7/29/2019 222222Cours de RDM

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Cours de:

RsistanceDesMatriaux

(R.D.M)

Pr: H. LAHMAML.C.S.M

Licence professionnelle : I. M. PModule : McaniqueApplique

Elment :RsistanceDesMatriauxDpartement de Physique. Facult des Sciences BenMSik. Universit Hassan-II Mohammdia.

Casablanca-Maroc.

2006-2007

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1

Introduction1 Rappel surllasticit linaire.

R. D. M

2 Equation dquilibre dune

poutre en lasticit linaire.3 Quelques applications.

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3/88

Introduction

La Rsistance Des Matriaux est lascience du dimensionnement despices ou lments qui constituent unouvrage dart ou tout objetutilitaire.

2

Le gnie civil, domaine de la crationintelligente, sappuie essentiellementsur la R.D.M pour la ralisation desconstructions telles que les grosuvres des btiments, les ponts, lesossatures des grandes surfaces de

stockage ou de vente.

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4/88

Cette tude prliminaire doit remplirles fonctions demandes cettestructure (cahier de charge), cest dire une bonne rsistance (sansdommage) tous les effortsauxquelselle sera soumise pendant son

service.

La conception dun ouvrage estlimagination des formes des pices

formant le squelette gomtriqueainsi que la dtermination desquantits de matire ncessaires etsuffisantes pour raliser ces formes.

3

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5/88

4Le dimensionnement (ralis par desbureaux dtudes) fait appel des

calculs qui prvoient le comportementmcanique de lobjet dont laconception doit runir les meilleures

conditions de scurit, dconomie etdesthtique (architecte).

Historiquement, Les premiers travauxde recherche sur la R.D.M remontent la fin du XVIe sicle (Etudesexprimentales de Galile( Phy,math etastr italien 1564-1642) sur la tension et

la flexion des poutres).

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6/88

les bases de la thorie de llasticitlinaire (rversibilit et proportionnalit

des dformations aux efforts) ont tnonces parRobert Hooke (Phy et astranglais 1635-1703 ) en 1678.

5

1Rappel sur llasticit linaire.

1.a Essai de traction simple.

Analysons leffet dun essai detraction sur une longue barre (ou un

fil ) daciersuppos homogne.

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7/88

L 0

Charge

Comparateur

6

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8/88

Piston

huile

De la

pompeDispositif

coulissant

ManomtreEprouvette

Mchoires

de fixation

Machine de traction

7

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9/88

8

Coupe longitudinaledune prouvette

(courte et paisse)L

S

F

- F

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10/88

9 Diagramme contrainte-dformationde lacier

N

eLL

O

ruptureElasticitPlasticit

itelim

S

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11/88

10Diagramme contrainte-dformation

de la fonte(matriau fragile)

SN

eLL

O

ElasticitPlasticit

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11

SN

eLLO

Elasticit

Diagramme contrainte-dformation

du marbre

lim2lim1

Ilim1I lim2

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12 Diagramme contrainte-dformationdu bton

SN

eLL

O

Elasticit

lim1

lim2

Ilim1I lim2

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14/88

Remarque 1: Daprs le diagramme

contrainte-dformation de lacier la

contrainte varie en fonction de la

dformation dans la zone lastique

selon une loi linaire est rversible.

13

Loi de Hooke en lasticit linaire

(1676)

E e E est le module dYoung (Thomas

Young:Md et phy anglais 1773-1829)

ou moduledlasticit longitudinale.

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15/88

Lordre de grandeur du module

dYoung varie de 50.000 MPa

200.000 MPa (1MPa=1N/mm2

).

14

Remarque 2: L'exprience montre que la

diminution de la section transversale lors

de la traction est proportionnelle l'allongement de la barre dessai.

t eest le modulede Poisson (mathfranais 1781-1840). ou module

de compression transversale.

P t i h

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16/88

15

(1+e)aa

a

(1+et)a

Pour un matriau homogne on a:

1/2

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17/88

La variation du volume de llment cube

dcoup dans la barre dessai est:

16

)21(

3a2)1)((13a

3a

2)t1)((1

3aV

e

Daprslexprience,le volume de la barre

ne peut diminuer en traction, alors:

2/1

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18/88

171.b Essai de torsion simple.

Etudions leffet dun essai de torsionsur une longue barre (ou un fil )

dacier suppos homogne.(En

pratique on peut utiliser aussi unrouleau en caoutchouc).

La torsion de cette barre dessai peuttre obtenue, par exemple, en

appliquant deux couples opposs en

ses extrmits.

18

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19/88

18Pour comprendre la dformation de

ce matriau, on ralise sur sa

surface un trac sous forme d untreillis de lignes orthogonales.

Etat non

dformM

t

- M

Etat

dform

z

19

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20/88

19Aprs dformation, les lignes

circulaires conservent leur forme,tandis que les lignes parallles laxe

du rouleau deviennent hlicodales.

Dcoupons, par imagination, dans le

rouleau des disques minces et danschaque disque un anneau comme le

montre la figure ci-dessous:

20

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21/88

20

d dzd

r

d est langle de cisaillement et dest langle de torsion.

21

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22/88

21

dz

drd)d(tg

=r.d est le dplacement tangentiel dela face suprieure du disque mincepar rapport la face infrieure.

Dcoupons, par imagination, dans ledisque mince, un anneau de rayon

intrieurret de rayon extrieurr + dr.

22

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23/88

22

dz

dd r

r+dr

Considrons, dans cet anneau, un

petit cube qui priori subit une

dformation de cisaillement pure.

d23

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24/88

dzd

d r.ddr23

z

z

= z= est lacontrainte de

cisaillement.

24

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25/88

/2

/2

24

Les expriences montrent que dans la

zone de llasticit, les grandeurs etsont lies par une loi linaire:

25

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26/88

25.G

G est le module de cisaillement(ou module de llasticittransversale).

dz

dGrd.G.G

=Lemoment , par rapport laxe du

rouleau, de la force orthoradiale

,due cette contrainte est:

26

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27/88

26

k.drddz

dr.G

k.drrd.r

eds.erMd

3

r

=

Le moment de torsion, par rapport

laxe du rouleau, exerc sur une

section transversale est:

27

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28/88

k.

dz

d

32

GD)z(M

4 =27Dest lediamtre du rouleau dessai.

Dans le cas d unmatriau homogne,langle de torsion varie de faon

linaire en fonction de z, ce qui

donne:

Mk.

L

)0z()Lz(

32

GD)z(M t

4 ==

28

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29/88

28

ML32

GD)z(M t0

4 ==

L tant la longueur du rouleau.

Si nous dsignons par0 langle detorsion de la barred essai, alors on a:

L32

GD4 Est le coefficient derigidit de la barre en

torsion.

29

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30/88

29Remarques

Dans le cas de la dformation decisaillement pur, la contrainte

maximale est donne par:

L2

DG.G 0maxmax

16

D

L23

DGM max

30

4

t ==

30

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31/88

30les moments de torsion admissibles

dans le domaine de l lasticit

linaire sont donns par l ingalitsuivante:

16

DM e

3t

e est la contrainte de cisaillementcorrespondant la limite de llasticit

linaire ou seuil de proportionalit.

31 L t d t i d t

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32/88

2/D

IM e

zzet

31 Le momentde torsion correspondant la limite de llasticit peut scrire

aussi:

Izzest le momentquadratique de lasection par rapport son axe (Oz):

32

DdSrI

4

S

2zz

=

32

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33/88

321.c Essai de flexion simple.

Etudions leffet dun essai de flexionsur une longue barre mtallique

suppos homogne.(En pratique on

peut utiliser aussi une barreprismatique en caoutchouc).

La flexion de cette barre dessai peuttre obtenue, par exemple, en

appliquant un chargement transversal

surlune de ses extrmits.

33P d l df ti d

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34/88

33 Pour comprendre la dformation dece matriau, on ralise sur sa

surface latrale un trac sous formedun treillis de lignes orthogonales.

Mchoires

dun tau

34

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35/88

Ligne

moyenne

Etat non dform

de la surface

latrale

34

Etat dform

de la surface

latrale

35

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36/88

35Aprs dformation, les couches

suprieures sallongent tandis quecelles dubas se resserrent. La couche

moyenne conserve pratiquement sa

longueur.

Dcoupons, par imagination, dans la

barre, un tronon de longueur

suffisamment petite.

36dL

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37/88

36

Le segment infinitsimal sur la ligne

moyenne conserve sa longueurdL.

d2d

dL

dA

B

37

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38/88

Remarque: la section transversale

reste plane. Par consquent le

raccourcissement et lallongementdes couches sont proportionnelles

la distance transversale de ces

couches mesure partir de la lignemoyenne.

37

On peut supposer que la contraintenormale dans chaque couche est

proportionnelle son allongement ou

son raccourcissement.

380 z

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39/88

38

e

z 0

o est la contrainte normale auniveau de la couche la plus loigne

de la couche neutre.

0 zO(z) 2e

A

B

O Ox

39

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40/88

39Remarque: leffortnormal exerc sur

la section transversale AB est nul.

Calculons le moment de flexion

exerc sur la section transversale AB.

0dz

e

z.bF

ez

ez

0 ==

b dsigne la largeur de la section

transversale.

40

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41/88

40

3

eb2

0dydzez

FzdM

20

e

ez

20

ez

ez

==

=

=

41

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42/88

Ixx est le moment quadratique de lasection transversale par rapport

son axe de rotation.

I

e

M xx0=

3

be2

dydzzI

3e

e

2

xx =

42

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43/88

Remarque: Dans le cas de la

dformation de flexion pure, le momentde flexion est proportionnelle la

contrainte normale maximale.

les moments de flexion admissibles

dans le domaine de llasticit linaire

sont donns parlingalit suivante:

limitexxitelim

f MI

e

M =

43

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44/88

La quantit moment de

rsistance de la section

transversale.e

I xx

Remarque: dans le cas de lexemple

tudi, le moment de flexion est le

mme dans toutes les sectionstransversales de la barre (ou poutre).

Expression de la flche44

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45/88

Expression de la flche.

45

d

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46/88

dy

dztg

dydyzdd2

2

d2d

2

2

0

dy

zdEe

dy

ed2E =

46

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47/88

xx

0

IeM

= 2

2

xxdy

zd

EIM =Le moment de flexion est le mmedans toutes les sections transversales

de la barre (ou poutre), puisque leffet

de la pesanteur est nglig et que la

barre nest sollicite quen ses

extrmits par un couple.

47

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48/88

xx

ext2

2

EI

M

dy

zd =Admettons que l'extrmit (y=0) estencastre et que la section est

constante.

F

-F

48Md

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49/88

2

xx

exty

EI

M

2

1)y(z =

2

xx

extmax L

EI

M

2

1z =

La flche maximale correspond dans

ce cas la valeur (y=L), soit:

y

EI

M

dy

dz

xx

ext

y

=

49 2 Equation dquilibre dune

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50/88

2 Equation d quilibre d une

poutre en lasticit linaire.

2-1Torseur des efforts intrieurs

S0(G0)S1(G1)S(G)

Ligne moyennePoutre curviligne

Dcoupons par imagination la50

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51/88

Dcoupons par imagination la

poutre suivant la section S(G).

S0(G0)S1(G1)

S+(G)

S-(G)La partie droite exerce sur la partie

gauche des efforts intrieurs

caractriss par le torseur:

51

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52/88

)G(M),G(R)S(int

=

Daprs le principe de laction et de la

raction, La partie gauche exerce sur

la partie droite des efforts intrieurs

opposs caractriss par le torseur:

)G(M),G(R)S(int

52

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53/88

)G(M)G(M)G(M

)G(T)G(N)G(R)S(

tf

int

=

Dsignons par le vecteur tangent laligne moyenne au point G orient de la

partie gauche vers la partie droite. Le

torseur int(S+)scrit encore:

53

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54/88

)G()G(N)G()G()G(R)G(N

=

)G(N)G(R)G(T=

Effort normal

Effort tranchant

54

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55/88

)G(tM)G()G()G(M)G(tM

=

Moment de torsion

)G(fM)G(M)G(fM=

Moment de flexion

552 2 Equation dquilibre vrifie

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56/88

S(G)

S(G )ds

Tronon de poutre

2-2Equation dquilibre vrifie

par le Torseur des efforts

intrieurs

Labscisse curviligne du centre de56

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57/88

Cette tranche lmentaire est en

quilibre statique sous leffet de trois

torseurs:

L abscisse curviligne du centre de

masse G est donne au premier

ordre par:

sd)G(s)G(s'

)G(M),G(R))G(S(int

57

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58/88

ds

dsMd)G(M

ds

ds

Rd)G(R

))G(S(

G

G'int

=

)G(m,)G(ext

Torseurparunit de

longueur ds

Exprimons le torseur des efforts58

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59/88

)G(RGGdsds

Md)G(M

dsds

Rd

)G(R

))G(S(

'

G

G

int

=

Exprimons le torseur des efforts

intrieurs appliqu sur S+(G) au

point G:

Lquilibre du tronon de poutre59

7/29/2019 222222Cours de RDM

60/88

L quilibre du tronon de poutre

se traduit donc par:

Ods)G(m)G(Rdsdsds

Md

Odsdsds

Rd

G

G

=

=

Soit encore par:60

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61/88

Soit encore par:

OmRds

Md

Ods

Rd

=

=

2-3 Cas dune poutre prismatique

z61

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62/88

x

y

0z

dy

zdT

0ydy

dN

0xdyxdT

===

0mT

dy

dM

0mdy

dM

0mTdydM

zxz

y

y

xzx

==

=

3 Quelques applications62

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63/88

3 Quelques applications.

3-1 Dformation longitudinaledune barre mtallique sous

leffet de son poids.

m3L

ms8.9g

Kg/cm10x1.2E

cm/Kg0078.0

1-

26

acier

3acier

= ==O

y

gL

63Daprs lquation dquilibre

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64/88

D aprs l quation d quilibre

vrifie par l effort normal N, on a:

0dy

dN y = 0dyg.dmdydN = )yL(Sg)y(N

mgR(O))0(N)0(N

LSg)0(N)0(N

64Daprs la loi de Hooke on a:

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65/88

D aprs la loi de Hooke, on a:

)yL(gSdy

dv

ESN

)2y

L(yE

g

)y(v = E2gLL)L(v

2

=m1630L

653-2 Dformation longitudinale de

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66/88

3-2 Dformation longitudinale de

deux barreaux mtalliques

en srie.O

y

gL1

L2

F

acier

bronze

66Distribution de leffort normal dans

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67/88

0gSdydN 11 =Dans le barreauDans le barreau

0gSdydN 22 =CgSy)y(N 111 CgSy)y(N 222 F)LL(N 212 =

Distribution de l effort normal dans

les barreaux et .

)L(N)L(N 1211 = FL)yL(gS)y(N 22111

67FyLLgS)y(N 2122

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68/88

FyLLgS)y(N 2122 Distribution de la contraintenormale dans les barreaux et .

SF

L)yL(gS

)y(N

)y( 22111

1

S

FyLLg

S

)y(N)y(

212

2

2

Champ de dplacement dans les

barreaux

et

.

68 dv

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69/88

SFL)yL(g

dy

dvE)y(

2211

11

=

Ay2gy

SF)LL(g(y)vE 121221111

y2g

yS

F

)LL(g(y)vE

21

221111

L

S

F)L

2

L(g)L(vE 122

11111

Fdv269

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70/88

SFyLLgdydvE)y( 212222 Ay

2

g-y

S

F)LL(g)y(vE 2

2221222

)L(v)L(v 1211 =

S

F)

2

L2L(g

E

LE

S

F)

2

L2L(gLA

2211

1

12

21

212

Allongements des barreaux et70

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71/88

Allongements des barreaux et .

Allongementdu barreau )L(vL 111=Allongement

du barreau )L(v)LL(v)L(v)LL(vL

11212

122122

26acier

3acier

Kg/cm10x1.2E

cm/Kg0078.0

==

25bronze

3bronze

Kg/cm10x9E

cm/Kg008.0

==

Application numrique

212

m2L;m1L;50cmS71

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72/88

1-5

21

ms8.9g;N10x5F

m2L;m1L;50cmS

==

3-3 Flexion dune barre sous leffetdun chargement uniforme.

mm0.47L1= mm0.23L2=

z

yO A

720

dTz

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73/88

==0T

dydM

0dy

d

zx

zz

0z Ly0;CyT 0z

Remarque: Aux points dappui leffort

tranchant subit une discontinuit donnes par:)O(R)o(T)o(T zz )A(R)L(T)L(T zz

730)L(T;0)o(T

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74/88

0)L(T;0)o(T zz =)A(R)L(T)O(R)o(T

z

z =

Lquilibreglobal de la barre se traduit par:

=

=

=

=

0)kdy(OG)A(ROA

0)kdy()A(R)O(R

L

0y

L

0y

74L)A(R)O(R

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75/88

==

0

2

L)A(LR

L)A(R)O(R

2

L)A(R)O(R

=

2

L

)L(T

2

L)o(T

z

z

=

L/2y0;

2

Ly)y(T(y)T zz

75 LyT

dMx

7/29/2019 222222Cours de RDM

76/88

2yT

dyz

x Ly

2yMx 0)L(M:car x =

Expression de la flche, de la ligne

moyenne, en fonction de y.

Ly2

y

dy

zdEIM

2

2

x 1

L

y2

L

y

EI24

yL)y(z

233

Diagramme de leffort tranchant76

7/29/2019 222222Cours de RDM

77/88

Diagramme de l effort tranchant

Tz

2Ly =

Ly =y

-L/2

L/2

O

77Diagramme du moment de flexion

7/29/2019 222222Cours de RDM

78/88

La section correspondant la valeur

maximale du moment est appele

section dangereuse.

Diagramme du moment de flexion

Mx

2

Ly = Ly =

Mmax=L2/8

Oy

78

7/29/2019 222222Cours de RDM

79/88

3-4 Flexion dune barre sous leffet

dun chargement concentr.

z

y

O

Amg

Y=L/2

Y=L Ox

On peut modliser le problme79

7/29/2019 222222Cours de RDM

80/88

On peut modliser le problme

prcdent par le problme suivant:

z

yO

Amg

Y=L/2 Y=L

Ox

)O(M

)o(R

)L(M

)L(R

0dy

dz

dy

dz)L(z)o(z

Ly0y

==

= =

800

dTz

7/29/2019 222222Cours de RDM

81/88

L/2y0pour;

0Tdy

dM

0dy

zx

z

=

=

L/2y0;)(oTtetanconsT zz Remarque: Au milieu de la barre, leffort

tranchant subit une discontinuit donne par:mg)

2

L(T)

2

L(T zz =

81)0(R)o(T

7/29/2019 222222Cours de RDM

82/88

)0(R)o(T z =)A(R)L(T

)O(R)o(T

z

z =

Lquilibreglobal de la barre se traduit par:

==

0gmj2

L)A(ROA

0gm)A(R)O(R

82 =mg)A(R)O(R

7/29/2019 222222Cours de RDM

83/88

= 0

2

Lmg)A(LR

2

mg)A(R)O(R =

2

mg

)L(T

2

mg)o(T

z

z

=

L/2y0;

2

mg)y(T(y)T zz

83 mgT

dMx

7/29/2019 222222Cours de RDM

84/88

2T

dyz =

Expression de la flche, de la lignemoyenne, en fonction de y et pour0 y L/2.

2

mg

dy

zdEI

dy

dM

3

3x =

322

13

cycycyEI12

mg)y(z

84 0)o(z =

7/29/2019 222222Cours de RDM

85/88

0

dy

dz

0

dy

dz

2/Ly

0y

=

=

=

=

4

L3yy

EI12

mg)y(z

2

2Ly24mgdy

zdEI)y(M

2

2

x

85

7/29/2019 222222Cours de RDM

86/88

Expression de la flche, de la lignemoyenne, en fonction de y et pourL/2 y L.

48L8 yL316Ly312yEImg)y(z3223

2L3y24mg)y(Mx

Diagramme de leffort tranchant86

7/29/2019 222222Cours de RDM

87/88

g

Tz

2

Ly =

Ly = y

-mg/2

mg/2

O

87 Diagramme du moment de flexion

7/29/2019 222222Cours de RDM

88/88

Le moment de flexion est donc maximalau niveau des encastrements et au milieude la barre qui correspondent auxsections dangereuses

Mx

2

L

y =Ly =

mgL/8

O

y-mgL/8