Th.graphe + Corr

7/28/2019 Th.graphe + Corr

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GRAP

HESExercice n1.Dterminer le degr de chacun dessommets du graphe suivant :

Exercice n2.Trois pays envoient chacun une confrence deux espions ; chaque espion doitespionner tous les espions des autres pays (mais pas son propre collgue!).1) Reprsentez cette situation par un graphe d'ordre 6 dans lequel chaque arte

reliant i etj signifie que i espionnej que etj espionne i.2) Ce graphe est-il complet ? est-il connexe ?

3) Quel est le degr de chaque sommet ? Dduisez-en le nombre d'artes.

Exercice n3. Peut-on construire un graphe simple (aucune arte nest une boucle etil y a au plus une arte entre deux sommets) ayant :a) 4 sommets et 7 artes b) 5 sommets et 11 artes c) 10 sommets et 46 artes

Exercice n4. Etant donn un groupe de dix personnes, le tableau suivant indiqueles paires de personnes qui ont une relation d'amiti.i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Amis de i 3,6,7 6,8 1,6,7 5,10 4,10 1,2,3,7 1,3,6 2 4,5

1) Reprsentez cette situation par un graphe d'ordre 10 dans lequel une arte entreles sommets i etj signifie qu'il y a une relation d'amiti entre i etj.

2) Ce graphe est-il complet ? connexe ?3) Si l'adage "les amis de nos amis sont nos amis" tait vrifi, que pourrait-on en

conclure sur la structure du graphe ?

Exercice n5. Sur la carte suivante sont dsign 7 pays europens :

1) Reprsentez cette situation par un graphe d'ordre 7 dans lequel l'existence d'unefrontire entre deux pays se traduira par une arte.

2) Combien de couleurs faut-il, au minimum, pour colorier cette graphe, de sorteque deux pays frontaliers ne soient pas affects de la mme couleur.

Exercice n6.Ecrivez la matrice associ chaque graphe :

Exercice n7.

On considre la matrice

0 1 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 1 0

0 1 1 0 01 1 0 0 0

A

=

Les graphes ci-dessous peuvent-ils tre associs A ?

Exercice n8. Dessiner un graphe dont une matrice serait :(plusieurs solutions sont videment possibles)

Exercice n9.Transformer ce graphe en lui rajoutant unnombre minimal dartes pour quil soit connexe.

0 0 0 0 0

0 0 1 0 2

0 1 0 1 0

0 0 1 0 0

0 2 0 0 0


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Exercice n10. Est-il possible de tracer les figures suivantes sans lever le crayon (etsans passer deux fois sur le mme trait!)? Pourquoi ?

Exercice n11.

Est-il possible de se promener dans chacune de ces maisons en passant une et uneseule fois par chacune de ses ouvertures ?

Exercice n12.Le chasse neige doit dblayer les 6 routes qui relient 5villages A, B, C, D et EPeut on trouver des itinraires qui permettent deparcourir une et une seule fois chaque route ?a) en partant de E et en terminant par Eb) en partant de C et en terminant D

c) en partant de A et en terminant AExercice n13.Considrons le graphe G ci-contre :

Combien y-a-t-il de chanes de longueur 4

entre A et B ? B et A ? B et B ?

Exercice n14.

On considre quatre villes 1V , 2V , 3V , 4V dans un pays o le traffic arien est

encore trs rduit : il existe seulement un vol direct de 1V vers 2V et vers 4V , de

2V vers 3V , de 3V vers 1V et vers 4V , de 4V vers 2V

1) Reprsenter les donnes par un graphe convenable.2) Vrifier quil existe au moins un vol de chaque ville iV vers chaque ville jV ,

i j , comportant au plus deux escales.3) a) Ecrivez la matriceMassocie ce graphe.b) Calculez 2M et 3M c) Retrouvez alors le rsultat de la question 2)

Exercice n15. Quels sont les diamtres des graphe

s ci-dessous :

Exercice n16. Le graphe ci-dessous indique, sans respecter dchelle, les parcourspossibles entre les sept btiments dune entreprise importante.

Un agent de scurit effectue rgulirement des rondes de surveillance. Ses tempsde parcours en minutes entre deux btiments sont les suivants :AB : 16 minutes ; AG = 12 minutes ; BC = 8 minutes ; BE : 12 minutes;BG : 8 minutes ; CD : 7 minutes; CE = 4 minutes ; CG : 10 minutes ;DE : 2 minutes ; EF : 8 minutes ; EG : 15 minutes ; FG : 8 minutes.Sur chaque arte, les temps de parcours sont indpendants du sens du parcours.1) Montrer quil est possible que lagent de scurit passe une fois et une seule partous les chemins de cette usine. Donner un exemple de trajet.

A

B

C


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Exercice n23.Deux fabricants de parfum lancent simultanment leur nouveau produit quilsnomment respectivement Aurore et Borale.Afin de promouvoir celui-ci, chacun organise une campagne de publicit.Lun deux contrle lefficacit de sa campagne par des sondages hebdomadaires.

Chaque semaine, il interroge les mmes personnes qui toutes se prononcent enfaveur de lun de ces deux produits.Au dbut de la campagne, 20 % des personnes interroges prfrent Aurore et lesautres prfrent Borale. Les arguments publicitaires font voluer cette rpartition :10% des personnes prfrant Aurore et 15 % des personnes prfrant Boralechangent davis dune semaine sur lautre.La semaine du dbut de la campagne est note semaine 0.Pour tout entier naturel n, ltat probabiliste de la semaine n est dfini par la

matrice ligne ( )Pn n na b= , o an dsigne la probabilit quune personneinterroge au hasard prfre Aurore la semaine n et bn la probabilit que cettepersonne prfre Borale la semaine n.

1. Dterminer la matrice ligne P0 de ltat probabiliste initial.2. Reprsenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, A pourAurore et B pour Borale.3.a. crire la matrice de transition M de ce graphe en respectant lordre

alphabtique des sommets.b. Montrer que la matrice ligne P1 est gale (0,3 0,7).4. a. Exprimer, pour tout entier naturel n, Pn en fonction de P0 et de n.b. En dduire la matrice ligne P3. Interprter ce rsultat.5. Soit P = (a b) la matrice ligne de ltat probabiliste stable.a. Dterminer a et b.b. Le parfum Aurore finira-t-il par tre prfr au parfum Borale ? Justifier.


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GRAPHES - CORRECTIONExercice n1Sommet A B C D E F G H IDegr 4 6 4 2 4 4 6 4 2

Exercice n2Les espions dun mme pays sont nots 1 et 2 , 3 et 4, 5 et 61) Graphe2) Ce graphe nest pas complet car deux espions dun mmepays ne sespionnent pas, donc les sommets correspondantsne sont pas adjacents.En revanche ce graphe est connexe car entre tout couple depoints, il existe au moins une chane

3) Les sommets sont tous de degr 4 car chaque espion en espionne quatre autresAutrement dit :Sommet 1 2 3 4 5 6Degr 4 4 4 4 4 4La somme des degrs tant gale au double du nombre dartes, celui-ci vaut 12

Exercice n3a) Si le graphe simple contient 4 sommets, chacun de ceux-ci est de degr aumaximum gal 3, do une somme totale des degrs gale au plus 12. Puisquecette somme est gale au double du nombre dartes, ce nombre dartes ne peutexcder 6, donc ne peut pas tre gal 7.b) Si le graphe simple contient 5 sommets, chacun de ceux-ci est de degr aumaximum gal 4, do une somme totale des degrs gale au plus 20. Puisquecette somme est gale au double du nombre dartes, ce nombre dartes ne peutexcder 10, donc ne peut pas tre gal 11.b) Si le graphe simple contient 10 sommets, chacun de ceux-ci est de degr aumaximum gal 9, do une somme totale des degrs gale au plus 90. Puisque

cette somme est gale au double du nombre dartes, ce nombre dartes ne peutexcder 45, donc ne peut pas tre gal 46.

Exercice n41)

2) Ce graphe nest pas complet car, par exemple, 1 et 2 ne sont pas adjacents. Ilnest pas connexe car il nexiste pas de chane reliant 3 et 4. En revanche, il admetdeux sous graphes connexes (1,2,3,6,7,8) (4,5,10) et un point isol 93) Si l'adage "les amis de nos amis sont nos amis" tait vrifi la composanteconnexe (1,2,3,6,7,8) serait complte

Exercice n51)

2) Il faut procder une coloration du grapheLe sommet de plus fort degr est F ou D, de degr 5. Le sous-graphe completdordre maximal est dordre 3, par exemple B,L,F,D. Le nombre chromatique

vrifie donc 4 5 1 + , cest--dire 4 6 Classons les sommets dans lordre dcroissant de leur degr et appliquons

lalgorithme de coloration de Welch et PowellDegr Sommet Couleur5 D Couleur 15 F Couleur 24 B Couleur 33 CH Couleur 43 L Couleur 32 I Couleur 1

2 NL Couleur 2Exercice n6Graphe Matrice

0 1 0 0 0

1 0 1 1 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 00 0 1 0 0


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0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1

0 0 0 1 0 1

0 0 0 1 1 0

Exercice n7Le 1er et le 3me graphe peuvent associs la matrice, avec les numrotations :

Le deuxime ne possde pas de sommet de degr gal 4 ( 2 )

Exercice n8Un graphe possible est :

Exercice n9En rajoutant deux artes (en rouge),on peut rendre ce graphe connexe

Exercice n10

Tracer les figures sans lever le crayon revient exhiber une chaine eulrienne.Or ceci nest possible que si et seulement si le nombre de sommets de degr impairest gal 0 (on aura affaire un cycle eulrien, donc le retour se fera sur le sommet

de dpart) ou 2. Pour le premier graphe, cest impossible, tous les sommets tantde degr impairs. Pour les trois autres graphes, cest possible.En ce qui concerne le 3me graphe, tous les sommets tant de degr pair, on a mmelexistence dun cycle eulrien.

Exercice n11En numrotant les pices et en matrialisant les portes par des artes, on traduit lasituation par le graphe ci-dessous :

Se promener dans la maison en passant par chacune des ouvertures revient chercher lexistence dune chane eulrienneSeuls deux sommets tant de degr impairs (1 et 2) , les autres tant de degr pair,il est possible de trouver une chane eulrienne associe ce graphe.

Pour la deuxime situation, il est ncessaire de crre un 6me sommet nomm

extrieur (E)

Il existe maintenant quatre sommets de degr impairs (1,2,4 et E) , les autres tantde degr pair, il est impossible de trouver une chane eulrienne associe cegraphe.

Exercice n12Trouver des itinraires qui permettent de parcourir une seule fois chaque routerevient trouver une chane eulrienne (voire un cycle) associe ce graphe.Tous les sommets tant de degr pair, le thorme dEuler assurer lexistence duncycle eulrien (donc dune chane eulrienne)

a) E-C-D-A-C-B-E est un exemple.b) il nexiste pas de chane eulrienne partant de C et en terminant Dc) A-D-C-E-B-C-A est un exemple.


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Exercice n13En numrotant 1,2,3 les sommets A,B,C, La matrice associe ce graphe est

0 1 1

1 0 1

0 1 0

A

=

(attention, le graphe ntant pas orient, la matrice nest pas symtrique)

On calcule 42 3 3

1 4 3

2 1 2

A

=

La matrice 4A nous permet daffirmer quil existe :- 3 chanes de longueur 4 entre A et B

- 1 chanes de longueur 4 entre B et A- 4 chanes de longueur 4 entre B et B

Exercice n14

1) Les sommets du graphes tant les villes, et les artes tant les liaisons, un graphereprsentant la situation est :

Il existe au moins un vol de chaque ville iV vers chaque ville jV , i j ,

comportant au plus deux escales, car le diamtre du graphe est gal 3

3) a) La matriceMassocie ce graphe est

0 1 0 1

0 0 1 0

1 0 0 10 1 0 0

M

=

b) On calcule 2

0 1 1 0

1 0 0 1

0 2 0 1

0 0 1 0

M

=

et 3

1 0 1 1

0 2 0 1

0 1 2 0

1 0 0 1

M

=

c) On calcule :

2 3

0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1

0 0 1 0 1 0 0 1 0 2 0 1

1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 2 0

0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

M M M

+ + = + +

1 2 2 2

1 2 1 2

1 3 2 2

1 1 1 1

=

Cette dernire matrice ne comportant pas de 0, et ne comportant que des entiersinfrieurs ou gaux 3, il existe toujours une chaine de longueur au plus gale 3

entre deux aroports, cest--dire un voyage comportant au plus deux escales. Onretrouve le rsultat prcdent.

Exercice n15Le premier graphe a pour diamtre 2Le deuxime graphe a pour diamtre 3Le troisime graphe a pour diamtre 4Le quatrime graphe a pour diamtre 6

Exercice n161) Puisque seuls les sommets E et G sont de degr impairs, ce graphe admet unechane eulrienne. Il est possible que lagent de scurit passe une fois et une seulepar tous les chemins de cette usine. Un exemple de trajet est EGCBECDEFGBAG2) Lagent de scurit ne peut pas revenir son point de dpart car le thormedEuler interdit lexistence dun cycle eulrien, en raison des deux sommets E et Gde degr impair.3)On dtermine le temps minimum de parcours grce lalgorithme de Dijkstra :

A B C D E F G Sommetchoisi0 0+16

=16 (A)+ + + + 0+12

=12 (A)G (12)

+ 12+8=20 (G)

12+10=22 (G)

+ 12+15=27 (G)

12+8=20 (G)

+ F (20)C(22)

+ 22+7=29 (C)

20+8=28 (F)22+4=26 (C)

D(29)E(26)

+ 26+2=28 (E) D(28)

On trouve pour chemin minimum le chemin AGCED, de poids 28


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Exercice n171) Les sommets D et F sont de degr impair, et tous les autres de degr pair. Onconclut, grce au thorme dEuler, lexistence dune chane eulrienne, mais pas celle dun cycle eulrien.Une chane eulrienne est, par exemple, DBCABFDEGHIJEF

2)On dtermine le temps minimum de parcours grce lalgorithme de DijkstraA B C D E F G H I J Sommetchoisi

0 0+6=6(A)

0+4=4(A)

C(4)B(6)

4+4=8(B)

6+1=7(B)

F(7)

7+2=9(F) 7+4=11(F) D(9)E(11)9+4=13(D)

11+6=17(E)

11+5=16(E)

J(16)

16+3=19(J)

I(19)

On trouve pour chemin minimum le chemin ABFEJI, de poids 19Exercice n181) a) Si on note P la probabilit dtre propritaire, et L celle dtre locataire,

lnonc fournit les indications ( ) 0,9pp P = , ( ) 0,1pp L = , ( ) 0,2Lp P = et

( ) 0,8Lp L = la situation se traduit par le graphe probabiliste :

La matrice de transition de ce graphe est

0,9 0,1

0,2 0,8M

=

b) On calcule

( ) ( )

( )

1 0

0,9 0,10,5 0,5 0,5 0,9 0,5 0,2 0,5 0,1 0,5 0,8

0,2 0,8

0, 55 0, 45

P P M

= = = + +

=

c) Ltat stable ( )x y de ce graphe vrifie 1x y+ = et

( ) ( )0,9 0,1 0,9 0,2

0,2 0,8 0,1 0,8

x x yx y x y

y x y

= + =

= +

En utilisant la relation 1x y+ = , le systme devient donc

( )0, 2 2

0,1 0,2 1 00,1 0, 2 0,3 0, 2 0,3 31 1 2 11

13 3

xx xx y x

x y y xy xy

= = + = + =

+ = = = = =

Ltat stable du graphe est donc2 1

3 3

. On peut ainsi conclure quau bout dun

grand nombre de mois, le nombre de propritaires tend vers une proportion de2

3,

tandis que celui des locataires tend vers une proportion de 13

.

2) laide de la relation 1n nP P M+ = , on crit :

( ) ( )1

1 11

0,9 0,20,9 0,1

0,2 0,8 0,1 0,8n n n

n n n n

n n n

p p qp q p q

q p q

+

+ +

+

= + =

= +

En utilisant la relation 1n np q+ = , on dduit que ( )1 0,9 0,2 1n n np p p+ = +

1 0,7 0,2n np p+ = +

3) Pour tout entier n, on a 1

72 7 150,7 0, 2 0, 7 0, 7

73 1510

n n n nu p p p

+= + = =

Cest--dire 1 0,7n nu u+ = . La suite (un) est donc une suite gomtrique de raison

0,7, et de premier terme 0 02 1 2 1

3 2 3 6u p= = =


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b) Ainsi, pour tout entier n,1

0,76

n

nu

=

, et puisque

2 2

3 3n n n nu p p u= = + , on en dduit que ( )

1 20,7

6 3n

np = +

c) Puisque 0 0,7 1< < , ( )lim 0,7 0nn+

= et par suite 2lim3nn

p+

=

On retrouve le rsultat de la question 1) c)

Exercice n191) Si on note A la probabilit pour un htel dtre class dans la catgorie A, et Bcelle dtre classe dans la catgorie B, lnonc fournit les indications

( ) 0,95Ap A = , ( ) 0,05Ap B = , ( ) 0,2Bp A = et ( ) 0,8Bp B =

la situation se traduit par le graphe probabiliste :

2) La matrice de transition de ce graphe est0, 95 0, 05

0,2 0,8M

=

3) Ltat de lanne 2003 sera gal :

( ) ( )

( )

0, 95 0, 050, 25 0,75 0,25 0,95 0,2 0,75 0,25 0,05 0,75 0,8

0,2 0,8

0,3875 0,6125

= + +

=

Ltat de lanne 2004 sera gal :

( ) ( )

( )

0, 95 0, 050,3875 0,6125 0,3875 0,95 0,6125 0,2 0,3875 0,05 0,6125 0,8

0,2 0,8

0, 490625 0,509375

= + +

=

4) Ltat( )0,5 0,5= nest pas stable car

( )

( )

( ) ( )

0,95 0, 050,5 0,5

0,2 0,8

0,5 0,95 0,5 0, 2 0,5 0,05 0,5 0,8

0,575 0,425 0,5 0,5

= + +

=

Exercices et problmes de synthseExercice n201) Une reprsentation possible peut tre :

2) a) Ce graphe nest pas complet (2 et 6 ne sont pas adjacents) mais est connexe.b)Sommet 1 2 3 4 5 6 7 8Degr 4 4 4 4 2 3 2 3La somme des degrs vaut 4+4+4+4+2+3+2+3=26. Il y a donc 13 artes3) a) La distance entre les sommets 1 et 5 vaut 3b) Ce graphe a pour diamtre 34) a) Puisque tous les sommets ne sont pas de degr pair, ce graphe nadmet pas de

cycle eulrien, donc il nest pas possible de partir dun pays et dy revenir aprsavoir franchi chaque frontire une fois et une seule.b) Puisque deux sommets exactement sont de degr impair, ce graphe admet unechane eulrienne, donc il est possible de partir dun pays, de franchir chaquefrontire une fois et une seule et de terminer en un autre pays.5) On doit construire un nouveau graphe ou deux pays seront adjacents sils nontpas de frontire commune

Le plus grand sous-graphe complet de ce graphe a pour ordre 3

Le nombre maximum de pays sans frontire commune est donc gal 36) Le degr maximum tant gal 4, et le plus grand sous graphe complet tantdordre 4 (1,2,3,8), le nombre chromatique du graphe vrifie 4 5


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On applique lalgorithme de coloration de Welch et PowellSommet Degr Couleur1 4 Couleur 12 4 Couleur 23 4 Couleur 3

4 4 Couleur 46 3 Couleur 18 3 Couleur 45 2 Couleur 27 2 Couleur 2On dduit de cette coloration que 4 =

Exercice n21

1) a) Notons le nombre chromatique de ce graphe, cest--dire le nombreminimal de couleurs utiliser pour que deux bancs adjacents ne soient pas de lamme couleur.Puisque le sous-graphe BCD est complet, on aura 3 et puisque le degrmaximum est gal 3 (sommets B et D), on aura 3 1 + , cest--dire, au final,3 4 .On procde une coloration grce lalgorithme de Welch et Powell :

Sommet Degr CouleurB 3 Couleur 1D 3 Couleur 2A 2 Couleur 2C 2 Couleur 3E 2 Couleur 1Ainsi 3 = b) Le nombre de sommets de degr impair tant exactement gal deux, il existe

une chane eulrienne, donc il est possible de se promener une seule fois danstoutes alles du parc

2) a) La matrice M associe au graphe G est

0 1 0 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 0 1 0 1

1 0 0 1 0

M

=

b) A partir de la matrice

on en dduit quil existe 5 chemins de longueur 5 permettant de se rendre dusommet D au sommet B (terme lintersection de la 4me ligne et de la 2mecolonne)Ces chemins sont DEDEAB , DEAEAB, DEABCB, DCBDCB, DCDEABc) Daprs la matrice, il existe un seul chemin de longueur 5 reliant A A. Ce

chemin est donc lunique cycle contenant le sommet A, car tout cycle peut treconsidr dans nimporte quel ordre. Ce cycle est ABCDEA.En revanche, il existe 5 cycles de longueur 5 contenant le sommet B.

Exercice n22

1) La matrice associe au graphe est

0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 0 1 1 0

0 1 0 0 1 1 1

1 0 0 0 0 1 0

1 1 1 0 0 1 1

1 1 1 1 1 0 1

1 0 1 0 1 1 0

M

=

2) Le sous graphe AEFG est complet. Comme il est dordre 4, on dduit que( ) 4

3) Le sommet de plus haut degr de est F, de degr 6. Ainsi ( ) 6 1 + , et ondduit que 4 ( ) 7 4) On procde une coloration grce lalgorithme de Welch et Powell :Sommet Degr CouleurF 6 Couleur 1E 5 Couleur 2G 4 Couleur 3

A 4 Couleur 4C 4 Couleur 4B 3 Couleur 3D 2 Couleur 25) Lorganisateur doit prvoir 4 parties :Partie 1 : FPartie 2 : E,DPartie 3 : G,B

Partie 4 : A,C


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Exercice n231. Puisquau dbut de la campagne, 20 % des personnes interroges prfrentAurore, on aura 0 0,2a = donc 0 0,8b = .

La matrice ligne P0 de ltat probabiliste initial est donc ( )0P 0,2 0,8=

2. Le graphe probabiliste sera constitu de deux sommets A et B origines etextrmits de deux artes orientes et pondres. Larte reliant A B dans le sensA->B sera pondre par la probabilit quune personne prfrant Aurore unesemaine donne, ait chang pour Borale la semaine suivante, soit 0,1.On obtient ainsi :

3.a. La matrice de transition M de ce graphe en respectant lordre alphabtique des

sommets est gale :0,9 0,1

0,15 0,85M

=

b. On a :

( )

( )

( )

1 0

0,9 0,10,2 0,8

0,15 0,85

0,2 0,9 0,8 0,15 0,2 0,1 0,8 0,85

0,3 0,7

P P M

= =

= + +

=

4. a. Pour tout entier naturel n, 0n

nP P M=

b. Ainsi, ( )3

33 0

0,9 0,10,2 0,8

0,15 0,85P P M

= =

A laide dune calculatrice, aprs avoir dfini dans le menu MATRICE, unematrice [A], de dimension 1 2 correspondant P0 et une matrice [B], dedimension 2 2 correspondant M, on calcule :

Ainsi, ( )3 0,43125 0,56875P =

On peut estimer quau bout de la 3me semaine de campagne, plus de 43% de lapopulation sera favorable au parfum Aurore.

5.a. Ltat stable P=(a b) est solution de lquation matricielle

( ) ( )0,9 0,1

0,15 0,85P PM a b a b

= =

.

De surcrot, on a 1 1a b b a+ = =

Les nombres a et b sont donc solutions du systme 0,9 0,151 1a a ba b b a

= +

+ = =

que lon

rsout :

( )0,9 0,15 10,9 0,15 0,9 0,15 0,15

1 1 11

0,150,25 0,15 0,6 0,6

0,25

1 1 0,6 0,41

a a aa a b a a a

a b b a b ab a

aa a a

b a b bb a

= + = + = +

+ = = = =

== = =

= = = =

Ltat stable est donc P = (0,6 0,4)b. On peut donc estimer qu terme, 60% de la population sera favorable au parfumAurore, qui sera donc prfr au parfum Borale

Th.graphe + Corr

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