CORR Exercices de probabilités -...

Jean-Pierre Verbeque 080318 1/12

Exercices de calcul des probabilités EX1. On lance trois fois de suite une pièce de monnaie et on note les résultats « pile ou face ».

Quelle est la probabilité d’obtenir : a) exactement deux fois « face » ? b) plus de « pile » que de « face » ? c) trois fois la même face ? d) « face » au deuxième jet ?

! = P,P,P( ), P,P,F( ), P,F,P( ), F,P,P( ), P,F,F( ), F,P,F( ), F,F,P( ), F,F,F( ){ } = P,F{ }

3 #! = 8 et ces 8 résultats sont équiprobables.

a) A = P,F,F( ), F,P,F( ), F,F,P( ){ } ; p A( ) =3

8= 0, 375

b) B = P,P,P( ), P,P,F( ), P,F,P( ), F,P,P( ){ } ; p B( ) =4

8= 0,5

c) C = P,P,P( ), F,F,F( ){ } ; p C( ) =2

8= 0,25

d) D = P,F,P( ), P,F,F( ), F,F,P( ), F,F,F( ){ } ; p D( ) =4

8= 0,5 .

EX2. On lance simultanément trois pièces de monnaie identiques et on note les résultats « pile ou

face ». Quelle est la probabilité d’obtenir : a) exactement deux fois « face » ? b) plus de « pile » que de « face » ? c) trois fois la même face. ?

Si on considère que le fait de lancer les trois pièces simultanément ne donne que 4 résultats

possibles, à savoir 3P, 2P et 1F, 1P et 2F, 3F, alors on a affaire à une catégorie d’épreuve ! = P,P,P{ }, P,P,F{ }, P,F,F{ }, F,F,F{ }{ } dont les résultats ne sont pas équiprobables. En effet, les pièces de monnaie étant identiques1, elles n’en restent pas moins différentes et le résultat P,P,F{ } est 3 fois plus probable que P,P,P{ } .

La loi de Laplace ne peut donc être appliquée dans de cas-ci. On procède donc comme dans EX1 ou de la manière suivante : p P,P,P{ } = p F,F,F{ }

p P,P,F{ } = p P,F,F{ } = 3p P,P,P{ }

1= p! = p P,P,P{ }+ p P,P,F{ }+ p P,F,F{ }+ p F,F,F{ } = 8p P,P,P{ }

p P,P,P{ } =1

8= 0,125

a) p P,F,F{ } = 3p P,P,P{ } = 0, 375

b) p P,P,F{ }! P,P,P{ }( ) = p P,P,F{ }+ p P,P,P{ } = 4p P,P,P{ } = 0,5

c) p P,P,P{ }! F,F,F{ }( ) = p P,P,P{ }+ p F,F,F{ } = 0,25

1 « identique » se dit d'objets ou d'êtres parfaitement semblables, tout en restant distincts

(cfr Le Petit Robert).


EX3. On lance simultanément trois pièces de monnaie de tailles différentes et on note les résultats « pile ou face » de la plus petite à la plus grande. Quelle est la probabilité d’obtenir : a) exactement deux fois « face » ? b) plus de « pile » que de « face » ? c) trois fois la même face ? d) « face » pour la pièce de taille moyenne ? Voir EX1

EX4. Un dé est pipé de telle manière que la probabilité d’apparaître de chaque face soit

proportionnelle au point marqué sur cette face. Ainsi, la probabilité d’obtenir 5 sera cinq fois celle d’obtenir 1. On jette le dé une seule fois et on note le point obtenu. Quelle est la probabilité a) de chaque singleton ? b) d’obtenir un résultat inférieur à 2 ? c) d’obtenir un résultat pair ? ! = 1,2, 3, 4,5,6{ } = 1{ }" 2{ }" 3{ }" 4{ }" 5{ }" 6{ } 1= p! = p 1{ }+ p 2{ }+ p 3{ }+ p 4{ }+ p 5{ }+ p 6{ }

= p 1{ }+ 2p 1{ }+ 3p 1{ }+ 4p 1{ }+ 5p 1{ }+ 6p 1{ } = 21p 1{ }

a)

x p x{ }

1 0,0476 2 0,0952 3 0,1429 4 0,1905 5 0,2381 6 0,2857

b) p 1,2{ } = p 1{ }! p 2{ } = p 1{ }+ p 2{ } = 0,1429

c) p 2, 4,6{ } = p 2{ }+ p 4{ }+ p 6{ } = 0,5714


EX5. On lance simultanément trois dés et on fait la somme des résultats obtenus. a) Quelle est la probabilité d’obtenir 1 ? b) Quelle est la probabilité d’obtenir 6 ? c) Quelle est la somme la plus probable ? ! = 1,2, 3, 4,5,6{ }

3 et #! = 63= 216

a) Obtenir 1 est l’événement impossible, sa probabilité égale 0. b) Les triples de Ω dont la somme égale 6 sont les permutations de 114, de 123 et de 222.

Somme Type de lancer Nombre

d’occurrences dans Ω

6 114 3 123 6 222 1 Total 10

Ainsi, la probabilité d’obtenir 6 égale 10

216= 0,0463

c) On procède comme ci-dessus pour toutes les sommes de 3 à 18 (mais oui, c’est du boulot !)

Somme Nombre

d’occurrences dans Ω

Probabilité de la somme

3 1 0,0046 4 3 0,0139 5 6 0,0278 6 10 0,0463 7 15 0,0694 8 21 0,0972 9 25 0,1157 10 27 0,1250 11 27 0,1250 12 25 0,1157 13 21 0,0972 14 15 0,0694 15 10 0,0463 16 6 0,0278 17 3 0,0139 18 1 0,0046

Les sommes les plus probables sont 10 et 11. Elles sont équiprobables.


EX6. Une urne contient 5 boules rouges, 3 vertes et 2 blanches indiscernables au toucher. On en tire une. a) Quelle est la probabilité qu’elle soit blanche ? b) Quelle est la probabilité qu’elle soit rouge ou verte ?

a) Il y a 10 tirages possibles et 2 sont favorables au résultat « blanche » La probabilité de tirer une boule blanche égale donc 2/10 = 0,2

b) p(rouge ou verte) = p(rouge)+p(verte) = 0,5 + 0,3 = 0,8 p(rouge ou verte) = p(pas blanche) = 1 – 0,2 = 0,8.

EX7. Une urne contient deux boules indiscernables au toucher : une rouge et une verte.

On effectue successivement trois tirages avec remise. Quelle est la probabilité de tirer a) deux rouges exactement ? b) deux rouges au moins ? c) une rouge et deux vertes ? d) aucune rouge ? e) au moins une rouge ?

Rem : cela revient à faire trois parties consécutives de pile ou face.

a) 3

8 b)

4

8 c)

3

8 d)

1

8 e)

7

8

EX8. Deux emplois sont proposés par une société. Il y a 400 candidats féminins et 300 candidats

masculins. Le chef du personnel, découragé par le nombre d’interviews à faire, décide d’effectuer son choix par tirage au sort. Calculez les probabilités respectives d’engagement de deux femmes, de deux hommes, de deux personnes de sexes opposés. Il y a 700 candidats en tout, et donc C

700

2 tirages possibles. C400

2 tirages sont favorables à deux femmes, C300

2 à deux hommes et C400

1!C

300

1 à deux personnes de sexes opposés. Dès lors,

p(2F) = C400

2

C700

2= 0, 326 ; p(2H) =

C300

2

C700

2= 0,183 ; p(1F et 1H) =

C400

1!C

300

1

C700

2= 0, 490

EX9. Pour l’examen oral, un professeur dispose de quinze fiches de questions. Il les a numérotées de

1 à 15. Voici comment il procède le jour de l’examen : devant l’étudiant, il bat soigneusement le paquet des quinze fiches, dépose le paquet sur son bureau et demande à l’étudiant de tirer la fiche située en deuxième position à partir du haut. a) Quelle est la probabilité que l’étudiant tire la fiche numéro 5 ? b) L’étudiant connaît les questions des fiches n° 3, 4 et 11 grâce à des amis d’une autre classe qui ont passé l’examen la veille. Quelle est la probabilité qu’il tire une de ces fiches ?

Rem : Toute cette mise en scène ne sert qu’à déstabiliser l’étudiant. Toutes les fiches ont la

même probabilité de se trouver à cet endroit dans le paquet.

a) p(tirer 5) = 1

15= 0,067

b) p(tirer 3 ou 4 ou 11) = 3

15= 0,2


EX10. Une urne contient dix boules identiques numérotées de 1 à 10. On en tire trois sans remise et on note les points obtenus. Quelle est la probabilité que la somme des points soit 14 ? Le nombre de tirages possibles est C

10

3= 120 .

Les tirages favorables sont ceux dont la somme égale 14 c’est-à-dire :

1 3 10 1 4 9 1 5 8 1 6 7 2 3 9 2 4 8 2 5 7 3 4 7 3 5 6

Il y en a 9. D’où : p(somme 14) = 9

120= 0,075

EX11. On lance simultanément deux dés non pipés et on note les points obtenus.

a) Quelle est la probabilité que la somme des points soit 8 ? b) Quelle est la probabilité que la somme des points soit supérieure à 8 ?

Effectuons le tableau de tous les lancers possibles (il y en a 36) et des sommes

correspondantes :

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

On constate qu’il y en a 5 qui donnent une somme égale à 8 et 15 qui donnent une somme supérieure à 8.

Donc a) p ! = 8( ) =5

36= 0,139 et b) p ! " 8( ) =

15

36= 0, 417 .

EX12. On lance simultanément deux dés non pipés, l’un rouge, l’autre vert, et on note les points

obtenus, dans l’ordre rouge-vert. a) Quelle est la probabilité que la somme des points soit 8 ? b) Quelle est la probabilité que la somme des points soit supérieure à 8 ?

Voir EX11


EX13. C’est la soirée de gala du centenaire du Collège. Quatre femmes ont déposé leur manteau de fourrure au vestiaire. A la fin de la soirée, les manteaux leur sont rendus au hasard. Quelle est la probabilité que : a) Aucune femme ne récupère son manteau ? b) Au moins une femme récupère son manteau ? c) Une femme exactement récupère son manteau ? d) Deux femmes exactement récupèrent leur manteau ? e) Trois femmes exactement récupèrent leur manteau ? f) Toutes les femmes récupèrent leur manteau ?

REM : Ce problème a été popularisé par Pierre Rémond de Montmort (1678 - 1719) en 1708 sous la forme du problème des chapeaux : n personnes laissent leur chapeau au vestiaire. Lorsqu'elles viennent les chercher, chacune d'entre elles prend un chapeau au hasard. Quelle est la probabilité qu'aucune d'entre elles ne porte son chapeau à la sortie ?

Notons n

p

!

"#

$

%& le nombre de permutations de n points laissant p points fixes. Ainsi,

4

0

!

"#

$

%& = le nombre de distributions de manteaux tels qu’aucune femme ne récupère le sien,

4

1

!

"#

$

%& = le nombre de distributions de manteaux tels qu’exactement une femme récupère le sien

etc… Le nombre total de distributions possibles égale 4 !

f) 4

4

!

"#

$

%& = 1 . D’où p(f) =

1

24! 0,042

e) 4

3

!

"#

$

%& = 0 car si 3 des 4 points sont fixes, le quatrième l’est forcément. Aucune distribution ne

laisse donc exactement 3 points fixes. Dès lors p(e) = 0

d) 4

2

!

"#

$

%& =

4

2

'()

*+,2

0

!

"#

$

%& . En effet, il y a C

4

2=4

2

!"#

$%&

façons de choisir les 2 personnes qui récupéreront

leur manteau et 2

0

!

"#

$

%& façon de donner les manteaux aux 2 autres personnes.

Or 2

0

!

"#

$

%& = 1 et

4

2

!"#

$%&= 6 . Donc p(d) =

6

24= 0,25 .

c) 4

1

!

"#

$

%& =

4

1

'()

*+,3

0

!

"#

$

%& . Mais

3

0

!

"#

$

%& = 3!!'!

3

1

!

"#$

%& +

3

2

!

"#

$

%& +

3

3

!

"#$

%&

(

)*+

,-= 6 ' 3*1+ 0 +1( ) = 2 . D’où

4

1

!

"#

$

%& = 8

et p c( ) =8

24=1

3! 0, 333 .

a) 4

0

!

"#

$

%& = 4!!'!

4

i

!

"#

$

%&

i=1

4

( = 24 ' 8 + 6 + 0 +1( ) = 9 . p a( ) =9

24=3

8=!0,375 .

b) Au moins une = pas zéro. D’où : p(b) = 1 – p(a) = 0,625. Vous trouverez un prolongement de cet exercice dans la rubrique « combinatoire », sous le

titre « nombre de dérangements de n points laissant p points fixes ».


EX14. Un jeu bien mélangé de 32 cartes est distribué carte par carte à quatre joueurs. Quelle est la probabilité que chaque joueur ait un as ? Rem : Le jeu de cartes étant bien mélangé, qu’il soit distribué carte par carte ou par paquets de huit cartes, cela revient au même. Une distribution de cartes aux quatre joueurs égale un quadruple (a,b,c,d) où a est un tirage de huit cartes parmi 32 (il y en a C

32

8 ), b est un tirage de 8 cartes parmi les 24 restantes (il y en a C24

8 ), c est un tirage de 8 cartes parmi les 16 restantes (il y en a C16

8 ) et d est le paquet des 8 cartes qui restent (il y en a C

8

8= 1 ). Le nombre de tels quadruples égale C

32

8C24

8C16

8C8

8 . Une distribution de cartes favorable égale un quadruple (a,b,c,d) où a est une main de 8 cartes composée d’un as et de 7 cartes autres qu’un as (il y en a C

4

1C28

7 ), b est une main de 8 cartes composée d’un des 3 as restants et de 7 des 21 cartes non-as restantes (il y en a C

3

1C21

7 ) etc… Le nombre de distributions favorables égale donc C

4

1C28

7C3

1C21

7C2

1C14

7C1

1C7

7 . La probabilité que chaque joueur ait un as égale 0,114.

EX15. Trente personnes se trouvent dans un local.

Quelle est la probabilité qu’au moins deux personnes aient leur anniversaire le même jour ? (on suppose qu’une année compte 365 jours). L’événement A « au moins deux personnes ont leur anniversaire le même jour » est le contraire de l’événement B « toutes les personnes ont leur anniversaire un jour différent ». Calculons d’abord la probabilité de B. Le nombre de cas favorables = le nombre d’injections des 30 personnes dans le calendrier = A

365

30 = 3806737856015004170621428562845950947008035671088525319931365379014656. Le nombre de cas possibles = le nombre de fonctions des 30 personnes dans le calendrier = 36530 = 12962030625262519859085092767427552277425499342208403503894805908203125. Dès lors, pB = 0,293684 et pA = 1 – pB = 0,706316. Rem : Tel que proposé ci-dessus, le calcul ne peut se faire avec une calculette basique. Néanmoins on y arrive en décomposant calmement le calcul comme suit : 365

365!364

365!363

365!362

365!…!

337

365!336

365.

EX16. Cinquante personnes se trouvent dans un local.

Quelle est la probabilité qu’au moins deux personnes aient leur anniversaire le même jour ? (on suppose qu’une année compte 365 jours). En utilisant le puissant logiciel « Mathematica » : In[1]:= 1–N[Binomial[365,50]*50!/365^50] Out[1]= 0.970374


EX17. D’une urne contenant 4 boules vertes, 3 noires et 3 rouges, indiscernables au toucher, on tire successivement 4 boules avec remise. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre : a) quatre vertes ? b) trois vertes et une rouge ? c) une verte, une rouge et deux noires ? Soit V l’événement « tirer une boule verte », N l’événement « tirer une boule noire » et R l’événement « tirer une boule rouge ». ∗ pV = 0,4 ; pN = 0,3 ; pR = 0,3. a) p(VVVV) = 0, 44 = 0,0256 b) p(VVVR) = 0, 43 !0, 3 = 0,0192 c) p(VRNN) = 0, 4 !0, 3 !0, 32 = 0,0108

EX18. D’une urne contenant 4 boules vertes, 3 noires et 3 rouges, indiscernables au toucher, on tire

successivement 4 boules sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre : a) quatre vertes ? b) trois vertes et une rouge ? c) une verte, une rouge et deux noires ?

a) p(VVVV) = 4

10!3

9!2

8!1

7= 0,0048

b) p(VVVR) = 4

10!3

9!2

8!3

7= 0,0143

c) p(VRNN) = 4

10!3

9!3

8!2

7= 0,0143


successivement 2 boules avec remise. Quelle est la probabilité que : a) la première soit rouge ? b) la deuxième soit rouge ? Soit A l’événement « la première boule est rouge » et B « la deuxième boule est rouge ». Comme le tirage se fait avec remise : pB = pA = 0,3.


successivement 2 boules sans remise. Quelle est la probabilité que : a) la première soit rouge ? b) la deuxième soit rouge ? Soit A l’événement « la première boule est rouge » et B « la deuxième boule est rouge ». a) pA = 0,3

b) pB = p(VR ou NR ou RR) = p(VR) + p(NR) + p(RR) = 4

10!3

9+3

10!3

9+3

10!2

9= 0, 3

Commentez ces résultats.


EX21. Une urne contient vingt boules dont dix rouges. On en tire cinq au hasard sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir dans le tirage: a) exactement 3 boules rouges ? b) aucune boule rouge ? c) au moins 2 boules rouges ? d) au plus 3 boules rouges ? Nombre de tirages possibles: C

20

5= 15504

a) Un tirage favorable est un couple a,b( )!A " B où A est l'ensemble des tirages de 3 boules rouges et B l'ensemble des tirages de 2 boules pas rouges. Le nombre de tirages favorables égale #A ! B = #A " #B = C

10

3"C

10

2= 5400

D'où p(exactement 3 boules rouges) = 5400

15504= 0,348

b) Aucune = exactement zéro. On procède donc comme en a).

p(aucune boule rouge) = C10

0C10

5

C20

5= 0,016

c) Au moins 2 = exactement 2 ou exactement 3 ou exactement 4 ou exactement 5 p(au moins 2) = p(exactement 2) + p(exactement 3) + …

p(au moins 2) = C10

2C10

3

C20

5+C10

3C10

2

C20

5+C10

4C10

1

C20

5+C10

5C10

0

C20

5= 0,848

Plus court: au moins 2 = pas (0 ou 1) = 1!C10

0C10

5

C20

5+C10

1C10

4

C20

5

"

#$%

&'= 1! 0,152 = 0,848 .

d) Au plus 3 = pas(4 ou 5)

p(au plus 3) = 1!C10

4C10

1

C20

5+C10

5C10

0

C20

5

"

#$%

&'= 1! 0,152 = 0,848

EX22. D’un jeu bien mélangé de 32 cartes on tire une main de 8 cartes. Quelle est la probabilité que

cette main comporte : a) quatre rouges et quatre piques mais aucune dame ? b) trois trèfles et cinq rouges ?

Le nombre de tirages possibles égale C

32

8 a) Le nombre de tirages favorables égale C

14

4!C

7

4 car un tirage favorable est un couple constitué de 4 rouges non dames et 4 piques non dame.

La probabilité demandée égale C14

4C7

4

C32

8! 0,003

b) Un tirage favorable est un couple constitué de 3 trèfles et de 5 rouges. Le nombre de tirages favorables égale C

8

3C16

5

La probabilité demandée égale C8

3C16

5

C32

8! 0,023


EX23. D’un jeu bien mélangé de 52 cartes on tire une carte dont on observe la valeur. Quelle est la probabilité que la carte tirée soit un 8 sachant que sa valeur est entre 5 et 10 ?

! = « tirer une carte », #! = 52

A = « tirer un 8 », #A = 4 B = « tirer une carte entre 5 et 10 », #B = 24 ✶ A!B = A

p A B( ) =p A!B( )

p B( )=p A( )

p B( )=

452

2452

=1

6" 0,167

EX24. Un paquet bien mélangé de 8 cartes contient les 4 as et les 4 rois. On tire au hasard une main

de 2 cartes. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 as sachant qu’une des cartes tirées est : a) un as ? b) un roi ? c) un as rouge ? d) l’as de coeur ? Pour chacune de ces questions, on peut travailler en appliquant la formule de Bayes, mais le plus simple consiste à examiner, dans chaque cas, la catégorie d’épreuve restreinte par la condition imposée.

a) 6

22=3

11! 0,273

car il y a 22 possibilités de tirer un as, parmi lesquelles 7 sont favorables au tirage de 2 as.

RP x x x x x x x x

RT x x x x x x x

RK x x x x x x

RC x x x x x

AP x x x x

AT x x x

AK x x

AC x

AC AK AT AP RC RK RT RP

b) 0

22= 0

car il y a 22 possibilités de tirer un roi, parmi lesquelles aucune n’est favorable à 2 as.

RP x x x x x x x x

RT x x x x x x x

RK x x x x x x

RC x x x x x

AP x x x x

AT x x x

AK x x

AC x



c) 5

13! 0, 385

en effet, 13 cas possibles pour tirer un as rouge, dont 5 favorables à 2 as.

RP x x x x x x x x

RT x x x x x x x

RK x x x x x x

RC x x x x x

AP x x x x

AT x x x

AK x x

AC x


d) 3

7! 0, 429

car 7 possibilités de tirer un as de coeur dont 3 sont favorables au tirage de 2 as. Faites le schéma vous-même.

EX25. On tire sans remise deux cartes d’un jeu bien mélangé de 52 cartes.

Quelle est la probabilité que : a) la deuxième carte soit un roi si la première est un pique ? b) la deuxième carte soit un pique si la première carte est un roi ?

Le nombre de tirages possibles égale A

52

2= 52*51

a) A = « la deuxième carte est un roi » ; #A = 4*51 B = « la première carte est un pique » ; #B = 13*51 A!B = « la 1ère carte est un pique et la 2ème est un roi » ; #A!B = 13*4 "1= 51

p A( ) =4 *51

52*51 ; p B( ) =

13*51

52*51 ; p A!B( ) =

51

52*51 ;

p A B( ) =p A!B( )

p B( )=1

13" 0,077 (remarquez que p A B( ) = p A( ) ).

b) C = « la deuxième carte est un pique » ; #C = 13*51

D = « la première carte est un roi » ; #D = 4*51 E = « la 1ère carte est un roi et la 2ème carte est un pique » ; #D = 4*13 – 1 = 51

p C D( ) =p E( )

p D( )=1

4= 0,25 (même remarque, p C D( ) = p C( ) ).


EX26. La probabilité qu’il pleuve dimanche prochain à Londres est 0,9 (seulement 0,9 car c’est la saison sèche en Angleterre). Par temps sec, la probabilité de victoire des London Boys est 0,6. Par temps de pluie elle tombe à 0,3. a) Quelle est la probabilité de victoire des LB dimanche prochain ? b) Si les LB gagnent leur match dimanche, quelle est la probabilité qu’il ait plu ce jour-là ? P = « il pleut » ; p(P) = 0,9 V = « le LB gagnent » ; p V nonP( ) = 0,6 ; p V P( ) = 0, 3 .

a) p V( ) = p V nonP( )p nonP( ) + p V P( )p P( ) = 0,6 *0,1+ 0, 3*0,9 = 0, 33 .

b) p P V( ) =p P!V( )

p V( )=p V P( )p P( )

p V( )=0, 3*0,9

0, 33=9

11" 0,818 .

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