CONFORMITE d’une distribution CONFORMITE d’une distribution expérimentale à une distribution expérimentale à une distribution

théoriquethéoriqueProfesseur Pascale FRIANT-MICHEL> Faculté de Pharmacie

Pascale.Friant@univ-lorraine.fr

CONFORMITE d’uneCONFORMITE d’uneDISTRIBUTION EXPERIMENTALEDISTRIBUTION EXPERIMENTALEà une DISTRIBUTION THEORIQUEà une DISTRIBUTION THEORIQUE

I - GENERALITESI - GENERALITES

Remarque :

Même si une série empirique suit effectivement une loi de distribution théorique donnée, les fréquences expérimentales différeront forcément, en raison des fluctuations fortuites d’échantillonnage, des fréquences que l’on devrait théoriquement observer, compte tenu de l’effectif de la série

Problème de conformité

Répartition théorique est-elle conforme à la répartition expérimentale ?

On se demande donc si les différences constatées entre la distribution expérimentale et la distribution supposée restent dans les limites des fluctuations fortuites d’échantillonnage (auquel cas l’assimilation de la distribution expérimentale à la distribution théorique est légitime)

Principe du test :

Comparer deux distributions dans leur ensemble

Caractériser la divergence, pour chacune des valeurs de la distribution, entre les effectifs observés (O1, O2, . . ., On) et les effectifs théoriques (T1, T2, . . ., Tn) que l’on aurait dû observer dans une distribution théorique de même effectif total que la distribution expérimentale étudiée

Vérification de la conformité par le test du 2 de K. PEARSON

. 2 d’ajustement

. test d’hypothèse

I – GENER ALITES (2)I – GENER ALITES (2)

II - TEST de II - TEST de 22

. divergence définie par l’écart (Oi – Ti)

. carrés des écarts appelés écarts quadratiques

. écart quadratique relatif :

Soient T1, T2, . . ., Tn les effectifs théoriques

Si n - 1 d’entre eux sont fixés, le nième est défini par Ti = N

=> = n - 1

Oi Ti 2

Ti

1. Principe du test

2. Nombre de degrés de liberté

Toute relation supplémentaire imposée aux effectifs théoriques conduit à réduire d’une unité le nombre de degrés de liberté

=> = n - 1 - r

r étant le nombre de relations supplémentaires

- Pour une distribution binomiale : r = 1 (p)

=> = n - 2

- Pour une distribution de POISSON : r = 1(m)

=> = n - 2- Pour une distribution de LAPLACE-GAUSS : r = 2 (m, )

=> = n - 3

II – TEST de II – TEST de 22

III - CONDITIONS d’EMPLOI du TEST de III - CONDITIONS d’EMPLOI du TEST de 22

2. Le 2 est suivi lorsque :

* N ≥ 50* n ≥ 5

1. Le 2 s’applique exclusivement aux effectifs

Si 30 ≤ N < 50, le test est utilisable mais avec prudence,

=> exclusivement applicable lorsque 2 franchement différent de celui des tables

Si N < 30, le test n’est plus applicable

Si n < 5, groupements de classe

=> diminue => sensibilité du test est abaissée

3. Effectifs théoriques calculés avec précision

IV - EXEMPLES IV - EXEMPLES

Ho : Les différences constatées entre la distribution expérimentale et la distribution théorique ne sont dues qu’aux fluctuations d’échantillonnage

1. Conformité d’une distribution expérimentale à uneDISTRIBUTION BINOMIALE

Distribution du nombre de filles dans 160 familles de 4 enfants tirées au hasard dans une population

IV – EXEMPLE IV – EXEMPLE

Famille dexi

filles

Nombre de famillesni = Oi

01234

164862304

= 160

Oii

Nombre de familles théoriques

nk = Ti

16,3050,2157,9929,765,73

= 160

35,4934

Tii

Oi - Ti

- 0,30- 2,214,01

- 1,49

0,00550,09730,2773

0,0625

= 0,4426

Oi Ti 2

Ti

2

= n - 2

= 4 - 2 = 2

Distribution du nombre d’accidents hebdomadaires à un carrefour dangereux

2 << 2 => l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de

risque

= 5 % => 2 = 5,99

2. Conformité d’une distribution expérimentale à uneDISTRIBUTION de POISSON

Conclusion :

l’hypothèse d’une distribution binomiale avec p == 0,435 n’a pas été infirmée par les constatations expérimentales

IV – EXEMPLE IV – EXEMPLE

mn

IV – EXEMPLE IV – EXEMPLE

Nombre d’accidents

xi

Nombre de semaines

ni = Oi

012345

≥ 6

5107431

= 30

8

Oii

Nombre de semaines théoriques

nk = Ti

5,119,058,004,722,090,740,29

= 30

Tii

7,84

Oi - Ti

- 0,110,95

- 1,00

0,16

0,00240,09970,1250

0,0033

= 0,2304

Oi Ti 2

Ti

2

Poids de 406 nouveau-nés relevé dans une maternité

2 << 2 => l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de

risque

= n - 2

= 4 - 2 = 2

= 5 % => 2 = 5,99

3. Conformité d’une distribution expérimentale à uneDISTRIBUTION de LAPLACE-GAUSS

Conclusion :

l’hypothèse d’une distribution suivant une loi de POISSON de moyenne m = 1,77 n’est pas démentie par les constatations expérimentales

IV – EXEMPLE IV – EXEMPLE

IV – EXEMPLE IV – EXEMPLE

Limites (kg)

Effectifs exp.ni = Oi

2,20

2,40

2,60

2,80

3,00

3,20

3,40

3

8

26

50

69

85

< 2,20

Effectifs théo.nk = Ti

2,43

5,36

13,56

26,96

46,16

62,20

70,52

21,35

11

Oi - Ti

- 10,35

- 0,96

3,84

6,80

14,48

5,0174

0,0342

0,3194

0,7434

2,9732

Oi Ti 2

Ti

Limites (kg)

Effectifs exp.ni = Oi

3,60

3,80

4,00

4,20

4,40

4,60

4,80

62

44

35

17

3

2

2

= 406

Oii

Effectifs théo.nk = Ti

67,44

50,79

32,93

16,77

7,35

2,56

0,77

0,20

= 406

Tii

10,88

Oi - Ti

- 5,44

- 6,79

2,07

0,23

- 3,88

0,4388

0,9077

0,1301

0,0031

1,3837

= 11,9510

IV – EXEMPLE IV – EXEMPLE

≥ 4,80

7

Oi Ti 2

Ti

2

2 < 2 => l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de

risque

= n - 3

= 10 - 3 = 7

= 5 % => 2 = 14,07

Conclusion :

l’hypothèse que la distribution suive une loi normale de moyenne m = 3,33 kg et d’écart-type = 0,45 kg n’a pas été démentie par les constatations expérimentales

IV – EXEMPLE IV – EXEMPLE