 1 Exemple de facteurs de pondeacuteration implicites dans lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute

Individus Revenus F(y) 1-F(y) [1-F(y)]v-

1 v=2

[1-F(y)]v-1

v=4

Revenus eacutecarts sur la

moyenne

[1-F(y)]v-1 v=2 eacutecarts

sur la moyenne


sur la moyenne

Facteur de pondeacuteration

implicite quand v=2


implicite quand v=4

1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80

2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10

4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01

5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00

Moyenne 3 000 060 040 040 006 Le tableau 1 rend compte de la distribution hypotheacutetique des revenus de cinq individus Pour chaque niveau de revenu la troisiegraveme et la quatriegraveme colonnes fournissent le reacutesultat du calcul de F(y) et de (1-F(y)) respectivement La cinquiegraveme et la sixiegraveme donnent le reacutesultat de la quatriegraveme colonne pour v=2 et v=4


Agrave noter que v=2 correspond agrave lrsquoindice de Gini standard et que v=4 inclut davantage de personnes agrave bas revenus dans la pondeacuteration La septiegraveme colonne indique lrsquoeacutecart de chaque revenu par rapport au revenu moyen Il est neacutegatif pour les bas revenus et positif pour les revenus eacuteleveacutes Nous devons simplement nous rappeler qursquoil fait partie du terme de covariance de [7] Les huitiegraveme et neuviegraveme colonnes calculent les eacutecarts sur la moyenne de lrsquoautre partie du terme de covariance de la formule [7] Que nous apprend la comparaison de ces colonnes Nous voyons facilement que la laquo pondeacuteration raquo affecteacutee aux revenus les plus bas est supeacuterieure avec v=4 qursquoavec v=2 Dans le mecircme temps la pondeacuteration de lindividu le plus riche descend rapidement agrave zeacutero quand v=4 Une meacutethode de calcul du facteur de pondeacuteration implicite de lrsquoindice de Gini consiste agrave deacutefinir le ratio entre la valeur de la fonction (1-F(y))v-1 agrave nimporte quel niveau de revenu et la valeur de cette mecircme fonction au niveau de revenu meacutedian Pour v=2 et v=4 ce calcul apparaicirct dans les deux derniegraveres colonnes du tableau 1 Quand v=2 le revenu le plus bas contribue deux fois plus au calcul de lrsquoindice de Gini que le revenu meacutedian Quand v=4 il y contribue huit fois plus Vous remarquerez eacutegalement que la contribution des revenus les plus eacuteleveacutes est infeacuterieure quand v=4

4 PROCEacuteDURE DEacuteTAILLEacuteE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI


La proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini est syntheacutetiseacutee dans la figure 4 baseacutee sur la formule [2] ci-dessus Il faut commencer par trier la distribution des revenus par niveaux de revenus (eacutetape 1) Agrave lrsquoeacutetape 2 nous calculons la distribution de revenus cumuleacutee Agrave lrsquoeacutetape 3 nous obtenons la proportion cumuleacutee des revenus (qi) en divisant chaque revenu cumuleacute par le total des revenus Lrsquoeacutetape 4 fournit la proportion cumuleacutee de la population (pi) Pour ce faire nous classons les individus par ordre croissant et nous attribuons le rang 1 agrave la personne au revenu le plus bas et le rang laquo n raquo agrave celle au revenu le plus eacuteleveacute puis nous divisons par n Agrave lrsquoeacutetape 5 nous calculons lrsquoaire des polygones Z1Z2 Z3Zn Le premier est un triangle les autres sont des trapegravezes (appliquez la formule figurant dans le texte) Agrave lrsquoeacutetape 6 nous additionnons toutes les aires pour obtenir lrsquoaire sous la courbe de Lorenz (Z) puis nous calculons lrsquoindice de Gini G=1-2Z La figure 4 fournit le deacuteroulement de cette proceacutedure


10

Figure 4 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini

EacuteTAPE Contenu opeacuterationnel

1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la

distribution de revenus par niveaux de revenus

2 Calculer la distribution de revenus cumuleacutee

3Calculer la proportion cumuleacutee des revenus en divisant chaque revenu

cumuleacute par le total des revenus

4

Affecter le rang 1 au revenu le plus bas et le rang n au revenu le plus eacuteleveacute

puis calculer la proportion cumuleacutee de la population en divisant chaque rang

par n

5

Calculer laire des polygones en appliquant les formules fournies dans le

texte pour laire du triangle et des trapegravezes

6 Additionner toutes les aires pour obtenir Z puis calculer G = 1-2Z

Mais le texte fournit une autre formule de calcul direct de lrsquoindice de Gini (voir la formule [4]) baseacutee sur le terme de covariance Il est donc utile den fournir la proceacutedure de calcul deacutetailleacutee (voir la figure 5) Figure 5 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini agrave lrsquoaide de la formule de covariance


1Si cela na pas deacutejagrave eacuteteacute fait trier la distribution de revenus par niveaux

de revenus

2 Calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y)

3 Calculer la covariance Cov(yF(y)) et le niveau de revenu moyen

4 Calculer Gini en appliquant la formule [4] fournie dans le texte

Lrsquoeacutetape 1 nous demande comme dhabitude de trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 nous demande de calculer la FDC F(y)7

7 Voir le module EASYPOL 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de la pauvreteacute


Lrsquoeacutetape 3 nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee et le niveau de revenus moyen utiliseacutee dans le deacutenominateur de la formule[4] Enfin lrsquoeacutetape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte

42 Indice de Gini geacuteneacuteraliseacute

La figure 6 fournit les eacutetapes du calcul de la version geacuteneacuteraliseacutee de lrsquoindice de Gini Figure 6 Proceacutedure deacutetailleacutee de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute





3 Calculer 1-F(y) pour chaque revenu

4 Choisir la valeur du paramegravetre daversion pour lineacutegaliteacute v

5 Calculer [1-F(y)]v -1

6Calculer la covariance

Cov[y (1-F(y))v -1] et la moyenne de la distribution de revenus

7 Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte

Les eacutetapes sont tregraves semblables agrave celles du calcul de lrsquoindice de Gini standard agrave lrsquoaide de la formule de covariance Les eacutetapes 1 et 2 sont mecircme identiques Par souci de commoditeacute du fait du mode drsquoexpression de la formule lrsquoeacutetape 3 nous demande de calculer pour chaque niveau de revenus la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumuleacutee agrave ce point Lrsquoeacutetape 4 est lrsquoeacuteleacutement le plus caracteacuteristique de cette proceacutedure car elle nous demande de choisir la valeur du paramegravetre de lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v Il suffit de nous souvenir que plus les valeurs de v sont eacuteleveacutees plus lrsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute est forte Lrsquoeacutetape 5 nous demande de calculer un eacuteleacutement du terme de covariance agrave savoir la valeur de (1-F(y))v-1 Agrave lrsquoeacutetape 6 nous devons calculer la covariance complegravete et le revenu moyen ce qui nous permettra drsquoappliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute (eacutetape 7)


12

5 EXEMPLE NUMEacuteRIQUE DU MODE DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI

51 Indice de Gini standard deacuteriveacute de la courbe de Lorenz

Le calcul de lrsquoindice de Gini deacuteriveacute de la courbe de Lorenz figure dans le tableau 2 ougrave nous supposons lrsquoexistence drsquoune distribution de revenus agrave cinq individus (et cinq revenus) Lrsquoeacutetape 1 neacutecessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 en revanche nous demande de calculer la distribution cumuleacutee des revenus Le reacutesultat de ce calcul est 15 000 uniteacutes de revenu soit le revenu total de lrsquoeacuteconomie Tableau 2 Exemple numeacuterique du calcul de lrsquoindice de Gini (deacuteriveacute de la courbe de Lorenz)

EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 6

Calculer le revenu cumuleacute

Calculer la proportion

cumuleacutee des revenus (qi)

Affecter un rang aux revenus


cumuleacutee de la population (pi)

Calculer laire des polygones

(Z)

Calculer lindice de

Gini

IndividuDistribution des revenus

Revenu cumuleacuteProportion

cumuleacutee des revenus

RangsProportion

cumuleacutee de la population

Aire des polygones

Indice de Gini

1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100

0100

EacuteTAPE 1

Trier la distribution de revenus

EacuteTAPE 4

Valeur de Z laire sous la courbe de Lorenz

G = 1 - 2Z

Aire du premier triangle

Aire de chaque trapegraveze

Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2

0007=[0067 x 02]2

Lrsquoeacutetape 3 transforme la distribution de revenus cumuleacutee en proportion cumuleacutee des revenus Le reacutesultat est 1 Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les qi introduits dans la section 31 ci-dessus Conformeacutement au tri de la distribution des revenus de lrsquoeacutetape 1 un rang croissant (de 1 agrave n) est affecteacute agrave chaque revenu (eacutetape 4) Ces rangs sont ensuite transformeacutes en proportion cumuleacutee de la population Ce calcul donne les p traiteacutes dans la section 31i ci-dessus Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus nous pouvons calculer lrsquoaire des polygones sous la courbe de Lorenz Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapegravezes Pour ce faire lrsquoeacutetape 5 applique les formules preacutesenteacutees dans la section 31 La somme de ces aires donne Z crsquoest-agrave-dire lrsquoaire totale sous la courbe de Lorenz


Enfin lrsquoeacutetape 6 est lrsquoapplication meacutecanique de la formule [6] fournie dans le texte Elle donne un indice de Gini de 0267

52 Indice de Gini standard avec formule de covariance

Le tableau 3 fournit un exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule [4] de covariance preacutesenteacutee dans le texte Les eacutetapes sont ici moins nombreuses Leacutetape 1 change pas et consiste agrave trier la distribution des revenus par niveaux de revenus Lrsquoeacutetape 2 demande de calculer la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Lrsquoeacutetape 3 neacutecessite de calculer les deux paramegravetres essentiels agrave appliquer agrave la formule de covariance la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee (dont la valeur est de 400 dans lrsquoexemple) et le niveau de revenus moyen soit 3 000 uniteacutes de revenu Tableau 3 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini avec la formule de covariance

EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 4

Calculer la fonction de distribution

cumuleacutee F(y)

Calculer la covariance Cov

(y F(y))

Calculer le niveau

moyen de revenu

Calculer Gini agrave laide la

formule [4]

Individu

A - Distribution des revenus

type

Distribution des revenus

cumuleacuteeCovariance

Revenu moyen

Gini

1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267

EacuteTAPE 1

Trier la distribution des revenus

EacuteTAPE 3

Lrsquoapplication de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur drsquoindice de Gini eacutegale agrave 0267 (bien eacutevidemment identique agrave celle du tableau 2 )


Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qursquoil est possible de rendre lrsquoindice de Gini standard sensible agrave un degreacute donneacute drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette geacuteneacuteralisation agrave lrsquoaide de la mecircme distribution de revenus que dans les tableaux 2 et 3


14

Tableau 4 Exemple numeacuterique de calcul de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute

EacuteTAPE 2 EacuteTAPE 3 EacuteTAPE 4 EacuteTAPE 5 EacuteTAPE 7


cumuleacutee F(y)

Calculer 1 - F(y)

Choisir vCalculer

[1 - F(y)](v-1)

Calculer la covariance

Cov (y F(y))

Calculer le niveau de revenu

moyen

Calculer Gini agrave laide de la formule [4]

Individu

A - Distribution

des revenus

type


cumuleacutee1 - F(y) v [1 - F(y)](v-1) Covariance

Revenu moyen

Gini

1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246



Les eacutetapes 1 et 2 sont identiques agrave celles du tableau 3 En revanche lrsquoeacutetape 3 requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumuleacutee Lrsquoeacutetape 4 introduit le paramegravetre drsquoaversion pour lrsquoineacutegaliteacute v auquel nous avons choisi drsquoattribuer la valeur 4 Par conseacutequent chaque montant calculeacute agrave lrsquoeacutetape 3 passe agrave la puissance (v-1) crsquoest-agrave-dire 3 (eacutetape 5) Lrsquoeacutetape 6 calcule les deux paramegravetres essentiels le terme de covariance (-246 dans lrsquoexemple) et le revenu moyen (3 000) Lrsquoeacutetape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0246 Cette valeur est diffeacuterente de celle obtenue avec lrsquoindice de Gini standard car des pondeacuterations diffeacuterentes ont eacuteteacute attribueacutees aux mecircmes revenus

6 PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LrsquoINDICE DE GINI

Cette section deacutecrit les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini en termes des axiomes qursquoil respecte 8

Comme la plupart de ces proprieacuteteacutes sont communes aux indices de Gini standard et geacuteneacuteraliseacute nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs diffeacuterences majeures Les principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini sont les suivantes la limite infeacuterieure de G est zeacutero quelle que soit la valeur de v Quand tous les

revenus sont eacutegaux la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumuleacutee est nulle et lrsquoindice de Gini est donc zeacutero Concernant lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini standard notez que quand tous les revenus sont eacutegaux la courbe de Lorenz est eacutegale agrave la droite drsquoeacutequidistribution Par conseacutequent la somme des aires des polygones (Z) est eacutegale agrave frac12 crsquoest-agrave-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz De ce fait lrsquoindice de Gini (1ndash 2Z) est eacutegal agrave zeacutero

8 Voir le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes

(disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de lrsquoineacutegaliteacute de mesure


nn 1minus la limite supeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard G est Dans les tregraves grandes

populations la limite de cette valeur est 1 Quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier celui-ci est aussi eacutegal au revenu total y=Y Autrement dit il ne faut calculer qursquoune seule aire celle du dernier trapegraveze Cependant dans les tregraves grandes populations cette aire tend agrave ecirctre plus petite Dans la limite (crsquoest-agrave-dire dans un cadre continu) la valeur de lrsquoaire Z tend vers zeacutero et donc lrsquoindice de Gini tend vers

1 Dans la geacuteneacuteralisation la limite supeacuterieure de G(v) est n

nv

12 minus Souvenez-vous

que dans lrsquoindice de Gini standard v=2 lrsquoindice de Gini est invariant agrave lrsquoeacutechelle La multiplication de tous les revenus par

un facteur α ne modifie pas la valeur de lrsquoindice de Gini G Intuitivement quand tous les revenus sont redimensionneacutes par un facteur commun la distribution cumuleacutee des revenus ne change pas car une fraction donneacutee de la population continue agrave deacutetenir la mecircme fraction du revenu total Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques Dans le cas de la formule de covariance lrsquoapplication drsquoun facteur commun agrave tous les revenus augmente la covariance et le revenu moyen dans la mecircme mesure Lrsquoindice de Gini ne change pas Cela vaut eacutegalement pour G(v)

en revanche lrsquoindice de Gini G nrsquoest pas invariant agrave la translation Si lrsquoon

ajoutesoustrait la mecircme somme agrave tous les revenus il augmente (ou diminue) en conseacutequence Cela vaut eacutegalement pour G(v)

lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v

Si le revenu est redistribueacute drsquoindividus relativement riches agrave des individus relativement pauvres G et G(v) diminuent Lrsquoinverse est vrai si le revenu est redistribueacute de personnes relativement pauvres agrave des personnes relativement riches Dans le cas de lrsquoindice de Gini standard nous remarquons que la taille du changement deacutecoulant de la variation de lrsquoun quelconque des revenus deacutepend du rang des individus participant agrave la redistribution et de la taille de lrsquoeacutechantillon Elle ne deacutepend pas du niveau des revenus individuels redistribueacutes mais du total des revenus Plus preacuteciseacutement lrsquoindice de Gini reacuteagit davantage agrave une redistribution entre individus preacutesentant une grande diffeacuterence de rang De fait agrave quantiteacute de redistribution eacutegale lrsquoeffet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche

Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus La premiegravere est une distribution laquo type raquo classeacutee par niveaux de revenus Les individus de la seconde ont tous le mecircme revenu Les individus de la troisiegraveme ont tous un revenu nul sauf le dernier


16

Pour la distribution de revenus type A lrsquoindice de Gini est de 0267 Pour les revenus eacutequidistribueacutes B il est nul et pour la distribution la plus concentreacutee C il est de 08

( 80541

==minusn

n )

Pour une augmentation de tous les revenus de 20 pour-cent la cinquiegraveme colonne montre que lrsquoindice de Gini demeurerait inchangeacute agrave 0267 (proprieacuteteacute drsquoinvariance agrave lrsquoeacutechelle) Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du mecircme montant absolu (par exemple 2 000 uniteacutes de revenu dans le texte) Dans ce cas le tableau 5 montre que lrsquoindice de Gini serait plus bas (0160) Cet indice nrsquoest pas invariant agrave la translation Lrsquoindice de Gini satisfait au principe des transferts Si nous redistribuons par exemple 500 uniteacutes de revenu des plus riches au plus pauvres il sera infeacuterieur (0213) dans le texte Agrave noter que les mecircmes transferts entre individus de rang proche (derniegravere colonne du tableau 5) donnent toujours lieu agrave un indice de Gini plus bas (0253) mais supeacuterieur au cas preacuteceacutedent (0213) Cela montre que lrsquoindice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs eacuteloigneacutes

Tableau 5 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini

IndividuA - Distribution des

revenus type

B - Distribution des revenus avec

revenus eacutegaux

C - Distribution des revenus avec un

seul revenu

Distribution des revenus dorigine

avec augmentation de 20 pour-cent de tous les revenus


avec augmentation de 2 000 USD de tous

les revenus

Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre

Distribution des revenus dorigine avec redistribution de 200

USD par deux individus de rang

proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000

Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000

GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253

INCHANGEacute DIMINUEacute DIMINUEacute DIMINUEacute

entre individus de rang proche

Lindice de Gini reacuteagit moins aux transferts

7 INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI

Nous avons vu qursquoil est possible de deacuteriver lrsquoindice de Gini drsquoune courbe de Lorenz En dautres termes indice de Gini et courbe de Lorenz sont en coheacuterence Il faut neacuteanmoins rappeler que lrsquoordre fourni par les courbes de Lorenz et en particulier par la dominance

de Lorenz est partiel car quand ces courbes ne coupent rien nous sommes agrave mecircme de dire quelle distribution des revenus preacutesente le plus drsquoineacutegaliteacute Agrave lrsquoinverse lrsquoindice de Gini fournit un ordre complet puisqursquoil reacuteduit lrsquointeacutegraliteacute de la distribution des revenus agrave un seul nombre La diffeacuterence eacuteleacutementaire entre ces deux approches devient apparente en cas drsquointersection des courbes de Lorenz Prenons par exemple les deux distributions de


revenus du tableau 6 Les revenus sont distribueacutes diffeacuteremment mais lrsquoindice de Gini est le mecircme (0200) Tableau 6 Deux distributions de revenus posseacutedant le mecircme indice de Gini

IndividusDistribution des

revenus XDistribution des

revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500

Revenu total20 000 20 000

Gini 0200 0200 Ces deux distributions sont figureacutees par les courbes de Lorenz de la figure 7 Comme elles se coupent on ne peut pas srsquoen servir pour les classer en termes drsquoineacutegaliteacute des revenus Mais la maniegravere dont elles se coupent donne des aires de mecircme valeur avant et apregraves lrsquointersection Du coup lrsquoindice de Gini est identique en deacutepit de diffeacuterences de revenus importantes Figure 7 Intersection de courbes de Lorenz

00

02

04

06

08

10

00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y

Distributions de revenus diffeacuterentesIntersection de LorenzMecircme indice de Gini

Aire de concentrationavant intersection

Aire de concentrationapregraves intersection


18

8 SYNTHEgraveSE DES PROPRIEacuteTEacuteS PRINCIPALES DE LINDICE DE GINI ET DE SA VERSION GEacuteNEacuteRALISEacuteE

Le tableau 7 syntheacutetise les proprieacuteteacutes principales de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee Ces proprieacuteteacutes reflegravetent la structure des axiomes9

Il est inteacuteressant de noter tout drsquoabord que la limite infeacuterieure de lrsquoindice de Gini standard et de sa version geacuteneacuteraliseacutee est zeacutero alors que sa limite supeacuterieure est diffeacuterencieacutee Cette derniegravere est tregraves proche de 1 (pour les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini standard et tend vers 2v (toujours dans les tregraves grandes populations) dans le cas de lrsquoindice de Gini geacuteneacuteraliseacute Les deux versions de lrsquoindice de Gini respectent le principe des transferts mais il faut rappeler que lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situeacutes agrave des positions (rang) eacuteloigneacutees dans la distribution des revenus Les deux versions sont invariantes agrave lrsquoeacutechelle et non invariantes agrave la translation et respectent le principe de population Cette structure fait de lrsquoindice de Gini et de sa version geacuteneacuteraliseacutee deux indicateurs drsquoineacutegaliteacute relative La grande utiliteacute de leurs caracteacuteristiques dans la pratique explique le fort inteacuterecirct qursquoils suscitent Tableau 7 Indice de Gini et ses proprieacuteteacutes utiles

LIMITE

INFLIMITE SUP

Principe des transferts

Invariance agrave leacutechelle

Invariance agrave la translation

Principe de population

Indice dineacutegaliteacute relative (IIR)

Inteacuterecirct

Gini 0 (n -1)n

OUI plus sensible si les

individus ont des rangs eacuteloigneacutes

OUI NON OUI OUI Eacuteleveacute

Gv 0 (2v )(n -1)n




9 REMARQUES Agrave LrsquoINTENTION DES LECTEURS

91 Liens EASYPol

Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASYPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur lrsquoineacutegaliteacute et sa mesure Le preacutesent module fait partie drsquoun ensemble de documents expliquant les modaliteacutes de comparaison en termes drsquoineacutegaliteacute des distributions de revenus geacuteneacutereacutees par diffeacuterentes options des politiques Il appartient au parcours de formation Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des politiques

9 Comme indiqueacute dans le module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses

axiomes de mesure (disponible en anglais)


Les modules EASYPol suivants preacutecegravedent logiquement le document preacutesent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs

Module EASYPol 000 Repreacutesentation graphique de lineacutegaliteacute courbe de Lorenz

Module EASYPol 001 Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz

EASYPol Module 007 Impacts des politiques sur la pauvreteacute indicateurs de base de pauvreteacute

Module EASYPol 054 Impacts des politiques sur lineacutegaliteacute lineacutegaliteacute et ses axiomes de mesure (disponible en anglais)

Les points traiteacutes dans ce module sont approfondis dans les documents suivants

Module EASYPol 002 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social Classement des distributions de revenus agrave laide de courbes de Lorenz geacuteneacuteraliseacute

Module EASYPol 041 Analyse des distributions de revenus en termes de bien-ecirctre social bien-ecirctre social fonctions de bien-ecirctre social et aversion pour lineacutegaliteacute (disponible en anglais)

Le module EASYPol 042 Impacts sur lineacutegaliteacute et la pauvreteacute de certaines

politiques agricoles cas du Paraguay est une eacutetude de cas de la mesure agrave lrsquoaide de lrsquoindice de Gini des impacts drsquoune politique agricole sur lrsquoineacutegaliteacute dans le contexte drsquoun exercice de simulation bacircti agrave partir de donneacutees reacuteelles


20

10 ANNEXE I ndash AUTRES MEacuteTHODES DE CALCUL DE LrsquoINDICE DE GINI

Deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini et autre formule possible

La deacuterivation de lrsquoindice de Gini par les courbes de Lorenz preacutesente une correspondance directe avec une autre meacutethode plutocirct lourde de calcul de cet indicateur

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus+= minusminus

Yy

nY

yY

yYy

nnG nnn 121 32211 [A1]

Vous remarquerez la speacutecificiteacute des termes figurant entre les derniegraveres parenthegraveses ougrave chaque part de revenu de la plus eacuteleveacutee agrave la plus faible est multiplieacutee par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus eacuteleveacute de maniegravere agrave ce que la part la plus importante ait le rang 1 et la plus petite le rang n Cette correspondance apparaicirct encore mieux dans un exemple ougrave n=3 En rappelant la deacutefinition des q et des p on obtient

133 1

032

031

0

0300 0

3321

3

221

2

11

1

00

0

===+++

=

=++

=

=+

=

=====

pY

yyyq

pY

yyq

pY

yq

np

Yy

q

Substituer ces valeurs dans lrsquoeacutequation [2] dans le texte donne

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++minus=

Yy

Yy

Yy

Yyy

Yyyy

Yy

Yyy

YyG 123213211211

1 35

33

311

31

31

311

[A2] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 1 Maintenant reacuteeacutecrivons lrsquoexpression [A1] comme suit

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++minus+=Yy

Yy

Yy

G 1232 32

32

311

[A3] Appelons cette deacutefinition indice de Gini G 2 Maintenant reacuteeacutecrivons [A2] et [A3] de maniegravere plus commode en manipulant les crochets


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +minusminus=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus=

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

G 12121231 2

32

311

34

32

311

[A4]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minusminus=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +minusminus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyyyG 121212123

2 232

3112

32

32

3112

32

311

[A5] comme lrsquoexpression entre parenthegraveses dans les deux eacutequations est eacutegale agrave 1 pour n=3 il est tregraves facile de veacuterifier que les deux expressions donnent le mecircme reacutesultat (G =G1 2) La formule [A1] souvent utiliseacutee dans les applications opeacuterationnelles est donc entiegraverement baseacutee sur la deacuterivation geacuteomeacutetrique de lrsquoindice de Gini

101 Indice de Gini avec formule de covariance

Dans le texte nous avons montreacute que lrsquoindice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moyen et la covariance entre les niveaux y et la fonction de distribution cumuleacutee F(y) Analytiquement

( ))(2 yFyCovy

G = [A6]

Cette formule eacutequivaut aussi agrave la formule [A1] Voyons pourquoi

( )[ ] ( )[ )(1 yFyCovyFyCov ]minusminus=Sachant que comme la valeur attendue de F(y) est frac12 et la valeur attendue de [1-F(y)] frac12 eacutegalement nous pouvons reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A6]

sous la forme ( )[ ])(12 yFyCov

yG minusminus=

Lrsquoeacutequivalence entre les formules [A6] et [A1] apparaicirct agrave nouveau pour un cas simplifieacute n=3 Tout drsquoabord il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( )()()( yFEyEyyFEyFyCov minus )= ougrave E correspond agrave la valeur attendue (la moyenne) drsquoune variable donneacutee Ensuite il convient de deacutefinir chaque composante de la covariance

( ) ( ) ( )32

333

32

31

)( 3

3

31

32

33

)(123

=++

==++

= yFEYyEyyy

yyFE

nous pouvons obtenir Par conseacutequent en tenant compte du fait que 321 yyyY ++=

( ) [ ]13123123 9

192

92

92

91

92

93)( yyyyyyyyyFyCov minus=minusminusminus++=


22

nYy =Si la formule de covariance de lrsquoindice de Gini devient

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus=minussdot

sdot=

Yy

Yy

yyY

G 1313 3

29132

Maintenant sachant que pour n=3

1321 =++

Yyyy

on peut reacuteeacutecrire lrsquoexpression [A1] comme suit

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus=minusminusminusminusminusminus⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++++

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

Yy

Yy

Yy 13111223321321

32

32

32

32

32

32

32

31

ce qui donne le mecircme reacutesultat que la formule de covariance

102 Principales proprieacuteteacutes de lrsquoindice de Gini

LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO Nous le constatons dans le cas simplifieacute ougrave n=3 Dans ce cas preacutecis Y=3y La formule [A1] ] donnera alors

034

311

36

32

31132

32

311 =minus+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus+=yy

Yy

Yy

YyG

LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-1)N Cela srsquoavegravere eacutegalement vrai pour n=3 En supposant agrave nouveau que n=3 quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier lrsquoexpression [3b4] donnera

nn

Yy

YYG 1

32

32

31100

32

311 minus

==minus+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++minus+=

comme dans ce cas y=Y GINI EST INVARIANT A LrsquoECHELLE Nous le voyons en appliquant un facteur α agrave la formule [A1] Par exemple pour n=3

G deviendrait ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++minus+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

+α

α+

αα

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyG 323323 32

32

31132

32

311

GINI NrsquoEST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION


Cela peut eacutegalement se voir agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation [A1] dans le cas de n=3 Supposons une augmentation de Δy = 2 000 USD soit une augmentation du total des revenus de nΔy crsquoest-agrave-dire 00023 sdot Lrsquoeacutequation [A1] deviendra

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

+minus+=

000230002

3000230002

2000230002

32

311 123

Yy

Yy

Yy

G

Comme le numeacuterateur et le deacutenominateur de toutes les parenthegraveses augmentent de maniegraveres diffeacuterentes leurs ratios diffegraverent de ceux de la formule drsquoorigine Lrsquoindice de Gini ne devrait donc pas ecirctre le mecircme GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS On le voit aiseacutement en examinant la deacuteriveacutee de lrsquoindice de Gini par rapport au iegraveme revenu

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus=

partpart

Yin

nyG

i

112

individuel rang43421

GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE Expliquons agrave nouveau cette proprieacuteteacute en supposant que n=3 et que ce revenu est drsquoabord redistribueacute du plus riche (rang 3) au plus pauvre (rang 1) La diffeacuterenciation totale de [A1] par rapport agrave y donnerait

( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡minus=minus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ sdotminus=

3411

323

32

31 y de diminution la agraveducirc G deeacutecart y deon augmentatil agraveducirc G deeacutecart 448447648476

Maintenant supposons que le revenu soit redistribueacute du plus riche (rang 3) au moins riche juste en dessous de lui (rang 2) Dans ce cas la diffeacuterenciation donnera

( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3211

322

32


qui est clairement infeacuterieur agrave dG dans le premier cas On peut geacuteneacuteraliser cette proprieacuteteacute en disant que compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple agrave partir du revenu y3) la diminution de lrsquoindice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est eacuteloigneacute de celui du donneur De ce fait lrsquoindice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus ougrave la densiteacute drsquoindividus est la plus eacuteleveacutee


24

11 OUVRAGES DE REacuteFEacuteRENCE ET AUTRES RESSOURCES

Anand S 1983 Inequality and Poverty in Malaysia Oxford University Press London

UK Cowell F 1977 Measuring Inequality Phillip Allan Oxford UK Dalton H 1920 The Measurement of Inequality of Incomes Economic Journal 30 Gini C 1912 Variabilitagrave e mutabilitagrave Bologna Italy Pigou AC 1912 Wealth and Welfare MacMillan London UK Sen AK 1973 On economic Inequality Calarendon Press Oxford UK Theil H 1967 Economics and Information Theory North-Holland Amsterdam The

Netherlands Yitzhaki S 1983 On the Extension of the Gini Index International Economic Review

24 617-628


Meacutetadonneacutees du module

1 Module EASYPol 040

2 Titre dans la langue drsquoorigine

Anglais Inequality Analysis

Franccedilais

Espagnol

Autre

3 Sous-titre dans la langue drsquoorigine

Anglais The Gini Index

Franccedilais

Espagnol

Autre

4 Reacutesumeacute


5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)

Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lassistance aux politiques FAO Rome Italie

Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie

7 Type de module Preacutesentation theacutematique geacuteneacuterale Mateacuteriels conceptuels et techniques

Outils analytiques Eacutetudes de cas et rapports Ressources compleacutementaires

Lrsquoagriculture dans le contexte macro-eacuteconomique 8 Sujets principaux traiteacutes Politiques agricoles et sous-sectorielles dans ce module Politiques agro-alimentaires et chaicircne alimentaire

Environnement et durabiliteacute Deacuteveloppement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparenteacutees Pauvreteacute et seacutecuriteacute alimentaire Inteacutegration reacutegionale et commerce international Deacuteveloppement ruralt

9 Sujets secondaires traiteacutes dans ce module

10 Parcours de Analyse et suivi des impacts socio-eacuteconomiques des formation politiques


26

11 Mots cleacutes Renforcement des capaciteacutes agriculture politiques agricoles deacuteveloppement agricole politiques de deacuteveloppement analyse des politiques analyse des impacts des politiques pauvreteacute seacutecuriteacute alimentaire outil analytique ineacutegaliteacute analyse dineacutegaliteacute indice dineacutegaliteacute indicateurs drsquoineacutegaliteacute analyse coucirct-beacuteneacutefice indice de gini indice de gini geacuteneacuteraliseacute courbe de lorenz analyse du bien-ecirctre social

Analyse drsquoineacutegaliteacute Lrsquoindice de Gini par Lorenzo Giovanni Bellugrave Service de soutien aux politiques agricoles Division de lrsquoassistance aux politiques FAO Italie

Paolo Liberati Universiteacute drsquoUrbino laquo Carlo Bo raquo Institut drsquoeacuteconomie Urbino Italie pour le compte de Organisation des Nations-Unies pour lrsquoalimentation et lrsquoagriculture

Agrave propos drsquoEASYPol EASYPol est un reacutefeacuterentiel interactif multilingue en ligne qui propose des ressources teacuteleacutechargeables visant agrave renforcer les capaciteacutes en matiegravere deacutelaboration de politiques alimentaire agricole et deacuteveloppement rural Ladresse de sa page drsquoaccueil est wwwfaoorgtceasypol Les ressources dEASYPol sont creacuteeacutees et mises agrave jour par le Service de soutien aux politiques agricoles de la FAO

Les termes employeacutes et la preacutesentation du contenu de ce document drsquoinformation ne repreacutesentent en aucune maniegravere lrsquoopinion de lrsquoOrganisation des Nations-Unies pour lrsquoalimentation et lrsquoagriculture quant au statut juridique dun pays drsquoun territoire drsquoune ville ou drsquoune reacutegion quelconque ou de ses autoriteacutes ou quant agrave la deacutelimitation de ses frontiegraveres ou limites

copy FAO deacutecembre 2006 Tous droits reacuteserveacutes La reproduction et la diffusion des documents accessibles sur le site Web de la FAO aux fins de formation ou autres fins non commerciales sont autoriseacutees sans permission eacutecrite preacutealable des deacutetenteurs des droits drsquoauteur agrave condition que la source en soit clairement mentionneacutee La reproduction de leur contenu aux fins de revente ou autres fins commerciales est interdite sans lrsquoautorisation eacutecrite des deacutetenteurs des droits drsquoauteur Il convient drsquoadresser ces demandes drsquoautorisation agrave copyrightfaoorg


Sommaire


2 Introduction1












1 REacuteSUMEacute


2 INTRODUCTION

Objectifs










2









OPQORPG ==




00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

00 200 400 600 800 1000


Pro

port

ion c

um

uleacute

e d

es

revenus

()

Dis_A Dis_B Dis_C

O

P

Q


R


maximale

ORPOPQ






4





21

21 21

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rarr+++

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i

i

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2

hauteur

1

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11


( ) ( )2

hauteur

1



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q



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iiii

n

ii ppqqZZ 11

1 21 )

pour n=4





TRAPEgraveZE 3

00

02

04

06

08

10

0 025 05 075 1

q1

q2

q3

q4

q0=p0 p1 p2 p3 p4




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21



( )( )[ ]( )([ ]sum

summinusminus

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11

1

21

21

21

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6


( )( )y





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⎤⎦⎥ [6]







8


-06

-04

-02

00

02

04

06

08

10

Niveaux de revenus

(1-F

(y))

eacute

cart

s su

r la

moyenne

v=2 v=3 v=4 v=8 v=16





1 v=2

[1-F(y)]v-1

v=4


moyenne


sur la moyenne


sur la moyenne


implicite quand v=2


implicite quand v=4

1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80

2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10

4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01

5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00








10








4



par n

5







de revenus






















12












(Z)

Calculer lindice de

Gini




RangsProportion


Aire des polygones

Indice de Gini

1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100

0100

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 4


G = 1 - 2Z



Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2

0007=[0067 x 02]2








cumuleacutee F(y)


(y F(y))

Calculer le niveau

moyen de revenu


formule [4]

Individu


type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 3





14




cumuleacutee F(y)

Calculer 1 - F(y)

Choisir vCalculer

[1 - F(y)](v-1)


Cov (y F(y))


moyen


Individu

A - Distribution

des revenus

type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246














nv










16


( 80541

==minusn

n )




revenus type


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Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000

GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253











revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500



00

02

04

06

08

10

00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y





18




LIMITE

INFLIMITE SUP






Inteacuterecirct

Gini 0 (n -1)n




Gv 0 (2v )(n -1)n





91 Liens EASYPol
















20




⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⎟⎠⎞


Yy

nY

yY

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133 1

032

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0

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2

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1

00

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=

=====

pY

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⎢⎣⎡ ++minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

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Yy

Yy

Yy

Yyy

Yyyy

Yy

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⎤⎢⎣

⎡ ++minus+=Yy

Yy

Yy

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⎤⎢⎣


⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus=

Yy

Yy

Yy

Yy

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32

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34

32

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[A4]

⎥⎦⎤



⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

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Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

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32

32

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22


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⎤⎢⎣

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⎤⎢⎣


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⎞⎜⎝

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Yy

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Yy

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Yy

Yy

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32

32

32

32

32

32

32

31




034

311

36

32

31132

32

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⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=⎟

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⎞⎜⎝

⎛ ++minus+=yy

Yy

Yy

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nn

Yy

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32

32

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32

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⎜⎝⎛ ++minus+=



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Yy

Yy

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⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

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⎛sdot+

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3000230002

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Yy

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32




24





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Franccedilais

Espagnol

Autre



Franccedilais

Espagnol

Autre

4 Reacutesumeacute


5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)










26



Sommaire


2 Introduction1












1 REacuteSUMEacute


2 INTRODUCTION

Objectifs










2









OPQORPG ==




00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

00 200 400 600 800 1000


Pro

port

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uleacute

e d

es

revenus

()

Dis_A Dis_B Dis_C

O

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4





21

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11


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1



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pour n=4





TRAPEgraveZE 3

00

02

04

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08

10

0 025 05 075 1

q1

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21



( )( )[ ]( )([ ]sum

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6


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8


-06

-04

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00

02

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08

10

Niveaux de revenus

(1-F

(y))

eacute

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s su

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moyenne

v=2 v=3 v=4 v=8 v=16





1 v=2

[1-F(y)]v-1

v=4


moyenne


sur la moyenne


sur la moyenne


implicite quand v=2


implicite quand v=4

1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80

2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10

4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01

5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00








10








4



par n

5







de revenus






















12












(Z)

Calculer lindice de

Gini




RangsProportion


Aire des polygones

Indice de Gini

1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100

0100

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 4


G = 1 - 2Z



Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2

0007=[0067 x 02]2








cumuleacutee F(y)


(y F(y))

Calculer le niveau

moyen de revenu


formule [4]

Individu


type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 3





14




cumuleacutee F(y)

Calculer 1 - F(y)

Choisir vCalculer

[1 - F(y)](v-1)


Cov (y F(y))


moyen


Individu

A - Distribution

des revenus

type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246














nv










16


( 80541

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revenus type


revenus eacutegaux


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proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000

Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000

GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253











revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500



00

02

04

06

08

10

00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y





18




LIMITE

INFLIMITE SUP






Inteacuterecirct

Gini 0 (n -1)n




Gv 0 (2v )(n -1)n





91 Liens EASYPol
















20




⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⎟⎠⎞


Yy

nY

yY

yYy

nnG nnn 121 32211 [A1]


133 1

032

031

0

0300 0

3321

3

221

2

11

1

00

0

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⎢⎣⎡ ++minus=⎥

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Yy

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33

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⎡ ++minus+=Yy

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[A4]

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G = [A6]




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Yy

G


( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus=

partpart

Yin

nyG

i

112



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3411

323

32



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3211

322

32




24





24 617-628






Franccedilais

Espagnol

Autre



Franccedilais

Espagnol

Autre

4 Reacutesumeacute


5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)










26



1 REacuteSUMEacute


2 INTRODUCTION

Objectifs










2









OPQORPG ==




00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

00 200 400 600 800 1000


Pro

port

ion c

um

uleacute

e d

es

revenus

()

Dis_A Dis_B Dis_C

O

P

Q


R


maximale

ORPOPQ






4





21

21 21

rarr =

rarr+++

= + + + + + +

=

n i p

Yyyy

y y y y yy

q

i

i

n i


2

hauteur

1

base

11


( ) ( )2

hauteur

1



= iiiii

ppqZ

q



minus+==i

iiii

n

ii ppqqZZ 11

1 21 )

pour n=4





TRAPEgraveZE 3

00

02

04

06

08

10

0 025 05 075 1

q1

q2

q3

q4

q0=p0 p1 p2 p3 p4




iiii ppqqZ 1121

21



( )( )[ ]( )([ ]sum

summinusminus

minusminus


=i

iiiii

iiii

ppqqppqq

G 11

11

1

21

21

21

)




6


( )( )y





G v( )= minus vy


⎤⎦⎥ [6]







8


-06

-04

-02

00

02

04

06

08

10

Niveaux de revenus

(1-F

(y))

eacute

cart

s su

r la

moyenne

v=2 v=3 v=4 v=8 v=16





1 v=2

[1-F(y)]v-1

v=4


moyenne


sur la moyenne


sur la moyenne


implicite quand v=2


implicite quand v=4

1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80

2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10

4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01

5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00








10








4



par n

5







de revenus






















12












(Z)

Calculer lindice de

Gini




RangsProportion


Aire des polygones

Indice de Gini

1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100

0100

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 4


G = 1 - 2Z



Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2

0007=[0067 x 02]2








cumuleacutee F(y)


(y F(y))

Calculer le niveau

moyen de revenu


formule [4]

Individu


type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 3





14




cumuleacutee F(y)

Calculer 1 - F(y)

Choisir vCalculer

[1 - F(y)](v-1)


Cov (y F(y))


moyen


Individu

A - Distribution

des revenus

type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246














nv










16


( 80541

==minusn

n )




revenus type


revenus eacutegaux


seul revenu





les revenus




proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000

Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000

GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253











revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500



00

02

04

06

08

10

00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y





18




LIMITE

INFLIMITE SUP






Inteacuterecirct

Gini 0 (n -1)n




Gv 0 (2v )(n -1)n





91 Liens EASYPol
















20




⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⎟⎠⎞


Yy

nY

yY

yYy

nnG nnn 121 32211 [A1]


133 1

032

031

0

0300 0

3321

3

221

2

11

1

00

0

===+++

=

=++

=

=+

=

=====

pY

yyyq

pY

yyq

pY

yq

np

Yy

q


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++minus=

Yy

Yy

Yy

Yyy

Yyyy

Yy

Yyy

YyG 123213211211

1 35

33

311

31

31

311


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++minus+=Yy

Yy

Yy

G 1232 32

32

311



⎥⎦

⎤⎢⎣


⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus=

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

G 12121231 2

32

311

34

32

311

[A4]

⎥⎦⎤



⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyyyG 121212123

2 232

3112

32

32

3112

32

311




( ))(2 yFyCovy

G = [A6]




yG minusminus=


( ) ( ) ( )32

333

32

31

)( 3

3

31

32

33

)(123

=++

==++

= yFEYyEyyy

yyFE


( ) [ ]13123123 9

192

92

92

91

92



22


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus=minussdot

sdot=

Yy

Yy

yyY

G 1313 3

29132


1321 =++

Yyyy


⎥⎦

⎤⎢⎣


⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++++

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

Yy

Yy

Yy 13111223321321

32

32

32

32

32

32

32

31




034

311

36

32

31132

32

311 =minus+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus+=yy

Yy

Yy

YyG


nn

Yy

YYG 1

32

32

31100

32

311 minus

==minus+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++minus+=



⎜⎝⎛ ++minus+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

+α

α+

αα

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyG 323323 32

32

31132

32

311




( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

+minus+=

000230002

3000230002

2000230002

32

311 123

Yy

Yy

Yy

G


( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

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Yin

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112



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⎠⎞


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3411

323

32



( ) dyY

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⎠⎞


⎠⎞


3211

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32




24





24 617-628






Franccedilais

Espagnol

Autre



Franccedilais

Espagnol

Autre

4 Reacutesumeacute


5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)










26



2









OPQORPG ==




00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

00 200 400 600 800 1000


Pro

port

ion c

um

uleacute

e d

es

revenus

()

Dis_A Dis_B Dis_C

O

P

Q


R


maximale

ORPOPQ






4





21

21 21

rarr =

rarr+++

= + + + + + +

=

n i p

Yyyy

y y y y yy

q

i

i

n i


2

hauteur

1

base

11


( ) ( )2

hauteur

1



= iiiii

ppqZ

q



minus+==i

iiii

n

ii ppqqZZ 11

1 21 )

pour n=4





TRAPEgraveZE 3

00

02

04

06

08

10

0 025 05 075 1

q1

q2

q3

q4

q0=p0 p1 p2 p3 p4




iiii ppqqZ 1121

21



( )( )[ ]( )([ ]sum

summinusminus

minusminus


=i

iiiii

iiii

ppqqppqq

G 11

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1

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21

21

)




6


( )( )y





G v( )= minus vy


⎤⎦⎥ [6]







8


-06

-04

-02

00

02

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06

08

10

Niveaux de revenus

(1-F

(y))

eacute

cart

s su

r la

moyenne

v=2 v=3 v=4 v=8 v=16





1 v=2

[1-F(y)]v-1

v=4


moyenne


sur la moyenne


sur la moyenne


implicite quand v=2


implicite quand v=4

1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80

2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10

4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01

5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00








10








4



par n

5







de revenus






















12












(Z)

Calculer lindice de

Gini




RangsProportion


Aire des polygones

Indice de Gini

1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100

0100

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 4


G = 1 - 2Z



Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2

0007=[0067 x 02]2








cumuleacutee F(y)


(y F(y))

Calculer le niveau

moyen de revenu


formule [4]

Individu


type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 3





14




cumuleacutee F(y)

Calculer 1 - F(y)

Choisir vCalculer

[1 - F(y)](v-1)


Cov (y F(y))


moyen


Individu

A - Distribution

des revenus

type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246














nv










16


( 80541

==minusn

n )




revenus type


revenus eacutegaux


seul revenu





les revenus




proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000

Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000

GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253











revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500



00

02

04

06

08

10

00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y





18




LIMITE

INFLIMITE SUP






Inteacuterecirct

Gini 0 (n -1)n




Gv 0 (2v )(n -1)n





91 Liens EASYPol
















20




⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⎟⎠⎞


Yy

nY

yY

yYy

nnG nnn 121 32211 [A1]


133 1

032

031

0

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3321

3

221

2

11

1

00

0

===+++

=

=++

=

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=

=====

pY

yyyq

pY

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np

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⎢⎣⎡ ++minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

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⎜⎝⎛ +

++minus=

Yy

Yy

Yy

Yyy

Yyyy

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YyG 123213211211

1 35

33

311

31

31

311


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++minus+=Yy

Yy

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G 1232 32

32

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⎥⎦

⎤⎢⎣


⎤⎢⎣

⎡++⎟

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Yy

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G 12121231 2

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34

32

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[A4]

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⎤⎢⎣

⎡++⎟

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Yy

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32

32

3112

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311




( ))(2 yFyCovy

G = [A6]




yG minusminus=


( ) ( ) ( )32

333

32

31

)( 3

3

31

32

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=++

==++

= yFEYyEyyy

yyFE


( ) [ ]13123123 9

192

92

92

91

92



22


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus=minussdot

sdot=

Yy

Yy

yyY

G 1313 3

29132


1321 =++

Yyyy


⎥⎦

⎤⎢⎣


⎠

⎞⎜⎝

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Yy

Yy

Yy

Yy

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Yy

Yy

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32

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32

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034

311

36

32

31132

32

311 =minus+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=⎟

⎠

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32

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311 minus

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⎜⎝⎛ ++minus+=



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( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

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⎞⎜⎜⎝

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000230002

3000230002

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32

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Yy

Yy

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( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

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3411

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⎠⎞


⎠⎞


3211

322

32




24





24 617-628






Franccedilais

Espagnol

Autre



Franccedilais

Espagnol

Autre

4 Reacutesumeacute


5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)










26




OPQORPG ==




00

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

00 200 400 600 800 1000


Pro

port

ion c

um

uleacute

e d

es

revenus

()

Dis_A Dis_B Dis_C

O

P

Q


R


maximale

ORPOPQ






4





21

21 21

rarr =

rarr+++

= + + + + + +

=

n i p

Yyyy

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q

i

i

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2

hauteur

1

base

11


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hauteur

1



= iiiii

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q



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n

ii ppqqZZ 11

1 21 )

pour n=4





TRAPEgraveZE 3

00

02

04

06

08

10

0 025 05 075 1

q1

q2

q3

q4

q0=p0 p1 p2 p3 p4




iiii ppqqZ 1121

21



( )( )[ ]( )([ ]sum

summinusminus

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=i

iiiii

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ppqqppqq

G 11

11

1

21

21

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6


( )( )y





G v( )= minus vy


⎤⎦⎥ [6]







8


-06

-04

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00

02

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10

Niveaux de revenus

(1-F

(y))

eacute

cart

s su

r la

moyenne

v=2 v=3 v=4 v=8 v=16





1 v=2

[1-F(y)]v-1

v=4


moyenne


sur la moyenne


sur la moyenne


implicite quand v=2


implicite quand v=4

1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80

2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10

4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01

5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00








10








4



par n

5







de revenus






















12












(Z)

Calculer lindice de

Gini




RangsProportion


Aire des polygones

Indice de Gini

1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100

0100

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 4


G = 1 - 2Z



Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2

0007=[0067 x 02]2








cumuleacutee F(y)


(y F(y))

Calculer le niveau

moyen de revenu


formule [4]

Individu


type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 3





14




cumuleacutee F(y)

Calculer 1 - F(y)

Choisir vCalculer

[1 - F(y)](v-1)


Cov (y F(y))


moyen


Individu

A - Distribution

des revenus

type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246














nv










16


( 80541

==minusn

n )




revenus type


revenus eacutegaux


seul revenu





les revenus




proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000

Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000

GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253











revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500



00

02

04

06

08

10

00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y





18




LIMITE

INFLIMITE SUP






Inteacuterecirct

Gini 0 (n -1)n




Gv 0 (2v )(n -1)n





91 Liens EASYPol
















20




⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⎟⎠⎞


Yy

nY

yY

yYy

nnG nnn 121 32211 [A1]


133 1

032

031

0

0300 0

3321

3

221

2

11

1

00

0

===+++

=

=++

=

=+

=

=====

pY

yyyq

pY

yyq

pY

yq

np

Yy

q


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++minus=

Yy

Yy

Yy

Yyy

Yyyy

Yy

Yyy

YyG 123213211211

1 35

33

311

31

31

311


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++minus+=Yy

Yy

Yy

G 1232 32

32

311



⎥⎦

⎤⎢⎣


⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus=

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

G 12121231 2

32

311

34

32

311

[A4]

⎥⎦⎤



⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyyyG 121212123

2 232

3112

32

32

3112

32

311




( ))(2 yFyCovy

G = [A6]




yG minusminus=


( ) ( ) ( )32

333

32

31

)( 3

3

31

32

33

)(123

=++

==++

= yFEYyEyyy

yyFE


( ) [ ]13123123 9

192

92

92

91

92



22


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus=minussdot

sdot=

Yy

Yy

yyY

G 1313 3

29132


1321 =++

Yyyy


⎥⎦

⎤⎢⎣


⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++++

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

Yy

Yy

Yy 13111223321321

32

32

32

32

32

32

32

31




034

311

36

32

31132

32

311 =minus+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus+=yy

Yy

Yy

YyG


nn

Yy

YYG 1

32

32

31100

32

311 minus

==minus+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++minus+=



⎜⎝⎛ ++minus+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

+α

α+

αα

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyG 323323 32

32

31132

32

311




( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

+minus+=

000230002

3000230002

2000230002

32

311 123

Yy

Yy

Yy

G


( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus=

partpart

Yin

nyG

i

112



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3411

323

32



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3211

322

32




24





24 617-628






Franccedilais

Espagnol

Autre



Franccedilais

Espagnol

Autre

4 Reacutesumeacute


5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)










26



4





21

21 21

rarr =

rarr+++

= + + + + + +

=

n i p

Yyyy

y y y y yy

q

i

i

n i


2

hauteur

1

base

11


( ) ( )2

hauteur

1



= iiiii

ppqZ

q



minus+==i

iiii

n

ii ppqqZZ 11

1 21 )

pour n=4





TRAPEgraveZE 3

00

02

04

06

08

10

0 025 05 075 1

q1

q2

q3

q4

q0=p0 p1 p2 p3 p4




iiii ppqqZ 1121

21



( )( )[ ]( )([ ]sum

summinusminus

minusminus


=i

iiiii

iiii

ppqqppqq

G 11

11

1

21

21

21

)




6


( )( )y





G v( )= minus vy


⎤⎦⎥ [6]







8


-06

-04

-02

00

02

04

06

08

10

Niveaux de revenus

(1-F

(y))

eacute

cart

s su

r la

moyenne

v=2 v=3 v=4 v=8 v=16





1 v=2

[1-F(y)]v-1

v=4


moyenne


sur la moyenne


sur la moyenne


implicite quand v=2


implicite quand v=4

1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80

2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10

4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01

5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00








10








4



par n

5







de revenus






















12












(Z)

Calculer lindice de

Gini




RangsProportion


Aire des polygones

Indice de Gini

1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100

0100

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 4


G = 1 - 2Z



Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2

0007=[0067 x 02]2








cumuleacutee F(y)


(y F(y))

Calculer le niveau

moyen de revenu


formule [4]

Individu


type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 3





14




cumuleacutee F(y)

Calculer 1 - F(y)

Choisir vCalculer

[1 - F(y)](v-1)


Cov (y F(y))


moyen


Individu

A - Distribution

des revenus

type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246














nv










16


( 80541

==minusn

n )




revenus type


revenus eacutegaux


seul revenu





les revenus




proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000

Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000

GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253











revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500



00

02

04

06

08

10

00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y





18




LIMITE

INFLIMITE SUP






Inteacuterecirct

Gini 0 (n -1)n




Gv 0 (2v )(n -1)n





91 Liens EASYPol
















20




⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⎟⎠⎞


Yy

nY

yY

yYy

nnG nnn 121 32211 [A1]


133 1

032

031

0

0300 0

3321

3

221

2

11

1

00

0

===+++

=

=++

=

=+

=

=====

pY

yyyq

pY

yyq

pY

yq

np

Yy

q


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++minus=

Yy

Yy

Yy

Yyy

Yyyy

Yy

Yyy

YyG 123213211211

1 35

33

311

31

31

311


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++minus+=Yy

Yy

Yy

G 1232 32

32

311



⎥⎦

⎤⎢⎣


⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus=

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

G 12121231 2

32

311

34

32

311

[A4]

⎥⎦⎤



⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyyyG 121212123

2 232

3112

32

32

3112

32

311




( ))(2 yFyCovy

G = [A6]




yG minusminus=


( ) ( ) ( )32

333

32

31

)( 3

3

31

32

33

)(123

=++

==++

= yFEYyEyyy

yyFE


( ) [ ]13123123 9

192

92

92

91

92



22


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus=minussdot

sdot=

Yy

Yy

yyY

G 1313 3

29132


1321 =++

Yyyy


⎥⎦

⎤⎢⎣


⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++++

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

Yy

Yy

Yy 13111223321321

32

32

32

32

32

32

32

31




034

311

36

32

31132

32

311 =minus+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus+=yy

Yy

Yy

YyG


nn

Yy

YYG 1

32

32

31100

32

311 minus

==minus+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++minus+=



⎜⎝⎛ ++minus+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

+α

α+

αα

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyG 323323 32

32

31132

32

311




( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

+minus+=

000230002

3000230002

2000230002

32

311 123

Yy

Yy

Yy

G


( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus=

partpart

Yin

nyG

i

112



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3411

323

32



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3211

322

32




24





24 617-628






Franccedilais

Espagnol

Autre



Franccedilais

Espagnol

Autre

4 Reacutesumeacute


5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)










26





TRAPEgraveZE 3

00

02

04

06

08

10

0 025 05 075 1

q1

q2

q3

q4

q0=p0 p1 p2 p3 p4




iiii ppqqZ 1121

21



( )( )[ ]( )([ ]sum

summinusminus

minusminus


=i

iiiii

iiii

ppqqppqq

G 11

11

1

21

21

21

)




6


( )( )y





G v( )= minus vy


⎤⎦⎥ [6]







8


-06

-04

-02

00

02

04

06

08

10

Niveaux de revenus

(1-F

(y))

eacute

cart

s su

r la

moyenne

v=2 v=3 v=4 v=8 v=16





1 v=2

[1-F(y)]v-1

v=4


moyenne


sur la moyenne


sur la moyenne


implicite quand v=2


implicite quand v=4

1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80

2 2 000 040 060 060 022 -1 000 020 015 15 343 3 000 060 040 040 006 0 000 000 10 10

4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01

5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00








10








4



par n

5







de revenus






















12












(Z)

Calculer lindice de

Gini




RangsProportion


Aire des polygones

Indice de Gini

1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100

0100

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 4


G = 1 - 2Z



Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2

0007=[0067 x 02]2








cumuleacutee F(y)


(y F(y))

Calculer le niveau

moyen de revenu


formule [4]

Individu


type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 3





14




cumuleacutee F(y)

Calculer 1 - F(y)

Choisir vCalculer

[1 - F(y)](v-1)


Cov (y F(y))


moyen


Individu

A - Distribution

des revenus

type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246














nv










16


( 80541

==minusn

n )




revenus type


revenus eacutegaux


seul revenu





les revenus




proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000

Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000

GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253











revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500



00

02

04

06

08

10

00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y





18




LIMITE

INFLIMITE SUP






Inteacuterecirct

Gini 0 (n -1)n




Gv 0 (2v )(n -1)n





91 Liens EASYPol
















20




⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⎟⎠⎞


Yy

nY

yY

yYy

nnG nnn 121 32211 [A1]


133 1

032

031

0

0300 0

3321

3

221

2

11

1

00

0

===+++

=

=++

=

=+

=

=====

pY

yyyq

pY

yyq

pY

yq

np

Yy

q


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++minus=

Yy

Yy

Yy

Yyy

Yyyy

Yy

Yyy

YyG 123213211211

1 35

33

311

31

31

311


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++minus+=Yy

Yy

Yy

G 1232 32

32

311



⎥⎦

⎤⎢⎣


⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus=

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

G 12121231 2

32

311

34

32

311

[A4]

⎥⎦⎤



⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyyyG 121212123

2 232

3112

32

32

3112

32

311




( ))(2 yFyCovy

G = [A6]




yG minusminus=


( ) ( ) ( )32

333

32

31

)( 3

3

31

32

33

)(123

=++

==++

= yFEYyEyyy

yyFE


( ) [ ]13123123 9

192

92

92

91

92



22


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus=minussdot

sdot=

Yy

Yy

yyY

G 1313 3

29132


1321 =++

Yyyy


⎥⎦

⎤⎢⎣


⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++++

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

Yy

Yy

Yy 13111223321321

32

32

32

32

32

32

32

31




034

311

36

32

31132

32

311 =minus+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus+=yy

Yy

Yy

YyG


nn

Yy

YYG 1

32

32

31100

32

311 minus

==minus+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++minus+=



⎜⎝⎛ ++minus+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

+α

α+

αα

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyG 323323 32

32

31132

32

311




( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

+minus+=

000230002

3000230002

2000230002

32

311 123

Yy

Yy

Yy

G


( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus=

partpart

Yin

nyG

i

112



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3411

323

32



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3211

322

32




24





24 617-628






Franccedilais

Espagnol

Autre



Franccedilais

Espagnol

Autre

4 Reacutesumeacute


5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)










26



6


( )( )y





G v( )= minus vy


⎤⎦⎥ [6]







8


-06

-04

-02

00

02

04

06

08

10

Niveaux de revenus

(1-F

(y))

eacute

cart

s su

r la

moyenne

v=2 v=3 v=4 v=8 v=16





1 v=2

[1-F(y)]v-1

v=4


moyenne


sur la moyenne


sur la moyenne


implicite quand v=2


implicite quand v=4

1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80

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4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01

5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00








10








4



par n

5







de revenus






















12












(Z)

Calculer lindice de

Gini




RangsProportion


Aire des polygones

Indice de Gini

1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100

0100

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 4


G = 1 - 2Z



Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2

0007=[0067 x 02]2








cumuleacutee F(y)


(y F(y))

Calculer le niveau

moyen de revenu


formule [4]

Individu


type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 3





14




cumuleacutee F(y)

Calculer 1 - F(y)

Choisir vCalculer

[1 - F(y)](v-1)


Cov (y F(y))


moyen


Individu

A - Distribution

des revenus

type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246














nv










16


( 80541

==minusn

n )




revenus type


revenus eacutegaux


seul revenu





les revenus




proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000

Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000

GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253











revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500



00

02

04

06

08

10

00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y





18




LIMITE

INFLIMITE SUP






Inteacuterecirct

Gini 0 (n -1)n




Gv 0 (2v )(n -1)n





91 Liens EASYPol
















20




⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⎟⎠⎞


Yy

nY

yY

yYy

nnG nnn 121 32211 [A1]


133 1

032

031

0

0300 0

3321

3

221

2

11

1

00

0

===+++

=

=++

=

=+

=

=====

pY

yyyq

pY

yyq

pY

yq

np

Yy

q


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++minus=

Yy

Yy

Yy

Yyy

Yyyy

Yy

Yyy

YyG 123213211211

1 35

33

311

31

31

311


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++minus+=Yy

Yy

Yy

G 1232 32

32

311



⎥⎦

⎤⎢⎣


⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus=

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

G 12121231 2

32

311

34

32

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[A4]

⎥⎦⎤



⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyyyG 121212123

2 232

3112

32

32

3112

32

311




( ))(2 yFyCovy

G = [A6]




yG minusminus=


( ) ( ) ( )32

333

32

31

)( 3

3

31

32

33

)(123

=++

==++

= yFEYyEyyy

yyFE


( ) [ ]13123123 9

192

92

92

91

92



22


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus=minussdot

sdot=

Yy

Yy

yyY

G 1313 3

29132


1321 =++

Yyyy


⎥⎦

⎤⎢⎣


⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++++

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

Yy

Yy

Yy 13111223321321

32

32

32

32

32

32

32

31




034

311

36

32

31132

32

311 =minus+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus+=yy

Yy

Yy

YyG


nn

Yy

YYG 1

32

32

31100

32

311 minus

==minus+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++minus+=



⎜⎝⎛ ++minus+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

+α

α+

αα

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyG 323323 32

32

31132

32

311




( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

+minus+=

000230002

3000230002

2000230002

32

311 123

Yy

Yy

Yy

G


( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus=

partpart

Yin

nyG

i

112



( ) dyY

dyY

dyY

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⎠⎞


⎠⎞


3411

323

32



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3211

322

32




24





24 617-628






Franccedilais

Espagnol

Autre



Franccedilais

Espagnol

Autre

4 Reacutesumeacute


5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)










26






8


-06

-04

-02

00

02

04

06

08

10

Niveaux de revenus

(1-F

(y))

eacute

cart

s su

r la

moyenne

v=2 v=3 v=4 v=8 v=16





1 v=2

[1-F(y)]v-1

v=4


moyenne


sur la moyenne


sur la moyenne


implicite quand v=2


implicite quand v=4

1 1 000 020 080 080 051 -2 000 040 045 20 80

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4 4 000 080 020 020 001 1 000 -020 -006 05 01

5 5 000 100 000 000 000 2 000 -040 -006 00 00








10








4



par n

5







de revenus






















12












(Z)

Calculer lindice de

Gini




RangsProportion


Aire des polygones

Indice de Gini

1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100

0100

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 4


G = 1 - 2Z



Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2

0007=[0067 x 02]2








cumuleacutee F(y)


(y F(y))

Calculer le niveau

moyen de revenu


formule [4]

Individu


type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 3





14




cumuleacutee F(y)

Calculer 1 - F(y)

Choisir vCalculer

[1 - F(y)](v-1)


Cov (y F(y))


moyen


Individu

A - Distribution

des revenus

type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246














nv










16


( 80541

==minusn

n )




revenus type


revenus eacutegaux


seul revenu





les revenus




proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000

Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000

GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253











revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500



00

02

04

06

08

10

00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y





18




LIMITE

INFLIMITE SUP






Inteacuterecirct

Gini 0 (n -1)n




Gv 0 (2v )(n -1)n





91 Liens EASYPol
















20




⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⎟⎠⎞


Yy

nY

yY

yYy

nnG nnn 121 32211 [A1]


133 1

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2

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1

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===+++

=

=++

=

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=

=====

pY

yyyq

pY

yyq

pY

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np

Yy

q


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⎢⎣⎡ ++minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++minus=

Yy

Yy

Yy

Yyy

Yyyy

Yy

Yyy

YyG 123213211211

1 35

33

311

31

31

311


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++minus+=Yy

Yy

Yy

G 1232 32

32

311



⎥⎦

⎤⎢⎣


⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus=

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

G 12121231 2

32

311

34

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[A4]

⎥⎦⎤



⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyyyG 121212123

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32

3112

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( ))(2 yFyCovy

G = [A6]




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( ) ( ) ( )32

333

32

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)( 3

3

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32

33

)(123

=++

==++

= yFEYyEyyy

yyFE


( ) [ ]13123123 9

192

92

92

91

92



22


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus=minussdot

sdot=

Yy

Yy

yyY

G 1313 3

29132


1321 =++

Yyyy


⎥⎦

⎤⎢⎣


⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++++

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

Yy

Yy

Yy 13111223321321

32

32

32

32

32

32

32

31




034

311

36

32

31132

32

311 =minus+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus+=yy

Yy

Yy

YyG


nn

Yy

YYG 1

32

32

31100

32

311 minus

==minus+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++minus+=



⎜⎝⎛ ++minus+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

+α

α+

αα

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyG 323323 32

32

31132

32

311




( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

+minus+=

000230002

3000230002

2000230002

32

311 123

Yy

Yy

Yy

G


( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus=

partpart

Yin

nyG

i

112



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3411

323

32



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3211

322

32




24





24 617-628






Franccedilais

Espagnol

Autre



Franccedilais

Espagnol

Autre

4 Reacutesumeacute


5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)










26








10








4



par n

5







de revenus






















12












(Z)

Calculer lindice de

Gini




RangsProportion


Aire des polygones

Indice de Gini

1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100

0100

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 4


G = 1 - 2Z



Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2

0007=[0067 x 02]2








cumuleacutee F(y)


(y F(y))

Calculer le niveau

moyen de revenu


formule [4]

Individu


type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 3





14




cumuleacutee F(y)

Calculer 1 - F(y)

Choisir vCalculer

[1 - F(y)](v-1)


Cov (y F(y))


moyen


Individu

A - Distribution

des revenus

type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246














nv










16


( 80541

==minusn

n )




revenus type


revenus eacutegaux


seul revenu





les revenus




proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000

Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000

GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253











revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500



00

02

04

06

08

10

00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y





18




LIMITE

INFLIMITE SUP






Inteacuterecirct

Gini 0 (n -1)n




Gv 0 (2v )(n -1)n





91 Liens EASYPol
















20




⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⎟⎠⎞


Yy

nY

yY

yYy

nnG nnn 121 32211 [A1]


133 1

032

031

0

0300 0

3321

3

221

2

11

1

00

0

===+++

=

=++

=

=+

=

=====

pY

yyyq

pY

yyq

pY

yq

np

Yy

q


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++minus=

Yy

Yy

Yy

Yyy

Yyyy

Yy

Yyy

YyG 123213211211

1 35

33

311

31

31

311


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++minus+=Yy

Yy

Yy

G 1232 32

32

311



⎥⎦

⎤⎢⎣


⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus=

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

G 12121231 2

32

311

34

32

311

[A4]

⎥⎦⎤



⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyyyG 121212123

2 232

3112

32

32

3112

32

311




( ))(2 yFyCovy

G = [A6]




yG minusminus=


( ) ( ) ( )32

333

32

31

)( 3

3

31

32

33

)(123

=++

==++

= yFEYyEyyy

yyFE


( ) [ ]13123123 9

192

92

92

91

92



22


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus=minussdot

sdot=

Yy

Yy

yyY

G 1313 3

29132


1321 =++

Yyyy


⎥⎦

⎤⎢⎣


⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++++

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

Yy

Yy

Yy 13111223321321

32

32

32

32

32

32

32

31




034

311

36

32

31132

32

311 =minus+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus+=yy

Yy

Yy

YyG


nn

Yy

YYG 1

32

32

31100

32

311 minus

==minus+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++minus+=



⎜⎝⎛ ++minus+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

+α

α+

αα

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyG 323323 32

32

31132

32

311




( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

+minus+=

000230002

3000230002

2000230002

32

311 123

Yy

Yy

Yy

G


( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus=

partpart

Yin

nyG

i

112



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3411

323

32



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3211

322

32




24





24 617-628






Franccedilais

Espagnol

Autre



Franccedilais

Espagnol

Autre

4 Reacutesumeacute


5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)










26


















12












(Z)

Calculer lindice de

Gini




RangsProportion


Aire des polygones

Indice de Gini

1 0 0 0000 1 02 00002 0 0 0000 2 04 0000 08003 0 0 0000 3 06 00004 0 0 0000 4 08 00005 15 000 15 000 1000 5 10 0100

0100

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 4


G = 1 - 2Z



Exemple 0027=[(0200+0067)(04-02)]2

0007=[0067 x 02]2








cumuleacutee F(y)


(y F(y))

Calculer le niveau

moyen de revenu


formule [4]

Individu


type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 3





14




cumuleacutee F(y)

Calculer 1 - F(y)

Choisir vCalculer

[1 - F(y)](v-1)


Cov (y F(y))


moyen


Individu

A - Distribution

des revenus

type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246














nv










16


( 80541

==minusn

n )




revenus type


revenus eacutegaux


seul revenu





les revenus




proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000

Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000

GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253











revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500



00

02

04

06

08

10

00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y





18




LIMITE

INFLIMITE SUP






Inteacuterecirct

Gini 0 (n -1)n




Gv 0 (2v )(n -1)n





91 Liens EASYPol
















20




⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⎟⎠⎞


Yy

nY

yY

yYy

nnG nnn 121 32211 [A1]


133 1

032

031

0

0300 0

3321

3

221

2

11

1

00

0

===+++

=

=++

=

=+

=

=====

pY

yyyq

pY

yyq

pY

yq

np

Yy

q


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++minus=

Yy

Yy

Yy

Yyy

Yyyy

Yy

Yyy

YyG 123213211211

1 35

33

311

31

31

311


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++minus+=Yy

Yy

Yy

G 1232 32

32

311



⎥⎦

⎤⎢⎣


⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus=

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

G 12121231 2

32

311

34

32

311

[A4]

⎥⎦⎤



⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyyyG 121212123

2 232

3112

32

32

3112

32

311




( ))(2 yFyCovy

G = [A6]




yG minusminus=


( ) ( ) ( )32

333

32

31

)( 3

3

31

32

33

)(123

=++

==++

= yFEYyEyyy

yyFE


( ) [ ]13123123 9

192

92

92

91

92



22


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus=minussdot

sdot=

Yy

Yy

yyY

G 1313 3

29132


1321 =++

Yyyy


⎥⎦

⎤⎢⎣


⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++++

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

Yy

Yy

Yy 13111223321321

32

32

32

32

32

32

32

31




034

311

36

32

31132

32

311 =minus+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus+=yy

Yy

Yy

YyG


nn

Yy

YYG 1

32

32

31100

32

311 minus

==minus+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++minus+=



⎜⎝⎛ ++minus+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

+α

α+

αα

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyG 323323 32

32

31132

32

311




( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

+minus+=

000230002

3000230002

2000230002

32

311 123

Yy

Yy

Yy

G


( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus=

partpart

Yin

nyG

i

112



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3411

323

32



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3211

322

32




24





24 617-628






Franccedilais

Espagnol

Autre



Franccedilais

Espagnol

Autre

4 Reacutesumeacute


5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)










26








cumuleacutee F(y)


(y F(y))

Calculer le niveau

moyen de revenu


formule [4]

Individu


type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 022 2 000 043 3 000 064 4 000 085 5 000 10 400 3 000 0267

EacuteTAPE 1


EacuteTAPE 3





14




cumuleacutee F(y)

Calculer 1 - F(y)

Choisir vCalculer

[1 - F(y)](v-1)


Cov (y F(y))


moyen


Individu

A - Distribution

des revenus

type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246














nv










16


( 80541

==minusn

n )




revenus type


revenus eacutegaux


seul revenu





les revenus




proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000

Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000

GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253











revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500



00

02

04

06

08

10

00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y





18




LIMITE

INFLIMITE SUP






Inteacuterecirct

Gini 0 (n -1)n




Gv 0 (2v )(n -1)n





91 Liens EASYPol
















20




⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⎟⎠⎞


Yy

nY

yY

yYy

nnG nnn 121 32211 [A1]


133 1

032

031

0

0300 0

3321

3

221

2

11

1

00

0

===+++

=

=++

=

=+

=

=====

pY

yyyq

pY

yyq

pY

yq

np

Yy

q


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++minus=

Yy

Yy

Yy

Yyy

Yyyy

Yy

Yyy

YyG 123213211211

1 35

33

311

31

31

311


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++minus+=Yy

Yy

Yy

G 1232 32

32

311



⎥⎦

⎤⎢⎣


⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus=

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

G 12121231 2

32

311

34

32

311

[A4]

⎥⎦⎤



⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyyyG 121212123

2 232

3112

32

32

3112

32

311




( ))(2 yFyCovy

G = [A6]




yG minusminus=


( ) ( ) ( )32

333

32

31

)( 3

3

31

32

33

)(123

=++

==++

= yFEYyEyyy

yyFE


( ) [ ]13123123 9

192

92

92

91

92



22


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus=minussdot

sdot=

Yy

Yy

yyY

G 1313 3

29132


1321 =++

Yyyy


⎥⎦

⎤⎢⎣


⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++++

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

Yyyy

Yy

Yy

Yy 13111223321321

32

32

32

32

32

32

32

31




034

311

36

32

31132

32

311 =minus+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++minus+=yy

Yy

Yy

YyG


nn

Yy

YYG 1

32

32

31100

32

311 minus

==minus+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++minus+=



⎜⎝⎛ ++minus+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

+α

α+

αα

minus+=Yy

Yy

Yy

Yy

Yy

YyG 323323 32

32

31132

32

311




( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sdot+

+minus+=

000230002

3000230002

2000230002

32

311 123

Yy

Yy

Yy

G


( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛minus+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛minus=

partpart

Yin

nyG

i

112



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3411

323

32



( ) dyY

dyY

dyY

dG ⎥⎦⎤


⎠⎞


⎠⎞


3211

322

32




24





24 617-628






Franccedilais

Espagnol

Autre



Franccedilais

Espagnol

Autre

4 Reacutesumeacute


5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)










26



14




cumuleacutee F(y)

Calculer 1 - F(y)

Choisir vCalculer

[1 - F(y)](v-1)


Cov (y F(y))


moyen


Individu

A - Distribution

des revenus

type



Revenu moyen

Gini

1 1 000 02 08 0512 2 000 04 06 0223 3 000 06 04 0064 4 000 08 02 0015 5 000 10 00 4 000 -246 3 000 0246














nv










16


( 80541

==minusn

n )




revenus type


revenus eacutegaux


seul revenu





les revenus




proche1 1 000 3 000 0 1 200 3 000 1 500 1 0002 2 000 3 000 0 2 400 4 000 2 000 2 5003 3 000 3 000 0 3 600 5 000 3 000 2 5004 4 000 3 000 0 4 800 6 000 4 000 4 0005 5 000 3 000 15 000 6 000 7 000 4 500 5 000

Revenu total 15 000 15 000 15 000 18 000 25 000 15 000 15 000

GINI 0267 0000 0800 0267 0160 0213 0253











revenus Y1 2 000 9002 3 000 4 0003 4 000 4 8004 5 000 4 8005 6 000 5 500



00

02

04

06

08

10

00 02 04 06 08 10Dis_X Dis_Y





18




LIMITE

INFLIMITE SUP






Inteacuterecirct

Gini 0 (n -1)n




Gv 0 (2v )(n -1)n





91 Liens EASYPol
















20




⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++⎟⎠⎞


Yy

nY

yY

yYy

nnG nnn 121 32211 [A1]


133 1

032

031

0

0300 0

3321

3

221

2

11

1

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0

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Franccedilais

Espagnol

Autre



Franccedilais

Espagnol

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5 Date

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6 Auteur(s)










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nv










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Franccedilais

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Franccedilais

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6 Auteur(s)










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Franccedilais

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Franccedilais

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5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)










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Franccedilais

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Autre



Franccedilais

Espagnol

Autre

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31

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31

32

33

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22


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⎡minus=minussdot

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32

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034

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36

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Yy

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322

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Franccedilais

Espagnol

Autre



Franccedilais

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4 Reacutesumeacute


5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)










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⎤⎢⎣


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Espagnol

Autre



Franccedilais

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4 Reacutesumeacute


5 Date

Deacutecembre 2006

6 Auteur(s)










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