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CHAPITRE 05 : HYPOTHESES DE LA RESISTANCE

DES MATERIAUX I - BUT DE LA R.D.M.

II - HYPOTHESES.

1) Notion de poutre. 2) Hypothèses fondamentales : 21) Sur les matériaux. 22) Sur la géométrie des poutres. 23) Sur les actions mécaniques extérieures. 24) Sur les déformations.

TABLEAU RECAPITULATIF DES HYPOTHESES DE LA R. D. M.

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I - BUT DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX (R.D.M.) :

Une construction doit respecter des critères contradictoires :

la sécurité l’économie l’architecture

une construction doit être

résistante et se déformer

le moins possible

une construction doit

coûter le moins cher

possible

une construction doit

respecter les dimensions

imposées par l’architecte

R.D.M.

hypothèses de la R.D.M.

Nature et répartition des efforts à l’intérieur

de la matière en fonction du chargement.

Résistance que doivent posséder

les matériaux de la structure

pour assurer la stabilité de celle

– ci.

Déformations engendrées par

l’application du chargement.

Dimensions des pièces constituant la structure.

CHAP 06 CHAP 07

E.L.U.

CHAP 11

CHAP 09 CHAP 10

E.L.S.

CHAP 05

CHAP 08

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II - LES HYPOTHESES :

1) Notion de poutre :

Les résultats obtenus en R.D.M. sont valables avec une bonne approximation pour des

solides ayant une forme simple : forme de poutre.

Comment définit - on une poutre ?

Une poutre est le solide engendré par une aire plane (S) dont le centre de gravité G

décrit une courbe (G0G1), le plan de (S) restant perpendiculaire à cette courbe.

(S) est appelée section droite ; G0G1 est la fibre moyenne de la poutre.

Selon le programme de mécanique de terminale de Génie Civil, nous étudierons que les

poutres droites possédant un plan de symétrie contenant G0G1 : on parlera dans ce cas de

poutre « à plan moyen ».

Exemple de poutres à plan moyen :

G0 G

S0 S

S1

Tubes pleins Tubes creux

G1

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2 ) Hypothèses fondamentales :

21) Sur les matériaux :

⇒ Les matériaux envisagés sont supposés homogènes, continus et isotropes.

Homogénéité :

On admet que tous les éléments constituant le matériau ont une structure identique. En

réalité, aucun matériau n’est parfaitement homogène et cette hypothèse est une

approximation :

. bonne approximation pour les métaux,

. approximation très grossière pour le bois et le béton.

Continuité :

Lorsque l’on observe la matière au microscope, il apparaît une structure granulaire.

Toutefois, les distances entre les grains sont toujours très petites devant les plus

petites dimensions que nous aurons à utiliser. Nous considérons donc que la matière est

continue.

Isotropie :

Un solide est isotrope lorsque tous les points de sa structure ont les mêmes

caractéristiques dans toutes les directions.

L’isotropie semble vérifiée pour les aciers mais pas pour les matériaux à structure

fibreuse, comme le bois ; en effet il est plus résistant dans le sens des fibres que dans le

sens perpendiculaire aux fibres.

⇒ Loi de HOOKE :

Les matériaux sont utilisés

dans le domaine élastique, ce

qui se traduit par une relation

linéaire entre les efforts et

les allongements :

allongements

Relation linéaire entre les efforts et les allongements

efforts

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22) Sur la géométrie des poutres :

• Les poutres sont des pièces allongées. La poutre doit avoir une longueur supérieure à

10 fois la plus grande dimension transversale.

• La section droite (S) est

constante ou bien varie

faiblement de façon

progressive :

23) Sur les actions mécaniques extérieures :

• En R. D. M., il ne faut pas

remplacer un système

d’actions mécaniques par

une résultante comme on

peut le faire en statique.

On n’obtient pas la même déformée !

• Si une poutre se déforme, on considère que le point d’application des charges ne change

pas (dans le cas de petits déplacements).

Exemple :

24) Sur les déformations :

• On se place toujours dans le cas de petits déplacements : les déplacements restant

faibles comparativement aux dimensions de la poutre.

Variation progressive Variations brusques entraînant

des problèmes de transmission

des efforts internes

S

≠ 2 F

S

F F

flèche

F

A

F

A

A

A

Petits déplacements

AVANT

APRES

A

B décalage

Grands déplacements

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• Hypothèse de NAVIER - BERNOUILLI :

Les sections droites, planes et perpendiculaires à la ligne moyenne avant déformation,

restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après déformations. Il n’y a pas

gauchissement des sections droites.

Cela se vérifie par l’expérience sous réserve d’avoir : - de petits déplacements,

- de petites déformations.

HYPOTHESES DE LA R. D. M.

(TABLEAU RECAPITULATIF)

Sur les

matériaux

- Continuité

- Homogénéité

- Isotropie

- Loi de HOOKE (domaine élastique)

Sur les formes

- Une dimension principale

- Un plan de symétrie

- Une section variable mais de façon progressive

- Une section droite

- Une fibre moyenne

Sur les actions

mécaniques

extérieures

- On ne peut pas remplacer un système de forces par un système

équivalent (au sens de la statique)

- Les supports des forces ne sont pas déplacés lors de la

déformation de la structure (petites déformations, petits

déplacements)

Sur les

déformations

- Hypothèse des petites déformations

- Hypothèse de NAVIER – BERNOULLI (les sections planes et

perpendiculaires à la fibre moyenne avant déformation le restent

après déformations)

Gauchissement

des sections

droites

APRES

B

Grandes déformations : Petites déformations :

AVANT

A

A