eivd Régulation numérique

Chapitre 2

Echantillonnage et reconstruction

Chapitre 2, v.1.2 1 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

Chapitre 2, v.1.2 2 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

Table des matières

2 Echantillonnage et reconstruction 12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Le processus d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 L’opérateur d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Transformée de Fourier d’un signal numérique . . . . . . . 52.2.3 Recouvrement spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Le théorème de l’échantillonnage (ou théorème de Shannon) . . . 122.3.1 Enoncé ([[2], §2.3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2 Conséquences et réalités pratiques . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Filtre anti-recouvrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.4 Choix de la période d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.1 L’opérateur de reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.2 La reconstruction de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.3 Reconstruction par bloqueur d’ordre zéro . . . . . . . . . . 232.4.4 Reconstruction par bloqueur d’ordre supérieur . . . . . . . 28

Chapitre 2, v.1.2 3 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

2.1 Introduction

Les thèmes abordés dans ce chapitre ont été traités en détails dans le coursde traitement de signal, raison pour laquelle leur présentation s’effectuera sousforme de rappel, sans développement détaillé.

Le but du présent chapitre est de mettre en évidence les problèmes liés àl’échantillonnage d’un signal analogique puis à sa reconstruction. Des méthodespermettant d’éviter la manifestation de ces problèmes sont proposées.

On analysera dès le prochain paragraphe le processus d’échantillonnage, oùseront mis en évidence :

– la transformation du spectre original en un spectre périodique ;– le recouvrement spectral.Ensuite, le théorème de Shannon (ou théorème de l’échantillonnage) sera

présenté, et la méthode permettant de se prémunir contre le recouvrement spec-tral sera développée. Cette méthode consistera à mettre en oeuvre un filtre anti-recouvrement.

Finalement, quelques procédés de reconstruction, comme– la reconstruction de Shannon,– la reconstruction par bloqueur d’ordre 0

seront passés en revue.

2.2 Le processus d’échantillonnage

A priori, le principe de l’échantillonnage d’un signal analogique peut laissercroire qu’une partie de l’information originale qu’il contient est irrémédiablementperdue. Dans le cas particulier de la régulation automatique, on conçoit que cephénomène pourrait avoir des conséquences inadmissibles, le régulateur numériquene réagissant par exemple plus en certaines situations, simplement parce l’infor-mation manque, masquée par le processus d’échantillonnage.

Même si cet effet secondaire de l’échantillonnage se produit pratiquementtoujours, le phénomène reste négligeable d’un point de vue pratique si la périoded’échantillonnage h est choisie convenablement. Qui plus est, on se propose ici demontrer de manière qualitative que l’observation même intermittente d’un signalanalogique xa(t) est suffisante si ses caractéristiques répondent aux hypothèsesdu théorème de Shannon.

2.2.1 L’opérateur d’échantillonnage

Comme indiqué au chapitre 1, c’est le convertisseur A/D qui fait office d’opérateurd’échantillonnage. La figure 2.1 page ci-contre montre que le signal analogiqueoriginal xa(t) est échantillonné, le signal numérique résultant étant x(k) :

x (k) = xa(t)|t=k·h

Chapitre 2, v.1.2 4 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

AD

x ( k )

h

h 2 h 3 h 4 h0

x a ( t )

t k

f _ 0 2 _ 0 1 . e p s

Fig. 2.1 – Echantillonnage d’un signal analogique.

L’échantillonnage s’effectue à intervalles réguliers h, fixés par la pulsation d’échantillonnage

ωe =2 · π

h= 2 · π · fe

2.2.2 Transformée de Fourier d’un signal numérique

La transformée de Fourier d’un signal numérique x(k) provenant par exemplede l’échantillonnage périodique du signal analogique xa(t) est définie par la rela-tion :

X (j · ω) = F{x (k)} =+∞∑

k=−∞

x (k) · e−j·ω·k·h

Elle est à mettre en regard de la transformée de Fourier de signaux analogiques,

Xa (j · ω) = F{xa (t)} =

∫ +∞

−∞

xa (t) · e−j·ω·t · dt

ce qui montre qu’elle n’est qu’une simple adaptation à la nature discrète dessignaux.

Exemple

La figure 2.2 page suivante montre le résultat de la trasnformée de Fourierd’une période d’un signal carré discret.

Chapitre 2, v.1.2 5 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.5

0

0.5

1u(

t)

t [s]

fsignal

=0.1[Hz], fe=1.6[Hz]

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

|U(jω

)|

f [Hz]

f_fourier_carre_03_1.eps

Fig. 2.2 – Module de la transformée de Fourier, i.e. spectre d’amplitude d’unepériode d’un signal carré discret, évalué pour un grand nombre de valeurs def = ω

2·π. On note la périodicité (période fe =

1h

= 1.6 [Hz]) du spectre d’amplitude(Fourier carre 03.m).

Propriétés

Le signal numérique x(k) obtenu par suite de l’échantillonnage de xa(t) possèdedes caractéristiques spectrales tout à fait remarquables.

On note tout d’abord que sa transformée de Fourier est périodique de périodeωe, puisqu’en effet :

X (j · (ω + ωe)) =

+∞∑

k=−∞

x (k) · e−j·(ω+ωe)·k·h

=+∞∑

k=−∞

x (k) · e−j·ω·k·h · e−j·ωe·k·h︸ ︷︷ ︸

1

=X (j · ω)

ce qui signifie qu’on peut se contenter de l’évaluer et de la représenter sur unepériode ωe.

Chapitre 2, v.1.2 6 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

ω [rad/s]

|X(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_01_3.eps

Fig. 2.3 – La transformée de Fourier X (j · ω) d’un signal numérique estpériodique de période ωe =

2·πh

. La figure illustre le module de X (j · ω), i.e.le spectre d’amplitude (ch 02 01.m).

La périodicité du spectre peut être comprise intuitivement. Considérons lesignal sinusöıdal numérique de pulsation ω = 2 · π

[rads

], défini par ses va-

leurs aux instants d’échantillonnnage k (figure 2.4 page suivante). On constateimmédiatement que par ces points peuvent également passer d’autres sinusöıdesnumériques (de phases éventuellement différentes), de pulsations respectives

(ω − n · ωe)

La définition du signal analogique xa(t) de départ par ses valeurs aux instantsd’échantillonnage k est donc tout à fait équivoque !

Autre caractéristique notable, la transformée de Fourier X (j · ω) du signalnumérique x(k) se calcule à partir de celle Xa (j · ω) du signal analogique xa(t)par la relation (formule de Poisson) :

X (j · ω) = F{x (k)} =+∞∑

n=−∞

Xa (j · (ω − n · ωe))

Ainsi, le spectre de x(k) est obtenu par la répétition et superpositionpériodique de celui de xa(t). La période de répétition du spectre est ωe.

Le spectre (d’amplitude) de xa(t) étant par exemple celui du haut de la fi-gure 2.5 page 9, et xa(t) étant échantillonné à la pulsation ωe = 2

[rads

], celui

Chapitre 2, v.1.2 7 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

f_ch_02_02_1.eps

Fig. 2.4 – Echantillonnage d’un signal analogique xa(t) prenant la forme d’une si-nusöıde. Le signal numérique résultant (suite de nombres) est x(k). Par les valeursde xa(t) aux instants d’échantillonnage, on peut faire passer d’autres sinusöıdesque xa(t). Ici, le signal analogique haute fréquence a les mêmes échantillons quele signal xa(t) (ch 02 02.m).

X (j · ω) de x(k) sera donc selon ce qui précède constitué de la répétition deXa (j · ω).

2.2.3 Recouvrement spectral

Selon la largeur de bande du spectre du signal original xa(t) et la valeur de lapulsation d’échantillonnage ωe, la superposition des spectres fait apparâıtre unrecouvrement (également appelé ”repliement” ou ”aliasing”) tel que le spectreXa (j · ω) du signal original devient difficilement reconnaissable. La comparai-son des spectres de la figure 2.5 page ci-contre montre le phénomène. Partantde Xa (j · ω), il est devenu impossible d’extraire Xa (j · ω) et donc de retrouverl’information originale, le processus d’échantillonnage en ayant provoqué la perteirréversible. Toutefois, cet effet gênant consécutif à l’échantillonnage peut être

Chapitre 2, v.1.2 8 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

2.5

ω [rad/s]

|X(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4|X

a(jω

)|ω

e=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_01_2.eps

Fig. 2.5 – Spectre du signal analogique xa(t) original et spectre du signalnumérique x(k) résultant de son échantillonnage (ch 02 01.m).

considérablement réduit voire presque totalement éliminé si :

Chapitre 2, v.1.2 9 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

1. une valeur plus élevée de la pulsation d’échantillonnage est choisie, commedans le cas de la figure 2.6 (ωe = 4

[rads

]au lieu de 2

[rads

]) ;

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|X(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

|Xa(

jω)|

ωe=4 [rad/s], ω

N=2 [rad/s]

f_ch_02_21_2.eps

Fig. 2.6 – Spectre du signal échantillonné x(k) lorsque la pulsationd’échantillonnage est augmentée (à comparer avec la figure 2.6) (ch 02 21.m).

Chapitre 2, v.1.2 10 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

2. la largeur du spectre du signal original est limitée par un préfiltrage (ici parfiltre passe-bas idéal de fonction de transfert W (j ·ω), figure 2.7). Le spectredu signal numérique correspondant ne présente alors plus de recouvrementspectral, comme en témoigne la figure.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

ω [rad/s]

|X(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

|Xa(

jω)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

1

2

|W(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

|W(jω

)||X

a(jω

)|

f_ch_02_22_1.eps

Fig. 2.7 – Filtrage du signal analogique avant échantillonnage, de façon à éliminerles composantes spectrales pouvant provoquant le recouvrement. Le spectre d’am-plitude du signal filtré de la figure montre que le recouvrement spectral n’est plusvisible (à comparer avec la figure 2.5 page 9) (ch 02 22.m).

Chapitre 2, v.1.2 11 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

2.3 Le théorème de l’échantillonnage (ou théorème

de Shannon)

2.3.1 Enoncé ([[2], §2.3])

Le cas illustré aux figures 2.6 page 10 et 2.7 page précédente montrent quele spectre Xa (j · ω) du signal analogique subissant l’opération d’échantillonnagepeut être extrait de Xa (j · ω) par l’intermédiaire d’un filtre passe-bas de largeurde bande adéquate. Le théorème de l’échantillonnage précise cette idée.

Un signal analogique xa(t) ayant un spectre de type passe-basde largeur ωmax est entièrement décrit par la suite complète

de ses valeurs instantanées xa(kh) = x(k) si elles sontprélevées à une pulsation d’échantillonnage ωe telle que

ωe > 2 · ωmax

La démonstration de ce théorème est due à Shannon (1949). Il est fondamentalpour les systèmes échantillonnés et ses conséquences pratiques sont très impor-tantes. Il montre qu’un signal analogique peut être décrit complètement, sansperte d’information, par la suite complète de ses échantillons pour autant quela pulsation d’échantillonnage ωe soit au moins égale au double de la plus grandepulsation ωmax contenue dans le signal analogique.

On note que la demi-pulsation d’échantillonnage possède une importance cru-ciale ; elle porte le nom de pulsation de Nyquist :

ωN =1

2· ωe > ωmax

2.3.2 Conséquences et réalités pratiques

Le théorème de l’échantillonnage impose une limite inférieure absolue pour lapulsation d’échantillonnage ωe. Il part cependant de l’hypothèse que le signal ana-logique xa(t) subissant l’échantillonnage est à largeur de bande limitée ωmax. Hors,il faut être conscient qu’en réalité [[3], §9.3.2], tout signal analogique physi-quement réalisable ne peut être à bande limitée. Son échantillonnage,même rapide, provoque donc inévitablement un certain recouvrement spectralcar ωmax → ∞

Toutefois, l’énergie∫ +∞

−∞x2a (τ) · dτ d’un signal réel étant nécessairement finie,

on peut démontrer que le spectre d’amplitude tend vers zéro lorsque lafréquence tend vers l’infini.

Ainsi donc, bien que le recouvrement spectral ait effectivement toujours lieu,ses conséquences peuvent être limitées si la pulsation d’échantillonnage ωe estchoisie suffisamment élevée.

Chapitre 2, v.1.2 12 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

Bien que le spectre tende effectivement vers 0 pour les hautes fréquences,cette tendance peut apparâıtre à des fréquences si hautes, qu’afin de respecterà la lettre le théorème de l’échantillonnage, une pulsation d’échantillonnage devaleur forcément très élevée devrait être choisie. C’est notamment le cas lorsque lespectre de certains signaux est accidentellement élargi par la présence de bruits,dont l’échantillonnage selon les conditions de Shannon :

– requiert une pulsation d’échantillonnage plus élevée que celle qui seraitstrictement nécessaire pour échantillonner le signal utile ;

– est parfaitement inutile, l’information recherchée étant concentrée dans lapartie non-bruitée du signal.

Ainsi, on peut parfois être tenté de choisir une pulsation d’échantillonnage deplus faible valeur, a priori sans respecter à la lettre le théorème de l’échantillonnage.En d’autres circonstances, des impératifs techniques ou économiques imposentune pulsation d’échantillonnage limitée à une valeur bien plus modeste que 2·ωmax.Les conséquences d’un fort recouvrement spectral étant dans le même temps in-acceptables, le strict respect du théorème de l’échantillonnage reste impératif etnéanmoins possible à condition d’éliminer (tout au moins atténuer) préalablementà l’échantillonnage toutes les composantes spectrales du signal analogique situéesau-delà de la pulsation de Nyquist ωN =

12· ωe.

Cette opération doit donc être effectuée nécessairement avant celle de l’échantillonnage,par un filtre nommé filtre anti-recouvrement, dont l’étude fait l’objet du para-graphe suivant.

2.3.3 Filtre anti-recouvrement

En pratique, la pulsation d’échantillonnage ωe n’est pas sélectionnable à l’envi.Des impératifs liés à la réalisation matérielle et notamment aux coûts de celle-ciimposent souvent la gamme de ωe.

Or, un échantillonnage des signaux ne provoquant aucune perte d’informationest garanti selon Shannon pour autant que leur largeur de bande soit inférieureà la pulsation de Nyquist :

ωmax < ωN =1

2· ωe

Cette règle ne peut être observée que lorsqu’un filtre passe-bas très sélectif estinséré en amont du convertisseur A/D (figure 2.8 page suivante).

Ce filtre, appelé filtre anti-recouvrement (ou ”anti-repliement”, voire ”an-tialiasing”), a pour charge d’éliminer les composantes spectrales de pulsationssupérieures à celle de Nyquist. Sa pulsation de coupure ωc doit donc être ajustéeà la pulsation de Nyquist ωN

ωN =1

2· ωe

Chapitre 2, v.1.2 13 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

AD

s i g n a la n a l o g i q u eb r u t

x ( k )x a ( t )F I L T R EA N T I -

R E C O U V R E M E N T

f _ 0 2 _ d e s i g n e r _ 0 2 . e p s

Fig. 2.8 – Un filtre anti-recouvrement est nécessaire avant la conversion A/Dpour prévenir du recouvrement spectral.

Il va de soi que les composantes essentielles du signal échantillonné ne doiventpas être altérées pas le filtre. Théoriquement, un filtre anti-recouvrement doitêtre idéal de réponse harmonique (fenêtre fréquentielle, figure 2.9) :

W (j · ω) = ε (ω) − ε(

ω −ωe

2

)

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|Xa(

jω)|

, |W

(jω)|

, |W

(jω)|

|Xa(

jω)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

|Xa(ω)|

|W(ω)||W(ω)||X

a(ω)|

f_ch_02_22_2.eps

Fig. 2.9 – Visualisation des spectres du signal analogique original xa(t) et dufiltre anti-repliement idéal, lequel élimine toutes les composantes spectrale deXa(j · ω) supérieures à ωN =

ωe2

(ch 02 22.m).

Malgré toutes ses qualités apparentes, un tel filtre présente le grave inconvénientde ne pas être causal et par conséquent de ne pas être réalisable en temps réel.En effet, la réponse impulsionnelle du filtre passe-bas idéal (un sinus cardinal)démarre avant l’excitation (figure 2.10 page suivante) !

Chapitre 2, v.1.2 14 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k = t/h

g(t)

Filtre passe−bas idéal: réponse impulsionnelle

f_ch_02_03_1.eps

Fig. 2.10 – Réponse impulsionnelle d’un filtre passse-bas idéal : elle démarreavant l’excitation ! Le filtre passe-bas idéal n’est donc pas causal (ch 02 03.m).

Pour des motifs de réalisabilité, on doit donc pratiquement se contenter d’unfiltre d’ordre idéalement très élevé (4 à 8), le plus souvent de type Butterworthou Bessel.

Un tel filtre doit être intégré à tout système échantillonné, même si une partiede son action est souvent déjà réalisée par le système à régler lui-même, ce dernierétant par nature de type filtre passe-bas.

Le filtre anti-recouvrement est inévitablement vu d’un mauvais oeil par l’ingénieur-automaticien. Il provoque en effet des déphasages (quasi synonymes de retards, cffigure 2.11 page suivante) considérables dans la boucle de régulation, diminuant,pour une précision donnée, le degré de stabilité. Il faut en effet se rendre compte(figure 2.12 page suivante) qu’un filtre d’ordre n provoque un déphasage finalde n · 90 [◦], un déphasage important intervenant déjà en basse fréquence, dansla zone des fréquences de travail, là même où le critère de stabilité de Nyquistdoit être satisfait (zone où l’on mesure en particulier la pulsation de coupure à0 [dB] en boucle ouverte ωco). A titre indicatif, un filtre d’ordre 4 de pulsation de

coupure ωc = ωN déphase grosso modo de4·45 [◦]

10≈ 20 [◦] en ωc

10, ce est qui loin

d’être négligeable.

Chapitre 2, v.1.2 15 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Réponse indicielle d’un filtre de Butterworth d’ordre 4

f_fil_a_al_1.eps

Fig. 2.11 – Réponse indicielle d’un filtre passe-bas de type Butterworth, ordre 4,utilisé typiquement comme filtre anti-repliement (fil a al.m).

10−1

100

101

−80

−60

−40

−20

0Réponse harmonique d’un filtre de Butterworth d’ordre 4

gain

[dB

]

10−1

100

101

−180

−135

−90

−45

0

45

90

180

pulsation [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_fil_a_al_2.eps

Fig. 2.12 – Réponse fréquentielle d’un filtre passe-bas de type Butterworth, ordre4 : le déphasage est considérable et son effet intervient déjà en basse fréquence, i.e.dans la zone de travail de l’asservissement. Comparativement à un asservissementanalogique, cela se traduit par une baisse nette de la marge de phase ϕm et parsuite du degré de stabilité (fil a al.m).

Chapitre 2, v.1.2 16 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|Xa(

jω)|

, |W

(jω)|

, |W

(jω)|

|Xa(

jω)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

|Xa(ω)|

|W(ω)||W(ω)||X

a(ω)|

f_ch_02_23_2.eps

Fig. 2.13 – Un filtre passe-bas idéal étant impossible à réaliser, on doit se conten-ter d’un filtre dont l’atténuation est progressive (par exemple −80 [ dB

déc.]). Ce filtre

ne pourra donc pas éliminer totalement le recouvrement spectral, mais s’il suffi-samment sélectif et/ou si sa pulsation de coupure est suffisamment élevée, l’im-portance de recouvrement sera limitée (figure 2.14 page suivante) (ch 02 23.m).

2.3.4 Choix de la période d’échantillonnage

La borne inférieure de la valeur de la pulsation d’échantillonnage est fixéepar le théorème de l’échantillonnage. Cette valeur pourrait constituer un choix,à condition de disposer d’un filtre anti-recouvrement idéal, ce qui est impos-sible pour des motifs de réalisabilité. Il faut donc se contenter d’une solutionde compromis, visant à remplacer le filtre idéal par un filtre causal d’ordreélevé. Ceci implique un nouveau choix de la pulsation d’échantillonnage. Eneffet, l’atténuation d’un filtre causal, si élevé soit son ordre, est généralementinsuffisante immédiatement au-dessus de sa pulsation de coupure pour évitertout recouvrement spectral. Le seul remède consiste à augmenter la pulsationd’échantillonnage, afin de disjoindre suffisamment (mais néanmoins pas complètementpuisque c’est impossible) les spectres juxtaposés.

C’est la raison pour laquelle le choix de la pulsation d’échantillonnage tel quepréconisé par théorème de Shannon ne peut s’utiliser en pratique, notammentdans le domaine des systèmes fonctionnant en temps réel. Pour fixer ωe, on devradonc faire appel à des règles beaucoup plus restrictives, comme celle déjà énoncée

Chapitre 2, v.1.2 17 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

ω [rad/s]

|X(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5|X

a(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

1

2

|W(jω

)|

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

1.5

|W(jω

)||X

a(jω

)|

f_ch_02_23_1.eps

Fig. 2.14 – Malgré la présence d’un filtre, un certain repliement a lieu, son im-portance pouvant être limitée en agissant sur les paramètres du filtre comme lapulsation de coupure, le type et l’ordre (ch 02 23.m).

dans le chapitre 1, i.e

N =Treg

h= 4 . . . 10

Ces règles, pour être énoncées, nécessitent une étude plus approfondie des systèmesdiscrets, raison pour laquelle ce sujet sera repris au chapitre 7.

2.4 Reconstruction

2.4.1 L’opérateur de reconstruction

Par symétrie par rapport à l’opération d’échantillonnage, l’opérateur de re-construction utilisé est un convertisseur D/A, qui exécute une conversion à unrythme dicté par la pulsation d’échantillonnage. Le signal numérique subissantl’opération d’échantillonnage est u(k), et le signal analogique résultant est ua(t).

Chapitre 2, v.1.2 18 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

u ( k )

AD

u a ( t )

k t

?f _ 0 2 _ d e s i g n e r _ 0 5 . e p s

Fig. 2.15 – Construction d’un signal analogique à partir d’un signal numérique :quelle méthode employer ?

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|X(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_24_2.eps

Fig. 2.16 – Spectre d’amplitude du signal numérique à convertir. Il n’y a pasde recouvrement si l’échantillonnage s’est effectué en respectant le théorème deShannon (ch 02 24.m).

La question qui se pose ici est de savoir comment convertir un signal numériqueu(k) en un signal analogique ua (t) sans perte d’information. Lors de la phase dereconstruction, le signal source est numérique et c’est l’information qu’il contientqui idéalement doit se retrouver dans le signal analogique. Dans le contexte d’unsystème de régulation automatique, u(k) est la commande formée par l’algorithmede régulation sur la base des informations mises à disposition, notamment la

Chapitre 2, v.1.2 19 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|X(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_24_3.eps

Fig. 2.17 – Spectre d’amplitude du signal numérique à convertir, avec mise enévidence de la caractéristique d’un filtre de reconstruction idéal (ch 02 24.m).

grandeur réglée numérique y(k). Celle-ci est issue de l’échantillonnage de y(t),appliqué normalement dans les règles de l’art, de sorte qu’aucun recouvrementspectral ne s’est produit (figure 2.16 page précédente). En conséquence, le spectre”utile” de u(k) est à bande limitée et la construction idéale consistera à produireun signal de commande analogique ua (t) dont le spectre cöıncide autant quepossible avec celui de u(k).

L’opérateur de reconstruction, qui transforme u(k) en ua (t) est généralementdénommé filtre de reconstruction. On peut évidemment s’attendre à ce que cefiltre présente une caractéristique passe-bas, et l’on distinguera en particulier lareconstruction par :

– filtre passe-bas idéal (reconstruction de Shannon, §2.4.2) ;– bloqueur d’ordre zéro (extrapolateur d’ordre 0, §2.4.3) ;– bloqueur d’ordre un (extrapolateur d’ordre 1, §2.4.4).

2.4.2 La reconstruction de Shannon

Le théorème de Shannon propose implicitement un moyen de retrouver, aprèsl’échantillonnage, l’information originale du signal analogique échantillonné. Lesignal analogique reconstruit s’obtient en effet sans aucune perte d’informations’il est issu du filtrage idéal de u(k).

En portant son regard sur le spectre du signal numérique u(k) (figure 2.17), on

Chapitre 2, v.1.2 20 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|X(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_24_4.eps

Fig. 2.18 – Spectre du signal analogique reconstruit, cas idéal (ch 02 24.m).

voit qu’il s’agit simplement d’extraire la portion du spectre située dans la bandede pulsations [−ωN , +ωN ], ce qui n’est applicable que lorsque que les hypothèsesdu théorème de Shannon ont été satisfaites lors de la phase d’échantillonnage,soit en l’absence de tout recouvrement spectral. Comme dans le cas du filtreanti-recouvrement, le filtre réalisant cette opération doit donc être extrêmementsélectif (fenêtre fréquentielle, figures 2.17 page ci-contre et 2.18), théoriquementidéal, ce qui malheureusement implique aussi qu’il soit non-causal (figure 2.10 page 15).En effet, la loi de reconstruction selon de Shannon de ua (t)

ua (t) =

∞∑

k=−∞

u (k) · sinc

(ωe · (t − k · h)

2

)

fait appel aux valeurs passées mais aussi futures de u(k) ! Une façon de contour-ner cette difficulté consisterait à retarder l’action du filtre de reconstruction d’unedurée infinie, ce qui ne résout pas vraiment le problème. Néanmoins, l’examende la réponse impulsionnelle (figure 2.10 page 15) du filtre montre que par rap-port à sa valeur en t = 0 [s], le niveau du signal s’affaiblit notablement pour|t| > 3 . . . 6 · h. Il est en particulier de 10% et 5% après respectivement 3 et 6échantillons. Une relativement bonne approximation causale du filtre de Shan-non consisterait donc à retarder son effet d’environ 6 périodes d’échantillonnage(figure 2.19 page suivante), en prenant ainsi en compte les valeurs u(k) à u(k+6)pour (avant de) produire ua (t) [1]. On devine immédiatement l’inadéquationde cette méthode aux exigences de minimisation des retards dans tout système

Chapitre 2, v.1.2 21 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

contre-réactionné. Le retard pur de 6 périodes d’échantillonnage est catastro-phique sur le plan de la stabilité de l’installation en boucle fermée. Celle-ci nepourra être rendue stable qu’en sacrifiant les exigences de rapidité et de précision,le dilemme stabilité-précision se manifestant en régulation numérique de la mêmemanière qu’en régulation analogique !

0 2 4 6 8 10 12−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Filtre passe−bas idéal : réponse impoulsionnelle retardée de 6h

k = t/h

g(t)

f_ch_02_08_1.eps

Fig. 2.19 – Réponse impulsionnelle d’un filtre passe-bas ”idéal” devenu réalisablepar l’insertion d’un retard pur de valeur 6 · h (ch 02 08.m).

On mentionnera que le filtre ainsi retardé de reconstruction de Shannon estutilisé en télécommunications et en audio-numérique, où le problème lié au retards’exprime en de tout autres termes.

Chapitre 2, v.1.2 22 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

u ( k )

AD

u a ( t )

k t

f _ 0 2 _ d e s i g n e r _ 0 4 . e p s

Fig. 2.20 – Reconstruction numérique-analogique par bloqueur d’ordre 0.

2.4.3 Reconstruction par bloqueur d’ordre zéro

La manière la plus simple et la plus utilisée pour la reconstruction consiste àmaintenir le signal analogique ua (t) à une valeur constante pendant la périoded’échantillonnage en cours (figure 2.20). Cette valeur est bien entendu la traduc-tion analogique du nombre u(k) à convertir. La commande ua (t) a l’allure d’unsignal variant par gradins de durée h (figure 2.21).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t, k

ua(t)

bloqueur 0u(k)

f_ch_02_09_1.eps

Fig. 2.21 – Le signal analogique ua(t) reconstruit par un bloqueur d’ordre 0 àpartir du signal numérique u(k) varie par gradins de largeur h (ch 02 09.m).

Chapitre 2, v.1.2 23 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|U(jω

)|, |

W(jω

)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

|U(jω)||W(jω)|

f_ch_02_25_2.eps

Fig. 2.22 – Spectre du signal à numérique u(k) à convertir et, en pointillé, réponseharmonique du bloqueur d’ordre 0 (ch 02 25.m).

Mathématiquement, l’opérateur ”bloqueur d’ordre 0” est décrit comme suit :

ua (t) = ua (k · h + ∆t) = u (k) pour 0 ≤ ∆t < h

Le bloqueur d’ordre 0, interdisant toute variation de ua (t) pendant la durée h,possède un caractère filtrant. On peut montrer mathématiquement que c’est uneapproximation grossière d’un filtre passe-bas idéal. En revanche, comme l’examendu signal reconstruit le laisse prévoir, le bloqueur d’ordre zéro introduit dans ua (t)des composantes spectrales de fréquences élevées indésirables (figure 2.23 pagesuivante).

Chapitre 2, v.1.2 24 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ω [rad/s]

|Ua(

jω)|

ωe=2 [rad/s], ω

N=1 [rad/s]

f_ch_02_25_3.eps

Fig. 2.23 – Spectre d’amplitude du signal analogique ua(t) obtenu par blo-queur d’ordre 0 (multiplication des réponses harmoniques de la figure 2.22 pageprécédente. Comparé à la reconstruction idéale de la figure 2.18 page 21, descomposantes de fréquences élevées apparaissent, ce qui se comprend intuitive-ment lorsque l’on observe les variations brusques, par escaliers, du signal ua(t)(figure 2.21 page 23) (ch 02 25.m).

Chapitre 2, v.1.2 25 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s], k

u(t)

, u(k

), y

(t),

ueq

, yeq

Commande équivalente à la suite d’impulsions rectangulaires

f_01_matlab_65_1.eps

Fig. 2.24 – L’harmonique 1 de ua(t) passe par le milieu des escaliers(f 01 matlab 65.m).

Pour mémoire, on a signalé au chapitre 1 que le procédé de reconstruc-tion par bloqueur d’ordre 0 introduisait un retard moyen d’une demi-périoded’échantillonnage (figure 2.24).

Trec ≈h

2

Ce résultat peut être maintenant démontré. L’opérateur de reconstruction parbloqueur d’ordre zéro étant linéaire, au repos, causal et stationnaire (voir chap.3),sa réponse harmonique G(j · ω) (analogique) existe et peut être obtenue partransformation de Fourier de sa réponse impulsionnelle. En l’excitant à l’instantt = 0 [s] par une impulsion de Dirac δ(t) d’amplitude u(0), la réponse du bloqueurest un signal rectangulaire de largeur h, de hauteur u(0) et centré en t = h

2. La

transformée de Fourier d’un tel signal a pour expression [[3], §9.3.2] :

G(j · ω) =Y (j · ω)

U(j · ω)= h ·

sin(ω · h

2

)

ω · h2

· e−j·ω·h

2

On observe que le bloqueur d’ordre zéro introduit bel et bien un retard pur égalà une demi période d’échantillonnage.

Il n’est guère possible d’éliminer ce retard parasite. La comparaison avec celuiintroduit par le filtre de Shannon (6 · h, § 2.19 page 22), même dans sa versioncausale, permet tout de même de mesurer une amélioration notable.

Chapitre 2, v.1.2 26 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

a r g { X ( j w ) }

w

u a ( t ) = x ( t - h / 2 ) = g ( t )u ( k ) = d ( k )

x ( t )

t

0

0

h

t0

h

k0

h

w0

+ p

- p

w2 p / h0

w0

+ p

- p

2 p / h

| X ( j w ) |

a r g { U a ( j w ) }

| U a ( j w ) |

e x c i t a t i o n r é p o n s ei m p u l s i o n n e l l em o d u l e e t p h a s e d e

l a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r

1

11

f _ 0 2 _ d e s i g n e r _ 0 3 . e p s

Fig. 2.25 – Illustration de l’origine du retard pur de valeur h2

dû au bloqueurd’ordre 0.

Chapitre 2, v.1.2 27 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t, k

ua(t)

bloqueur 1u(k)

f_ch_02_09_2.eps

Fig. 2.26 – Reconstruction par bloqueur d’ordre 1 (ch 02 09.m).

2.4.4 Reconstruction par bloqueur d’ordre supérieur

En pratique, c’est la reconstruction par bloqueur d’ordre 0 qui est presquetoujours mise en oeuvre. On peut toutefois imaginer perfectionner la reconstruc-tion en effectuant une extrapolation d’ordre 1 (figure 2.26). L’établissement de lafonction décrivant ce bloqueur est faite dans le cadre des exercices.

Une telle méthode de reconstruction est coûteuse en matériel. Elle présentenéanmoins l’avantage de lisser la commande, effet favorable lorsque le système àrégler possède des modes (pôles) rapides mal amortis. S’agissant de ce point-là,un effet comparable est obtenu en filtrant la commande provenant d’un bloqueurd’ordre 0.

Chapitre 2, v.1.2 28 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

Bibliographie

[1] Computer controlled systems, K. Åstrom, B.Wittenmark, 1990, Prentice-Hall, bibliothèque eivd 40.122-03

[2] Commande numérique de systèmes dynamiques, R.Longchamp, 1995,Presses Polytechniques Romandes, bibliothèque eivd 40.120-11

[3] Théorie et traitement des signaux, Traité d’Electricité, vol.VI, F.de Coulon,1984, Presses Polytechniques Romandes, bibliothèque eivd 32.100-23

Chapitre 2, v.1.2 29 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002

eivd Régulation numérique

Version du docu-ment

Date Notes

v1.1 16 janvier 2001v1.2 8 janvier 2002

Tab. 2.1 – Versions publiées

Chapitre 2, v.1.2 30 mee \chap˙02.tex\9 janvier 2002