Cor9ASmeca Rdm Td

Résistance des matériaux Hypothèses – Sollicitations - Contraintes

Exercice 1Soit une poutre droite E de section constante, de longueur l, encastrée à sonextrémité A et supportant à son extrémité B un effort concentré F .Soit R0=A ,x0 ,y0 ,z0 le repère lié à la poutre, tel que l'axe A ,x0 est confonduavec la ligne moyenne.On effectue une section droite fictive de la poutre par un plan P . Soit G, d'abscisse xdans R0 , le centre de surface de cette section droite.

1- Isoler la poutre E et déterminer, au point A, les éléments de réduction du torseurassocié à la liaison encastrement : {T 1 E } .

2- En utilisant successivement les deux écritures du torseur de cohésion (en fonction desefforts extérieurs sur E1 et E 2 ), déterminer les éléments de réduction en G dutorseur de cohésion dans la section droite d'abscisse x.

3- Donner l'expression des composantes algébriquesN x , T y x , T z x , M t x , M fy x , M fz x dans le repère R=G ,x ,y ,z .

4- Représenter la variation de ces composantes algébriques en fonction de l'abscisse x ducentre de surface G de la section droite fictive.

RdM : Hypothèses – Sollicitations - Contraintes TD - STS Productique – Conception des outillages – Mécanique 09/2003 – jgb - rdm1.sxw

F

1y

0

x0

B

y

x

l

E 2

x P

E1

Exercice 2

La figure ci-dessous représente la modélisation de l'arbre porte-mandrin d'une têted'usinage multibroche. Cet arbre reçoit le mandrin porte-outil 4 à son extrémité A ; à sonautre extrémité, en O , un pignon arbré de rayon primitif R=12mm reçoit la puissancemécanique d'un autre pignon 2 non représenté. L'arbre 1 est guidé en rotation dans uncarter repéré 0 par l'intermédiaire de deux roulements à billes placés en B et C .(unités : m et N)

Une étude statique préalable a permis de calculer la totalité des actions mécanique sur 1.On en donne les composantes algébriques dans le repère R0=G0 ,x0 ,y0 ,z0 :

– Action du mandrin 4 en A : {T 4 1 }= {−625 −2,4 0 00 0 }

x0 , y 0 , z0A

– Action du mandrin 2 en D : {T 2 1 }= { 0 065 0

−200 0} x0 , y 0 , z0D

– Action du carter 0 en B : {T 0 1 }= {625 020 1,2−40 0,075} x0 , y 0 , z0B

– Action du carter 0 en C : {T 2 1 }= { 0 0−85 0240 0} x0 , y 0 , z0C

Question

Définir le torseur de cohésion dans les sections droites de 1 entre O et A etconstruire les diagrammes des composantes algébriques des éléments de réduction enG des efforts de cohésion dans 1.


Exercice 3

La figure ci-dessous représente le crochet d'un pont roulant supportant une charge verticaleF .

Hypothèses :

– Le centre de surface G1 de la section droite fictive S 1 définie sur la figure est telque OG1=15mm

– Le centre de surface G2 de la section droite fictive S 2 définie sur la figure est telque OG2=15mm

– On donne : ∥F∥=5000 N– On désigne par E1 le tronçon de crochet situé à droite de la section fictive/

Unités : N et m

Question :

1- Déterminer dans le repère R1=G1 ,x1 ,y1 ,z1 lié à S1 les composantesalgébriques des éléments de réduction en G1 du torseur des forces de cohésion dansS 1 . Quelles sont les sollicitations simples qui apparaissent dans S 1 ?

2- Déterminer dans le repère R2=G2 ,x ,y ,z lié à S 2 les composantesalgébriques des éléments de réduction en G2 du torseur des forces de cohésion dansS 2 . Quelles sont les sollicitations simples qui apparaissent dans S 2 ?


0

0

1

1

Exercice 4La figure ci-dessous représente la bride 2 d'un système de serrage d'un montaged'usinage. L'effort de serrage de la pièce est obtenu par deux boulons repérés 3 quipassent dans les trous de la bride A et B . L'effort de la pièce 4 sur la bride s'exerceen C .

Les trois forces concentrées qui s'exercent sur la bride 2 sont représentées sur la figure etvalent :

∥A3 2∥=800 N - ∥B 3 2∥=800 N - ∥C 4 2∥=1600 N

Déterminer les équations qui définissent le long de la ligne moyenne AB les projections surR=G ,x ,y ,z des éléments de réduction en G du torseur de cohésion.


Exercice 5 - Extrait BTS 2000

Vérification de la bride repérée 3 à la contrainte de flexion

Voir document B2 et extrait document DT9

Hypothèses :

La bride 3 représentée sur ce document est réalisée d'un seul bloc, mais elle possède lemême comportement à la flexion que l'ensemble constitué par 3+8.Le matériau C45 est conservé.Les dimensions sont identiques.Cette bride est disposée horizontalement avec son système de repérage : l'axe des X estconfondu avec l'axe moyen de la poutre.

Le poids de la bride est négligé, le chargement extérieur est défini par les torseurs :(unités : composantes des forces en N, composantes des moments en mmN)

{T 2 /3 }= {O2/3∣−274 5712

0 ∣M 0 2 /3=0 }x ,y ,z O

{T 9 /3 }= {P7/3∣ 0 −9355

0 ∣MP 7/3=0 }x ,y ,z P

{T pièce /3 }= {Qpièce /3∣ 274 3643

0 ∣MQ pièce /3=0 }x ,y ,z Q

La résistance élastique de la bride a pour valeur Re=420 MpaLe coefficient de sécurité s=2,5

Travail demandé :(A traiter sur feuille de copie)

1- Ecrire pour la section de ligne moyenne comprise entre O et Q les équations du momentfléchissant.

2- Représenter le diagramme de ce moment fléchissant.

3- Vérifier dans la section droite passant par P la condition de résistance à la flexion decette bride.


Document DT9 (Extrait)


Correction – Exercice N°11- Equilibre de la poutre : {T F}{T 1 E }=0

{T F}= { F.sin 0 −F.cos 0

0 0}x0 ,y 0 ,z0B

M AF =MB F AB∧F

soit : ∣000∣∣l00∣∧∣

F.sin−F. cos

0 ∣=∣ 0000

0−l.F.cos ∣ donc :

{T 1 E }=−{T F}= {−F.sin 0 F.cos 0

0 l.F.cos }x0 ,y 0 ,z0A

2- {T E E1}={T 1 E }

{T 1 F }= {−Fsin 0 Fcos 0

0 lFcos}x0 ,y0 ,z0A

MG1 F =M A1 F GA∧R 1 F

{T EE 2}={T F}

{T F}= { F.sin 0 −F.cos 0

0 0 }x0 ,y 0 ,z0B

MGF =MBF GB∧F

N= T y= T z= M t= M fy= M fz=


t t t

Correction – Exercice N°4

On utilise les unités suivantes : N (newtons) et Nm (newtons mètres)On désigne par le E1 tronçon de poutre compris entre A et G.– Dans la zone AC pour laquelle 0 x0,015 on choisit d'utiliser une des relations

définissant le torseur de cohésion : {T coh}=−{T EE1} .Les actions de E E1 sont celles du boulon 3 sur la bride 2 (en A) donc :

{T EE1}={T 3A2 } avec {T 3A2 }= { 0 0 800 0

0 0 }x ,y ,z A

on calcule : MG3A2=M A3A2GA∧R 3A2=−800 x z

car : ∣000∣∣−x00 ∣∧∣ 0

8000 ∣=∣ 00

000−800 x∣ donc {T 3A2 }= { 0 0

800 00 −800 x}x ,y ,z G

On en déduit que sur AC ( 0 x0,015 )

{T coh}=−{T EE1}=−{T 3A2 }= { 0 0 −800 0

0 800 x}x ,y ,z G

donc : N=0 T y=−800 N T z=0 M t=0 M fy=0 M fz=800 x Nm– Dans la zone CB pour laquelle 0,015 x0,030 on choisit d'utiliser une des

relations définissant le torseur de cohésion : {T coh}={T EE 2} (ceci permet desimplifier un peu les calculs)

Les actions de E E 2 sont celles du boulon 3 sur la bride 2 en B donc :

{T EE1}={T 3B2 } avec {T 3B2 }= { 0 0 800 0

0 0 }x ,y ,z B

on calcule : MG 3B2=MB3B2GB∧R 3B2=800 0,03−x z car :

∣000∣∣0,03−x

00 ∣∧∣ 0

8000 ∣=∣ 0

08000,03−x ∣ soit {T 3B2 }= { 0 0

800 00 8000,03−x }x ,y ,z G

On en déduit que sur CB ( 0,015 x0,030 )

{T coh}={T EE 2}={T 3B2 }= { 0 0 800 0

0 800 0,03−x }x ,y ,z G

donc : N=0 T y=800 N T z=0 M t=0 M fy=0 M fz=8000,03−x Nm

x(m)

T y N

A C B0 0,015 0,03

800

-800

x(m)

M fz Nm

A C B0 0,015 0,03

15


Correction – Exercice N°5On utilise les unités suivantes : N (newtons) et Nmm (newtons millimètres)On désigne par le E1 tronçon de poutre compris entre O et G.– Dans la zone AP pour laquelle 0 x37,5 on choisit d'utiliser une des relations

définissant le torseur de cohésion : {T coh}=−{T EE1} .Les actions de EE1 sont celles de 2 sur la bride 3 (en O) donc :

{T EE1}={T 2 3 } avec {T 2 3 }= {−274 0 5712 0

0 0 }x ,y ,z O

on calcule : MG2 3=MO2 3GO∧R 2 3=−5712 x z

car : ∣000∣∣−x00 ∣∧∣−274

57120 ∣=∣ 0

0−5712 x∣ donc {T 3A2 }= {−274 0

5712 00 −5712 x}x ,y ,z G

On en déduit que sur AC ( 0 x37,5 )

{T coh}=−{T EE1}=−{T 2 3 }= { 274 0 −5712 0

0 5712 x}x ,y ,z G

donc : M fy=0 M fz=5712 x Nmm– Dans la zone PQ pour laquelle 37,5 x96,3 on choisit d'utiliser une des relations

définissant le torseur de cohésion : {T coh}={T EE 2} (ceci permet de simplifier unpeu les calculs)

Les actions de E E 2 sont celles de la pièce sur la bride 3 en Q donc :

{T EE1}={T pièce3 } avec {T pièce3 }= { 274 0 3643 0

0 0}x ,y ,z Q

on calcule : MGpièce3=MQ pièce3GQ∧R pièce3=3643 96,3−x zcar :

∣000∣∣96,3−x

00 ∣∧∣ 274

36430 ∣=∣ 0

0364396,3−x ∣ soit

{T pièce3 }= { 274 0 3643 0

0 3643 96,3−x }x ,y ,z G

On en déduit que sur PQ ( 37,5 x96,3 )

{T coh}={T EE 2}={T pièce3 }= { 274 0 3643 0

0 364396,3−x }x ,y ,z G

donc : M fy=0 M fz=364396,3−x Nmm


x(m)O P Q0 37,5 96,3

214200

Correction – Exercice N°5 (complément)

Compléter le tableau :

0 x37,5 37,5 x96,3

Actions exercées sur E1 O2 /3P7 /3GPièce /3

O2 /3P7 /3GPièce /3

Actions exercées sur E2 O2 /3P7 /3GPièce /3

O2/3P7 /3GPièce /3

{T coh}={T EE1}=.{T 2 3 }.{T 7 3 }.{T pièce3 }

{T 2 3 }.{T 7 3 }.{T pièce3 }

{T coh}={T EE 2}=.{T 2 3 }.{T 7 3 }.{T pièce3 }

{T 2 3 }.{T 7 3 }.{T pièce3 }

OG x

GO x

GQ x

QG x


G

x

E1 E2

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