Chap. 01 NOMBRES REELS

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Chap. 01 NOMBRES REELS

Introduction

En Sciences, les aspects qualitatifs (on décrit) et quantitatifs (on mesure) sont complémentaires. Si le descriptif permet

d’avoir une vue d’ensemble d’un phénomène et d’en comprendre les grandes lignes, l’aspect quantitatif devient

nécessaire dès qu’on désire faire des prédictions précises.

Pour mesurer, on a besoin de nombres.

Les plus élémentaires sont les entiers naturels qui permettent de compter, de dénombrer et on en a une perception

intuitive dès le plus jeune âge. Il s’agit pourtant là du premier pas dans l’abstraction mathématique car le nombre 10 par

exemple, représente aussi bien 10 euros, 10 oranges, 10 km, ou 10 points sur une copie ! Réunir deux groupes d'objets

conduit à l'addition des entiers naturels.

L'opération inverse consiste à ôter des objets et conduit à attribuer un signe aux entiers.

Lorsqu’on regroupe des objets par paquets pour faciliter leur comptage, on introduit un codage des nombres. On compte

les paquets plutôt que les objets eux-mêmes (paquets de 10 dans le système décimal). Dès lors qu’un nombre représente

une mesure, par exemple des km, on a très vite besoin de différencier deux mesures ou d’augmenter la précision de la

mesure. Cela passe par un changement de l’unité de mesure. De là naissent naturellement les nombres décimaux et les

fractions.

Pourtant, le cadre de travail courant en sciences, est l’ensemble des nombres réels. La droite réelle vous est familière ?

Vous croyez bien connaître cet ensemble de nombres ? Détrompez vous ! La construction de l’ensemble des réels est

tout sauf simple et cet ensemble, non seulement est de nature très différente de ceux qui précèdent, mais recèle aussi des

paradoxes parfois déroutants. Si les entiers permettent de décrire les phénomènes dits discrets, les réels permettent eux

de décrire les phénomènes dits continus et ces derniers s’étudient en général de façon plus efficace grâce à l’analyse.

Il est donc nécessaire de connaître un peu mieux cet ensemble des réels sur lequel s’appuie la construction rigoureuse de

l’analyse. C’est le but de ce chapitre. On étudie (ou on rappelle) ensuite quelques techniques de base sur les réels.

§1 Nombres entiers – Nombres rationnels

1.1 Les ensembles de base

1.1.1 Définition

On note,

� ensemble des entiers naturels 0, 1, 2, 3, …

� ensemble des entiers relatifs … − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3 …

� ensemble des nombres rationnels de la forme p/q avec p dans � et q dans �*

� ensemble des nombres décimaux de la forme p/10k avec p dans � et k dans �

On a les inclusions strictes suivantes � ⊂ � ⊂ � ⊂ � .

1.1.2 Opérations

� est muni de deux opérations : l’addition notée + et la multiplication notée × (mais souvent omise). La multiplication

est distributive sur l’addition : k(m + n) = km + kn (on peut faire l’addition avant ou après la multiplication par k).

0 et 1 jouent des rôles particuliers : 0 + n = n , n × 1 = n.

Les parenthèses sont superflues si on fait plusieurs additions de suite : (m + n) + p = m + (n + p) = m + n + p sans risque

d’ambiguïté. Même chose pour plusieurs multiplications successives.

On peut comparer deux entiers : m < n ssi n − m > 0 dans �.

Les deux opérations ainsi que la relation < s’étendent à � puis à � , les mêmes propriétés que celles énoncées dans �

restant vraies dans � et �.


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1.1.3 Règles de priorité

Dans l’ordre de priorité : puissance, division, multiplication, addition. On doit rajouter des parenthèses si on souhaite

déroger à ces règles. Inutile donc de surcharger de parenthèses lorsque les règles de priorité évitent toute ambiguïté !

1.1.4 Exemples

2×3 + 4/5 = 6 + 4/5 = 34/5 , 2/3×4 + 5 = 8/3 + 5 = 23/3

2/(3×4) + 5 = 1/6 + 5 = 31/6 , 2×(3 + 4/5) = 38/5 , 2×3/4×5 = 15/2 ,

24/2 = 16/2 = 8 tandis que 2

(4/2) = 4, etc …

1.1.5 Ensembles de nombres et résolutions d’équations

Faire des prédictions se ramène souvent à résoudre des équations. Des ensembles de nombres de plus en plus gros

permettent de résoudre des classes d’équations de plus en plus vastes.

L’équation x + 4 = 0 n'a pas de solution dans � mais elle en a une dans �; dans �, 2x = 5 n'a pas de solution, mais il y

en a une dans �; � est malgré tout insuffisant pour résoudre 3x = 1 mais il y a une solution dans �.

Bien que les nombres rationnels et même décimaux permettent de préciser la position d’un objet sur une droite avec une

précision arbitraire, une équation aussi simple que x2 = 2 n’a pourtant pas de solution dans � bien qu’on ait une

réalisation concrète de ce nombre, à savoir l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle de côté 1. En inventant un nom

pour une solution de cette équation, en l’occurrence 2, on construit un ensemble de nombres plus gros. On peut donc

imaginer ainsi des ensembles de nombres de plus en plus gros.


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1.2 Divisibilité dans �

1.2.1 Définition (relation de divisibilité)

On dit que a divise b (ou que b est un multiple de a ou encore que b est divisible par a) s'il existe c ∈ � tel que b = a c .

Notation a | b

Par conséquent pour tout a dans � , a divise 0 (prendre c = 0), en particulier 0 divise 0.

L’ensemble des entiers multiples de d se note d�

On a donc d� = {0, d, 2d, 3d, … } ∪ {− d, − 2d, − 3d, … }.

1.2.2 Propriété

i) Si a divise b et b divise a, alors a = ± b.

ii) Si a divise b et si b divise c alors a divise c (on dit que la relation | est transitive)

Preuve

Si a | b et b | a : on peut écrire b = ca et a = c' b d'où a(1 − cc' ) = 0. Si a = 0, alors b = a = 0 et on a bien a = ± b. Sinon

cc' = 1 ce qui implique que c, c' ∈ {− 1, 1} et donc a = ± b .

Si a | b et b | c , on peut écrire b = ka et c = k' b d'où c = kk' a et donc a | c (transitivité).

1.2.3 Exemple

Liste des diviseurs positifs de 40 = 23×5 : {1 , 5 , 2 , 4 , 8 , 10 , 20 , 40}.

Combien de diviseurs positifs possède un entier de la forme 2p×5q ?

1.2.4 (l’encart suivant est hors programme)

Définition Soient x, y non nuls dans �*

i) Le plus grand diviseur commun à x et y est le plus grand entier parmi les entiers qui divisent à la fois x

et y . C'est un entier naturel noté pgcd(x,y) ("gcd" en anglais).

On a pgcd(x,y) | x et pgcd(x,y) | y ; pgcd(x,y) = x ssi x divise y.

ii) Deux entiers naturels x et y tels que pgcd (x,y) = 1 sont dits premiers entre eux.

Toute fraction non nulle peut s'écrire de façon unique sous la forme p/q avec pgcd(p, q) = 1 et q > 0.

C'est l'écriture irréductible de la fraction.

iii) Le plus petit multiple commun à x et y est le plus petit entier parmi les entiers strictement positifs qui

sont multiples à la fois de x et de y. C'est un entier naturel noté ppcm(x,y) ("lcm" en anglais).

On a ppcm(x,y) ≥ x et ppcm(x,y) ≥ y ; ppcm(x,y) = x ssi y divise x.

1) pgcd (− 48, 36, 40) = 4 (la définition du pgcd et du ppcm se généralise à plusieurs entiers non nuls).

2) ppcm (5, 12, 21) = ppcm(ppcm(5,12), 21) = ppcm(60,21) = 60×7 = 420

Propriété

Soient x et y non nuls dans �, alors

i) Si un entier a est multiple à la fois de x et de y, alors a est multiple de ppcm(x,y).

ii) Si un entier b divise à la fois x et y, alors il divise pgcd(x,y).

Preuve

i ) On note µ = ppcm(x,y) ; on effectue la division euclidienne de a par µ : a = µq + r avec 0 ≤ r < µ.

Alors, a − µq est un entier positif qui est un multiple commun à x et y. Mais 0 ≤ a − µq < µ et d'après la définition du

ppcm, la seule possibilité est a − µq = 0. Donc a est bien multiple de ppcm(x,y).

ii) On note d = pgcd(x,y) ; on pose µ = ppcm(b, d) ≥ d. Par ailleurs, x est à la fois multiple de b et de d, donc d'après (i),

x est multiple de µ. De même, y est multiple de µ. Ainsi, µ est un diviseur positif commun à x et y et donc µ ≤ d.

Finalement, µ = d, ce qui implique que b divise d.


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1.2.5 Théorème (Division euclidienne dans �)

Soient (a,b) ∈ � × �*, alors il existe un unique couple (q,r) ∈ � 2 tel que

a = b q + r

0 ≤ r < b

On dit que q est le quotient et r le reste dans la division euclidienne de a par b.

Preuve (en classe)

1.2.6 Propriété

Tout entier naturel n > 0 s’écrit sous la forme n = d0 + d1×10 + d2×102 + … + dm×10

m avec m convenable et chaque di

dans l’ensemble {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Une telle écriture est unique et s’appelle écriture décimale (ou en base 10) de n.

On a un résultat similaire en remplaçant 10 par n’importe quel entier ≥ 2.

En base 2, on parle ainsi d’écriture binaire et en base 16, on parle d’écriture hexadécimale.

Preuve

voir § 3.7 où la preuve est donnée comme illustration de récurrence forte.

1.2.7 Définition (nombres premiers)

Un entier p ≥ 2 est premier si les seuls diviseurs strictement positifs de p sont 1 et p.

‹ 1 n'est donc pas considéré comme premier.

1.2.8 Remarque L'ensemble des entiers premiers est infini.

1.2.9 Exemple Donner la liste des 15 premiers nombres premiers.

1.2.10 Théorème (décomposition en facteurs premiers) (admis)

Tout entier naturel n ≥ 2 possède une décomposition en facteurs premiers de la forme

n = ∏i = 1

r

pi α

i les pi étant premiers distincts deux à deux et αi ∈ �*

Une telle décomposition est unique à l'ordre près des facteurs.

1.2.11 Remarque

Autant la décomposition en base 10 est facile à calculer, autant trouver la factorisation en facteurs premiers est un

problème difficile dès que n devient grand. Même savoir dire si un entier n donné est premier ou non, est un problème

délicat.


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1.2.12 Crible d’Eratosthène : il s’agit d’identifier par éliminations successives, tous les entiers premiers entre 2 et disons 100

On liste tous les entiers de 2 à 100 puis on commence à parcourir la liste en biffant d’abord tous les multiples de 2 sauf

2, puis tous les multiples de 3 sauf 3. Ensuite on repère le premier entier à la fois strictement supérieur à 3 et non encore

biffé, en l’occurrence 5 qui est donc premier, puis on élimine tous les multiples de 5 sauf 5 et ainsi de suite.

A la fin, les entiers non biffés sont exactement les nombres premiers de 2 à 100.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1.3 Carences de �

On liste quelques propriétés qui ne sont pas vérifiées dans � ce qui empêche de faire correctement de l’analyse avec les

seuls nombres rationnels.

1.3.1 Relation d’ordre sur �.

L’ensemble � est muni de la relation ≤ qui permet de (toujours) comparer deux rationnels quelconques :

si x = p/q , y = p'/q' avec q, q' dans �* et p, p' dans � alors x ≤ y ssi on a pq' ≤ p'q dans �.

On note x < y si x ≤ y et x ≠ y (resp. x > y si y ≤ x et x ≠ y).

Les rationnels sont ainsi partagés entre rationnels positifs �+ et rationnels négatifs �− et on a x ≤ y ssi x − y ≤ 0 .

Deux rationnels x et y sont égaux ssi x ≤ y et y ≤ x.

L’écriture x ≤ y ≤ z ne soulève aucune ambiguïté car x ≤ y et y ≤ z entraîne bien x ≤ z.

De plus les opérations + et × sont compatibles avec la relation d'ordre sur � :

∀ x , y ∈ � , ∀ a ∈ � , x ≤ y �

x + a ≤ y + a

ax ≤ ay si a ≥ 0

ax ≥ ay si a ≤ 0

1.3.2 Définition (Majorants et minorants dans �)

Soit A une partie non vide de �.

i) On dit qu’un rationnel M est un majorant de A si M est plus grand que tous les éléments de A :

∀ x ∈ A , x ≤ M

On dit alors que A est majorée par M.

Un élément M de A qui est lui-même un majorant de A, est forcément unique. Si un tel M existe,

alors on dit que M est le plus grand élément de A ou maximum de A et on le note max A.

ii) Un rationnel m est un minorant de A si m est plus petit que tous les éléments de A :

∀ x ∈ A , m ≤ x

On dit alors que A est minorée par M.

Un élément M de A qui est lui-même un minorant de A, est forcément unique. Si un tel m existe,

alors on dit que m est le plus petit élément de A ou minimum de A et on le note min A.


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1.3.3 Exemples

1) A = � ne possède pas de majorant dans � et possède un plus petit élément 0.

2) 12�*∩ 30�* possède un plus petit élément qui est 60.

3) Etant donné un rationnel x, l’ensemble des entiers qui sont inférieurs ou égaux à x possède un plus grand élément. Si

x = a/b avec b > 0 et si on effectue la division euclidienne de a par b : a = qb + r, on a x = q + r/b et q ≤ x < q + 1. Le

plus grand entier ≤ x est donc l’entier q.

4) A = {1 + 1/2n , n ∈ �} a un plus grand élément 2 (et tous les rationnels ≥ 2 sont des majorants de A)

∀ n ∈ �, 1 ≤ 1 + 1/2n et donc 1 est un minorant de A. Il n’y a pas de minorant plus grand. Comme 1 n’est pas dans

A, A ne possède pas de plus petit élément.

Si on appelle A’ l’ensemble des minorants de A, alors A’ possède un plus grand élément qui est 1.

1.3.4 Il existe des rationnels qui n'ont pas de racine carrée. On a déjà mentionné le cas de 2. L’ensemble � n'est donc pas un

bon candidat pour modéliser la “droite“ car l'ensemble de nombres utilisé doit permettre la mesure de toutes les

longueurs.

1.3.5 Il existe des parties non vides A de � majorées mais telles que l’ensemble des majorants de A ne possède pas de plus

petit élément.

La partie A = {x ∈ � / x2 ≤ 2} est majorée par 3/2 mais l’ensemble des majorants ne possède pas de plus petit élément.

Preuve (facultative)

Soit A’ l’ensemble des majorants de A. On prouve qu’un plus petit élément éventuel S de A’ devrait vérifier S2 = 2 :

Pour tout n ≥ 1, le rationnel S + 1/n n'est pas dans A car les éléments de A sont inférieurs ou égaux à S d’où

(S + 1/n)2 > 2.

D'autre part, le rationnel S − 1/n n'est pas un majorant de A (le plus petit des majorants étant S) et il existe donc un x

dans A, tel que x > S − 1/n, d'où l'encadrement dans � :

(S − 1/n)2 < x

2 ≤ 2 < (S + 1/n)

2.

En faisant tendre n vers + ∞, on voit que S2 = 2 ce qui est impossible dans �.

1.3.6 Il existe des suites croissantes majorées dans � qui ne convergent pas dans � :

Par exemple un = 1 + 1/1! + 1/2! + … + 1/n! (où n! = 1×2× ... ×n) est clairement croissante et majorée par 1 + ∑k = 0

n

1/2k

< 3 ; on peut prouver qu'elle ne peut pas avoir de limite dans �.

1.3.7 La propriété des “segments emboîtés“ n'est pas vérifiée.

On peut trouver une suite d'intervalles [an , bn] ∩ � , qui sont emboîtés les uns dans les autres, avec bn − an t 0 mais

n'ayant aucun nombre rationnel en commun.

On peut reprendre l'exemple 1.3.6 et poser vn = un + 1/(n n!). On vérifie que (vn) est strictement décroissante. Les

intervalles [un ,vn] sont donc emboîtés et on prouve qu'il n'ont aucun rationnel en commun car un éventuel candidat

serait une limite dans � pour la suite (un).


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§2 Les nombres réels

2.1 Ensemble des réels

2.1.1 Théorème (admis)

Il existe un ensemble noté � ayant les propriétés suivantes :

i) � contient �.

ii) � est muni de deux opérations + et × provenant de celles de �, × étant toujours distributive par rapport à + ; les

rationnels 0 et 1 vérifiant pour tout réel x, les relations x + 0 = x et 1×x = x.

Tout réel x possède un opposé pour l'addition, noté − x : x + (− x) = 0 ; 0x = 0 pour tout réel x.

et tout réel non nul possède un inverse pour × noté 1/x : x × (1/x) = 1. La règle du produit nul est donc valable

dans �.

L’ordre des termes dans une somme ou l’ordre des facteurs dans un produit, n’ont pas d’importance.

iii) La relation ≤ a encore un sens dans � : on peut toujours comparer deux réels.

De plus, la relation ≤ est toujours compatible avec + et × et jouit des mêmes propriétés que dans � (cf 1.3.1).

On peut du coup partager les réels en deux catégories :

- l’ensemble des réels positifs, noté �+ : �+ = {x ∈ �, x ≥ 0}

- l’ensemble des réels négatifs �− : �− = {x ∈ �, x ≤ 0}

Les réels étant ainsi totalement ordonnés, on a coutume de visualiser l’ensemble des réels sous forme d’une

droite et on parle alors de la droite réelle ou droite numérique.

Jusque là, rien de nouveau par rapport à � mais on a en plus,

iv) � vérifie la « propriété de la borne supérieure ».

On explique ci-dessous ce que cela signifie.

2.1.2 Définition (borne supérieure et inférieure)

Les notions de majorant, minorant, partie majorée ou minorée, les notions de plus petit ou plus grand élément d’une

partie, ont encore cours dans l’ensemble � puisqu’on dispose encore de la relation ≤ qui permet de comparer les réels.

i) Soit A une partie majorée non vide de �. Si l’ensemble des majorants de A possède un plus petit élément M

(forcément unique rappelons le), alors on dit que le réel M est la borne supérieure de A. On le note sup A.

ii) De même, si A est une partie minorée non vide de � et si l’ensemble des minorants de A possède un plus

grand élément m, alors on dit que le réel m est la borne inférieure de A. On le note inf A.

Lorsque la borne supérieure (resp. la borne inférieure) est un maximum (resp. un minimum), c.a.d lorsqu’elle

est dans A, on dit qu’elle est atteinte.

La propriété de la borne supérieure dans 2.1.1(iv) stipule que toute partie majorée non vide dans � possède une

borne supérieure dans � et que toute partie minorée non vide possède une borne inférieure dans �.

2.1.3 Traduction de la propriété de la borne sup (à comprendre et savoir réécrire)

La propriété de la borne sup. pour une partie majorée A de � se traduit par

M borne sup. de A � ∀ x ∈ A, x ≤ M (M majorant de A)

∀ ε > 0 (ε réel) , ∃ xε ∈ A, xε > M − ε (il y a des éléments de A aussi proches qu'on veut de M−)


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De façon similaire l'existence d'une borne inférieure pour une partie minorée A de � se traduit par

m borne inf. de A � ∀ x ∈ A , m ≤ x (m minorant de A)

∀ ε > 0 (ε réel) , ∃ xε ∈ A, xε < m + ε (il y a des éléments de A aussi proches qu'on veut de m+)

En effet, dire que M est le plus petit des majorants signifie que pour tout réel M' tel que M' < M, M' n'est pas un

majorant de A, c'est à dire qu'il existe un élément de A strictement supérieur à M' ; M' parcourt les réels < M

lorsque ε = M − M' parcourt les réels > 0.

2.1.4 Exemples

1) L’ensemble � n’est pas majoré dans � (ni minoré) : sinon il possèderait une borne supérieure M.

Il devrait alors y avoir un entier n compris entre M − 1/2 et M . Mais n + 1 serait entier et > M , d’où une contradiction.

2) Déduire de (1) que A = { 1

n / n ∈ �

*} admet 0 comme borne inférieure dans �.

3) Déterminer la borne supérieure de I = {x ∈ �, 1 ≤ x < 2}.

4) Prouver que la borne supérieure de A = { x

x + 1 , x ∈ �+ } est 1.

On présente deux exemples d’utilisation de la propriété de la borne supérieure permettant des constructions dans �.

2.1.5 Propriété et définition (partie entière)

Soit x un réel. Le plus grand entier inférieur ou égal à x est bien défini et s’appelle partie entière de x.

Cet entier se note x . On a donc par définition

x ∈ �

x ≤ x < x + 1 , x − 1 < x ≤ x

x = x + r , r ∈ [0,1[ (r s’appelle la partie fractionnaire de x)

Preuve

On vient de voir en 2.1.4(1) que � n’était pas majoré, donc x n’est pas majorant de �. Il existe donc un

entier N strictement supérieur à x. Du coup, il en est de même de tous les entiers ≥ N. De même, � ne

peut-être minoré par x, il existe donc un entier m ≤ x. Considérons l’ensemble

E = { k ∈ � / m ≤ k ≤ x}

D’après ce qui précède, E est majoré par N et est donc un sous-ensemble fini de �. En tant qu’ensemble

fini, il possède un plus grand élément n0. On a donc n0 ≤ x et n0 + 1 > x. Cet entier n0 convient et est par

construction le plus grand entier inférieur ou égal à x.

2.1.6 Exercice

Calculer 5 , − 3 , 2.6 , 0.14 , − 1.3

Pour tout réel x, on a x + 1 = x + 1 et plus généralement, pour tout entier p, on a x + p = x + p .

La fonction partie entière x # x est croissante sur � et « constante par morceaux » ; dessiner la courbe de cette

fonction.


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2.1.7 Propriété et définition (racine n-ième)

Pour a dans �+ et n dans �*, il existe un unique b dans �+ tel que bn = a.

Le réel b s’appelle racine n-ième de a et se note an

.

Preuve (idée)

Si a >1, prendre b = sup A où A = {y ∈ � / yn < a} qui est majoré par a et est non vide (1 est dans A).

Si 0 < a < 1, ∃! b ∈ �+*

tel que bn = 1/a; d'où (1/b)n = a.

2.1.8 La propriété précédente donne donc un sens au réel 2 : réel positif solution de l’équation x2= 2. On verra aussi plus

tard que toute suite réelle croissante et majorée converge dans � alors que ce n’est pas forcément le cas dans �.

Mais donner sens à tous ces nombres a un prix : l’ensemble � est considérablement plus gros que �, tellement plus gros

qu’on ne peut pas dénombrer les réels, c’est à dire qu’on ne peut trouver aucune façon de les numéroter alors que c’est

le cas pour les rationnels. Le dessin ci-dessous esquisse une telle numérotation. Cela conduit aussi à des paradoxes

comme le paradoxe de Banach-Tarski.

2.2 Intervalles de �

2.2.1 Définition (segments de �)

Soient a et b deux réels avec a ≤ b. Le segment d’extrémités a et b, noté [a,b] est l’ensemble des

réels x tels que a ≤ x ≤ b.

2.2.2 Définition (intervalles de �)

On dit qu’une partie I de � est un intervalle de �, si on a l'implication

a et b dans I

a ≤ b � [a,b] ⊂ I

2.2.3 Définition (parties bornées de �)

On dit qu’une partie A de � est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

∃ m ∈ � , ∃ M ∈ � , ∀ x ∈ A , m ≤ x ≤ M


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2.2.4 Propriété (classification des intervalles bornés de �)

Soit I un intervalle borné de �. On note a = inf I , b = sup I.

On se trouve dans l’un des 4 cas suivants :

a ∈ I b ∈ I I = [a,b] , a = b possible segment ou intervalle fermé

a ∈ I b ∉ I I = [a, b[ = {x ∈ � / a ≤ x < b } intervalle semi-fermé, semi-ouvert

a ∉ I b ∈ I I = ]a, b] = {x ∈ � / a < x ≤ b } intervalle semi-ouvert, semi fermé

a ∉ I b ∉ I I = ]a, b[ = {x ∈ � / a < x < b } intervalle ouvert

Preuve

a est un minorant de I et b un majorant de I, donc I est inclus dans [a,b].

Si a et b sont dans I, par définition d’un intervalle, on a [a,b] ⊂ I. Dans ce cas, on a bien I = [a,b].

Supposons que a soit dans I mais que b ne soit pas dans I. Par définition d’une borne supérieure, pour tout réel c tel que

a ≤ c < b, il existe x dans I avec c < x ≤ b. Alors [a,x] et donc [a,c] sont inclus dans I. Donc [a, b[⊂ I ⊂ [a, b] et b ∉ I.

C’est que I = [a,b[.

On procède de même pour les deux derniers cas.

2.2.5 Propriété (classification des intervalles non bornés de �)

Soit I un intervalle non borné de �.

On se trouve dans l’un des 3 cas suivants :

I majoré , b = sup I I non minoré I = ]− ∞ , b] = {x ∈ � / x ≤ b }

ou I = ]− ∞ , b[ = {x ∈ � / x < b }

intervalle illimité à gauche, fermé

resp. ouvert) à droite

I non majoré I minoré , a = inf I I = [a, + ∞ [ = {x ∈ � / a ≤ x }

ou I = ]a, + ∞ [ = {x ∈ � / a < x }

intervalle illimité à droite, fermé

resp. ouvert) à gauche

I non majoré I non minoré I = � (‹ éviter ]− ∞ , + ∞[ !)

Preuve

Par exemple, si I majoré, non minoré. Soit b = sup I. On a I ⊂ ]− ∞ , b] . Soit a < b, alors I contient un réel y ∈ ]a,b].

D’autre part, a n’est pas un minorant de I. Il existe donc un réel x dans I avec x < a. Par définition d’un intervalle, on a

[x,y] ⊂ I et donc a ∈ I. Donc I contient ]− ∞ , b[. On a donc, soit I = ]− ∞ , b[ si b n’est pas dans I et ]− ∞ , b] si b est

dans I.

2.2.6 Cas particuliers

L’intervalle [0, + ∞[ se note aussi �+

L’intervalle ]0, + ∞[ se note aussi �+*

L’intervalle ]− ∞ , 0] se note aussi �−

L’intervalle ]− ∞ , 0[ se note aussi �−*

‹ Le sous ensemble �* de � n’est pas un intervalle de � mais une réunion de deux intervalles.

Un intervalle de la forme [− a,a] avec a > 0 est dit centré en 0.

2.2.7 Droite numérique achevée

Si I est un intervalle, I −

désigne l'intervalle fermé de mêmes extrémités.


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Bien que − ∞ et + ∞ ne soient que des symboles et ne sont donc pas des réels, on adjoint parfois ces deux symboles

pour construire un nouvel ensemble noté � −

= � ∪ {− ∞ , + ∞}. On peut prolonger partiellement les opérations + et −

aux symboles − ∞ et + ∞ :

Par exemple, (+ ∞) + (+ ∞) = + ∞ , (+ ∞) × (− ∞) = − ∞, etc … par contre (+ ∞) − (+ ∞) n'est pas défini.

L'utilisation de � −

simplifie l'écriture de certains énoncés (limites, … ).

2.2.8 On utilise fréquemment les ensembles de la forme {ka, k ∈ �} où a est un réel donné. Cet ensemble sera noté a�.

Typiquement, on rencontre π�, 2π�, …

On note aussi a + A = {x + a, x ∈ A}. Typiquement, π/2 + π�.

2.3 Valeur absolue et distance

2.3.1 Définition

La valeur absolue d’un réel x, notée |x| est le réel

x si x ≥ 0

− x si x < 0 = max(x, − x) ≥ 0

On définit ainsi la fonction valeur absolue sur �. C’est une

fonction paire, affine par morceaux : elle est affine de pente 1

sur �+ et affine de pente − 1 sur �−.

2.3.2 Exercice

Justifier |x|2 = x

2 ; x

2 = |x| ; |xy| = |x| |y| (on peut prendre la

valeur absolue avant ou après le produit).

|x| ≤ a � x ∈ [− a, a] .

2.3.3 Propriété (double inégalité triangulaire)

Pour tous réels x et y, on a la double inégalité (dite triangulaire)

| |x| − |y| | ≤ | x − y| ≤ | x | + | y |

Il y a égalité dans | x − y| ≤ | x | + | y | ssi 0 ∈ [x , y] (c.a.d si x et y de signes opposés)

Il y a égalité dans | |x| − |y| | ≤ | x − y| ssi x et y sont du même signe.

Preuve (en classe)


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2.3.4 Définition

La distance entre deux réels x et y, notée dist(x,y) est le réel positif |x − y|.

Elle vérifie les propriétés suivantes : d(x,y) = d(y,x) , d(x,y) = 0 ssi x = y et dist(x,z) ≤ dist(x,y) + dist(y,z).

2.3.5 Exercice

Prouver les formules : max (x , y) = 1

2 ( x + y + | x − y| ) et min (x , y) =

1

2 ( x + y − | x − y| )

2.3.6 Exercice

Prouver l'implication |a − b| < r � |b| > |a| − r


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2.4 Encadrements et inéquations dans �

2.4.1 Définition

Le centre du segment [a,b] est le réel a + b

2

Le rayon de [a,b] est le réel b − a

2 = dist(centre, a) = dist(centre, b)

2.4.2 Propriété

x ∈ [a,b] � dist(x, centre) ≤ rayon � |x − centre| ≤ rayon .

Réciproquement, |x − c| ≤ r � x ∈ [c − r , c + r].

preuve

Soit c le centre et r le rayon de [a,b]. On a |x − c| ≤ r � − r ≤ x − c ≤ r � − r + c ≤ x ≤ c + r � a ≤ x ≤ b

2.4.3 Exercice

x ∈ [−1,8] � ...

|2x − 5| < 4 � x ∈ ...

2.4.4 Propriété (caractérisation des parties bornées)

Dans �, une partie A est bornée ssi elle est majorée en valeur absolue, c.a.d si

∃ M ≥ 0 , ∀ x ∈ A , |x| ≤ M

‹ Attention à l’ordre des quantificateurs ! que doit-on penser de l’énoncé : ∀ x ∈ A , ∃ M ≥ 0 , |x| ≤ M ?

Il s’agit d’une propriété importante en pratique car il est plus facile de travailler avec des valeurs absolues et de majorer

à l’aide de l’inégalité triangulaire plutôt que de gérer des encadrements.

Preuve (en classe)

On examine quelques techniques standards de résolution d’inéquations dans �.

2.4.5 Signe d’un quotient ou d’un produit

On réalise un tableau de signe.

Exemple : résoudre sur � l’inéquation (x − 1)(x + 2)/(1 − 2x) < 0

x − ∞ − 2 1/2 1 + ∞

signe de x − 1

signe de x + 2

signe de 1 − 2x

signe du quotient


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2.4.6 Suppression des valeurs absolues

Si on veut enlever des valeurs absolues, il faut scinder l’étude sur plusieurs intervalles.

Exemple : on veut résoudre 3|x − 1| + 2|x + 2| − 3|2x − 1| = 2

x − ∞ − 2 1/2 1 + ∞

|x − 1| =

|x + 2| =

|2x − 1| =

3|x − 1| + 2|x + 2| −

3|2x − 1| − 2 =

solution

réciproque

‹ Ne pas oublier d’examiner la réciproque dans ce genre de questions. On n’est pas toujours en mesure de procéder par

équivalences. On procède alors par implications successives : si x est solution, alors forcément x est dans tel ou tel

partie de � et réciproquement parmi ces solutions potentielles ne retenir finalement que celles qui sont effectivement

solution. Ainsi dans l’exemple précédent, les solutions 6 et 8/7 sont à rejeter.


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2.5 Approximations dans �

2.5.1 La notation ’0,n÷ désigne l’ensemble des entiers naturels successifs de 0 à n inclus.

2.5.2 Considérons le réel 12/7 = 1,714285

Comme 12/7 est une fraction, on peut trouver la suite des décimales par divisions euclidiennes par 7 comme on le fait à

l'école primaire :

12 = 7d0 + 7y1 : d0 est le quotient dans la division euclidienne de 12 par 7 et 7y1 en est le reste.

10×(7y1) = 7d1 + 7y2 : d1 est le quotient dans la division euclidienne de 10×(7y1) par 7 et 7y2 en est le reste.

10×(7y2) = 7d2 + 7y3 : d2 est le quotient dans la division euclidienne de 10×(7y2) par 7 et 7y3 en est le reste.

...

ce qui donne

12/7 = 1 + 5/7 (5/7 = y1 et 7y1 = 5)

12/7 = 1 + 1/10(7 + 1/7) = 1 + 7/10 + 1/70 (10×(7y1) = 50 = 7×7 + 1 , 7y2 = 1)

12/7 = 1 + 7/10 + 1/102(1 + 3/7) = 1 + 7/10 + 1/10

2 + 3/700 (10×(7y2) = 10 = 1×7 + 3 , 7y3 = 3)

12/7 = 1 + 7/10 + 1/102 + 1/10

3(4 + 2/7) = 1 + 7/10 + 1/10

2 + 3/10

3 + 2/7000 (10×(7y3) = 30 = 4×7 + 2 , 7y4 = 2)

...

Comme les restes dans la division euclidienne par 7 sont dans ’0,6÷, on finit par retrouver un reste déjà rencontré et la

suite des décimales dk devient périodique. Ici on retrouve le motif 714285.

Mais la méthode des divisions successives ne marche plus pour un nombre non rationnel comme 2.

On peut procéder autrement pour obtenir les décimales successives dk :

• x1 = 12/7 , d0 = x1 = 1 , y1 = frac(x1) = 0,714285 ... On a donc x1 = d0 + y1

• x2 = 10y1 = 7,14285 ... , d1 = x2 = 10(12/7 − 1) = 7 , y2 = frac(x2) = 0,14285 ...

On a donc 10x1 = 10d0 + d1 + y2 et 10d0 + d1 = 10x1

• x3 = 10y2 = 1,4285 ... , d2 = x3 = 1 , y3 = frac(x3) = 0,4285 ...

On a donc 102x1 = 10

2d0 + 10d1 + d2 + y3 et 10

2d0 + 10d1 + d2 = 10

2x1

...

A chaque étape, on réalise la même séquence de calculs : on prend le dernier y calculé, on le multiplie par 10 puis on en

prend la partie entière. La partie fractionnaire donnant la nouvelle valeur de y. Algorithmiquement, cela donne

1 INITIALISER x = 12/7, d = x , y = frac(x)

2 REPETER

3 | x = 10*y

4 | d = x

5 | y = frac(x)

6 | noter d

Le procédé ne s'arrête jamais et les d successifs obtenus sont les décimales de 12/7 : dk est la valeur de d lue à la k-ième

itération.


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10k(12/7 − 1) donne ainsi la suite des k premières décimales, chaque nouveau calcul fournissant une décimale

supplémentaire. Plus précisément, si on note d0 = 12/7 et dk = k-ième décimale de 12/7 (k ≥ 1), on a

10k + 1

(12/7 − 1) = 10 10k(12/7 − 1) + dk + 1

Il se trouve qu'on peut réaliser les mêmes séquences de calculs pour n'importe quel réel x > 0. Si x est un décimal, la

séquence des dk finira par ne tomber que sur des 0; si x est un rationnel, on finira par tomber sur une même séquence qui

se répète à l'infini.

Par exemple pour 2.

10( 2 − 1) = 4 x1 = 2 d0 = x1 = 1 y1 = frac(x1) = 0,4142 ...

102 ( 2 − 1) = 41 x2 = 10y1 d1 = x2 = 4 y2 = frac(x2) = 0,1421 ...

103 ( 2 − 1) = 414 x3 = 10y2 d2 = x3 = 1 y3 = frac(x3) = 0,4213 ...

... ... ... ...

2.5.3 Propriété (Développement décimal approché d'un réel)

Soit x un réel positif et n ≥ 0; le réel x − x ∈ [0,1[ est appelé la partie fractionnaire de x.

Considérons l’écriture décimale de l’entier 10n( x − x ) = d1 d2 … dn avec d1 , d2 , … ∈ ’0,9÷ (cf 1.2.6).

On a alors,

x + ∑k = 1

n

dk

10k ≤ x < x + ∑

k = 1

n

dk

10k +

1

10n

Le nombre décimal x + ∑k = 1

n

dk

10k s’appelle approximation décimale par défaut de x à 10− n près.

Le nombre décimal x + ∑k = 1

n

dk

10k +

1

10n s’appelle approximation décimale par excès de x à 10− n près.

Les di dans ’0,9÷ ne dépendent pas de n et sont entièrement caractérisés par l’encadrement ci-dessus.

Si à partir d'un certain rang, tous les chiffres dk sont égaux, leur valeur commune est distincte de 9.

La suite d1 , d2 , … est appelée suite des décimales du réel x

et en notant d0 l’écriture décimale de l’entier x , on a

x = d0 , d1 d2 … dn ...

Cette écriture donne le développement décimal de x.

Preuve (facultatif)

10n( x − x ) = d1 d2 … dn = ∑k = 1

n

dk 10n − k , dn étant donc le chiffre des unités.

Par définition de la partie entière, on a donc

∑k = 1

n

dk 10n − k ≤ 10n( x − x ) < 1 + ∑k = 1

n

dk 10n − k

et en divisant tout par 10n, il vient

∑k = 1

n

dk

10k ≤ x − x < ∑

k = 1

n

dk

10k +

1

10n

On a donc

0 ≤ x − x − ∑k = 1

n

dk

10k <

1

10n

et donc x + ∑k = 1

n

dk

10k est une approximation par défaut de x, avec une précision < 10− n.

Lorsque n varie, montrons que les di restent les mêmes.

On a 10n x = 10n x + rn avec 0 ≤ rn < 1 et 10n x = 10n x + ∑k = 1

n

dk 10n − k , d'où


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10n + 1 x = 10( 10n x + rn) = 10n + 1 x + ∑k = 1

n

dk 10n + 1 − k + 10rn

10n + 1 (x − x ) = ∑k = 1

n

dk 10n + 1 − k + 10rn

10n + 1 (x − x ) = ∑k = 1

n

dk 10n + 1 − k + 10rn

Les n + 1 premiers chiffres de l'écriture décimale de l'entier 10n + 1 x en démarrant au chiffre des unités sont

donc, dans l'ordre : dn + 1 = 10rn ∈ ’0,9÷ puis dn , dn − 1 , … , d1 . Les dk ne dépendent donc pas de n et comme ils

se calculent nécessairement à partir des entiers 10n x , la suite des dk est bien unique.

Remarquons que si x est décimal, alors tous les dk sont nuls à partir d'un certain rang puisque 10n x est entier pour n

assez grand. On va prouver que si tous les dk étaient égaux à 9 pour k ≥ N, alors x serait décimal, d'où une

contradiction.

∑k = N

n

dk

10k = ∑

k = N

n

9

10k

n → + ∞→

9

10N

1

1 − 1/10 =

1

10N − 1

En passant à la limite sur n dans l'encadrement,

∑k = N

n

dk

10k ≤ x − x − ∑

k = 1

N − 1

dk

10k < ∑

k = N

n

dk

10k +

1

10n

on trouve que x − x − ∑k = 1

N − 1

dk

10k =

1

10N − 1

de sorte que x est décimal, ce qui est la contradiction cherchée.

2.5.4 Exemples

π = 3,1415926535897932384626433832795028841972 à 10− 40 près par excès.

2 = 1,41421356237309504880 à 10− 20 près par défaut.

2.5.5 Définition

Les nombres réels qui ne sont pas dans � sont appelés des nombres irrationnels .

2.5.6 Exemples

2 , 1 + 5

2 (nombre d’Or) sont des nombres irrationnels.

e = limn 1 + 1/1! + 1/2! + … + 1/n! sont des nombres irrationnels ; π est un nombre irrationnel.

2.5.7 Bien que les irrationnels soient considérablement plus nombreux que les nombres rationnels, il est en général difficile

de prouver qu’un réel donné est irrationnel.

2.5.8 Propriété

Tout intervalle ouvert ]a,b[ (a, b réels distincts) contient un rationnel.

Preuve

Soit ε := b − a > 0; il existe n dans �*, tel que n > 1/ε (cf 2.1.4(1)) et donc 1/n < ε. On a alors a + 1/n < b.

On considère la suite des rationnels de la forme k/n. L’intervalle ]a, b[ étant de longueur > 1/n, il contient au

moins l’un de ces rationnels et on considère le plus petit d’entre eux. Il s’écrit donc m/n (on vérifie que m =

na + 1) et on a

a < m/n ≤ a + 1/n < a + (b − a) = b

Le rationnel m/n est donc dans ]a, b[.


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2.5.9 Corollaire

Tout réel a est limite d'une suite de rationnels et même de décimaux (on dit que � est dense dans �).

Preuve

On pose bn = a + 1/n ; ∃ rn ∈ �, a < rn < a + 1/n .

∀ ε > 0, ∃ n, 1/n < ε et donc | rn − a | < 1/n < ε ; on a donc a = lim rn (voir plus tard la définition des limites).

L’approximation d’un réel a par des décimaux (2.5.3) permet d’écrire a comme limite de nombres décimaux.


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§3 Illustration de quelques techniques de démonstration

Il s’agit juste d’examiner quelques exemples type pour décrire des méthodes de démonstration qu’on utilisera dans ce

cours.

On commence par rappeler quelques symboles et quelques règle portant sur les quantificateurs.

3.1 Quantificateurs

3.1.1 Quantificateurs

∀ : quantificateur universel “quel que soit“ ; utilisé sous la forme ∀ x ∈ A, … : quel que soit l'élément x considéré

dans l'ensemble A, on a …

∃ : quantificateur existentiel “il existe“ ; utilisé sous la forme ∃ x ∈ A, … : il existe un élément x de A tel que …

3.1.2 Cinq règles à connaître concernant les quantificateurs :

i) On peut intervertir deux symboles ∃ successifs

ii) On peut intervertir deux symboles ∀ successifs

iii) ‹ On ne peut pas intervertir un symbole ∃ avec un symbole ∀

Õ désigne le symbole de négation

iv) Õ (∃ x, P(x)) � ∀ x, Õ P(x) démontrer une impossibilité; en général, c'est difficile, car il faut prouver Õ P(x) pour

tout x …

v) Õ (∀ x, P(x)) � ∃ x, Õ P(x) trouver un contre-exemple à une assertion : un seul suffit

3.1.3 Exemples

1) ∃ m ∈ � , ∃ n ∈ �, 2m + 3n = 1 : vrai car m = 2 et n = − 1 conviennent.

2) ∀ x ∈ �, ∀ y ∈ � , x2 + y

2 ≥ 0 : vrai, résulte des propriétés de �.

3) Õ (∃ x ∈ � , x2 < 0) est vrai car pour tout réel x, on a x

2 ≥ 0.

4) Pour une partie A de �, la propriété « ∃ M ∈ �, ∀ x ∈ A, x ≤ M », signifie que A est majorée. Ecrire sa négation.

5) Comparer ∀ x ∈ �, ∃ y ∈ �, x < y avec ∃ y ∈ �, ∀ x ∈ �, x < y

6) Õ (∀ n ∈ �, 22n

+ 1 premier) car le cas n = 5 fournit un contre-exemple : 225

+ 1 n'est pas premier.

7) Õ (∃ r ∈ � et r2 = 2 ) car pour tout rationnel r, on a r

2 ≠ 2.

‹ Attention aux symboles et aux termes qui ont une signification très précise en mathématiques; par exemple, on verra

dans le courant de l'année que le symbole ~ a une signification bien précise, que le terme “négligeable“ possède une

définition mathématique bien précise, etc ...

3.2 Preuve par double inégalité

Pour prouver que deux réels A et B sont égaux, on montre successivement que A ≤ B puis B ≤ A.

On peut aussi parfois passer par un réel intermédiaire : A = C , B = C � A = B.

3.2.1 Exemples

Pour tous réels a et b, on a max(|a − b| , |a + b|) = |a| + |b| :

• d'après l'inégalité triangulaire, on a |a − b| ≤ |a| + |b| et |a + b| ≤ |a| + |b| d'où max(|a − b| , |a + b|) ≤ |a| + |b|.

• si a et b sont de même signe, on a vu que |a + b| = |a| + |b| et donc max(|a − b| , |a + b|) ≥ |a| + |b|.

si a et b sont de signe contraire, on a vu que |a − b| = |a| + |b| et donc max(|a − b| , |a + b|) ≥ |a| + |b|.

dans les deux cas, on a max(|a − b| , |a + b|) ≥ |a| + |b| ce qui fournit l'inégalité dans l'autre sens.


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3.3 Preuve par double inclusion

C’est l’analogue de la preuve par double inégalité mais pour les ensembles, la comparaison repose cette fois sur

l’inclusion :

Si A ⊂ B et B ⊂ A , alors A = B.

3.3.1 Exemples

1) 12� + 20� = 4�

⊂ Un entier dans 12� + 20� est de la forme 12k + 20m = 4×(3k + 5m) ∈ 4�, donc 12� + 20� ⊂ 4�

⊃ 4k = 2k×12 − k×20 ∈ 12� + 20�, donc 4� ⊂ 12� + 20�

2) Les parties de � de la forme d� sont les seules parties non vides de � stables par somme et par opposé.

⊂ Soit E une partie de � stable par somme et par opposé. OPS E non réduit à 0 ({0} = 0�). Comme E est stable

par opposé, E contient des entiers > 0. On note d le plus petit élément > 0 de E.

Comme d est dans E , d� est inclus dans E à cause de la stabilité par somme et par opposé.

⊃ Réciproquement, montrons que E ⊂ d�. Soit x dans E ; x s’écrit ad + b avec 0 ≤ b < d. On a b = x − ad.

Comme ad et x sont dans E, b aussi (à cause de la stabilité par somme et par opposé). D’après la définition de d, on a

forcément b = 0 et donc x = ad ∈ d�. On a donc montré par double inclusion que E = d�.

3.4 Preuve par implication réciproque

3.4.1 Définition

� : implication P � Q signifie que la propriété P entraîne la propriété Q ; équation1 � équation2 signifie que toute

solution de équation1 est solution de équation2.

� : équivalence. A utiliser avec prudence !!! P � Q signifie que les propositions P et Q sont équivalentes, c.a.d que

P � Q et Q � P . Mais pour des équations, équation1 � équation2 signifie que les deux équations ont

exactement les mêmes ensembles solution.

Que ce soit pour des propositions ou des équations, il est parfois souhaitable pour plus de rigueur et de clarté

de démontrer une équivalence en deux temps : d'abord P � Q puis la réciproque Q � P .

3.4.2 Exemples

1) Un rationnel est décimal ssi il peut s'écrire sous la forme p

5a 2

b avec p entier et a et b dans �.

� un nombre décimal est de la forme n

10k =

n

5k 2

k avec n entier. Dans ce cas, p = n et a = b = k conviennent.

� p

5a 2

b = p×5

max(a, b) − a ×2

max(a, b) − b

10max(a, b) de la forme

n

10k avec k = max(a, b) et n = p×5

max(a, b) − a ×2

max(a, b) − b ∈ �.

2) Un entier est un carré ssi tous les exposant sont pairs dans sa décomposition en facteurs premiers.

� Si un entier n est un carré, il est de la forme m2. Si la décomposition de m est de la forme

∏i = 1

r

pi α

i

alors celle de n est ∏i = 1

r

pi 2α

i et tous les exposants sont bien pairs.

� Réciproquement, si tous les exposants sont pairs, ils sont de la forme 2αi et n s’écrit ∏i = 1

r

pi 2α

i = ( ∏i = 1

r

pi α

i)2

et n est le carré de ∏i = 1

r

pi α

i .


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3.5 Preuve par récurrence simple

On considère une propriété P(n) dépendant d'un entier n ≥ 0. On suppose que la propriété P(n0) est vraie (initialisation).

Si on sait prouver pour n ≥ n0 , l'implication, (P(n) vraie) � (P(n+1) vraie) (hérédité), alors la propriété P(n) est vraie

pour tout entier n ≥ n0 .

3.5.1 Exemple

∀ n ∈ �, ∀ a ∈ �+, (1 + a)n ≥ 1 + na

Initialisation : pour n = 0, (1 + a)0 = 1 et 1 + 0a = 1. Dans ce cas, il y a égalité.

Hérédité : supposons que la propriété soit vraie pour un entier n et prouvons la pour l’entier n +1.

Soit a ≥ 0; on écrit (1 + a)n + 1 = (1 + a)n (1 + a) ≥ (1 + na)(1 + a)

(1 + na)(1 + a) = 1 + (n + 1) a + na2 ≥ 1 + (n + 1) a et donc (1 + a)n + 1 ≥ 1 + (n + 1)a

3.5.2 Sur le même modèle, prouver que pour q > 0 et n ∈ �, on a 1 + q + q2 + ... + q

n =

qn + 1

− 1

q − 1 (somme des termes d’une

suite géométrique).

3.5.3 Parfois la récurrence ne porte que sur un nombre fini de termes. On conclut que P(n) est vraie pour n0 ≤ n ≤ nmax

seulement.

Dans ce cas, on peut aussi prouver P(n) par récurrence descendante : l'initialisation consiste à prouver P(nmax) et

l'hérédité à prouver l'implication (P(n) vraie) � (P(n − 1) vraie). Cela revient à prouver la propriété Q(n) = P(nmax − n)

par récurrence simple finie sur n.

3.6 Preuve par récurrence double

On suppose que P(n0) et P(n0+ 1) sont vraies et qu'on a l'implication

(P(n) et P(n+1) vraies) � (P(n+2) vraie)

Alors la propriété P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0 .

3.6.1 Exemple

Soit (un) la suite définie par la relation de récurrence

u0 = 0, u1 = 1 , un + 2 = 2un + 1 − un

On considère la propriété P(n) : un = n et Q(n) la propriété : P(n) et P(n+1) sont vraies.

Ici, n0 = 0 et P(0) et P(1) sont satisfaites. Donc Q(0) est satisfaite.

Supposons que Q(n) soit satisfaite, c.a.d que P(n) et P(n+1) soient vraies. Alors, on a

un + 2 = 2un + 1 − un = 2(n + 1) − n = n + 2

Ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang n + 2 et que Q(n + 1) est vraie.

3.6.2 Exercice

Soit x un réel non nul tel que x + 1/x soit entier. Prouver que xn + 1/x

n est entier pour tout entier naturel n.


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3.7 Preuve par récurrence forte

On a parfois besoin d'un principe de récurrence plus fort pour l'hérédité :

(P(k) vraie pour n0 ≤ k ≤ n) � (P(n+1) vraie)

On parle alors de récurrence forte.

3.7.1 Exemple

preuve de 1.2.6 : tout entier naturel n > 0 s’écrit sous la forme n = d0 + d1×10 + d2×102 + … + dm×10

m avec m

convenable et chaque di dans l’ensemble {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, dm ≠ 0.

On effectue une récurrence forte sur n.

Initialisation : la propriété est vraie pour n = 1 avec m = 0 et d0 = 1.

hérédité : supposons la propriété vraie pour tous les entiers ≤ n − 1 et prouvons là alors pour l’entier n.

On effectue la division euclidienne de n par 10 : n = 10q + d0 avec 0 ≤ d0 < 10

On applique l’hypothèse de récurrence à l’entier q ce qui donne une décomposition de la forme

q = d1 + d2×101 + … + dm×10

m− 1

d’où n = 10(d1 + d2×101 + … + dm×10

m− 1) + d0 = d0 + d1×10 + d2×10

2 + … + dm×10

m

3.7.2 Attention, il faut être particulièrement soigneux :

On va montrer par récurrence sur n ≥ 2 que n points distincts quelconques du plan sont toujours alignés. C’est

évidemment vrai pour n = 2. Supposons le résultat vrai au rang n et donnons nous n+1 points distincts A1, A2, . . . ,An+1

dans le plan. Par hypothèse de récurrence les points A1, A2, . . . ,An sont sur une même droite, de même que les points A2,

. . . ,An+1.

Or ces deux droites sont égales car elles contiennent A2 et A3 qui sont distincts. Il en résulte que A1, A2, . . . ,An+1 sont

alignés, ce qui termine la récurrence. Qu’est-ce qui ne va pas ? !

3.8 Preuve par réduction du nombre de cas

Lorsqu'on cherche à prouver un énoncé en le décomposant en sous cas, l'examen exhaustif de tous les cas peut s'avérer

fastidieux et les arguments utilisés répétitifs. On essaie alors de traiter un cas et de s'y ramener dans les autres cas.

3.8.1 Exemple

On reprend la formule max(|a − b| , |a + b|) = |a| + |b| du § 3.2.1

• L'échange de a et b ne change pas la formule à démontrer (la formule est symétrique en a et b). On peut donc

supposer a ≤ b.

• Le changement de a en − a ne change pas la formule à démontrer car |(− a) − b| = |a + b| , |(− a) + b| = |a − b| et

|− a| = |a|.

• Vu la symétrie en a et b, la formule à démontrer ne change pas non plus quand on change b en − b.

• On peut donc supposer 0 ≤ a ≤ b. Dans ce cas, max(|a − b| , |a + b|) = max(b − a , a + b) = a + b et |a| + |b| = a

+ b; la formule est donc vraie dans ce cas.

Finalement, on a bien prouvé que la formule est vraie pour tous réels a et b sans avoir eu besoin de répéter les mêmes

sortes d'arguments dans tous les cas de figure.

3.9 Preuve par contraposée

Prouver que si une propriété P est vraie alors une propriété Q est vraie aussi, revient à prouver que si la conclusion Q

est fausse, alors l’hypothèse P est fausse.

3.9.1 Exemple

Si une somme de trois réels est ≥ 6, alors au moins l'un des trois est ≥ 2.

En effet, dans le cas contraire, les trois nombres seraient < 2 et la somme serait < 2*3 = 6.


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3.9.2 Exemple

Si 2n − 1 est un nombre premier alors n est lui-même un nombre premier.

Si n n’est pas premier, on peut écrire n = m1m2 avec m1 et m2 distincts de 1.

On a alors, 2n − 1 = 2m1 m2 − 1 = (2m1)m2 − 1 = (2m1 − 1)(1 + 2m1 + (2m1)2 + ... + (2m1)m2 − 1 ) (formule 3.5.2 avec q = 2m1)

Le facteur 2m1 − 1 est non trivial (ni égal à 1, ni égal à 2n − 1 lui même), donc 2n − 1 n’est pas premier.

3.9.3 Un autre exemple classique qui sera revu plus tard : une fonction continue qui ne s’annule pas sur un intervalle y garde

un signe constant.

3.10 Preuve par l’absurde

3.10.1 Pour prouver une proposition P, il suffit de prouver que sa négation ÕP est contradictoire, c.a.d qu’elle entraîne à la

fois une propriété C et sa négation ÕC. Dans ce cas ÕP est fausse et donc P est vraie.

3.10.2 Exemple

2 est irrationnel (proposition P)

Si 2 était rationnel (proposition ÕP), il s'écrirait sous la forme p/q avec p et q premiers entre eux (proposition C); à

partir de là, on prouve que p et q sont pairs, donc non premiers entre eux (proposition ÕC), d'où la contradiction. Cela

prouve donc la proposition P : 2 est irrationnel.

3.10.3 Exemple

On ne peut pas dénombrer les réels (proposition P) : supposons qu'on puisse numéroter tous les réels compris entre 0 et

1 (proposition ÕP) et considérons une telle numérotation, c.a.d une suite (un) à valeurs dans [0,1[ telle que chaque réel

entre 0 et 1 figure une et une seule fois dans la suite (proposition C).

On écrit le réel un sous forme décimale et on regarde sa n-ième décimale xn. On considère un entier xn' entre 0 et 8 et

distinct de xn et on construit alors le réel dont le développement décimal est 0, x1'x2' .... Par construction, ce réel ne peut

être dans la liste puisque pour tout numéro n, la n-ième décimale n'est pas la bonne. Ainsi on a exhibé un réel qui ne

figure pas dans la liste (proposition ÕC), d'où la contradiction. Cette preuve par l'absurde est appelée argument de la

diagonale de Cantor. On peut par contre dénombrer les rationnels comme on l’a vu en 2.1.8.

3.11 Preuve par analyse-synthèse

3.11.1 Il s'agit d'une démarche méthodologique pour prouver une propriété. Dans la phase d’analyse, on suppose la propriété

établie et on en tire des conséquences, ce qui permet notamment de mettre en évidence des éléments, des quantités

susceptibles de jouer un rôle dans la preuve de la propriété. Dans la phase de synthèse, on peut exploiter ces

informations pour prouver effectivement la propriété. On peut notamment utiliser cette méthode dans les propriétés

d’existence en cherchant d'abord à caractériser les éléments qui sont censés exister.

Lorsqu'on résout une équation par implication, on trouve les valeurs éventuellement solution (phase d'analyse). On

vérifie ensuite si ces valeurs conviennent (synthèse).

La démarche est similaire à celle qu'on a en géométrie lorsqu'on veut prouver une propriété relative à une configuration

(par exemple, les médianes du triangle sont concourantes). On trace la figure et on analyse la configuration pour en

dégager des égalités d'angles, de longueur, des droites concurrentes, des points alignés ... (le centre de gravité est situé

au 2/3 de chaque médiane dans notre exemple). Ce sont autant de pistes pour aboutir effectivement à une

démonstration de la propriété qu'on a en vue.

3.11.2 Exemple

Toute fonction de � dans � est somme d'une fonction constante et d'une fonction qui s'annule en 1 :

Analyse soit f : � t �; on suppose qu'on a pu écrire f = g + h avec g constante sur � et g qui s'annule en 1.

Alors forcément, f (1) = g(1) + h(1) = g(1). Du coup, g qui est censée être constante, est constante égale à f (1).

Synthèse soit g la fonction constante égale à f (1). On pose h = f − g. Par définition même, g est constante et f = g + h. Il

reste à vérifier que h(1) = 0. On a bien h(1) = f (1) − g(1) = 0 vu la définition de g.


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3.11.3 Exemple

Résoudre l'équation 4x + 1 = 1 − 2x

Analyse : x solution � 4x + 1 = (1 − 2x)2 = 1 − 4x + 4x

2 � 4x

2 + 8x = 0 � x = 0 ou x = 2

Synthèse : x = 0 est bien solution mais x = 2 ne convient pas.

3.11.4 Exemple

On se donne T > 0. Pour tout x réel, il existe k dans � tel que x − kT ∈ [0,T[.

Analyse : si un tel k existe, on a kT ≤ x < (k + 1)T puis k ≤ x/T < k + 1 et on reconnaît donc k = x/T.

Synthèse : on pose k = x/T; par définition, on a k ≤ x/T < k + 1 d'où kT ≤ x < (k + 1)T et donc x − kT ∈ [0,T[.

Chap. 01 NOMBRES REELS

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