1 Introduction-hypotheses 2003

RESISTANCE DES MATERIAUX

PROPRIETE GONNET_2003

COURS DE RDM PAGE 1 SUR 12

Gravure montrant lessai dune poutre en flexion


INTRODUCTION - HYPOTHESES




(Extrait de Discorsi e dimostrazioni mathematiche de Galile)




SOMMAIRE

1. EN QUOI A CONSISTE ? .................................................................................................................................................................4 2. INTRODUCTION...................................................................................................................................................................................4 3. HYPOTHESES .........................................................................................................................................................................................4

3.1 LE MATERIAU ..................................................................................................................................................................................... 5 3.1.1 Continuit de la matire..........................................................................................................................................................5 3.1.2 Homognit .............................................................................................................................................................................5 3.1.3 Isotropie.....................................................................................................................................................................................5

3.2 LA GEOMETRIE ................................................................................................................................................................................... 5 3.3 LES FORCES APPLIQUEES................................................................................................................................................................... 7

3.3.1 Plans de symtries....................................................................................................................................................................7 3.3.2 Points ou zones dapplication des forces.............................................................................................................................8 3.3.3 Types de forces extrieures ....................................................................................................................................................8

3.4 DEFORMATION................................................................................................................................................................................. 11 3.4.1 Hypothse de Navier Bernouilli .......................................................................................................................................11 3.4.2 Hypothse de Barr de Saint Venant ..................................................................................................................................11

4. RESOLUTION.......................................................................................................................................................................................12




1. En quoi a consiste ?

Pour effectuer un calcul de RDM, il est ncessaire de connatre les actions mcaniques exerces sur le mcanisme (actions dtermines dans ltude de dynamique) et les matriaux utiliss.

Ltude de RDM va permettre de dfinir les sollicitations et les contraintes qui en rsultent. A laide des caractristiques des matriaux (proprits mcaniques), nous allons pouvoir en dduire les dformations du matriau, et dans les cas extrmes, sa rupture.

2. Introduction

La rsistance des matriaux ntudie que des solides de formes simples : les poutres . Bien souvent, il est possible de modliser des solides par une poutre, la condition que ceux-ci respectent certaines hypothses. Lobjet de ce cours est de prsenter les hypothses de la RDM, pralable indispensable ltude.

La rsistance des matriaux est ltude de la rsistance et de la dformation des solides (arbres de transmissions, btiments, diverses pices mcaniques) dans le but de dterminer ou vrifier leurs dimensions afin quils supportent les charges quils subissent, dans des conditions de scurit satisfaisantes et au meilleur cot (optimisation des formes, des dimensions, des matriaux) . Son domaine dapplication tant trs large et les situations rencontres nombreuses et varies, il est ncessaire de mettre en place des hypothses simplificatrices dans le but de standardiser les cas dtude.

La photo ci-contre reprsente un magnifique chariot lvateur dun domaine viticole dun village bourguignon (commenant par un C et finissant par un S), mondialement connu pour ses vins blancs. Ce chariot lvateur est destin divers travaux sur lexploitation, et en fonction de son utilisation, nous nous intresserons plus particulirement aux fourches de ce chariot.

FIGURE : CHARIOT ELEVATEUR

3. Hypothses

Dans ce paragraphe, nous allons citer les diffrentes hypothses que lon est en droit de formuler dans le cadre de la Rsistance des Matriaux. La figure suivante montre lapplication au fourches du chariot lvateur.




FIGURE : FOURCHE DU MAGNIFIQUE CHARIOT ELEVATEUR

3.1 Le matriau 3.1.1 Continuit de la matire

Lorsquon regarde au microscope la coupe dune pice en mtal, on voit gnralement une structure fibreuse, ou quelquefois une structure granulaire. Toutefois, les distances entre ces fibres ou ces grains sont trs petites par rapport aux dimensions des plus petites pices mcaniques qui sont tudies. On peut alors raisonnablement considrer le matriau comme continu. 3.1.2 Homognit

On admet que les matriaux ont les mmes proprits mcaniques en tous points. Cela est peu prs vrifi pour la plupart des mtaux, mais il faut savoir que cette hypothse nest quune grossire approximation pour les matriaux tels que le bois ou le bton. 3.1.3 Isotropie

On admet que les matriaux tudis ont, en un mme point, les mmes proprits mcaniques dans toutes les directions. Cela est peu prs vrai pour les aciers, mais il faut savoir que cette hypothse est loin de la ralit pour le bois et les matriaux composites par exemple.

3.2 La gomtrie

Les seuls solides que nous tudierons seront du type poutre (solide idal du point de vue de la RDM : solide dfini par sa ligne moyenne et sa section droite). La poutre est un solide dont la longueur est prpondrante devant les autres dimensions transversales.

Action de la charge

II.4 - PRINCIPE DE BARRE DE SAINT VENANT

Action de la traverse infrieure / fourche

Action de la traverse suprieure / fourche

II.2 - GEOMETRIE : POUTRE

II.4 - DEFORMATIONS

II.1 - MATERIAU

II.3 FORCES APPLIQUEES




FIGURE : GEOMETRIES DE POUTRES

FIGURE : NOTION DE POUTRE Une poutre est dfinie par :

v sa ligne moyenne (ligne droite ou ligne courbe grand rayon de courbure, sur laquelle se trouve le barycentre G des sections droites). Celle-ci est le plus souvent rectiligne ;

p

L > 4 ou 5D

Plan de symtrie de la poutre Ligne moyenne Sections droites SG, SB et SA

D

L

G B A




v sa section droite (section qui engendre la poutre, constante et de centre de surface G). Celle-ci est en principe constante et son centre de surface est sur la ligne moyenne. Dans le cas de la fourche du chariot lvateur :

FIGURE : ASSIMILATION A UNE POUTRE

Bien souvent, les poutres tudies ne remplissent pas ces conditions. Les relations tablies en tenant compte de ces hypothses ne sappliquent pas parfaitement, do la ncessit dintroduire un coefficient de scurit dans les calculs de dimensionnement.

3.3 Les forces appliques 3.3.1 Plans de symtries

Les forces extrieures appliques la poutre (P) seront situes soit dans le plan de symtrie (PS), soit symtriquement par rapport au plan de symtrie.

FIGURE : PLANS DE SYMETRIES

Ligne moyenne

Section droite

Calcul de RDM : 1re poutre

Calcul de RDM : 2me poutre

*

**




3.3.2 Points ou zones dapplication des forces

En RDM, il nest pas possible de remplacer un systme de forces par un systme quivalent du point de vue de lquilibre car les effets physiques (dformations, contraintes) sont diffrents.

Dans les deux cas, la poutre est en quilibre, mais par contre les dformations sont totalement diffrentes. On fait galement les approximations suivantes : F les contacts de la poutre et du milieu extrieur seffectuent au niveau de la ligne moyenne ; F les supports des forces reprsentant les actions de contact ne sont pas dplacs aprs dformation. Reprenons le cas de la fourche du chariot lvateur (toujours aussi magnifique) :

Poutre avant dformation

Poutre aprs grande dformation

Poutre aprs petite dformation (a nglig)

3.3.3 Types de forces extrieures On distingue les actions distance et les actions de contact. Actions distance : poids, magntisme Actions de contact : charges concentres en un point ou charges rparties.

C

Cr

C

C

Cr a




3.3.3.1 Charges concentres en un point Dans le cas de la fourche du chariot lvateur :

FIGURE : CHARGE CONCENTREE Exemple : reprenons le cas de la fourche du chariot lvateur. Donnes du problme : v le chariot transporte un ft de vin de Chablis Grand Cru les Clos 2000 ; v le ft contient 228 litres ; Remarque : cest malheureux dire, mais pour faire le calcul, on assimilera la densit de ce divin breuvage celle de leau La masse totale M embarque sur les fourches (il y a 2 fourches) du chariot lvateur est donc :

kgM 2281228 =

Le poids P sexerant sur une fourche est : NP 11402

10228=

=

Lintensit de la charge concentre sur une fourche est alors : NP 1140= 3.3.3.2 Charge uniformment rpartie

T MTL1999

Clos 2000 Pr




Dans le cas de la fourche du chariot lvateur :

FIGURE : CHARGE REPARTIE Exemple : reprenons le cas de la fourche du chariot lvateur. Donnes du problme : v le chariot transporte une palette de cartons de vin de Chablis Grand Cru les Clos 1998 (cartons export de 6 bouteilles) ; v une bouteille (de 75cl) pse environ 1.3kg ; v la palette en bois EURO pse environ 20kg ; v la palette est constitue de 4 rangs de 13 cartons chacun ; v le poids des cartons (emballage) est nglig. Calculer la charge rpartie sexerant sur une fourche. Remarque : la rsistance des fourches dpend directement de la gomtrie et la section des fourches, dduites du calcul de la charge embarque. Au prix des bouteilles transportes, il vaut mieux ne pas se tromper dans le calcul La masse totale M embarque sur les fourches (il y a 2 fourches) du chariot lvateur est donc :

( )[ ] kgM 426204133.16 +=

Le poids P sexerant sur une fourche est : NP 21302

10426=

=

Lintensit de la charge rpartie sur une fourche est alors : mNp /14205.1

2130==

Dans ce cas, p

r est appel densit linique de force . Cest par exemple le poids au mtre des profils du

commerce (unit : N/m).

CHABLIS

CRD

CHABLIS CHABLIS CHABLIS

CRD CRD CRD CRD

CHABLIS

CRD


CRD CRD CRD CRD

CHABLIS

CRD


CRD CRD CRD CRD

pr




On a : lpF =

rr

Exemple : une poutre de longueur totale ml 5.2= et de poids total NP 3750= est soumise une charge rpartie de :

mNp /15005.2

3750==

3.4 Dformation 3.4.1 Hypothse de Navier Bernouilli Au cours des dformations, les sections droites restent planes et perpendiculaires la ligne moyenne.

FIGURE : DEFORMEE DUNE POUTRE 3.4.2 Hypothse de Barr de Saint Venant Les rsultats de la RDM ne sapplique valablement qu une distance suffisamment loigne de la rgion dapplication des forces concentres. En effet, nous ne pouvons pas, avec les quations de la RDM, calculer les dformations locales autour dun point dapplication dune force.




4. Rsolution Organigramme de rsolution dun problme de RDM :

Voil, cest tout pour aujourdhui

Actions extrieures exerces sur la poutre

Efforts intrieurs dans la poutre : N, T, MT et Mf

Contraintes en tout point : s, t

Dformations en tout point : e, g

Dimensionnement de la poutre

Coefficients de scurit

Principe Fondamental de la Statique

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