Clarifier les perspectives de cet enseignement en abordant : la distinction entre mémorisation des tables et traitement, enseignement, automatisation de procédures qui utilisent les résultats mémorisés le nécessaire travail sur les procédures de calcul mental la progressivité et la cohérence de cet enseignement les liens à assurer avec les autres enseignements en mathématiques.

Calcul mental : pas de traitement écrit du calcul lui-même, même si le résultat peut être écrit (et même aussi, parfois, l’énoncé du calcul).

Calcul posé : usage d’une technique opératoire

Résultat automatisé : la réponse à « a x b » ou « a+b » ne doit pas relever d’une reconstruction mais bien d’une restitution la plus directe possible. Pour les tables, il ne s’agit donc pas réellement d’un calcul mais d’un fait de mémoire. D’autres résultats de calcul mental gagneront à être automatisés, mais l’automatisation est progressive, elle se construit, et y parvenir suppose d’avoir reconnu une situation…et donc d’avoir réfléchi.

Procédure automatisée : certaines procédures de calcul doivent aussi progressivement être automatisées. C’est le cas, particulièrement, des procédures qui sont des mises en œuvre directes des propriétés des opérations, comme la distributivité ou la commutativité. 5 x 104 = 5 x (100 + 4) = 500 + 20 = 52020 + 7 = 7 + 20

Certaines procédures, combinant connaissances sur les nombres et propriétés des opérations, peuvent aussi être progressivement automatisées :

25 + 27 = 25 + (25 + 2) = (25 + 25) + 2 = 50 + 2 = 52

Calcul réfléchi : tout calcul qui fait appel à une activité cérébrale, même s’il ne s’agit que d’aller chercher un résultat connu par cœur. Les performances en calcul mental dépendent largement de la capacité des élèves à mobiliser les résultats et les automatismes procéduraux. Mais ce terme rappelle qu’il y a souvent prise de décision par le calculateur, qui demande une réflexion : quels résultats et automatisme mobiliser ? …il y a plusieurs manières de faire…

Calcul rapide : ce n’est pas une forme de calcul mais un critère de performance.

Calcul approché : un tel calcul permet de donner un ordre de grandeur du résultat. L’expression « estimation de l’ordre de grandeur » n’est mentionnée que dans le programme de cours moyen mais donner, par le calcul mental, un ordre de grandeur du résultat d’une opération permet à l’élève de poser un regard critique sur son résultat. A ce titre, il est nécessaire de l’entraîner dès le cycle 2.

Dans les programmes 2008… des indications concernant les tables…connaitre, mémoriser, restituer

des éléments concernant le calcul mental … produire, reconnaitre, utiliser, calculer mentalement…un travail quotidien.

Dans les programmes de la classe de 6ème… le calcul mental est mentionné : on s’y entraîne, on consolide…

Cela renvoie implicitement à l’école élémentaire l’enseignement des procédures de calcul.

Un cadre horaire : le ¼ d’heure quotidien d’entraînement, des séances plus longues pour l’enseignement des procédures de calcul et de nouveaux résultats.

Les tables sont des faits arithmétiques à connaitre. Bien que le nombre de faits soit restreint, la mémorisation des tables résiste :

« Les informations qu’elles contiennent ne sont pas arbitraires et indépendantes les unes des autres. Au contraire, leurs contenus s’entremêlent étroitement. Elles fourmillent de fausses régularités, de rimes troublantes, de jeux de mots trompeurs. (S.Dehaene –La bosse des maths). »

Entre tables d’addition et tables de multiplication, un point commun sensible, c’est la difficulté de restitution qui s’accroit avec la taille des nombres : les réponses sont plus lentes et le taux d’échec est croissant avec la taille du nombre.

Pour les tables d’addition, des stratégies de recomposition mentale du résultat peuvent être rapides et performantes…mais ont un coût cognitif sensiblement supérieur à la restitution du résultat mémorisé.

Pour les tables de multiplication, la reconstruction est impossible ou très complexe, les calculs ne sont pas aisés.

Les élèves doivent « mémoriser les tables » : cela signifie que tous les résultats doivent être immédiatement disponibles, en fin d’école élémentaire, avec un taux élevé de réussite.

L’apprentissage des tables par l’élève ne se réduit pas aux leçons à la maison et le rôle de l’école ne se limite pas à interroger l’élève sur ce qu’il a appris à la maison.

La construction des tables est un travail qui doit être mené à l’école et qui repose sur un principe d’économie…le moins de cas possible pour le plus d’efficacité possible.

Leur apprentissage doit faire l’objet de séances d’entraînement à l’école. Quels outils pour les élèves ? Les affichages en classe peuvent être utiles en début d’apprentissage… mais

les laisser perdurer trop longtemps est contre-productif car cela diffère l’obligation de mémoriser.

Les cahiers outils Le tableau de Pythagore qui permet, pour l’addition, de mettre en évidence les

décompositions de 10, les sommes qui changent la dizaine, les doubles, les doublons. Il peut devenir un outil d’apprentissage : chacun ne conserve alors que les résultats qu’il n’a pas encore mémorisés et qu’il doit donc travailler.

La restitution des tables : Limiter le rituel de récitation des tables…qui conduit l’élève à tout reprendre

pour retrouver un résultat Travailler l’alternance des interrogations orales et écrites L’utilisation des TUIC

+ 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 5 6 7 8 9 10 11

3 5 6 7 8 9 10 11 12

4 6 7 8 9 10 11 12 13

5 7 8 9 10 11 12 13 14

6 8 9 10 11 12 13 14 15

7 9 10 11 12 13 14 15 16

8 10 11 12 13 14 15 16 17

9 11 12 13 14 15 16 17 18

Seuls les résultats résistants apparaissent encore…

Calcul mental et tables : tout calcul nécessite de recourir aux connaissances des tables. Dans 56 + 20 ou 296 + 500, tout expert reconnait et mobilise la connaissance du résultat 5 + 2 et transpose aux dizaines ou centaines automatiquement. Cette reconnaissance doit être enseignée à l’école.

Pourquoi enseigner le calcul mental ? … des liens avec la vie de tous les jours. Une manière de permettre à l’élève de cerner ses besoins dans ce domaine. Le travail sur les ordres de grandeurs permet une anticipation et un premier contrôle sur la validité d’un résultat.

Le recours au calcul mental et ses limites : il faut permettre aux élèves de mesurer leur efficience dans ce domaine mais aussi de situer leurs limites. Il faut les amener à faire preuve d’autonomie et d’initiative en choisissant la forme de calcul la plus adaptée : calcul mental, calcul posé, calculatrice.

Pour automatiser des procédures il faut les repérer, les identifier, les exercer. Ce travail est l’essentiel du parcours de formation à proposer.

L’apprentissage préconisé est un passage par l’explicite :• expliciter ou faire expliciter les propriétés des nombres et celles des

opérations en jeu…systématiquement en début d’apprentissage, puis chaque fois que nécessaire

• Recenser les procédures adaptées à la progression de chaque année de l’école élémentaire pour les enseigner explicitement…nécessité d’une progression pensée sur le parcours élémentaire de l’élève.

Procédures ou procédure ?

Il serait improductif d’imposer une stratégie et une seule, même et surtout celle qui apparait comme une évidence pour celui qui enseigne.

Pour choisir, il faut avoir le choix…

Les apprentissages se construisent dans la durée.

Une programmation toujours associée aux autres apprentissages mathématiques : quand on étudie la relation centimes/euros, il est impossible d’éviter de revenir au complément à 100, la distributivité dans la technique opératoire de la multiplication doit être travaillée en calcul mental.

Mais des spécificités à respecter : les techniques opératoires ne doivent pas être transposées au calcul mental, les techniques du calcul mental sont à apprendre spécifiquement. Les techniques de calcul mental s’appliquent prioritairement dans les situations de la vie courante : monnaie, comparaison de mesures, échanges entre enfants.

Les techniques spécifiques au calcul mental ne pourront s’installer durablement que si elles sont comprises, c’est-à-dire reliées à des connaissances déjà installées sur les nombres et sur les opérations : sens et technique sont étroitement liés.

TUIC◦ Calcul@TICE◦ Matou Matheux – Calcul mental

Sites de circonscriptions◦ Jeux de calcul mental (Vienne 1)◦ Jeux fractions et décimaux (Voiron 2)◦ Calcul mental à l'école primaire (Académie de

Nantes)

Elle porte sur ce qui a été enseigné et entraîné : il n’y a ni piège, ni surprise !

Une évaluation qui a trois fonctions : valoriser les progrès, dire à l’élève ce qu’il sait et ce sur quoi il doit encore progresser, indiquer à l’enseignant sur quoi il doit encore insister.

Une évaluation qui porte sur trois aspects du calcul mental : ◦ La mémorisation des résultats◦ L’automatisation des procédures étudiées◦ L’utilisation des procédures dans la résolution de problèmes simples.

Concernant les tables, dans une logique d’acquisition de compétence, l’indicateur donné pour la fin de l’école élémentaire est intitulé ainsi : « restituer les tables d’addition et de multiplication de 2 à 9 »… on doit donc considérer que la compétence est acquise lorsque le taux de réussite est élevé.

Pour les procédures, l’évaluation doit faire le point sur la part d’automatisation des procédures étudiées. Il y a peu de ressources dans ce domaine…des ressources à construire à partir des pratiques enseignantes.

Le niveau d’exigence en fin d’école élémentaire : en fin de CM2, il est raisonnable de considérer que le calcul mental se limite aux nombres inférieurs à 1000.