Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger Rapport des Travaux Pratiques Rsistance des matriaux Ralis par :TOUHAMI ALAMI Nouha LALAMI KenzaBOUHID YassineEncadr par : RAKOTONIRINA Manoa Justin Mr SARSRI Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 2 Table des matires : Manipulations Pratiques :.3 Traction simple4 Flexion simple..10 Dformation dans une structure19 Utilisation de RDM 6 :28 Flexion ..29 Ossature Plane 46 Ossature Spatiale ..49 Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 3 Premire partie Manipulations pratiques Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 4 Chapitre 1 Traction simple 1 .1 Objectifs : Les buts de cette manipulation sont : Mettre en vidence exprimentalement la loi de comportement : effort (F), allongement (), F =f(). Dterminer le module dlasticit longitudinale pour les matriaux tudis exprimentalement. 1.2 Exprience de traction : Voici une petite description du systme : -Le treillis de base repre 1 est constitu de plat dacier, monts pour former un systme triangul rigide. -Lprouvette dessai repre 2 est place entre la chape suprieure, repre 4 et la chape infrieure repre 4.-La mise en charge est ralise { laide du volant, repre 5. - La lecture de leffort appliqu se fait sur le comparateur, repre 6, li une poutre dynamomtrique, repre 7. Ce comparateur gradu en 1/100 mm est plac la position qui correspond 1 daN par graduation du cadran.-Les dplacements des prouvettes sont mesurs { laide de deux comparateurs 8 et 9. Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 5 1.3 Mode opratoire Les expriences portent sur la lecture de lallongement de lprouvette en fonction de leffort appliqu pour les prouvettes dessai suivantes : 1.Eprouvette 1 : Acier, section 1mm x 19.8 mm. 2.Eprouvette 2 : Alliage lger, section 1mm x 19.8 mm. 3.Eprouvette 3 : Alliage lger, section 2mm x 19.9 mm. 4.Eprouvette 4 : P.V.C, section 1.9 mm x 20.4 mm. Lprouvette dessai repre 2 tant place entre les chapes suprieure et infrieur, on peut tudier lallongement relatif de lprouvette en fonction de la charge applique. Pour chaque prouvette dessai : -On remet zro le comparateur de mesure de la flche dynamomtrique en tournant le volant dans le sens des aiguilles dune montre. -On augmente la charge jusqu{ 1500 N sans relever les dplacements, On vrifie si le comparateur est en contact avec le point de mesure et dvie. -On dcharge lprouvette en la ramenant { charge nulle. -On charge lprouvette { 5N. -On remet le comparateur de mesure de la charge et le comparateur de mesure de dplacement de lprouvette{ zro. -On charge lprouvette par palier, en augmentant par incrments de 20 daN la charge en tournant le volant dans le sens horaire. -On relve sous diffrentes charges le dplacement relatif fourni par le comparateur de mesure de dplacement. -On recommence trois fois cette procdure et on obtient les rsultats suivants. Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 6 1.4 Rsultats de lexprience 1.4.1 Eprouvette : Acier, section 1x19.8 mm Remarque : On ajoute une colonne dans laquelle afin de calculer la valeur moyenne des trois mesures. La dformation est exprime en m/m. La longueur initiale de lprouvette, L0 = 0.36 m On obtient les deux courbes suivantes :

On obtient : Raideur de lprouvette : K= 1271,4 N.mm -1 Module de Young : E= 233 315 MPa Remarque : La courbe de dformation est exprime sans unitsc..d. [m/m] y = 444,57x0204060801001201401601800 0,2 0,4F en [N]len [mm]Srie1Linaire (Srie1)Charge enAllongement l en mmContrainte =F/SDformation =l/l0 en m/m daNN1N2N3moyen MpaN1N2N3moy 0000000000 200,02000,010,0190,016310,20455,5627,7852,7845,370 400,04200,050,0310,041020,408116,67138,8986,11113,889 600,06100,0710,07,067330,612169,44197,22194,44187,037 800,07100,0880,0810,080040,816197,22244,44225,00222,222 1000,08000,09010,0880,086051,020222,22250,28244,44238,981 1200,09500,09010,0890,091461,224263,89250,28247,22253,796 1400,09850,09050,1050,098071,429273,61251,39291,67272,222 1600,11000,09120,110,103781,633305,56253,33305,56288,148 y = 41029x0510152025303540450 0,0005 0,001 en [MPa]Dformation Srie1Linaire (Srie1)Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 7 1.4.2 Eprouvette 2 : alliage lger, section 2 mm x 19.8 mm Remarque : On ajoute une colonne dans laquelle afin de calculer la valeur moyenne des trois mesures. La dformation est exprime en m/m. La longueur initiale de lprouvette, L0 = 0.36 m On obtient les deux courbes suivantes : On obtient : Raideur de lprouvette : K=925,26 N.mm -1 Module de Young : E= 195 017MPa Remarque : La courbe de dformation est exprime sans unitsc..d. [m/m] Charge enAllongement l en mmContrainte=F/SDformation =l/l0 en m/m daN N1N2N3moyen MpaN1N2N3moy 0000000,0000,0000,0000 200,0150,0400,0190,02510,20441,667111,11152,77868,519 400,0600,0550,0610,05920,408166,667152,778169,444162,96 600,0800,0800,0850,08230,612222,222222,222236,111226,85 800,0900,1000,1000,09740,816250,000277,778277,778268,52 1000,1100,1200,1500,12751,020305,556333,333416,667351,85 1200,1300,1250,1210,12561,224361,111347,222336,111348,15 1400,1350,1420,1410,13971,429375,000394,444391,667387,04 1600,1400,1500,1590,15081,633388,889416,667441,667415,74 y = 925,26x0204060801001201401601800 0,1 0,2F en [N]len [mm]Srie1Linaire (Srie1) y = 41029x0510152025303540450 0,0005 0,001 en [MPa]Dformation Srie1Linaire (Srie1) y = 41029x0510152025303540450 0,0005 0,001 en [MPa]Dformation Srie1Linaire (Srie1)Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 8 1.4.3 Eprouvette 3 : alliage lger, section 2 mm x 19.8 mm Remarque : On ajoute une colonne dans laquelle afin de calculer la valeur moyenne des trois mesures. La dformation est exprime en m/m. La longueur initiale de lprouvette, L0 = 0.36 mOn obtient les deux courbes suivantes : On obtient : Raideur de lprouvette : K=2156 N.mm -1 Module de Young : E= 195 017 MPa Remarque : La courbe de dformation est exprime sans unitsc..d. [m/m] La charge Allongement l en mmContrainte=F/SDformation =l/l0 en m/m NN1N2N3moyen MpaN1N2N3moy 0000000000 200,0090,010,0150,01135,02525,00027,77841,66731,481 400,0160,0210,0170,018010,05044,44458,33347,22250,000 600,020,0490,0310,033315,07555,556136,11186,11192,593 800,0290,0510,0510,043720,10180,556141,667141,667121,296 1000,030,0520,0520,044725,12683,333144,444144,444124,074 1200,040,0690,0690,059330,151111,111191,667191,667164,815 1400,0490,070,070,063035,176136,111194,444194,444175,000 1600,050,0750,0750,066740,201138,889208,333208,333185,185 y = 444,57x0204060801001201401601800 0,1 0,2 0,3F en [N]len [mm]Srie1Linaire (Srie1) y = 41029x0510152025303540450 0,0005 0,001 en [MPa]Dformation Srie1Linaire (Srie1) y = 41029x0510152025303540450 0,0005 0,001 en [MPa]Dformation Srie1Linaire (Srie1)Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 9 1.4.4 Eprouvette 4 : PVC section 1.9 x 20.4 mm La chargeAllongement l en mmContrainte=F/SDformation =l/l0 en m/m en daNN1N2N3moyen MpaN1N2N3Moy 0000000000 200,0190,0120,0490,02655,16052,77831,944136,11173,611 400,1050,1750,1250,135010,320291,667486,111347,222375,000 600,01650,220,190,142215,48045,833611,111527,778394,907 800,2050,270,230,235020,640569,444750,000638,889652,778 On obtient : On obtient : Raideur de lprouvette : K= 325 ,47 N.mm -1 Module de Young : E= 41 029 MPa y = 352,47x0204060801000 0,2 0,4F en [N]len [mm]Srie1Linaire (Srie1) y = 41029x010203040500 0,0005 0,001 en [MPa]Dformation Srie1Linaire (Srie1)Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 10 Chapitre 2 Flexion simple Etude dune poutre de section rectangulaire sur un appui simple, soumise une charge concentre mi-porte. 2.1Objectifs : Les buts de cette manipulation sont : -Mettre en vidence exprimentalement la loi de comportement : flche mi-porte (f), effort(F), f=f(F). -Vrifier linfluence : -Du moment quadratique-De la porte -Du module dlasticit longitudinale E du matriau 2.2Etude thorique :2.1 : dterminons le moment quadratique IGz de la poutre pose plat, le contact avec les appuis simples se fait suivant la longueur b. (Rponse sur feuille part). 2.2 : dterminons le moment quadratique IGz de la poutre pose sur chant, le contact aves les appuis simples se fait suivant la longueur a. (Rponse sur feuille part). 2.3 : dterminons le dplacement vertical du point M en fonction de x, F, L et IGz. (Rponse sur feuille part). Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 11 Diagramme de leffort tranchant : Diagramme du moment flchissant : 2.4 : en dduire la flche mi-porte (f). (rponse sur feuille part). Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 12 2.3Exprience de flexion : -Le treillis de base est constitu de plats dacier, monts pour former un systme triangul rigide. -La poutre dessai repre 1 est place sur les appuis constitus par les deux piges repre 2. Pour un essai des poutres plat, tourner les rondelles tages repre 3, de faon faire porter les poutres chant, tourner les rondelles tages de faon faire porter les poutres sur le niveau suprieur des rondelles tages. -La mise en charge est ralise { laide du volant, repre 4. -La lecture de leffort appliqu se fait sur le comparateur, repre 5, li une poutre dynamomtrique, repre 6. Ce comparateur gradu en 1/100 mm est plac la position qui correspond 1daN par graduation du cadran. -Le dplacement total du point de chargement de la poutre est mesur laide du comparateur, repre 7. -Le dplacement de lappui gauche de la poutre est mesur { laide du comparateur, repre 7. 2.4Mode opratoire : Les expriences portent sur la lecture de la flche en fonction de leffort appliqu pour les poutres dessai suivantes PoutreN 1N 2N 3N 4 CompositionAcierAcierAlliage lgerAlliage lger PoseSur chantA platSur chantSur chant Section (mm)1530153015301530 Distance entre appuis (mm) 500500500 400 Module dYoung (MPa) 200 000200 000700 000 700 000 Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 13 Les poutres dessai tant place entre ses deux appuis, on peut tudier la flche mi-porte en fonction de la charge applique. Pour chaque prouvette dessai : -Effectuer un zro grossier du comparateur de mesure de la flche dynamomtrique en tournant le volant de manuvre dans le sens des aiguilles dune montre. -Faire une monte en charge jusqu' 1500 N environ sans relever les dplacements. Vrifier que les comparateurs de mesure des dplacements de la poutre dvient bien et sont donc en contact avec les points de mesure sur ltendue de la mesure prvue. -Dcharger la poutre en la ramenant la charge nulle. -Charger lgrement la poutre 5 N environ. -Rgler zro le comparateur de mesure de la charge applique. -Rgler zro les deux comparateurs de mesure des dplacements de la poutre. -Charger la poutre par palier, en augmentant par incrments de 20 daN la charge en tournant le volant dans le sens horaire. 2.5Travail faire : -Relever sous les diffrentes charges la flche mi-porte qui correspond au dplacement du comparateur 7. -Recommencer trois fois cette procdure. -Pour chaque poutre tudie, comparer les mesures exprimentales avec le calcul thorique. -Commenter les rsultats obtenus. Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 14 2.5.1 Poutre N1 :ACIER sur chant. Charge en [daN] Flche exprimentale en [mm] Moyenne Flche thorique en [mm] Erreur en [%] N1N2N3N1N2N3 000000000 200,1450,10,080,1080,07788,3129,873,90 400,2890,2230,1750,2290,15487,6644,8113,64 600,390,3090,290,330,23168,8333,7725,54 800,4790,450,3550,4280,30955,0245,6314,89 1000,5620,480,4250,4890,38645,6024,3510,10 1200,6450,480,5850,570,46339,313,6726,35 1400,7250,6750,6050,6680,5434,2625,0012,04 160 Calcul de la raideur exprimentale de la poutre : Sachant que F=Kexp.ym A partir du graphe on dduit queKexp= 1 kN/mm y = 0,0049x00,10,20,30,40,50,60,70,80,90 100 200Flche en[mm]Charge en [daN]Acier su chantSrie1Linaire (Srie1)Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 15 Calcul de la raideur thorique de la poutre : A partir de la mme relation prcdente on calculera Kth. Kth = 666,67 N/mm 2.5.2 Poutre N2 :ACIER plat. Charge en [daN] Flche exprimentale en [mm] Moyenne Flche thorique en [mm] Erreur en[ %]

N1N2N3 N1N2N3 000000000 200,3000,3100,3100,3070,3092,910,320,32 400,6500,5900,6100,6170,6175,354,381,13 600,8800,9100,9200,9030,9264,971,730,65 801,2951,2011,1301,2091,2354,862,758,50 1001,4951,5001,5501,5151,5433,112,790,45 1201,8151,8051,8701,8301,8522,002,540,97 140 160 y = 0,0152x00,511,522,530 50 100 150 200Flche en [mm]Charge en [daN]Acier platsrie2Linaire (srie2)Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 16 Calcul de la raideur exprimentale de la poutre : Sachant que F=Kexp.ym A partir du graphe on dduit queKexp= 1,785 kN/mm Calcul de la raideur thorique de la poutre : A partir de la mme relation prcdente on calculera Kth. Kth = 2,6 kN/mm 2.5.3Poutre N3 :ALLIAGE LEGER sur chant 500mm Charge en daN Flche exprimentale en mm Moyenne Flche thorique en mm Erreur en % N1N2N3N1N2N3 000000000 200,2200,2100,1950,2080,2200,0004,54511,364 400,4500,4210,4000,4240,4402,2734,3189,091 600,6700,6350,6100,6380,6601,5153,7887,576 800,9050,8650,8200,8630,8802,8411,7056,818 100 120 140 160 y = 0,0107x00,20,40,60,811,20 50 100 150Flche en [[mm]Charge en [daN]Alliage lgersrie3Linaire (srie3)Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 17 Calcul de la raideur exprimentale de la poutre : Sachant que F=Kexp.ym A partir du graphe on dduit queKexp= 13,157 kN/mm Calcul de la raideur thorique de la poutre : A partir de la mme relation prcdente on calculera Kth. Kth = 9,1 kN/mm 2.5.3 Poutre N4 :ACIER LEGER :sur chant.400 Charge en daN Flche exprimentale en mm Moyenne Flche thorique en mm Erreur en % N1N2N3N1N2N3 000000000 200,1300,1950,1650,1630,11315,0472,5746,02 400,2250,4100,3400,3250,2260,4481,4250,44 600,3780,6050,5500,5110,33911,5078,4762,24 800,5100,7400,6900,6470,45113,0864,0852,99 1000,6300,8500,7750,7520,56411,7050,7137,41 1200,7251,0001,0000,9080,6777,0947,7147,71 140 160 Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 18 Calcul de la raideur exprimentale de la poutre : Sachant que F=Kexp.ym A partir du graphe on dduit queKexp= 16,667 kN/mm Calcul de la raideur thorique de la poutre : A partir de la mme relation prcdente on calculera Kth. Kth = 18,181 kN/mm hqh y = 0,0078x00,20,40,60,811,21,40 50 100 150 200Flche en[mm]Alliage sur chant 400srie4Linaire (srie4)Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 19 Chapitre 3 Dformation dans une structure 3.1 Introduction On sintresse { la structure suivante : FIGURE 3.1 : Schma du treillis Il sagit dun treillis en flexion sur deux appuis. La structure est de type fermette, avec les caractristiques suivantes : -Matriau : acier -module de Young : -coefficient de Poisson v-section des barres : Les barres sont quipes de cinq paires de jauges de dformation de facteur de jauge Les objectifs de cette manipulation sont : -Mettre en vidence des dformations infiniment petites, -Vrifier les dformations des barres constituant une structure sollicite en flexion, -Vrifier les dplacements de points de la structure sollicite en flexion, Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 20 -Comparer les mesures exprimentales avec un calcul thorique. 3.2 Principe des jauges de dformation La mesure des dformations avec un pont dextensomtrie et des jauges de dformations est en fait une mesure de variation relative de rsistance dun conducteur ohmique. Lesjauges colles sur les structures sont des circuits rsistifs de rsistance dfinis par :

Avec :

Pour un conducteur de section rectangulaire de largeur a et dpaisseur b, La diffrentiation de lquation de R donne :

Si ce conducteur est soumis un champ de contrainte uniforme parallle sa longueur L, les dformations dans sa sections sont relies sa dformation longitudinale c par le coefficient de Poisson :

v

v c Lobservation montre que la rsistivit dun matriau est fonction de sa dilatation volumique

la loi de BRIDGMAN exprime cette variation par :

v c Avec :. La variation relative de la rsistance sexprime donc finalement par :

v v c c Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 21 Avec : 3.3 Mesure des variations de rsistance des jauges de dformations : les variations de rsistance de jauges de dformations soumises des dformations sont donc assez faibles . La mesure de cette variation peut se faire par une mesure de tension de dsquilibre dun pond de quatre rsistances de valeurs trs voisines. FIGURE 1 :Pont de wheatstonLapplication de la loi dOhm donne le dsquilibre entre les points C et D.

Si on considre des variations faibles autour de leurs rsistances nominales, la variation du dsquilibre sexprime pour des facteurs de jauges gaux par :

Le schma de principe suivant se compose : -Dun pont de deux paires de rsistances de valeurs

. Les quartes rsistances sont des jauges de dformations. -Dune alimentation continue de tension V entre les point A et B. -Dun microvoltmtre mesurant le dsquilibre e entre les deux points diagonaux C et D du pont. Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 22 OBJECTIFS :La structure tudie (Figure .2) est un treillis en flexion sur deux appuis. La structure est de type fermette, en acier (Module de Young E = 210 GPa, coefficient de Poisson v constitue de barres de section 2.5*15mm, longueur 560 mm quipe de 5 parties de jauges de dformation de facteur de jaugeLes buts de cette manipulation sont : -Mettre en vidence des dformations infiniment petites-Vrifier les dformations des barres constituant une structure sollicite en flexion-Vrifier les dplacements de points de la structure sollicite en flexion-Comparer les mesures exprimentales avec un calcul thorique. 3.4 Etude thorique :Le relev des dimension sur le dessin de la fermette nous permet de tracer le schma suivant : 3.4.1 Dtermination des actions extrieures : Prenons comme systme dtude le treillis tout entier. Les torseurs aux appuis scrivent : En A (articulation) :

En B (appuis simple) :

En M (effort appliqu) :

Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 23 Le principe fondamental de la statique (PFS) scrit : -En rsultante :

, -En moments (en A) :

Par consquent (figure 3.4),

FIGURE 3.4 : Applications du PFS Do le treillis est isostatique extrieurement. 3.4.3 Dtermination des actions intrieurs : On a dans notre treillis, lquation dhyperstaticit intrieur : est vrifie. Avec :

Donc le systme est intrieurement isostatique. le systme est parfaitement symtrique. On se limitera logiquement une partie (la partie gauche dans notre cas). Equation dquilibre : au point A :

o

o

Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 24 au point B :

au pointD :

au point

au point C : avec :

La rsolution du systme obtenu donne les rsultats suivants :

En prenant les valeurs absolues des rsultats ci-dessus, et tenant compte de

on trouve :

Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 25 3.5 Manipulations 3.5.1 Mesure de la flche Les expriences portent sur la lecture de la flche

au milieu de la fermette, pour diffrentes valeurs de la charge applique. La valeur de la flche correspond la valeur du dplacement de la pige de chargement. Les quatre sries de mesures effectues sont regroupes dans le tableau, pour des incrments de 200N de la charge applique. F [dAn]c1c2c3c4c5 000000 20-62,55332,5-35,5-15 40-12310062,5-37,5-30,5 60-187,514890-63-60 80-256192115,5-90-85 100-320239144-113-109 120-387284169-139,5-135 140-457327195-164-157,5 160-522370220-188-184 Tableau de dformation : essaie 1 Flche de lessaie 1 Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 26 F [dAn]c1c2c3c4c5 000000 20-7047,522-30-58 40-1388948-57-55 60-20513574-84-80 8027417995-109-105 100-344222125-134-132 120-410265150-159-159 140-480309175-185-177 160-535360209-205-201 Tableau de dformation : essaie 2 Flche : essaie 2 3.5.2 Mesure des dformations des poutres: Le banc dextensomtrie permet de connatre la valeur des dformations pour chacune des poutres sur lesquelles sont fixes des jauges de dformation.Lindicateur numrique donne une valeur qui est gale au double des dformations c des poutres charges (puisquon utilise des paires de jauges). Il suffit donc de diviser par deux pour obtenir la valeur de c. Les diffrents rsultats exprimentaux sont regroups dans les tableaux, tandis que les valeurs thoriques, elles sont obtenues partir de la loi de HOOKE, qui scrit : 00,20,40,60,811,21,40 50 100 150 200FLECHE 2FLECHE 2Linaire (FLECHE 2)Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 27 Donc :

avec : le module dYoung

Par consquent, on a la relation suivante : c

Avec :

(MPa) oet N est donn par le tableau ci-dessus : Table 3.3 : Effort normaux N dans chaque poutre (en fonction de F)On peut donc en dduire les valeurs thoriques de la dformation c 3.5.3 : Dtermination de la raideur :Dterminons maintenant la raideur exprimentale

, dfinie par :

A partir du graphique de la figure 3.9, on peut dterminer le coefficient directeur o

. En effet, le nuage de points

est sensiblement proche dune droite, nous pouvons donc effectuer une rgression linairement pour charge srie de mesures (fig. 3.10), et en dduire quatre valeurs exprimentales pour le coefficient directeur. On en dduira alors une valeur moyenne

qui servira pour le calcul de la raideur, donne par :

FIGURE 3.10 : Rgression linaires avec coefficients de dtermination (R) Sur le graphique de la figure 3.10, on lit les diffrentes valeurs des coefficients directeurs des droites de rgression. Leur valeur moyenne vaut :

On en dduit la raideur exprimentalement :

Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 28 Deuxime partie Utilisation de RDM 6 Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 29 Chapitre 4 Flexion 4.1Poutre en T Soit la poutre modlise comme suit : Figure 4.1 : Modle de la poutre la poutre droite de longueur L=1 m est encastre dans 1. la section droite est un T ailes gales, telles que t = 10 mm. Le module de Young du matriau vaut E = 200 000 MPa. La poutre porte sur toute sa longueur une charge uniformment rpartie dintensit p = 1 000 daN/M = 10 000 N/m. 4.1.1Etude thoriqueAction mcanique en 1 En 1, on a un encastrement : lapplication du PFS { la poutre donne, en projection sur x :

En projection sur y :

Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 30 Equation des moments par rapport 1 :

Par consquent, laction mcanique en 1 peut tre modlise par le torseur suivant :

Position du centre de gravit On cale la figure dans le premier quadrant (pour que toutes les abscisses et les ordonnes soient positives). FIGURE 4.3 : Calcul du centre de gravit : section cale dans le premier quadrantSoit G le centre de gravit de la section S et soient ses coordonnes. Soient galementles coordonnes du centre de gravit Gi de la surface Si. G est dfini par la relation :

On en dduit que

, puis que

Finalement,

Et il suffit maintenant de projeter selon x et y :

Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 31

Or

par symtrie,

et

.Enfin,

(ce que lon aurait pu trouver directement par symtrie de la section). De mme,

Soit : Calcul du moment quadratique Soient les axes dfinis la figure 4.4 FIGURE 4.4 : Calcul du moment quadratique : axes de calcul Pour la surface 1, on a, par rapport { laxe A1 :

Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 32 Par consquent, par rapport { laxe AG , on a :

Pour la surface 2, on a, par rapport { laxe A2 :

Par consquent, par rapport { laxe AG , on a :

Finalement :

Calcul de la contrainte normale Effectuons une couple en un point G dabscisse x et tudions lquilibre de la partie gauche : On obtient, en rsultantes :

Et en moments par rapport G :

On en dduit :

Do le torseur de cohsion :

Ce qui permet de tracer les diagrammes de leffort tranchant et du moment flchissant Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 33 On est maintenant en mesure de calculer la contrainte normale :

Pour la section 1 , on a donc :

Pour la fibre suprieure on a : Effort tranchant Moment flchissant Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 34

Pour la fibre infrieure

Calcul des dplacements Pour dterminer les dplacements { lextrmit droite de la poutre, on doit dabord calculer lexpression gnrale de la dforme, donne par :

Par intgrations successives :

Les conditions aux limites scrivent :

Soit finalement,

Et, pour

Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 35 Application numrique :

4.1.2Validation par RDM6 Dans cette partie , on se propose de comparer les rsultats thoriques aux rsultats numrique obtenus par le logiciel RDM6. Contraintes normales : Poutre droite de section droiteen forme de T, subissant une contrainte normal. Fig. 4.7.1 Contraintes normales Comme on le voit sur la figure, au niveau de la section 1, on a pour la fibre infrieure 1;inf. = -212.10 MPa , et pour la fibre suprieure 1;sup = 90.90 MPa . Dplacement (a) Flche : Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 36 (b) Pente : Figure 4.8: Flche et pente RDM6 La figure 4.8a donne la flche maximale v(x = L) = -3; 75mm, et la figure 4.8b la pente maximale v (x = L) = -5:103 rad. Tous les rsultats prcdents sont trs proches des valeurs thoriques obtenues au paragraphe 4.1.1. 4.2 Optimisation dune poutre en quilibre hyperstatique 4.2.1 Etude Thorique : Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 37 a-Les actions mcaniques en A, B et C : Etude statique : Les actions mcaniques extrieures exerces sur la poutre sont : En A,{A} = A

En B, {B} = B

=A

En C,{C} = C

= A

Eten D{D} = D

= A

En appliquant le PFS on a :A

A

A

A

Ainsi :

On a deux quations et 3 inconnues, par consquent le systme est hyperstatique dordre 1 Appliquons alors le principe de superposition, dcomposons le systme en deux systmes (S1) et (S2) OEcole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 38 Et Daprs le formulaire au point B on a : vB1=

=

etVB2 =

Finalement pour le systme (S), la dforme au point B est la suivante : VB= VB2+vB1=

Or, lappui au point B impose VB =0

Ainsi

par consquent,

Revenons lquation fournie par le PFS :

ainsi

ainsi

Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 39 Finalementles actions mcaniques scrivent : 4.2.2 Simulation numrique a-sur RDM 6 la poutre sera modliseen prenant comme section un IPN80qui les caractristiques suivantes : En A, {A} = A

= A

En B,{B} = B

= B

En C, {C} = C

= C

Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 40 Remarque : la liaisonappui double sera modlise par une appui simple puisquelle donne les mme rsultats, et aussi pour que nous puissions faire sa modlisation par le logiciel. b- Comparaison des rsultats avec celles obtenus en calcul thorique : Actions mcaniques : Efforts intrieurs -La valeur maximalede leffort Tranchantvaut:

=2,969.

N Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 41 -On trouvela valeur maximale du Moment Flchissantvaut:

=3 ,047.

N.m Les valeurs obtenues par la simulation RDM6 correspondent trs bien avec celles obtenues en calcul thorique . Optimisation - cahier de charges Comme cit prcdemment, le cahier de charges impose : une contrainte normale infrieure 90 MPa, une fche maximale de 1 mm. Pour notre poutre modlise avec un

, le logiciel donne une contrainte maximale max = 2,969.

MPa et une Fche maximale ymax =6, 838 mm. Ces valeurs ne sont pas en accord avec le cahier de charges. Pour optimiser la structure, on a recours au menu Optimiser. 4.3 Autres exemples 4.3.1 Exemple 1 Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 42 La section est rectangulaire, de base B et de hauteur H. La poutre est encastre aux extrmits (sections1 et 6) et repose sur trois appuis simples (en 2,3 et 4). Elle est soumise { une charge concentre dintensit P (en 5) ainsi qu{ une charge rpartie de densit linique p (entre 1 et 3). b-Dplacements nodaux La modlisation avec RDM 6 permet de trouver les dplacements nodaux (Fche et pente), en cliquant avec le bouton droit de la souris sur le noeud auquel on sintresse (ou en utilisant Fichier!diter). Ainsi, on obtient les rsultats suivants : NoeudFlche Pente 10.000000 0.000000 20.000000-0.000129 30.000000 0.00051440.000000-0.000341 5 -0.000079 0.000085 60.000000 0.000000 c- Actions de liaison +-------------------------------------+ | Action(s) de liaison [ daNdaN.m ] | +-------------------------------------+ Noeud1 RY = 671.65MZ =75.05 Noeud2 RY =1513.39 Noeud3 RY = 653.13 Noeud4 RY = 136.61 Noeud6 RY = 325.22MZ = -61.30 d- Le moment de flexion maximal, et indication de son lieu :

OU PAR EXEMPLE CLICK DROIT SUR LENOEUD fmax = v(1,714) = 7, 56283 .

mm fmin = v(1,080) = -1, 27185.

mm LA valeur maximale vaut :94,9 daN.m Il est positionn au nud 2. Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 43 4.3.2 EXEMPLE 2 : On considre la poutre continue de section droite constante, reprsente sur la figure suivante : La section droite est en I ailes gales de dimensions : hauteur H=120 mm, base L=100mm, largeur de lme tw = 5 mm, largeur des ailes tf = 6 mm. Aprs dformation notre poutre aura lair suivant : Figure :dformation

Dterminons les dplacements nodaux (rotation et translation ) des diffrents nuds Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 44 Dplacements nodaux : La modlisation avec RDM 6 permet de trouver les dplacements nodaux (flche et pente), en cliquant avec le bouton droit de la souris sur le nud auquel on sintresse (ou en utilisant Fichier!diter). Ainsi, on obtient les rsultats suivants : Au nud 1 : Au nud 2 : Au nud 3 : Au nud 4 : Au nud 5 : Les diagrammes suivant reprsentent respectivement leffort tranchant ainsi que le moment flchissant : Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 45 Figure1 : Effort tranchant Moment flchissant maximal : Le moment flchissant maximal est situ au point dabscisse 4.20m et vaut 4.810E+03 N.m. Figure 2 : moment flchissant Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 46 Chapitre 5 Ossature Plane : 5.1 Schmat : Lossature plane reprsente sur la figure est constitue de 3 poutres droites soudes entre elles. Lensemble est li lextrieur par un appui simple en 1 et une articulation en 4. 5.2-Etude thorique : Determination des efforts au niveau des liaisons: Application du PFS exprim au point numero 1 on trouve :

+

+ +

+

+

={0} D ou on peut tirer que: Avec 2000 ;

=2000;

=1000 ;q=1000. Ecole Nationale des Sciences Appliques de Tanger | TP rsistance des matriaux 47

=2321 daN

=0daN =4679 daN Torseur des efforts intrieurs Pour 0