eivd Régulation numérique

Chapitre 4

Représentation des systèmesdiscrets

Chapitre 4, v.1.3 1 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

Chapitre 4, v.1.3 2 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

Table des matières

4 Représentation des systèmes discrets 14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2 Systèmes dynamiques linéaires discrets . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.2.1 Systèmes dynamiques discrets : définition . . . . . . . . . . 54.2.2 Propriétés générales des systèmes dynamiques discrets ([[1],

§3.2.1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2.3 Systèmes dynamiques linéaires discrets . . . . . . . . . . . 74.2.4 Analyse temporelle des systèmes linéaires discrets . . . . . 7

4.3 Représentation des systèmes dynamiques linéaires discrets . . . . 84.3.1 Représentation par l’équation aux différences . . . . . . . . 84.3.2 Représentation par la réponse impulsionnelle discrète g(k) 164.3.3 Représentation par la fonction de transfert G(z) . . . . . . 23

Chapitre 4, v.1.3 3 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

A

w ( k h )

y ( k h )

u ( t ) x ( t )u ( k h )

A N A L O G I Q U EN U M E R I Q U E

A L G O R I T H M E

S Y S T E M EA

R E G L E R

H O R L O G E

y ( k h )

k h

t

w ( k h )

k h t

h

t

y ( t )

v ( t )

n ( t )

c o n s i g n e

b r u i t s u r l a m e s u r e

g r a n d e u r r é g l é e

c o m m a n d ec o m m a n d e

p e r t u r b a t i o n

f _ 0 4 _ 0 9 . e p s

D

D

A S

u ( k h )

k h

Fig. 4.1 – Schéma fonctionnel général d’un système de régulation numérique.

4.1 Introduction

Au chapitre 1, la présentation de la structure générale d’un système de régulationnumérique a fait apparâıtre un assemblage hybride, où coexistent des signaux ana-logiques et discrets (définis au chap.3), ces derniers prenant la forme de suitesde nombres (figure 4.1). L’un des blocs fonctionnels, l’algorithme représente unsystème ayant pour entrées et pour sorties des signaux discrets. Ce sont lesdifférents moyens de représentation mathématique de tels systèmes, appelés logi-quement systèmes discrets, qui font l’objet de ce chapitre.

Après avoir défini les systèmes discrets et étudié certaines de leurs propriétés(linéarité, causalité, etc, §4.2), on passera en revue trois variantes de représentationmathématique de ces systèmes :

– représentation par l’équation aux différences (§ 4.3.1 page 8) ;– représentation par la réponse impulsionnelle (§ 4.3.2 page 16) ;– représentation par la fonction de transfert (§ 4.3.3 page 23).

Chapitre 4, v.1.3 4 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

u ( k )

S Y S T E M ED I S C R E T

y ( k )

kk

f _ 0 4 _ 0 5 . e p s

Fig. 4.2 – Un système est discret lorsque ses signaux d’entrée et de sortie sontdiscrets.

4.2 Systèmes dynamiques linéaires discrets

4.2.1 Systèmes dynamiques discrets : définition

Un système est discret lorsque ses signaux d’entrée et de sortie sont discrets.De tels signaux (chap.3) ne sont définis qu’à des instants bien déterminés, ce quisignifie que la variable libre, i.e. le temps, est discrétisée (figure 4.2).

Une grande majorité des signaux discrets apparaissent sous la forme de suitesde nombres, et dans ces cas, le système discret auquel ils sont appliqués, ou quiles produit, n’est autre qu’un algorithme de traitement numérique (régulateur,filtre, etc).

Un système discret est dynamique si sa sortie à l’instant présent dépend nonseulement de l’entrée présente, mais aussi des entrées et sorties passées.

4.2.2 Propriétés générales des systèmes dynamiques dis-crets ([[1], §3.2.1])

Linéarité

Un système est linéaire s’il satisfait au principe de superposition, lequel exigeque les propriétés

– d’additivité : si les entrées u1 et u2 produisent respectivement les sortiesy1 et y2, l’entrée composée (u1 + u2) produit la sortie (y1 + y2)

y1 = S (u1)y2 = S (u2)

}⇐⇒ S(u1 + u2) = y1 + y2

et– d’homogénéité : si l’entrée u produit la sortie y, l’entrée α · u produit la

sortie α · y

y = S (u) ⇐⇒ S (α · u) = α · y α ∈ C

soient satisfaites.

Chapitre 4, v.1.3 5 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

k0

y 1 ( k )

k0

y 2 ( k ) = y 1 ( k - d )

k0

k0

u 1 ( k ) = D ( k )

d h

u 2 ( k ) = D ( k - d )= u 1 ( k - d )

f _ 0 4 _ 0 1 . e p s

Fig. 4.3 – Illustration de la propriété de stationnarité.

Système au repos

Un système est au repos à l’instant k = k0 si sa sortie y(k) pour k ≥ k0 estdéterminée uniquement par son entrée u(k) pour k ≥ k0.

Causalité

Un système est causal si sa sortie y(k0) à l’instant k0 ne dépend pas des valeursprises par l’entrée après k0.

Un système causal ne peut donc répondre que par suite de l’apparition del’excitation, et non avant ! Le filtre de reconstruction de Shannon vu au chap.2,les filtres idéaux, sont des exemples classiques de systèmes non-causals.

Stationnarité (ou invariance)

Un système est stationnaire si, excité par un signal décalé de d périodesd’échantillonnage, il produit une réponse également décalée d’exactement d périodes(figure 4.3).

Le même signal d’excitation, retardé d’un certain nombre de périodes d’échantillonnageproduit donc exactement la même réponse, bien sûr retardée du même nombre depériodes d’échantillonnage. On conçoit que pour des systèmes dont les paramètres

Chapitre 4, v.1.3 6 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

u ( k ) y ( k )

S y s t è m ed i s c r e t

L T If _ 0 4 _ 0 6 . e p s

Fig. 4.4 – Système discret linéaire et stationnaire, appelé aussi Linéaire Tempo-rellement Invariant (LTI).

varient, par suite de l’usure (par exemple le frottement visqueux, i.e. Rf = Rf (t))ou de modifications délibérées (par exemple la masse entrâınée, i.e. m = m(t)),la condition de stationnarité n’est pas remplie.

Non-stationnarité ne signifie en rien non-linéarité ! Il s’agit de 2 pro-priétés bien distinctes. D’aillleurs, le traitement analytique systèmes non-stationnaires ne pose pas de difficultés insurmontables, contrairement auxsystèmes affectés d’une non-linéarité.

4.2.3 Systèmes dynamiques linéaires discrets

Sauf mention particulière, il sera implicitement admis dans le cadre de cecours que tout système discret soit simultanément :

1 linéaire2 au repos3 causal4 stationnaire

En référence au cours de traitement de signal, de tels systèmes sont linéairestemporellement invariants (LTI).

4.2.4 Analyse temporelle des systèmes linéaires discrets

Deux signaux d’excitation s’avèrent particulièrement utiles pour analyser lespropriétés des systèmes dynamiques linéaires discrets (gain statique, type, modes,stabilité, etc) : il s’agit de l’impulsion unité discrète ∆(k) et du saut unité discret�(k) (figure 4.5 page suivante). Les réponses impulsionnelles et indicielles discrètessont désignées respectivement par g(k) et γ(k).

Chapitre 4, v.1.3 7 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

−1 0 1 2 3 4 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Impulsion unité discrète

∆ (k

)

−1 0 1 2 3 4 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Saut unité discrèt

k

epsi

lon(

k)

f_04_03_1.eps

Fig. 4.5 – Impulsion et saut unité discrets (f 04 03.m).

4.3 Représentation des systèmes dynamiques linéaires

discrets

Pour représenter un système discret, trois possibilités seront prises en compte :

– l’équation aux différences ;– la réponse impulsionnelle discrète ;– la fonction de transfert.

Les deux premières sont étudiées aux § 4.3.1 et 4.3.2 page 16. La dernière deces trois représentations est en même temps la plus puissante, car elle offre unefacilité d’analyse des propriétés (stabilité, type, modes, etc) d’un système discretqui est sans égal. Elle fait l’objet d’une très brève présentation au § 4.3.3 page 23et d’un traitement détaillé au chapitre 5, qui lui est entièrement consacré.

4.3.1 Représentation par l’équation aux différences

Forme générale

Le signal de sortie y(k) d’un système dynamique discret causal, ayant u(k)pour entrée, est donné sous forme générale par une relation du type

y (k) = f (u (0) , . . . , u (k) , y (0) , . . . , y (k − 1))

Chapitre 4, v.1.3 8 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

où l’on a pris en compte non seulement l’effet de l’entrée présente u(k), maisaussi, puisque le système est dynamique, l’influence possible de toutes les valeurspassées de u(k) et de y(k).

Si le système discret considéré bénéficie de plus de la propriété de linéarité,et que sa sortie y(k) ne dépend que des n valeurs précédentes de u(k) et de y(k),on peut alors le représenter mathématiquement par l’équation aux différencesd’ordre n

y(k) + a1 · y(k − 1) + . . . + an−1 · y(k−n + 1) + an · y(k−n)= b0 · u(k−n + m) + b1 · u(k−n+m− 1) + ... + bm−1 · u(k−n + 1) + bm · u(k−n)

De toute évidence, cette équation aux différences est le correspondant discretde l’équation différentielle régissant un système dynamique linéaire analogique.

Si le système est stationnaire, les coefficients a1 . . . an−1, b0 . . . bm, sont constantset ne dépendent pas du temps.

En posant :d = n−m

l’équation aux différences devient :

y(k) + a1 · y(k − 1) + . . . + an−1 · y(k − n + 1) + an · y(k − n)= b0 ·u(k−n+m)+b1 ·u(k−n+m−1)+ . . .+bm−1 ·u(k−n+1)+bm ·u(k−n)

(4.1)

Le nombre entier d porte le nom de degré relatif. On voit qu’il indique lenombre de périodes d’échantillonnage s’écoulant avant que y(k) soit influencé parle signal d’entrée (voir exemples ci-après). On conçoit donc que dans la règle :

d ≥ 0

Résolution de l’équation aux différences

Solution générale Les équations aux différences admettent une solution généralede la forme :

y(k, u(k))

Sa connaissance n’a pas d’utilité directe dans le contexte de ce cours. La méthodepermettant de l’obtenir est calquée sur celle bien connue de l’équation différentielleordinaire ; on examine tout d’abord à quelles conditions des solutions de la forme

yh(k) = zk

(z est un nombre réel ou complexe) satisfont l’équation homogène (i.e. sans secondmembre)

y(k) + a1 · y(k − 1) + . . . + an−1 · y(k − n + 1) + an · y(k − n) = 0

Chapitre 4, v.1.3 9 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

qui devient, après substitution et simplification l’équation caractéristique :

zn + a1 · zn−1 + . . . + an−1 · z + an = 0

La solution fournit les valeurs z1 à zn telles que

yh(k) = C1 · zk1 + C2 · zk2 + . . . + Cn · zkn

i.e. yh(k) est une combinaison linéaire d’éléments de la forme zk.

Il s’agit ensuite de trouver une solution particulière,

yp(k)

sa combinaison linéaire avec yh(k), associée aux conditions initiales, fournissantfinalement la solution générale

y(k, u(k))

recherchée.Le calcul de cette solution est bien sûr considérablement allégé si comme pour

les équations différentielles, on fait usage du calcul opérationnel, en appliquantici les propriétés de la transformée en z.

Il est toutefois très rare qu’une solution de cette nature doive être trouvée,raison pour laquelle cette méthode de résolution ne sera pas traitée plus en détail.

Solution récursive La méthode de résolution favorite offre une solution sousforme récursive, la valeur du signal y(k) à l’instant k étant exprimée non seule-ment en fonction de celles de l’entrée u(k) aux instants présent et passés, maisaussi en fonction des valeurs passées de y(k). Partant de l’équation aux différences(4.1), on a simplement :

y(k) = b0 · u(k− d) + b1 · u(k− d− 1) + . . . + bm−1 · u(k− n + 1) + bm · u(k− n)− a1 · y(k − 1)− . . .− an−1 · y(k − n− 1)− an · y(k − n)

Bien que des variantes d’implantation existent, on voit que cette forme est exac-tement celle que l’on utiliserait pour programmer l’équation.

/∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗f l o a t e qua d i f f ( f l o a t input ){//on suppose que l e s c o e f f i c i e n t s de l ’ eq . aux d i f f . sont dans l e s tab l eaux ://a = [ a0 , a1 , a2 , . . . , an ] et b = [ b0 , b1 , b2 , . . . , bn ] avec a0=1s t a t i c f l o a t u [N+1]; // entrees succe s s i v e s [ u( k ) , . . . , u( k−N)]s t a t i c f l o a t y [N+1]; // s o r t i e s succe s s i v e s [ y ( k ) , . . . , y ( k−N)]int i ;

u [0 ] = input ; //u( k )y [0 ] = b [0 ]∗ u [ 0 ] ; // i n i t i a l i s a t i o n y( k−0)for ( i=N ; i >0 ; i−−) // Ins tant s precedents

{y [0 ] = y [0 ] + b [ i ]∗ u [ i ] − a [ i ]∗ y [ i ] ; // Calcul de y ( k )

Chapitre 4, v.1.3 10 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

y [ i ] = y [ i −1]; //Mise a jour des va leursu [ i ] = u [ i −1]; //aux ins tan t s passes}

return y [ 0 ] ; //Retourne y( k )}/∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

En notant au préalable que si l’origine de l’axe du temps est prise en k = 0,les signaux u(k) et y(k) sont nuls pour k < 0, les valeurs de y(k) aux instantsk = 0, 1, 2 sont obtenues récursivement :

y(0) = b0 · u(0− d) + b1 · u(0− d− 1) + . . . + bm−1 · u(0− n + 1) + bm · u(0− n)− a1 · y(0− 1) + . . .− an−1 · y(0− n + 1)− an · y(0− n)= b0 · u(−d) 6= 0 seulement pour d = 0

y(1) = b0 · u(1−d) + b1 · u(1−d− 1) + . . . + bm−1 · u(1−n + 1) + bm · u(1−n)− a1 · y(1− 1) + . . .− an−1 · y(1−n + 1)− an · y(1−n)= b0 · u(1−d) + b1 · u(−d) + . . . + bm−1 · u(−n) + bm · u(1−n)− a1 · y(0) + . . .− an−1 · y(−n)− an · y(1−n)

y(2) = b0 · u(2−d) + b1 · u(1−d) + . . . + bm−1 · u(1−n) + bm · u(2−n)− a1 · y(1) + . . .− an−1 · y(1−n)− an · y(2−n)etc

Exemples

Accumulateur numérique Comme son nom l’indique, l’accumulateur numériqueest un opérateur qui produit la somme cumulée de toutes les entrées présente etpassées :

y (k) =k−1∑l=0

u (l)

La parenté avec l’intégrateur numérique, tel qu’il a été vu au chapitre 1 pourl’établissement de la loi de commande du régulateur PI numérique, est évidente.L’équation aux différences est obtenue facilement en écrivant la valeur du contenude l’accumulateur à l’instant k et à l’instant (k − 1) puis en soustrayant :

y (k) =∑k

l=0 u (l)

y (k − 1) =∑k

l=0 u (l)y (k)− y (k − 1) = u (k)

soit encore :y (k) = y (k − 1) + u (k)

Il vaut ici la peine de calculer et de tracer la réponse impulsionnelle g(k) del’accumulateur numérique à l’impulsion unité discrète ∆(k), qui sans surprise,

Chapitre 4, v.1.3 11 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

−2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆ (k

)

Impulsion unité discrète

−2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

Réponse impulsionnelle de l’accumulateur numérique

f_ch_04_01_1.eps

Fig. 4.6 – Réponse impulsionnelle de l’accumulateur numérique (ch 04 01.m).

n’est autre que le saut unité discret �(k) (figure 4.6) :

y (−1) =y (−1− 1) +u (−1) = 0 + 0 = 0y (0) =y (0− 1) +u (0) = 0 + 1 = 1y (1) =y (0) +u (1) = 1 + 0 = 1

y (2) =y (1) +u (2) = 1 + 0 = 1

y (3) =y (2) +u (3) = 1 + 0 = 1

. . .

y(k) = � (k) (saut unité discret)Pour la réponse indicielle, on a :

y (−1) =y (−1− 1) +u (−1) = 0 + 0 = 0y (0) =y (0− 1) +u (0) = 0 + 1 = 1y (1) =y (0) +u (1) = 1 + 1 = 2

y (2) =y (1) +u (2) = 2 + 1 = 3

y (3) =y (2) +u (3) = 3 + 1 = 4

. . .

y(k) = (k + 1) · � (k) (rampe unité discrète)Il s’agit d’une rampe discrète de pente 1 (figure 4.7 page suivante).L’examen des réponses impulsionnelle et indicielle confirme ce qui peut être

déduit directement de l’équation aux différences : le degré relatif d de ce systèmeest 0, puisque la sortie y(k) réagit effectivement dès l’apparition de l’entrée, sansaucun délai.

Chapitre 4, v.1.3 12 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

−2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ε (k

)

Saut unité discret

−2 0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

k

γ (k

)

Réponse indicielle de l’accumulateur numérique

f_ch_04_01_2.eps

Fig. 4.7 – Réponse indicielle de l’accumulateur numérique (ch 04 01.m).

e ( k ) u ( k )R E G U L A T E U RP I D

N U M E R I Q U E f _ 0 4 _ 0 7 . e p s

Fig. 4.8 – Schéma fonctionnel du régulateur PID numérique : l’entrée discrèteest le signal d’erreur e(k) et la sortie est la commande u(k).

Régulateur PID numérique L’algorithme du régulateur PID numérique estdonné par l’équation aux différences (voir exercices) :

u (k)− u (k − 1) = b0 · e (k) + b1 · e (k − 1) + b2 · e (k − 2)

où, se replaçant dans le contexte d’une boucle de régulation automatique, l’entréeest ici l’erreur discrète e(k) et la sortie la commande discrète u(k) (attentionaux confusions pouvant provenir de cette notation). Le degré relatif du systèmediscret ”régulateur PID numérique” est de zéro (d = 0), la sortie étant influencéeinstantanément par l’entrée e(k) grâce à l’action du terme proportionnel.

La première des deux réponses indicielles tracées sur la figure 4.9 page suivantefait apparâıtre individuellement les contributions proportionnelle, intégrale etdérivée du régulateur.

L’observation de la réponse indicielle du régulateur PID à l’instant k = 0confirme ce qui apparaissait déjà lors de l’écriture de l’équation aux différences :le degré relatif de ce système dynamique est d = 0.

Chapitre 4, v.1.3 13 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

k

D

P

I

Contributions P, I et D à la réponse indicielle du régulateur PID numérique

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

k

γ (k

)

Réponse indicielle du régulateur PID numérique

f_ch_04_02_1.eps

Fig. 4.9 – Réponse indicielle d’un régulateur PID numérique : en haut, contri-butions individuelles des actions P, I et D (ch 04 02.m).

Retard pur de d périodes d’échantillonnage Le système discret décrit parl’équation aux différences

y (k) = u (k − d)n’est autre que l’opérateur ”retard pur de d périodes d’échantillonnages”. L’ob-servation de la réponse impulsionnelle (figure 4.10) met ce retard clairement enévidence (ici pour d = 4).

−1 0 1 2 3 4 5 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆ (k

)

Impulsion unité discrète

−1 0 1 2 3 4 5 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

Réponse impulsionnelle d’un retard pur de d=4 période d’échantillonnage

f_ch_04_05_1.eps

Fig. 4.10 – Réponse impulsionnelle d’un système insérant un retard pur de d = 4périodes d’échantillonnage (ch 04 05.m).

Chapitre 4, v.1.3 14 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

Filtre passe-bas du premier ordre On peut imaginer construire un filtrenumérique passe-bas de premier ordre en développant un algorithme discret re-produisant aussi bien que possible le comportement d’un filtre analogique demême type. Ce dernier ayant pour fonction de transfert

G (s) =Y (s)

U (s)=

1

1 + s · T

il est décrit par l’équation différentielle

dy

dt+

1

T· y (t) = 1

T· u (t)

La discrétisation de cette dernière peut se faire par plusieurs méthodes, se dis-tinguant par la manière d’approximer la dérivée. Choisissons d’approcher celle-cisimplement par l’expression

dy

dt≈ y (k)− y (k − 1)

h

La discrétisation de l’équation différentielle donne alors :

y (k)− y (k − 1)h

+1

T· y (k) = 1

T· u (k) (4.2)

et après une légère mise en forme

y (k) + a1 · y (k − 1) = b0 · u (k) avec

a1 = −Th

(1+Th )b0 =

1

(1+Th )

qui n’est autre que l’équation aux différences régissant le filtre numérique re-cherché.

La comparaison des réponses indicielles du filtre analogique et de son approxi-mation numérique est instructive (figure 4.11 page suivante), notamment dans lecas où la période d’échantillonnage h est choisie un peu grande par rapport à laconstante de temps T du filtre.

Chapitre 4, v.1.3 15 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

0 5 10 15 20 25 30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k, t[s]

γ (t)

, γ (k

)

REPONSES INDICIELLES DES FILTRES ANALOGIQUE ET NUMERIQUE (h=1[s], T=1[s] et 6[s])

f_ch_03_04_1.eps

Fig. 4.11 – Réponses indicielles du filtre analogique et de sa version discrète, pour2 constantes de temps différentes. Pour la plus petite des constantes de temps,l’adéquation entre le filtre analogique et sa version numérique est moins bonne,à cause de l’inexactitude de l’approximation (4.2) (ch 03 04.m).

Le degré relatif du filtre numérique est ici

d = 0

Remarquons au passage que si nécessaire, la construction d’un filtre semblabled’un degré relatif différent est élémentaire ; les équations aux différences étantrespectivement, pour d = 1, 2 ou 3 :∣∣∣∣∣∣

y (k) + a1 · y (k − 1) = b0 · u (k − 1)y (k) + a1 · y (k − 1) = b0 · u (k − 2)y (k) + a1 · y (k − 1) = b0 · u (k − 3)

Les réponses indicielles apparaissent sur le tracé sur la figure 4.12 page suivante.

4.3.2 Représentation par la réponse impulsionnelle discrèteg(k)

Considérons la situation où un système numérique, par exemple un processeur,est programmé pour exécuter un algorithme (figure 4.13 page ci-contre).

Chapitre 4, v.1.3 16 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

0 5 10 15 20 25 30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k, t[s]

γ (k

)

REPONSES INDICIELLES DES FILTRES ANALOGIQUE ET NUMERIQUE (h=1[s], T=6[s]) pour d=0, 1, 2, 3

f_ch_03_04_2.eps

Fig. 4.12 – Réponses indicielles pour différentes valeur de d, qui détermine lenombre de périodes d’échantillonnage s’écoulant entre la variation du signal d’ex-citation et celle correspondante de la sortie (ch 03 04.m)

u ( k ) y ( k )

a l g o r i t h m ef _ 0 4 _ 0 3 . e p s

Fig. 4.13 –

L’algorithme transforme la suite de nombres u(k) en une autre suite de nombres,y(k), selon des règles bien déterminées : c’est un système dynamique discret. Dansle cas où l’algorithme et son implémentation sont tels que le système discretrépond aux exigences suivantes,

1. le système est linéaire,

2. le système est au repos,

3. le système est causal,

4. le système est stationnaire,

Chapitre 4, v.1.3 17 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

le bloc algorithme représente alors un système dynamique linéaire discret. Laquestion qui se pose ici est de savoir comment calculer la réponse y(k) à uneentrée quelconque u(k).

Un premier élément de réponse peut être trouvé si l’on se réfère au § 4.3.1 page 8,où l’on montre que la connaissance de l’équation aux différences et de l’entréeu(k) est suffisante pour trouver y(k). On propose ici une tout autre manière defaire, basée essentiellement sur la réponse impulsionnelle g(k) du système.

Le système discret soumis à l’entrée u(k) étant en fait excité à chaque instantd’échantillonnage par une impulsion discrète pondérée par l’entrée u(k), laquellepeut s’écrire :

u(k) =k∑

l=0

u(l) ·∆(k − l)

Par exemple, soit le signal discret u(k) de durée finie qui a l’allure de la figure 4.14.

−1 0 1 2 3 4 5

−2

−1

0

1

2

3

Signal discret de durée finie

k

x(k)

f_04_03_2.eps

Fig. 4.14 – Signal utilisé pour exciter le système dynamique linéaire discret(f 04 03.m)

On a effectivement :

u(k) = 1 ·∆ (k) + 3 ·∆ (k − 1)− 2 ·∆ (k − 2)= u (0) ·∆ (k) + u (1) ·∆ (k − 1) + u (2) ·∆ (k − 2)

=k∑

l=0

u(l) ·∆(k − l)

soit :

u(k) =k∑

l=0

u(l) ·∆(k − l)

Chapitre 4, v.1.3 18 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

La réponse y(k) est alors, par linéarité, constituée de la superposition de 0, 1, 2 . . . k,soit au total (k + 1) réponses impulsionnelles discrètes décalées et pondérées. Ona tout d’abord dans le cas de l’exemple,

y(k) = 1 · g (k) + 3 · g (k − 1)− 2 · g (k − 2)= u (0) · g (k) + u (1) · g (k − 1)− u (2) · g (k − 2)

=k∑

l=0

u(l) · g(k − l)

y(k) =

g(k) · u(0) réponse à l’instant k à l’impulsion de poidsu(0) survenue à l’instant 0

+ g(k − 1) · u(1) réponse à l’instant k à l’impulsion de poidsu(1) survenue à l’instant 1

+ g(k − 2) · u(2) réponse à l’instant k à l’impulsion de poidsu(2) survenue à l’instant 2

+ . . . . . .+ g(0) · u(k) réponse à l’instant k à l’impulsion de poids

u(k) survenue à l’instant k

= =∑k

l=0 g(k − l) · u(l) réponse complète à l’instant k au signal u(k)

En disposant de g(k), la réponse discrète y(k) à toute entrée u(k) est donc donnéepar ce qu’on appelle le produit de convolution :

y(k) = g (k) ∗ u (k) =k∑

l=0

g(l − k) · u(l)

On constate donc qu’un système discret peut être décrit mathématiquement parsa réponse impulsionnelle discrète g(k) (figure 4.15 page suivante).

Chapitre 4, v.1.3 19 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

g ( k )

a l g o r i t h m e

y ( k )u ( k )

u ( k ) = D ( k )1

0k

y ( k ) = g ( k )

f _ 0 4 _ 0 4 . e p s

Fig. 4.15 – Un système dynamique, linéaire, causal et stationnaire peut êtrereprésenté par sa réponse impulsionnelle g(k).

Chapitre 4, v.1.3 20 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

Afin d’illustrer graphiquement ces considérations, examinons par exemple unsystème dynamique linéaire ayant la réponse impulsionnelle g(k) graphée sur lafigure ci-dessous.

∆(k) g(k)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

∆(k)

f_rep_imp_1.eps g ( k )

y ( k )u ( k )

f _ 0 4 _ 0 8 . e p s

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k

g(k)

f_rep_imp_2.eps

Ce système est excité à l’instant k = 0 par le signal u(k),

u(k)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(k)

f_rep_imp_3.eps

u(k) =k∑

l=0

u(l) ·∆(k − l)

décomposable en une suite d’impulsions pondérées et décalées ; on a :

Chapitre 4, v.1.3 21 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

l u(l) g(k − l) · u(l)

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(0)

⋅ ∆(

k−0)

l=0

f_rep_imp_5.eps g ( k )

y ( k )u ( k )

f _ 0 4 _ 0 8 . e p s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(0)

⋅ g(

k−0)

l=0

f_rep_imp_6.eps

+ +

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(1)

⋅ ∆(

k−1)

l=1

f_rep_imp_7.eps g ( k )

y ( k )u ( k )

f _ 0 4 _ 0 8 . e p s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(1)

⋅ g(

k−1)

l=1

f_rep_imp_8.eps

+ +

20 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(2)

⋅ ∆(

k−2)

l=2

f_rep_imp_9.eps g ( k )

y ( k )u ( k )

f _ 0 4 _ 0 8 . e p s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

u(2)

⋅ g(

k−2)

l=2

f_rep_imp_10.eps

La réponse y(k) est obtenue par somme sur l des réponses g(k − l) · u(l) :=

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

k

y(k)

= g(

k) *

u(k

)

f_rep_imp_4.eps

y(k) =k∑

l=0

g(k − l) · u(l)

Chapitre 4, v.1.3 22 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

u ( k )

G ( z )

y ( k )

kk

U ( z ) Y ( z )f _ 0 4 _ 0 2 . e p s

Fig. 4.16 – Représentation d’un système dynamique linéaire, au repos causal etstationnaire par sa fonction de transfert G(z).

La réponse impulsionnelle g(k) se profile donc comme un autre moyen, ”concur-rent” de l’équation aux différences, de décrire exhaustivement le système dyna-mique linéaire discret.

4.3.3 Représentation par la fonction de transfert G(z)

Le signal de sortie y(k) émanant d’un système discret, linéaire, au repos,causal et stationnaire est donné par le produit de convolution

y(k) = g (k) ∗ u (k) =k∑

l=0

g(l − k) · u(l)

La transformée en z des deux membres de cette égalité est, en faisant usage despropriétés de la transformation en z :

Y (z) = G (z) · U (z)

L’expression G(z) est la fonction de transfert du système discret. On voit qu’ellen’est autre que la transformée en z de la réponse impulsionnelle g(k) :

G (z) = Z{g (k)}

On note par ailleurs que G(z) est équivalente au quotient des transformées en zde y(k) et u(k) :

G (z) =Y (z)

U (z)

L’étude approfondie des propriétés de la fonction de transfert sera poursuivie auchapitre 5.

Chapitre 4, v.1.3 23 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

Chapitre 4, v.1.3 24 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

Bibliographie

[1] Commande numérique de systèmes dynamiques, R.Longchamp, 1995,Presses Polytechniques Romandes, bibliothèque eivd 40.120-11

Chapitre 4, v.1.3 25 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

eivd Régulation numérique

Version du docu-ment

Date Notes

v1.1 janvier 2002

Tab. 4.1 – Versions publiées

Chapitre 4, v.1.3 26 mee \chap˙04.tex\16 janvier 2002

Représentation des systèmes discretsIntroductionSystèmes dynamiques linéaires discretsSystèmes dynamiques discrets : définitionPropriétés générales des systèmes dynamiques discrets ([[4], §3.2.1])Systèmes dynamiques linéaires discretsAnalyse temporelle des systèmes linéaires discrets

Représentation des systèmes dynamiques linéaires discretsReprésentation par l'équation aux différencesReprésentation par la réponse impulsionnelle discrète g(k)Représentation par la fonction de transfert G(z)