Chapitre 7 Stratégies de commandes particulières et aspects...

HEIG-Vd Régulation numérique

Chapitre 7

Stratégies de commandesparticulières et aspects pratiquesdes régulateurs numériques etanalogiques

7.1 Choix des pôles en boucle fermée en fonctionde la période d’échantillonnage h ([[3], §6.6])

Admettons que la réponse indicielle en boucle fermée, régulation de correspon-dance, d’un système asservi par un régulateur numérique (figure 7.1) ait l’alluredonnée à la figure 7.2 page suivante.

Le mode discret dominant de la fonction de transfert correspondante, Gw(z) =

1s

S 1s

-

w ( k ) y ( k )u ( k )

y ( k )

e ( k )G c ( z ) H ( z )

f _ 0 7 _ 0 8 . e p s

G w ( z )

Fig. 7.1 – Système asservi numériquement : la fonction de transfert en bouclefermée, régulation de correspondance, est Gw(z) = Y (z)

W (z)(fichier source).

Chapitre 7, v.1.7 223 MEE \cours_rn.tex\13 février 2006

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http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_07/Figures/f_07_08.pdf

http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_07/Figures///f_07.dsf

http://iai.eivd.ch/users/mee/iai/competences_iai/latex/competences_iai_MEE.pdf


0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

k, t [s]

w(k

), y(

k), y

(t)

Réponse indicielle en boucle fermée, régulation de correspondance

f_ch_07_01_1.eps

Fig. 7.2 – Réponse indicielle en boucle fermée (fichier source).

Y (z)W (z)

est du type sinusoïdal, pondéré par un terme exponentiel

e−δ·

t︷︸︸︷k · h · sin (ω0 ·

t︷︸︸︷k · h)

et correspond aux pôles analogiques (figure 7.3 page suivante) :

s1,2 = −δ ± j · ω0

Son échantillonnage nécessite que h permette de définir convenablement (table 7.1page ci-contre) les signaux

e−δ·t = e−tT

et

sin (ω0 · t)


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s

I m

R e

Y

0

z = c o n s t a n t e

j w 0

- d

s f 1 , 2

f _ 0 7 _ 7 1 _ 0 3 . e p s

Fig. 7.3 – Pôles analogiques correspondants aux pôles numériques ayant pourmode e−δ·k·h · sin (ω0 · k · h) (fichier source).

Mode Réponse impulsionnelle

e−δ·t = e−tT

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

k, t [s]

g(k)

, g(t)

Mode exponentiel (enveloppe de la réponse indicielle en boucle fermée)

f_ch_07_01_2.eps

sin (ω0 · t)0 2 4 6 8 10 12

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k, t [s]

g(k)

, g(t)

Mode sinusodïal

f_ch_07_01_3.eps

Tab. 7.1 – Visualisation du nombre approximatif d’échantillons nécessaires pourreprésenter "fidèlement" l’enveloppe de la réponse indicielle e−δ·t ainsi que lapartie sinusoïdale sin (ω0 · t) du mode (fichier source).Chapitre 7, v.1.7 225 MEE \cours_rn.tex\13 février 2006

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– Pour un mode exponentiel amorti, il semble raisonnable de choisir

Treg

h=

3 · Th

=3

δ · h= Nr ≈ 8 =⇒ δ · h ≤ 3

Nr

≈ 3

8

où l’on rappelle que la durée de réglage Treg à ±5% est donnée par

Treg ≈ 3 · T

et que le facteur d’amortissement δ est lié à la constante de temps T par larelation

δ =1

TCeci revient à exiger que la durée de réglage corresponde à une dizaine(précisément Nr = 8) d’échantillons.

– Pour un mode sinusoïdal, un choix de h tel que

T0

h=

2·πω0

h= Nr ≈ 8 =⇒ ω0 · h ≤

2 · πNr

≈ 2 · π8

=π

4

impliquant que la sinusoïde est décrite par une dizaine de points (8 exacte-ment) par période semble également correct.

On voit que selon les valeurs de δ et ω0, la période d’échantillonnage h a unelimite supérieure donnée par les relations ci-dessus (h ≤

38

δet h ≤

π4

ω0). De ce fait,

les pôles dominants (numériques) du système en boucle fermée, d’expression

pf1,2 = es·h = e(−δ±j·ω0)·h

doivent répondre aux conditions ci-dessous :

|pf1,2| = e−δ·h ≥ e−38 = 0.69

|arg(pf1,2)| = ω0 · h ≤2 · π

8=

π

4Dans le but de satisfaire les exigences d’un échantillonnage convenable au sensdes considérations faites ci-dessus, les pôles en boucle fermée doivent donc sesituer dans une zone bien définie du plan de z (figure 7.4 page suivante).

Si en plus, on impose des conditions de stabilité absolue et relative (§ 5.7.5page 178), la zone permise devient alors celle indiquée sur la figure 7.5 pagesuivante.

En conséquence, partant d’un comportement dynamique donné par le cahierdes charges du système asservi, au moyen de la durée de réglage Treg ou ses équi-valents (bande passante en boucle fermée ωB−3 dB, pulsation de coupure à 0 [dB]en boucle ouverte ωco), on peut en déduire les pôles dominants analogiques sf1,2

correspondants, et, par suite, une valeur de h assurant que leur transformationen les pôles numériques pf1,2 par échantillonnage (relation z = es·h) tombe dansla zone indiquée sur la figure 7.5 page ci-contre.


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−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.69

Zone autorisée pour les pôles en boucle fermée, selon le critère d’échantillonnage

f_ch_07_02_1.eps

Fig. 7.4 – Zone autorisée pour les pôles en boucle fermée, selon le critère d’échan-tillonnage seul (fichier source).

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Zone autorisée pour les pôles en boucle fermée, selon les critères d’échantillonnage, d’amortissement absolu et relatif (ζ=0.5)

f_ch_07_02_2.eps

Fig. 7.5 – Zone autorisée pour les pôles en boucle fermée, selon les critèresd’échantillonnage, d’amortissement absolu et relatif (ζ = 0.5) (fichier source).


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7.1.1 Exemple

Un système de régulation automatique numérique doit offrir une durée deréglage Treg donnée.

Partant de Treg, on peut estimer la constante de temps dominante Tw en bouclefermée (Gw(s) = Y (s)

W (s)≈ 1

1+s·Tw). On a :

Tw ≈Treg

3

Le pôle analogique correspondant est en − 1Tw

. Le pôle numérique dominant devradonc se situer en

pw = e−h

Tw = e− 3·h

Treg

Selon les règles établies ci-dessus pour le choix de h, on doit avoir

0.69 < pw < 1

Commeh = − log(pw) · Treg

3

on en déduit0 < h <

1

8· Treg


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1s

S 1s

-

w ( k ) y ( k )u ( k )

y ( k )

e ( k )G c ( z ) H ( z )

f _ 0 7 _ 0 6 . e p s

S

v ( k )

-

Fig. 7.6 – Schéma fonctionnel du système asservi (fichier source).

7.2 Compensation pôle-zéro

On étudie ici les effets de la technique d’ajustage de régulateurs par compen-sation pôle-zéro. On montre que cette manière de faire peut induire un compor-tement dynamique très différent selon le mode de régulation (correspondance oumaintien).

Les développements effectués ci-dessous sont aussi bien valables en régulationanalogique qu’en régulation numérique.

On considère le système asservi de la figure 7.6. Admettons que certains pôlesde la fonction de transfert H(z) du système à régler soient compensés par deszéros de celle du régulateur Gc(z). On voit que les pôles mentionnés, réunis ci-dessous dans le polynôme Dacomp(z) n’apparaissent dès lors plus dans la fonctionde transfert en boucle ouverte Go(z) si l’on pose Dacomp(z) = Nccomp(z), puisque

Go(z) = Gc(z) ·H(z)

= kc ·(z − zc1) · (z − zc2) · . . .(z − pc1) · (z − pc2) · . . .

· ka ·(z − za1) · (z − za2) · . . .(z − pa1) · (z − pa2) · . . .

= ko ·N ′

c(z) ·Nccomp(z)

Dc(z)· Na(z)

D′a(z) ·Dacomp(z)

= ko ·N ′

c(z) ·Na(z)

Dc(z) ·D′a(z)

ce qui a une influence très favorable sur le comportement dynamique, la réductionde l’ordre Go(z) ayant pour conséquence la diminution du déphasage, i.e. duretard subi par les des signaux se propageant dans la boucle.

La grandeur réglée Y (z) ayant pour expression (en se basant pour le calculde l’effet des perturbations sur le § 5.6.2 page 163)

Y (z) = Go(z) · E(z) + H(z) · V (z) = Go(z) ·W (z)−Go(z) · Y (z) + H(z) · V (z)


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on voit que les pôles compensés, éliminés de Go(z), n’apparaissent pas en ré-gulation de correspondance (v(k) = 0), mais qu’ils sont bel et bien présents enrégulation de maintien, i.e. pour v(k) 6= 0. En fait, les pôles compensés deviennentdes pôles de

Gv(z) =Y (z)

V (z)=

H(z)

1 + Go(z)

ce que l’on montre facilement :

Gv(z) =Y (z)

V (z)=

H(z)︷︸︸︷ka ·

Na(z)

D′a(z) ·Dacomp(z)

1 + ko ·N ′

c(z) ·Na(z)

Dc(z) ·D′a(z)︸︷︷︸

Go(z)

=ka · Na(z)

D′a(z)·Dacomp (z)

·Dc(z) ·D′a(z)

Dc(z) ·D′a(z) + ko ·N ′

c(z) ·Na(z)

=1

Dacomp(z)︸︷︷︸pôles compensés !

· ka ·Na(z) ·Dc(z)

Dc(z) ·D′a(z) + ko ·N ′

c(z) ·Na(z)

On explique de ce fait que– l’on ne peut compenser des pôles instables (sans quoi toute perturbation

déstabiliserait le système asservi !) ;– si les pôles compensés sont lents (c’est en principe le cas puisque l’on com-

pense habituellement les pôles dominants, i.e. les constantes de temps domi-nantes), le comportement dynamique est plus lent en régulation de maintienqu’en régulation de correspondance (figure 7.8 page suivante, correspon-dant au schéma de la figure 7.7 page ci-contre). Sans compensation, la règleconsiste en effet à dire que le comportement dynamique en boucle fermée(mesurable par exemple au moyen de la durée que met le régulateur pourannuler une erreur, i.e. la durée du régime transitoire) est le même dans lesdeux modes de régulation puisque les deux fonctions de transfert ont lesmêmes pôles ;

– si des pôles compensés sont proches de la zone d’instabilité, on peut avoirun comportement très bien amorti en régulation de correspondance et trèspeu amorti en régulation de maintien (figure 7.9 page 232).


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-( )G sa 1

++w ( t )

v ( t )

x ( t )+z ( t )

y ( t )

( )G sc( )G sa 2

u ( t )

S y s t è m e à r é g l e r

S S

f _ 0 7 _ 7 2 _ 0 5 . e p s

Fig. 7.7 – Asservissement par un régulateur PID compensant les deux constantesde temps dominantes (T1 = 1 [s] et T2 = 0.1 [s]) du système à régler : Gc(s) =

500 · (1+s·1.1+s2·0.0909)s·1.1

, Ga1(s) = 11+s·0.1

et Ga2(s) = 0.1(1+s·1)·(1+s·0.01)

(fichier source).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

Réponse indicielle en régulation de correspondance

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5x 10−3

t [s]

Réponse indicielle en régulation de maintien

f_ch_07_03_2.eps

Fig. 7.8 – Réponse indicielle en boucle fermée dans les deux modes de régula-tion (correspondance et maintien) : les durées des régimes transitoires sont trèsdifférentes à cause de la compensation pôle-zéro (fichier source).


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0 1 2 3 4 5 6

x 10−3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t [s]

Réponse indicielle en régulation de correspondance

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

t [s]

Réponse indicielle en régulation de maintien

f_comp_pole_zero_3.eps

Fig. 7.9 – Réponse indicielle en boucle fermée dans les deux modes de régulation(correspondance et maintien) lorsque des pôles complexes conjugués peu amortis(proches de l’instabilité) ont été compensés. A noter que les échelles de tempssont très différentes entre les deux graphes (fichier source).


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http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_07/Figures/f_comp_pole_zero_3.pdf

http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_07/matlab///comp_pole_zero.m



1s

S-

w ( t ) y ( t )

u f f ( t )

y ( t )

e ( t )G c ( s )

f _ 0 7 _ 0 7 _ 0 6 . e p s

v ( t )

Su c ( t )

G a ( s )

C o m m a n d ea n t i c i p é e

G f f ( s )

Fig. 7.10 – Principe des commandes anticipées : la commande délivrée par lerégulateur Gc(s) est complétée par une commande uff (ff = feedforward) tenantcompte de la consigne et des paramètres du système à régler Ga(s) (fichier source).

7.3 Commande anticipée/a priori

7.3.1 Principe

Les commandes anticipées, ou a priori (Vorsteuerung, feedforward), ont pourbut de faciliter le travail du régulateur en formant, sur la base de connaissancesa priori du comportement dynamique du système à régler, une commande uff (t)proche de celle de la valeur idéale que l’on devrait effectivement appliquer poursuivre la consigne sans erreur. Le schéma de commande est donné sur la fi-gure 7.10. Il est facile de montrer que :

Gw(s) =Y (s)

W (s)=

Gff (s) ·Ga(s) + Go(s)

1 + Go(s)

Bien que les développements effectués dans ce paragraphe le soient avec des sys-tèmes analogiques, ils sont applicables tels quels en régulation numérique.

Dans un cas idéal, par ailleurs non réalisable physiquement, il suffirait en faitde construire le schéma de commande de la figure 7.11 page suivante. En posant

Gff (s) =1

Ga(s)

où Ga(s) est un modèle (une estimation) de Ga(s), on devrait avoir

Y (s) =Ga(s)

Ga(s)︸︷︷︸≈1

·W (s) ≈ W (s)|Ga(s)≈Ga(s)


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w ( t ) y ( t )

u f f ( t )

f _ 0 7 _ 0 7 _ 0 7 . e p s

G a ( s )

G f f ( s )

Fig. 7.11 – Cas idéal de la commande anticipée (fichier source).

La structure de la figure 7.11 n’est évidemment pas vraiment utilisable en pra-tique (cela dépend en fait des performances requises) : outre ses problèmes deréalisabilité (stabilité de 1

Ga(s), degré relatif), la sensibilité

– aux perturbations– aux variations paramétriques

est évidente, ce pourquoi la combinaison commandes anticipées + contre-réactionpar régulateur (figure 7.10 page précédente) offre de loin les meilleures perfor-mances en régulation de correspondance. La commande anticipée ne modifiantpas le gain en boucle ouverte Go(s), elle n’a aucune influence (notamment néga-tive) sur la stabilité. Si elle est bien dimensionnée, elle permet de limiter la tâchedu régulateur à l’annulation des erreurs de poursuite dues aux différences entreGa(s) et son modèle Ga(s) ainsi qu’à la réjection des perturbations. On peut decette manière offrir des performances très élevées en poursuite de consigne (bandepassante élevée) tout en maintenant les performances en régulation de maintiencompatibles avec les contraintes de stabilité et de bruit ([18], chap.1). On a alorsune structure d’asservissement dite à 2 degrés de liberté (2 DOF, 2 degrees offreedom) telles que le régulateur RST l’offre [4] [1].

7.3.2 Exemples

Commande anticipée d’accélération Le schéma d’une régulation cascade(§7.4) de vitesse/couple (figure 7.12 page ci-contre) montre une commande a prioribasée sur l’inertie J de la charge mécanique entraînée. Connaissant cette dernièreavec une certaine précision (grâce aux travaux de modélisation et d’identification,mais on peut également travailler manuellement par essais de plusieurs valeurssuccessives de J), on ajoute à la commande délivrée par le régulateur de vitessed’une quantité proportionnelle à

J · ωc(t)


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M O T E U R + C H A R G E + C A P T E U R

wS S

-

++

y

K m wK TK p

u ce i a T e m

v

R E G U L A T E U RP D E V I T E S S E

i a c

A S S E R V I S S E M E N TD E C O U R A N T

G w i ( s )1 / K T ' 1 / ( s J )ST e m c

c o n s i g n e d e c o u p l e

C o m m a n d e a n t i c i p é ed ' i n e r t i e

f _ 0 7 _ 0 7 _ 0 3 . e p s

u f f

wmK

Js ~

~×

Fig. 7.12 – Régulation cascade de vitesse/courant (couple), avec commande an-ticipée basée sur l’inertie de la charge (fichier source).

(la valeur exacte tenant compte de la nécessaire mise à l’échelle de la consignede vitesse par le gain du capteur de vitesse Kmω étant J · ωc(t) · 1

Kmω), couple

que le régulateur aurait, dans un cas idéal, dû lui-même former pour accélérerl’inertie selon la consigne de vitesse. J est donc une estimation de la vraie valeurde l’inertie J . Une des conséquences de ce type de commande est que la consignede vitesse, dont la dérivée doit être évaluée si la commande a priori est implantéetelle que sur la figure, doit être de bonne qualité, i.e. peu bruitée, notamment ence qui concerne le bruit de quantification. L’idéal consiste évidemment à pouvoirgénérer spécifiquement la dérivée de la consigne de vitesse, lorsque celle-ci estreprésentable analytiquement.

Dans le cas de l’exemple, on pourrait imaginer que lorsque le profil de laconsigne de vitesse est une rampe αc ·t, l’on construise directement, connaissant ladérivée analytique, J ·αc· 1

˜Kmω, plutôt que de dériver approximativement ωc(t) avec

un dispositif tout à la fois imparfait(s · J

Kmω→ s

1+s·Ta· J

Kmω

)et amplificateur de

bruits.


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S-

S

T r e s

w

u = u a

-

i a m

T e me m

i a

Su cS

i a c

-

u f f = e m

C o n s i g n ed e v i t e s s e

w = w c

C o m m a n d ea n t i c i p a t r i c e

d e F E M

K E K T

K m is T i

K p ( 1 + s T i )

K E

1 / R a

1 + s L a / R a

s J t

1

G c ( s )

G a ( s )

f _ 0 7 _ 0 7 _ 0 4 . e p s

Fig. 7.13 – Régulation courant (couple), avec commande anticipée compensantapproximativement la FEM em(t) (fichier source).

Commande anticipée compensant l’effet de la FEM L’exemple de lafigure 7.13 illustre la technique de la commande anticipée pour compenser laFEM em(t) d’un moteur DC, laquelle est considérée parfois, à tort, comme uneperturbation. Au sens des conventions admises dans le cadre ce cours, l’examende la figure montre que la FEM em(t) n’est pas une perturbation puisque ce signalest largement corrélé avec ua(t).


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1s

S-

w f ( t )y ( t )

u f f ( t )

y ( t )

e ( t )G c ( s )

f _ 0 7 _ 0 7 _ 0 5 . e p s

v ( t )

Su c ( t )

G a ( s )

C o m m a n d ea n t i c i p é e

w ( t )

G f c ( s )

f i l t r e d ec o n s i g n e

G f f ( s )

Fig. 7.14 – Commande anticipée avec filtre de consigne (fichier source).

7.3.3 Filtre de consigne

La commande anticipée se base sur un modèle dynamique inverse du systèmeà régler :

Uff (s) =1

Ga(s)·W (s)

Tous les systèmes à régler ayant un comportement de type passe-bas, 1Ga(s)

estdonc de type passe-haut et ainsi extrêmement sensible aux variations de son si-gnal d’entrée w(t). Ceci se manifeste par une saturation probable de la commandeu(t). D’autre part, même si la construction de 1

Ga(s)était possible, promettant

théoriquement que la grandeur réglée y(t) peut varier en saut, une forte variationde la consigne nécessiterait une commande d’amplitude infinie et dont pratique-ment une saturation de u(t). En conséquence, pour tirer pleinement profit descommandes anticipées, il est nécessaire de ne spécifier que des consignes w(t) quele système peut physiquement poursuivre. Ceci se fait soit en filtrant la consigneavec un bloc atténuant celle-ci au-delà de la bande passante ωB exigée en bouclefermée (compatible avec les capacités de l’actionneur) mais ne garantissant tou-tefois pas un taux de variation maximal de wf (t) supporté par l’installation, soiten utilisant un véritable générateur de consigne garantissant que la commanden’entre pas en limitation. La fonction de transfert du filtre de consigne devrait enprincipe est égale à la fonction de transfert du modèle en boucle fermée souhaitée,i.e. à par exemple :

Gfc(s) =Wf (s)

W (s)=

1

1 + s · τavec

3 · τ = Treg


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w ( t ) = w 2

y ( t ) = y 2

S-

G c 1 ( s )G c 2 ( s ) G a 1 ( s )

G m 1 ( s )

G a 2 ( s )

G m 2 ( s )

S-

S

v ( t )

e 2

u 2 = w 1

e 1

y 1

u 1 x 1 x 2

R é g u l a t e u r 1R é g u l a t e u r 2

f _ 0 7 _ 7 3 _ 0 1 . e p s

Fig. 7.15 – Principe de la régulation cascade (fichier source).

7.4 Régulation cascade

7.4.1 Introduction

Le but de ce paragraphe est de présenter et étudier le principe de la régulationcascade et notamment de le comparer avec la régulation dite parallèle dans lecadre du cas particulier, très répandu en pratique, du positionnement en machine-outil (§ 7.4.6 page 245).

Comme on le verra, les deux principes de régulation sont équivalents parrapport à l’effet des perturbations (ci-après "régulation de maintien"), mais larégulation parallèle offre clairement de meilleures performances en poursuite deconsigne (ci-après "régulation de correspondance") et cela sans qu’aucune sophis-tication ne soit nécessaire.

Les développements effectués ci-dessous sont aussi bien valables en régulationanalogique qu’en régulation numérique.

7.4.2 Principe de la régulation cascade

Le schéma fonctionnel d’un système asservi de structure cascade est donnésur la figure 7.15. La consigne appliquée au système asservi par une commandeextérieure est le signal w(t). La grandeur à régler est y(t), mesurée au moyendu capteur Gm2(s). Des perturbations v(t) interviennent sur le système. La seuletâche de ce système est d’asservir la grandeur réglée y(t) à la consigne w(t) malgrél’influence des perturbations v(t).

Les autres grandeurs intervenant dans ce système sont des grandeurs internesdont la connaissance est sans intérêt direct pour la commande ayant généré laconsigne w(t).


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La figure 7.15 page ci-contre montre en fait une structure industriellement trèsrépandue formée ici de deux régulateurs consécutifs ayant pour charge d’asservirleurs grandeurs réglées respectives y1(t) et y(t) = y2(t) aux consignes w1(t) etw = w2(t).

Le régulateur Gc2(s), sur la base de l’erreur e(t) = e1(t) mesurée, fournitune commande u2(t) interprétée comme consigne w1(t) par un second régulateurGc1(s). Ce dernier la compare à sa grandeur réglée y1(t) en vue de former l’erreure1(t), puis, après traitement applique la commande u(t) = u1(t) au système àrégler.

Bien qu’il y ait ici deux régulateurs, y(t) = y2(t) est la grandeur à réglerprincipale, y1(t) n’étant qu’une grandeur à régler secondaire en principe inconnuedu système ayant généré la consigne (principale) w(t) = w2(t).

Le fait que le régulateur Gc1(s) reçoive sa consigne du régulateur Gc2(s) amèneà penser à une hiérachisation des tâches, par-là même à une décomposition mo-dulaire du problème d’asservissement. On dira donc que le régulateur Gc2(s) esthiéarchiquement supérieur à Gc1(s).

7.4.3 Exemples

Régulation cascade de vitesse et de courant/couple

Un exemple classique de régulation cascade peut être trouvé dans le domainedes entraînements électriques réglés (figure 7.16 page suivante).

Un moteur DC à excitation séparée constante est asservi en vitesse au moyend’un régulateur de vitesse Gcω(s) = Gc2(s) dont la commande correspond à laconsigne de couple (ou de courant) Temc(t) = w1(t) transmise à un régulateurde couple (de courant) Gci(s) = Gc1(s). Pour ajuster théoriquement ou expé-rimentalement les deux régulateurs, on procède séquentiellement en faisant toutd’abord la synthèse du régulateur hiérachiquement inférieur Gci(s) = Gc1(s) pourlequel les exigences en termes de performances dynamiques sont de loin les plusélevées : pour varier la vitesse rapidement, il faut bien sûr que le couple (le cou-rant) s’établisse encore plus rapidement.

L’ajustage du premier régulateur Gc1(s) terminé, celui du second Gc2(s) peutêtre entrepris, la tâche étant relativement facilitée : le système à régler Ga2(s) vupar Gc2(s) a pour fonction de transfert

Ga2(s) =Y (s)

U2(s)= Gwi(s) ·KT ·Gaω(s) ·Gmω(s)

laquelle comprend notamment la fonction de transfert en boucle fermée Gwi(s)du système asservi en couple (courant), i.e. un système contre-réactionné dont lescaractéristiques sont plutôt bien déterminées grâce aux propriétés bien connuesd’insensibilité (robustesse) offertes par tout système de ce genre.


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S

RE

GU

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t)co

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sse

S-

w cons

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Rég

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Gcw

(s)

Gm

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)

Gaw

(s)

f_07

_73_

02.e

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coup

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KT

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S-

we

Rég

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Gcw

(s)

Gm

w(s

)

Gaw

(s)

Gw

i(s)

Fon

ctio

n de

tran

sfer

t de

type

a=

0

Fig. 7.16 – Régulation cascade de vitesse et de courant (fichier source).


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S-

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KT

Gai

1(s)

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(s)

Gm

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Gw

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Rég

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(s)

Cap

teur

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x(s)

xS

-

wx

cons

igne

de p

osit

ion

Rég

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de p

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ion

Gc q

(s)

Gw

w(s

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y x gran

deur

régl

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Ass

ervi

ssem

ent

de p

osit

ion

f_07

_73_

16.e

psG

wq(

s)

Fig. 7.17 – Régulation cascade de position/vitesse/courant dans le cas de lamachine-outil (fichier source).Chapitre 7, v.1.7 241 MEE \cours_rn.tex\13 février 2006

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w x

y x

S-

G c w ( s )G c x ( s ) G a w ( s )

G m w ( s )

G a x ( s )

G m x ( s )

S-

S

p e r t u r b a t i o n s

e xe w u

R é g u l a t e u rd e v i t e s s e

( d a n s c o m m a n d ed ' a x e )

R é g u l a t e u rd e p o s i t i o n

( d a n s c o m m a n d en u m é r i q u e )

w c xw

y w

C o n s i g n e d e v i t e s s et r a n s m i s e p a r l i a i s o n + / - 1 0 [ V ]

o u p a r b u s d e t e r r a i n

C o n s i g n e d e p o s i t i o np o u r 1 a x e

f _ 0 7 _ 7 3 _ 0 8 . e p s

Fig. 7.18 – Régulation cascade de position/vitesse dans le cas de la machine-outil(fichier source).

Le principe de cette régulation de vitesse peut être repris sans autres pourconstruire un système de régulation de position tel qu’on en trouve en nombredans le domaine de la machine-outil. En complétant la structure de la figure 7.16page 240 par un capteur de position et un régulateur de position, on obtientun système (figure 7.17 page précédente) où le régulateur de vitesse reçoit uneconsigne provenant désormais du régulateur de position. On a donc de cettefaçon mis trois boucles de régulation en cascade. Cette répartition est logique : lerégulateur de position, constatant une erreur de position décide d’augmenter oudiminuer la vitesse afin de réduire, voire annuler ladite erreur. Le développementde cet exemple est poursuivi au § 7.4.3.

Régulation cascade de position et de vitesse en machine-outil

Un second exemple (figure 7.19 page suivante), provenant du domaine dela machine-outil, où pour l’usinage 3D, on a recours à une commande numé-rique (comprenant notamment la fonction de coordination des axes) qui effectueles calculs d’interpolation générant les consignes de position de chaque axe. Lacommande numérique réalise l’asservissement en position, duquel elle déduit lesconsignes de vitesse pour les commandes d’axes et la structure de commande estcelle d’une régulation cascade de position/vitesse. Cette structure est mise en évi-dence sur la figure 7.18, où le régulateur de position de la commande numériquetransmet sous forme analogique ±10 [V] (la solution moderne consiste bien sûr à


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wx

y x

S-

Gcx

(s)

Gm

x(s)

Rég

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eur

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cour

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d'ax

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Rég

ulat

eur

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(dan

s co

mm

ande

num

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wc

x

Générateur de consignes(interpolateur, coordinateur d'axes)

f_07

_73_

07.e

ps

Con

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tran

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n +

/-10

[V

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par

bus

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z

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S-

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Gcz

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X

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sign

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pos

itio

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axe

Y

Con

sign

e de

pos

itio

npo

ur l'

axe

Z

axe

X

axe

Y

axe

Z

Fig. 7.19 – Régulation cascade de position/vitesse dans le cas de la machine-outil(fichier source).


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e q ( t )

y ( t )

K p 1

M

q

0

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c a p t e u rd e n i v e a u

S e r v o - v a n n e

SR p

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y q

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r é g u l a t e u rd e d é b i t

c a p t e u rd e d é b i t

r é g u l a t e u rd e n i v e a u

w q

f _ 0 7 _ 7 3 _ 0 8 . e p s

c o n s i g n ed e n i v e a u

m e s u r ed e n i v e a u

m e s u r ed e d é b i t

c o n s i g n ed e d é b i t

Fig. 7.20 – Régulation cascade de niveau d’eau et de débit (fichier source).

utiliser un bus de terrain, si les performances technico-économiques l’exigent/lepermettent) une consigne de vitesse à la commande chargée d’asservir l’axe envitesse.

Régulation cascade de niveau et de débit

Un autre exemple (figure 7.20) peut être trouvé dans le cas d’un systèmehydro-électrique où le niveau de remplissage d’un bassin de compensation estcontrôlé au moyen d’un régulateur de niveau. Si le niveau est trop élevé, le ré-gulateur transmet une consigne de débit à un régulateur de débit, lequel ajustel’ouverture de la vanne en conséquence.

7.4.4 Avantages de la structure cascade

A la lumière des exemples précédents, plusieurs avantages de la régulationcascade apparaissent clairement :

– l’ajustage des régulateurs peut être fait individuellement, en commençantpar le régulateur hiérarchiquement le plus inférieur, lequel est par ailleurssoumis aux contraintes de comportement dynamique les plus élevées ;

– le système à régler vu par le régulateur est de mieux en mieux déterminépar le fait qu’il est composé en bonne partie d’un système déjà asservipar un régulateur hiérarchiquement inférieur. L’effet de non-linéarités oude variations paramétriques est de cette façon en largement compensé par


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i ai a c

A s s e r v i s s e m e n td e c o u r a n t

C h a r g em é c a n i q u e

C a p t e u r d ev i t e s s e

R é g u l a t e u rd e v i t e s s e

S-

c o n s i g n ed e v i t e s s e

m e s u r ed e v i t e s s e

v i t e s s ei c l i m

L i m i t a t i o n d el a c o n s i g n ed e c o u r a n t

f _ 0 7 _ 7 3 _ 1 0 . e p s

v

u+ u m a x

- u m a x

Fig. 7.21 – La structure cascade permet par exemple de limiter indirectementle courant dans un moteur électrique par action sur la consigne de celui-ci. Unpoint de détail à relever est qu’il faut alors être attentif, lors de l’ajustage durégulateur de courant, au problème de dépassement de la consigne, ayant pourconséquence que le courant réel peut dépasser temporairement celle-ci en régimetransitoire (figure 7.22 page suivante) (fichier source).

les régulateurs inférieurs. Le système à régler vu par le régulateur est desurcroît de type α = 0, i.e. sans intégrateur ;

– la limitation de grandeurs internes est facilitée puisqu’elle peut s’opérer surla consigne correspondante (exemple : limitation de courant, figure 7.21) ;

– le problème d’asservissement est décomposé de manière logique, i.e. modu-laire ;

– la technique de réalisation des différents régulateurs peut être adaptée enfonction des contraintes dynamiques. Le régulateur le plus inférieur devrapeut-être être réalisé analogiquement avec des composants électroniquesrapides alors que le régulateur supérieur pourra être réalisé numériquementpar logiciel avec une unité de calcul de moyenne performance.

Tous ces avantages expliquent pourquoi ce type de structure est très répanduen pratique.

7.4.5 Inconvénients de la structure cascade

Les développements des paragraphes 7.4.6 et 7.4.10 page 255 montreront qu’àperformances identiques en régulation de maintien, la structure cascade est moinsperformante en régulation de correspondance que la structure dite parallèle (fi-gure 7.24 page 247).

7.4.6 Comparaison des régulations cascade et parallèle dansun cas particulier (positionnement en machine-outil)

Comme indiqué précédemment au § 7.4.3 page 242, une structure couram-ment répandue en machine-outil, pour des applications de positionnement, est


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t [ s ]

i a m ( t )

0

i a c 1 ( t )

D é p a s s e m e n t e n t r a n s i t o i r e= d é p a s s e m e n t d e l a l i m i t a t i o n d e l a c o n s i g n e

i a m m a x

i a c 2 ( t )

i a c 3 ( t )

Fig. 7.22 – Dépassement de la consigne, ayant pour conséquence que le courantréel peut dépasser temporairement celle-ci en régime transitoire (fichier source).

celle donnée sur la figure 7.23 page suivante. Le régulateur de position, intégrépar exemple dans une commande numérique (CNC), est de type P (gain Kpθ)et fournit (souvent sous une forme analogique ±10 [V]) une commande corres-pondant à une consigne de vitesse pour un régulateur de type PI situé dans unecommande d’axe. Admettons que ses gains soient Kpω et Tiω.

Le calcul de la commande u(t) délivrée par ce dernier régulateur nous ren-seigne sur les différentes contributions :

ucascade(t) = Kpω ·(

eω(t) +1

Tiω

·∫ t

−∞eω(τ) · dτ

)

= Kpω ·

eω(t)︷︸︸︷Kpθ · eθ(t)− yω(t) +

1

Tiω

·∫ t

−∞(

eω(τ)︷︸︸︷Kpθ · eθ(τ)− yω(τ)) · dτ

= Kpω ·

Kpθ · eθ(t)−θc(t)−eθ(t)︷︸︸︷

yω(t) +1

Tiω

·∫ t

−∞(Kpθ · eθ(τ) · dτ)− 1

Tiω

·θc(t)−eθ(t)︷︸︸︷

θ(t)

=

(Kpω ·Kpθ +

Kpω

Tiω

)· eθ(t)−

Kpω

Tiω

· θc(t)

+Kpω ·Kpθ

Tiω

·∫ t

−∞eθ(τ) · dτ + Kpω · eθ(t)−Kpω · θc(t)

Pour la commande du régulateur à structure parallèle (figure 7.24), on a sim-


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w q = q c

y q

S-

G c q ( s )

K p q G a w ( s )

G m w ( s )

G a q ( s )

G m q ( s )

S-

S


e qe w u

R é g u l a t e u rd e v i t e s s ed e t y p e P I

( d a n s c o m m a n d ed ' a x e )

R é g u l a t e u rd e p o s i t i o nd e t y p e P

( d a n s c o m m a n d en u m é r i q u e )

w w = w cq

w

y w

C o n s i g n e d e v i t e s s et r a n s m i s e p a r l i a i s o n + / - 1 0 [ V ]

o u p a r b u s d e t e r r a i n

C o n s i g n e d e p o s i t i o np o u r 1 a x e

f _ 0 7 _ 1 4 . e p s

G c w ( s )w

ww

i

ip Ts

TsK

××+

×1

Fig. 7.23 – Régulation cascade de position vitesse, avec un régulateur P de po-sition et PI de vitesse (fichier source).

qiTs ×1

qdTs ×

qpKS

1

e q ( t ) u p a r a l l è l e ( t )+

++

f _ 0 7 _ 7 3 _ 1 3 . e p s

Fig. 7.24 – Régulateur PID de position, structure parallèle (fichier source).


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plement :

uparallèle(t) = Kpθparallèle·(

eθ(t) +1

Tiθ

·∫ t

−∞eθ(τ) · dτ + Tdθ · eθ(t)

)Comparée à ucascade(t), on observe que la commande uparallèle(t) offre également– un gain Kpθparallèle

sur l’erreur de position eθ(t), tel que

Kpθparallèle= Kpω ·Kpθ +

Kpω

Tiω

– un gainKpθparallèle

Tiθsur l’intégrale

∫ t

−∞ eθ(τ) · dτ de l’erreur de position, telque

Kpω ·Kpθ

Tiω

=Kpθparallèle

Tiθ

– un gain Kpθparallèle· Tdθ sur la dérivée eθ(t) de l’erreur de position, tel que

Kpω = Kpθparallèle· Tdθ

En notant que

uparallèle(t) = ucascade(t) +Kpω

Tiω

· θc(t) + Kpω · θc(t)

on voit que uparallèle(t) offre en plus les contributions

+Kpω

Tiω

· θc(t)

+ Kpω · θc(t)

qui peuvent être vues commes des commandes anticipées, i.e. a priori (§7.3),basées respectivement sur les consignes θc(t) de position et de vitesse ωc(t) = θc(t)(figure 7.25 page ci-contre).

Par rapport aux seules contributions sur le signal d’erreur de position eθ(t),son intégrale

∫ t

−∞ eθ(τ) · dτ et sa dérivée eθ(t), l’équivalence entre les deux régu-lateurs est obtenue si l’ajustage est effectué comme suit :

Kpθparallèle= Kpω ·

(Kpθ +

1

Tiω

)(7.1)

1

Tiθ

=

Kpω ·Kpθ

Tiω

Kpθparallèle

(7.2)

Tdθ =Kpω

Kpθparallèle

(7.3)

Avec cet ajustage, les gains contre-réaction sont identiques, ce qui signifie ici queles performances en régulation de maintien seront identiques (puisque w(t) = 0dans ce mode de régulation). En revanche, grâce aux commandes anticipées,la précision et la rapidité pourront différentes en régulation de correspondance,comme va le montrer l’exemple du paragraphe 7.4.6 page suivante.


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w q = q c

y q

S-

G c q ( s )

K p q c a s c a d e G a w ( s )

G m w ( s )

G a q ( s )

G m q ( s )

S-

S


e qe w uw c q

w

y w

f _ 0 7 _ 1 8 . e p s

G c w ( s )w

ww

i

ip Ts

TsK

××+

×1

w

w

i

p

T

K

sK p ×w

a p p o r t d e l a s t r u c t u r ep a r a l l è l e

Fig. 7.25 – Mise en évidence des commandes anticipées +Kpω

Tiω·θc(t) et +Kpω · θc(t)

apportées par la structure parallèle par rapport à la structure cascade (fichier source).

Exemple

On considère une application pour laquelle les fonctions de transfert (selonfigure 7.23 page 247) ont pour expressions :

Gaω(s) =1

(1 + s · 0.1) · (1 + s · 0.01)

Gmω(s) = 1

Gaθ(s) =1

sGmθ(s) = 1

La synthèse par la méthode de Bode des régulateurs PI de vitesse et P de positionfournit :

Gcω(s) = Kpω ·1 + s · Tiω

s · Tiω

= 1 · 1 + s · 10

s · 10

Gcθ(s) = Kpθ = 1

Le calcul des paramètres du régulateur PID à structure parallèle, selon les


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0 50 100 150 200 250 300−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1Erreurs de position en cas de poursuite d’une consigne sinusoïdale de fréquence 0.01 [Hz]

e(t)

t [s]

cascadeparallèle

f_cas_par_10.eps

Fig. 7.26 – Erreurs de position lors de la poursuite d’une consigne de positionsinusoïdale de fréquence 0.01 [Hz] (fichier source).

formules 7.1 ci-dessus, donne :

Kpθparallèle= 1 ·

(1 +

1

10

)= 1.1

1

Tiθ

=1·110

1.1= 0.0909 [s−1]

Tdθ =1

1.1= 0.9091 [s]

Pour juger des performances, appliquons aux deux régulateurs une consigne deposition sinusoïdale de fréquence 0.01 [Hz] (figure 7.26). Il est clair que la structureparallèle offre de bien meilleures performances dynamiques.

L’examen des diagrammes de Bode (pour le gain seul) de la fonction de trans-fert Gwe(s) = E(s)

W (s), traduisant l’effet de la consigne de position sur l’erreur,

montre (figure 7.27 page ci-contre) de manière quantifiée l’avantage de la struc-ture parallèle par rapport à la structure cascade.

7.4.7 Calcul des fonctions de transfert en boucle ferméedans les deux modes de régulation (correspondanceet maintien)

Partant du schéma fonctionnel de la figure 7.15 page 238, on voit que lerégulateur Gc1(s) reçoit sa consigne du régulateur Gc2(s) ; il voit un système à


http://www.eivd.ch

http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_07/Figures/f_cas_par_10.pdf

http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_07/matlab///cas_par.m



10−3 10−2 10−1 100 101 102 103−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

ω [rad/s]

A(ω

)

cascadeparallèle

f_cas_par_9.eps

Fig. 7.27 – Réponses harmoniques (gain seul) des fonctions de transfert Gwe(s) =E(s)W (s)

pour les structures cascade et parallèle (fichier source).

régler ayant pour fonction de transfert Ga1(s) · Gm1(s) et c’est sur cette basequ’il est ajusté. Le schéma fonctionnel de la boucle interne peut alors être réduit(figure 7.28 page suivante). Le schéma réduit étant intégré dans le schéma debase de la figure 7.15 page 238, on obtient le schéma fonctionnel de la figure 7.29page suivante. On y observe que le régulateur Gc2(s) voit un système à réglerGw1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) comprenant notamment la fonction de transfert en bouclefermée Gw1(s) du système asservi par le régulateur Gc1(s).

Du schéma fonctionnel de la figure 7.29 page suivante, on peut obtenir l’ex-pression analytique de la grandeur réglée y(t) dans le domaine de Laplace :

Y (s) =

Gm2(s) ·Ga2(s) ·

Gv1(s)︷︸︸︷Ga1(s)

1 + Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)·V (s)

+ Gm2(s) ·Ga2(s) ·

Gw1(s)︷︸︸︷Gc1(s) ·Ga1(s)

1 + Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)·Gc2(s) ·

E(s)︷︸︸︷(W (s)− Y (s))


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http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_07/Figures/f_cas_par_9.pdf

http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_07/matlab///cas_par.m



S-

S

v ( t )

u 2 = w 1

e 1 u 1 x 1

G c 1 ( s ) G a 1 ( s )

G m 1 ( s )

S-

S

y 1

S

v ( t )

G w 1 ( s )

G v 1 ( s )

Su 2 = w 1 x 1

f _ 0 7 _ 2 1 . e p s

Fig. 7.28 – Boucle interne et son schéma équivalent (fichier source).

w ( t ) = w 2

y ( t ) = y 2

S-

G c 2 ( s ) G a 2 ( s )

G m 2 ( s )

e 2

u 2 = w 1

x 2

S

v ( t )

G w 1 ( s )

G v 1 ( s )

Sx 1

f _ 0 7 _ 7 3 _ 0 5 . e p s

Fig. 7.29 – Réduction du schéma fonctionnel global (fichier source).

w ( t ) y ( t )S

v ( t )

G w 2 ( s )

G v 2 ( s )

Sf _ 0 7 _ 7 3 _ 0 6 . e p s

Fig. 7.30 – Equivalence du schéma fonctionnel global réduit (fichier source).


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Y (s) ·(

1 +Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)

)=

Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)· V (s) +

Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)·W (s)

Y (s) =

Gw2(s)︷︸︸︷Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) + Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)·W (s)

+

Gv2(s)︷︸︸︷Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) + Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)·V (s)

La fonction de transfert en régulation de correspondance Gw(s) est donc donnéepar :

Gw(s)|cascade =Y (s)

W (s)= Gw2(s)

=Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) + Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)

La fonction de transfert en régulation de maintien Gv(s) est quant à elledonnée par :

Gv(s)|cascade =Y (s)

V (s)= Gv2(s)

=Gm2(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s)

1 + Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) + Gc1(s) ·Ga1(s) ·Gm1(s)

7.4.8 Régulation parallèle

Dans le cas de la régulation parallèle, un seul régulateur est mis en oeuvre surle système à régler Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) (figure 7.31 page suivante). Le calculdes fonctions de transfert en régulation de correspondance et de maintien est iciimmédiat ; on a :

Gw(s)|parallèle =Y (s)

W (s)=

Gc(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + Gc(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

La fonction de transfert en régulation de maintien Gv(s) est quant à elledonnée par :

Gv(s)|parallèle =Y (s)

V (s)=

Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + Gc(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)


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w ( t )

y ( t )

S-

G c ( s ) G a 1 ( s ) G a 2 ( s )

G m 2 ( s )

e u x

f _ 0 7 _ 2 0 . e p s

S

v ( t )

Fig. 7.31 – Structure de régulation parallèle (fichier source).

7.4.9 Comparaison des structures parallèle et cascade enrégulation de maintien

La question qui se pose est de savoir si l’une des deux structures est meilleureque l’autre en régulation de maintien. On montre ci-dessous que ces deux struc-tures sont rigoureusement équivalentes en ce qui concerne la régulation de main-tien. Partant de la fonction de transfert Gv(s) de la structure parallèle, on voitqu’en choisissant le régulateur Gc(s) tel que

Gc(s) = Gc2(s) ·Gc1(s) +Gc1(s) ·Gm1(s)

Ga2(s) ·Gm2(s)


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i.e. égal à une combinaison des fonctions de transfert des régulateurs Gc1(s) etGc2(s) de la structure cascade, on a :

Gv(s)|parallèle =Y (s)

V (s)

=Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + Gc(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

=Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + (Gc2(s) ·Gc1(s) +Gc1(s) ·Gm1(s)

Ga2(s) ·Gm2(s))︸︷︷︸

Gc(s)

·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

=Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + (Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) + Gc1(s) ·Gm1(s)) ·Ga1(s)

=Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) ·Ga1(s) + Gc1(s) ·Gm1(s) ·Ga1(s))

= Gv(s)|cascade

ce qui signifie que le comportement en régulation de maintien de la structureparallèle peut être rendu identique à celui de la structure cascade. On prouvedonc ainsi que la structure parallèle peut être aussi bonne que la structure cascadedans ce mode de régulation.

7.4.10 Comparaison des structures parallèle et cascade enrégulation de correspondance

Partant du principe que les deux systèmes offrent les mêmes performances enrégulation de maintien, i.e. que l’on a


Ga2(s) ·Gm2(s)


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le calcul de la fonction de transfert en régulation de correspondance pour lastructure parallèle donne :

Gw(s)|parallèle =Y (s)

W (s)=

Gc(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + Gc(s) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

=(Gc2(s) ·Gc1(s) + Gc1(s)·Gm1(s)

Ga2(s)·Gm2(s)) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

1 + (Gc2(s) ·Gc1(s) + Gc1(s)·Gm1(s)Ga2(s)·Gm2(s)

) ·Ga1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s)

=(Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) + Gc1(s) ·Gm1(s)) ·Ga1(s)

1 + (Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) + Gc1(s) ·Gm1(s)) ·Ga1(s)

=Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) ·Ga1(s) + Gc1(s) ·Gm1(s) ·Ga1(s)

1 + Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) ·Ga1(s) + Gc1(s) ·Gm1(s) ·Ga1(s)

=

Gw(s)|cascade︷︸︸︷Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) ·Ga1(s)


+Gc1(s) ·Gm1(s) ·Ga1(s)


= Gw(s)|cascade

+Gc1(s) ·Gm1(s) ·Ga1(s)


On voit donc que les performances en régulation de correspondance peuvent êtremeilleures en régulation parallèle qu’en régulation cascade. En effet, avec


Ga2(s) ·Gm2(s)

on aura :– les mêmes performances en régulation de maintien ;– de meilleures performances en régulation de correspondance avec la struc-

ture parallèle grâce au terme supplémentaireGc1(s) ·Gm1(s) ·Ga1(s)


que l’on ne retrouve pas dans la fonction de transfert de la structure cascade.Ce dernier terme permet de rendre le numérateur

Gc2(s) ·Gc1(s) ·Ga2(s) ·Gm2(s) ·Ga1(s) + Gc1(s) ·Gm1(s) ·Ga1(s)

de la fonction de transfert Gw(s)|parallèle plus proche encore du dénominateur


satisfaisant ainsi d’autant mieux l’objectif

Gw(s) =Y (s)

W (s)≈ 1


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S

S

G 1 1 ( s )

G 1 2 ( s )

G 2 2 ( s )

S Y S T E M E A R E G L E R

y 1 ( t )

y 2 ( t )

G 2 1 ( s )

f _ 0 7 _ 7 4 _ 0 1 . e p s

u 1 ( t )

u 2 ( t )

Fig. 7.32 – Système à 2 entrées/sorties couplées (fichier source).

7.5 Découplage de systèmes ([10])

7.5.1 Introduction

Soit le schéma fonctionnel du système à régler de la figure 7.32. Il s’agit d’unsystème à 2 entrées (les commandes u1(t) et u2(t)) et 2 sorties (les grandeursréglées y1(t) et y2(t)). On remarque que chacune des commandes influence les 2signaux de sorties, de telle manière que ceux-ci s’écrivent :

Y1(s) = G11(s) · U1(s) + G21(s) · U2(s)

Y2(s) = G22(s) · U2(s) + G12(s) · U1(s)

De tels systèmes sont fréquents dans la pratique. Citons par exemple :– des installations de régulations de températures, où une enceinte réglée à

une certaine température T1 influence une autre asservie à une températureT2 6= T1.

– la caisse de tête d’une installation de production de papier comporte uncouplage pression/débit (voir laboratoire de régulation numérique, "décou-plage d’une caisse de tête") ;

– les modèles d’hélicoptères du laboratoire d’automatique de l’eivd ont uncouplage très net entre le rotor principal et celui d’anti-couple ;

– une machine synchrone auto-commutée, i.e. un moteur sans balais à aimantpermanent, possède un couplage entre les courants des axes d et q lorsqu’elleest modélisée dans le référentiel biphasé solidaire du rotor (figure 7.33) [17].


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1

1

R

sL

R

s

s

s

+ ×

u s q ( t )

w ( t )

S

1

1

R

sL

R

s

s

s

+ ×S

L s

L s

i s d ( t )

i s q ( t )

u s d ( t )

-

-

f _ 0 7 _ 7 4 _ 0 5 . e p s

p

w s ( t )

K E

3

c o u p l a g ee n t r e a x e s

Fig. 7.33 – Couplage entre les axes d et q d’une machine synchrone auto-commutée vue dans le référentiel d-q solidaire du rotor (fichier source).

7.5.2 Découplage

On peut remédier à l’inconvénient du couplage en connectant en amont dusystème à régler un réseau de découplage (figure 7.34 page ci-contre) composé desfonctions de transfert H1(s) et H2(s), chargé de modifier les commandes u1(t) etu2(t) en leur retranchant par anticipation l’effet des couplages G21(s) · U2(s) etG12(s) · U1(s). On a :

Y1(s) = G11(s) · V1(s) + G21(s) · V2(s) = [U1(s)−H2(s) · V2(s)] ·G11(s) + G21(s) · V2(s)

Y2(s) = G22(s) · V2(s) + G12(s) · V1(s) = [U2(s)−H1(s) · V1(s)] ·G22(s) + G12(s) · V1(s)

Le couplage est éliminé si

Y1(s) = G11(s) · U1(s)

Y2(s) = G22(s) · U2(s)


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S

S

G 1 1 ( s )

G 1 2 ( s )

G 2 2 ( s )

v 1 ( t )S

S

H 1 ( s )

D E C O U P L A G E S Y S T E M E A R E G L E R

v 2 ( t )

u 1 ( t )

u 2 ( t )

y 1 ( t )

y 2 ( t )

H 2 ( s )

G 2 1 ( s )

f _ 0 7 _ 7 4 _ 0 2 . e p s

-

-

Fig. 7.34 – Système à 2 entrées/sorties couplées avec découpleurs (fichier source).

ce qui est effectif lorsque

−H2(s) · V2(s) ·G11(s) + G21(s) · V2(s) = 0

−H1(s) · V1(s) ·G22(s) + G12(s) · V1(s) = 0

On en déduit que

H1(s) =G12(s)

G22(s)

H2(s) =G21(s)

G11(s)

Le schéma fonctionnel de la figure 7.34 montre l’emplacement et la fonction desdécoupleurs.

Les relations fournissant y1(t) et y2(t) deviennent ainsi :

Y1(s) = G11(s) ·

V1(s)︷︸︸︷(U1(s)−

G21(s)

G11(s)· V2(s)

)+G21(s) · V2(s) = G11(s) · U1(s)

Y2(s) = G22(s) ·(

U2(s)−G12(s)

G22(s)· V1(s)

)︸︷︷︸

V2(s)

+G12(s) · V1(s) = G22(s) · U2(s)

Le couplage est effectivement devenu inopérant.

7.5.3 Schéma équivalent du système découplé

En termes de régulation automatique, le schéma fonctionnel de l’asservisse-ment des grandeurs y1(t) et y2(t) aux consignes w1(t) et w2(t) sera celui de la


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S

S

S

S

D E C O U P L A G E S Y S T E M E A R E G L E R

S

S

-

-

R E G U L A T E U R S

w 1 ( t )v 1 ( t )

v 2 ( t )

y 1 ( t )

y 2 ( t )

u 1 ( t )

u 2 ( t )

G 1 1 ( s )

G 1 2 ( s )

G 2 2 ( s )

H 1 ( s )

H 2 ( s )

G 2 1 ( s )

G c 1 ( s )

G c 2 ( s )w 2 ( t )

f _ 0 7 _ 7 4 _ 0 3 . e p s

-

-

Fig. 7.35 – Système à 2 entrées/sorties couplées avec découpleurs et régulateurs(fichier source).

S Y S T E M E A R E G L E R

S

S

-

-

R E G U L A T E U R S

w 1 ( t ) y 1 ( t )

y 2 ( t )

u 1 ( t )

u 2 ( t )

G 1 1 ( s )

G 2 2 ( s )

G c 1 ( s )

G c 2 ( s )w 2 ( t )

f _ 0 7 _ 7 4 _ 0 4 . e p s

Fig. 7.36 – Système équivalent à un système à 2 entrées/sorties couplées avecdécoupleurs et régulateurs : le découplage est théoriquement parfait ! (fichier source)

figure 7.35. L’ajustage des régulateurs s’effectue alors simplement en considérantqu’ils voient uniquement les fonctions de transfert G11(s) et G22(s). Le schémaéquivalent du système asservi est donné sur la figure 7.36. L’ajustage des régu-lateurs Gc1(s) et Gc2(s) peut donc s’effectuer sur la seule base des fonctions detransfert directes G11(s) et G22(s) respectivement.


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v+ u m a x

- u m a x

L I M I T A T I O N

f _ 0 7 _ 7 5 _ 1 1 . e p s

1s

S 1s

+

-

w ( t ) y ( t )u ( t )

y ( t )

e ( t )G a ( s )

v ( t )

K pSdTs ×

iTs ×1

R é g u l a t e u r P I D

u i ( t )

Fig. 7.37 – Régulateur comportant une action intégrale et suivi d’une limitation(fichier source).

7.6 Anti-wind-up ([4], [1])

7.6.1 Présentation du problème : wind-up de l’intégrateur

On considère l’installation de la figure 7.37, où un régulateur PID est utilisépour asservir un système à régler. La commande u(t) délivrée par le régulateurest limitée, dans le but de protéger le système à régler.

Dans le cas où l’erreur e(t) est de même signe pendant une longue durée,par exemple lors de l’application d’un saut de consigne, la sortie ui(t) de l’inté-grateur peut atteindre un niveau élevé prolongeant l’état de saturation (car lecontenu d’un intégrateur est par nature lent à modifier, par exemple à vider)de la commande v(t) (figure 7.38 page suivante). Il y alors risque de wind-up(emballement), car

– l’erreur ne décroît qu’à un rythme modéré, dicté par la valeur maximale dela commande, i.e. umax ;

– de ce fait, le niveau de l’intégrateur continue de croître, et peut atteindreune valeur bien supérieure à la valeur finale

v∞ = limt→+∞

v(t) =limt→+∞ y(t)

limω→0 Ga(j · ω)

de la commande que le régulateur finira par appliquer au système à réglerpour le maintenir à la valeur de consigne (v∞ = 0 dans le cas de la figure 7.38page suivante car le système à régler est de type α = 0).

Pour que le contenu de l’intégrateur diminue afin que la commande atteigne lavaleur finale v∞, il est nécessaire que l’erreur change de signe, ce qui est synonymed’un dépassement souvent considérable de la consigne (figures 7.39 page suivanteet 7.40 page 263),


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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−40

−20

0

20

40

60

80

u(t)

u(t)

v(t)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−10

0

10

20

30

40

50

60

t [s]

Kpu i(t)

f_wind_up_ini_4.eps

Fig. 7.38 – Wind-up de l’intégrateur en cas de limitation prolongée de la grandeurde commande : le contenu de l’intégrateur continue d’augmenter, prolongeantainsi l’état de saturation (fichier source).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t [s]

w(t)

, y(t)

sans limitation

avec limitation

f_wind_up_ini_3.eps

Fig. 7.39 – Effet sur la grandeur réglée du wind-up de l’intégrateur en cas delimitation prolongée de la grandeur de commande (fichier source).


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http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_07/Figures/f_wind_up_ini_4.pdf

http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_07/matlab///wind_up_ini.m





0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−1

−0.5

0

0.5

1

e(t)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−5

0

5

10

15

20

t [s]

∫ −∞te(

τ)dτ

f_wind_up_ini_5.eps

Fig. 7.40 – L’erreur doit changer de signe pour que l’intégrateur voie son niveaubaisser, ce qui implique un dépassement de la consigne (fichier source).

7.6.2 Dispositif anti-wind-up

Le wind-up de l’intégrateur peut être considérablement diminué en injectantdans celui-ci un signal tendant à faire correspondre la commande u(t) et sa valeurlimitée v(t) : ce dispositif est décrit sur la figure 7.41. Comme on peut l’observer,l’effet du dispositif est inexistant lorsqu’il n’y a pas de limitation, i.e. lorsquev(t) = u(t) ≤ ±umax. En présence de limitation, la différence v(t) − u(t) estformée, puis amplifiée par le facteur 1

Tawavant d’être ajoutée au signal intégré. Il

s’agit d’une sorte de système de régulation automatique (figure 7.42) : la consigne

v+ u m a x

- u m a x

L I M I T A T I O N

f _ 0 7 _ 7 5 _ 1 2 . e p s

1s

S 1s

+

-

w ( t ) y ( t )u ( t )

y ( t )

e ( t )G a ( s )K pSdTs ×

s

1S

R é g u l a t e u r P I D a v e c a n t i - w i n d - u p

S

-

a wT

1

v ( t )

iT

1 u i ( t )

Fig. 7.41 – Dispositif anti-wind-up (fichier source).


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1s

u ( t )K pa wTs ×

1S

-

u i ( t )v ( t )

f _ 0 7 _ 7 5 _ 1 3 . e p s

u ( t )

Fig. 7.42 – Le dispositif anti-wind-up fonctionne comme un système asservi(fichier source).

étant v(t), on s’arrange pour que la grandeur réglée u(t) lui corresponde en agis-sant sur l’intégrateur (par exemple en le vidant) avec une action proportionnellefixée par 1

Taw. Le comportement dynamique de cette boucle définit vitesse à la-

quelle la différence v(t) − u(t) est annulée, et peut être déterminé en fixant lavaleur de la pulsation de coupure ωco à 0 [dB] de la fonction de transfert

Goaw(s) =

Kp

Taw

s

puisque l’on a approximativement :

ωco · Treg ≈ π

Les résultats obtenus dans le cas l’exemple illustré précédemment sont condenséssur les figures 7.43 page ci-contre et 7.44 page suivante.


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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t [s]

w(t)

, y(t)

sans limitation

avec limitation et anti−windup

avec limitation et sans anti−windup

f_wind_up_ini_6.eps

Fig. 7.43 – Effet du dispositif antiwindup sur la grandeur réglée (fichier source).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−40

−20

0

20

40

60

80

t [s]

u(t)

u(t) avec anti−windup

v(t) avec anti−windup

u(t) sans anti−windup

v(t) sans anti−windup

f_wind_up_ini_8.eps

Fig. 7.44 – Effet du dispositif antiwindup sur la commande (fichier source).


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Dispositif anti-windup simplifié

On peut également réduire les effets indésirables de la limitation du signalde commande en cessant d’intégrer dès que la limitation entre en action. Cettemanière de faire est d’autant plus facilement mise en oeuvre que le régulateur estimplanté sous forme numérique :

/∗ . . . ∗/

/∗ I n t e g r a l e de l ’ erreur ∗/int_e = int_e + e ;

/∗Loi de commande du r e gu l a t eu r PID∗/u = Kp ∗ ( e + Gi ∗ int_e + Td ∗ de ) ;

/∗Limi ta t ion e t co r r ec t i on sur l ’ i n t e g r a l e ( ant i−windup s imp l i f i e ) ∗/i f (u > u_max)

{v = u_max;int_e = int_e − e ; /∗Cesse l ’ i n t e g r a t i on ∗/}

else i f (u < u_min){v = u_min ;int_e = int_e − e ; /∗Cesse l ’ i n t e g r a t i on ∗/}

/∗ . . . ∗/


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1s

S 1s

+

-

w ( k ) y ( k )u ( k )

y ( k )

e ( k )G c ( z ) H ( z )

f _ 0 7 _ 7 6 _ 0 1 . e p s

S

v ( k )

-

D y q

Fig. 7.45 – Mise en évidence de la quantification de la mesure de la grandeurréglée dans le cadre d’un système de régulation numérique (fichier source).

7.7 Influence de la résolution de la grandeur ré-glée mesurée

Le but de ce paragraphe est de mettre en évidence les effets de la résolutionde la mesure de la grandeur réglée sur le système asservi.

Soit ∆yq la résolution (ou pas de quantification) de la mesure y(k) d’un sys-tème de régulation numérique (figure 7.45).

Si ce système est asservi par un régulateur PD, la commande u(k) a pourexpression :

u(k) = Kp ·(

e(k) + Td ·e(k)− e(k − 1)

h

)La résolution de la consigne étant généralement plus élevée que celle de la

grandeur réglée, on examine la contribution de y(k) seule de façon à se focalisersur le problème principal. On a :

uy(k) = Kp ·(−y(k)− Td ·

y(k)− y(k − 1)

h

)La commande élaborée par le régulateur PD est sans surprise formée

– d’une contribution proportionnelle à y(k)

uyP (k) = −Kp · y(k)

Le plus petit élément de commande formable par l’action P, hormis 0, i.e.un LSB de uyP (k) vaut :

∆uyPq = Kp ·1 LSB de y(k)︷︸︸︷

∆yq


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On voit que la quantification de la mesure est amplifiée au niveau de lacommande par Kp ! Cette quantification peut s’avérer grossière pour dessystèmes très dynamiques, i.e. tels que Kp est très élevé ;

– d’une contribution proportionnelle à y(k)− y(k − 1)

uyD(k) = −Kp · Td ·y(k)− y(k − 1)

h

De même, le plus petit élément de commande formable par l’action D,hormis 0, i.e. un LSB de uyD(k) s’écrit :

∆uyDq = Kp · Td ·

résolutionde lamesure devitesse︷︸︸︷

∆yq

h

En principe, Kp, Td et h sont fixés d’après des critères de stabilité, de respectdu théorème de l’échantillonnage, etc.

On observe ici que plus h est petite, meilleure est l’estimation de la dérivée,mais moins bonne est la résolution ∆uyDq de la commande uyD(k) qui varie enraison inverse de h :

∆uyDq ∝1

hLa figure 7.46 page suivante illustre la situation : pour une même résolution ∆yq,la plus petite variation de y(t) par rapport au temps t est ∆yq

h1lorsque h = h1 et

∆yq

h2lorsque h = h2. Comme h1 > h2, la plus petite variation perceptible est plus

grande, i.e. moins fine, pour le cas de la petite période d’échantillonnage h2.Les conséquences en sont un bruit (de quantification) sur la commande pou-

vant être souvent inacceptable. Dans le cas de systèmes de servo-entraînementspar exemple, le bruit de quantification sur la commande se répercute directementsur le couple électromagnétique produit, avec des conséquences parfois gênantes,comme du bruit audible et une usure prématurée des organes de transmission.

Rappel : bruit équivalent dû à la quantitfication L’effet de la quantifica-tion de la grandeur réglée peut être représenté par un bruit, i.e. une perturbation,comme le montre la figure 7.47 page ci-contre.

Ce bruit peut être considéré comme un signal aléatoire à moyenne nulle (σ =0) dont la variance σ2 dépend du pas de quantification [9] :

σ2 ≈∆y2

q

12

Ce résultat correspond au cas où la quantification est uniforme (∆yq constant).On a de plus fait l’hypothèse que la densité de probabilité du signal y(k) estconstante sur un pas de quantification. On rappelle que la racine carrée de lavariance d’un signal aléatoire correspond à sa valeur efficace.


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t [ s ]

y ( t )( h = h 1 )

0

D y q

y ( t )( h = h 2 )

h 1 = 4 h 2

h 2

t [ s ]

d y / d t( h = h 1 )

0

D y q / h 2

= 4 D y q / h 1

f _ 0 7 _ 2 9 . e p s

d y / d t( h = h 2 )

D y q / h 1

Fig. 7.46 – Plus la période d’échantillonnage est petite, moins la résolution de lamesure de la variation par rapport à t est bonne. Ici, on observe que la plus petitevariation de y(t) par rapport au temps perceptible entre 2 instants d’échantillon-nage est 4 fois plus grande, i.e. 4 fois plus grossière lorsque la période d’échan-tillonnage est 4 fois plus petite (fichier source).

AD

AD

w ( k h )

y ( k h )

u ( t ) x ( t )u ( k h )A L G O R I T H M E

S Y S T E M EA

R E G L E R

y ( t )

v ( t )

S+

+

n ( t )b r u i t s u r l a m e s u r e

p e r t u r b a t i o n

f _ 0 7 _ 1 9 . e p s

Fig. 7.47 – Représentation de l’effet de la quantification par un bruit n(t) devariance σ2 ≈ ∆y2

q

12(fichier source).


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1s

S 1s

-

w ( t ) y ( t )u ( t )

y ( t )

e ( t )G c ( s ) G a ( s )

f _ 0 7 _ 7 8 _ 0 3 . e p s

S

v ( t )

-

Fig. 7.48 – Système asservi (fichier source).

7.8 Fonction de sensibilité ([11], §3.4)

La fonction de sensibilité S(s) d’un système asservi (figure 7.48) exprime lavariation relative ∆Gw(s)

Gw(s)de la fonction de transfert en boucle fermée, régulation

de correspondance, Gw(s), par rapport à la variation relative ∆Ga(s)Ga(s)

de la fonctionde transfert du système à régler Ga(s) :

S(s) =

dGw(s)Gw(s)

dGa(s)Ga(s)

On a :

dGw(s)

dGa(s)=

d Go(s)1+Go(s)

dGa(s)

=d Gc(s)·Ga(s)

1+Gc(s)·Ga(s)

dGa(s)

=Gc(s) · (1 + Gc(s) ·Ga(s))−Gc(s) ·Ga(s) ·Gc(s)

(1 + Gc(s) ·Ga(s))2

=Gc(s)

(1 + Gc(s) ·Ga(s))2


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d’où :

dGw(s) =Gc(s)

(1 + Gc(s) ·Ga(s))2· dGa(s)

dGw(s)

Gw(s)=

Gc(s)(1+Gc(s)·Ga(s))2

· dGa(s)

Gw(s)

=

Gc(s)(1+Gc(s)·Ga(s))2

· dGa(s)

Gc(s)·Ga(s)1+Gc(s)·Ga(s)

=1

1 + Gc(s) ·Ga(s)· dGa(s)

Ga(s)

La fonction de sensibilité S(s) a donc pour expression :

S(s) =

dGw(s)Gw(s)

dGa(s)Ga(s)

=1

1 + Go(s)

On constate que, sous réserve d’un maintien de la stabilité en boucle fermée, plusle gain de boucle Go(s) est élevé, moins les variations des paramètres du systèmeà régler Ga(s) n’ont d’influence sur les performances en boucle fermée, i.e. lesparamètres de la fonction de transfert Gw(s). Cette observation concorde avec lespropriétés de linéarisation offertes par la contre-réaction.

On note également que cette expression est identique à celle que l’on obtientsi l’on calcule la fonction de transfert liant la consigne w(t) à l’erreur e(t) :

Gew(s) =E(s)

W (s)=

1

1 + Go(s)

La réponse harmonique de S(j · ω) a une allure tout à fait typique (figure 7.49page suivante) : son module est faible à basse fréquences (peu de sensibilité,i.e. bonne performance en précision) et tend vers l’unité (grande sensibilité) auxhautes fréquences.

Une propriété tout à fait remarquable ([11], §4.2) de la fonction de sensibilitéest que le maximum du module de sa réponse harmonique

max {|S(j · ω)|} = ‖S‖∞

correspond à la distance minimum entre le lieu de Nyquist de Go(j ·ω) et le point


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Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Réponses harmoniques

−40

−20

0

20

40

|S( j ⋅ ω)|

|Gw

( j ⋅ ω)|

|Go( j ⋅ ω)|

10−2 10−1 100 101

−150

−100

−50

0

50

Fig. 7.49 – Diagrammes de Bode de Go(j · ω), Gw(j · ω) et S(j · ω) : allurestypiques.

critique −1 + j · 0 (figure 7.50 page suivante) :

distance minimum entre − 1 et Go(j · ω)

= min {|1 + Go(j · ω|)}

= max{∣∣∣∣ 1

1 + Go(j · ω)

∣∣∣∣}= max {|S(j · ω)|}= ‖S‖∞

Il s’agit donc d’une mesure plus fine de la distance entre le lieu de Nyquist et lepoint critique que celle donnée classiquement par les marges de phase ϕm et degain Am.

7.8.1 Application : spécification de performance ([11], §3.4)

En relevant que la fonction de sensibilité définie comme S(s) =dGw(s)Gw(s)dGa(s)Ga(s)

coïncide

avec la fonction de transfert

Gew(s) =E(s)

W (s)=

1

1 + Go(s)= S(s)


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0

G o ( j w )I m

R e- 1

w = 0 [ r a d / s ]w = [ r a d / s ]¥

G o ( j w )G o ( j w )1 + G o ( j w )

1

G o ( j w )1 + G o ( j w )

1

f _ 0 7 _ 0 8 _ 0 1 . e p s

- 1

Fig. 7.50 – Lieu de Nyquist de Go(j ·ω) : sa distance minimale au point critique−1 + j · 0 est donnée par min{|1 + Go(j · ω|)}, soit l’inverse du maximum dumodule de la fonction de sensibilité max{|S(j · ω)|} (fichier source).


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w [ r a d / s ]

A ( w ) |[ d B ]

0 [ d B ]

w c o| W 1- 1 ( j w ) |

| S ( j w ) |

| W 1 ( j w ) |

f _ 0 7 _ 2 3 . e p s

Fig. 7.51 – Illustration d’une méthode de spécification des performances d’unsystème asservi : on impose que le module de fonction de sensibilité soit inférieurà une limite

∣∣W−11 (j · ω)

∣∣ variant en fonction de la fréquence (fichier source).

traduisant l’effet de la consigne sur l’erreur, il est envisageable de spécifier lesperformances de précision d’un système de régulation automatique en imposantune valeur maximale 1

|W1(j·ω)| de la fonction de sensibilité pour chaque pulsationω. On pourrait écrire :

|S(j · ω)| < 1

|W1(j · ω)|

i.e. le module de la fonction de sensibilité doit être inférieur à la borne∣∣W−1

1 (j · ω)∣∣

(figure 7.51). On peut condenser cela sous la forme

‖W1(j · ω) · S(j · ω)‖∞ < 1 (7.4)

illustrée par la figure 7.52 page suivante.Typiquement, on choisira |W1(j · ω)| élevé à basse fréquence (bonne précision)

et tendant vers 1 aux hautes fréquences, là où l’action régulateur est sans effetsur le système à régler, vu le caractère filtrant de ce dernier (y(t) → 0 =⇒e(t) = w(t)− y(t) → w(t)).

Il existe une interprétation graphique intéressante de la relation 7.4 : pourque le module de la fonction de sensibilité soit toujours inférieur à

∣∣W−11 (j · ω)

∣∣,il faut que lieu de Nyquist de Go(j ·ω) soit toujours en dehors du disque de rayon|W1(j · ω)| et de centre −1 + j · 0 (figure 7.53 page ci-contre).


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w [ r a d / s ]

A ( w ) |[ d B ]

0 [ d B ]

w c o

| S ( j w ) |

| W 1 ( j w ) |

| W 1 ( j w ) S ( j w ) |

f _ 0 7 _ 2 4 . e p s

Fig. 7.52 – Spécification des performances d’un système asservi : on imposeque la valeur supérieure de |W1(j · ω) · S(j · ω)| soit inférieure à 1, i.e. à 0 [dB](fichier source).

G o ( j w )I m

R e

w = 0 [ r a d / s ]w = [ r a d / s ]¥

- 1

| W 1 |

f _ 0 7 _ 2 5 . e p s

Fig. 7.53 – Interprétation graphique de la condition de performance‖W1(j · ω) · S(j · ω)‖∞ < 1 (fichier source).


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T (z) Σ-

1R(z) Σ

S(z)

B(z)A(z)

Σ

w(k) y(k)u(k)

v(k)

n(k)

Fig. 7.54 – Structure du régulateur RST (fichier source).

7.9 Régulateur RST polynômial

7.9.1 Structure du régualteur RST [4] [1]

Un système asservi par un régulateur RST a la structure définie sur la fi-gure 7.54. Toutes les lettres situées dans des blocs désignent des polynômes en zet non des fonctions de transfert. La figure 7.55 page ci-contre montre un schémaéquivalent où les blocs correspondent cette fois à des fonctions de transfert cau-sales (voir également l’équation (7.21)). Dans ce schéma, on a tenu compte del’existence de bruit n(k) sur la grandeur réglée mesurée. On remarque que l’onne considère que des signaux discrets, aussi bien pour le bruit que pour les per-turbations. De même, c’est le modèle échantillonné du système à régler qui estemployé

H(z) =Y (z)

U(z)=

(1− z−1

)· Z

{L−1

(Ga(s)

s

)}où Ga(s) est le modèle analogique du système à régler. On part de l’hypothèseque A(z) et B(z) n’ont pas de facteur commun, i.e. les simplifications pôles-zéroon été faites.

7.9.2 Fonctions de transfert

Les fonctions de transfert suivantes peuvent être calculées :Système à régler

H(z) =Y (z)

U(z)=

B(z)

A(z)(7.5)

Boucle ouverteGo(z) =

S(z) ·B(z)

R(z) · A(z)(7.6)


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http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_07/Figures/rst_apriori_1_1.pdf

http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_07/Figures////metapost/rst_apriori_1.mp



T (z)zδR Σ

-

zδR

R(z) Σ

S(z)zδR

B(z)A(z)

Σ

w(k) y(k)u(k)

v(k)

n(k)

Fig. 7.55 – Structure du régulateur RST. δR est l’ordre du polynôme R(z)(fichier source).

Régulation de correspondance

Gw(z) =Y (z)

W (z)=

T (z)R(z)

· B(z)A(z)

1 + Go(z)=

T (z)R(z)

· B(z)A(z)

1 + S(z)·B(z)R(z)·A(z)

=B(z) · T (z)

A(z) ·R(z) + B(z) · S(z)=

Bm(z)

Am(z)

(7.7)

Régulation de maintien

Gv(z) =Y (z)

V (z)=

B(z)A(z)

1 + Go(z)=

B(z)A(z)

1 + S(z)·B(z)R(z)·A(z)

=B(z) ·R(z)

A(z) ·R(z) + B(z) · S(z)

(7.8)

Réjection des perturbations

Gn(z) =Y (z)

N(z)=

S(z)R(z)

· B(z)A(z)

1 + S(z)·B(z)R(z)·A(z)

=B(z) · S(z)

A(z) ·R(z) + B(z) · S(z)(7.9)

7.9.3 Forme des polynômes et contraintes

Les performances en asservissement sont spécifiées par le modèle en bouclefermée

Gw(z) =Y (z)

W (z)=

Bm(z)

Am(z)= Hm(z) (7.10)

lequel peut être fixé dès le début du projet sur la base d’informations comme ladurée de réglage Treg, la bande passante en boucle fermée ω−3dB, la précision enpoursuite de consigne et en réjection des perturbations, le taux de dépassement de


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la réponse indicielle autorisé, etc. Si l’on souhaite un comportement apériodiqueen boucle fermée avec une durée de réglage Treg, il suffira alors de poser

Am(z) ∝ (z − pf1) =(z − e

− hTreg

)(7.11)

Le polynôme B(z) détermine les zéros du système à régler. Il est dans le casgénéral envisageable de les compenser, à condition toutefois que l’on se limite auxzéros de B(z) situés dans le disque unité (voir § 7.2 page 229). Des conditions plusdrastiques d’amortissement absolu et relatif peuvent également être imposées.En désignant par B+(z) le polynôme monique facteur de B(z) dont les racinesrépondent à cette condition, on peut alors écrire B(z) comme

B(z) = B+(z) ·B−(z) (7.12)

Le polynôme Bm(z) devra ainsi contenir le terme B−(z) afin de s’assurer qu’aucunzéro hors du disque unité, voire hors d’une zone plus restrictive spécifiée par desconditions d’amortissement absolue et relative, n’ait été compensé :

Bm(z) = B−(z) ·B′m(z) (7.13)

Si le polynôme B+(z) est compensé, la seule possibilité est qu’il le soit par deszéros de R(z) puisque A(z) et B(z) n’ont par hypothèse pas de facteurs communs :

Go(z) =S(z)

R(z)· B(z)

A(z)=

S(z)

B+(z) ·R′(z)· B+(z) ·B−(z)

A(z)=

S(z) ·B−(z)

R′(z) · A(z)

On en déduit queR(z) = B+(z) ·R′(z) (7.14)

En réécrivant la fonction de transfert en boucle fermée, régulation de correspon-dance, on a :

Hm(z) =Y (z)

W (z)=

B(z) · T (z)

A(z) ·R(z) + B(z) · S(z)

=B−(z) ·B+(z) · T (z)

A(z) ·B+(z) ·R′(z) + B+(z) ·B−(z) · S(z)

=B−(z) · T (z)

A(z) ·R′(z) + B−(z) · S(z)

D’autre part, selon (7.7) et (7.13) :

Hm(z) =Bm(z)

Am(z)=

B−(z) ·B′m(z)

Am(z)

On en déduit :

B−(z) · T (z)

A(z) ·R′(z) + B−(z) · S(z)=

B−(z) ·B′m(z)

Am(z)=

B−(z) ·B′m(z)

Am(z)· Ao(z)

Ao(z)


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Le polynôme Ao(z) porte le nom de polynôme observateur : il permet de tenircompte du fait que si

7

4=

7

4· 3

3=

21

12

on ne peut cependant égaler directement les numérateurs et dénominateurs dechacune des fractions. Dans le cas de l’exemple, Ao(z) = 3.

Pour la synthèse du régulateur, i.e la détermination des polynômes R(z),S(z) et T (z) à partir des polynômes A(z), B(z), Am(z) et Bm(z), les équationssuivantes sont donc à résoudre :

A(z) ·R′(z) + B−(z) · S(z) = Ao(z) · Am(z) (7.15)T (z) = Ao(z) ·B′

m(z) (7.16)

Si une compensation des perturbations d’ordre j est spécifiée, il suffit d’incluredans Go(z) le nombre l = j + 1 correspondant d’intégrateurs. S’inspirant de ladémarche ayant conduit à l’équation (7.14), ceci se fait en imposant que R(z) aitla forme :

R(z) = B+(z) · (z − 1)l ·R′(z) (7.17)

7.9.4 Calcul de R(z) et S(z)

Condition d’existence de solutions uniques

Le calcul de R(z) et S(z) passe par la résolution de l’équation de Diophantine

A(z) ·X(z) + B(z) · Y (z) = C(z) (7.18)

où A(z), X(z), B(z), Y (z) et C(z) sont des polynômes. A(z), B(z) et C(z) sontconnus, X(z) et Y (z) sont les polynômes à déterminer. Il est clair qu’une telleéquation possède une infinité de solutions. Cependant, on peut démontrer quel’équation (7.18) a des solutions uniques si :

δY < δA (7.19)

i.e. si le degré du polynôme Y (z) est strictement inférieur à celui du polynômeA(z). Dans le cas du régulateur RST, une équation de la même forme est juste-ment obtenue lorsque l’on considère le dénominateur A(z) ·R′(z)+B−(z) ·S(z) =Ao(z) · Am(z) de la fonction de transfert en boucle fermée. En en multipliant les2 membres par B+(z), on a :

A(z) ·R(z) + B(z) · S(z) = B+(z) · Ao(z) · Am(z) (7.20)


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Contraintes sur les degrés des polynômes

Si (7.19) est respectée, l’on sait que (7.20) a une solution unique offrant lespolynômes R(z) et S(z) recherchés : encore faut-il chercher une solution pourceux-ci telle que leurs degrés soient compatibles avec les contraintes contenuesimplicitement dans (7.20). Il faut par exemple que le degré du polynôme dumembre de gauche, résultant de la somme de produits A(z)·R(z)+B(z)·S(z) soitéquivalent à celui du membre de droite, résultant du produit B+(z)·Ao(z)·Am(z).C’est la liste des ces contraintes qui est développée dans ce paragraphe.

Il faut commencer par prendre en compte les contraintes de causalité desfonctions de transfert du système à régler, régulateur et du modèle à poursuivre(la notation δX signifie "degré du polynôme X") :

δR ≥ δS (7.21)δR ≥ δT (7.22)δA > δB (7.23)δAm − δBm ≥ δA− δB (7.24)

Degré du polynôme R(z) En examinant (7.20), avec (7.23) et (7.21), on a :

δR + δA > δB + δS

Ainsi :δR + δA = δB+ + δAo + δAm

d’oùδR = δB+ + δAo + δAm − δA (7.25)

Degré du polynôme T (z) Comme

T (z) = Ao(z) ·B′m(z)

on peut écrireδT = δAo + δB′

m

Degré du polynôme Am(z) On peut alors écrire, sachant que selon (7.22)δR ≥ δT :

δB+ + δAo + δAm − δA ≥ δAo + δB′m

et finalement :δAm ≥ δB′

m − δB+ + δA (7.26)


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Degré des polynômes S(z) et Ao(z) Il reste à déterminer les degrés despolynômes S(z) et Ao(z). Pour S(z), on prendra simplement, selon l’équation(7.19) :

δS = δA− 1 (7.27)

Pour Ao(z), la prise en compte des équations (7.21), (7.25) et (7.27) permet decalculer :

δR ≥ δS

δB+ + δAo + δAm − δA ≥ δS

d’où :δAo ≥ 2 · δA− δAm − δB+ − 1 (7.28)

Résumé

En résumé, pour la synthèse du régulateur RST, on s’arrangera pour respecter,dans l’ordre, le conditions suivantes :

ChoisirB′m(z) selon les contraintes en poursuite de consigne

δAm ≥ δB′m − δB+ + δA

δAo ≥ 2 · δA− δAm − δB+ − 1

δR = δB+ + δAo + δAm − δA

δS = δA− 1

δT = δAo + δB′m

Ces contraintes étant respectées, une solution unique causale (i.e. réalisable)peut être trouvée en résolvant l’équation de Diophantine. Celle-ci aura alors laforme :

A(z) ·R(z) + B(z) · S(z) = B+(z) · Ao(z) · Am(z)

On trouvera les coefficients des polynômes R′(z) et S(z) d’une manière aisée sil’on construit la matrice de Sylvester, comme indiqué au § 7.9.5 page suivante.Il faut remarquer qu’on a imposé que les zéros stables et bien amortis de B,soit ceux du ploynômes B+(z) soient compensés par R(z), qui a alors la formegénérale :

R(z) = B+(z) ·R′(z)


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HEIG

-Vd

Rég

ulatio

nnumér

ique

7.9.5 Calcul des polynômes R(z) et S(z) : matrice de Sylvester [[4], §10.3.3]

Les polynômes R(z), S(z), A(z), B(z) et C(z) = B+(z) · Ao(z) · Am(z) ont pour formes :

R(z) = zδR + r1 · zδR−1 + r2 · zδR−2 + . . . + rδR−1 · z + rδR

S(z) = s0 · zδS + s1 · zδS−1 + s2 · zδS−2 + . . . + sδS−1 · z + sδS

C(z) = zδC + c1 · zδC−1 + c2 · zδC−2 + . . . + cδC−1 · z + cδC

B(z) = b0 · zδB + b1 · zδB−1 + b2 · zδB−2 + . . . + bδB−1 · z + bδB

A(z) = zδA + a1 · zδA−1 + a2 · zδA−2 + . . . + aδA−1 · z + aδA

En écrivant :

A(z) ·R(z) + B(z) · S(z) =

C(z)︷︸︸︷B+(z) · Ao(z) · Am(z)

on a dans le détail :

(zδA + a1 · zδA−1 + a2 · zδA−2 + . . . + aδA−1 · z + aδA

)·(zδR + r1 · zδR−1 + r2 · zδR−2 + . . . + rδR−1 · z + rδR

)+

(b0 · zδB + b1 · zδB−1 + b2 · zδB−2 + . . . + bδB−1 · z + bδB

)·(s0 · zδS + s1 · zδS−1 + s2 · zδS−2 + . . . + sδS−1 · z + sδS

)= zδC + c1 · zδC−1 + c2 · zδC−2 + . . . + cδC−1 · z + cδC

Chapitr

e7,

v.1.7

282M

EE

\cours_

rn.tex

\13fév

rier2006

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HEIG

-Vd

Rég

ulatio

nnumér

ique

En identifiant terme à terme (de mêmes degrés), on peut montrer que l’on aboutit à un système d’équations linéairesreprésentable par la matrice de Sylvester :

1 0 . . . 0 0 0 . . . 0

a1 1. . . ...

...... . . . ...

a2 a1. . . 0 b0 0

. . . 0... a2

. . . 1 b1 b0. . . ...

...... . . . a1 b2 b1

. . . 0

aδA−1... . . . a2

... b2. . . b0

aδA aδA−1. . . ... bδB

... . . . b1

0 aδA. . . ... 0 bδB

. . . b2...

... . . . ......

... . . . ...0 0 . . . aδA 0 0 . . . bδB

·

r1

r2...

rδR−1

rδR

s0

s1...

sδS−1

sδS

=

c1 − a1

c2 − a2...

cδA−1 − aδA−1

cδA − aδA

cδA+1

cδA+2...

cδR+δS−1

cδR+δS

On en déduit les polynômes recherchés R(z) et S(z).

Chapitr

e7,

v.1.7

283M

EE

\cours_

rn.tex

\13fév

rier2006

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Exemple

On considère le système à régler de fonction de transfert :

Ga(s) =Y (s)

U(s)=

1

s· 1

1 + s · 0.1(7.29)

Le modèle échantillonné correspondant est, avec la période d’échantillonnage h =1 [ms] :

H(z) =Y (z)

U(z)= 10−5 · 0.4983 · z + 0.4967

z2 − 1.99 · z + 0.99=

4.9834 · 106 · (z + 0.9967)

(z − 1) · (z − 0.99)

=b0 · (z − z1)

z2 + a1 · z + b2

=b0 · z + b1

z2 + a1 · z + b2

=B(z)

A(z)

(7.30)

Les spécifications en boucle fermée préconisent d’avoir le modèle à poursuivre

Hm(z) =Y (z)

W (z)=

(1− p1) · (1− p2)

b0 · (1− z1)· b0 · (z − z1)

(z − p1) · (z − p2)

=(1− 0.9) · (1− 0.4)

4.9834 · 106 · (1− 0.9967)· 4.9834 · 106 · (z + 0.9967)

(z − 0.9) · (z − 0.4)=

Bm(z)

Am(z)(7.31)

On remarque dans ces spécifications que le zéro z1 = −0.9967 du système àrégler se retrouve en boucle fermée, ce qui signifie qu’il n’a pas été compensé. Ilappartient donc à B−(z) et, comme B(z) = B+(z) ·B−(z) :

B+(z) = 1 (7.32)

Concernant les contraintes en poursuite de consigne, on ne demande qu’à ce quele gain statique de Hm(z) soit unitaire :

Hm(1) = 1 (7.33)

On peut alors procéder au calcul des degrés des polynômes :

ChoisirB′m(z) selon les contraintes en poursuite de consigne → B′

m(z) =(1− p1) · (1− p2)

b0 · (1− z1)

(7.34)δAm ≥ δB′

m − δB+ + δA → δAm = 0− 0 + 2 = 2

δAo ≥ 2 · δA− δAm − δB+ − 1 → δAo = 2 · 2− 2− 0− 1 = 1

δR = δB+ + δAo + δAm − δA → δR = 0 + 1 + 2− 2 = 1

δS = δA− 1 → δS = 2− 1 = 1

δT = δAo + δB′m → δT = 1 + 0 = 1


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Les polynômes R(z), S(z), A(z), B(z) et C(z) = B+(z) ·Ao(z) ·Am(z) ont alorspour formes :

R(z) = (z + r1) (7.35)S(z) = (s0 · z + s1) (7.36)Ao(z) = z (7.37)Am(z) = (z2 − (p1 + p2) · z + p1 · p2) (7.38)C(z) = 1 · (z2 − (p1 + p2) · z + p1 · p2) · z (7.39)B(z) = (b0 · z + b1) (7.40)B+(z) = 1 (7.41)A(z) = (z2 + a1 · z + a2) (7.42)

En écrivant :

A(z) ·R(z) + B(z) · S(z) =

C(z)︷︸︸︷B+(z) · Ao(z) · Am(z) (7.43)

on a dans le détail :

(z2 + a1 · z + a2) · (z + r1) + (b0 · z + b1) · (s0 · z + s1)

= 1 · (z2 − (p1 + p2) · z + p1 · p2) · z (7.44)

L’identification terme à terme prend la forme :

z3 : 1 = 1

z2 : r1 + a1 + b0 · s0 = −p1 − p2

z1 : a1 · r1 + a2 + b0 · s1 + b1 · s0 = p1 · p2

z0 : a2 · r1 + b1 · s1 = 0

soit encore

r1 +b0 · s0 = −p1 − p2 − a1

a1·r1 +b1 · s0 + b0 · s1 = p1 · p2 − a2

a2·r1 + b1 · s1 = 0

Ce système peut être écrit sous forme matricielle, faisant intervenir la matrice deSylvester : 1 b0 0

a1 b1 b0

a2 0 b1

·r1

s0

s1

=

−p1 − p2 − a1

p1 · p2 − a2

0


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Avec p1 = 0.9 et p2 = 0.1, on a :r1

s0

s1

=

1 b0 0a1 b1 b0

a2 0 b1

−1

·

−p1 − p2 − a1

p1 · p2 − a2

0

=

1 0.4983 · 10−5 0−1.99 0.4967 · 10−5 0.4983 · 10−5

0.99 0 0.4967 · 10−5

−1

·

−0.9− 0.1− (−1.99)0.9 · 0.1− 0.99

0

=

0.47411.0354 · 10−5

−9.4497 · 10−4

On a donc pour Rz et S(z) :

R(z) = z + r1 = z + 0.4741

S(z) = s0 · z + s1 = 1.0354 · 10−5 · z − 9.4497 · 10−4

Pour T (z), on a, selon (7.16), (7.34) et (7.37)

T (z) = B′m(z)·Ao(z) =

(1− p1) · (1− p2)

b0 · (1− z1)·z =

(1− 0.9) · (1− 0.1)

0.4983 · 10−5 · (1− 0.9967)·z = 9.0451·103·z

La figure 7.56 page suivante montre le résultat obtenu (réponse indicielle en bouclefermée, régulation de correspondance).

7.9.6 Commande a priori [[4], §10.6]

Le régulateur RST possède une commande a priori intrinsèque. En effet, onpeut montrer que

U(z) =T (z)

R(z)·W (z)− S(z)

R(z)· Y (z)

=A(z)

B(z)· Bm(z)

Am(z)·W (z) +

S(z)

R(z)·(

Bm(z)

Am(z)·W (z)− Y (z)

)(7.45)

Ceci correspond au schéma fonctionnel de la figure 7.57 page ci-contre, où lacommande a priori est bien visible.


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0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

y Gw

, yH

m

f_rst_exemple_1_1.eps

Fig. 7.56 – Réponses indicielles du modèle à poursuivre Hm(z) et la fonctionde transfert effective en boucle fermée, régulation de correspondance, Gw(z)(fichier source).

Bm(z)Am(z) Σ

-

S(z)R(z) Σ

A(z)B(z)

B(z)A(z)

w(k)

wf (k)

y(k)u(k)

Filtre de

consigne

Fig. 7.57 – Mise en évidence de la commande a priori intrinsèque au régulateurRST (fichier source).


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http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_07/Figures/f_rst_exemple_1_1.pdf

http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_rn//chap_07/matlab///rst_exemple_1.m






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Chapitre 7 Stratégies de commandes particulières et aspects...

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