ADAPTATION d’une distributionADAPTATION d’une distributionexpérimentaleexpérimentale

Professeur Pascale FRIANT-MICHEL> Faculté de Pharmacie

Pascale.Friant@univ-lorraine.fr

I - DEFINITIONI - DEFINITION

Exemple : - distribution normale

- distribution binomiale

on substitue à la distribution expérimentale observée la distribution théorique correspondante, cela s’appelle "adapter"

La distribution théorique n’a, de toute façon, valeur que de simple hypothèse dont il conviendra de tester la validité

• Lorsqu’une distribution expérimentale évoque une distribution théorique, en raison, par exemple :

- de l’aspect de son diagramme des fréquences ou

- des conditions dans lesquelles on l’a observée

ADAPTATION d’uneADAPTATION d’uneDISTRIBUTION EXPERIMENTALEDISTRIBUTION EXPERIMENTALE

Calculer les termes respectifs de la distribution binomiale théorique correspondante (ayant le même effectif N que la distribution expérimentale observée)

Exemple : Distribution du nombre de filles dans 160 familles de 4 enfants tirées au hasard dans une population

. Calculer les fréquences absolues nk correspondantes telles que :

nk = N . Pk avec nk = N

. Calculer les probabilités Pk telles que :

Pk = C pk qn-k avec Pk = 1

k

n

k

k

II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALEII - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE

Famille dexi

filles

Nombre de familles

ni

01234

164862304

= 160

nixi nixi2

048

1249016

048

24827064

= 278 = 630

nii xi

nii xi

2

m =

nixii

nii

nixi

2

i

nii

V = - m2 = - (1,74)2 = 3,94 - 3,02 = 0,92 (fille)2

630160

σ = = 0,96 fille

V

nii

- Calcul des paramètres caractéristiques de la distribution

=

= 1,74 fille

278160

II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (2)II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (2)

- Hypothèse : loi binomiale de moyenne : m = n . p

mth = mexp = 1,74 n = 4

=> p = = = 0,435 (proportion de filles)

1,744

mn

=> q = 1 – p = 0,565 (proportion de garçons)

- Probabilités théoriques de k filles dans des familles de 4 enfants :

Pk = C (0,435)k (0,565)4-k avec 0 ≤ k ≤ 4

4

k

- Effectifs théoriques :

nk = 160 . Pk avec = = 160

nii

nkk

II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (3)II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (3)

Pk nk

0,10190,31380,36240,18600,0358

16,3050,2157,9929,765,73

= 1 = 160

Pkk0

4

nkk0

4

Famille dexi

filles

Nombre de familles

ni

01234

164862304

= 160

nii

II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (4)II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (4)

Calculer les termes correspondants de la distribution de POISSON ayant le même effectif N et la même moyenne que la distribution expérimentale observée

. Calculer les fréquences absolues nk correspondantes telles que :

nk = N . Pk avec nk = N

. Calculer les probabilités Pk telles que :

Pk = e-m avec Pk = 1

mk

k !

Exemple : Distribution du nombre d’accidents hebdomadaires à un carrefour dangereux

k

k

III - ADAPTATION à la LOI de POISSON III - ADAPTATION à la LOI de POISSON

Nombre d’accidents

xi

Nombre de semaines

ni

012345

5107431

= 30

nii

nixi nixi2

0101412125

01028364825

= 53 = 147

nii xi

nii xi

2

m =

nixii

nii

5330

- Calcul des paramètres caractéristiques de la distribution

=

≈ 1,77 accident

V = - m2 = - (1,77)2 ≈ 1,83 (accident)2

nixi2

i

n 1

14729

σ = = 1,35 accident

V

nn 1

3029

III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (2)III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (2)

- Probabilités théoriques de k accidents :

Pk = e-1,77 avec 0 ≤ k ≤ 5

- Effectifs théoriques :

nk = 30 . Pk avec = = 30

(1,77)k

k !

Attention aux classes supplémentaires

- Hypothèse : loi de POISSON de moyenne : m

mth = mexp = 1,77

nii

nkk

III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (3)III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (3)

nkk0

6

Nombre d’accidents

xi

Nombre de semaines

ni

012345

5107431

= 30

nii

Pk nk

0,17030,30150,26680,15740,06970,0247

5,119,058,004,722,090,74

Pkk0

6

0,0096 0,29

Pk = 1 ? nk = 30 ?= 1

k

k

= 30

≥ 6

III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (4)III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (4)

Calculer les termes correspondants de la distribution gaussienne ayant le même effectif N, la même moyenne m et le même écart-type σ que la distribution expérimentale observée

=> - Déterminer les probabilités Pth associées aux diverses classes de la distribution telles que :

Pth = 1 au moyen des tables de GAUSS établies pour la courbe réduite

=> . Calculer les écarts réduits par la relation :

t =

x m

. Lire les tables des fréquences cumulées (t) ou des valeurs de (t)

. Calculer les probabilités théoriques Pth

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE

Exemple : Poids de 406 nouveau-nés relevé dans une maternité

- Calculer les fréquences absolues nth correspondantes telles que :

nth = N . Pth avec nth = N

Classes (kg) Effectifni

[ 3,60 ; 3,80 [ 44

[ 3,80 ; 4,00 [ 35

[ 4,00 ; 4,20 [ 17

[ 4,20 ; 4,40 [ 3

[ 4,40 ; 4,60 [ 2

[ 4,60 ; 4,80 [ 2

Classes (kg) Effectifni

[ 2,20 ; 2,40 [ 3

[ 2,40 ; 2,60 [ 8

[ 2,60 ; 2,80 [ 26

[ 2,80 ; 3,00 [ 50

[ 3,00 ; 3,20 [ 69

[ 3,20 ; 3,40 [ 85

[ 3,40 ; 3,60 [ 62

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (2)IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (2)

. Calcul des différents ti (aux limites de classes)

m = 3,33 kg σ = 0,45 kg

. Recherche par lecture des différents i ou i (aux limites de classes)

- Hypothèse : loi normale de moyenne : m = 3,33 kgd’écart-type : = 0,45 kg

• Paramètres caractéristiques de la distribution :

(calculés aux centres de classes)

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (3)IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (3)

- Calcul des différentes Pth (aux centres de classes) :

- Calcul des différentes nth (aux centres de classes) :

nth = 406 . Pth avec nth = 406

Attention aux classes supplémentaires

Lorsque t2 > t1 :

Pth = (t2) – (t1)ou

Pth = (t1) – (t2) lorsque t1 et t2 sont de même signe(t1 et t2 < 0)

Pth = (t2) – (t1) lorsque t1 et t2 sont de même signe(t1 et t2 > 0)

Pth = (t1) + (t2) lorsque t1 et t2 sont de signes contraires

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (4)IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (4)

ti = (ti) (ti)

- 2,51

- 2,07

- 1,62

- 1,18

- 0,73

- 0,29

0,15

0,0060

0,0192

0,0526

0,1190

0,2327

0,3869

0,5596

0,4940

0,4808

0,4474

0,3810

0,2673

0,1141

0,0596

xi m

Limites (kg)

Effectifni

2,20

2,40

2,60

2,80

3,00

3,20

3,40

3

8

26

50

69

85

Pth nth

0,0132

0,0334

0,0664

0,1137

0,1532

0,1737

5,36

13,56

26,96

46,16

62,20

70,52

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (5)IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (5)

ti (ti) (ti)

0,60

1,04

1,49

1,93

2,38

2,82

3,27

0,7257

0,8508

0,9319

0,9732

0,9913

0,9976

0,9995

0,2257

0,3508

0,4319

0,4732

0,4913

0,4976

0,4995

Limites ni

3,60

3,80

4,00

4,20

4,40

4,60

4,80

62

44

35

17

3

2

2

ni = 406

Pth nth

0,1661

0,1251

0,0811

0,0413

0,0181

0,0063

0,0019

67,44

50,79

32,93

16,77

7,35

2,56

0,77

Pth ≠ 1 nth ≠ 406

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (6)IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (6)

ti = (t) (t)

- 2,51

- 2,07

- 1,62

- 1,18

- 0,73

- 0,29

0,15

0,0060

0,0192

0,0526

0,1190

0,2327

0,3869

0,5596

0,4940

0,4808

0,4474

0,3810

0,2673

0,1141

0,0596

xi m

Classes (kg)

Effectifni

2,20

2,40

2,60

2,80

3,00

3,20

3,40

3

8

26

50

69

85

< 2,20

Pth nth

0,0132

0,0334

0,0664

0,1137

0,1532

0,1737

5,36

13,56

26,96

46,16

62,20

70,52

0,0060 2,43

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (7)IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (7)

ti (ti) (ti)

0,60

1,04

1,49

1,93

2,38

2,82

3,27

0,7257

0,8508

0,9319

0,9732

0,9913

0,9976

0,9995

0,2257

0,3508

0,4319

0,4732

0,4913

0,4976

0,4995

Limites ni

3,60

3,80

4,00

4,20

4,40

4,60

4,80

62

44

35

17

3

2

2

ni = 406

Pth nth

0,1661

0,1251

0,0811

0,0413

0,0181

0,0063

0,0019

67,44

50,79

32,93

16,77

7,35

2,56

0,77

≥ 4,80 0,0005 0,20

Pth = 1 nth = 406

IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (8)IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (8)