Chapitre VI: Flexion d’une poutre droite - Génie...
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Chapitre VI: Flexion d’une poutre droite
Propriétés des poutres sollicitées à la flexion pure ou plane
1- Obéissent à la notion de poutre en RDM
2- Droites et présentent un plan de symétrie
3- Les efforts extérieurs appartiennent au plan de symétrie et normaux à la ligne moyenne
4- Sous l’effet des charges la poutre fléchit en se déplaçant parallèlement au plan de symétrie
5- Symétrie des charge + symétrie géométrique de la poutre
Etude de la sollicitation dans le plan de symétrie de la poutre
Torseur des efforts intérieurs
zFi
yFi
G
FiMM
TR
2/
2/
2/
Ty: Effort tranchant porté par l’axe central de la section au plan de symétrie
Mz: Moment fléchissant porté par l’autre axe central de la section
Efforts intérieurs
Pour faire apparaître les efforts intérieurs, on effectue une coupurefictive à la distance x de l’origine A. En isolant le tronçon 1, onobtient l’effort tranchant T et le moment fléchissant Mf (Mz), par:
Diagrammes des efforts intérieurs
Exemple:
Poutre droite sur deux appuis simples en A et en B supporte deux charges ponctuelles de 10000N en C et D. Poids propre négligé
T
Contraintes de flexion
En flexion les contraintes normales sont plus importantes que
les contraintes tangentielles
Contraintes normales en flexion
Dans le cas de flexion pure ( Mf 0 et T = 0 ), les poutres se déforment suivant des arcs de cercles.
1- Le plan de symétrie de la poutre ne s’est pas déplacé
2- La ligne moyenne GG’ ne subit ni allongement ni raccourcissement (contraintes nulles).
3- Les fibres situées au-dessus de la ligne neutre sont comprimées et supportent des contraintesde compression ; celles situées en-dessous (MM’) sont tendues et supportent des contraintes detraction.
4- Toutes les lignes se sont courbées de telle sorte à rester parallèles aux sections droites quielles ont légèrement tourné
5- Toutes les lignes parallèles à la ligne moyenne et n’ayant subi aucune variation de longueurconstituent la surface neutre.
Observations expérimentales
Expression des contraintes normales en fonction du moment fléchissant
Nous posons l’hypothèse que les sections droites restent planes après déformation (Navier-Bernouilli).Conséquence: la répartition des contraintes dans les plans parallèles au plande symétrie est semblable à celle des contraintes dans le plan de symétrie
La déformation en flexion pure donneune rotation des sections droitesles unes par rapport aux autres autourd’axes normaux au plan de symétrie dela poutre.
soit (ds): élément de poutre infiniment petit(S,x,y): repère tangent à la surface neutred’origine S appartenant à une extrémité del’élément de poutre.(S1,x1,y1): repère tangent à la surface neutred’origine S1 appartenant à l’autre extrémité del’élément de poutre.
Plan de symétrie de la poutre
y
x
d
y1
x1
+
S
R
d
S1
ds
Déformation de l’élément de poutre ds
dsSS1
dsRdαSS1
)algébrique(rayon0R0dα
0)(RdαRTU 11 dsTS'or
US'TS'TU US'RdαdαR1
R)dα(RUS' 1
0y:avecyR)(R:)y,x,(Sdansor 1111
Allongement de la fibre TU
ou encore:
d
x
x1
y1y
R1
Rd
T
S
S’U
S1
+ds
L’allongement relatif d’une ligne située à l’ordonnée y de la surface neutres’écrit alors:
R
y
Rd
yd
TS
USe
'
'
Et la contrainte au point U obtenue par la loi de Hooke
R
yE
R < 0
> 0 (vecteur contrainte dirigé vers les x1positifs)y > 0
= E e:
S1 x1
y1
Répartition des contraintes normales sur une section droite de la poutre
Plan de symétrie de la poutre
Expression des contraintes normales en fonction de Mz
Le moment de flexion Mz pour une poutre sollicité en flexion s’exprime par:
dsMSMS
z 1
S1
dsM
z1
y1
Mz
x1
(S)
La projection de la précédente équation vectorielle sur l’axe z1 donne:
S
z dsyM R
yE
S
z dSyR
EM 2
avec
D’où
avec
1
2 z àrapport par S de equadratiqumoment :S
Gz dSyI
yI
M
GZ
z
Compte tenu de toutes ces relations:
Répartition des contraintes dans le plan de symétrie de la poutre
Contraintes maximales
maxmax
max yI
M
GZ
z
GZ
max
I notéflexion de module :
y
IGZ
Appelé aussi module de résistance de la section à la flexion
Remarque:
les modules des profilés standards sont répertoriés dans des tables
Remarque:
La répartition des contraintes est identique pour tous les plans parallèles au plan de symétrie de la poutre
Conditions de résistance à la flexion
Pour des questions de sécurité liées à l’usage des machines, la contrainte max dans la section droite la plus chargée doit rester inférieure à une contrainte limite admissible liée au matériau et fixée par le constructeur ou par des normes :
Dans le cas précis de la flexion, il faut donc procéder ainsi :
• Déterminer la section la plus chargée (en général celle où le moment fléchissant est maximum)• Vérifier que la contrainte maximale dans cette section est inférieure à la contrainte admissible Rpe ou RPc imposée par le constructeur
a/ résistance à l’extension
eGZ
z RpI
M
maxPour les fibres soumises à la traction
b/ résistance à la compression
cGZ
z RpI
M
maxPour les fibres soumises à la compression
Unités: Rpe et Rpc en [MPa] ; Mz en [N.mm] et IGZ/ en [mm3]
Concentration de contraintes
Lorsque les solides étudiés présentent de brusques variations de section, les relations précédentes ne s’appliquent plus. Au voisinage du changement de section, la répartition des contraintes n’est plus proportionnelle à la distance y.
maxmax
max yI
M
GZ
z
Remarque: Pour un matériau donné, il est intéressant de choisir la poutre dont les section droites sont de module de flexion maximal pour une surface minimale, on réalise ainsi un gain de poids considérable
On a alors pour la contrainte maximale:
Avec max
max0 y
I
M
GZ
z
0max tK
Exemple de distribution des contraintes
Contraintes tangentielles (ou de cisaillement) en flexion
Pour le cas d’une flexion plane (Mz 0 et T 0)
Toute section subissant un effort tranchant T présente des contraintes de cisaillement distribués comme sur le schéma ci-dessous:
xy
yx
xy
Deux types de contraintes tangentielles
* xy: contraintes tangentiellesnent aux sections droitesde la poutre et contenues dansle plan normal à (G,x) de direction celle du vecteur unitaire y * yx: contraintes tangentiellescontenues dans le plan normal à (G,y) de direction celle du vecteur unitaire x1
2
+
bdy
dx
On montre par l’équilibre des moments des forces de cohésion dans le parallélépipède du schéma précédent par rapport à l’arête 1-2 que:
(yx b dx) dy - (xy b dy) dx = 0
xy = yx
Réciprocité des contraintes tangentielles
Expression des contraintes tangentielles (Cas de section rectangulaire)
y
x
dx
yx
Mz
TyRépartition des contraintes normales
dS
Vue dans le plan (y,z)
Vue dans le plan (x,y)
dSyI
MdS A
GZ
z Pour toute la surface SA:
2/h
y
A
Gz
z
S
dSyI
MdS
A
Sur la face SB parallèle et distante de dx de la surface SA, la somme des forces de cohésion vaut:
2/)(
h
y
A
Gz
zz
S
dSyI
dMMdS
B
Les contraintes tangentielles sont uniformément réparties sur la surface normale à SA et située à l’ordonnée y. Elles valent yx b dx, la surface parallèle à celle-ci et d’ordonnée h/2 est libre de contraintes(les contraintes tangentielles y sont nulles). L’équilibre du parallélépipède formé par SA, SB et les surfaces qui leur sont normales, s’écrit:
0)(
0
2/2/
h
y
A
Gz
zz
A
h
y Gz
z
yx
SS
yx
dSyI
dMMdSy
I
Mdxb
dSdSdxb
BA
Soit une portion de poutre de longueur dx , elle est en équilibre sous l’action des forces de cohésion. La force de cohésion subie par l’élément de surface dS de SA s’écrit:
2/h
y
A
GZ
y
xy dSybI
T )
4(
.2
22
yh
I
T
GZ
y
xy avec dS= b dyA
Après simplification on a:
2/h
y
A
Gz
z
yx dSyI
dMdxb
dMz et IGz étant constants dans dS:
2/h
y
A
Gz
z
yx dSyI
dMdxb
Tenant compte du fait que dMz / dx = - Ty , on écrit la contrainte de cisaillement xy à la
distance y du plan neutre:
Remarque:
1/ La contrainte est maximale au niveau du plan neutre y = 0:
2/ Dans la pratique les contraintes normales maximales sont largement supérieures au contraintes de cisaillement
3/ quand la contrainte normale est maximale, la contrainte de cisaillement est nulle et vice et versa.
Cela justifie l’hypothèse qui consiste à négliger les effets des efforts tranchantspour le calcul des poutres en flexion plane
12 avec
2
3 3
max
bhI
bh
TGZ
y
xy
Déformations en flexion
Notion de déformée
Conditions aux limites
Ce sont des éléments connus de la déformée, imposés par les liaisons aux limites ou la forme de la déformée
flèche
La déformée présente des valeurs maximalesen I (entre A et B) et à l’extrémité D.pour ces points particuliers la déformation est souvent appelée flèche: fI = yI et fD = yD
La ligne moyenne AD de la poutre ci-contreest confondue avec l’axe des x avant déformation. Après déformation cette lignese déforme, elle fléchie et se transforme en une ligne d’équation mathématique dans le système d’axes (A, x, y) : y = f(x).
Cette courbe est appelée déformée
Détermination de la déformée d’une poutre en flexion
Méthode par intégration
Connaissant l’équation des moments fléchissants Mz en fonction de x, la pente y’ et la déformée y sont obtenues par intégrations successives à partir de :
avec Mz: le moment fléchissant (équation en x)E: le module d’élasticité longitudinale (MPa)IGz = Iz : le moment quadratique de la section par rapport
à l’axe (G, z) (mm4)d2y/dx2: la dérivée seconde par rapport à x de la déformée y
Remarque
les constantes d’intégration successives sont calculées à partir des conditions auxlimites imposées par la position et la nature des appuis, ou encore par la formegénérale de la déformée.
2
2
dx
ydIEM GZZ