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Franois COSTA Module MR2 : Electronique de puissance avance

Chapitre 3

Harmoniques dans les onduleurs de tension

1. HARMONIQUES DANS LES ONDULEURS DE TENSION A MLI La tension dlivre par un onduleur est dcoupe par principe, elle possde donc un contenu harmonique quil convient de bien connatre en fonction des contraintes de qualit de londe imposes la charge. En effet, selon les applications, le taux de distorsion de londe de tension de sortie doit tre compatible avec des normes plus ou moins svres. Ceci justifie frquemment lusage de filtres et le choix de stratgies de commandes de londuleur qui permettent de minimiser le contenu harmonique. Ce chapitre prsente une approche de calcul des harmoniques rsultantes de quelques lois classiques de modulation de largeur dimpulsion (MLI) dans le cas dun onduleur monophas et compare leurs mrites respectifs. La fin de chapitre aborde la MLI triphase ; son tude est restreinte au fondamental de la tension de sortie, la question de la dynamique de son rglage est abord ainsi que quelques mthodes pour laccrotre.

Dfinition des termes On dfinit les termes suivants :

Indice de modulation : n = Fd/Fs Taux de modulation : R = M/A Coefficient de rglage : r = Max/E

2. LES TECHNIQUES DE MLI INTERSECTIVE Une loi de modulation dimpulsion rsulte de la comparaison dune modulante avec une porteuse, comme reprsent sur la figure 3-1. La mise en uvre de ce principe est reprsente la figure 3-2.

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Figure 3-1 : MLI synchrone unipolaire doublement de frquence

Figure 3-2 : principe de gnration dune loi MLI unipolaire doublement de frquence Modulation non synchrone : elle est rserve n grand Modulation synchrone : elle est adapte aux faibles et moyennes frquences de dcoupage (n


2.1. MLI unipolaire synchrone chantillonne Il s'agit du cas d'une onde unipolaire dlivre par un pont monophas qui serait obtenue pas la comparaison d'une dent de scie et d'une modulante vmod sinsusodale chantillonne synchrone figure 3-3). On suppose que la fonction fm(t) obtenue est une fonction impaire et la reprsentation de la demi-priode Ts/2 nous suffit donc.

On pose : TT

= nsd

Les coefficients Bh s'expriment:

B =4Ts

f (t)sin h t dt =4Ts

sin h t dth m sTs/2

s

t

t

k=0

n/2-1

1k

2k

0

avec : t = kT + T t2

1k dd ok et t = kT + T t

22k d

d + ok

Dent de scie rfrence

modulante sinusoidalechantillonne vmod

Ts/2Td=Ts/n

AM

fm1

t

t

kTd (k+1)Tdt1k t2k

tok

t

Figure 3-3 : Exemple fortement symtris pour le calcul d'une MLI unipolaire

En introduisant la modulante, il vient :

t =v (kT )

AT =

MA

T sin (2k +1)T

T = R T sin (2k +1)n

okmod d

d ds

d d

Le coefficient R =M/A est le taux de modulation, avec R 1 Lexpression prcdente permet d'exprimer t1k et t2k :

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t =T2

(2k +1) R sin (2k +1)n

1kd

et t =

T2

(2k +1) + R sin (2k +1)n

2kd

On peut alors en dduire la forme de Bh :

B = 4hT

cos h t cos h ths s

s 1k s 2kk=0

n/2-1

Finalement :

B =4

hsin (2k + 1)

hn

sin hRn

sin (2k + 1)n

hk =0

n /2-1

Cette forme n'est gure explicite mais a le mrite de donner prcisment les composantes harmoniques du signal. Nous en prciserons les particularits plus loin, par calcul numrique.

2.2. Onde unipolaire avec doublement de frquence Toujours dans le cas d'un pont monophas, on peut aboutir un doublement de frquence, en utilisant, pour les deux bras, des modulations centres synchrones, cres par deux modulantes en opposition de phase. Ceci peut, nouveau, tre obtenu par comparaison d'une dent de scie unique aux deux modulantes prcdentes (figure 3-4). Ce principe revient tout simplement reproduire la modulation prcdente mais avec une frquence de la porteuse artificiellement multiplie par deux. Le calcul est donc le mme avec n deux fois plus grand.

Dent de scie Fd + 2 Modul.

Td=Ts/n

A

fm1

t

t

Td=Ts/2n

t

t

M

-M

-A

Dent de scie 2Fd + 1 Modul.=

Figure 3-4 : commande unipolaire 2Fd dans un pont monophas

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2.3. Onde bipolaire Le mme type de calcul peut tre appliqu une onde bipolaire, avec des hypothses de travail similaires. La figure 3-5 indique la configuration choisie. Le calcul est plus rapide avec une fonction de modulation voluant entre 0 et 2, mais quivaut celui une onde bipolaire +1/1.


modulante sinusoidalechantillonne vmod

Ts/2Td=Ts/n

A

fm2

t

t

M

(1)

1(0)

0(-1)

A/2

Figure 3-5 : Exemple fortement symtris pour le calcul d'une MLI bipolaire L'onde n'tant ni paire ni impaire, le calcul des Ah et des Bh est maintenant ncessaire :

B =4Ts

sin h t dth st

t

k=0

n-1

1k

2k

et A = 4Ts cos h t dth stt

k=0

n-1

1k

2k

Avec cette forme de modulation, l'expression de tok devient :

t =v (kT )

AT =

T2

+M'A

T sin (2k +1)T

T = T12

+R2

sin (2k +1)n

okmod d

dd

ds

d d

Ce qui conduit :

t =T2

(2k +1)R2

sin (2k +1)n

1kd

12

et t =

T2

(2k +1) + +R

sin (2k +1)n

2kd 1

2 2

Le calcul est quasi-identique au prcdent et dbouche sur :

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B =4

hsin (2k +1)

hn

sin h

2nR sin (2k +1)

nh

k=0

n-1

+

1

A =4

hcos (2k +1)

hn

sin h

2nR sin (2k +1)

nh

k=0

n-1

+

1

A partir des diffrentes expressions obtenues, il est ais de calculer numriquement les diffrentes composantes harmoniques. Les dcompositions spectrales qui apparaissent figure 3-6 rsultent de ce calcul qui a t fait pour R = 0.8. Ces rsultats donnent clairement la tendance du comportement d'une MLI :

On trouve un fondamental la frquence de modulation, dont l'amplitude est directement proportionnel au taux de modulation,

Les harmoniques que l'on pourrait qualifier de basse frquence sont inexistantes (ou quasi-inexistantes),

Les premires harmoniques qui apparaissent sont lies la frquence de dcoupage et correspondent des rangs de la forme (nh + h')Fs ou (nh * h')Fs, soit des raies espaces de Fs autour des multiples de la frquence de dcoupage,

Si n est grand, le spectre peut tre dissoci en groupes de raies organiss de ces multiples de la frquence de dcoupage (intermodulation entre groupes ngligeable).

Selon la technique de modulation, certaines des raies correspondant l'observation gnrale prcdentes, peuvent tre absentes.

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Amplitudedes raies

h

n 2n

a-MLI unipolaire sans doublement de frquence-R = 0.8

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Amplitudedes raies

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

0.2

0.4

0.6

0.8

1

h

n 2n

b-MLI bipolaire -R = 0.8

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2nn

h

Amplitudedes raies

c-MLI unipolaire avec doublement de frquence-R = 0.8

Figure 3-6 : Contenu harmonique des MLI unipolaires et bipolaires Ces calculs donnent la dcomposition exacte, l'chantillonnage prs, effectu sur la modulante pour fixer de faon simple la largeur des impulsions.

2.4. MLI asynchrone grand indice de modulation On peut mettre en uvre une autre mthode, approche celle-l, et supposant que n >> 1. Cette mthode consiste calculer la dcomposition en srie de Fourier de la porteuse non module puis injecter la variable module, qui sera toujours la largeur d'une impulsion dans la dite srie. La justification mathmatique de cette approche est dlicate mais il apparat que pour des modulations frquence faible devant la frquence de dcoupage (donc n grand), le rsultat est trs proche de la ralit et a le mrite de faire apparatre plus nettement les groupes dont nous avons soulign l'existence prcdemment.

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Pour oprer un tel calcul, appuyons nous sur les signaux de la figure 3-7 qui nous permettrons d'effectuer la comparaison avec les rsultats prcdents.

t

t

t

TdTd

(1-)Td

fm1

fm2

fm1-fm2

Figure 3-7 : Porteuses non modules Les sries de Fourier des fonctions de modulations fm1 et fm2 sont :

f = + 2h

sin(h ) cos h( t )m1h=0

d

f = (1 ) + 2h

sinh (1 ) cos h t (1 )m2h=0

d

On pourrait dduire de la premire, la dcomposition d'un signal bipolaire modul. La dmonstration est plus simple sur un signal unipolaire modul qui peut tre obtenu en faisant la diffrence des 2 prcdents :

f f = (2 -1) + 2h

sin(2h ) cos(h t)m1 m2h=0

d

La grandeur de modulation est ici le rapport cyclique dont on assimile la forme (normalement discrte) une fonction temps continue de la forme :

= 12

(1+ R sin t)s

En injectant cette grandeur modulante dans la srie prcdente, on obtient :

f f = R sin t + 2h

sin h (1 + R sin t ) cos(h t)m1 m2 sh=0

s d

f f = R sin t + 2h

( 1) sin h R sin t ) cos(h t)m1 m2 sh=0

hs d

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f f = R sin t +2

h ( 1) J (h R) sin (2p +1) t cos(h t)m1 m2 s

h=0

h2p+1 s

p=0d

2 Finalement :

[ ][ ]f f = R sin t +

2h

( 1) J (h R)sin nh + (2p +1) t

sin nh (2p +1) t m1 m2 s

h=0

h2p+1

s

sp=0

Cette dcomposition approche fait clairement apparatre la notion de groupe (si l'on suppose toujours qu'il n'y a pas d'intermodulation). En effet, pour h fix, on trouve des ensembles de raies espac de plus ou moins 2p+1 par rapport nh, rang multiple de la frquence porteuse. Le tableau suivant donne les valeurs numriques correspondantes pour diffrentes valeurs du taux de modulation et pour les deux premiers groupes (h=1,2). On note qu'il n'y a pas de raie nhFs, ce que l'on observait dj dans le calcul exact.

h=1 h=2 2p+1 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9

(2/h)J2p+1(hR) R = 0.5

0.36 0.043 1.4e-3 x x 0.09 0.106 0.016 0.001 x

(2/h)J2p+1(hR) R = 0.8

0.314 0.139 0.012 5e-4 x 0.105 0.114 0.084 0.017 1.8e-3

(2/h)J2p+1(hR) R = 1

0.181 0.213 0.033 0.002 x 0.067 0.009 0.118 0.05 0.009

Par rapport au calcul prcdent, on note une similitude, avec la nuance suivante : dans ce cas, les raies symtriques autours de nh sont d'amplitudes identiques. Dans le calcul exact, ce n'est pas le cas. On note nanmoins que la moyenne arithmtique des amplitudes de 2 raies symtriques est sensiblement gale l'amplitude des raies correspondantes du calcul approch. D'une faon gnrale, on peut donc considrer que la reprsentation spectrale qualitative de la figure 3-8, quel que soit la nature du modulateur et si n >> 1, recouvre par excs, le contenu de n'importe quelle onde MLI.

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Fd 2Fd 3Fd

Amplitudedes raies

Fs

Spectre dela modulante Fs

F

Figure 3-8 : Spectre gnral "par excs" des ondes MLI

3. MLI CALCULEE Les MLI calcules sont utilises lorsque le rapport entre la frquence de dcoupage et la frquence fondamentale est faible, ce qui est frquent en forte puissance. Dans ce cas, il y a prsence de composantes harmoniques de rang bas indsirables que l'on cherche liminer ou minimiser en exploitant au mieux le nombre d'impulsions disponibles sur la priode fondamentale. Pour atteindre cet objectif, on dtermine a priori des formes d'ondes optimises qui seront ensuite mmorises dans des tables. La courbe infrieure du graphe de la figure 3-9 montre un exemple simple de fonction de modulation sur laquelle on peut procder cette optimisation.

2 211

-1

1

2

2

-1

2

fm1

fm2

Figure 3-9 : Principe d'une MLI calcule Il s'agit ici d'une forme trois niveaux et 6 impulsions par priode, mais le principe peut tre gnralis un nombre quelconque d'impulsions, sachant que celui-ci sera dfini par le rapport entre la frquence de commutation permise par la technologie des interrupteurs et la frquence fondamentale.

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La dcomposition de la fonction de modulation de base (courbe suprieure du graphe) est :

f ( ) = 4 1h

cos(h ) sin(h )m1h=1

Avec h impair. La dcomposition du motif complet est alors :

f ( ) = 4 1h

cos(h ) + 2cos(h ) cos(h ) sin(h )m2h=1

1 2

A partir de l, Il est possible de calculer l'amplitude de chaque rang harmonique en fonction des diffrents paramtres angulaires : H1 = 4/ (cos 1 + 2cos 2 cos ) H3 = 4/3 (cos 31 + 2cos 32 cos 3) H5 = 4/5 (cos 51 + 2cos 52 cos 5), etc... L'optimisation correspond ensuite un lourd travail de rsolution numrique qui peut s'appuyer sur diffrents critres comme l'annulation pure et simple de certains rangs ou, plus globalement, sur la minimisation du taux de distorsion. il faut souligner que l'on doit mmoriser autant de motifs que de valeurs dsires de la composante fondamentale. D'autre part, dans l'hypothse d'une application large plage de frquence (variation de vitesse), il faut crer diffrentes gammes de motifs selon la situation dans cette plage (nombre d'impulsions par priode fondamentale croissant avec cette dernire, frquence de commutation donne). Cette mise en uvre est donc assez lourde, avec comme principales difficults la ncessit de prendre en compte les temps de retard la commutation des interrupteurs de puissance qui dformeront le motif idal et le respect d'une continuit entre motifs en rgime dynamique. L'optimisation correspond ensuite un lourd travail de rsolution numrique qui peut s'appuyer sur diffrents critres comme l'annulation pure et simple de certains rangs ou, plus globalement, sur la minimisation du taux de distorsion.

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4. MLI TRIPHASEE La figure 3-10 reprsente les fonctions de modulation dans le cas dun onduleur triphas, obtenues selon le principe dvelopp jusqu prsent.


modulantes sinusoidaleschantillonnes

Ts/2Td=Ts/n

A

fm1

t

t

M

A/2

t

t

1

fm21

1fm12

-1

Figure 3-10 : MLI triphase 4.1. Dfinition des fonctions de modulation : Au sens du premier harmonique, lexpression des fonctions de modulation est donne par :

))sin(1(21)(1 tRtf sm += , ))3

2sin(1(21)(2

+= tRtf sm , ))

34sin(1(

21)(3

+= tRtf sm Do le systme des fonctions de modulation composes entre cellules de commutation :

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))3

cos(321)(12

= tRtf sm , ))cos(321)(23 = tRtf sm ,

))3

cos(321)(31

+= tRtf sm Consquences : 9 La MLI triphase est de type unipolaire doublement de frquence puisque les

fonctions de modulations ne sont pas complmentaires par principe. Si on exprime les fonctions de modulation avec leurs termes harmoniques, on observe que : 9 Les harmoniques de rang 3 crent un systme homopolaire, 9 Les harmoniques de rang 6k+1 crent des systmes harmoniques directs, 9 Les harmoniques de rang 6k-1 crent des systmes harmoniques inverses.

4.2. Amlioration de la dynamique du fondamental

La tension fondamentale disponible en sortie donduleur est : rseaus UEV 233

23

21

1 == Cette tension est infrieure la tension naturelle du rseau, une machine alimente dans ces conditions est donc dclasse. La solution consiste injecter dans la fonction de modulation un harmonique de rang 3 qui permettra daccrotre artificiellement le fondamental de la tension de sortie. Le problme consiste dterminer quel taux dharmonique 3 injecter dans la modulante. La somme de H1 et H3 ne doit pas dpasser la tension dalimentation E.

Le calcul permettant de dfinir le taux optimal d'harmonique 3 est relativement simple. L'expression du signal total (sans tenir compte du point de repos E/2) est :

vs() = Vs1 sin + Vs3 sin3 La valeur maximale de ce signal doit tre gale 1 si l'on raisonne en grandeur normalise par rapport E/2. Il faut donc d'abord trouver les coordonnes du maximum par la rsolution de :

dvs/d = 0 = Vs1 cos + 3Vs3 cos3, Condition qui peut se mettre sous la forme :

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(Vs1 + 3Vs3 12Vs3 sin).cos = 0, Vs1(1 + 3K13 12K13 sin).cos = 0,

avec K13 = Vs3/Vs1 Les solutions qui nous intressent sont celles qui correspondent un angle diffrent de /2, donc celles de :

1 + 3K13 12K13 sin = 0 On en dduit les coordonnes des maxima :

M13

= Arcsin 14

+ 112K

vs = Vs ( 13

+ K ) 1+ 13K

M 1 1313

En respectant la condition vsM = 1, Vs1 peut s'exprimer :

Vs =K

13

+K )

113

1332(

la valeur normalise de Vs1 est alors maximale pour K13 = 1/6 et vaut Vs1M = 1,155. L'angle correspondant est M = /3. La valeur efficace maximale relle de la composante fondamentale est maintenant : Vs1eff = 1.155E/22 = 0,408E Soit en alimentation par un rseau triphas :

Vs1eff/Veff = 0,955. Ainsi, on obtient un fondamental de tension qui est quasiment unitaire, il ny a plus de dclassement dalimentation par cette technique.

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Chapitre 3Harmoniques dansles onduleurs de tension

1. Harmoniques dans les onduleurs de tension MLIDfinition des termes

2. Les techniques de MLIintersective2.1. MLI unipolaire synchrone chantillonne2.2. Onde unipolaire avec doublement de frquence2.3. Onde bipolaire2.4. MLI asynchrone grand indice de modulation

3. MLI calcule4. MLI triphaseLa figure 3-10 reprsente les fonctions de modulation dans l4.1. Dfinition des fonctions de modulation:

4.2. Amlioration de la dynamique du fondamental

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