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1

Cours de béton arméComportement du béton en flexion

simple

Dr Ir P. Boeraeve - Unité 9 Construction - 2007

BAC3 - HEMES -Gramme

2

Conventions/notations

� Signes :� + compression� - traction

Min Maj NOM

3

Etats limites

� ELU

Fk * γF

ELU

G Q

Effet défavorable 1,35 1,5

Effet favorable 1,0 0,0

γγγγF

4

Etats limites

• ELS Fk * γF

ELS G Q

Effet défavorable 1,0 1,0

Effet favorable 1,0 0,0

γγγγF

5

Méthode des coefficients partiels

� Concept de sécurité

Fk * γF ≤ Rk / γmAmplification des actionset minoration des résistances

Valeurs de CALCUL

(indice « d » : DESIGN)

Fd ≤ Rd

6

Coefficients partiels

ELU ELS

G Q G Q

Effet défavorable 1,35 1,5 1,0 1,0

Effet favorable 1,0 0,0 1,0 0,0

Sur les sollicitations : γF

BETON γc = 1.5 (acc. 1,0)ACIER (armatures) γs = 1.15(acc. 1,0)

Sur les résistances : γm (minoration)

γF

7

� Indiquez les parties de béton comprimé en bleu

� Indiquez les parties de béton tendues en rouge

�

8

Loi de constitutive du

béton σ = f(ε)� Diagramme idéalisés de calcul

� Parabole-rectangle1.5

0.85

ckcd c

c

ff avec etα γ

γα

= =

=� Triangle-rectangle

fctm

� Rectangle

0.2 εεεεcu3

9

Loi constitutive de l’acier des

armatures σ = f(ε)

� ACIER ARMATURES

� Diagramme de calcul simplifié avec palier plastique

1.15

yk

yd

s

s

ff avec

γγ

=

=

Les barres à haute adhérence (HA) sont généralement en S500 (fyk=500 MPa), donc fyd = 500/1.15 = 435 MPa

10

� Acier : zones en traction (résistance : 500 MPa)

� Béton : zones en compression (résistance 40 MPa)

� Sections d’acier faibles

14

� La poutre est maintenant totalement armée

15

� DOC4 : comportement en flexion

�

Questions

17

Fissures de compressionFissures de traction

18

DDééformations/contraintesformations/contraintes

Que peut-on déduire des mesures par jauge?

1. ………………………………………………………………………

2. ………………………………………………………………………

20

Flexion pureFlexion pure

La courbe Moment (M)-

Courbure (φφφφ)))) montre les 4

stades de la poutre

φ = (ε / y) = [ σ / E ] / y

= [(My / I) / E] / y

φ = M / ( E I )

I : Élastique, non fissuré

2 : Élastique, fissuré

3 : Plastique, fissuré4 : Rupture

21

DomaineDomaine 1 : 1 : PoutrePoutre BA, BA, domainedomaine

éélastiquelastique non non fissurfissuréé

I : Élastique, non fissuré

22

DomaineDomaine 1 : 1 : PoutrePoutre BA, BA,

domainedomaine éélastiquelastique non non fissurfissurééPoutre rectangulaire ( b x h ) armée avec une

section d’acier As.

Determiner la position de l’axe neutre (=CG), le

moment d’inertie Izz de la poutre non fissurée (béton

équivalent). En déduire les contraintes dans le béton

et dans les armatures produites par un moment M.

Ec – Module de Young – béton (Concrete)

Es – Module de Young –Acier (Steel)

As – Section d’acier

d – hauteur utile

b – largeur

h – hauteur

�

23

MMéécaniquecanique de de MatMatéériauxriaux : section : section

composcomposééee de de deuxdeux matmatéériauxriaux

1. Transformer la section mixte en section

homogénéisée (ici Acier-> Béton équivalent)

2. Position du CG (axe neutre)

3. Moment d’Inertie

4. Contraintes

24

MMéécaniquecanique de de MatMatéériauxriaux : section : section

composcomposééee de de deuxdeux matmatéériauxriaux

, ,c c équiv c c équiv c s s s sN A A E A Eσ ε ε= = =

1. Transformer la section mixte (élastique) en section

homogénéisée (ici Acier � Béton équivalent)

Le béton équivalent à As doit transmettre le même effort, or sa déformation est εs.

, .sc équiv s s

c

EA A n A

E⇒ = =

s s s s s sN A A Eσ ε= =

25

Solution (section non Solution (section non fissurfissurééee))

= - +béton

béton

acier

- +béton

béton

Béton équivalent=

n = Es/Ec

As

n.A s

As

As

xenf

Axe neutre

26

Solution (Solution (domainedomaine éélastiquelastique non non

fissurfissuréé))

s

c

E

En =

( )( )

( ) ( )

2

s

s

232

s

12

1

112 2

. .( ).

enf

enf enf

e enf e enf

c s

bhn A d

xbh n A

bh hI x bh d x n A

M x M d xf f n

I I

+ −=

+ −

= + − + − −

−= =

.( )e ect

M h xf

I

−=

27

Contrainte dans les armatures ?

n = Es/Ec

Ec

Es

ε

f

εs

fsc

fs

εs

εc

bfc= Ec. εc

d Contraintes dans le béton

fsc = Ec. εs

fs = Es. εs

=Es. fsc/Ec

= n. fsc

h

xenf

28

DomaineDomaine 2 : 2 : PoutrePoutre BA, BA, domainedomaine

éélastiquelastique fissurfissuréé

2 : Élastique, fissuré

29

DomaineDomaine 2 : 2 : PoutrePoutre BA, BA,

domainedomaine éélastiquelastique fissurfissuréé

Poutre rectangulaire ( b x h ) armée avec une

section d’acier As.

Determiner la position de l’axe neutre (=CG) et le

moment d’inertie Izz de la poutre fissurée. En

déduire les contraintes.

Ec – Module de Young – béton (Concrete)

Es – Module de Young –Acier (Steel)

As – Section d’acier

d – hauteur utile

b – largeur

h – hauteur

�

30

Appl2 Appl2 -- PoutrePoutre BA, BA, domainedomaine


c.

2

efbx fC =

fc= Ec. εc

fs = Es. εs

�

xef

………

s sT f A=…………

31

Appl2 Appl2 -- PoutrePoutre BA, BA, domainedomaine éélastiquelastique

fissurfissuréé

1. La section n’est soumise qu’à un moment de

flexion, les efforts C et T sont donc égaux

On exprime ainsi l’ équilibre de la section

s c

s2

efx bf f

A

=

�

On obtient finalement :

s s c2

efx bT C f A f

= → =

……………………………………………

………………………………………

…………………

32


fissurfissuréé

c s s s

s c

2 2

ef ef

E A nA

E x b x b

εε

= =

2. Les matériaux sont élastiques, donc, ils

respectent la loi de Hooke qui s’écrit :

Donc :

Remplacez dans l ’expression précédente :

�………

fc= Ec. εc fs = Es. εs……………… …………………

c cs s s

2ef

Ex b E A

ε ε=………………………………………

33


fissurfissuréé

2. Il n’y a pas de déplacement

relatif entre les armatures et le

béton et les sections restent planes :

condition de compatibilité.

Déduire du diagramme des ε une

relation entre εc et εs

�

xef

…………………

………

s c

ef efd x x

ε ε=−………………………………………

34

Appl2 Appl2 -- PoutrePoutre BA, BA, domainedomaine


s2ef

ef ef

x nA

d x x b=

−

Donc :

2s s2 2

0ef ef

nA nAx x d

b b

+ − =

Réarrangeons l’équation sous la forme.

35


fissurfissuréé

2 22 2 0ef efx n d x n dρ ρ+ − =sA

bdρ =

Utilisons le rapport de la section d’acier à la section

de béton (“pourcentage” d’armature).

Réécrivons sous une forme non-dimensionelle en

fonction de xe/d.

2

2 2 0ef efx x

n nd d

ρ ρ + − =

………………………

………………………….

36


fissurfissuréé

La solution de cette équation est :

( )

( )

2

2

2 2 8

2

2

ef

ef

n n nx

d

xn n n

d

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

− ± + =

= + −

………………………

………………………

37


fissurfissuréé

Le moment d’inertie vaut :

�

xef

( )23

2

s12 2

ef ef

ef ef ef

bx xI bx d x nA

= + + −

………………………………………

38

Application 2 Application 2 PoutrePoutre BA, BA,

domainedomaine éélastiquelastique fissurfissuréé

xef ( )2 2efx

n n nd

ρ ρ ρ = + −

( )3

2

s3

ef

ef ef

bxI d x nA= + −

sA

bdρ =

s

c

E

En =

. .( ).

ef ef ef ef

c s

ef ef

M x M d xf f n

I I

−= =

39

DomaineDomaine 3 : 3 : plasticitplasticitéé

� Ce domaine n’est intéressant que par son stade ultime : la rupture

3 : Plastique, fissuré4 : Rupture

40

DomaineDomaine 4 : rupture par 4 : rupture par plasticitplasticitéé

4 : Rupture

41

εεεε=0.0035

DomaineDomaine 4 : rupture par 4 : rupture par plasticitplasticitéé, , PoutrePoutre

BA BA rectangulairerectangulaire (A(Ass, h et b , h et b fixfixééss, , calculcalcul de de

MrdMrd))La zone comprimée est modélisée par un

diagramme rectangulaire équivalent.

εc,max=0.0035 (si classe résistance ≤ C50/60)

fs=fyd pour une rupture ductile (souhaitable)

hypothèses

42

s yd

cd0.8u

A fx

bf⇒ =

1. La section n’est soumise qu’à un moment de

flexion, C et T sont donc égaux

On exprime ainsi l’équilibre de la section

DomaineDomaine 4 : rupture par 4 : rupture par plasticitplasticitéé, , PoutrePoutre

BA BA rectangulairerectangulaire

cd0.8 uC x bf=

�……………

………………………………………

s ydT A f=

………………

………………

43

DomaineDomaine 4 : rupture par 4 : rupture par

plasticitplasticitéé

2. Les efforts internes C et T sont équivalents à un

moment qui est le moment résistant de calcul Mrd.

Donc :

Mrd

�

( )rdM = T 0.4 ud x−………………

44

DomaineDomaine 4 : rupture par 4 : rupture par

plasticitplasticitéé=0.00353. Vérification que les armatures sont bien

plastifiées : yd

s y

s

f

Eε ε> =

xu

�

s c

s

0.0035.( )

u u

u

u

d x x

d x

x

ε ε

ε

= ⇒−

−=

………………………………………

…………………………………………

Il n’y a pas de ………… relatif entre les

armatures et le béton et les sections

restent ………. : condition de

compatibilité. Déduire du diagramme

des ε la relation entre εc et εs

45

ExerciceExercice

Moment résistant de calcul Mrd= ?

(cotes en cm pour le béton!)

b= 20 cm

h= 40 cm

d= 35 cm

Béton C25/30armatures : 2 φφφφ 20 HA en S500

solution

�

46

Pour assurer une ductilité suffisante, l’EC2 impose,

en flexion simple, une limite au rapport xu/d :(xu/d)lim = 0,45 pour des bétons de classe de résistance ≤ C35/45 et(xu/d)lim = 0,35 pour des bétons de classe de résistance ≥ C40/50.

1. Cette limite est-elle un maximum ou un minimum?

2. Déduisez le domaine de validité des déformations dans

l’armature. Quelle en est la conséquence si fyd=435MPa ?

DomaineDomaine 4 : rupture par 4 : rupture par plasticitplasticitéé, ,

PoutrePoutre BA BA rectangulairerectangulaire �

bétons de classe de résistance ≤ C35/45

εs est toujours < ou > que 0.004278

bétons de classe de résistance ≥ C40/50

εs est toujours < ou > que 0.0065

……………

…………… solution

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