Cours - Mecanique - RDM - BTS

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B.T.S. RESISTANCE des MATERIAUX Cours_Rdm.d oc Maintenance Industrielle cours 1 / 29 I. INTRODUCTION ET HYPOTHESES 1. Buts de la résistance des matériaux La résistance des matériaux a trois objectifs principaux : la connaissance des caractéristiques mécaniques des matériaux. (comportement sous l’effet d’une action mécanique) l'étude de la résistance des pièces mécaniques. (résistance ou rupture) l'étude de la déformation des pièces mécaniques. Ces études permettent de choisir le matériau et les dimensions d'une pièce mécanique en fonction des conditions de déformation et de résistance requises. 2. Hypothèses 2.1. Le matériau Continuité : la matière est supposée continue car son aspect moléculaire est trop "fin" pour l'étude qui nous intéresse. Homogénéité : on supposera que tous les éléments de la matière, aussi petits soient ils, sont identiques. (hypothèse non applicable pour le béton ou le bois) Isotropie : on supposera qu'en tout point et dans toutes les directions, la matière a les mêmes propriétés mécaniques. (hypothèse non applicable pour le bois ou les matériaux composites) 2.2. La disposition de la matière La RDM étudie des pièces dont les formes sont relativement simples. Ces pièces sont désignées sous le terme de « poutres ». Poutre : on appelle poutre (voir fig.) un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de surface G décrit une courbe plane (C) appelée ligne moyenne.

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    Maintenance Industrielle cours 1 / 29 I. INTRODUCTION ET HYPOTHESES 1. Buts de la rsistance des matriaux La rsistance des matriaux a trois objectifs principaux :

    la connaissance des caractristiques mcaniques des matriaux. (comportement sous leffet dune action mcanique)

    l'tude de la rsistance des pices mcaniques. (rsistance ou rupture)

    l'tude de la dformation des pices mcaniques.

    Ces tudes permettent de choisir le matriau et les dimensions d'une pice mcanique en fonction des conditions de dformation et de rsistance requises.

    2. Hypothses 2.1. Le matriau

    Continuit : la matire est suppose continue car son aspect molculaire est trop "fin" pour l'tude qui nous intresse.

    Homognit : on supposera que tous les lments de la matire, aussi petits soient ils, sont identiques. (hypothse non applicable pour le bton ou le bois)

    Isotropie : on supposera qu'en tout point et dans toutes les directions, la matire a les mmes proprits mcaniques. (hypothse non applicable pour le bois ou les matriaux composites)

    2.2. La disposition de la matire

    La RDM tudie des pices dont les formes sont relativement simples. Ces pices sont dsignes sous le terme de poutres .

    Poutre : on appelle poutre (voir fig.) un solide engendr par une surface

    plane (S) dont le centre de surface G dcrit une courbe plane (C) appele ligne moyenne.

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    Maintenance Industrielle cours 2 / 29

    Les caractristiques de la poutre sont :

    ligne moyenne droite ou grand rayon de courbure. section droite (S) constante ou variant progressivement. grande longueur par rapport aux dimensions transversales. existence d'un plan de symtrie.

    G

    G

    G

    (C) Ligne moyenne

    (S)

    2.3. Les forces extrieures

    Plan de symtrie : les forces extrieures seront situes dans le plan de symtrie de la poutre ou alors disposes symtriquement par rapport ce plan.

    Types d'actions mcaniques extrieures : deux types d'actions mcaniques peuvent s'exercer sur la poutre (voir fig.) :

    charges concentres (

    F1 ou moment

    MC ) charges rparties p sur DE. (exprimes en N/m).

    F1Mc

    CA B

    D E

    p

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    Maintenance Industrielle cours 3 / 29 Les dformations tant petites devant les dimensions de la poutre, les actions s'exerant sur

    celle-ci seront calcules partir du principe fondamental de la statique. Les supports des forces seront eux considrs comme constants.

    2.4. Les dformations

    Navier & Bernoulli : Les sections planes normales aux

    fibres avant dformation demeurent planes et normales aux fibres aprs dformation.

    Barr de St Venan : Les rsultats obtenus par la RDM

    ne s'appliquent valablement qu' une distance suffisamment loigne de la rgion d'application des efforts concentrs.

    II. TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION 1. Dfinition Soit une poutre (E) en quilibre sous l'action de n actions extrieures. On associe cette poutre un repre R (x,y,z) dont l'axe x concide avec la ligne moyenne de la poutre. Coupons la poutre (E) par un plan (P) orthogonal sa ligne moyenne, situ l'abscisse x. On dfinit ainsi deux portions de poutre (E1) et (E2).

    X

    Y

    Z

    G

    x

    E1 E2

    O A

    A'

    F

    O A

    fig.4

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    Maintenance Industrielle cours 4 / 29 (E) tant en quilibre, on peut crire : { } { }E E = 0 (E1) tant en quilibre, on peut crire : { } { } { }E E E E + =1 2 1 0 (E2) tant en quilibre, on peut crire : { } { } { }E E E E + =2 1 2 0 On en dduit :

    { } { } { }E E E E E E2 1 1 2 = =

    { }E E2 1 est le torseur qui traduit l'action de contact de (E2) sur (E1). Cette action est due aux efforts de cohsion qui permettent la poutre de ne pas se "disloquer" sous l'effet d'actions extrieures. La RDM vise en particulier vrifier qu'en aucun point de la poutre les efforts de cohsion "transmettre" ne soient suprieurs aux capacits du matriau. On note :

    { } { } { }Cohsion E E E E= = 2 1

    2. Composantes du torseur de cohsion Dans le torseur de cohsion, on peut faire apparatre la rsultante et le moment qui dpendent de la position de la section (x).

    { }Cohsion R xM x

    G G

    =

    ( )( )

    2.1. La rsultante

    RNTyTz

    R

    N : effort normal, projection de R sur la normale extrieure (x). Ty et Tz : efforts tranchants, projections de R sur le plan de section droite.

    G N

    Ty

    Tz

    R

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    Maintenance Industrielle cours 5 / 29

    2.2. Le moment rsultant

    De la mme manire, on retrouve pour les moments, 3 composantes :

    MT : moment de torsion, projection du moment sur la normale extrieure. Mfy et Mfz : moments de flexion, projection du moment sur le plan de

    section droite.

    soit :

    MMtMfyMfz

    G

    R

    Toutes ces composantes N, Ty, Tz, MT, Mfy et Mfz dpendent de la position de la section droite (x). On peut donc reprsenter leurs volutions laide de diagrammes.

    2.3. Les sollicitations Suivant les lments de rduction non-nuls du torseur de cohsion (N, Ty, Tz, MT, Mfy et Mfz ) on peut alors identifier le type de sollicitation que subit la poutre, savoir :

    Composantes Sollicitation N > 0 Extension (traction) < 0 Compression

    Ty Cisaillement Tz Mt Torsion

    Mfy Flexion Mfz

    Lorsque lon a une seule de ces sollicitations on parle de sollicitation simple, sinon on a un problme de sollicitations composes.

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    Maintenance Industrielle cours 6 / 29 III. EXTENSION - COMPRESSION 3.1. Extension 3.1.1 Dfinition

    Une poutre est sollicite l'extension simple lorsqu'elle est soumise deux forces directement opposes, appliques au centre de surface des sections extrmes et qui tendent l'allonger.

    BBAA

    G

    RAA

    (S)

    x

    y

    z

    R

    Les lments de rduction en G du torseur des efforts de cohsion s'expriment par :

    { }CohsionN

    G x y z

    =

    00 00 0

    ( , , )

    avec N > 0

    3.1.2 Essai d'extension

    Une prouvette en acier est sollicite l'extension par une machine d'essai, qui permet de dterminer l'allongement de l'prouvette en fonction de l'effort qui lui est appliqu.

    A B

    l

    A' B'l + l

    F F

    0

    0

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    Maintenance Industrielle cours 7 / 29

    On obtient alors la courbe dessai ci-dessous

    F(N)

    l (mm)O

    A B

    C

    D

    Analyse de la courbe obtenue

    Zone OA : c'est la zone des dformations lastiques. Si l'on rduit la valeur de F jusqu' une valeur nulle, l'prouvette retrouve sa longueur initiale. Dans cette zone, l'allongement est proportionnel l'effort d'extension. Des essais effectus avec des prouvettes de dimensions diffrentes permettent de constater que pour un mme matriau, l'allongement unitaire( l / l0) est proportionnel l'effort unitaire (F / S0). Les sections droites et planes de l'prouvette restent droites et planes pendant l'essai.

    Zone ABCD : c'est la zone des dformations permanentes. Si l'on rduit la valeur de F jusqu' une valeur nulle, l'prouvette ne retrouve pas sa longueur initiale.

    On ne s'intressera (pour linstant) qu' la zone des dformations lastiques. 3.1.3 Dformations lastiques

    La proprit constate ci-dessus a permis pour diffrents matriaux d'tablir la relation :

    NS

    El

    l=

    Units : F en Newton S en mm2

    E en MPa (N/mm2)

    l et l en mm.

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    Maintenance Industrielle cours 8 / 29

    E est une caractristique du matriau appele module d'lasticit longitudinal ou module de Young.

    Matriau Fontes Aciers Cuivre Aluminium Tungstne E (MPa) 60000160000 200000 120000 70000 400000

    Lors de cet essai, on met aussi en vidence une autre caractristique de llasticit ; il existe un rapport constant entre la contraction relative transversale (d / d) et l'allongement relatif longitudinal (l / l). On peut crire :

    dd

    ll

    =

    Units : sans unit et l en mm.

    est aussi une caractristique du matriau (coefficient de Poisson), il est de l'ordre de 0,3 pour les mtaux.

    3.1.4 Contraintes

    Soit (E1) le tronon de la poutre (E) issu de sa coupure par un plan orthogonal sa ligne moyenne .

    F

    E1

    x

    y

    z

    G

    (S)

    R

    R=N.x

    fig.8

    Le tronon (E1) est en quilibre sous l'action de F et des efforts de cohsion dans la section droite (S). Soit S l'aire de la section droite (S). On dfinit la contrainte dans la section droite (S) par la relation :

    =NS

    avec : contrainte normale d'extension ( > 0) en MPa. N : effort normal d'extension en Newton. S : aire de la section droite (S) en mm2.

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    Maintenance Industrielle cours 9 / 29

    La contrainte permet de "neutraliser" la surface et par consquent de comparer des prouvettes de sections diffrentes.

    3.1.5 Loi de HOOKE

    Nous avons dj vu que = NS

    et que FS

    E ll

    =

    , on peut en dduire que :

    = =El

    lE

    .

    ll

    est l'allongement lastique unitaire suivant x, il gnralement not

    Units : en Mpa E en Mpa sans unit

    3.1.6 Caractristiques mcaniques d'un matriau

    Contrainte limite lastique en extension e C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine lastique, appele aussi limite d'lasticit Re. Pour l'acier, cette valeur est voisine de 300 MPa.

    Contrainte limite de rupture en extension r C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'prouvette, appele aussi nomme rsistance la traction R. Pour l'acier, cette valeur est voisine de 480 MPa.

    Allongement A%

    A l ll

    % *= 00

    100

    avec : l0 : longueur initiale de l'prouvette. l : longueur de l'prouvette sa rupture. Pour l'acier, on constate des valeurs de A% voisines de 20%.

    loi de Hooke

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    3.1.7 Condition de rsistance

    Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester infrieure une valeur limite appele contrainte pratique l'extension pe. On a :

    pee

    s=

    s est un coefficient de scurit qui varie de 1,1 10 selon les domaines d'application. La condition de rsistance traduit simplement le fait que la contrainte relle ne doit pas dpasser le seuil prcdent, soit :

    relle peNS

    = <

    3.1.8 Influence des variations de section

    Si le solide tudi prsente de fortes variations de sections, les relations prcdentes ne s'appliquent plus. On dit qu'il y a concentration de contraintes. On doit alors pondrer nos rsultats laide dun coefficient k, en posant :

    max = k.

    k est le coefficient de concentration de contraintes Exemples de cas de concentration de contrainte :

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    Maintenance Industrielle cours 11 / 29 3.2. Compression 3.2.1 Dfinition

    Une poutre est sollicite la compression simple lorsqu'elle est soumise deux forces directement opposes, appliques au centre de surface des sections extrmes et qui tendent la raccourcir .

    BB

    AA

    G

    RAA

    (S)

    x

    y

    z

    R

    Les lments de rduction en G du torseur des efforts de cohsion s'expriment par :

    { }CohsionN

    G x y z

    =

    00 00 0

    ( , , )

    avec N < 0

    3.2.2 Essai de compression

    Une prouvette semblable celle utilise pour l'essai d'extension en acier est sollicite la compression par une machine d'essai.

    F(N)

    l (mm)O

    A

    B

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    Maintenance Industrielle cours 12 / 29 Analyse de la courbe obtenue

    Zone OA : c'est la zone des dformations lastiques. Si l'on rduit la valeur de F jusqu' une valeur nulle, l'prouvette retrouve sa longueur initiale. Dans cette zone, l'allongement est proportionnel l'effort de compression. Des essais effectus avec des prouvettes de dimensions diffrentes permettent de constater que pour un mme matriau, l'allongement unitaire( l/l0) est proportionnel l'effort unitaire (F/S0). Les sections droites et planes restent droites et planes pendant l'essai.

    Zone AB : c'est la zone des dformations permanentes. Si l'on rduit la valeur de F jusqu' une valeur nulle, l'prouvette ne retrouve pas sa longueur initiale.

    3.2.3 Dformations lastiques La proprit constate ci-dessus a permis pour diffrents matriaux d'tablir la relation :

    FS

    E ll

    =

    avec l < 0

    Pour les aciers, le module d'lasticit longitudinal E est le mme en compression qu'en extension. 3.2.4 Contraintes On dfinit la contrainte dans la section droite (S) par la relation :

    = NS

    avec : < 0 car N < 0

    3.2.5 Loi de HOOKE

    Nous avons dj vu que = NS

    et que FS

    E ll

    =

    , on peut en dduire que :

    = =El

    lE

    .

    ll

    est le raccourcissement lastique unitaire suivant x, il gnralement not

    loi de Hooke

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    Maintenance Industrielle cours 13 / 29 3.2.6 Condition de rsistance

    Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester infrieure une valeur limite appele contrainte pratique l'extension pe. On a :

    pee

    s=

    s est un coefficient de scurit qui varie de 1,1 10 selon les domaines d'application. La condition de rsistance traduit simplement le fait que la contrainte relle ne doit pas dpasser le seuil prcdent, soit :

    r elle pe

    NS

    = <

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    Maintenance Industrielle cours 14 / 29 IV. CISAILLEMENT 4.1. Dfinition Une poutre subit une sollicitation de cisaillement simple lorsqu'elle est soumise deux systmes d'action de liaison qui se rduisent dans un plan (P) perpendiculaire la ligne moyenne deux forces directement opposes.

    (E) (P)

    F

    F'

    A

    B Sous l'action de ces deux forces la poutre tend se sparer en deux tronons E1 et E2 glissant l'un par rapport l'autre dans le plan de section droite (P).

    F

    F'

    E1

    E2

    (P)

    (E1) (S)

    x

    y

    z G

    T

    Les lments de rduction en G du torseur des efforts de cohsion s'expriment par :

    { }Coh sion TyTz

    G x y z

    =

    0 000

    ( , , )

    remarques :

    on peut toujours remplacer les composantes d'effort tranchant (Ty et Tz) par une unique composante T en ralisant un changement de repre.

    le cisaillement pur n'existe pas, il subsiste toujours de la flexion...

    Ty

    Tz T

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    Maintenance Industrielle cours 15 / 29 4.2 Essai de cisaillement Il est physiquement impossible de raliser du cisaillement pur au sens de la dfinition prcdente. Les essais et rsultats qui suivent permettent toutefois de rendre compte des actions tangentielles dans une section droite et serviront ainsi dans le calcul de pices soumises au cisaillement. On se gardera cependant le droit d'adopter des coefficients de scurits majors pour tenir compte de l'imperfection de la modlisation. Considrons une poutre (E) parfaitement encastre et appliquons-lui un effort de cisaillement

    F uniformment rparti dans le plan (P) de la section droite (S) distante de x du plan (S0) d'encastrement (voir fig.). On se rapproche des conditions du cisaillement rel, condition de vrifier que x

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    Maintenance Industrielle cours 16 / 29 Analyse de la courbe obtenue F(N)

    y (mmO

    A

    B

    C

    (S0)

    (S)

    y x

    F

    Zone OA : c'est la zone des dformations lastiques. Si l'on rduit la valeur de F jusqu' une valeur nulle, l'prouvette retrouve sa forme initiale.

    Zone ABC : c'est la zone des dformations permanentes. Si l'on rduit la valeur de F jusqu' une valeur nulle, l'prouvette ne retrouve pas sa forme initiale. (dformations plastiques)

    4.3 Dformations lastiques L'essai prcdent a permis pour diffrents matriaux d'tablir la relation :

    FS

    G yx

    =

    Units : F en Newton S en mm2 G en MPa y et x en mm.

    G est une caractristique appele module d'lasticit transversal ou module de Coulomb.

    Matriau Fontes Aciers Laiton Duralumin Plexiglas G (MPa) 40000 80000 34000 32000 11000

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    Maintenance Industrielle cours 17 / 29 4.4 Contraintes On dfinit la contrainte dans une section droite (S) par la relation :

    =TS

    avec : : contrainte tangentielle de cisaillement en MPa (valeur moyenne). T : effort tranchant en Newton. S : aire de la section droite (S) en mm2. 4.5 Relation entre contrainte et dformation

    Nous avons dj vu que = TS

    , que FS

    G yx

    =

    et nous savons que F=T.

    On en dduit que :

    = =G yx

    G

    . .

    =

    yx

    est appel glissement relatif.

    4.6 Caractristiques mcaniques d'un matriau

    Contrainte tangentielle limite lastique e C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine lastique. Pour l'acier, cette valeur est comprise entre 250 MPa et 600 MPa.

    Contrainte tangentielle de rupture r

    C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'prouvette.

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    Maintenance Industrielle cours 18 / 29 4.7 Condition de rsistance Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester infrieure une valeur limite appele contrainte pratique de cisaillement p. On a :

    p

    e

    s=

    s est un coefficient de scurit qui varie de 1,1 10 selon les domaines d'application. La condition de rsistance traduit simplement le fait que la contrainte relle ne doit pas dpasser le seuil prcdent, soit :

    r elle p

    TS

    = <

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    Maintenance Industrielle cours 19 / 29 V. MOMENTS QUADRATIQUES 5.1. Moment quadratique d'une surface plane par rapport un axe de son plan Dfinition Soit (S) une surface plane et un repre orthonorm (O,x,y) associ. Le moment quadratique lmentaire de S par rapport (O,x) , not IOx est dfini par

    IOx = y2 . S et pour l'ensemble de la surface (S) :

    Iox = ( )S y2 . S

    Remarques : L'unit de moment quadratique est le mm4 (ou le m4) Un moment quadratique est toujours positif. Les moments quadratiques des surfaces "simples" sont donns la suite du

    cours.

    5.2.Moment quadratique d'une surface plane par rapport a un axe normal. Moment quadratique polaire.

    Dfinition Soit (S) une surface plane et un repre orthonorm (O,

    x y z, , ) associ. Le moment quadratique polaire lmentaire de S par rapport (O,z) perpendiculaire en O au plan de la figure et not IO est dfini par : IO = 2 . S et pour l'ensemble de la surface (S) :

    O(S)S

    M

    y

    y

    x

    O (S)

    SM

    y

    x

    z

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    Maintenance Industrielle cours 20 / 29

    Io = ( )S 2 . S

    Proprit : Considrons le moment quadratique polaire IO de la surface (S) par rapport (O,

    z) perpendiculaire en O son plan.

    Notons : IO = ( )S 2.S

    Soient x et y les coordonnes du point M. On a : 2 = x2 + y2

    On a donc : IO = ( )S 2.S =

    ( )S x2.S +

    ( )S y2.S

    Soit : 5.3. Moments quadratiques utiles

    O (S)

    SM

    y

    x

    z

    yx

    IO = IOx + IOy

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    Maintenance Industrielle cours 21 / 29

    bh

    G x

    y

    a

    a G x

    y

    G x

    yd

    G

    y dD

    x

    IGX IGY IG IO=

    bh12

    3 hb12

    3 bh12

    2( b + h )

    2

    a12

    4 a12

    4 a 6

    4

    d64

    4 d64

    4 d32

    4

    d )64

    4 (D4

    - d )64

    4 (D4

    - d )324 (D

    4-

    VI. TORSION 6.1 Dfinition Une poutre est sollicite en torsion simple lorsqu'elle est soumise ses deux extrmits des liaisons dont les torseurs associs se rduisent deux torseurs couples opposs dont les moments sont parallles l'axe du cylindre. (on suppose la poutre comme cylindrique et de section circulaire constante)

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    Maintenance Industrielle cours 22 / 29

    MG2G2G1MG1

    G

    (S)

    x

    y

    z

    R

    MG1MG

    G1

    Les lments de rduction en G du torseur des efforts de cohsion s'expriment par :

    { }Coh sionMt

    G x y z

    =

    00 00 0

    ( , , )

    6.2 Essai de torsion Un dispositif permet d'effectuer un essai de torsion sur une poutre encastre son extrmit G1 et soumise un torseur couple son extrmit G2. Cette machine permet de tracer le graphe du moment appliqu en G2 en fonction de l'angle de rotation d'une section droite.

    MG2G2G1 G

    x(S1)

    (S)(S2)

    M1 M M2

    M'

    M'2

    GM

    M'

    On note lors de l'essai que, pour une mme valeur du moment, l'angle croit de faon linaire avec x, l'abscisse de la section droite tudie : = k.x

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    Maintenance Industrielle cours 23 / 29

    MG2 (mN))

    O

    A

    B

    Analyse de la courbe obtenue

    Zone OA : c'est la zone des dformations lastiques. Si l'on rduit la valeur du moment jusqu' une valeur nulle, l'prouvette retrouve sa forme initiale. Dans cette zone, l'angle de torsion est proportionnel au couple appliqu. Les sections droites et planes de l'prouvette restent droites et planes pendant l'essai.

    Zone AB : c'est la zone des dformations permanentes.

    L'prouvette ne retrouve pas sa forme initiale aprs dformation. 6.3 Dformations lastiques

    La proprit constate ci-dessus a permis d'tablir la relation : = Mt xG I

    .. 0

    Units : Mt moment de torsion en N.mm G module d'lasticit transversal en MPa en radian Io moment quadratique polaire de la section (S) en mm4

    En dfinissant l'angle unitaire de torsion par : = / x (exprim en rad/mm), notre relation devient alors :

    Mt G IO

    = . .

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    Maintenance Industrielle cours 24 / 29 6.4 Contraintes

    G

    (S)

    x

    y

    z

    R

    MG1MG

    G1

    (E1)

    G

    (S)

    Max

    MM

    v

    Soit M un point de la section droite (S) de la poutre situ une distance du centre G de la section (voir ci-dessus). On dfinit la contrainte de torsion en M par la relation :

    M

    O

    MtI

    =

    avec : contrainte tangentielle en MPa. Mt moment de torsion en N.mm Io moment quadratique polaire de la section (S) en mm4 Contrairement aux phnomnes tudis jusqu' maintenant, la contrainte varie en fonction du point choisi dans une section droite. Plus ce point est loign du centre de la section, plus la contrainte y sera importante.

    La contrainte est maximale pour = maxi , soit :

    M

    O

    i

    MtI

    =

    max

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    Maintenance Industrielle cours 25 / 29

    6.5 Conditions de rsistance Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester infrieure une valeur limite appele contrainte pratique p (voisine de la contrainte pratique de cisaillement). On a :

    p

    e

    s=

    s est un coefficient de scurit. La condition de rsistance traduit simplement le fait que la contrainte relle ne doit pas dpasser le seuil prcdent, soit :

    r elle

    O

    i

    p

    MtI

    =