Licence | MIMP | Semestre 1 Math 12A : Fondements...

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Licence — MIMP — Semestre 1 Math 12A : Fondements de l’Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/mimp/Math12.html Septembre 2013

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Licence — MIMP — Semestre 1

Math 12A : Fondements de l’Analyse 1

http ://math.univ-lille1.fr/∼mimp/Math12.html

Septembre 2013

Table des matieres

Chapitre I. Les nombres reels et les suites numeriques 11 Proprietes des reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Rappels sur les nombres reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Partie entiere d’un nombre reel . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Suites numeriques — limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1 Definitions de suites, de limite de suite . . . . . . . . . . . . 32.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Quelques exemples de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Theoremes de base sur la convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1 Suite croissante et majoree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Borne superieure - Borne inferieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.1 Maximum, Minimum – Majorant, Minorant . . . . . . . . . . 124.2 Borne superieure - Borne inferieure . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Chapitre II. Fonctions reelles - Limites et continuite 151 Generalites sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Limites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1 Definitions et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Prolongement par continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Image d’un intervalle par une fonction continue . . . . . . . . 223.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Chapitre III. Fonctions reelles - Derivees 251 Derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.1 Derivee en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3 Derivees d’ordre superieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Fonctions reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Derivees des fonctions reciproques . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Fonctions reciproques des fonctions usuelles . . . . . . . . . . 312.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Extrema locaux et theoreme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1 Points critiques et extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Theoreme de Rolle et regle de L’Hopital . . . . . . . . . . . . 333.3 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Theoreme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1 Theoreme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

On rappelle qu’en utilisant les cours et les exemples traites en cours, les etudiantsdevraient savoir faire les exercices en TD. Les enseignants pourront eventuellementdonner des indications, sans toutefois corriger integralement les exercices.

1

Chapitre I. Les nombres reels et les suites numeriques

1. Proprietes des reels

1.1. Rappels sur les nombres reels

Il existe des nombres (reels), qui ne sont pas rationnels. Par exemple un nombredont le carre est 2 ; le perimetre d’un cercle de rayon 1.

R represente l’ensemble des nombres reels ; intuitivement, on peut identifier R aune droite “sans trou”.

Exemple 1.1.

(i) Montrer que√

2 est un irrationnel.

(ii) Montrer que si a est un irrationnel,√a est aussi un irrationnel.

Exemple 1.2. Soient a et b deux rationnels positifs tels que√a ou

√b soit irra-

tionnel. Montrer que√a+√b est irrationnel.

Remarque 1.1. La construction mathematique de R n’est pas au programme decette unite.

On sait que

(i) L’ensemble des reels R est muni des operations usuelles d’addition et de mul-tiplication.

(ii) Il y a une relation d’ordre dans R.

Il est clair que (R,≤) est totalement ordonne, c’est-a-dire que : x ≤ x (reflexive) ;x ≤ y et y ≤ x =⇒ x = y (antisymetrique) ; x ≤ y, y ≤ z =⇒ x = y (transitive).

On a les proprietes suivantes : Soit x, y, z et t des reels.Si x ≤ y et z ≤ t, alors x+ z ≤ y + t.Si x ≤ y et z ≥ 0, alors xz ≤ yz et −xz ≥ −yz.

1.2. Partie entiere d’un nombre reel

Proposition 1.1. (admis)

(i) R est Archimedien, c’est-a-dire que ∀x ∈ R,∃n ∈ N; tel que n > x.

(ii) Soit x ∈ R, alors il existe un unique k ∈ Z tel que k ≤ x < k + 1.

Definition 1.1. L’unique entier k de la proposition precedente est appele la partieentiere de x, qu’on note E(x) ou [x]. E(x) est donc le plus grand entier ≤ x.

Pour tout x ∈ R, on a E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Exemple 1.3. Calculer E( 1x) pour x ≥ 1.

Pour x > 0, calculer E(−x) en fonction de E(x).

2 CHAPITRE I. LES NOMBRES REELS ET LES SUITES NUMERIQUES

1.3. Valeurs absolues

Soit x ∈ R, la Valeur absolue de x, qu’on note |x|, est

|x| ={x si x ≥ 0,−x si x < 0.

Proprietes. Soit x et y des reels. On a

(i) |x| ≥ 0 ; et |x| = 0 SSI x = 0.

(ii) |xy| = |x||y|.(iii) |x+ y| ≤ |x|+ |y| (inegalite triangulaire).

(iv) |x− y| ≥∣∣∣|x| − |y|∣∣∣.

Remarque 1.2. x et y etant des reels, on a

(a)√x2 = |x|.

(b) |xy | =|x||y| (si y 6= 0).

(c) |x − y| represente geometriquement, la distance entre deux points d’abscissesrespectifs x et y.

Definition 1.2. Soit I une partie non vide de R.– I est un intervalle si pour tout a, b ∈ I, avec a < b, [a, b] ⊂ I.– I est un intervalle ouvert si I est du type : ]a, b[ ou ]a,+∞[ ou ]−∞, a[ (a etb etant des reels avec a < b).

– Si I est un intervalle ouvert, alors pour tout x ∈ I, il existe un intervalle ouvertcentre en x contenu dans I.

Theoreme 1.1. (admis) Tout intervalle ouvert contient une infinite de rationnelset une infinite d’irrationnels. (Q est dense dans R.)

Rappelons quelques formules :ca+b = cacb et (ca)b = cab pour tout a, b ∈ R et c > 0 ;ln ab = b ln a, ln(ab) = ln a+ln b et ln a

b = ln a−ln b pour tout a > 0, b > 0.

1.4. Exercices

On rappelle qu’en utilisant les cours et les exemples traites en cours, les etudiantsdevraient savoir faire les exercices en TD. Les enseignants pourront eventuellementdonner des indications, sans toutefois corriger integralement les exercices.

Exercice I.1. Montrer que ln 3ln 2 est irrationnel.

2. SUITES NUMERIQUES — LIMITES DE SUITES 3

2. Suites numeriques — limites de suites

2.1. Definitions de suites, de limite de suite

On rappelle les definitions concernants les suites reelles.– Suite. Une suite reelle est une application u : N → R. La suite u est notee

(un)n≥0 ou simplement (un). un est appele le terme general de la suite.Il arrive que la suite ne soit definie qu’a partir d’un certain entier n0, on noteradans ce cas (un)n≥n0 ou (un).

– Suite majoree, minoree, bornee.– Une suite (un)n≥n0 est majoree si ∃M ∈ R, ∀n ≥ n0, un ≤M .– Une suite (un))n≥n0 est minoree si ∃m ∈ R, ∀n ≥ n0, un ≥ m.– Une suite (un)n≥n0 est bornee si elle est majoree et minoree c.a.d

∃m,M, ∀n ≥ n0, m ≤ un ≤M ;ou

∃M > 0, ∀n ≥ n0, |un| ≤M .– Suite monotone.

– Une suite (un)n≥n0 est croissante (resp. strictement croissante) si∀n ≥ n0, un+1 ≥ un (resp. un+1 > un).

– Une suite (un)n≥n0 est decroissante (resp. strictement decroissante) si∀n ≥ n0, un+1 ≤ un (resp. un+1 < un).

– Une suite (un)n≥n0 est monotone (resp. strictement monotone) si elle estcroissante ou decroissante (resp. strictement croissante ou strictement de-croissante).

Definition 2.1. (Definition de la limite limn→+∞

un = `)

On rappelle la definition de la limite finie d’une suite reelle vue en terminale :Soit (un) une suite reelle. Soit ` un reel. On dit que un tend vers ` (ou que la

suite (un) a pour limite `) quand n tend vers l’infini, si“tout intervalle ouvert contenant ` contient tous les un a partird’un certain rang.”

Or tout intervalle ouvert contenant ` contient un intervalle ouvert de la forme ]`−ε, `+ ε[, avec ε > 0, la definition est equivalente a la suivante :

“pour tout ε > 0, il existe un rang N ∈ N, tel que,pour tout n ≥ N, un ∈]`− ε, `+ ε[. ”

Ceci est la meme chose que“pour tout ε > 0, il existe un rang N ∈ N, tel que, pour tout n ≥ N, |un−l| < ε.”

On le note en abrege :lim

n→+∞un = ` si ∀ε > 0, ∃N ∈ N, tel que ∀n ≥ N, |un − l| < ε.

Si un tend vers `, on note limn→+∞

un = ` ou simplement limun = `.

Exemple 2.1. un = 1n2 . vn = 2n+2

2n+3 .

4 CHAPITRE I. LES NOMBRES REELS ET LES SUITES NUMERIQUES

De meme, on rappelle la limite infinie d’une suite reelle :On dit que un tend vers +∞ quand n tend vers l’infini et on note lim

n→+∞un = +∞

ou simplement limun = +∞ si tout intervalle ouvert de type ]A,+∞[ contient tousles un a partir d’un certain rang.

Ceci se traduit aussi en∀A > 0,∃N ∈ N, tel que ∀n ≥ N, un > A.

On dit que un tend vers −∞ quand n tend vers l’infini et on note limn→+∞

un = −∞si

∀A < 0,∃N ∈ N, tel que ∀n ≥ N, un < A.

Definition 2.2. (Convergence) On dit que (un) est une suite convergente si elleadmet une limite finie quand n tend vers l’infini. Dans le cas contraire (c.a.d si ellen’admet pas de limite ou elle admet une limite infinie), on dit qu’elle est divergente.

2.2. Proprietes

Proposition 2.1. Si (un) admet une limite quand n tend vers l’infini, alors cettelimite est unique.

Proposition 2.2. Toute suite convergente est bornee.

Proposition 2.3. On a les proprietes suivantes (l et l′ etant des reels).

(i) Si limn→+∞

un = l, alors limn→+∞

|un| = |l|.

(ii) Si limn→+∞

un = l et limn→+∞

vn = l′, alors

limn→+∞

(un + vn) = l + l′ et limn→+∞

unvn = ll′

(iii) Si limn→+∞

un = l et l 6= 0, et limn→+∞

vn = l′, alors limn→+∞

vnun

=l′

l

(iv) Si limn→+∞

un = +∞, alors limn→+∞

1

un= 0.

Formes indeterminees. +∞−∞ ; 0×∞ ; ∞∞ ; 00 ; 1∞ ; ∞0 ; 0∞.

Exemple 2.2.

(a) Calculer limn→∞

2n2 + n− 1

3n2 − 2n+ 5.

(b) Calculer limn→∞

(√n2 + n−

√n2 − n).

2. SUITES NUMERIQUES — LIMITES DE SUITES 5

Proposition 2.4.

(i) Soit (un) et (vn) deux suites telles que un ≤ vn, ∀n ≥ n0, (n0 etant un entier).

Si ces deux suites sont convergentes, alors limn→+∞

un ≤ limn→+∞

vn.

Si limn→+∞

un = +∞, alors limn→+∞

vn = +∞.

(ii) (Principe d’encadrement) Soit (un), (vn) et (wn) des suites telles que

un ≤ vn ≤ wn, ∀n ≥ n1 (n1 etant un entier).

Si les suites (un) et (wn) sont convergentes et limn→+∞

un = limn→+∞

wn = l, alors

(vn) est convergente et limn→+∞

vn = l.

Exemple 2.3.

(a) Calculer limn→∞

sinn

n.

(b) Calculer limn→∞

un ou un =n∑k=1

n

n2 + k.

2.3. Quelques exemples de suites

(1) Suite geometrique reelle. C’est une suite (un)n≥0 definie par un = an, oua ∈ R. On a :

– Si a = 1, un = 1 pour tout n ≥ 0.– Si |a| < 1, lim

n→∞un = 0.

– Si |a| > 1 ou a = −1, (un) diverge.

(2) Somme geometrique. C’est une suite (un)n≥0 definie par

un = 1 + a+ a2 + · · ·+ an,

(a ∈ R). On a :– Si a = 1, un = n, donc (un) diverge.

– Si a 6= 1, un = 1−an+1

1−a donc

• si |a| < 1, limn→∞

un =1

1− a;

• si |a| > 1 ou a = −1, (un) diverge.

Exemple 2.4. On considere la suite definie par : x0 = 1 et xn+1 =√

2xn + 1.

(a) Montrer que xn ≥ 1, pour tout n ≥ 0.

(b) Montrer que si (xn) converge, sa limite l verifie : l =√

2l + 1.

(c) Montrer qu’il existe k ∈]0, 1[ tel que |xn − l| ≤ k |xn−1 − l| ?En deduire que |xn − l| ≤ kn |x0 − l| et conclure.

(3) Suite comparable a une suite geometrique.

Theoreme 2.1. Soit (un) une suite telle que un 6= 0 a partir d’un certain rang.

On suppose que (|un+1

un|) converge et on pose lim

n→∞|un+1

un| = l (l ∈ R+).

– Si l < 1, alors (un) converge et limn→∞

un = 0.

6 CHAPITRE I. LES NOMBRES REELS ET LES SUITES NUMERIQUES

– Si l > 1, alors limn→∞

|un| = +∞, donc (un) diverge.

– Si l = 1, on ne peut rien dire.On a les memes resultats si on remplace dans l’enonce la suite (|un+1

un|) par la

suite ( n√|un|).

Exemple 2.5. un =1 · 2 · · ·n

1 · 4 · · · (3n− 2). vn = an

n3 .

(4) Approximation d’un reel par des rationnels.

Theoreme 2.2. Soit α un reel et (un) la suite definie par un = E(α10n)10n , alors

un ∈ Q et limn→∞ un = α.

2. SUITES NUMERIQUES — LIMITES DE SUITES 7

2.4. Exercices

On rappelle qu’en utilisant les cours et les exemples traites en cours, les etudiantsdevraient savoir faire les exercices en TD. Les enseignants pourront eventuellementdonner des indications, sans toutefois corriger integralement les exercices.

Exercice I.2. Calculer les limites des suites definies par :

un =√n2 + 4n+ 1− n ; un = (−1)n

n ; un = cosnn ; un = e−n sin( 1

n).

un =n∑k=1

1

k(k + 1)(remarquer que 1

k(k+1) = 1k −

1k+1) ;

un =n∑k=1

1√n2 + 2k

; un =n2∑k=1

1√n2 + 2k

(pour les deux dernieres suites, encadrer un).

Exercice I.3. Etudier la convergence des suites definies par :

un =an − bn

an + bn, a, b > 0 ;

un =1 + 2 + 22 + · · ·+ 2n

2n;

u0 ∈ R, un+1 = un + kn, k ∈ R (exprimer un en fonction de n).

Exercice I.4. En utilisant le critere de comparaison avec les suites geometriques,etudier la convergence des suites definies par :

un =1 · 2 · · ·n

1 · 4 · · · (3n− 2); un =

n!

nn.

(Indication : pour la seconde, on admettra que limn→∞(1+ 1n)n existe et on minorera

cette limite a l’aide de la formule du binome de Newton).

Exercice I.5. Trouver sous la forme pq des rationnels x dont les developements

decimaux periodiques sont donnes par :

0, 99_9 · · · ; 3, 14

_14 · · · ; 3, 149

_9 · · ·

Exercice I.6. Soit (un) une suite telle que limn→∞

nun = 0 (resp. limn→∞

nun = 1,

limn→∞ nun = +∞). Que peut-on dire de (un) ?

Exercice I.7. Soit la suite donnee par u0 = 0, un+1 = un+23un+4 .

1. Montrer que la suite est bien definie.

2. Determiner les solutions de l’equation x = x+23x+4 .

3. Montrer que pour l’une des solutions ` de l’equation ci-dessus, il existe k ∈]0, 1[tel que ∀n ≥ 0, |un+1 − `| ≤ k|un − `|.

4. Demontrer que |un − `| ≤ kn|u0 − `| pour tout n ≥ 0. Conclure.

Exercice I.8. En utilisant la meme methode, etudier la convergence des suitesdefinies par :

u0 = 3, un+1 = 4+3un3+2un

, n ≥ 0.

8 CHAPITRE I. LES NOMBRES REELS ET LES SUITES NUMERIQUES

3. Theoremes de base sur la convergence.

3.1. Suite croissante et majoree

On rappelle le resultat suivant deja vu en terminal. Ce resultat est admis pourdemontrer d’autres resultats fondamentaux d’Analyse.

Convergence de suite croissante majoree (admis) :

Toute suite reelle croissante et majoree est convergente.

(De meme, toute suite reelle decroissante et minoree est convergente.)

Exemple 3.1. Montrer que toute suite monotone admet une limite (finie ou infinie).

Exemple 3.2. Etudier la convergence des suites definies par :

u0 > 0, un+1 = 1+u2n2un

, n ≥ 0.

Exemple 3.3. Etudier la convergence de la suite (un) definie par un = (1 +1

n)n

pour n ≥ 1.

3.2. Suites adjacentes

Definition 3.1. Soit (un)n≥n0 et (vn)n≥n0 deux suites. On dit qu’elles sont adja-centes si

(i) (un) est croissante et (vn) est decroissante.

(ii) ∀n ≥ n0, un ≤ vn.

(iii) limn→+∞

(vn − un) = 0.

Theoreme 3.1. Soit (un) et (vn) deux suites adjacentes, alors elles convergent etadmettent la meme limite.

Exemple 3.4. On considere les deux suites :

un = 1 +1

1!+ · · ·+ 1

n!, n ∈ N; vn = un +

1

n!, n ∈ N.

Montrer que (un) et (vn) sont adjacentes. En deduire qu’elles convergent vers unememe limite. Montrer que cette limite est un element de R\Q.

3.3. Suites extraites

Definition 3.2. Soit (un) une suite. Une suite extraite (ou une sous-suite) de (un)est une suite de la forme (uφ(n)), ou φ : N → N est une application strictementcroissante.

Theoreme 3.2. Soit (un) une suite convergente de limite l quand n tend vers l’in-fini, alors toute suite extraite est convergente et a la meme limite.

3. THEOREMES DE BASE SUR LA CONVERGENCE. 9

Corollaire 3.1. Soit (un) une suite. Si (vn) et (wn) sont des suites extraites quidivergent ou qui n’admettent pas la meme limite, alors (un) diverge.

Exemple 3.5. un = (−1)n

Theoreme 3.3. Soit (un) une suite. Si les suites (u2n) et (u2n+1) convergent etadmettent la meme limite l, alors la suite (un) converge et admet l comme limite.

Exemple 3.6. Soit (un) une suite telle que les suites extraites (u2n), (u2n+1) et(u3n) convergent. Montrer que (un) est convergente.

Theoreme 3.4. (Bolzano - Weierstrass) (preuve par dichotomie). De toutesuite bornee on peut extraire une suite convergente.

10 CHAPITRE I. LES NOMBRES REELS ET LES SUITES NUMERIQUES

3.4. Exercices

Exercice I.9. Montrer que la suite (un) definie par un = (−1)n +1

n, n ≥ 1, n’est

pas convergente.

Exercice I.10. On considere la suite (un) definie par u0 = 3 et pour tout n ∈ N∗ :

un = un−1+2n2−2n2 .

1. Montrer que pour tout n ∈ N∗, un ≥ 2.

2. Montrer que la suite (un) est decroissante.

3. Montrer que la suite (un) est convergente et calculer sa limite.

Exercice I.11. On souhaite etudier la suite (un) dfinie par u0 = 0 et ∀n ∈ N,un+1 =

√3un + 2.

1. Etablir que la suite (un) est croissante.

2. En deduire que la suite (un) converge, et determiner sa limite.

Exercice I.12. On donne la suite (un) definie par :

u1 =√

2 et un =√

2− un−1.

En etudiant les suites (u2n) et (u2n+1), montrer que la suite (un) est convergente.

Exercice I.13. Etudier la convergence des suites definies par :

v0 > −1, vn+1 = 11+vn

, n ≥ 0

w0 ∈ [0, 1], wn+1 = 1− w2n, n ≥ 0.

Exercice I.14. On considere les suites (un) et (vn) definies par : pour tout entiernaturel strictement positif n, un =

∑nk=1

1k2

et vn = un + 2n −

1n2 .

1. Montrer que la suite (vn) est decroissante.

2. Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

3. Calculer u4 et v4. En deduire un encadrement de la limite commune ` de (un)et (vn).

Exercice I.15.

(1) Soient (vn)n≥1 et (wn)n≥1 les suites definies par :

vn =

k=2n∑k=1

(−1)k+1

k= 1− 1

2+

1

3+ . . .− 1

2net wn = vn +

1

2n+ 1.

Montrer que les deux suites (vn) et (wn) sont adjacentes. On notera l leurlimite. Donner un rationnel r tel que 0 < l − r < 1

100 .

3. THEOREMES DE BASE SUR LA CONVERGENCE. 11

(2) Soit (un)n≥1 la suite definie par :

un =k=n∑k=1

(−1)k+1

k= 1− 1

2+

1

3+ . . .+

(−1)n+1

n.

En remarquant que les suites (vn) et (wn) sont des suites extraites de la suite(un), montrer que (un) est convergente.

Exercice I.16.

1. Soient a, b > 0. Montrer que√ab ≤ a+b

2 .

2. Montrer les inegalites suivantes (b ≥ a > 0) :

a ≤ a+ b

2≤ b et a ≤

√ab ≤ b.

3. Soient u0 et v0 des reels strictement positifs avec u0 < v0. On definit deuxsuites (un) et (vn) de la facon suivante :

un+1 =√unvn et vn+1 =

un + vn2

.

Montrer que (un) et (vn) sont adjacentes.

Exercice I.17. En justifiant la reponse, dire si les enonces suivants, sont vrais oufaux.

1. Si une suite est croissante et minoree, alors elle converge. (vrai ou faux)

2. Si une suite est non majoree, alors elle tend vers +∞. (vrai ou faux)

3. Si une suite a termes positifs tend vers 0, alors elle est decroissante a partird’un certain rang. (vrai ou faux)

4. Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictementpositifs a partir d’un certain rang. (vrai ou faux)

5. Si une suite d’entiers converge, elle est stationnaire. (vrai ou faux)

6. Si une suite a un nombre fini de valeurs, elle converge si et seulement si elleest stationnaire. (vrai ou faux)

7. Une suite est convergente si et seulement si elle est bornee. (vrai ou faux)

8. Si une suite n’est pas majoree, elle est minoree. (vrai ou faux)

9. Il existe une suite (un) avec un = vnwn (resp. un = vn +wn) convergente telleque l’une au moins des suites (vn) et (wn) diverge. (vrai ou faux)

10. Il existe une suite (un) divergente telle que (un+1 − un) tend vers 0. (vrai oufaux)

12 CHAPITRE I. LES NOMBRES REELS ET LES SUITES NUMERIQUES

4. Borne superieure - Borne inferieure

4.1. Maximum, Minimum – Majorant, Minorant

Definition 4.1. Soit A une partie de R et α un element de A. On dit que α est unplus petit (resp. plus grand) element de A si ∀x ∈ A,α ≤ x (resp. ∀x ∈ A, x ≤ α).

Remarque 4.1.– Si un plus petit (resp. plus grand) element de A existe, il est unique ; on

l’appelle l’element minimum (resp. maximum) de A, on le note min(A) (resp.max(A)).

– Un ensemble peut ne pas avoir d’element minimum ou maximum. Par exempleA = ]0, 1[.

Definition 4.2. Soit A une partie de R.– Soit M ∈ R. On dit que M est un majorant de A si ∀x ∈ A, x ≤M .– A est dite majoree si elle admet un majorant.– Soit m ∈ R. On dit que m est un minorant de A si ∀x ∈ A,m ≤ x.– A est dite minoree si elle admet un minorant.

4.2. Borne superieure - Borne inferieure

Definition 4.3. Soit A une partie de R. Soit α ∈ R.

(i) On dit que α est la borne superieure de A si α est un majorant de A et α estle plus petit des majorants de A. Si la borne superieure de A existe on la notesup(A) ou sup

x∈A(x) ou supx∈A(x) ou supA.

(ii) On dit que α est la borne inferieure de A si α est un minorant de A et α estle plus grand des minorants de A. Si la borne inferieure de A existe on la noteinf(A) ou infx∈A(x) ou inf

x∈A(x) ou inf A.

Caracterisation de la borne superieure dans R : α = sup(A) SSI(i) ∀x ∈ A, x ≤ α. (α est un majorant de A)(ii) ∀α′ < α, ∃x′ ∈ A, α′ < x′.

(Tous nombre plus petit que α n’est pas un majorant de A)Le deuxieme point est equivalente a(ii) ∀ε > 0, ∃xε ∈ A, α− ε < xε.

Exemple 4.1. Etudier le minimum, maximum, borne inferieure et borne superieurede l’ensemble A = {− 1

n : n ∈ N∗}.

Theoreme 4.1. (Propriete de la borne sup) Dans R, toute partie non vide etmajoree admet une borne superieure.

(De meme toute partie non vide et minoree admet une borne inferieure).

4. BORNE SUPERIEURE - BORNE INFERIEURE 13

Corollaire 4.1. Soit A une partie de R. Alors– α = sup(A) si et seulement si α est un majorant de A et il existe une suite

(un) dans A telle que un converge vers α.– α = inf(A) si et seulement si α est un minorant de A et il existe une suite (un)

dans A telle que un converge vers α.

Exemple 4.2. Soit A = [−1, 3[∩Q. Etudier max(A),min(A), sup(A), inf(A).De meme pour B = {3n : n ∈ N} et C = {1− 1

n : n ∈ N∗}.

Exemple 4.3. Etudier le minimum, maximum, borne inferieure et borne superieurede l’ensemble A = {2n+(−1)n

n+1 : n ∈ N}.

Exemple 4.4. Soit A et B deux parties non vides et bornees de R. Etablir lesassertions suivantes :

1. Si A ⊂ B, alors supA ≤ supB.

2. inf(A ∪B) = min(inf A, inf B)

3. sup(A+B) ≤ supA+ supB, ou A+B = {a+ b; a ∈ A, b ∈ B}.

14 CHAPITRE I. LES NOMBRES REELS ET LES SUITES NUMERIQUES

4.3. Exercices

Exercice I.18. Donner une caracterisation de la borne inferieure.

Exercice I.19. Etant donne un ensemble A ⊂ R, ecrire avec des quantificateurs lesproprietes suivantes :

1. 10 est un majorant de A,

2. m est un minorant de A,

3. P n’est pas un majorant de A,

4. A est majore,

5. A n’est pas minore,

6. A est borne,

7. A n’est pas borne.

Exercice I.20. Determiner (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la bornesuperieure, la borne inferieure, le plus grand element, le plus petit element des en-

sembles suivants : [0, 1] ∩Q , ]0, 1[∩Q , N ,

{(−1)n +

1

n: n ∈ N∗

}.

Exercice I.21. On considere l’ensemble des nombres rationnels de la forme n−1/nn+1/n

ou n decrit l’ensemble des entiers strictement positifs. Cet ensemble est-il majore ?Minore ? A-t-il un plus petit element ? Un plus grand element ? Justifier vos reponses.

Exercice I.22. Soit A et B deux parties non vides et bornees de R. Etablir lesassertions suivantes :

1. Si A ⊂ B, alors supA ≤ supB et inf A ≥ inf B.

2. sup(A ∪B) = max(supA, supB) et inf(A ∪B) = min(inf A, inf B)

3. sup(A+B) ≤ supA+ supB, ou A+B = {a+ b; a ∈ A, b ∈ B}.4. sup(−A) = − inf A, ou −A = {−a; a ∈ A}.5. supA+ inf B ≤ sup(A+B), ou A+B = {a+ b; a ∈ A, b ∈ B}.

15

Chapitre II. Fonctions reelles - Limites et continuite

1. Generalites sur les fonctions

Definition 1.1. Une Fonction de la variable reelle a valeurs reelles est une appli-cation f : U → R, ou U est une partie de R. En general, U est un intervalle ou unereunion d’intervalles de R. On appelle U le domaine de definition de f et on le noteDf .

On appelle image de f notee Im(f) ou f(Df ), l’ensemble {y | ∃x, y = f(x)} ou{f(x) | x ∈ Df}.

Definition 1.2. Fonctions monotones.Soit f : U → R une fonction.– f est croissante (resp. strictement croissante) sur U si

∀x ∈ U,∀y ∈ U, (x ≥ y)⇒ (f(x) ≥ f(y))(resp. ∀x ∈ U,∀y ∈ U, (x > y)⇒ (f(x) > f(y))).

– f est decroissante (resp. strictement decroissante) sur U si∀x ∈ U,∀y ∈ U, (x ≥ y)⇒ (f(x) ≤ f(y))(resp. ∀x ∈ U,∀y ∈ U, (x > y)⇒ (f(x) < f(y))).

– f est monotone (resp. strictement monotone) sur U si f est croissante sur U ousi f est decroissante sur U (resp. strictement croissante sur U ou strictementdecroissante sur U).

Definition 1.3. Fonctions majorees, minorees, bornees.Soit f : U → R une fonction.– f est majoree sur U si ∃M ∈ R, ∀x ∈ U, f(x) ≤M .– f est minoree sur U si ∃m ∈ R,∀x ∈ U, f(x) ≥ m.– f est bornee sur U si f est majoree et minoree ou

∃M > 0 tel que ∀x ∈ U, |f(x)| ≤M .

Definition 1.4. Fonctions paires, impaires.Soit f : I → R une fonction, ou I est un intervalle centre en 0 de R, on dit que

f est paire (resp. impaire) si f(−x) = f(x) (resp. f(−x) = −f(x)) pour tout x ∈ I.

Definition 1.5. Fonctions periodiques. Soit f : R→ R une fonction, on dit quef est periodique de periode T (T etant un reel > 0) si ∀x ∈ R, f(x+ T ) = f(x).

Definition 1.6. Operations sur les fonctions.Soit f : U → R et g : U → R deux fonctions.– La somme de f et g est la fonction f + g : U → R definie par (f + g)(x) =f(x) + g(x).

– La multiplication de la fonction f par un reel λ est la fonction λf : U → Rdefinie par (λf)(x) = λf(x).

– Le produit des fonctions f et g est la fonction fg : U → R definie par (fg)(x) =f(x)g(x).

16 CHAPITRE II. FONCTIONS REELLES - LIMITES ET CONTINUITE

Definition 1.7. La composee de deux fonctions :Soit f : I → R, g : J → R. On suppose que Im(f) ⊂ J . Alors la composee de f

et g est la focntion : I → R, x→ g(f(x)). On la note g ◦ f . Donc g ◦ f(x) = g(f(x)).

Graphes des fonctions

Les graphes des fonctions E(x) ou [x] la partie entiere, |x|.

Exemple 1.1. Tracer le graphe de la fonction f definie sur R par

f(x) = |x− 1| − 2|x+ 1|.

Rappels des graphes des fonction ex, lnx, sinx, cosx.

Exemple 1.2. Tracer le graphe de la fonction tanx = sinxcosx .

2. LIMITES DE FONCTIONS 17

2. Limites de fonctions

2.1. Definitions

Definition 2.1. Limite en un point fini.

Soit a ∈ R, U un intervalle contenant a et f une fonction definie sur U\{a}.

(i) Soit l un reel. On dit que f(x) tend vers l (ou f a pour limite l) quand x tendvers a et on note lim

x→af(x) = l si

• f(x) est aussi proche que l’on veut de l, pourvu que x soit suffisammentproche de a.• Autrement dit, pour tout intervalle ouvert J contenant l, il existe un inter-

valle ouvert I (qui depend de J) contenant a, tel que si x appartient a I ∩Ualors f(x) appartient a J .• Ceci est equivalent a : pour tout intervalle ouvert J centre en l, il existe un

intervalle ouvert I (qui depend de J) centre en a tel que si x appartient aI ∩ U alors f(x) appartient a J .• Ceci s’ecrit :

∀ε > 0,∃δε > 0,∀x ∈ U, (0 < |x− a| < δε)⇒ (|f(x)− l| < ε).

Exemple. limx→1

x2 = 1.

(ii) On dit que f a pour limite +∞ quand x tend vers a et on note limx→a

f(x) = +∞si

• f(x) est aussi grand que l’on veut, pourvu que x soit suffisamment proche dea. C.a.d que pour tout intervalle du type J =]A,+∞[ (A etant un reel quipeut etre considere > 0), il existe un intervalle I (qui depend de J) centreen a, tel que si x appartient a I ∩ U alors f(x) appartient a J .• Ceci s’ecrit :

∀A > 0,∃αA > 0, ∀x ∈ U, (0 < |x− a| < αA)⇒ (f(x) > A).

(iii) On dit que f a pour limite −∞ quand x tend vers a et on note limx→a

f(x) = −∞si pour tout intervalle du type J =] − ∞, A[ (A etant un reel qui peut etreconsidere < 0), il existe un intervalle I (qui depend de J) centre en a, tel quesi x appartient a I ∩ U alors f(x) appartient a J . Ceci s’ecrit :

∀A < 0,∃αA > 0,∀x ∈ I, (0 < |x− a| < αA)⇒ (f(x) < A).

Definition 2.2. Limite a gauche et a droite.

Soit a ∈ R, I un intervalle ouvert contenant a et f une fonction definie, surI\{a}.

– Soit l un reel. On dit que f a pour limite l quand x tend vers a a gauche eton note lim

x→a−f(x) = l si

∀ε > 0, ∃αε > 0,∀x ∈ I, (a− αε < x < a)⇒ (|f(x)− l| < ε).– Soit l un reel. On dit que f a pour limite l quand x tend vers a a droite et on

note limx→a+

f(x) = l si

∀ε > 0,∃αε > 0,∀x ∈ I, (a < x < a+ αε)⇒ (|f(x)− l| < ε).

18 CHAPITRE II. FONCTIONS REELLES - LIMITES ET CONTINUITE

Proposition 2.1. Une fonction f admet une limite en a si et seulement si elleadmet une limite a gauche et une limite a droite en a et lim

x→a−f(x) = lim

x→a+f(x).

Exercices. Ecrire la definition de limx→a−

f(x) = +∞ et limx→a+

f(x) = −∞.

Definition 2.3. Limite en +∞.Soit I =]x0,+∞[, x0 etant un reel et f une fonction definie sur I.– Soit l un reel. On dit que f a pour limite l quand x tend vers +∞ et on note

limx→+∞

f(x) = l si

∀ε > 0, ∃Aε > 0, ∀x ∈ I, (x > Aε)⇒ (|f(x)− l| < ε).– On dit que f a pour limite +∞ quand x tend vers +∞ et on note lim

x→+∞f(x) =

+∞ si∀A > 0,∃BA > 0,∀x ∈ I, (x > BA)⇒ (f(x) > A).

Exemple 2.1. limx→+∞1x2

= 0, et limx→+∞ lnx = +∞.

Definition 2.4. Limite en −∞.Soit I =]−∞, a[, a etant un reel et f une fonction definie sur I.– Soit l un reel. On dit que f a pour limite l quand x tend vers −∞ et on note

limx→−∞

f(x) = l si

∀ε > 0, ∃Aε < 0, ∀x ∈ I, (x < Aε)⇒ (|f(x)− l| < ε).– On dit que f a pour limite +∞ quand x tend vers −∞ et on note lim

x→−∞f(x) =

+∞ si∀A > 0,∃BA < 0,∀x ∈ I, (x < BA)⇒ (f(x) > A).

Exercices. Ecrire la definition de limx→+∞ f(x) = −∞ et limx→−∞ f(x) = −∞.

2.2. Proprietes

Proposition 2.2. (Unicite de la limite)Si f admet une limite (finie ou infinie) en un point (fini ou infini), alors cette

limite est unique.

Proposition 2.3. (Operations sur les limites)Soient a ∈ R := R ∪ {−∞,+∞}, l, l′ ∈ R et f, g des fonctions reelles.– (Somme, produit)

Si limx→a

f(x) = l et limx→a

g(x) = l′, alors

limx→a

(f + g)(x) = l + l′ et limx→a

(fg)(x) = ll′

Si limx→a

f(x) = l, avec l > 0 et limx→a

g(x) = +∞, alors limx→a

(fg)(x) = +∞.

– (Quotient)

Si limx→a

f(x) = l et limx→a

g(x) = l′, l′ 6= 0, alors limx→a

f(x)

g(x)=l

l′.

Si limx→a

f(x) = ±∞, alors limx→a

1

f(x)= 0.

– (Composee) Si limx→a

f(x) = l et limx→l

g(x) = l′, alors limx→a

g ◦ f(x) = l′.

2. LIMITES DE FONCTIONS 19

Formes indeterminees. +∞−∞ ; 0×∞ ;∞∞

;0

0; 1∞ ; ∞0 ; 0∞.

Exemple 2.2. Calculer les limiteslimx→0

x2−2x+32x3+x−5

, limx→∞2x2+x−23x2+2x+2

, limx→+∞ sin 1x ,

limx→+∞(√x2 − x+ 1− x), limx→−∞(

√x2 − x+ 1− x),

limx→−∞(√x2 − x+ 1 + x).

Proposition 2.4. (Passage a la limite dans des inegalites) Soient a ∈ R etl, l′ ∈ R. Soient f et g deux fonctions telles que f ≤ g au voisinage de a.

Si limx→a

f(x) = l et limx→a

g(x) = l′, alors l ≤ l′.Si lim

x→af(x) = +∞, alors lim

x→ag(x) = +∞.

Si limx→a

g(x) = −∞, alors limx→a

f(x) = −∞.

Proposition 2.5. (Principe d’encadrement)Soit l et a deux elements de R. Soit f , g et h des fonctions telles que f ≤ g ≤ h

au voisinage de a et limx→a

f(x) = limx→a

h(x) = l, alors limx→a

g(x) = l.

Exemple 2.3. limx→0sinxx = 1.

Exemple 2.4. Calculer la limite limx→0

1− cosx

x2.

Exemple 2.5. limx→0 x sin 1x ; limx→0(ex − 1) cos 1

x .

Exemple 2.6. Calculer la limite limx→0+ xE( 1x), ou E(a) est la partie entiere de a.

Theoreme 2.1. Soit a ∈ R, I un intervalle contenant a et f une fonction definiesur I\{a}. Alors lim

x→af(x) = ` existe SSI pour toute suite (un) ⊂ I\{a} telle que

limn→∞ un = a, on a limn→∞ f(un) = `.

Exemple 2.7. sin 1x n’a pas de limite en 0.

20 CHAPITRE II. FONCTIONS REELLES - LIMITES ET CONTINUITE

2.3. Exercices

Exercice II.1.

1. Montrer que pour tout 0 < ε < 1 et pour x ∈ R, on a :

|x− 1| < ε

4=⇒ |x2 + x− 2| < ε.

2. En deduire (en utilisant la definition d’une limite) :

limx→1

(x2 + x− 1) et limx→1

(x2 + x− 2) cosx.

Exercice II.2. Calculer lorsqu’elles existent les limites suivantes

a) limx→0

x2 + 2 |x|x

b) limx→−∞

x2 + 2 |x|x

c) limx→0

√1 + x−

√1 + x2

x

d) limx→π

sin2 x

1 + cosxe) lim

x→2

x2 − 4

x2 − 3x+ 2f) lim

x→+∞(√x+ 5−

√x− 3)

g) limx→0

3√

1 + x2 − 1

x2h) lim

x→+∞(x− ln(chx)) i) lim

x→+∞

√x+√x+√x√

x+ 1.

Exercice II.3. Calculer les limites suivantes :

a) limx→0+

√x sin

1√x

b) limx→0

sin 2x

sin 3x

c) limx→0

x sinx

1− cosxd) lim

x→0

sinx− 12 sin 2x

x3

e) limx→0

xtanx

cos2 x− 1f) lim

x→0

tanx− sinx

sin3(x2 )

Exercice II.4. Calculer les limites suivantes :a) limx→0+ xE( 1

x) ; b) limx→+∞ xE( 1x) ; c) limx→0+

√xE( 1

x) .

3. CONTINUITE 21

3. Continuite

3.1. Definitions et proprietes

Definition 3.1. Soit f : I → R une fonction definie sur un intervalle ouvert I.

– Soit a ∈ I. On dit que f est continue en a si limx→a

f(x) = f(a).

– On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I.– Si f n’est pas continue en un point a de I, on dit qu’elle est discontinue en a.

Proposition 3.1. Soit f : I → R une fonction continue en un point a ∈ I, I etantun intervalle ouvert de R, telle que f(a) 6= 0, alors il existe un intervalle ouvert Vcontenant a tel que f(x) 6= 0,∀x ∈ V .

Proposition 3.2. (Somme, produit, inverse) Soit f : I → R et g : I → R deuxfonctions continues en un point a d’un intervalle I. Alors,

(i) les fonctions f + g, fg sont continues en a ;

(ii) si g(a) 6= 0, 1g est continue en a.

Proposition 3.3. (Composee) Soit I un intervalle et a ∈ I. Soit f : I → R etg : J → R deux fonctions telles que f(I) ⊂ J . Si f est continue en a et g est continueen f(a), alors g ◦ f est continue en a.

Exemple 3.1. Soit a, b deux nombres reels. On consiere la fonction f definie sur Rpar

f(x) =

sin2 x

xsi x < 0;

ax+ b si 0 ≤ x ≤ 2;

2a sin(π

4x) si x > 2.

Determiner les valeurs de a et b telles que f soit continue sur R.

3.2. Prolongement par continuite

Soit a ∈ R, I un intervalle contenant a, et f : I\{a} → R une fonction.

– On dit que f admet un prolongement par continuite en a si limx→a

f(x) est finie.

– On suppose que limx→a

f(x) = l (l ∈ R). Soit la fonction f definie par

f(x) =

{f(x) si x ∈ I\{a}l si x = a

Alors, f est continue en a. La fonction f est appelee le prolongement parcontinuite de f en a.

Exemple 3.2. f(x) = x sin 1x pour x 6= 0.

22 CHAPITRE II. FONCTIONS REELLES - LIMITES ET CONTINUITE

3.3. Image d’un intervalle par une fonction continue

Theoreme 3.1. Soit f : [a, b] → R une fonction continue ([a, b] etant un inter-valle ferme borne). Alors, f est bornee et atteint dans [a, b] sa borne superieure etinferieure. C’est-a-dire qu’il existe deux reels m et M tel que

(i) m ≤ f(x) ≤M pour tout x ∈ [a, b] ;

(ii) il existe c1 ∈ [a, b], c2 ∈ [a, b] tels que f(c1) = m et f(c2) = M .

Theoreme 3.2. (Theoreme des valeurs intermediaires) Soit f : [a, b]→ R unefonction continue et α un reel compris entre f(a) et f(b). Alors, il existe c ∈ [a, b]tel que f(c) = α.

Corollaire 3.1. Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Si f(a)f(b) < 0, alors ilexiste c ∈]a, b[ tel que f(c) = 0.

Exemple 3.3. Soit P un polynome a coefficients reels de degre impair. Montrerque P admet au moins une racine reelle.

Corollaire 3.2. Soit I un intervalle et f : I → R une fonction. Si f est continuesur I, alors f(I) est un intervalle.

Corollaire 3.3. Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Alors f([a, b]) est unsegment (c.a.d un intervalle ferme borne).

Exemple 3.4. Montrer que la fonction f(x) = x8 + 3x3 + 1 s’annule deux fois sur[−2, 2].

Exemple 3.5. Montrer que la fonction f(x) = ex sinx+ cosx s’annule une infinitede fois sur R.

3. CONTINUITE 23

3.4. Exercices

Exercice II.5. Determiner les domaines de definition et de continuite des fonctionssuivantes :

f(x) =√

2+3x5−2x ; g(x) =

√x2 − 2x− 5;

h(x) = ln (4x+ 3) ; j(x) = 11−x −

21−x2 .

Exercice II.6. Etudier la continuite sur R des fonctions suivantes :

1. f1(x) = x2 cos 1x si x 6= 0, et f1(0) = 0 ;

2. f2(x) = sinx sin 1x si x 6= 0, et f2(0) = 0 ;

3. f3(x) = xE(x) ;

4. f4(x) = E(x) sin(πx).

Exercice II.7. Soit f : R→ R continue en 0 telle que

∀x ∈ R, f(x) = f(2x).

Montrer que f est constante.

Exercice II.8. Soient f et g continues sur [0, 1] telles que ∀x ∈ [0, 1] f(x) < g(x).Montrer qu’il existe m > 0 tel que ∀x ∈ [0, 1], f(x) +m < g(x).

Exercice II.9. Soit f(x) = x5 − 3x− 1, g(x) = x2x − 1.

1. Montrer que f(x) = 0 admet une solution sur [1, 2].

2. Montrer que g(x) = 0 admet une solution sur [0, 1].

3. Montrer que f(x) = g(x) admet une solution sur ]0, 2].

Exercice II.10. Soitf : x ∈ R→ f(x) =

cosx

1 + x2.

Montrer que f est majoree sur R, minoree sur R. Determiner supx∈R

f(x).

Exercice II.11. Soit f : R+ → R continue admettant une limite finie en +∞.Montrer que f est bornee. Atteint-elle ses bornes ?

Exercice II.12. Soit f : R→ R une fonction continue telle que limx→−∞

f(x) = −∞et lim

x→+∞f(x) = +∞. Montrer que f s’annule au moins une fois sur R. Appliquer

ceci aux polynomes de degre impair.

Exercice II.13. Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b]. Montrer que si p et q sontdeux reels strictement positifs, alors :

1. Il existe c ∈ [a, b] tel que pf(a) + qf(b) = (p+ q)f(c).

2. Si f est monotone, il existe c ∈]a, b[ tel que pf(a) + qf(b) = (p+ q)f(c).

24 CHAPITRE II. FONCTIONS REELLES - LIMITES ET CONTINUITE

Exercices supplementaires

Exercice II.14. En utilisant la definition d’une limite, montrer que :

a) limx→2

(2x+ 1) = 5 ; b) limx→1

(x2 − 1) = 0.

c) limx→− 2

3

(3x+ 2) sin

(1

3x+ 2

)= 0 ; d) lim

x→+∞

1√x

= 0.

e) limx→0+

2

1 + e−1x

= 2 ; f) limx→−∞

ex2

= +∞.

(Indication : Pour les deux dernieres limites, utiliser les croissances comparees)

Exercice II.15.

(a) Montrer que toute fonction periodique et non constante n’admet pas de limiteen +∞.

(b) Montrer que toute fonction croissante et majoree admet une limite finie en +∞.

Exercice II.16.

1. Soit la fonction reelle definie par f(x) = 1 si x ∈ Q et f(x) = 0 sinon. Montrerque f n’admet pas de limite en tout point de R.

2. Soit la fonction reelle definie par f(x) = x si x ∈ Q et f(x) = 1− x sinon. Enquels points de R f est elle continue ?

Exercice II.17. Soit f la fonction reelle a valeurs reelles, definie par

f(x) =

x si x < 1x2 si 1 ≤ x ≤ 48√x si x > 4

1. Tracer le graphe de f .

2. f est elle continue ?

3. Montrer que f definit une bijection de R sur R et determiner f−1.

25

Chapitre III. Fonctions reelles - Derivees

1. Derivabilite

1.1. Derivee en un point

Definition 1.1. Soit f : I → R une fonction definie sur un intervalle ouvert I.

(i) Soit x0 ∈ I, on dit que f est derivable en x0 si limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0est finie.

Dans ce cas, ce reel est appele la derivee de f en x0, qu’on note f ′(x0) oudf

dx(x0).

(ii) On dit que f est derivable sur I si f est derivable en tout point de I. Dansce cas, on appelle derivee de f la fonction qui a tout point x de I associe f ′(x),cette fonction est notee f ′ ou df

dx .

Exemple 1.1. f(x) = x2. f(x) = sinx.

Interpretation geometrique. Soit C le graphe de f et M0 et M deux points deC de coordonnees (x0, f(x0)) et (x, f(x)) respectivement. La droite (M0M) a pour

pente f(x)−f(x0)x−x0 . Alors, f est derivable en x0 et la derivee de f en x0 est l (l ∈ R)

ssi quand x tend vers x0 la droite (M0M) a pour position limite la droite passantpar M0 et de pente l. Cette droite est appelee la tangente a C en M0.

Si f est derivable en x0, l’equation de la tangente a C en M0 est

y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0).

Autres ecritures de la derivee.

(i) f est derivable en x0 SSI limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

hest finie.

(ii) f est derivable en x0 s’il existe l ∈ R et une fonction ε tels quef(x) = f(x0) + (x− x0)l + (x− x0)ε(x),

pour tout x appartenant a un voisinage de x0, ou ε(x) est une fonction quiverifie lim

x→x0ε(x) = 0.

Proposition 1.1. Soit f : I → R une fonction definie sur un intervalle ouvert I etx0 un point de I. Si f est derivable en x0, alors f est continue en x0.

La reciproque est fausse.

Derivee a gauche et a droite

Soit f : I → R une fonction definie sur un intervalle I et x0 un point de I. Ondit que f est derivable a gauche (resp. a droite) en x0 si f est definie a gauche (resp.

a droite) de x0 et limx→x−0

f(x)− f(x0)

x− x0(resp. lim

x→x+0

f(x)− f(x0)

x− x0) est finie. Dans ce

cas ce reel est note f ′g(x0) (resp. f ′d(x0)).

26 CHAPITRE III. FONCTIONS REELLES - DERIVEES

Proposition 1.2. Soit f : I → R une fonction definie sur un intervalle I et x0 unpoint de I. Alors f est derivable en x0 si et seulement si f est derivable a gauche eta droite, et f ′g(x0) = f ′d(x0).

1.2. Proprietes

Proposition 1.3. (Derivee d’une somme, d’un produit par un reel et d’unproduit)

Soit f et g deux fonctions derivables en un point x0 et λ ∈ R. Alors, les fonctionsf + g, λf et fg sont derivables en x0 et on a :

(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0),

(λf)′(x0) = λf ′(x0),

(fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0).

Proposition 1.4. (Derivee de l’inverse d’une fonction)

Soit f une fonction derivable en un point x0. On suppose que f(x0) 6= 0. Alors,

la fonction 1f est derivable en x0 et (

1

f)′(x0) = − f ′(x0)

(f(x0))2.

Corollaire 1.1. Soit f et g deux fonctions derivables en un point x0. On suppose

que g(x0) 6= 0. Alors, la fonctionf

gest derivable en x0 et

(f

g)′(x0) =

f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0)

(g(x0))2.

Proposition 1.5. (Derivee de la composee de deux fonctions)

Soit f : I → R et g : J → R deux fonctions telles que f(I) ⊂ J . On suppose quef est derivable en un point x0 ∈ I et que g est derivable en f(x0). Alors, g ◦ f estderivable en x0 et (g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0))f ′(x0).

Derivees des fonctions usuelles

(xα)′ = αxα−1, α ∈ R, (ex)′ = ex (ln |x|)′ = 1x ,

(sinx)′ = cosx, (cosx)′ = − sinx, (tanx)′ =1

cos2 x,

(chx)′ = shx =ex − e−x

2, (shx)′ = chx =

ex + e−x

2.

Definition 1.2. Soit f : I → R une fonction definie sur un intervalle I. On dit quef est de classe C1 sur I si f est derivable sur I et la fonction derivee x→ f ′(x) estcontinue sur I.

Exemple 1.2. f(x) = e−1x2 pour x 6= 0 et f(0) = 0.

Exemple 1.3. f(x) = x3 sin 1x pour x 6= 0 et f(0) = 0.

1. DERIVABILITE 27

1.3. Derivees d’ordre superieur

Definition 1.3. Soit f : I → R une fonction definie sur un intervalle I.

(i) On suppose que f est derivable sur I et soit f ′ : I → R sa fonction derivee.Si la fonction f ′ est derivable sur I, on notera sa fonction derivee f ′′ ou f (2),qu’on appellera la derivee seconde de f , etc. Ces derivees successives (si elles

existent) se notent f ′, f ′′, f (3), · · · , f (n), . . . ou dfdx ,

d2fdx2

, . . . , dnfdxn , · · · La fonction

f (n) est appelee derivee nieme de f .

(ii) On dit que f est n fois derivable sur I si elle admet une derivee nieme sur I.

(iii) On dit que f est de classe Cn sur I si f admet une derivee nieme sur I et sicette derivee nieme est continue sur I.

(iv) On dit que f est de classe C∞ sur I si f est indefiniment derivable sur I (fest de classe Cn sur I pour tout entier n).

Formule de Leibniz. Soit f et g deux fonctions n fois derivables sur un intervalleI (n etant un entier ≥ 1). Alors, la fonction fg est n fois derivable sur I et on a

(fg)(n) =n∑k=0

Cknf(k)g(n−k), avec la convention f (0) = f .

Exemple 1.4. Calculer les fonctions derivees d’ordre n des fonctions f(x) = sin2 xet g(x) = x2ex.

28 CHAPITRE III. FONCTIONS REELLES - DERIVEES

1.4. Exercices

Exercice III.1. Calculer, lorsqu’elles existent, les derivees des fonctions :

x 7→√

1 + x2 sin2 x, x 7→ exp(1/x) + 1

exp(1/x)− 1,

x 7→ log(1 + sin(x)

1− sin(x)), x 7→ (x(x− 2))1/3,

x 7→ sin(ex ln(x+ 1)

), x 7→ (2x+ 3)cos(5x+2).

Exercice III.2. Etudier la derivabilite des fonctions suivantes :

(a) f1(x) = x2 cos1

xsi x 6= 0, f1(0) = 0;

(b) f2(x) = sinx sin1

xsi x 6= 0, f2(0) = 0;

(c) f3(x) =|x|√x2 − 2x+ 1

x− 1si x 6= 1, f3(1) = 1.

Exercice III.3. Etudier la derivabilite sur R des applications suivantes :

f : x 7→ x|x|, g : x 7→ x

1 + |x|, h : x 7→ 1

1 + |x|.

Exercice III.4. Prolonger par continuite en 0 et etudier la derivabilite de

f(x) =√x lnx et g(x) =

ex − 1√x

.

Exercice III.5. Determiner a, b ∈ R de maniere a ce que la fonction f definie surR+ par :

f(x) =√x, si 0 ≤ x ≤ 1 et f(x) = ax2 + bx+ 1, sinon

soit derivable sur R∗+.

Exercice III.6. Soit f : R∗ −→ R definie par f(x) = x2 cos1

x. Montrer que f est

prolongeable par continuite en 0 ; on note encore f la fonction prolongee. Montrerque f est derivable sur R mais que f ′ n’est pas continue en 0.

Exercice III.7. Soit f : R→ R une fonction derivable sur R et f ′ la derivee de f.Montrer que :

1. f est paire si et seulement si f ′ est impaire.2. f est impaire si et seulement si f ′ est paire et f(0) = 0.

Exercice III.8. Soient f : [0, 1] → R une fonction derivable sur [0, 1], telle quef(0) = f(1). On considere la fonction g definie par :

g(x) =

{f(2x), si x ∈ [0, 1

2 ]f(2x− 1), si x ∈ [1

2 , 1]

Montrer que g est continue sur [0, 1]. A quelle condition g est derivable sur [0, 1]?

1. DERIVABILITE 29

Exercice III.9. Calculer la fonction derivee d’ordre n des fonctions f, g, h definiespar :

f(x) = sinx ; g(x) = sin2 x ; h(x) = sin3 x+ cos3 x.

Exercice III.10. Calculer les derivees successives des fonctions :

x 7→ x2ex ; x 7→ x2(1 + x)n ; x 7→ x2 + 1

(x+ 1)2; x 7→ xn−1 lnx.

Exercice III.11.

1. Soient a < b deux reels et f(x) = (x− a)n(x− b)n. Calculer f (n) et en deduiren∑k=0

(Ckn)2.

2. Montrer que f (n) est un polynome de degre n dont les racines sont reelles,simples et appartiennent a [a, b].

30 CHAPITRE III. FONCTIONS REELLES - DERIVEES

2. Fonctions reciproques

2.1. Definition

Definition 2.1. Soit f : E → F (E et F etant des parties de R) une fonction.

– Injection : f est injective si ∀x ∈ E,∀x′ ∈ E, (f(x) = f(x′))⇒ (x = x′).– Surjection : f est surjective si f(E) = F , c.a.d

∀y ∈ F,∃x ∈ E; tel que y = f(x).(Attention a l’importance de l’ordre des quantificateurs !)

– Bijection : f est bijective si f est a la fois injective et surjective.Ceci revient a dire que pour tout element y de F il existe un unique elementx de E tel que y = f(x).

Definition 2.2. Soit f : I → J . On dit que f admet une fonction reciproque s’ilexiste g : J → I telle que f ◦ g = IdJ et g ◦ f = IdI .

On dit alors que g est la fonction reciproque de f et on note g = f−1.

Proposition 2.1. Soit f une fonction definie sur I, soit J = f(I). Alors f admetune reciproque si et seulement si f est bijective.

Theoreme 2.1. Si f est strictement monotone sur I, alors f realise une bijectionde I sur f(I). Dans ce cas la fonction reciproque f−1 de f est l’application de Jdans I qui a un element y de J associe l’unique element x de I verifiant y = f(x).

Exemple 2.1. 1) f(x) = ax+ b (a 6= 0). f : R→ R.

2) f(x) = x2.

Remarque 2.1. Soit G (resp. G′) le graphe de f (resp. de f−1) dans un reperenorme, alors les deux graphes sont symetriques par rapport a la 1ere bissectrice.

Proposition 2.2. Soit f : E → F et g : F → G deux fonctions reelles. Si g ◦ f estinjective (resp. surjective), alors f est injective (resp. g est surjective).

Proposition 2.3. Soit f : E → F et g : F → G deux fonctions reelles. Alors, Si fet g sont injectives (resp. surjectives), g ◦ f est injective (resp. surjective).

Theoreme 2.2. (Continuite des Fonctions reciproques) Soit I un intervalleet f : I → R une fonction continue et strictement monotone sur I. Alors, f etablitune bijection de I sur l’intervalle J = f(I) et l’application reciproque notee f−1 deJ dans I est continue et admet la meme monotonie que f .

2.2. Derivees des fonctions reciproques

Theoreme 2.3. Soit f : I → J , continue, bijective. (Alors f−1 est continue sur J).Soit a ∈ I, alors b = f(a) ∈ J . Si f est derivable en a et f ′(a) 6= 0, alors f−1 est

derivable en b et (f−1)′(b) =1

f ′(a).

2. FONCTIONS RECIPROQUES 31

2.3. Fonctions reciproques des fonctions usuelles

(a) Fonction exponentielle. f(x) = lnx : ]0,+∞[→ R, strictement croissante,f−1 = exp. (f−1)′(y) = ey. On a y = lnx ⇔ x = ey et ey est stricetementcroissante sur R.

(b) Fonction arcsinus. f(x) = sinx, monotone sur [−π2 ,

π2 ]. On note f−1 = arcsin

definie sur [−1, 1] d’image [−π2 ,

π2 ]. f ′(x) = cosx 6= 0 sur ] − π

2 ,π2 [, donc arcsin

est derivable sur ]− 1, 1[ et arcsin′(x) = 1√1−x2 .

(c) Fonction arccosinus. f(x) = cosx, monotone sur [0, π]. On note f−1 = arccos,definie sur [−1, 1] d’image [0, π], derivable sur ]− 1, 1[ et arccos′(x) = − 1√

1−x2 .

(d) Fonction arctangente. f(x) = tanx, bijective de ] − π2 ,

π2 [ sur R strictement

croissante. On note f−1 = arctan : R→]− π2 ,

π2 [, derivable sur R et arctan′(x) =

11+x2

.

(e) Fonction racine nieme. Soit n un entier ≥ 1. La fonction x→ xn est definieet continue sur R.

– Si n est pair, elle est strictement croissante sur [0,+∞[ ; donc bijective de[0,+∞[ sur [0,+∞[, elle admet une fonction reciproque appelee racine n-ıemeet notee x→ n

√x, definie et continue sur [0,+∞[, derivable sur ]0,+∞[ avec

( n√x)′ = 1

nx1n−1.

– si n est impair (n 6= 1), elle est strictement croissante sur R. Elle admet doncune fonction reciproque appelee racine n-ıeme et notee x → n

√x, definie et

continue sur R, derivable sur R∗, avec ( n√x)′ = 1

nx1n−1.

(f) Fonction sinus hyperbolique. f(x) = shx. f ′(x) = chx > 0 sur R, f eststrictement croissante sur R, donc bijective de R sur R. f admet une fonctionreciproque que l’on note f−1 = argsh : R → R. Elle est derivable sur R. Six = shy, alors argsh′(x) = 1

f ′(y) = 1chy , donc argsh′(x) = 1√

x2+1.

Pour x ∈ R, on peut aussi montrer que argsh(x) = ln(x+√x2 + 1).

(g) Fonction cosinus hyperbolique. f(x) = chx. f ′(x) = shx est positive sur[0,+∞[ et negative sur ]−∞, 0]. Donc f est strictement croissantesur [0,+∞[,et bijective de [0,+∞[ sur [1,+∞[. On note f−1 = argch la fonction reciproque.Elle est definie sur [1,+∞[ d’image [0,+∞[. Elle derivalbe sur ]1,+∞[ et on aargch′(x) = 1√

x2−1.

Pour x ≥ 1, on a argch(x) = ln(x+√x2 − 1).

(h) Fonction tangente hyperbolique. f(x) = thx = shxchx = ex−e−x

ex+e−x , bijective de

R sur ]−1, 1[ strictement croissante. On note f−1 = argth, derivable sur ]−1, 1[et argth′(x) = 1

1−x2 .

Pour x ∈]− 1, 1[, argthx = 12 ln 1+x

1−x .

Exemple 2.2. Tracer la courbe representative de la fonction

x 7→ f(x) = arcsin(cosx).

Exemple 2.3. Tracer la courbe representative de la fonction f(x) = ln(arccos1

x).

32 CHAPITRE III. FONCTIONS REELLES - DERIVEES

2.4. Exercices

Exercice III.12. Ecrire sous forme d’expression algebrique

sin(arccosx), cos(arcsinx), cos(arctanx), sin(arctanx).

Exercice III.13. Verifier

arcsinx+ arccosx =π

2, arctanx+ arctan

1

x= sign(x)

π

2.

Exercice III.14. Soient les fonctions

f : x 7→ arcsin(sinx) et g : x 7→ arctan

√1− cosx

1 + cosx.

1. Simplifier les expressions de f(x) et g(x).

2. Construire les graphes de f et g.

Exercice III.15. Tracer les courbes representatives des fonctions

x 7→ f(x) = sin(arcsinx), x 7→ f(x) = arcsin(cosx), x 7→ f(x) = arctan(1

x).

Exercice III.16. Resoudre les equations suivantes :

1. arctan(2x) + arctanx = π4 .

2. arcsin(2x)− arcsin(x√

3) = arcsin(x).

3. arctan(x) + arctan(√

3x) = 7π12 .

3. EXTREMA LOCAUX ET THEOREME DE ROLLE 33

3. Extrema locaux et theoreme de Rolle

3.1. Points critiques et extrema locaux

Definition 3.1.– Point critique : Soit f une fonction definie sur un intervalle I et x0 ∈ I. On

dit que x0 est un point critique de f si f ′(x0) = 0.– minimum ou maximum local : Soit f une fonction definie sur un intervalleI et x0 ∈ I. On dit que x0 est un point minimum (resp. maximum) locals’il exite δ > 0 tel que f(x0) soit le mimimum (resp. maximum) de f sur]x0 − δ, x0 + δ[.

– extremum local : minimum ou maximum local.

Theoreme 3.1. Soit f une fonction definie sur un intervalle I, x0 ∈ I et il exiteδ > 0 tel que ]x0 − δ, x0 + δ[⊂ I. Si f admet un extremum en x0, alors f ′(x0) = 0.

Remarque 3.1. Pour determiner le maximum et le minimum d’un fonction conti-nue sur un intervalle [a, b] (ferme et borne), on determine les points critiques et oncompare les valeurs en ces points avec les valeurs f(a), f(b).

Exemple 3.1. Soit P (x) = (x2 + x− 2)3. Calculer P ′(x).Sans calculer P ′′, montrer que P ′′ a au moins deux racines dans l’intervalle

]− 2, 1[.Determiner min

x∈[−2,1]P (x).

3.2. Theoreme de Rolle et regle de L’Hopital

Theoreme 3.2. (Theoreme de Rolle) Soit a < b des reels et f : [a, b] → R unefonction. On suppose que :

– f est continue sur [a, b],– f est derivable sur ]a, b[,– f(a) = f(b).

Alors ∃c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = 0.

Interpretation geometrique. Soit C le graphe de f . Sous les hypotheses dutheoreme, il existe un reel c ∈]a, b[ tel que la tangente a C au point (c, f(c)) esthorizontale.

Corollaire 3.1. (Regle de L’Hopital) Soit f et g deux fonctions derivables surun intervalle I et soit x0 un point de I. On suppose que

f(x0) = g(x0) = 0, et pour tout x ∈ I\{x0}, g(x) 6= 0 et g′(x) 6= 0.

Si limx→x0

f ′(x)

g′(x)= l, (l ∈ R), alors lim

x→x0

f(x)

g(x)= l.

Remarque 3.2. La regle de l’Hopital est valable aussi pour x0 = ±∞ et les formesindeterminees 0

0 ,∞∞ .

Exemple 3.2. Calculer limx→0

arcsinx− xx3

.

34 CHAPITRE III. FONCTIONS REELLES - DERIVEES

3.3. Exercice

Exercice III.17. Determiner les extrema locaux de f(x) = x4 − x3 + 1 sur R.

Exercice III.18. Soit f : R −→ R definie par f(x) = (1 − k)3x2 + (1 + k)x3 ouk est un nombre reel. Determiner les valeurs de k pour lesquelles l’origine est unextremum local de f .

Exercice III.19. Etudier la fonction f : x 7→ x5 − 5x+ 1 sur R et en deduire quel’equation x5 − 5x+ 1 = 0 a trois solutions reelles.

Exercice III.20. Soit f la fonction definie par : f(x) =ex(x−π) cosx

1 + sin2 x.

(a) Montrer que ∀x ∈ R, f(x) > 0. En deduire qu’il existe un reel a > 0 tel quef(x) > a,∀x ∈ [0, π].

(b) Verifier que f(0) = f(π). En deduire qu’il existe un reel c, 0 < c < π, tel quef ′(c) = 0.

Exercice III.21. Etudier les hypotheses et la conclusion du theoreme de Rolle pourles fonctions suivantes :

f(x) = 1− 3√x2, sur [−1, 1] ; g(x) =

{1 + x sin(πx ), si x > 01, si x = 0

, sur [0, 1].

Exercice III.22. Soit f : [a,+∞[→ R (a ∈ R) une fonction continue sur [a,+∞[,derivable sur ]a,+∞[ et telle que f(a) = 0 et limx→+∞ f(x) = 0. Montrer qu’il existeun reel c > a tel que f ′(c) = 0.

Exercice III.23. Appliquer la regle de l’Hopital au calcul des limites suivantes :

limx→1−

arccosx√1− x2

, limx→0

(1

sin2 x− 1

x2

), lim

x→0(1− cosx)cotanx.

4. THEOREME DES ACCROISSEMENTS FINIS 35

4. Theoreme des accroissements finis

4.1. Theoreme des accroissements finis

Theoreme 4.1. (Theoreme des accroissements finis) Soit f une fonction del’intervalle [a, b] dans R verifiant les conditions suivantes :

– f est continue sur [a, b],– f est derivable sur ]a, b[,

Alors il existe c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = f(b)−f(a)b−a .

Interpretation geometrique. Soit C le graphe de f . Sous les hypotheses dutheoreme, il existe un reel c ∈]a, b[ tel que la tangente a C au point (c, f(c)) estparallele a la droite (AB), ou A (resp. B) est le point de coordonnees (a, f(a)) (resp.(b, f(b))).

Corollaire 4.1. Soit f : [a, b]→ R une fonction continue sur un intervalle [a, b] (a <b) et derivable sur ]a, b[. Alors,

(i) f est constante sur [a, b] ssi f ′(x) = 0,∀x ∈]a, b[.(ii) f est croissante (resp. decroissante) sur [a, b] ssi f ′(x) ≥ 0, ∀x ∈]a, b[

(resp. f ′(x) ≤ 0,∀x ∈]a, b[).

Corollaire 4.2. Si f ′(x) > 0, ∀x ∈]a, b[ (resp. f ′(x) < 0,∀x ∈]a, b[), alors f eststrictement croissante (resp. strictement decroissante) sur [a, b].

Corollaire 4.3. (Inegalite des accroissements finis)Soit f une fonction derivable sur un intervalle ouvert I. On suppose qu’il existe

un reel M > 0 tel que |f ′(x)| ≤M, ∀x ∈ I. Alors, ∀x, y ∈ I, |f(x)−f(y)| ≤M |x−y|.

Exemple 4.1. Montrer que | sinx− sin y| ≤ |x− y|.

Exemple 4.2. Pour tout t > 0, on a ln(1 + t) − ln t < 1t et en deduire que pour

tout x > 0, on a x ln(1 + 1x) < 1.

Exemple 4.3. Montrer que ∀x > 0 on a l’inegalite suivante :

arctan(x+ 1)− arctanx <1

1 + x2.

36 CHAPITRE III. FONCTIONS REELLES - DERIVEES

4.2. Exercice

Exercice III.24. En appliquant le theoreme des accroissements finis, montrer que :1. ∀x > 0, ex > 1 + x. A-t-on la meme inegalite si x < 0?2. ∀x > 0, sinx < x.

Exercice III.25. Dans cet exercice sera etudie le comportement de la suite definie

pour n entier positif non nul, par un =

n∑k=1

1

k.

1. A l’aide du theoreme des accroissements finis, montrer que pour tout n entier

positif non nul, ln(n+ 1)− ln(n) <1

n.

2. En deduire, par un raisonnement par recurrence, que pour tout n entier positifnon nul, ln(n+ 1) < un.

3. Conclure.

Exercice III.26. Verifier les hypotheses du theoreme des accroissements finis etetudier l’existence et l’unicite d’un reel c tel que f(b)− f(a) = (b− a)f ′(c) pour lesfonctions suivantes :

1. f(x) = (x+ 2)(x− 1), sur [−2, 1].2. f(x) = sin(2x) + 2x, sur [0, 2π].3. f(x) = 3

√x, sur [−1, 1].

Exercices supplementaires

Exercice III.27. Soit a, b tels que 0 < a < b et f une fonction definie et continuesur [a, b] derivable sur ]a, b[ et telle que f(a) = f(b) = 0. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[

tel que f ′(c) = f(c)c . Donner l’interpretation geometrique de ce fait. (Indication :

Appliquer le theoreme de Rolle a la fonction x 7→ f(x)

x.)

Exercice III.28. Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur [a, b], derivable sur]a, b[ et telle que

limx→a+

f ′(x) = `.

Montrer que f est derivable a droite de a et que f ′d(a) = `.

Exercice III.29.

(a) Soit f : I → R une fonction derivable sur un intervalle I. Montrer que si fs’annule en n points distincts, alors f ′ s’annule au moins n− 1 fois sur I.

(b) Soit P le polynome P (X) = Xn + pX + q, avec p, q ∈ R et n ∈ N. Montrer quesi n est pair, P admet au plus deux racines reelles et si n est impair, P admetau plus trois racines reelles.

Exercice III.30. Soit f : R→ R une fonction derivable sur R et telle que f(0) 6= 0.Montrer que si M0 = (x0, f(x0)) est le point du graphe de f le plus proche deO = (0, 0) alors la tangente au graphe de f en M0 est perpendiculaire a la droiteOM0.

4. THEOREME DES ACCROISSEMENTS FINIS 37

Exercice III.31. Soit f une fonction continue sur [a, b] et derivable sur ]a, b[. SoitM du graphe de f . Montrer qu’il existe une tangente au graphe de f en un pointd’abscisse dans ]a, b[ qui est parallele a la droite AM , ou A = (a, f(a)).

Exercice III.32. Soit a > 0 et h > 0. Pour chacune des fonctions f : [a, a+h]→ R,montrer qu’il existe un reel θ, 0 < θ < 1 tel que f(a + h) − f(a) = hf ′(a + θh) etcalculer limh→0 θ (a etant fixe).

1. f(x) = x3.2. f(x) = 1

x .