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Formulaire des poutres
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Contrainte tangentielle
Ty est l’effort tranchant (N)
S est la surface de la coupure (mm²)
Ymoy est la contrainte tangentielle (Mpa)
Contrainte tangentielle maximale
Section rectangulaire
moy23
max
Section circulaire
moy34
max
Autres sections
A
moy
S
23
max
Si l’épaisseur est petite devant les autres dimensions
tranversales, on peut considérer que seule la section
SA (partie grisée) travaille au cisaillement
Condition de résistance à la contrainte tangentielle
pgR : contrainte pratique de limite au glissement (Mpa) = s
Rg
gR : contrainte de limite élastique au glissement (Mpa)
s : coefficient de sécurité
max = contrainte tangentielle maximale (Mpa)
La contrainte limite au glissement gR s’exprime en fonction de la contrainte limite à l’extension eR
- matériaux ductiles : gR = 0.5 eR
- matériaux peu ductiles : gR = 0.6 eR ou gR = 0.7 eR
- matériaux à décohésion franche : gR = 0.9 eR
pgY Rmax
S
TyYmoy
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Exemple
Etude statique
On déduit SY1 = SY 2 = 23 SF = 10,5 N donc yA S
.5.101 et yB S
.5.102
Torseur de cohésion pour 2
0 lx
),,,(),,,(),,,(
5.10005.1000
5,0005.000
0005.000
zyxGGzyxGGzyxAA
coh
xxFFFSST
Torseur de cohésion pour lxl 2
),,,(),,,(),,,(
63005.10005.1000
)(5,0005.000
0005.000
zyxGGzyxGGzyxBB
coh
xxlFFFSST
Diagrammes
Contrainte normale maximale
MPahb
hM
IYM
YIM
fz
GZ
fz
GZ
fz 0625,59
124.20
2.3150
12.
2.
.33
max
max
max
F = 21 N
l = 600 mm
b= 20 mm
h = 4 mm
Matiere : A60
E = 200 000 Mpa
Re = 340 Mpa
gR = 0.6 eR
s=2
1 2
3
10,5
N
10,5
N 3150
N.mm N 2
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Condition de résistance
170592
34059maxmax sRR e
pe la condition est vérifiée avec un rapport 17.0max eR
Contrainte tangentielle maximale
MPahbF
moy 19.04.205.10.
23
.5.0.
23
23
max
Condition de résistance
10219.02
3406.019.06.0maxmax sRR e
YpgY la condition est vérifiée avec un rapport 00059.0max eR
Conclusion
La poutre soumise à la flexion simple est plus sensible aux contraintes normales qu’aux contraintes
tangentielles.
Calcul de la flèche maximale
GZIElPlf..48
.)2
( 3 = mm42.4
124.20.200000.48
600.213
3
Calcul de la flèche sans l’aide du formulaire
000148,0
124.20.200000
3150.
)(''3
GZ
fz
IEMxy
1.000148,0)(' Cxxy y’(x)=0 pour x=l/2=300mm 044297,0300.000148,01 C
044297,0.000148,0)(' xxy
2.044297,02².000148,0)( Cxxxy y(x)=0 pour x=0 donc
C2 = 0
xxxxxy .044297,0².000074,0.044297,02².000148,0)(
La flèche sera maxi au point C
-6,64
Principe de superposition
Dans la limite des déformations élastiques, le vecteur déformation
en un point, du à un système de forces extérieures est égal à la
somme géométrique des vecteurs déformation dus à chacune des
forces du système agissant séparément.
Le calcul de résistance d’une poutre sollicitée en flexion simple se fait selon le critère de la
contrainte normale
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Exemple
On considère un IPE 180 reposant sur deux appuis linéaires rectilignes parfaits en A et B
Cette poutre, dont on ne négligera pas le poids supporte en C une charge verticale concentrée
yC
.120014
Hypothèses :
- poids linéique : p = 188 N/m
- moment quadratique IGZ = 1 317 cm4
- module de Young : E = 2.105 Mpa
- longueur l = 3m
Calculer la flèche en I, milieu de la poutre
Considérons dans un premier temps la poutre soumise à la
charge répartie p uniquement
mmIE
lpIy
GZ075.0
10.1317.200000.384
3000.188,0.5
..384
..5)(
4
43
1
Considérons dans un deuxième temps la poutre soumise à la
charge concentrée uniquement
mmIE
lPIyGZ
256.010.1317.10.2.48
3000.1200
..48.)(
45
33
2
Utilisons le principe de superposition : y= y1 + y2 = 0,075 + 0,256 = 0,331mm
Flexion de poutres hyperstatiques
Les seules équations de la statique ne suffisant pas pour résoudre le calcul des actions aux appuis. Il
faut faire intervenir en plus les équations de déformations .
Exemple 1
Une poutre AB en HEA 600 (IGZ/v = 4786 cm3 ; E =
2.105 MPa) de longueur l = 4m encastrée à ses deux
extrémités supporte en C une charge yF
.5000
A
B C
D A
B
D A
C
D
= +
B A C
F y
x
l
l/2 1
2
S
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Déterminer les actions en A et B
Equations de statique :
2/21 FBA SS (symétrie)
0.2
221 lBMFlM SSBSA :
022
21 FlMFlM SBSA
donc SBSA MM 11
le système est hyperstatique d’ordre 1
Equation de déformation :
Calcul du moment fléchissant quand 2
0 lx
xAMA
xAMATT
SSA
S
GSSA
S
G
Sextcoh
.0000
.0000
11
1
11
1 SASfz MxAM 11 .
Utilisation de l’expression de la déformée
SASGZ MxAyIE 11 .''..
111 .2².'.. CxMxAyIE SASGZ
211
3
1 .2².
6... CxCxMx
AyIE SASGZ
00)0(' 1 Cy
00)0( 2 Cy donc 2².
6... 1
3
1xM
xAyIE SASGZ
Compte tenu de la symétrie de la déformée : 0)2
(' ly donc
4.
2
)²2
(2
2.)²
2(
22.
2
)²2
(.0 1
1
111
11lA
l
lA
MlMlAlM
l
A S
S
SASAS
SAS
21
FA S donc 8.
21lFMM SBSA
Torseur de cohésion pour 2
0 lx
)4
.(2
0
02
00
280
02
00
20
02
00
20
02/00
11 lxF
F
FxFl
F
FxM
F
FxM
FTTcoh
GG
SA
G
SA
G
Sext
zFxFlFxFlFxFl
Fx
FlAGAMM SSASG
.
2828
00
2
00
8
00
02
0
00
8
00
11
B A C
F y
x
SA1 SB 2
SAM 1
SBM 2
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Torseur de cohésion pour lxl 2
))(4
.(2
0
02
00
2
)(
8.0
02
00
).(0
02
00
22 xllF
F
xlFlF
F
xlBM
FTTcoh
GG
SSBG
Sext
zxlFFl
xlFFlxlFFlFxl
FlBGBMM SSBSG
.
2
)(
8
2
)(
8
00
2
)(00
8
00
02
0
00
8
00
222
Effort tranchant
20 lx : NFTy 2500
2
lxl 2
: NFTy 25002
Moment fléchissant
0x : mNFlM fz .25008
4.50008
2lx : mNFlM fz .2500
84.5000
8
lx : mNFlM fz .25008
4.50008
Flèche maximale au point C
².16
.122
².6
... 31
3
1 xFlxFxMx
AyIE SASGZ
6.32)
21
31(
3264964.
168.
12..
333333 FlFlFlFllFllFyIE GZ
GZIE
lFy
..192
. 3
mmly 74,14786000.200000.192
4000.5000
2
3
B A C
F y
x
SA1 SB 2
SAM 1 SBM 2
y
B
A
C
x
8Fl
8Fl
B A
C
x 8Fl
8Fl
