Resistance Des Materiaux

Résistance des matériaux. Saïd KOUTANI. 1998

RESISTANCE DES MATERIAUX

Saïd KOUTANI

File 136 koutani


OBJECTIFS

Connaître les hypothèses, pour situer le champ de validité de la Résistance des Matériaux. Une étude sommaire de la théorie de l’élasticité sera présentée. Maîtriser les méthodes pratiques de calcul des déformations pour les divers types de sollicitations. A l’issue de cette formation, l’élève doit être capable de dimensionner une pièce de simple géométrie en fonction de sa tenue sous charge et définir les caractéristiques physiques nécessaires au choix du matériau dans lequel elle sera réalisée. La charge peut être simple ou composée.

CONTENU Les essais Essai de traction. Essai de dureté. Essai de résilience. Essai de fatigue Mécanique des solides déformables Loi de Hooke généralisée - Méthodes de la théorie de l’élasticité. Tricercle de Mohr Phénomène de concentration de contraintes Energie de déformation et critères de la limite élastique Sollicitations simples Traction et compression Application aux courroies de transmission Cisaillement Applications : assemblage par rivets. poinçonnage d’une tôle Torsion Application : diamètre d’un arbre de transmission. arbre à section variable Flexion Effort tranchant et moment de flexion Equation d’une fibre élastique déformée. Méthode graphique de Mohr. Poutre isostatique et poutre hyperstatique Sollicitations composées Combinaisons traction - torsion et compression - flexion Flambement d’une poutre- Méthode de Dutheil. Combinaison flexion - torsion : arbre de transmission Introduction à la Méthode des éléments finis


STATIQUE DES SOLIDES INDEFORMABLES

Les matériaux solides sont, en réalité, tous plus ou moins déformables. En construction, on cherche à limiter leur déformation. Comme la déformation induit un déplacement des points d’application des forces et une déviation de leurs supports respectifs, les équations de la statique (équilibre) doivent être écrites pour un solide, après sa déformation. Il est toutefois important de noter que les déformations que l’on étudiera sont faibles (domaine élastique), et par conséquent, les équations relatives au solide considéré comme indéformable, restent applicables à la structure du corps déformé. I- Equations d’équilibre d’un solide indéformable

Un solide est à l’équilibre dans un repère fixé, lorsque le torseur des actions extérieures est nul ( le torseur des actions intérieures étant nul d’après le principe des actions mutuelles ),

[ ]Tex

= 0.

Ce qui se traduit par une résultante des actions extérieures et un moment résultant nuls

� � �

R F et Mi= = =∑ 0 0.

Considérons le cas général où un solide, rapporté à un repère orthonormé pour le système

d’axes ( )O x x x, , ,1 2 3 , est soumis à un système de forces �

Fi et des moments �

Ci , avec

�

F

X

X

Xi

i

i

i

=

1

2

3

, de points d’application Ai tels que OA

x

x

x

i

i

i

i

→=

1

2

3

,

et �

C

L

M

Ni

i

i

i

=

.

Les deux conditions d’équilibre s’écrivent

� � �

F C OA Fii

ii

ii

i= +→

∧ =∑ ∑ ∑0 0et ,

desquelles, on obtient les 6 équations scalaires

X X Xii

ii

ii

1 2 30 0 0= = =∑ ∑ ∑


( ) ( )L x X x X M x X x Xi i i i iii

i i i i iii

+ − = + − =∑∑ ∑∑2 3 3 2 3 1 1 30 0

( )N x X x Xi i i i iii

+ − =∑∑ 1 2 2 1 0

II- Bilan et nature des forces appliquées

Tout problème de la Mécanique nécessite une exacte détermination du système solide étudié et de ses interactions avec son environnement. Les forces appliquées sur un solide à l’équilibre peuvent être : - des forces directement appliquées (charges), elles sont généralement connues. - des forces de contact ou de liaison, elles sont généralement inconnues. - des forces de volume, exemple : forces de pesanteur souvent négligeable en Résistance des Matériaux. Pour déterminer le torseur d’une liaison il faut préciser les degrés de liberté du système solide considéré : 1- Pour tout mouvement de translation empêché dans une direction, est associé une force de liaison ou une action d’appui dont l’axe est cette direction. 2- A toute impossibilité de rotation est associé un couple dont l’axe est celui de la rotation considérée. On doit différencier les systèmes mécaniques bidimensionnels des systèmes mécaniques tridimensionnels. a) Systèmes bidimensionnels Dans ce cas les forces appliquées sont dans un plan, et les degrés de liberté correspondent à une rotation autour de l’axe normal à ce plan et aux translations dans ce plan. - Appui simple

�

RA

A

S2

S1

x2

x3


Le système S1 n’a que 2 degrés de liberté, une translation selon x2 et la rotation autour de

x1 . On a donc l’action d’appui

�

R

XA

A

=

0

0

3

.

- Appui linéaire Ici, on a un contact linéaire. L’action d’appui est similaire à celle de l’appui simple.

x2

x3

�

RA

S1

S2

x1

�

R

XA

A

=

0

0

3

- Articulation verrou

Seules la translation selon l’axe x1 et la rotation autour de cet axe sont possibles.

x2

x3

�

RAS1

S2

Les actions élémentaires de contact se réduisent au centre de l’articulation à la force


�

R X

XA A

A

=

0

2

3

- Encastrement

Dans ce type de liaison, il y a suppression de tous les degrés de liberté. L’action de S2 sur

S1 se réduit au centre de gravité de la section limite d’encastrement au torseur de

composantes

� �

R X

X

M

M

A A

A

A

A

=

=

0

0

02

3

x2

x3�

RA

S2

S1

�

M A

b) Systèmes tridimensionnels Les degrés de liberté sont au nombre de 6, 3 translations et 3 rotations. Ici encore, chaque type de liaison va en bloquer certains. - Appui simple

La liaison mécanique entre S1 et S2 est réalisée au moyen d’une bille roulante. La force de

liaison est perpendiculaire à la surface de roulement.

S2

S1

�

RA

x2

x3

S1 subit la réaction


�

R

XA

A

=

0

0

3

- Anneau

La sphère S1 est astreinte aux roulements à l’intérieur du cylindre S2 . La circonférence de

contact des deux solides appartient à une section droite du cylindre. Les trois rotations et la

translation selon l’axe x2 sont libres. Au centre de la sphère, l’action résultante s’écrit

� �

R

X

X

MA

A

A

A=

=1

2

0 0

x1

x2

x3

�

RA

- Rotule

Le solide S2 a une cavité sphérique dans laquelle la solide S1 peut effectuer les trois

rotations. Aucune translation n’est possible.

S1

S2

On a donc

� �

R

X

X

X

MA

A

A

A

A=

=1

2

2

0

- Encastrement


On a encastrement lorsque la liaison des deux solides ne permet aucun degré de liberté.

� �

R

X

X

X

M

M

M

MA

A

A

A

A

A

A

A

=

=

1

2

3

1

2

3

.

III- SYSTEMES ISOSTATIQUES ET SYSTEMES HYPERSTATIQUES Soit une structure de n solides, faisant intervenir un certain nombre de liaisons dont

chacune introduit Li inconnues. Sachant que l’équilibre de chaque solide est décrit par 6

équations, on obtient pour l’ensemble de la structure 6n équations. Le nombre entier

( )W L ni= −∑ 6

est caractéristique pour la structure étudiée. Si W = 0, Toute les inconnues peuvent être déterminées à partir des équations d’équilibre, et le système est appelé système isostatique. Si W > 0, le système est statiquement indéterminé, il est appelé système hyperstatique. Nous verrons que des équations empruntées à la Résistance des Matériaux permettent la détermination des inconnues restantes. Si W < 0, la structure devient un mécanisme. Ce n’est pas l’objet de ce cours.


ESSAIS MECANIQUES

Les matériaux que nous considérerons sont de structure isotrope, et leurs constituants ne présentent pas d’arrangement régulier. Les matériaux métallurgiques sont polycristallins, à l’échelle microscopique, ils ont une structure granulaire où chaque grain peut être considéré comme un monocristal. Les grains, orientés aléatoirement, sont séparés par des joints de grains de structure diffuse. Il n’existe donc pas de direction préférentielle d’application des charges. Il faut, cependant, noter que les matériaux industriels peuvent être anisotropes, par exemple les matériaux composites stratifiés. Pour déterminer pratiquement les propriétés mécaniques caractéristiques des matériaux, on étudie leurs réponses à diverses sollicitations. On réalise des essais dont le plus important est l’essai de traction à charge axiale. I- ESSAI DE TRACTION

Eprouvette d’essai C’est une tige cylindrique dont la partie centrale est moins large que ses extrémités où se fixent les mâchoires d’une machine à traction. Cette forme est conçue pour éviter la rupture aux points de fixations.

Les éprouvettes sont normalisées pour que les essais soient comparables. la longueur L0

entre deux repères de l’éprouvette et sa section S0 obéissent à la relation L K S0 0= .

Pour les aciers et certaines fontes K = 5.65.

S0

L0

FF

éprouvette

Diagramme de traction:

La machine fournit un effort de traction F variable jusqu’à la rupture de l’éprouvette.


Les allongements ∆L , effets de cette action, sont mesurés par un extensomètre, et on obtient au moyen d’un enregistreur le diagramme dit de traction, représenté sur la figure suivante relative à deux aciers différents.

F N( )

∆L mm( )

O

AB

C

DFle

Fr

ACIER DOUX

F N( )

∆L mm( )

O

ACIER DUR

Première phase :

De O à A les allongements sont faibles et proportionnels aux charges dans cette phase la déformation est réversible; l’éprouvette reprend sa longueur initiale si on fait décroître la charge de A à O. Cette déformation est dite élastique et le point A marque la limite d’élasticité du matériau. On définit la limite d’élasticité par le rapport

σ leleF

S=

0

qui a la dimension d’une pression ( )N m. −2 . l’AFNOR a adopté le N mm. −2 .

Deuxième phase :

Au delà de la limite élastique, la suppression de l’effort n’implique pas la disparition de la déformation. La déformation rémanente (résiduelle) est obtenue en traçant une droite parallèle à OA. Le matériau est dit écroui . A partir de A l’allure de la courbe de traction dépend du matériau. Jusqu’au point D, la déformation est irréversible. C’est le domaine de déformation plastique où les allongements augmentent rapidement. L’ordonnée du point C marquant le début de la striction est appelé résistance à la tension.

FF

Striction

L’ordonnée du point D définit la rupture du matériau. la résistance à la rupture est donnée par le rapport

τ rrF

S=

0


II- ESSAI DE DURETE Il n’est pas simple d’exprimer la dureté d’un matériau comme une grandeur physique. Cette notion à caractère intuitif est définie à partir d’essais basés sur la résistance à la pénétration du solide à étudier par un autre solide. Les essais de dureté sont très utilisés en contrôle industriel car ils ne détruisent pas la pièce fabriquée a- Dureté Brinell Le principe de cet essai est basé sur la pénétration d’une bille, de diamètre D en acier très dur dans le matériau étudié. La bille laisse une empreinte de diamètre d.

�

F

D

d

La dureté Brinell est définie par

HBF

S=

où S est l’aire de l’empreinte laissée par la bille

( )SD

D D d= − −π2

2 2

HB s’exprime en points Brinell : 1 1 2pt Brinell N mm. .= − . Cet essai est utilisé pour des

duretés inférieures à 450 pts. Brinell. b- Dureté Rockwell Dans cet essai, on réalise une empreinte avec un cône en diamant. Initialement, on soumet le cône à une charge de 9.8 daN, une charge supplémentaire est appliquée, et on mesure l’accroissement de pénétration e après suppression de la surcharge.


120°

La dureté Rockwell s’exprime par

HCR e= −100

où e est en unité Rockwell, laquelle correspond à 2 µm. c- Dureté Vickers Ici le pénétrateur est un diamant poli ayant la forme d’une pyramide à base carrée et à pointe vive. La charge appliquée est de 29.4 daN. La dureté Vickers est définie par

HVF

d= 1854

2.

où F est la charge appliquée et d est la moyenne des deux diagonales de l’empreinte.

136°

III- ESSAI DE RESILIENCE La résilience est la résistance au choc, elle est définie comme étant le rapport de l’énergie de rupture par l’aire de la section de l’éprouvette.


α

α '

M

L

éprouvette

L’énergie dépensée pour rompre l’éprouvette est

( )W MgL= −cos cos 'α α

IV- ESSAI DE FATIGUE On soumet la pièce à des efforts variables et répétés jusqu’à la rupture qui se produit sans que la contrainte en tout point du matériau ait dépassé la limite élastique. La charge maximale que l’on peut appliquer périodiquement et indéfiniment sans provoquer la

rupture est la limite de fatigue notée σ D . La charge appliquée peut être une traction

compression ou une flexion.


MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES

Dans ce chapitre nous allons aborder la théorie de l’élasticité et déterminer quelques propriétés des solides déformables. La Résistance des Matériaux étant basée sur des hypothèses qui, à la fois, idéalisent les situations réelles et limitent les problèmes à traiter, nous décrirons le cadre de travail dans lequel s’appliquent les résultats que nous obtiendrons dans les chapitres suivants. Les matériaux étudiés sont considérés comme un milieu continu homogène et isotrope. Un matériau est dit homogène lorsqu’il présente partout les mêmes propriétés physiques et même constitution chimique. Il est dit isotrope si ses caractéristiques (coefficients) sont les mêmes quelque soit la direction (absence d’anisotropie cristalline, de forme, etc..). On comprend que dans la réalité les matériaux ne présentent pas nécessairement ces deux propriétés. Dans l’étude des sollicitations, les forces sont appliquées d’une manière statique; le phénomène de fatigue des matériaux n’intervient pas. I- TENSEUR DE CONTRAINTES

Soit un solide en équilibre. Sous l’action des forces extérieures �

Fi , il existe des forces

intérieures en tout point M du solide. Si on coupe, par l’imagination, le corps en deux partie I et II, la partie I par exemple pourra être considérée comme étant en équilibre sous l’action de forces extérieures et des forces intérieures appliquées par la partie II.

�

F1�

F2

�

F3

�

F4

I

II

I

dS dSn�

�=dF�

I

Soit une aire élémentaire dS�


Dans le repère trirectangle ( )O x x x, , ,1 2 3 lié au matériau, on considère un point M d’une

surface perpendiculaire à la direction x1 . Le vecteur �

τ est le vecteur contrainte au point M

de la surface dont la normale a pour vecteur unitaire �

e1 . On écrit alors,

( )� � �τ τ= M,e1

x1

x2

x3

M

�

τ

�

τ

σ 11

σ 21

σ 31

x1

x2

x3

Dans le repère ( )O x x x, , ,1 2 3 , σ σ σ11 12 13, et sont ses composantes selon les directions

x x x1 2 3, et respectivement.

En considérant les autres plans perpendiculaires à x2 ou à x3 , on construit le tableau des

composantes des vecteurs contraintes ( ) ( )� � � �τ τM et M, ,e e2 3 :

Contraintes ( )� �τ M e, 1 ( )� �τ M e, 2 ( )� �τ M e, 3

x1 σ 11 σ 21 σ 31

x2 σ 12 σ 22 σ 32

x3 σ 13 σ 23 σ 33

Le point M est à chaque fois un point du plan considéré. on montrera, plus loin, que ce tableau est symétrique.

Le vecteur contrainte ( )� �τ M e, 1 s’écrit sous forme matricielle

( )� �τσ σ σσ σ σσ σ σ

M e, 1

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

0

0

=

Soit, maintenant, une surface quelconque dont la normale au point M est de vecteur

unitaire ( ) ( )� �

n n M n n n= = 1 2 3, , , le vecteur contrainte est


( )� �τσ σ σσ σ σσ σ σ

M n

n

n

n

, =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

a- Tenseur de contraintes de Cauchy Dans le cas général, le matériau étudié est soumis à un chargement complexe, et on est

amené à déterminer le sens et la direction de la contrainte en tout point ( )M x x x1 2 3, ,

appartenant à un élément de surface du matériau. La connaissance des composantes σ ij

est fondamental.

x1

x2

x3�

n

M

On définit le tenseur de contraintes, dit tenseur de Cauchy, par la matrice 3*3

[ ]σσ σ σσ σ σσ σ σ

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

avec

( )σ σij ij x x x= 1 2 3, , .

σ ij est par définition la contrainte exercée dans la direction j sur une surface

perpendiculaire à l’axe i. Les composantes diagonales sont des contraintes normales et les composantes hors diagonales sont les contraintes tangentielles. Le tenseur de contraintes est un tenseur symétrique. L’état initial, pris comme référence, est dit état naturel si le tenseur de contraintes initiale est identiquement nul. Soit �

n le vecteur unitaire normal, sortant de l’élément de surface dS entourant le point M. Le vecteur contrainte en M , dit vecteur contrainte de Cauchy est


( ) [ ]�

� �

T n n= σ

b- Directions principales, contraintes principales Ce sont les directions propres et les valeurs propres du tenseur de contraintes. Il existe un repère local orthonormé, appelé repère principal qui diagonalise la matrice associée. Les

contraintes principales, notées σ σ σ1 2 3, et , sont données par l’équation

[ ] [ ][ ]det σ λ λ λ λ− = ⇔ − + − + =I J J J0 031

22 3

Lors d’un changement de repère, l’équation caractéristique ci-dessus est invariante. Les Ji

doivent être constants, ils sont les invariant scalaire du tenseur de contraintes.

[ ]

[ ]

J

J

J

1 11 22 33

2 11 22 22 33 33 11 122

232

312

3

= + + =

= + + − − −=

σ σ σ σσ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ

Trace

det

On appelle contrainte moyenne la grandeur définie par

σ σ σ σ= + + =11 22 33 1

3 3

J

Par définition le tenseur [ ] [ ] [ ]s I= −σ σ , de trace nulle, est le tenseur déviateur de

contraintes, et le tenseur [ ]σ I est le tenseur isotrope; avec

[ ]σσ

σσ

I =

0 0

0 0

0 0

c- Equations d’équilibre Un domaine D de surface S pris à l’intérieur du matériau est en équilibre lorsque la somme

des forces qu’il subit est identiquement nulle. Soit �

f la résultante des forces de volume et �

n le vecteur unitaire normal à un élément de surface dS, c’est-à-dire :

[ ]ρ τ σ�

�

fd ndSSD

+ =∫∫∫∫∫ 0

Selon la direction i cette équation s’écrit

∫∫∫ ∫∫ =+D S

jiji dSndf 0στρ avec ( )σ σ σ σ σij j i i i ijn

n

n

n

n=

=1 2 3

1

2

3

, ,� �


ou

0. =∇+∫∫∫∫∫∫ τστρ ddfD

ij

D

i

�

�

.

On obtient alors l’équation d’équilibre locale selon la direction i

0. =∇+ ijif σρ�

⇔ ( )ρ σf i ij j+ =, 0

notation où i est fixe et j variable

Si un élément ∂S , appartenant à S, est soumis à une force extérieure �

F , il faut assurer la condition aux frontières

T n Fi ij j i= =σ sur ∂S

Ecrivons maintenant que le moment par rapport à l’origine des coordonnées des forces appliquées est nul.

( )O n dS O fdS

M M P→

∧ +→

∧ =∫∫ ∫∫∫� �

�

τ ρ τ, 0 avec

( )OM x x x→

= 1 2 3, , et ( )OP x x x→

= ' , ' , '1 2 3

Nous allons partir de cette équation d’équilibre des moments pour montrer que le tenseur

de contraintes est symétrique. Selon la direction x1 , cette équation s’écrit

( ) ( ) ( )[ ]n x x n x x n x x dS x f x f dS D

1 2 13 3 12 2 2 23 3 22 3 2 33 3 32 2 3 3 2 0σ σ σ σ σ σ ρ ρ τ− + − + − + − =∫∫ ∫∫∫ ( ' ' )

En utilisant la formule d’Ostrogradsky, on transforme l’intégrale de surface en intégrale de volume. L’équation ne contenant plus que des intégrales de volume, le point P et le point M décrivent le même volume et doivent donc avoir les mêmes coordonnées dans cette équation. Ce qui permet d’écrire

xx x x

f xx x x

f d213

1

23

2

33

33 3

12

1

22

2

32

32 23 32 0

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

ρ ∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

ρ σ σ τ+ + +

− + + +

+ −

=∫∫∫

La première équation d’équilibre locale montre que les sommes entre parenthèses sont

nulles. on a donc σ σ23 32= . De même, en projetant l’équation d’équilibre des moments

selon x2 et x3 , on obtiendra σ σ13 31= et σ σ21 12= .

II- TENSEUR DE DEFORMATIONS


Soit M0 et M0 ' deux points voisins du milieu repérés dans un repère orthonormé avant

déformation. Après déformation M0 est en M et M0 ' est en M’.

x1

x2

x3

M0

M

M0 '

M '

P

Pour des petits déplacements, si M M0

1

2

3

→=

ξξξ

, on a

M M M M d M M

d

d

d0 0 0

1 1

2 2

3 3

' '→

= +→ →

=+++

ξ ξξ ξξ ξ

.

A un infiniment petit du deuxième ordre près, on a

M M M M

x x x

x x x

x x x

dx

dx

dx

0 0

1

1

1

2

1

3

2

1

21

2

2

3

3

1

3

2

3

3

1

2

3

' '→

=→

+

∂ξ∂

∂ξ∂

∂ξ∂

∂ξ∂

∂ξ∂

∂ξ∂

∂ξ∂

∂ξ∂

∂ξ∂

La matrice [ ]E intervenant dans cette expression peut être exprimée comme une somme

d’une matrice symétrique et une matrice antisymétrique.

[ ] [ ] [ ]E r= +ε ε ∂ξ∂

∂ξ∂

∂ξ∂

∂ξ∂ij

i

j

j

iij

i

j

j

ix xr

x x= +

= −

1

2

1

2et

La matrice [ ]ε symétrique représente le tenseur de déformations du système et la matrice

[ ]r antisymétrique représente la rotation et n’altère pas le matériau.

a- Dilatations principales et directions principales


Ce sont les valeurs propres ε ε ε1 2 3, et et les directions propres du tenseur de

déformations. Comme pour le tenseur de contraintes, le tenseur de déformations a des invariants scalaires

[ ]

[ ]

e

e

e

1 11 22 33

2 11 22 22 33 33 11 122

232

312

3

= + + =

= + + − − −=

ε ε ε εε ε ε ε ε ε ε ε ε

ε

Trace

det

b- Déviateur de déformations

Soit un parallélépipède d’arêtes avant déformation dx1 , dx2 et dx3 . Son volume est donc

v dx dx dx0 1 2 3= . Après déformation, le parallélépipède a pour arêtes

( ) ( ) ( )1 1 11 1 2 2 3 3+ + +ε ε εdx dx dx, et .

Son volume devient

( ) ( ) ( )( )

v dx dx dx

v v

= + + +

≈ + + +

1 1 1

1

1 1 2 2 3 3

0 1 2 3

ε ε εε ε ε

Le coefficient de dilatation relatif s’écrit

∆v

ve= + + =ε ε ε1 2 3 1 et on pose e

e= 1

3

Le tenseur [ ]e I est le tenseur isotrope et le tenseur [ ] [ ]ε − e I est le tenseur déviateur de

déformations. Lorsque le tenseur de déformations est égal à son déviateur en tout point, le matériau considéré ne subit aucune variation de volume. Si le tenseur de déformations est égal à un tenseur isotrope, le matériau garde la même forme dans sa déformation. III- LOI DE COMPORTEMENT Nous avons vu dans l’essai de traction que, pour une charge relativement faible, la déformation est réversible. En fait, ce type de déformation ne met en jeu que des déplacements faibles d’atomes.

Pour une charge axiale la déformation s’écrit

ε =∆L

L0


et la contrainte est définie par

σ =F

S0

La dépendance linéaire entre contrainte et déformation observée expérimentalement impose la relation

σ ε= E .

Cette loi annoncée la première fois par Robert Hooke est appelée loi de Hooke. Le coefficient E est le module d’élasticité de Young dont la dimension est la même que celle

de la pression. Dans les normes AFNOR E est en N mm. −2 (1 12N mm MPa. − = ). Pour les

matériaux métalliques, il est de l’ordre de 50000 200000 2à N mm. − .

Les charges extérieures introduisent des contraintes à l’intérieur du matériau déformé. La déformation résulte des déplacements d’éléments de matière les uns par rapport aux autres. En fait, les contraintes intérieures résultent des forces de cohésion du solide. Si les déplacements sont petits, le tenseur de déformation est linéaire et s’écrit simplement

ε ∂ξ∂

∂ξ∂ij

i

j

j

ix x= +

1

2.

La loi de comportement élastique linéarisée pour un matériau isotrope et homogène s’écrit

σ λ ε µεij iii

ij ijI=

+∑ 2 .

C’est la loi de Hooke généralisée (tridimensionnelle) correspondant au cas de chargement complexe. Les deux coefficients λ et µ sont les coefficients d’élasticité de Lamé. Le coefficient µ est souvent appelé coefficient de cisaillement. La loi de Hooke exprime la relation de cause à effet entre les contraintes et les déformations, elle peut s’écrire inversement comme

ε ν σ ν σij ij iii

ijE EI= + −

∑

1

E est le module d’élasticité de Young et ν le coefficient de Poisson qui est généralement de l’ordre de 0.3. E et ν s’écrivent en fonction des coefficients de Lamé

( )

E =++

=+

µλ µλ µ

νλ

λ µ

3 2

2


On constate que pour une charge unidirectionnelle, une traction selon x1 par exemple, une

seule composante est non nulle

[ ]σσ

=

11 0 0

0 0 0

0 0 0

.

Avec la loi de Hooke, on calcule le tenseur de déformation

[ ]ε

σ

ν σν σ

= −

−

11

11

11

0 0

0 0

0 0

E

E

E

D’où la loi de Hooke selon x1

σ ε ∂ξ∂11 11

1

1

= =E Ex

,

Et c’est la forme particulière de la loi de Hooke déjà rencontrée. Si un matériau est soumis à trois contraintes perpendiculaires, seules les éléments diagonaux du tenseur de contrainte sont non nuls. Par conséquent, les composantes du tenseur de déformation sont

( )[ ]( )[ ]( )[ ]

ε σ ν σ σ

ε σ ν σ σ

ε σ ν σ σ

11 11 22 33

22 22 11 33

33 33 11 22

1

1

1

= − +

= − +

= − +

E

E

E

4- Equations de l’Elastostatique De façon générale, résoudre un problème d’Elastostatique c’est déterminer les 15 fonctions inconnues : 3 composantes du vecteur déplacement, 6 composantes du tenseur de déformations et 6 composantes du tenseur de contraintes. On dispose de 15 équations :

6 éqs. : ε ∂ξ∂

∂ξ∂ij

i

j

j

ix x= +

1

2

6 éqs. : σ λ ε µεij iii

ij ijI=

+∑ 2


3 éqs.: ∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

ρi i iix x x

f1

1

2

2

3

3

0+ + + =

On peut combiner ces équations, et obtenir une équation différentielle en champ de déplacements, dite équation de Navier

( ) ( )µ ξ λ µ ξ ρ∆� � � � �

+ + ∇ ∇ + =f 0 .

Il importe de remarquer que pour déterminer le tenseur de contraintes en tout point du solide, il est nécessaire de connaître le tenseur de déformations, lequel ne peut être déterminé qu’à partir des composantes du vecteur déplacement. La résolution de ces équations différentielles fait intervenir naturellement les conditions aux limites du matériau chargé. Ces conditions sont souvent compliqués et leur prise en compte est souvent difficile, voir impossible. C’est là le problème fondamental de la Mécanique des Solides Déformables! 3) Tricercle de Mohr a) Directions principales et contraintes principales Il existe trois directions I, II et III orthogonales entre elles et sont telles que le tenseur de contraintes dans une base considérée selon ces trois directions soit diagonale. Rappelons que les éléments diagonaux (valeurs propres) sont les contraintes principales et les

directions sont les directions principales. Les valeurs propres σ 1 , σ 2 et σ 3 sont

déterminées à partir de

[ ] [ ]( )det σ σ− =I 0 .

Il est important de remarquer que pour les plans solides normaux à une direction principale, la contrainte est purement normale et égale à la contrainte principale correspondante. b- Position du problème Le problème à résoudre est le suivant : connaissant le tenseur de contraintes, quel est le

domaine que décrit le vecteur contrainte ( )�

�

T n lorsque le vecteur �

n pivote ? Autrement dit,

quel est le faisceau de contraintes autour d’un point M. c- Exemple

Considérons les facettes parallèles à la direction principale 2 associée à σ 2 . Dans le trièdre

direct (I,III,II) de vecteurs unitaires � � �

e e e1 2 3, , , la normale �

n évolue dans le plan (I,III) et

paramétrée par l’angle θ qu’elle forme avec la direction I.

� � �

n e e= +cos sinθ θ1 3.


�

n

θI

III

II

Le vecteur contrainte de composantes T ni ij j= σ s’écrit dans cette base propre comme

�

� �

T e e= +σ θ σ θ1 1 3 3cos sin .

Calculons la contrainte normale σ n et la contrainte tangentielle τ . En prendra le vecteur

unitaire �

t tel que le trièdre ( )��

n t, , II soit direct.

σ σ θ σ θ σ σ σ σ θ

τ σ θ θ σ θ θ σ σ θ

n nT

t T

= = + = + + −

= = − + = − −

�

�

��

12

32 1 3 1 3

1 31 3

2 22

22

cos sin cos

cos sin cos sin sin

On obtient alors l’équation

σ σ σ τ σ σn −

+

+ =

−

1 3

22 1 3

2

2 2

qui est l’équation d’un cercle, appelé cercle de Mohr. La figure ci-dessous représente, dans

le cas où σ σ1 3> , l’évolution des composantes normale et tangentielle du vecteur

contrainte en fonction de l’orientation du vecteur normal �

n , c’est à dire de l’orientation de la surface considérée;


σ 1σ 3

τ

σ n

T

0

−2θ

( )σ σ1 3 2+

Le vecteur contrainte décrit le cercle de diamètre ( )σ σ1 3− , lorsque la facette tourne

autour de la direction principale de σ 2 , et on constate que lorsque la facette tourne d’un

angle θ , l’extrémité du vecteur contrainte tourne sur le cercle de Mohr d’un angle double dans le sens opposé. De plus :

- La contrainte normale maximale est σ 1 et s’exerce sur la facette normale à la

direction 1.

- La scission maximale en valeur absolue est égale à ( )σ σ1 3

2

− et s’exerce sur les

facettes parallèles à la direction principale 2 et inclinées de ± π4

sur les directions

principales I et III. d- Cas général : tricercle de Mohr

Soit un plan quelconque du matériau, de normale �

n et de vecteur contrainte

correspondants ( )�

�

T n . Le plan contenant �

n et ( )�

�

T n , appelé plan de Mohr, est repéré par

les vecteurs unitaires �

n et �

t , donc ( )�

� ��

T n n t= +σ τ (voir figure). La contrainte

tangentielle τ est souvent appelée scission.

�

n

( )�

�

T n

�

t σ

τ

Nous allons d’abord déterminer les composantes de �

n en fonction de σ σ σ σ τ1 2 3, , , n et .

Pour ces composantes, on a


n n n et n n n12

22

32

12

22

321 0 0 0+ + = ≥ ≥ ≥, , .

Ecrivons les composantes du vecteur contrainte dans la base propre

T n T n T n1 1 1 2 2 2 3 3 3= = =σ σ σ, , .

Pour la contrainte normale et la contrainte tangentielle, on a les équations

σ σ σ σn T n n n n= = + +�

�

. 1 12

2 22

3 32

σ τ σ σ σn T T T n n n2 212

22

32

12

12

22

22

32

32+ = + + = + +

Pour simplifier, les contraintes principales sont considérées telles que σ σ σ1 2 3> > . Les

équations en ni2 ont pour solutions

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

n

n

n

n n

n n

n n

12

22 3

1 2 1 3

22

21 3

2 1 2 3

32

22 3

3 1 3 2

0

0

0

=+ − −

− −≥

=+ − −

− −≥

=+ − −

− −≥

τ σ σ σ σσ σ σ σ



On en déduit les inégalités qui doivent décrire le domaine engendré par le vecteur

contrainte dans le plan de Mohr ( )σ τn ,

( )( )( )( )( )( )

τ σ σ σ στ σ σ σ στ σ σ σ σ

22 3

21 3

21 2

0

0

0

+ − − ≥

+ − − ≤

+ − − ≥

n n

n n

n n

que l’on peut réécrire comme

σ σ σ τ σ σ

σ σ σ τ σ σ

σ σ σ τ σ σ

n

n

n

− +

+ ≥ −

− +

+ ≤ −

− +

+ ≥ −

2 3

22 2 3

2

1 3

22 1 3

2

1 2

22 1 2

2

2 2

2 2

2 2

.

On positionnant les contraintes principales sur l’axe de la contrainte normale, le domaine recherché est délimité par les trois cercles appelés tricercle de Mohr. Le grand cercle est habituellement appelé cercle de Mohr.


σ

τ

σ 1

σ 2σ 3

Chaque point des surfaces délimitée par des triangles curvilignes est atteint lorsqu’on fait

varier le vecteur �

n . 4) Energie de déformation et critères de limite élastique a- Energie de déformation élastique Pour simplifier, considérons un ressort hélicoïdal allongé sous l’effet d’une force extérieure.

Il existe une force de rappel F kx= , où k est la constante de raideur et x l’allongement du

ressort. Ce dernier emmagasine de l’énergie élastique

( )W kx kx x= =1

2

1

22

En faisant une simple analogie, l’énergie élastique emmagasinée par un matériau en déformation élastique sous une charge statique unidirectionnelle s’écrit

W F l= 1

2∆

et la densité d’énergie est

ω = =

W

SL

F

S

L

L

1

2

∆

Pour un chargement tridimensionnel, la densité d’énergie doit s’écrire

[ ][ ]( )ω σ ε= 1

2Trace .


b- Critères de limite élastique Nous avons vu que pour une charge uniaxiale, le comportement reste élastique tant que la composante unique du tenseur de contraintes reste inférieure à la contrainte correspondant à la limite d’élasticité. De façon générale (chargement tridimensionnel), l’expérience montre que l’on peut déterminer un domaine d’élasticité, à l’intérieur duquel, il faut considérer le

tenseur de contraintes [ ]σ .

La question est donc la mise en évidence de critères permettant de déterminer le domaine de contraintes où le comportement du matériau reste élastique. Il existe plusieurs critères, et chacun a ses avantages et ses inconvénients. Nous allons voir seulement deux critères, l’un est lié à l’énergie de déformation et l’autre au tricercle des contraintes. Critère de la scission maximale ou de Tresca Ce critère borne la scission maximale (voir tricercle de Mohr), c’est à dire

σ σ τ1 3

2

− ≤ le .

τ le correspond à la limite élastique. pour un cisaillement pur, on a τ σle

le=2

. Ce critère ne

s’applique qu’aux matériaux dont les contraintes limites en traction et en compression sont les mêmes (caractéristiques symétriques). Critère de Von Misès Ce critère borne la densité d’énergie de déformation de changement de forme du matériau. Ecrivons la densité d’énergie en fonction des contraintes et déformations principales

( )ω σ ε σ ε σ ε= + +1

2 1 1 2 2 3 3 ,

En posant

( )σ σ σ σi i= − + et ( )ε εi i e e= − + ,

et avec

σ σ σ σ= + +1 2 3

3 et e = + +ε ε ε1 2 3

3,

on obtient l’expression


( )( ) ( )( ) ( )( )ω σ σ ε σ σ ε σ σ ε σ σ σ σ= − − + − − + − − + − + +

∑ ∑

1

23 61 1 2 2 3 3e e e e e e ei

ii

i

.

Or ∑∑ +=i

i

i

i eee

33

336

σσσ ,

D’où l’expression finale de la densité d’énergie de déformation

( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]ω σ σ ε σ σ ε σ σ ε σ= − − + − − + − − +1

231 1 2 2 3 3e e e e.

Dans cette expression la somme des trois premiers termes représente l’énergie ( )ω 1 de

changement de forme sans changement de volume (trace du produit des déviateurs) et le dernier

terme représente l’énergie ( )ω 2 de variation de volume sans changement de forme (trace du

produit des tenseurs isotropes). Dans ce critère, on doit borner ω 1

En fonction, seulement des contraintes principales (loi de Hooke), la première énergie s’écrit

( ) ( ) ( )[ ]ω ν σ σ σ σ σ σ1 1 2

2

2 3

2

3 1

21

6= + − + − + −

E.

Dans le cas d’une traction pure à la limite élastique (σ σ1 = le ), on a

[ ]σσ

=

1 0 0

0 0 0

0 0 0

et ω ν σl leE= +1

62 2

D’où l’inégalité correspondant au critère de Von Misès

( ) ( ) ( )ω ωσ σ σ σ σ σ

σ11 2

2

2 3

2

3 1

2

2

2≤ ⇔

− + − + −≤l le .

Il faut noter que ce critère n’est valable que pour les matériaux à caractéristiques symétriques. De la même manière, on réécrit ce critère si on considère la limite d’élasticité en scission simple

[ ]σσ

σ= −

1

1

0 0

0 0

0 0 0

et ω ν σl E= +1

12

( ) ( ) ( )σ σ σ σ σ σ σ1 2

2

2 3

2

3 1

2 2− + − + − ≤ le


Les résultats d’expériences effectuées sur des métaux, en traction-compression et en torsion, montrent que le critère de limite d’élasticité est plus proche de celui de Von Misès que de celui de Tresca. 5) Phénomène de concentration de contraintes Dans des solides réels, souvent les composantes du tenseur de contraintes ne sont pas uniformes. En particulier, aux extrémités du solide et à causes des variations brusques de section, Il se produit une concentration de contraintes dont la valeur maximale est supérieure à sa valeur dans le corps du solide. Exemple : Rainures de l’arbre d’un moteur ou variation brusque de section

Rainure

Pour cette raison, il faut éviter, quand c’est possible, les arrêtes vives dans le calcul des dimensions d’une pièce, et les remplacer par des arrondis. C’est ce qui explique, par exemple, les arrondis de l’éprouvette d’essai de traction : éviter la rupture aux endroits encastrés dans les mâchoires de la machine d’essai. II- RESISTANCE DES MATERIAUX

La Résistance des Matériaux est basée sur des hypothèses permettant une grande simplification des calculs cités ci-dessus. Tout d’abord les modèles solides étudiés sont simples et portent le nom de poutre. Une poutre est par définition un solide dont la dimension longitudinale est très grande par rapport aux dimensions transversales, de génératrices rectilignes ou à petite courbure et de section constante.

1) Hypothèse sur la loi de comportement

Les solides étudiés en RDM se trouvent dans le domaine élastique. Les déformations sont proportionnelles aux efforts parce qu’elles sont toujours très faibles. 2) Hypothèse de Bernoulli


Les surfaces planes et perpendiculaires à la ligne moyenne d’une poutre avant la déformation restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après l’application des efforts. 3) Hypothèse de Saint-Venant A l’exclusion des extrémités, les contraintes et les déformations sont indépendantes du mode d’application des charges.

La zone centrale de l’éprouvette a le même comportement dans les deux modes de traction schématisés sur la figure.


Simulation d’une pièce encastrée à une extrémité, par la MEF sur ALGOR

Traction simple

Flexion

Document S. KOUTANI


TRACTION ET COMPRESSION

I- TRACTION Par définition, une poutre est sollicitée en traction lorsqu’elle est soumise à deux forces opposées qui tendent à l’allonger. La traction peut être appelée extension, la Norme parle de tirage. 1) Contraintes Considérons une barre rectiligne de longueur L et de section uniforme S, soumise à deux efforts opposés.

�

n

�

F

−�

F

A

B

�

x3

σ 33

B

−�

F

Si on considère le tronçon B, sa section inférieure est soumise à la force �

F et sa section

supérieure est soumise à la force uniforme �

FB , due aux contraintes uniformes exercées par

la section inférieure du tronçon A. Le problème étant unidimensionnel, seul σ σ33 = est

non nul.

[ ]�

� �

F ndS SnB = =∫∫ σ σ

Tenant compte du poids de la partie B, l’équation d’équilibre s’écrit

− − + =F P SB σ 0 .

D’où

σ =+F P

SB

.


2) Déformation élastique La déformation élastique implique un allongement que l’on peut déterminer à partir de la loi de Hooke. En négligeant le poids, on obtient

∆LFL

ES= .

MODULE DE YOUNG

MATERIAU

E (daN.mm-2)

Acier 21000 Acier inoxydable austénitique 19000

Aluminium 7000 Antimoine 7900

Argent 7500 Berylium 30000 Bronze 10000

Cadmium 7000 Chrome 25000 Cobalt 21000 Cuivre 11000 Etain 5000 Fer 21000

Fontes 10000 à 18000 Graphite 1600 Indium 1200 Laiton 11000

Magnésium 4200 Molybdène 33000

Nickel 21000 Or 8000

Plomb 1500 Téflon 40 Titane 11000

Tungstène 36000 Zinc 9500


3) Condition de résistance Afin que les déformations ne deviennent du type plastique, la contrainte maximale doit être au plus égale à celle correspondant à la limite d’élasticité que l’on détermine par l’essai de traction. Mais, à cause des imperfections de fabrication; défauts d’isotropie et d’homogénéité, la contrainte maximale doit être inférieure à une contrainte pratique

σσ

ple

s= , où s est un coefficient dit de sécurité qui est de l’ordre de quelques unités.

La condition de résistance s’exprime par l’inéquation dite inéquation d’équarrissage

Cette inéquation sert à déterminer la section transversale d’une poutre (la dimensionner). Pour les allongements, on a la condition

∆L

L sEle≤

σ.

4) Applications : Contraintes dans les courroies On considère un système de poulies-courroie. La courroie a une épaisseur e et une largeur l.

�

T1

�

T2

R

e

a

b

dαc

d

Il existe deux types de contraintes dans la courroie; la contrainte de courbure et la contrainte de traction. Pour la contrainte due à la courbure, elle peut être calculée à partir de la loi de Hooke en déterminant préalablement l’allongement. L’élément de longueur joignant a et b et l’élément de longueur joignant les points c et d de la ligne médiane (ligne de référence) s’écrivent

F

S

P

S sle+ ≤

σ


( )ds R e d

ds Re

d

ab

cd

= +

= +

α

α2

L’allongement du à la courbure est donc

ds dse

dab cd− =2

α .

On en déduit la contrainte

σcab cd

cd

Eds ds

dsE

e

R e=

−=

+2.

La contrainte de traction est

σt

T

le= 1

.

La contrainte totale s’écrit

σ

e

On vérifie facilement que la contrainte minimale est

σmin =2TE

Rl

et correspond à l’épaisseur

eRT

El0

2= .

On voit bien qu’il faut choisir une largeur de courroie suffisamment grande pour minimiser la contrainte.

σ = +T

le

Ee

R1

2


II- COMPRESSION Par définition, un corps est sollicité à la compression lorsqu’il est soumis à deux forces opposées qui tendent à le raccourcir.

�

n

−�

F

�

F

A

B

�

x3

1) Contraintes et déformations On obtient, comme dans le cas de la traction

σ= −F

S

P

S

Si on néglige le poids, on a

σ=F

S

et le raccourcissement s’écrit

∆LFL

ES=

Lorsque la dimension longitudinale est très grande par rapport aux dimensions transversales, les efforts dus aux charges de compression peuvent fléchir la poutre, c’est le phénomène de flambement. 2) Condition de résistance Comme pour la traction, la résistance à la compression est limitée par la condition

qui est l’inéquation d’équarrissage.

F

S

P

S sle− ≤

σ


Exercice

On considère une poutre G G0 1 de section S1 et de longueur l1 . Cette poutre est

bloquée dans un bâti G G0 2 de section S et de longueur L, par l’intermédiaire d’un

ressort G G1 2 de longueur l2 et de constante de raideur k. Le bâti et la poutre doivent

être fabriqués à partir d’un même matériau de module de Young E.

�

F kpoutre

Figure 1

G0 G1G2

1) Montrer que les raccourcissements ∆l1 de la poutre et ∆l2 du ressort sont des

fonctions telles que ( )∆l f F l E S1 1 1 1= , , , et ( )∆ ∆l f l k2 2 1= , , où F est la force

exercée par la poutre sur le bâti.

2) Calculer l’allongement du bâti, ( )∆L f F L E S= , , , .

3) Les longueurs L, l1 et l2 sont telles que ( )L l l e− + = −1 2 . Montrer que

e L l l= + +∆ ∆ ∆1 2 . Exprimer e en fonction des données du problème.


CISAILLEMENT

I- DEFINITION Un corps est sollicité en cisaillement lorsqu’il est soumis à deux forces opposées qui tendent à le séparer en deux tronçons glissant l’un par rapport à l’autre suivant le plan d’une section.

�

T1

�

T2 II- CONTRAINTES ET DEFORMATIONS 1) Contraintes On considère une poutre de section uniforme S, dont une partie A est encastrée (figure ci-dessous). A une distance dx de ce tronçon, la partie B est soumise à une force tranchante �

F .

�

Fdx

x2

x3

BA�

τ

Si en néglige le poids devant la force tranchante, le tronçon B du matériau est soumis à la

force extérieure �

F et aux contraintes internes exercées par A à l’interface.


On constate que, proche des points d’application des efforts extérieurs, le principe de Saint Venant ne peut être respecté. Pourtant c’est dans cette zone où se produit la déformation. Toutefois, nous supposerons que la répartition des contraintes est uniforme sur une section droite. Le phénomène de concentration des contraintes ne sera pas pris en compte, bien que cette hypothèse ne corresponde pas à la réalité. Dans cette section droite la contrainte τ est tangentielle. L’équation d’équilibre de la partie B détermine τ en tout point de la section droite.

− + = ⇒ =F SF

Sτ τ0

2) Déformation

La loi de Hooke tridimensionnelle fournit l’expression du seul élément non nul du tenseur de déformation,

εµ

σ23 23

1

2= .

La déformation élastique ramène de la matière du point M0 au point M. Le vecteur

déplacement M M0

→ ayant pour coordonnées ξ i .

θ

M0

MA

B

x2 x dx2 2+

ξ 3

ξ ξ3 3+ d

θ

θ

M M0

3

0

0→

=

ξ

L’élément du tenseur de déformation peut être explicité sous la forme

ε ∂ξ∂

∂ξ∂

∂ξ∂

θ322

3

3

2

3

2

1

2

1

2

1

2= +

= =

x x xtg

Notons que ξ θ3 et sont négatifs. L’angle θ , appelé angle de glissement reste petit en

déformation élastique, On a en conséquence


ε θµ

σ32 32

1

2

1

2≈ = et − = − =σ σ τ32 23

θµ

= F

S

Le coefficient µ est souvent noté G et appelé module de Coulomb ou de rigidité.

III- CONDITION DE RESISTANCE L’essai de cisaillement fournit la contrainte pratique. Pour qu’une pièce résiste en toute sécurité au cisaillement il faut que l’effort tranchant satisfasse l’inéquation d’équarrissage

F

S p≤ σ

VI- APPLICATIONS 1) Assemblage par rivets Dans un assemblage métallique, on utilise deux cornières (acier doux en forme d’équerre) que l’on assemble par rivet à un gousset.

Cornières

Goucet

Rivet

�

F

F est l’effort qui s’exerce sur l’ensemble des cornières. Les rivets ont tendance à se cisailler selon deux sections. On se propose de déterminer le nombre n de rivets nécessaire, connaissant leur diamètre d et leur résistance pratique. On doit avoir

F

nd

nF

dpp2

4

22 2π

σπ σ

≤ ⇒ ≥

A.N. F N d cm N mmp= = = −100000 16 70 2, . .etσ

On trouve n n≥ =35 4. on peut prendre .


2) Poinçonnage d’une tôle

La résistance pratique au cisaillement d’une tôle d’épaisseur e à poinçonner est σpt . Le

poinçon de diamètre D a une résistance pratique à la compression σpp . On veut déterminer

une relation entre d et e pour que l’opération de poinçonnage soit réalisable.

e

d

Tôle

Poinçon

d

e

La tôle doit céder sous l’effort tranchant (on est au delà de la limite élastique), donc

F de pt≥ π σ

Tandis que le poinçon doit résister à la compression

Fd

pp≤ σ π 2

4.

On rassemblant les deux conditions, on obtient

ed

pt

ppσ σ≤

4.

D’où la condition

d e pt

pp

≥ 4σσ


RAPPEL SUR LES MOMENTS D’INERTIE

DES SURFACES PLANES

I- MOMENT D’ORDRE UN D’UNE SURFACE Le moment d’ordre un d’un élément de surface par rapport à un axe appartenant au plan de l’élément est donné par le produit de la surface de l’élément par sa distance à cet axe.

Comme exemple, considérons un élément de surface dans le plan ( )x x1 3, .

x1

x3

dS

x3

Le moment de l’élément dS par rapport à l’axe x1 est donné par

dI x dSx0 31= , de même on a dI x dSx0 13

= .

Pour une surface S finie, on a

I x dSx

S

0 31= ∫∫ et I x dSx

S

0 13= ∫∫ .

Le centre d’inertie, souvent appelé centre de gravité, d’une surface dans le plan ( )x x1 3, a

pour coordonnées

x

x dS

S

I

SGS x

1

10 3= =

∫∫ Et x

x dS

S

I

SGS x

3

30 1= =

∫∫.

II- MOMENT D’ORDRE DEUX D’UNE SURFACE Le moment d’ordre deux d’un élément de surface par rapport à un axe appartenant au plan de l’élément est donné par le produit de l’aire de la surface de l’élément, et du carré de sa distance à cet axe. On alors

dI x dSx1 32= , de même on a dI x dSx3 1

2= .


Et pour une surface finie

I x dSx

S1 3

2= ∫∫ , et I x dSx

S3 1

2= ∫∫ .

III- THEOREME DE HUYGUENS Ce théorème, dit théorème des axes prallèles, lie le moment d’inertie d’une surface finie par rapport à un axe au moment d’inertie par rapport à l’axe passant par le centre d’inertie et prallèle à l’axe précédent.

x1

x3

x G3

G

x G1

x G1

x G3

x1

x3

G

O

M

Pour les deux composantes, on a

I I Sx

I I Sx

x Gx G

x Gx G

1 1

3 3

12

32

= +

= +

IV- MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE On appelle moment d’inertie polaire ou moment quadratique polaire la quantité

I OM dSO

S

= ∫∫2 .

Si le point O est en G, on a

I GM dSG

S

= ∫∫2

Pour une surface rectangulaire de hauteur h selon x3et de largeur b selon x1 , on trouve les

expressions


Ihb

Gx3

3

12= , I

bhGx1

3

12= et I I I

hb bhG Gx Gx= + = +

3 1

3 3

12 12

Dans le cas d’une surface circulaire de diamètre D (section droite d’un cylindre plein), on

trouve ID

G = π 4

32. Tandis que pour la section droite d’un cylindre creux on obtient

( )I D dG = −π32

4 4 .

Gx G1

x G3

h

b

D

Gx G1

x G3

D

Gx G1

x G3

d


TORSION

I- DEFINITION ET EXEMPLES Une poutre est sollicitée à la torsion (ou tordage) lorsqu’elle est soumis à deux couples opposés dont les plans sont perpendiculaires à son axe géométrique.

�

M1

�

M2

Exemples : Arbres de transmission, certaines clefs de manœuvre... II- CONTRAINTES ET DEFORMATIONS On considère (pour simplifier) un cylindre plein de rayon R, dont l’une de ses extrémités est encastrée dans un matériau. L’autre extrémité est soumise à un couple de moment (dit

moment de torsion ) �

M connu.

Soit un point M0 quelconque appartenant à une section droite du cylindre avant la torsion.

L’effort de torsion amène le point M0 au point M. Dans le domaine élastique, les deux

points restent voisins.

-�

M

�

eθ�

er

�

ez

γ M0

Mθ

�

MA

B

Plan d’encastrement

Le tronçon B est soumis à l’action de l’encastrement −�

M , et à l’action du tronçon A (le poids étant négligé ).


Calculons la contrainte exercée par A sur B. Le vecteur déplacement s’écrit en coordonnées cylindriques

M M rr

z

0

0

0

→=

=

ξξξ

θθ

L’angle θ croît linéairement le long de l’axe z, θ α= z. ( )α rad mm. −1 est appelé angle

unitaire de torsion. Avec αθ

=d

dz, on a les relations

z rr

zrγ θ γ θ α= ⇒ = = .

En réécrivant le vecteur déplacement comme

M M zr0

0

0

0

0

→=

=

ξ αθ ,

on a pour le tenseur de déformation

[ ]ε α

αε=

⇒ =0 0 0

0 02

02

0

0r

r

Tr ij

Notons bien que seules les composantes tangentielles sont non nulles. On déduit le tenseur de contraintes en un point M de la section droite du contact A-B, situé à la distance r de l’axe du cylindre, à partir de la loi de Hooke tridimensionnelle

σ λ ε δ µεij iii

ij ij=

+∑ 2

[ ] [ ]σ µ ε µαµα

= =

2

0 0 0

0 0

0 0ij r

r

.

La contrainte en un point de la section est

� � �τ σ µα θ= =ij ze re


Variation de la contrainte en fonction de r , dans la section du cylindre

La contrainte sur un élément dS de cette section est tangentielle

dT dSe rdSeij z

�

� �= =σ µα θ

La condition d’équilibre des moments s’écrit en exprimant la somme des moments par rapport à l’axe z

− + ∧ =

=

∫∫

∫∫

��

�

��

M

M =

t

t

r dT

e dS I e

S

z

S

z

0

2

0µα µαr

On reconnaît I 0 qui est le moment quadratique polaire de la section S, pour une section

circulaire pleine IR

0

4

2=

π. L’angle unitaire de torsion est donc déterminé par

αµ

=M

It

0

M t

α

III- CONDITION DE RESISTANCE

On peut réécrire la contrainte en un point comme τ =M r

It

0

et la contrainte maximale est

à la périphérie du cylindre : τ max =MI

R

t

0

.


Pour qu’un cylindre résiste en toute sécurité à la torsion, il faut réaliser la condition

MI

R

tp

0

≤ τ

Il ne faut pas oublier que cette inéquation repose sur le fait que le matériau est homogène et ne présente pas d’accidents de forme. L’arbre d’un moteur, par exemple présente des rainures qui provoquent des singularités dans la répartition des contraintes. Lorsqu’il s’agit d’un arbre très long, il faut imposer une autre condition sur la déformation, afin d’empêcher le solide de se comporter comme un ressort. L’angle unitaire de torsion ne

doit pas dépasser l’angle unitaire limite αmax que l’on prend généralement égal à 1

4

(degré/m). IV- APPLICATIONS : 1) Diamètre d’un arbre de transmission a) On considère un arbre court qui doit transmettre une puissance P à la fréquence de rotation N. La contrainte pratique τ p est déterminée à partir d’un essai de torsion.

Qu’elle est le diamètre de l’arbre ? La puissance est donnée par

P N= 2π M

La condition de résistance s’écrit

MR

IR

P

Npp0

32

≤ ⇒ ≥τπ τ

A.N. P W N mn N mmp= = =− −30000 500 401 2τ . .

On trouve R m d mm≥ ≥0 0209 418. .ou .

b) Quel sera le diamètre si l’arbre est long? On prendra µ = −80000 2N mm. .

On doit avoir

αµ

α= ≤M

I 0max

Soit

d mm≥ 635. .


2) Arbre de transmission à section variable

Souvent les arbres de transmission ont une section variable. Quelque soit le diamètre, on doit avoir

RM t

p

3 2≥

τ

e

dD

Arbre épaulé

r : rayon de raccordement

C’est donc sur le diamètre le plus faible que l’inéquation d’équarrissage doit être vérifiée. Il faut tenir compte aussi du phénomène de concentration de contraintes à cause de la variation de la section. La contrainte maximale dépend d’un coefficient, dit de concentration de contrainte,

τ τmax = Kt nom

τ nom est la contrainte moyenne. Il existe des abaques qui donnent le coefficient Kt en

fonction des dimensions et de la forme de l’arbre. Pour que τ nom soit minimal, il faut que

Kt soit petit. Les abaques montrent qu’il faut choisir r

e grand et

r

D petit.

dD

K t

re

croissant

Qualitativement, on doit choisir plutôt 1 que 2 que 3 dans la figure ci-dessous.


1

2

IV- RESSORT A BARRE DE TORSION Dans des assemblages mécaniques, on utilise des barres en déformation élastique dont la fonction est du type ressort. Ce sont des barres de torsion de coefficient de raideur (en

N m. 2 )

kM

It= =α

µ 0 .

On appelle flexibilité l’inverse de la raideur

ϕµ

= =1 1

0k I.

3


FLEXION ET MOMENT DE FLEXION

I- DEFINITION ET EXEMPLES 1-Flexion La flexion ou flexage est l’un des problèmes les plus importants de la résistance des matériaux. Par définition, un corps (poutre) est sollicité à la flexion lorsqu’il est soumis à des forces coplanaires normales aux génératrices appelées fibres. Nous considérerons des poutres ayant un plan de symétrie. Exemples : a) Poutre encastrée b) Arbre supportant un volant

�

P

Encastrement

Poutre

Volant

Arbre

2) Flèche La déformation résultant de la flexion est appelée flèche. La flèche peut être mesurée à l’aide d’un comparateur : instrument de comparaison des longueurs.

Flèche

Sur la figure ci-dessus, la partie inférieure de la poutre s’allonge alors que la partie supérieure se raccourcit. Dans les poutres, il existe donc une surface qui ne subit ni


allongement ni raccourcissement, elle est dite surface neutre. De part et d’autre de la surface neutre, les fibres sont soit en compression soit en traction. Les fibres appartenant à la surface neutre ne subissent pas de déformation. La fibre médiane, appartenant à la surface neutre est appelée ligne neutre. L’axe, intersection de la surface neutre et une section droite, est dit axe neutre. On peut montrer que l’axe neutre passe par le centre de gravite G d’une section droite. II- CONTRAINTES ET DEFORMATION On considère une poutre de section uniforme reposant sur deux appuis et soumise à des

forces localisées �

Fi .( i allant de 1 à N ).

Position de la ligne neutre

�

R1

�

R2

x2

x3

�

Fi

x1

x3

Axe neutre

PoutreG0

Si on considère seulement le tronçon de la poutre encadré sur la figure, il est soumis à la

force �

R1, à la somme des forces localisées �

Fii n≤∑ et aux contraintes de résultante

�

T exercées

à la surface de contact par l’autre partie de la poutre.

�

�

T dS eij= ∫∫σ 2 avec [ ]σ σ σσ

=

0 0 0

0

0 022 23

32

.

Le tenseur de contrainte peut être décomposé pour mettre en évidence les contraintes normales (Traction-Compression) à la section droite et les contraintes tangentielles (Cisaillement )

[ ]σ σ σ σ σσ

= + =

+

n t

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

0 022 23

32


1) Contrainte normale et déformation

Contraintes normales

COMPRESSION

TRACTION

Soient deux sections droites de la poutre en flexion dont les traces AA’’ et BB’’ sont représentées sur la figure suivante. NN’ est la ligne neutre et A’B’ une ligne allongée.

A

A’

B

B’N N’

A’’ B’’

I

Section SSection S’

Section S’’

C

On trace la droite N’I parallèle à AA’’. Les triangles NCN’ et IN’B’ sont semblables, l’allongement longitudinal de la fibre située à une distance x3 est donc

ε 223= = = −IB

NN

N I

CN

x

R

_

'_

'

'_

_ avec R > 0.


position de la ligne neutre

dx2

dα

S’S’’

N

Le rayon de courbure au point N est donné par (voir figure ci-dessus)

dx Rd2 = α

D’où l’expression

εα

22 32

= −xd

dx

La loi de Hooke donne l’expression de la contrainte normale

σα

22 32

= −E xd

dx

Sur une section droite S, la contrainte normale est

� �σ σ αn dSe Ex

d

dxdS= = −∫∫∫∫ 22 2 3

2

2) Effort tranchant et moment de flexion Ecrivons les deux conditions d’équilibre du tronçon gauche de la poutre

Forces exté rieures momentsdeces forces G= =∑ ∑0 0et /

x2

x3

G

S


� �

�

� �

�

R F dSe GG R GA F GM dSei ij i i ij1 2 0 1 20 0+ + =→

∧ +→

∧ +→

∧ =∑ ∫∫ ∑ ∫∫σ σet

où les Ai sont les points d’application des n forces Fi et M un point de la section droite de

contact entre le tronçon considéré et l’autre partie de la poutre. a) Définition On appelle effort tranchant Ft la somme algébrique des projections sur le plan de section

des forces extérieures situées d’un même côté de la section.

F R F dSt ii n

= − = −≤∑ ∫∫1 32σ

On appelle moment de flexion ou moment fléchissant, la somme algébrique des moments, par rapport à l’axe neutre de la section, des forces extérieures situées d’un même côté de la section. Moment par rapport à un point G de la section

( )�

�

� �

M = −→

∧ =→

∧ +→

∧

∫∫ ∑GM dSe GG R GA Fij

S

iσ 2 0 1

�

�

M

x

x

x

dS x dS eS S

=

=

∫∫ ∫∫

3 22

1 32

1 22

3 22 1

σσσ

σ

Moment par rapport à l’axe neutre (moment fléchissant)

M e M x s dS

M Exda

dxdS

f

S

f

S

=

= −

∫∫

∫∫

�

�

1 3 22

32

2

. =

Or, sur une section, toutes les fibres ont la même courbure. Par conséquent, l’expression ci-dessus met en évidence le signe du moment de flexion.

M Eda

dxx dS E

da

dxIf

S

Gx= − = − <∫∫2

32

21

0

où I Gx1 est le moment quadratique ou moment d’inertie de la section par rapport à l’axe neutre.

b) Conséquences :


1) dépendance de la contrainte normale en moment de flexion

σ 223

3

=x

If

Gx

M

Compression

Traction

Répartition des contraintes sur une section 2) Equation d’une fibre déformée

On appelle déflexion la fonction ( )x f x3 2= déterminant la déformation d’une fibre

élastique de la poutre en flexion. Nous allons déterminer une équation différentielle permettant de calculer la déflexion.

On avait déterminé la courbure 1

2 1R

d

dx

M

EIf

Gx

= = −α. La formule générale donnant la

courbure est

1

1

23

22

3

2

23

2R

d x

dx

dx

dx

=

+

La déformation élastique de la fibre étant faible, on peut négliger le carré de la pente de la courbe devant 1

1 23

22R

d x

dx≈ .

Soit finalement

d x

dx

M

EIf

Gx

23

22

1

= − .

C’est l’équation qu’on a à résoudre. Pour déterminer la déflexion cette équation présente quelques difficultés, d’importance mineure, lorsqu’il y a multiplicité des conditions aux limites. Il faut remarquer que généralement le moment de flexion dépend de l’ordonnée x2 ,

et la multiplicité des conditions aux limites rend souvent l’intégration de cette équation différentielle laborieuse ! Il existe d’autres méthodes pour déterminer la déflexion :


- méthode par l’aire des moments - méthode des fonctions de singularités...

4- Relation entre Ft et M f

Soit une poutre reposant sur deux appuis et subissant une charge répartie ( )p x2 . Par

définition, la charge totale sur la longueur d de la poutre est donnée par

( )P p x dxd

= ∫ 2

0

2

Considérons le tronçon de poutre représenté sur la figure suivante, avec les efforts qu’il subit, en particulier des charges réparties.

Chargerépartie

�

Ft � �

F dFt t+

x2

�

M f� �

M dMf f+

G G’

dx2

x1

Exprimons le moment de flexion au point G’ du tronçon de longueur dx2

( )M dM M F dx p x dxdx

f f f t+ = − +2 2 22

2

Dans cette expression, le dernier terme est le produit de deux différentielles (second ordre), donc négligeable par rapport aux autres termes (premier ordre). On a donc

FdM

dxtf= −

2

Cette expression reste valable si la charge est localisée.


Pour établir une relation entre l’effort tranchant et la densité de charge répartie, on écrit le moment en G’

F dF F pdxt t t+ = − 2

On obtient alors

( )p xdF

dxt

22

= − par conséquent ( )p xd M

dxf

2

2

22

=

5) Flexion pure et flexion plane Par définition, une portion de poutre est sollicitée à la flexion pure, si l’effort tranchant est nul, les efforts extérieurs engendrent seulement un moment de flexion. Exemple

�

F

−�

F

La projection des forces extérieures sur un plan de section est nulle, et le moment de flexion résulte des deux forces opposées. Pour ce type de flexion, les contraintes tangentielles sont nulles, et les contraintes normales provoquent une rotation des sections droites autour d’un axe perpendiculaire à l’axe de la poutre. Par définition, une portion de poutre est en flexion plane, si les efforts extérieurs engendrent à la fois un effort tranchant et un moment de flexion.

Déformation

Portion de poutre

La présence de l’effort tranchant, ou effort de cisaillement, résulte de l’existence des contraintes tangentielles. Toutefois, ces contraintes restent faibles comparées aux contraintes normales. III- CONDITION DE RESISTANCE


Il faut tout d’abord chercher la contrainte normale maximale. Elle se produit sur les génératrices extrêmes de la poutre

σ 223

1

maxmax max

=M x

If

Gx

.

Sur une section cette contrainte est soit une traction soit une compression. La résistance pratique à choisir est la plus petite obtenue suite à l’essai de traction et à l’essai de compression. La condition de sécurité s’écrit

M x

If

Gxp

traction compressionmax max

min( , )3

1

≤ σ

Pour les diverses géométries des pièces, le rapport I

xGx1

3max

, appelé module de résistance à la

flexion, est tabulé. IV- EXPRESSION DES CONTRAINTES DE CISAILLEMENT Rappelons l’expression du tenseur de contraintes tangentielles

[ ]σ σσ

t =

0 0 0

0 0

0 023

32

La contrainte σ32 s’exerce selon la direction x3 sur la section perpendiculaire à x2 , tandis

que la contrainte σ23 s’exerce selon la direction x2 sur une surface perpendiculaire à x3 .

Soit l’élément AA’BB’ de poutre représenté sur la figure suivante

x2

x3

A B

A’ B’

dx2

En un point de la face de trace A’B’ s’exerce la contrainte σ23 . En un point de la face de

trace AA’ s’exerce la contrainte σ22 tandis que sur la face de trace BB’ s’exerce la contrainte

σ'22 .

L’équilibre de l’élément considéré obéit à l’équation


[ ] [ ] [ ]σ σ σnAA

nBB

tA B

dSe dSe dSe' ' ' '

'∫∫ ∫∫ ∫∫− + =� � �

2 2 3 0

qui peut s’écrire, projetée sur l’axe x2 , et en remplaçant les contraintes par leurs expressions

M

Ix dS

M dM

Ix dS ldx

f

GxAA

f f

GxBB3 3

3 3 23 0' '

∫∫ ∫∫−+

+ =σ

Soit

σ σ23 2 3 232

33 3

1ldx

dM

Ix dS l

I

dM

dxx dS

f

GxBB Gx

f

BB

= =∫∫ ∫∫' '

ou

BB

xx dS I'∫∫ =3 0 1

est le moment d’ordre un (statique) de la section droite par rapport à l’axe

neutre. − =dM

dxFf

t2

est l’effort tranchant. On a finalement

σ 230 1

3

= −F I

lIt x

Gx

.

La symétrie du tenseur de contraintes impose

σ σ32 23

0 1

3

= =F I

lI

t x

Gx

V- METHODE GRAPHIQUE DE MOHR Nous avons vu que la méthode de double intégration permet de trouver une expression analytique de la déflexion. Il existe des cas, où cette méthode devient lourde à manipuler. En pratique, on peut avoir recours à la méthode graphique, approximative, mais relativement rapide. 1- Statique graphique Réduction d’un système de forces coplanaires

Considérons trois forces coplanaires �

F1 ,�

F2 et �

F3 .


A

B

C

D

PM

a b

c

d

�

R

Le contour ABCD est appelé dynamique. Le point P arbitraire est appelé pôle et les rayons polaires sont PA, PB et PD. On trace des parallèles à partir d’un point M arbitraire, parallèles aux rayons polaires. Le contour Mabcd est appelé funiculaire.

La résultante �

Rdes trois forces est équivalente à la somme de deux forces ayant comme supports les côtés extrêmes du funiculaire. Détermination graphique du moment d’une force

On considère une force �

F quelconque, et on procède par tracer le dynamique et le funiculaire correspondant.


x2

x3

P

A

B

O

M2

M1

a

�

F

l

d

O’

x3'

M1'

M2'

Les triangles aM M1 2 et PAB sont semblables. D’où la relation

Fl M M d= 1 2 .

En choisissant l’échelle ( )e mm mL / pour les longueurs et l’échelle ( )e mm NF / , le

moment de �

F par rapport à l’axe Ox3 est

( )M M Md

e eN mx

L F3 1 2=

__

. .

Pour un point O’, on a

( )M M Md

e eN m

xL F

31 2'' '__

.=

2) Représentation de l’effort tranchant et du moment de flexion Soit une poutre reposant sur deux appuis et soumise à deux charges localisées. On trace le

dynamique et le funiculaire. Les actions �

R1 et �

R2 sont obtenues en fermant le dynamique.

En faisant un choix de l’origine de l’axe x2 , l’effort tranchant peut être tracé facilement, il

suffit de se rappeler de la définition.


�

F1

�

F2 �

R1 �

R2

P

A

B

C

Ft

�

R1

�

R2

x2

Mf

A1

A'1

A2

A'2

x2'

d


D’après la définition graphique du moment, le funiculaire représente le moment de flexion,

mais tracé selon l’axe x2'

Le moment de flexion maximal, est donné par

M A Ad

e efL F

max '=−−2 2 .

Rappelons que c’est le moment qui intervient dans la condition de résistance, donc pour le calcul des dimensions d’une poutre. b) Charge répartie

Considérons la répartition de charge ( )q x2 représentée sur la figure suivante. Si on divise la

poutre en bandes étroites de largeur ∆x2 , et on applique une charge localisée

( )Q q x xi = 2 2∆ , on ramène le problème à celui des charges localisées. La méthode de Mohr

s’applique alors comme précédemment.

x 2

( )q x 2

Rappelons d’abord l’équation différentielle du moment de flexion pour une charge répartie

( )q x2 :

( )d M

dxq xf

2

22 2=

2) Méthode graphique de Mohr Théorème: La déformée d’une poutre rectiligne de section droite uniforme est obtenue par la courbe

funiculaire de la charge fictive ( )q x M f'

2 = − , tracée pour une distance polaire d EIGx'=1.

Il suffit de comparer l’équation


d x

dx

M

EIf

Gx

23

22

1

= −

et l’équation

( )d M

dxq xf

2

22 2=

La méthode graphique de Mohr intègre graphiquement la seconde équation. Cette méthode

se donne la répartition de charge ( )q x2 et détermine le moment de flexion. Cette méthode

est donc capable de déterminer ( )x x3 2 en se donnant une charge fictive ( )q xM

EIf

Gx

' 2

1

= − .


POUTRES ISOSTATIQUES

Il n’est pas toujours possible de déterminer toutes les forces que subit une poutre en écrivant simplement les équations d’équilibre statique. Lorsque ces équations sont suffisantes pour déterminer toutes les réactions exercées sur la poutre, la poutre est dite statiquement déterminée ou isostatique. I- POUTRES SUR DEUX APPUIS DE NIVEAU ET SOUS CHARGE LOCALISEE On considère une poutre de poids négligeable supportant une charge localisée en un point noté A3 .

�

R1 �

R2

�

F

x2

d1 d2 d d d= +1 2

A1

A3

A2

x3

La première condition d’équilibre s’écrit

� � �

R R F1 2 0+ + =

Qui, par projection selon, x3 devient

R R F1 2 0+ − = .

En exprimant les moments par rapport à A1 la deuxième condition d’équilibre s’écrit

− + =d F dR1 2 0 .

D’où l’expression des réactions

Rd

dF R

d

dF1

22

1= =et

- Effort tranchant Entre A A1 3et on a

F Rd

dFt = =1

2 ,

et entre A3 et A2 on a


F R F Rd

dFt = − = − = −1 2

1

Ft

x2

A1

A3 A2

- Moment de flexion

Rappelons que FdM

dxt

f=2

.

Entre A A1 3et , on obtient

M R xd

dFxf = − = −1 2

22 ,

En A3 , on a

MFd d

df = − 1 2

et entre A3 et A2 on obtient

( )

( )

dM R F dx

M R x F x d Fdx

d

f d

x

f

= −

= − + − = −

∫ 1 2

1 2 2 1 12

1

2

1.

M f

x2 A1 A2 A3

- Déflexion Rappelons l’équation d’une fibre élastique


d x

dx

M

EIf

Gx

23

22

3

= −

Entre A A1 3et , cette équation a pour solution

EI xFd

d

xC x CGx3 3

2 23

1 2 26= + + .

En x x2 30 0= =, , par conséquent

EI xFd

d

xC xGx3 3

2 23

1 26= + .

Entre A A3 2et , on obtient

EI xFd

d

xFd

xC x CGx3 3

1 23

122

3 2 46 2= − + + + .

Il existe 3 conditions permettant la détermination des trois constantes; la continuité de x3

et de sa dérivée en x d2 1= et x pour x d3 20= = . Ce qui se traduit par

Fd d

dC

Fd

dFd C

Fd d

dC d

Fd

d

FdC d C

2 12

113

12

3

2 13

1 114

13

3 1 4

2 2

6 6 2

+ = − + +

+ = − + + +

06 2

13

1

2

3 4= − + + +Fd

d

dFd

dC d C .

D’où les 3 constantes

( ) ( )CFd

dd d C

Fd

dd d C

Fd1

2 222

31 2

12

413

6 62

6= − − = − + =, et .

On en déduit la flèche maximale laquelle doit se situer entre A A1 3et

( )dx

dxx

d dx

Fd d d

dEIGx

3

22

222

32

222

3

2

03 9 3

3

= ⇒ =−

=−

pour , max


A2 A3 A1 x2

x3 ( )x x2 3max

II- CHARGE REPARTIE SUR UNE POUTRE REPOSANT SUR DEUX APPUIS

�

R1 �

R2

x2

A1

A2

x3

d Pour simplifier on ne considère que l’action des deux appuis et le poids de la poutre uniformément réparti. Le poids par unité de longueur d’une poutre de longueur d est p.

P pdx pdd

= =∫0

Ecrivons les équations d’équilibre

R R pd

R d px dxd

1 2

1 2 20

+ =

= ∫

Par symétrie R Rpd

1 2 2= =

- Effort tranchant A une distance x2 , l’effort tranchant s’écrit

F R pdxpd

pxt

x

= − = −∫1 20

2

2

2


Ft

x2

d2

d

- Moment de flexion

Mpdx px

f = − +2 22

2 2

Le moment de flexion a donc une variation parabolique avec un minimum situé au milieu de la poutre.

d

2 d

M f

x2

- Flèche Entre A A1 2et l’équation de la déflexion est donc

EIdx

dx

pdx pxGx3

3

2

2 22

2 2= − .

Aux extrémités la déformation doit être nulle, et par symétrie elle doit être maximale au milieu de la poutre. Ces conditions permettent la détermination des constantes d’intégration et on obtient

xpx pdx pd x

EIGx3

24

23 3

2224

3

= −− +

La flèche maximale est en xd

2 2= et a pour expression


xpd

EIGx3

45384

3

max =

III- POUTRE D’EGALE RESISTANCE Pour des raisons physiques, économiques ou esthétiques, on est souvent amené à utiliser des poutres de section non uniforme. La contrainte normale maximale n’est donc pas nécessairement la même d’une section à l’autre. 1) Définition Une poutre à section variable est dite d’égale résistance lorsque quelque soit la section la contrainte normale maximale est constante et égale à la résistance pratique

M x

Icte

f

Gxp

max max3

3

= =σ

2) Modélisation d’une poutre sur deux appuis Considérons une poutre supportant son propre poids (ou une charge répartie). On vient de montrer que

Mpdx px

f = − +2 22

2 2

Pour une poutre de section rectangulaire, d’épaisseur e constante et de hauteur h, le moment quadratique par rapport à l’axe neutre est donné par

Ieh

Gx3

3

12=

et xh

3 2max = .

Pour que la poutre soit d’égale résistance, il faut que

eh px pdx

p

222

2

6 2=

− +σ

.

D’où l’équation décrivant la géométrie de la poutre

3 302

2 2 2p

ex h

pdx

ep pσ σ+ − =

C’est-à-dire


xd d

e

ph

p22

2 2

21

23

1−

+

=

σ.

qui est l’équation d’une ellipse.

h x2


SOLLICITATIONS COMPOSEES

Il est toujours bon de rappeler que l’objet de la Résistance des Matériaux s’inscrit dans le cadre des déformations élastiques. Ces déformations étant faibles et proportionnelles aux efforts, le principe de superposition, très utile, est donc applicable aux sollicitations composées. Principe de superposition : Les effets (contraintes et déformations) dus à un système d’efforts extérieurs agissant simultanément sur une poutre sont équivalents à la somme des effets dus à chaque effort agissant séparément sur la poutre. I- FLEXION DEVIEE Pour obtenir une flexion déviée, il suffit de considérer une poutre sur deux appuis, soumise à des charges dont le plan est dévié par rapport à la section longitudinale verticale. Les efforts exercés sur une section de la poutre ont un moment dirigé suivant une direction

quelconque du plan ( )x x1 3, .

x1

x2

x3

�

M f

−�

M f

On a donc

�

� �

M M e M ef f f= +1 1 3 3

Le problème peut être résolu simplement en appliquant le principe de superposition. La contrainte normale s’écrit

σ 223 1

1

1 3

3

= +x M

I

x M

If

G

f

G

.

L’axe neutre étant l’ensemble de points pour lesquels la contrainte normale est nulle, sa position est déterminée par

σ 223 1

1

1 3

3

0= + =x M

I

x M

If

G

f

G


D’où l’équation de l’axe neutre

x

x

M I

M If G

f G

3

1

3 1

1 3

=

x1

x3

G

M f

Axe neutre

fibres comprimées

fibres tendues

G

Remarquons que plus on s’éloigne de l’axe neutre, plus la contrainte croît en valeur absolue. Pour établir la condition de résistance, il est donc facile de maximiser la contrainte normale, en considérant les points les plus éloignés de l’axe neutre. II- COMBINAISON D’UNE COMPRESSION ET D’UNE FLEXION On considère une poutre encastrée à une extrémité et soumise, à l’autre extrémité, à travers

un câble à une force �

F . Au centre du tronçon non encastré, s’exerce une force localisée �

P .

x2

x3

A1�

P

�

F

L

A2

La force �

F a pour composantes ( )−F F2 3, , et l’effort d’encastrement a pour composantes

( )R R2 3, .

On étudie les effets des composantes horizontales et verticales des efforts appliqués.


- Composantes parallèles à l’axe de la poutre Les effets qui en résultent correspondent à une compression. La contrainte normale a pour expression

σ = =F

S

R

S2 2 ,

où S est la section de la poutre. Pour la section d’encastrement on a

σ

S

A1

- Composantes perpendiculaires à l’axe de la poutre Elles ont pour effets des contraintes et des déformations correspondant à une flexion simple, problème déjà traité en Poutres Hyperstatiques. Le moment de flexion s’écrit

( ) ( )M R x u x M u x F xL

u xL

f e= − + + −

−

2 2 2 2 2 2 22 2

.

Son diagramme est le suivant

M f

x2

M fmax

Une partie des fibres est en traction et l’autre partie est en compression.


A1

traction

compression

Superposons maintenant les deux effets, compression et flexion. Les contraintes de même nature (compression-compression) s’ajoutent. Les indices 1 et 2 font référence respectivement aux efforts longitudinal et transversal. La contrainte normale de compression est donc

σ σ σc = +1 2 .

Les contraintes de natures différentes se retranchent

σ σ σt = −2 1.

traction

compression d1

d2

A1

La position de la ligne neutre sur la section contenant le point A1 peut être déterminée

facilement, en constatant que

σσ

t

c

d

d

d d d

max

max=

+ =

1

2

1 2

Les contraintes sont à déterminer en fonction des efforts extérieurs. III- FLAMBEMENT D’UNE POUTRE Lorsqu’une pièce longue rectiligne subit une charge F croissant lentement, On observe les faits suivants. Pour des valeurs petites de F, la pièce subit d’abord une simple compression

et reste rectiligne. A une valeur critique Fc de la charge, la pièce fléchit brusquement. Ce

phénomène est appelé flambement ou flambage. En fait, ce phénomène existe toujours dans les pièces longues même lorsque F est petit. Origine du flambement :


- l’inhomogénéité de la matière de la pièce - l’axe de la pièce qui n’est jamais rectiligne - la charge n’est jamais rigoureusement selon l’axe de la pièce

�

F

f

x1

x3

1- Elancement

On rappelle que le moment quadratique d’une section par rapport à son axe x1 , passant

par son centre de gravité est

I r dSG

S

12= ∫∫

Le rayon de giration ρ est tel que I SG12= ρ . ρ est minimal lorsque le moment

quadratique l’est aussi. On appelle élancement d’une pièce le rapport

λρ

= L

min

,

où L est appelé longueur libre de flambage. Cette longueur résulte de la dépendance du phénomène de flambement du type de liaisons aux extrémités de la pièce.


�

F

poutre articulée aux 2 extrémités et guidée L=l

�

F

poutre articulée, encastrée et guidéeL=0.7 l

poutre encastrée etlibre à une extrémité

L=2l

poutre encastrée aux 2 extrémitésL=2l

Dans l’étude du flambement, la méthode établie par Euler s’applique pour des élancements supérieurs à 100. Dans la pratique, une méthode plus générale, due à M. Dutheil est utilisée, et c’est celle-ci qui sera exposée. 2- Méthode de Dutheil Sous l’action d’une compression, Dans la section droite, correspondant à la flèche maximale, la contrainte normale peut être considérée comme une superposition d’une compression et d’une flexion. La contrainte de compression s’écrit

σ c

F

S= .

La contrainte normale maximale de flexion


σ ff

G

M x

I=

max max3

2

σ fG

Ffx

I= 3

2

max

.

La superposition des deux effets conduit au résultat suivant

σ maxmax

= +F

SFf

x

I G

3

2

,

que l’on peut écrire comme

σ σmaxmax

= +

c

G

Sfx

I1 3

2

Cette relation suppose la connaissance de la flèche. Pour les aciers doux, Dutheil a proposé l’expression empirique

( )fI

x FG c E

E E c

=−

2

3

0 3

1 3max

.

..

σ σσ σ

avec

- FE : charge critique d’Euler, c’est la charge au delà de laquelle, l’état de la poutre

flambé devient instable (rupture...).

- σ EEF

S= : contrainte critique d’Euler.

Contrainte limite d’affaissement On appelle contrainte limite d’affaissement, la contrainte limite de la compression simple

σ σs c sG

Sfx

I= +

1 3

2

max

Critère de ruine

La rupture se produit, généralement, légèrement au dessus de la contrainte limite élastique. Pratiquement, le critère de ruine est défini par

σ σc sG

leSfx

I1 3

2

+

=

max

En utilisant l’expression de la flèche correspondant à la limite d’affaissement, on obtient l’équation


( )σ σ σ σ σ σs E le s le E2 13 0− + + =. ,

dont la plus petite racine correspond à la contrainte limite d’affaissement. Le flambement de la poutre devient instable lorsque

σ σc s= .

On introduit un coefficient de sécurité s et la condition de sécurité s’écrit

s c sσ σ≤

s est de l’ordre de 2 en construction mécanique. IV- FLEXION ET TORSION COMBINEES

On considère 2 roues dentées O1 et O2 , de rayons R1 et R2 , montées sur un arbre de

transmission reposant sur deux paliers A et B. L’arbre tourne à vitesse constante avec la

puissance transmise à la roue O1 par une autre roue non représentée sur la figure. La roue

O2 transmet une partie de cette puissance (pertes) à une roue qui n’est pas représentée non

plus.

x2

x3

R1 R2

�

F1

�

F2x1

a b c

Naturellement, seul l’effort moteur tangentiel, la force �

F1 appliquée au point P1 , est connu.

Les forces inconnues sont :

- �

F2 : effort résistant tangentiel, appliqué au point P2 .

- �

RA : réaction du palier A, de direction x3 . ( )�

R XA A= 0 0 3, , .

- �

RB : réaction du palier B, de direction x3 . ( )�

R XB B= 0 0 3, , .

Le système [ ]roue arbre+ a pour équations d’équilibre (régime permanent)


� � � �

F F R RA B1 2 0+ + + = (1)

AP F AP F AB RB1 1 2 2 1 0→

∧ +→

∧ +→

∧ =� � �

.(2)

Selon x2 , l’équation (2) implique

FR

RF2

1

21= ,

tandis que selon x1 , on obtient

( )X

aF a b cR

RF

a bB3

11

21

=+ + +

+.

Et finalement

( )( )X

R b R c F

a b RA32 1 1

2

=−+

.

Toutes les forces étant déterminées, regardons maintenant leurs effets. Les forces exercées

sur l’arbre sont dans le plan ( )x x2 3, , l’arbre est en flexion.

x2

x3

�

F1

�

F2

a b c

�

RA �

RB

L’effort tranchant et le moment de flexion s’écrivent en utilisant la fonction unité de Heaviside

( ) ( ) ( )F R u x F u x a R u x a bt A B= − − + − −2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )M R x u x F x a u x a R x a b u x a bf A B= − + − − − − − − −2 2 1 2 2 2 2 .


M f

x2

a b c

A

B

Par ailleurs, les moments F R1 1 et F R2 2 donnent naissance à une torsion, de moment

M F R F Rt = =1 1 2 2.

M t

x2

a b c

A B

F R1 1

La déformation globale résulte, donc, de la flexion et de la torsion. La flèche peut être déterminée à partir de l’équation

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]d x

dx EIR x u x F x a u x a R x a b u x a b

GxA B

23

22 2 2 1 2 2 2 2

1

1

= − − + − − − − − − − ,

et l’angle unitaire de torsion est

αµ π µ

= =/

R F

I

R F

R1 1

0

1 14

2 , R : rayon de l’arbre.

En pratique, pour dimensionner un arbre en torsion et flexion combinées, on considère l’arbre en flexion dont le moment, dit idéal, peut être calculé dans la théorie de l’élasticité. Il est égal à

M M M Mfi f f t= −

+ +1

1

2

1

22 2

λ λ,

avec λσ

σ= p

cisaillement

ptraction

.


On obtient

- pour les aciers λ =

1

2, la formule de Coulomb

- pour les matériaux moulés, sauf les fontes, λ =

4

5, la formule de Saint-Venant

- pour les fontes ( )λ = 1 , la formule de Rankine.

La dimension transversale est obtenue en réalisant la condition

σ σmax = ≤M I

Rfi Gx

ptraction1 .

---------------------------------------------------------------------


REFERENCES [1] J. P LARRALDE. Résistance des Matériaux I et II. Masson 1990. [2] Y. BAMBERGER. Mécanique de l’Ingénieur. Hermann 1981. [3] WILLIAM et NASH. Résistance des Matériaux I et II. Schaum 1992. [4] G. BUHLOT et P. THUILLIER. Résistance des Matériaux. Masson 1986. [5] J. SALENCON. Mécanique des Milieux continus. Ellipses 1988. [6] M. KERGUIGNAS et G. CAIGNAERT. Résistance des Matériaux. Dunod 1977. [7] K.J. BATHE. Finite Element Procedures. Prentice Hall 1996.

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