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Comparaison de deux pourcentages observés

• Situation du problème :– 2 Variables qualitatives dichotomiques

• La première permet de caractériser chaque groupe

• La seconde est le critère de jugement

– Comparaison de pourcentage dans deux groupes indépendants

• En fait,– On dispose de deux échantillons (A et

B) sur lesquels on a mesuré une variable qualitative binaire

– Ces deux échantillons peuvent-ils être considérés comme étant issus de la même population ? (Les deux pourcentages (Pa, Pb sont ils deux estimateurs du même pourcentage P ?)

– Problème très fréquent– Exemple : On traite deux groupes de souris

par deux goudrons par tirage au sort et on observe le pourcentage de survenue de cancers à 6 mois dans chaque groupe.

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Comparaison de deux pourcentages observés

• Hypothèses– Hypothèse nulle H0 :

• Les 2 échantillons peuvent être considérés comme issus d ’une population ayant comme pourcentage P

– Pa et Pb sont deux estimateurs de Ptha et Pthb avec Ptha = Pthb = P

– Hypothèses alternatives :• Test bilatéral

– Ptha # Pthb

• Test unilatéral– Ptha > Pthb ou (exclusif) Ptha< Pthb

• Eléments nécessaires au calcul :– Na , Nb = Effectifs de chaque groupe– Pa et Pb = Pourcentage observé dans chaque groupe

• Autres éléments : – Na+ , Nb+ = Effectifs présentant le caractère dans

chaque groupe Na+ + Nb+Na + Nb

= Pourcentage commun qui serait observé sous l’hypothèse nulle par réunion des deux groupes

–P =

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Comparaison de deux pourcentages observés

• Statistiques utilisables– Khi 2– Epsilon ou u (Loi normale)– Remarque : ces deux tests sont

équivalents et ont les mêmes conditions d ’application :

• Na * P > 5; Nb * P > 5

• Na *(1-P) >5; Nb *(1-P)

– On approche une loi binomiale par une loi normale

– Si les conditions ne sont pas remplies on prend une autre méthode

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Comparaison de deux pourcentages observés

• Utilisation du KHI2. Test Bilatéral (unilatéral possible mais moins habituel)– Tableau des valeurs observées :

–Sous l’hypothèse nulle:– on aurait dû observer pour le groupe 1 :Effectif attendu de cancer : P * Na

Nombre de souris avec

cancer

Nombre de souris sans

cancerGroupe 1 : Goudron A Na+ = A B Na = A+BGroupe 2 : Goudron B Nb+ = C D Nb = C+D

A+C B+D N = A+B+C+D

Ath=A + C

A + B + C + D* (A + B) =

(A + C) * (A + B)

N

–Remarque : – Quand on a calculé un effectif théorique, on obtient les autres par différence avec les effectifs marginaux.– Pour chaque case, la différence entre l’effectif théorique et l’effectif observé est la même.

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Comparaison de deux pourcentages observés

• Utilisation du KHI2.– Tableau des valeurs observées et

théoriques :

Nombre de souris avec

cancer

Nombre de souris sans

cancer

Groupe 1 : Goudron A Na = A+B

Groupe 1 : Goudron A Nb = C+D

A+C B+D N = A+B+C+D

A Ath

B Bth

C Cth

D Dth

–Statistique :

Khi 2 = (A- Ath)

2

Ath

+

DDL = 1

(B- Bth)2

Bth

+(C- Cth)

2

Cth

+(D- Dth)

2

Dth

+

Khi 2 =[(A*D)-(B*C)] * N

2

(A+C) * (B+D) *(A+C) *(C+D)

Remarque : La première formulation permet de vérifier les conditions d’application : Ath ,Bth ,Cth ,Dth doivent être supérieurs à 5

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Comparaison de deux pourcentages observés

• Utilisation du KHI2.– Décision :

• Valeur critique : table du Khi 2– Pour alpha = 0,05 Khi2 à 1 DLL = 3,84

Khi 2< Khi2 alpha

Il existe une différence statistiquement significative au seuil de risque alpha. On lit dans la table le seuil de significativité p

Khi 2 > Khi2 alpha

On accepte H0. Attention au risque Bêta

– 

– 

Remarque : les conditions d’applications sont discutées par les différents auteurs. On sera d’autant plus prudent qu’au moins un effectif théorique est proche de 5 et que le résultat est proche de la signification.

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Comparaison de deux pourcentages observés

• Exemple : On dispose de 100 souris qui sont réparties par tirage au sort en deux groupes de 50 souris. Le premier groupe est soumis à la fumée de cigarettes et le second à celle de cigares. On observe un pourcentage de cancer de 20% dans le groupe cigarettes et de 12% des cas dans le groupe cigare. Cette différence est-elle significative au seuil de risque 5% ?

• Hypothèses– HO :

• La différence observée est due au hasard. Pa = 0,20 et Pb = 0,12 sont des estimateurs de Path et Pbthtel que Path = Pbth = P

– H1 : test bilatéral• Path # Pbth

• Récapitulatifs des données• Pa = 0,20 , Pb = 0,12

• Na = 50; Na+ = 50 * 0,2 = 10

• Nb = 50; Nb+ = 50* 0,12= 6• P = 0,16 = (10+6)/(50+50)

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Comparaison de deux pourcentages observés

• Utilisation du KHI2.– Tableau des valeurs observées et

théoriques :Nombre de souris avec

cancer

Nombre de souris sans

cancer

Cigarettes10 40

50

Cigares6 44

50

16 84 1008

42

42

8

Tous les effectifs théoriques sont supérieurs à 5 => Les conditions d’application sont remplies

Khi 2 = (10- 8)

2

8+

DDL = 1

(6- 8)2

8+

(40- 42)2

42+

(44- 42)2

42+

•Khi 2 = 1,19 Khi 2 alpha 5% DDL 1 = 3,84 => La différence n’est pas significative au seuil de risque 5%

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Comparaison de deux pourcentages observés

• Utilisation d’une variable normale centrée réduite : u ou epsilon. Test bilatéral ou unilatéral.– Sous H0 on aurait dû observer un

pourcentage théorique dont le meilleur estimateur est obtenu en regroupant les observations

• Soit les données :– Na = Effectif du groupe 1

– Na+ = Effectif présentant le caractère dans le groupe 1

– Nb = Effectif du groupe 2

– Nb+ = Effectif présentant le caractère dans le groupe 1

– Pa = Pa = P =

Na+

Nb

Nb+

Na

(Na+) + (Nb+)

Na + Nb

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Comparaison de deux pourcentages observés

• u ou epsilon :u =

|Pa - Pb |

P * (1-P) P * (1-P)+

Na Nb

• u alpha est lu dans la table de l’epsilon.•u 5% = 1,96•Décision

•Si u > ualpha on rejette H0. Il existe une différence statistiquement significative. On cherche le degré de signification p•Si u < ualpha on ne peut pas rejeter H0. Attention au risque Beta.

•Remarque : le u est la racine carrée du khi 2 que l’on aurait pu calculer.

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Comparaison de deux pourcentages observés

• Exemple : On dispose de 100 souris qui sont réparties par tirage au sort en deux groupes de 50 souris. Le premier groupe est soumis à la fumée de cigarettes et le second à celle de cigares. On observe un pourcentage de cancer de 20% dans le groupe cigarettes et de 12% des cas dans le groupe cigare. Cette différence est-elle significative au seuil de risque 5% ?

• Hypothèses– HO :

• La différence observée est due au hasard. Pa = 0,20 et Pb = 0,12 sont des estimateurs de Path et Pbthtel que Path = Pbth = P

– H1 : test bilatéral• Path # Pbth

• Récapitulatifs des données• Pa = 0,20 , Pb = 0,12

• Na = 50; Na+ = 50 * 0,2 = 10

• Nb = 50; Nb+ = 50* 0,12= 6• P = 0,16 = (10+6)/(50+50)

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Comparaison de deux pourcentages observés

• u ou epsilon :u =

|0,20 -0,12|

0,16 * 0,84 +50 50

0,16 * 0,84

u = 1,091

• u 5% = 1,96

• => La différence n’est pas significative au seuil de risque 5%

• Remarque : 1,091 est la racine carrée de 1,19 valeur du khi 2 précédent.