3007 01-Math d appoint chap 1 3e - cheneliere.info · 1.1 Les ensembles de nombres Avant...

L’algèbre de base

Plan du chapitre

Introduction

1.1 Les ensembles de nombres

1.2 Les intervalles

1.3 Les relations entre deux ensembles

1.4 Les opérations sur les ensembles

1.5 Les opérations sur les nombres réels

1.6 Les polynômes

1.7 Les équations

1.8 Les équations du premier degré à une variable

1.9 La résolution de problèmes contenant des équations

1.10 Les inéquations

1.11 Les inéquations du premier degré à une variable

1.12 La résolution de problèmes contenant des inéquations

En résumé

Exercices récapitulatifs

Objectif général

Résoudre des problèmesfaisant appel à des calculsalgébriques simples.

CHAPITRE1

3007 01-Math d_appoint chap_1_3e_Web 4/14/10 10:25 AM Page 2

Introduction

Un grand nombre de problèmes concrets se traduisent par des équations ou des iné -quations qu’on peut résoudre au moyen de méthodes algébriques. Ce premier chapitrereprend des notions d’algèbre étudiées dans les trois premières années du secondaire,notions qu’il est essentiel de maîtriser avant d’entreprendre l’étude des chapitres suivants.En plus de vous permettre de réviser ce contenu, il pourra aussi servir de « coffre à outils »auquel vous pourrez vous référer en tout temps.

Le mathématicien grec Diophante, qui a vécu vers le IIIe siècle et que certains qualifientd’inventeur de l’algèbre, a laissé un problème célèbre à la postérité. Sur sa pierre tombaleest gravée l’épitaphe suivante :

À quel âge Diophante est-il mort ? On pourrait arriver à résoudre ce problème par unraisonnement logique fondé uniquement sur l’arithmétique.

Petite enfance : de sa vie. Mariage sans enfant : de sa vie.

Préadolescence : de sa vie. De la naissance à la mort de son fils : de sa vie.

De l’adolescence au mariage : 5 ans. Dernières années : 4 ans.

En additionnant les fractions, on obtient : + + + = de sa vie.

Les 9 autres années (5 ans + 4 ans) correspondent donc au reste de sa vie, soit 1 − = .

Ainsi, chaque année correspond à de sa vie ; on en conclut qu’il est mort à 84 ans.

Diophante aurait plutôt souhaité que l’on ait recours à l’algèbre pour résoudre ce pro blème.Il suffit de représenter la durée de sa vie par un symbole, x par exemple, et de poserl’équation suivante :

+ + 5 + + + 4 = x

Les méthodes de résolution d’équations donnent x = 84.

x2

x7

x12

x6

184

984

7584

7584

12

17

112

16

12

17

112

16

L’algèbre de base 3

1

Passant ! Ci-gît Diophante.

Les chiffres diront la durée de sa vie.Sa douce enfance en fait le sixième.

Un douzième de sa vie a passé et son menton s’est couvert de duvet.Cinq ans plus tard, il s’est marié. Après son mariage, il a vécule septième de sa vie sans enfant.La naissance d’un fils l’a rendu heureux et le sort a voulu quela vie de ce fils soit deux fois plus courte que celle de son père.Plein de tristesse, le vieil homme a rendu l’âme quatre ansaprès la mort de son fils.

3007 01-Math d_appoint chap_1_3e 3/26/10 9:55 AM Page 3

1.1 Les ensembles de nombres

Avant d’entreprendre l’étude de l’algèbre, il convient de rappeler la classification des nombres réels.

Les nombres naturelsest l’ensemble des nombres entiers positifs ou nuls.

Les nombres entiersest l’ensemble de tous les entiers, qu’ils soient positifs, négatifs

ou nuls.

Les nombres rationnelsest l’ensemble des nombres qui peuvent s’exprimer sous forme d’un quotient de deux entiers,

soit sous la forme , où a et b sont des entiers et b ≠ 0. Tout nombre rationnel possède une représentation décimale qui est soit finie, soit infinie périodique.

Les nombres irrationnelsest l’ensemble des nombres dont la représentation décimale est infinie et non périodique.

Les nombres irrationnels ne peuvent pas s’exprimer sous forme d’un quotient de deux entiers.

Les nombres réelsest l’ensemble de tous les nombres qui sont soit rationnels, soit irrationnels.

Le diagramme ci-dessous présente la relation entre ces ensembles.

Un nombre réel est dit positif s’il est plus grand que 0 et négatif s’il est plus petit que 0.Le nombre 0 n’est ni positif ni négatif. Il a une valeur nulle.

On utilise le symbole ∈ pour indiquer qu’un nombre appartient à un ensemble. On dit alors que le nombre est un élément de l’ensemble. Le symbole ∉ signifie que le nombre n’appartient pas àl’ensemble. Ainsi, -15 ∈ , mais -15 ∉ .

Exemples

◆ 123 est un nombre naturel, car c’est un entier positif. C’est donc aussi un entier, un nombre rationnel, car on peut l’exprimer sous la forme , et un nombre réel. On peut donc écrire123 ∈ , 123 ∈ , 123 ∈ et 123 ∈ .

◆ -456 ∉ , car c’est un entier négatif. Puisque c’est un entier, c’est par le fait même unnombre rationnel et un nombre réel.

◆ = 0,75 est un nombre rationnel dont la représentation décimale est finie.34

= 0, 1, 2, 3, ...{ }

′

= ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...{ }

1231

ab

Chapitre 14

Distinguer les différentsensembles de nombresréels.


◆ = 2,285 714 285 714 285 714… est un nombre rationnel dont la représentation décimale est infinie et périodique : la séquence 285714 (appelée période) se répète indéfiniment. On écrit en plaçant une barre horizontale au-dessus de la période.

◆ = -3,106 666 66… est un nombre rationnel dont la représentation décimale est infinie

et périodique à partir de la troisième décimale. On écrit .

◆ Le nombre π représente le rapport entre la circonférence et le diamètre d’un cercle. La recherche de sa valeur exacte a occupé l’esprit des mathématiciens pendant des siècles. On sait maintenant que ce nombre ne peut être représenté par le quotient de deux entiers. π = 3,141 592 653 5… et sa représentation décimale est infinie et non périodique. C’est unnombre irrationnel et, donc, un nombre réel. Le nombre 3,1416, qu’on associe souvent à π,n’est pas sa valeur exacte ; ce n’est qu’une approximation rationnelle de ce nombreirrationnel.

◆ Les nombres suivants sont aussi des nombres irrationnels ; on ne peut pas les exprimer sous forme de quotient de deux entiers, et leur représentation décimale est infinie et nonpériodique : ; ; 1,010 010 001 000 010 000 01… ; 0,123 456 789 101 112 131 415…

◆ On sait que le produit de deux nombres réels non nuls et de même signe est toujours positif.Ainsi, un carré est toujours positif ; on ne peut donc pas trouver la racine carrée d’unnombre négatif. Les nombres , , , … ne sont pas des nombres réels.

◆ Il existe d’autres ensembles de nombres. L’un d’eux est l’ensemble des nombres complexes ,qui est utilisé entre autres en électronique. L’ensemble contient un nombre imaginaire itel que et tous les nombres de la forme a + bi, où a et b sont des nombres réels. Tousles nombres réels, de même que les racines carrées de nombres négatifs, sont entre autres desnombres complexes. On peut également définir un ensemble de nombres pour les besoinsd’une situation particulière. Il faut alors définir de nouvelles opérations. Cela correspondcependant à un niveau supérieur à celui de ce cours. Dans ce manuel, seuls les nombres réelsseront considérés.

On peut décrire un ensemble particulier de nombres réels, qu’on appelle sous-ensemble de , en énumérant ses éléments, séparés par des virgules et placés entre accolades. C’est la définition enextension.

Exemples

◆ est l’ensemble des diviseurs positifs de 12.

◆ est l’ensemble des entiers pairs positifs.

Lorsque l’ensemble contient des nombres décimaux, on utilisera plutôt le point-virgule entre leséléments, afin de ne pas confondre la virgule décimale et le séparateur. On écrira par exemple

.

On peut aussi décrire les éléments d’un ensemble à l’aide de leurs caractéristiques. C’est ladéfinition en compréhension. L’énoncé des caractéristiques doit décrire tous les éléments del’ensemble, et seulement ceux-là.

C = -1,9 ; 12 ; 43,75 ; 500{ }

A = 1, 2, 3, 4, 6, 12{ }B = 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...{ }

i2 1= -

-π-4 98,-1

4 73 ,

-23375

2

-3 106,

2 285714,

167


1

ATTENTION !


Chapitre 16

Décrire un ensemble de nombresréels à l’aide d’unintervalle.

Exemple

◆ . On lit alors « A est l’ensemble des x appartenant à tels que x est un diviseur positif de 12 ».

EXERCICES

1. À quels ensembles les nombres suivants appartiennent-ils ?

a) b) -17 c) 1000 d) e) 3,121 121 112...

2. Parmi les nombres suivants, indiquer ceux qui sont rationnels.

a) 12 c) π e) g) i)

b) 1,4142 d) f) 0 h) 3,1416 j) 1,010 010 001...

3. Dans chacune des cases du tableau ci-dessous, utiliser le symbole ∈ ou le symbole ∉ pourindiquer si le nombre appartient ou non à l’ensemble.

5

0

-3

-0,57

π

1.2 Les intervalles

En comparant deux nombres réels a et b, on obtient l’une des relations suivantes :

• a = b (a est égal à b) ;

• a b (a est plus grand que b).

On utilise les symboles ≤ ou ≥ pour signifier qu’un nombre est soit plus petit (ou plus grand) qu’unautre, soit égal à un autre.

-125

- 9

12 5423,

-4

31

′

3 24512,3

0 3,

A x x= ∈{ }� est undiviseur positif de12

168

59

34

23

Exemples

◆ 2 < 5 et 5 > 2.

◆ x ≤ 10 signifie que la variable x peut être égale à 10 ou prendre une valeur inférieure à 10.9,99 ≤ 10 et 10 ≤ 10 sont des affirmations vraies, car 9,99 est inférieur à 10, et 10 est égal à 10.

◆ Lorsque trois nombres sont placés par ordre croissant, on peut exprimer cette relation à l’aided’une double inégalité : -2 < 5 < 8 ou encore -2 ≤ 5 ≤ 8. On peut alors dire que 5 est comprisentre -2 et 8.

On emploie la double inégalité a < b < c seulement si les nombres a, b et c sont dans l’ordrecroissant. On peut donc écrire 4 < 7 < 10. On dira alors que 7 est compris entre 4 et 10. Parcontre, on ne peut recourir à une double inégalité pour simplifier une relation « plus petit que »et une relation « plus grand que ». En conséquence, on ne peut pas remplacer les inégalités 7 > 4 et 4 < 10 par la double inégalité 7 > 4 < 10. Cette expression n’a aucun sens, puisque 4 n’est pas compris entre 7 et 10.

Un intervalle borné est un sous-ensemble de contenant tous les nombres réels comprisentre deux nombres réels distincts a et b ou tous les nombres réels plus petits (ou plus grands)qu’un nombre réel a. Les nombres a et b sont les bornes de l’intervalle et peuvent être inclus ouexclus de l’intervalle.

Un intervalle est fermé s’il inclut ses extrémités.On le représente par des crochets tournés vers l’intérieur.

On représente graphiquement un intervalle fermé par un segment de droite aux extrémités duquelles points pleins (•) indiquent que ces nombres appartiennent à l’intervalle.

Exemple

◆

C’est l’ensemble des nombres réels compris entre -2 et 3 inclusivement.

Un intervalle est ouvert s’il n’inclut pas ses extrémités.On le représente par des crochets tournés vers l’extérieur.

a b x a x b x x,⎡⎣ ⎤⎦ ∈{ } ∈= ≤ ≤ = est compris entreaa b,et cesdeux valeurs étant incluses{ }

a b x a x b x x,⎤⎦ ⎡⎣ ∈{ } ∈= < < = est compris entreaa b,et cesdeux valeurs étant exclues{ }

-2 3

-2, 3 -⎡⎣ ⎤⎦ ∈{ }= ≤ ≤x x2 3

a b


1

ATTENTION !

On représente graphiquement un intervalle ouvert par un segment de droite aux extrémités duquelles points vides ( ) indiquent que ces nombres n’appartiennent pas à l’intervalle.

Exemple

◆ est l’ensemble des nombres réels compris entre et ,

ces deux valeurs étant exclues.

Un intervalle peut aussi être semi-ouvert, c’est-à-dire ouvert d’un côté et fermé de l’autre.

Exemples

◆

Le nombre -2 appartient à l’intervalle, mais pas le nombre 3.

◆

Le nombre 3 appartient à l’intervalle, mais pas le nombre -2.

Un intervalle ne contient pas que des nombres entiers. Il renferme tous les nombres réelscompris entre ses extrémités : entiers, rationnels et irrationnels.

car, par exemple, le nombre 5,27 appartient à l’intervalle.

car, par exemple, le nombre 11,999 appartient au premier intervalle etn’appartient pas au second.

Lorsque les extrémités d’un intervalle sont des entiers, on les sépare habituellement par une virgule.Par contre, si l’une ou l’autre extrémité est un nombre décimal, on mettra plutôt un point-virguleafin de ne pas confondre la virgule décimale et le signe de séparation des deux nombres. On écriradonc .

On peut aussi employer les intervalles pour représenter l’ensemble des nombres plus grands (ou pluspetits) qu’un nombre réel donné. On emploie les symboles ou (lire « moins l’infini » ou« plus l’infini ») pour indiquer que l’intervalle n’est pas borné à l’une ou l’autre de ses extrémités.

a

x x a a∈{ } ⎡⎣ ⎡⎣≥ = ∞+,

-∞ +∞

3 25, ; 5,37⎡⎣ ⎤⎦

5, 12 6, 11⎤⎦ ⎡⎣ ⎡⎣ ⎤⎦≠

4, 7 4, 5, 6, 7⎡⎣ ⎤⎦ { }≠

3-2

-2, 3 -2⎤⎦ ⎤⎦ ∈{ }= < ≤x x 3

3-2

-2, 3 -2⎡⎣ ⎡⎣ ∈{ }= ≤ <x x 3

12

59

12

59

12

59

,⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

∈⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= < <x x 12

59

a b

Chapitre 18

ATTENTION !

et ne sont pas des nombres réels et ne peuvent donc pas être inclus dans un intervalle. C’estpourquoi l’intervalle est ouvert du côté où on inscrit le symbole infini. Certains auteurs (peut-êtreceux de vos manuels du secondaire) omettent le crochet à côté des symboles ou . Les deuxnotations sont correctes, mais on privilégie ici les crochets ouverts afin de bien séparer l’intervalledu texte qui l’entoure.

EXERCICES

4. Exprimer chacun des ensembles ci-dessous sous la forme d’un intervalle et le représentergraphiquement.

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

5. Définir en compréhension chacun des intervalles ci-dessous. Représenter graphiquementl’intervalle.

a) b) c) d)

6. Décrire chacun des ensembles ci-dessous au moyen de la notation des intervalles.

a)

b)

c)

d)-π

-8 -2

6

-4 3

5, 8⎡⎣ ⎡⎣12, +∞⎤

⎦⎥⎡⎣⎢

-∞, 6⎤⎦ ⎤⎦ 0 10,⎡⎣ ⎤⎦

x x∈{ }≥ 3 x x x∈{ }< ≥5 2ou

x x∈{ }-1 0≤ ≤ x x x∈{ }< ≥5 2et

x x∈{ }< 4 x x∈⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

14

52

< <

x x∈{ }2 5≤ < x x∈{ }12 15< <

-∞ +∞

-∞ +∞

a

x x a a∈{ } ⎤⎦ ⎡⎣< = -∞,a

x x a a∈{ } ⎤⎦ ⎡⎣> = ∞+,a

x x a a∈{ } ⎤⎦ ⎤⎦≤ = -∞,


1

1.3 Les relations entre deux ensembles

Deux ensembles A et B sont égaux s’ils ont exactement les mêmes éléments.On écrit alors A = B.

Exemples

◆ Si et si , alors A = B.

◆

◆ , puisque tous les nombres réels compris entre 5 et 6 de même que ceux quisont compris entre 10 et 11 appartiennent au premier ensemble, mais pas au second.

Un ensemble A est inclus dans l’ensemble B si tous les éléments de A sont aussi des éléments de B.On écrit alors . On dit aussi que A est un sous-ensemble de B.

Exemples

◆ , puisque tous les entiers naturels sont des nombres réels. Par contre, ,puisqu’il existe une infinité de nombres réels qui ne sont pas des entiers naturels.

◆

◆ Un ensemble est toujours inclus dans lui-même. On peut ainsi écrire .

Il ne faut pas confondre le signe d’appartenance , qui représente une relation entre unélément et un ensemble, et le signe d’inclusion qui indique une relation entre deuxensembles. Si , il est correct d’écrire 5 ∈A (l’élément 5 appartient à l’ensemble) ou

(le premier ensemble est inclus dans le second), mais les expressions oun’ont ici aucun sens.

Il est toutefois possible qu’un ensemble soit un élément d’un autre ensemble. Par exemple, a comme éléments les ensembles et . Dans ce cas, , mais

.

Un ensemble est vide s’il ne contient aucun élément. On représente un ensemble vide par { } oupar Ø.

On ne peut désigner l’ensemble vide par . En effet, cet ensemble contient un élément qui estl’ensemble vide. Une boîte qui contient une boîte vide n’est pas vide !

L’ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble. Ainsi, , quel que soit l’ensemble A.Ø ⊆ A

Ø{ }

{ }5 ⊆ BB = { , }, { }0 51, 2{ } { , }0 1, 2 { }5 5{ } ∈ B

5{ } ⊆ A 5 ⊆ A 5{ } ∈ AA = 2, 8⎡⎣ ⎤⎦

( )⊆( )∈

⊆

-99, 0 -99, 0⎤⎦ ⎡⎣ ⊆ ⎡⎣ ⎤⎦

⊆ /⊆

A B⊆

5 6, ,11 10⎤⎦ ⎡⎣ ⎡⎣ ⎤⎦≠

- 27 -12 12 27,⎡⎣ ⎤⎦ ∈{ }= ≤ ≤x x

A = 1 4, , 9, 16, 25{ } B = 1 3 4 52 2 2 2 2, , , ,2{ }

Chapitre 110

Reconnaîtreles relationsd’égalité oud’inclusionentre deuxensembles.

ATTENTION !

ATTENTION !


Exemples

◆

◆ , mais

EXERCICES

7. Vrai ou faux ?

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

1.4 Les opérations sur les ensembles

Les ensembles n’étant pas des nombres, on ne peut effectuer avec eux les opérations élémentairesd’addition, de soustraction, de multiplication ou de division. Il existe toutefois des opérationspropres aux ensembles.

L’union (ou réunion) de deux ensembles A et B, notée A � B, est l’ensemble des éléments quiappartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux.

L’intersection de deux ensembles A et B, notée A � B, est l’ensemble des éléments quiappartiennent à la fois à A et à B.

La différence de deux ensembles A et B, notée A \ B, est l’ensemble des éléments de A quin’appartiennent pas à B.

Exemples

◆

◆

◆

Lorsque deux ensembles n’ont aucun élément commun, leur intersection est vide et on ditque ces ensembles sont disjoints.

◆

◆ est l’ensemble de tous les nombres réels non nuls.\ 0 0{ } ⎤⎦ ⎡⎣ ∪ ⎤⎦ ⎡⎣= -∞ ∞+, ,0

15 20 20, , ,35 50 35⎡⎣ ⎡⎣ ∩ ⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎡⎣=

- 15 - 157 7, ,⎤⎦ ⎡⎣ ∩ { } = Ø

- 15 - 15 - 157 7 7, , ,⎤⎦ ⎡⎣ ∪ { } ⎡⎣ ⎤⎦=

∪ ′ =

A B x x A x B\ = ∈ ∉{ }et

A B x x A x B∩ ∈ ∈{ }= et

A B x x A x B∪ ∈ ∈{ }= ou

12 12 18∈ ⎤⎦ ⎡⎣, 3π ∈ ⎡⎣ ⎤⎦9, 15 8{ } ∈ ⎡⎣ ⎡⎣7, 10

7 19 6 20, ,⎡⎣ ⎤⎦ ⊆ ⎤⎦ ⎡⎣ 2, 3⎤⎦ ⎡⎣ = Ø 8{ } ⊆ ⎡⎣ ⎡⎣7, 10

6 20 7 19, ,⎤⎦ ⎡⎣ ⎡⎣ ⎤⎦= 1, 6 1, 2, 3, 4, 5⎡⎣ ⎡⎣ { }= 5, 12 5, 12⎤⎦ ⎡⎣ ⊆ ⎡⎣ ⎤⎦

Ø ⊆ { }1 2 3, , Ø ∉ { }1 2 3, ,

x x∈{ }est un nombre impair divisible par 2 == ={ } Ø


1

Effectuer desopérationssur lesensembles de nombres.


Pour vous rappeler que c’est l’union A � B qui correspond à la définition « x ∈ A ou x ∈ B », pensezsimplement à associer le u de union au u de ou.

EXERCICES

8. Décrire en compréhension chacun des ensembles suivants.

a) c)

b) d)

9. Exprimer l’ensemble comme l’union de deux intervalles.

10. Exprimer l’ensemble Ø comme l’intersection de deux ensembles.

11. Exprimer l’ensemble comme une différence de deux ensembles.

12. Exprimer l’ensemble comme une différence de deux ensembles.

1.5 Les opérations sur les nombres réels

Même si la calculatrice permet de nombreux calculs, la compréhension des principes du calculnumérique est essentielle. Voici quelques éléments du calcul arithmétique.

1.5.1 Les opérations élémentaires

Les quatre opérations élémentaires en arithmétique sont :

L’addition, dont le résultat (a + b) est la somme.

La soustraction, dont le résultat (a − b) est la différence.

La multiplication, dont le résultat (a × b) est le produit.

La division, dont le résultat (a ÷ b) ou est le quotient (b ≠ 0).

Le produit ou le quotient de deux nombres réels non nuls est positif si ces deux nombressont de même signe ; il est négatif si les deux nombres sont de signes contraires.

On peut diviser 0 par un nombre non nul, mais on ne peut jamais diviser par 0.

= 0 pour tout a ≠ 0, mais n’est pas défini.

1.5.2 Les propriétés des exposants entiersNous présentons dans ce chapitre les notions élémentaires de calcul avec des exposants qui serontutiles pour l’étude des fonctions algébriques. Ce sujet sera traité plus en profondeur au chapitre 8,portant sur les fonctions exponentielles et logarithmiques.

0a

a0

ab

-5, 2 7⎡⎣ ⎡⎣ ∪ ⎤⎦ ⎡⎣ ∪ ⎤⎦ ⎡⎣2 7, , ∞+

\ -3{ }12 15, ,15 30⎡⎣ ⎤⎦ ∩ ⎡⎣ ⎡⎣ ∩ ⎡⎣ ⎡⎣-43 75,

18 100, ,36 101⎡⎣ ⎤⎦ ∪ ⎤⎦ ⎡⎣ \ 2{ }

Chapitre 112

Effectuer desopérationssur lesnombresréels.

ATTENTION !


Le produit d’un nombre a par lui-même n fois est représenté par an et appelé la nième (ne)puissance de a ou a puissance n.

, où a ≠ 0

Le nombre a est la base et n est l’exposant de a.

La deuxième puissance (a2) est le carré du nombre et la troisième puissance (a3) est son cube.

a0 = 1 pour tout a ≠ 0a1 = a

Si n ≠ 0, alors 0n = 0, mais 00 n’est pas défini.

Exemples

◆ Le cube de 4 est .

◆ La cinquième puissance de 2 est .

◆ Soit un cube dont l’arête mesure 5 cm.L’aire de chacune des faces est donnée par le carré de la mesure de son côté, soit 52 = 25 cm2.Le volume du cube est donné par le cube de la mesure de son côté, soit 53 = 125 cm3.

Une puissance paire d’un nombre a ≠ 0 est toujours positive.an > 0 si n est pair et a ≠ 0.

Exemples

◆ 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

◆ (-2)6 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 64Comme le produit de deux nombres négatifs est toujours positif, un produit qui comporteun nombre pair de termes identiques sera aussi toujours positif.

Une puissance impaire d’un nombre a ≠ 0 a le même signe que a.Si n est impair :an > 0 si a > 0an < 0 si a < 0

2 2 2 2 2 2 325

5

= =× × × ×fois

� ��

4 4 4 4 643

3

= =× ×fois

� ��

a a a a an

n

= × × × ×...fois

� ��


1

Exemples

◆ 53 = 5 × 5 × 5 = 125

◆ (-2)5 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = -32

Pour multiplier deux puissances d’une même base, on additionne les exposants.am × an = am + n

Exemples

◆ 34 × 35 = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3 × 3) = 39 = 34 + 5

◆ 710 × 812 doit rester sous cette forme, car les bases sont différentes.

◆ On peut étendre cette propriété au produit de plusieurs puissances d’une même base.23 × 24 × 27 × 215 = 23 + 4 + 7 + 15 = 229

Pour diviser deux puissances d’une même base non nulle, on soustrait les deux exposants.

= am − n si a ≠ 0

Exemples

◆ = = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 55 = 58 − 3

◆ = 24 − 4 = 20

On sait aussi que = 1.

Ainsi, 20 = 1.Cette propriété justifie que a0 = 1 si a ≠ 0.

Une puissance négative d’un nombre non nul est l’inverse de la puissance positivecorrespondante.

a-n = si a ≠ 01an

24

24

24

24

58

535 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5

5 × 5 × 5

am

an

Chapitre 114


Exemples

◆ 4-2 peut aussi s’écrire 40 − 2 ou .

On obtient alors 4-2 = = .

◆ 3-3 × 3-8 = 3-3 + (-8) = 3-11

On obtient le même résultat en calculant 3-3 × 3-8 = × = = = 3-11.

Les propriétés du produit et du quotient de deux puissances, de même que les propriétés quisuivent, sont aussi valides pour les exposants entiers négatifs.

Pour élever une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants.(am)n = am × n

Exemples

◆ (42)3 = 42 × 42 × 42 = 42 + 2 + 2 = 46 = 42 × 3

◆ (105)-7 = 105 × (-7) = 10-35 =

◆ (((-4)3)2)5 = ((-4)6)5 = (-4)30

Pour élever un produit à une puissance, on élève chacun des facteurs à cette puissance et oneffectue ensuite la multiplication.

(ab)m = am × bm

Exemple

◆ (2 × 3)4 = (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) = (2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3 × 3) = 24 × 34

Pour élever un quotient à une puissance, on élève chaque terme à cette puissance et oneffectue ensuite la division.

si b ≠ 0

Exemple

◆45

45

45

45

4 4 45 5 5

45

3 3

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ × × × ×

× ×= = =

ab

ab

m m

m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

11035

133

138

133 × 38

1311

40

42142

40

42


1


Les propriétés des exposants permettent de simplifier une expression avant de l’évaluer.

Exemples

◆ = = = 77 − 3 = 74

◆ = = = 2-4 × 34 =

On donne de préférence la réponse avec des exposants positifs.

1.5.3 L’utilisation des parenthèsesOn utilise souvent des parenthèses pour regrouper certains termes dans une suite d’opérations. Parexemple, 5 + (3 × 2 − 8 ÷ 4) signifie qu’on doit ajouter à 5 le résultat des opérations entre paren -thèses. Il faut donc effectuer les opérations à l’intérieur des parenthèses avant de faire l’addition.

On omet en général le signe « × » immédiatement avant ou après une parenthèse.

Exemple

◆ 2(4 + 5) signifie 2 × (4 + 5) et donc 2 × 9 = 18.

Lorsqu’une expression contient plusieurs parenthèses, on effectue d’abord les opérations dans lesparenthèses situées le plus à l’intérieur.

Exemple

◆ 4 − (6 + (8 − 2)) = 4 − (6 + 6) = 4 − 12 = -8

1.5.4 L’ordre de priorité des opérationsSi on veut que le langage mathématique soit compris de la même façon par tous ses utilisateurs, ilfaut se donner des règles communes d’utilisation. On peut tirer ici une analogie avec l’orthographe,la ponctuation et les règles de grammaire de la langue française. Ainsi, comment doit-on inter préterl’expression 2 + 3 × 4 ? Faut-il d’abord additionner 2 et 3, puis multiplier le résultat par 4, ce quidonne 20, ou plutôt additionner à 2 le résultat du produit de 3 par 4, ce qui donne 14 ?

C’est là que les parenthèses jouent un rôle important. Voici les règles à suivre pour effectuer unesuite d’opérations.

L’ordre de priorité des opérations

Pour effectuer une suite d’opérations, il faut toujours respecter l’ordre suivant :

1. Effectuer les opérations à l’intérieur des parenthèses.

2. Évaluer les puissances (exposants).

3. Effectuer les multiplications et les divisions de gauche à droite.

4. Effectuer les additions et les soustractions de gauche à droite.

(2-5)3 × 3-8 × 27

(22 × 36)-22-15 × 3-8 × 27

2-4 × 3-122-8 × 3-8

2-4 × 3-1234

24

72 × 75

7372 + 5

7377

73

Chapitre 116



1

Exemples

◆ Évaluons 3 × 4 + 52 en respectant l’ordre de priorité.3 × 4 + 52 = 3 × 4 + 25 = 12 + 25 = 37

◆ Si on introduit des parenthèses, l’expression 3 × (4 + 5)2 n’a pas la même valeur.3 × (4 + 5)2 = 3 × 92 = 3 × 81 = 243

◆ L’expression 3 × (4 + 52) est différente des deux précédentes.3 × (4 + 52) = 3 × (4 + 25) = 3 × 29 = 87

◆ Évaluons 32 ÷ 2 ÷ 4 + 5 − 2 × 3 × 6 − 32 + 5(8 − 2).32 ÷ 2 ÷ 4 + 5 − 2 × 3 × 6 − 32 + 5(8 − 2) = 32 ÷ 2 ÷ 4 + 5 − 2 × 3 × 6 − 32 + 5(8 − 2)

= 32 ÷ 2 ÷ 4 + 5 − 2 × 3 × 6 − 32 + 5 × 6= 32 ÷ 2 ÷ 4 + 5 − 2 × 3 × 6 − 9 + 5 × 6= 16 ÷ 4 + 5 − 6 × 6 − 9 + 30= 4 + 5 − 36 − 9 + 30= -6

On peut sauter des étapes à condition de respecter l’ordre de priorité.

EXERCICES

13. Évaluer sans la calculatrice.

a) -(5 + 7) e) 3 − 2(6 − 8)

b) 13 − (5 − 4) f) 3 − ((7 − 5) + 2) − 6

c) (13 − 5) − 4 g) 1 + 2(3 − 4(5 − 6))

d) -13 + (5 − 4) h) 2((6 − 15) − 3(1 + 2(10 − 5)))

14. Évaluer l’expression suivante sans la calculatrice et justifier la réponse.(99 − 9)(99 − 19)(99 − 29) × ... × (99 − 189)(99 − 199)


a) 3 × 4 − 5 + 1 g) -26

b) 3(4 − 5 + 1) h) (2 + 3)2 − (1 − 2)2

c) 3(4 − 5) + 1 i) 36 ÷ (6 ÷ 2)

d) 3 × 4 − (5 + 1) j) 36 ÷ 6 ÷ 2

e) 12 − 4 ÷ 2 + 6 × 3 k) 12 × 15 ÷ 3 + 22 − 14

f) (-2)6 l) 6 + 32 × 0 − 17 × 2

16. Évaluer chacune des expressions ci-dessous sans la calculatrice.

a) 2(2 − 2(2 + 22) − 2(2 − (2 − (2 − 2(2 + 2)2))))

b) 500 ÷ (50 ÷ (2 × 5)) + (500 ÷ 50) ÷ (2 × 5) − (2 × 5)2 + 2 × 52

c) 1 + 23 − (4 × 5) + 6(7 − 8)9 × 100

d) 62 ÷ 3 ÷ 2 − 6(3 × 2 + 22) + 62 − 32 − (6 − 3)2

e) (1 − (28 − 33) + 25 − (5 × 6 + 70) − (42 ÷ 23 ÷ 2))3


17. Évaluer chacune des expressions ci-dessous sans la calculatrice.

a) 23 e) 24 i) m) 23 + 24

b) 2-3 f) 2-4 j) n) (2 + 3)4

c) (-2)3 g) (-2)4 k) o) 24 + 34

d) -23 h) -24 l) p) 2 × 34

18. Simplifier chacune des expressions ci-dessous et donner la réponse avec des exposantspositifs.

a) 54 × 52 e) 26 × 36 × 56 i) (143 × 144)-2

b) f) j)

c) (-7)9(-7)-3 g) (((-11)2)-5)8 k) -72 + (-7)2

d) h) l)

19. Effectuer les opérations suivantes sans la calculatrice.

a) (-2)3 − 13 − (-1)5 d)

b) -32 − (-2)3 e) 6(23 × 33) + 5(612 ÷ 68)

c) f) + −

20. Sachant que m et n sont des entiers positifs et que a ≠ 0 et b ≠ 0, indiquer si les énoncés ci-dessous sont vrais ou faux.

a) (am)n = amn c)

b) (am)n = (an)m d) a-n = (-a)n

1.6 Les polynômes

L’algèbre permet d’exprimer de façon symbolique une suite d’opérations sur des quantitésvariables ou constantes.

1.6.1 Les caractéristiques d’un polynôme

Une variable est une quantité qui peut prendre n’importe quelle valeur d’un ensemble donné.Une constante est une quantité qui a une valeur fixe.

ab

ba

n n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

-

=

25

52

3 6

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ × 62

(2 × 3)21

2(32 − 23)3 × 3-6

(32)-2

79

79

79

4

3

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ×-2

–

-1(-3)-3

103(-4)7

45(-10)2

12

12

12

12

4

5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

-2

-3

84

884 × 97

8 × 95(83)4(82)3

(215)-1

-14

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

- -213

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟-3

-12

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Chapitre 118

• Reconnaîtreun poly -nôme.

• Effectuer desopéra tionsd’ad dition, de sous trac -tion et demulti pli ca -tion sur des poly nômes.


On utilise souvent les dernières lettres de l’alphabet (x, y, z) pour désigner les variables, et lespremières lettres de l’alphabet (a, b, c, ...) pour représenter des constantes dont on ne précise pas lavaleur numérique. Le choix des lettres peut aussi être lié au contexte. En physique, par exemple, onutilise souvent la lettre t pour représenter le temps. Il est essentiel de définir chaque variable. Parexemple, x est le nombre d’articles vendus, v est la vitesse au temps t, n est la note de l’élève, etc.

Exemples

◆ Si x représente l’âge d’un étudiant du cégep, x est une variable qui peut prendre n’importequelle valeur dans l’ensemble {16, 17, 18, ...}.

◆ Si Étienne a 18 ans, son âge est une constante ayant la valeur 18.

◆ Si l’inscription à un centre sportif comporte des droits fixes et un tarif horaire de 5 $, on peut représenter le coût annuel par a + 5h, où a est la constante représentant les droits fixes,5 est la constante représentant le tarif horaire et h est la variable représentant le nombred’heures d’activités sportives (qui peut être différent pour chaque abonné).

Quand a-t-on commencé à utiliser des lettres en algèbre ?

L’utilisation des lettres x et y pour représenter une inconnue dans uneexpression algé brique, de même que l’emploi de x2 et y2 pour repré -

senter leur carré, a été popularisée par René Descartes dans une annexe àson célèbre Discours de la méthode (1637). C’était là l’aboutissement d’unprocessus qui s’est étalé sur quelques centaines d’années. Du XIVe sièclejusqu’au début du XVIIe siècle, on utilisait divers symboles dont les règles demanipulation n’étaient pas toujours très claires et qui laissaient place à desambiguïtés quant à leur interprétation. Auparavant, les mathématiciensécrivaient essentiellement tout en mots. À la lecture — à vrai dire ardue —de ces livres anciens sans symbolisme, on ne peut que se réjouir de l’effi -cacité du symbolisme algébrique de Descartes qui est devenu le nôtre.

Un monôme est une expression algébrique formée du produit d’une constante et de variables,chaque variable étant affectée d’un exposant entier positif ou nul.

Exemples

◆ 3x2y5z, et x sont trois monômes. On omet le signe de multiplication entre les éléments

d’un monôme : il est considéré comme implicite. Ainsi, 3x2y5z signifie 3 × x2 × y5 × z.

◆ -27 est un monôme constant. On considère que toutes les variables sont affectées del’exposant 0.

◆ 5x y8z-3 n’est pas un monôme, car les exposants de x et de z ne sont pas des entiers positifs.

◆ 5xy + 2x2z4 n’est pas un monôme, car c’est une somme d’expressions algébriques.

12

2x2y4

5


1


Un polynôme est une expression algébrique formée d’une somme de monômes.Chaque monôme est un terme du polynôme.Un polynôme à deux termes est appelé binôme.Un polynôme à trois termes est appelé trinôme.

Exemples

◆ 2x5 − x4 + x3 − 14 est un polynôme à une variable comportant quatre termes.

◆ 5x3y2z est un monôme à trois variables.

◆ x4 − 20 est un binôme à une variable.

◆ n’est pas un polynôme ; c’est une fraction algébrique formée du quotient

de deux polynômes.

◆ n’est pas un polynôme, car c’est la racine carrée d’une somme.

◆ 2x3 − x-1 + 4 n’est pas un polynôme, car l’exposant du deuxième terme est négatif.

Un terme qui ne contient pas de variable est appelé terme constant.Dans chaque terme, la constante est appelée le coefficient du terme.

Exemples

◆ Dans le polynôme 12x7 + xy − 15, le terme constant est -15, alors que 12 et sont

les coefficients des deux premiers termes.

◆ Le terme constant du polynôme z2 − z est 0.

Le degré d’un terme est la somme des exposants qui affectent ses variables.Le degré d’un terme constant est 0.Le degré d’un polynôme est le plus grand des degrés de ses termes.

Exemples

◆ 17x2yz8 est un monôme de degré 11, car 2 + 1 + 8 = 11 est la somme des exposants desvariables qui le composent. On dit aussi parfois que c’est un monôme du second degré en x,du premier degré en y et du huitième degré en z.

◆ Les degrés des termes du polynôme 9 − 5xy + 7x3 − x6 sont respectivement 0, 2, 3 et 6. C’est donc un polynôme de degré 6.

◆ L’ordre des termes d’un polynôme importe peu mais, par souci esthétique, on placehabituellement les termes d’un polynôme à une variable dans l’ordre décroissant des degrés.On écrira par exemple x6 + 3x4 − 5x2 − 12x + 24 plutôt que 3x4 + x6 + 24 − 12x − 5x2.

Selon le contexte, les variables d’un polynôme pourront prendre différentes valeurs. On évaluealors le polynôme en remplaçant chaque variable par sa valeur.

83

83

x x3 25 7– +

x2 − 3x + 113x4 − 1

43

Chapitre 120


Exemples

◆ Le profit mensuel réalisé par un fabricant de sacs à dos est donné par le polynôme 9x − 0,002x2 $, où x représente le nombre de sacs à dos vendus. Si le fabricant vend 500 sacsà dos, son profit sera de 9(500) − 0,002(500)2 = 4000 $.

◆ Si x = 3, y = -2 et z = 10, le polynôme x4 − 5z2 + 6xyz vaudra :34 − 5(10)2 + 6(3)(-2)(10) = 81 − 500 − 360 = -779.

EXERCICES

21. Parmi les expressions suivantes, indiquer celles qui sont des polynômes.

a) 3x − 5x + 6 d) g) 7x2 −

b) e) x5 − 4 h) x3 − x2 + x −

c) 18 f) + − 4 i)

22. Soit le polynôme 2x4 − 6x3 + 5x + 7.

a) Combien comporte-t-il de termes ? e) Quel est le degré du terme constant ?

b) Quel est son terme constant ? f) Quel est le degré du polynôme ?

c) Quel est le coefficient de x3 ? g) Quel est le coefficient du terme de degré 4 ?

d) Quel est le degré du terme 5x ?

23. Écrire :

a) un binôme de degré 3 ;

b) un trinôme de degré 2 dont le terme constant est -5 ;

c) un polynôme de degré 4 dont tous les coefficients sont impairs ;

d) un monôme constant.

24. Donner le degré de chacun des polynômes suivants, sachant que x, y et z sont des variables.

a) 3x3 + 5x2 − 4x5 + 1 c) -x3y2z + 2x2y3z4 − 25

b) 5xy − 3xyz + 4yz − 6z2 d) 1998

25. Évaluer chacun des polynômes ci-dessous lorsque la variable prend la valeur indiquée.

a) 3x3 + 5x2 − 4x + 1 pour x = 2

b) x3 − x2 − x − 1 pour x = -2

c) 2x2 − x + 3 pour x =

d) 5 pour x = -7

e) On lance un caillou verticalement vers le haut. Sa hauteur (en mètres), t secondes aprèsle lancement, est donnée par le polynôme 20t − 4,9t2. Calculer la hauteur atteinte par lecaillou une demi-seconde après son lancement.

f) Lorsqu’on investit une somme de 1000 $ à un taux d’intérêt de x % composé annuel le ment,le total accumulé après 3 ans est donné par le polynôme 1000 + 30x + 0,3x2 + 0,001x3.Calculer le total accumulé après 3 ans si on investit 1000 $ à un taux d’intérêt de 4 %.

-25

2x2

3x

4 24x x–

20x10

π23

14

15

16

23 x2 − 5x − 3

3x + 1x


1


26. Définir la variable et représenter par un polynôme :

a) la somme du carré et du triple d’un nombre ;

b) la somme des cinq premières puissances entières positives d’un nombre ;

c) le résultat obtenu en multipliant un nombre par 7, puis en soustrayant le quadruple deson carré et en ajoutant 12 ;

d) le salaire hebdomadaire d’un employé qui gagne 12 $ l’heure ;

e) l’aire d’un rectangle dont la longueur mesure 10 cm de plus que la largeur.

1.6.2 Les opérations sur les polynômesOn peut effectuer, sur des polynômes, les mêmes opérations élémentaires que sur les nombresréels, soit l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.

La somme de polynômes

Pour additionner deux polynômes, il suffit d’additionner les coefficients de leurs termes sem-blables, c’est-à-dire les termes qui ont les mêmes variables affectées des mêmes exposants.

Exemples

◆ 3x + 12x + (-17x) = (3 + 12 − 17)x = -2x, car 3 + 12 − 17 = -2

◆ Calculons la somme des polynômes (3x2y − 4xy2 + 6xy − 7x + 15) et (x3 − 5xy2 + xy + 3y + 4x − 2).L’opération est facilitée si on dispose les polynômes l’un au-dessus de l’autre en alignant les termes semblables :

L’opposé d’un polynôme

L’opposé d’un polynôme P est le polynôme -P qu’on obtient en multipliant tous les coefficientsde P par -1.

Exemple

◆ L’opposé du polynôme 3x2 − 5x + 7 est -3x2 + 5x − 7.

La différence de polynômes

Pour soustraire un polynôme Q d’un polynôme P (c’est-à-dire pour effectuer l’opéra-tion P − Q), il suffit d’additionner à P l’opposé de Q.

3x2y − 4xy2 + 6xy − 7x + 15x3 − 5xy2 + xy + 4x − 2 + 3yx3 + 3x2y − 9xy2 + 7xy − 3x + 13 + 3y

Chapitre 122


Exemple

◆ Soustrayons (x3 − 4x + 6) de (3x2 − 5x + 1).L’opposé de x3 − 4x + 6 s’obtient en multipliant chacun des termes par -1.L’opposé de x3 − 4x + 6 est -x3 + 4x − 6.(3x2 − 5x + 1) − (x3 − 4x + 6) = (3x2 − 5x + 1) + (-x3 + 4x − 6)

= 3x2 − 5x + 1 − x3 + 4x − 6= -x3 + 3x2 − x − 5

La soustraction n’est pas commutative (P − Q ≠ Q − P). Il est donc très important de bien lirel’énoncé de façon à savoir quel polynôme il faut soustraire.

L’utilisation des parenthèsesOn peut supprimer des parenthèses précédées du signe « + » sans modifier la valeur del’expression entre parenthèses.

Exemple

◆ (x2 + 3x + 1) + (y3 − 4y) = x2 + 3x + 1 + y3 − 4y

On peut supprimer des parenthèses précédées du signe « − » en remplaçant l’expressionentre parenthèses par son opposé (c’est-à-dire en multipliant tous ses coefficients par -1).

Exemples

◆ -(2x5 + 4x3 − x + 6) − (y4 + 2y2 − 3y) = -2x5 − 4x3 + x − 6 − y4 − 2y2 + 3y◆ Pour simplifier une expression contenant plusieurs parenthèses, on supprime d’abord les

parenthèses situées le plus à l’intérieur.(3x − (2x + 2y − (x + 1))) − (x + y − (2x − 3)) = (3x − (2x + 2y − x − 1)) − (x + y − 2x + 3)

= (3x − (x + 2y − 1)) − (-x + y + 3)= (3x − x − 2y + 1) + x − y − 3= (2x − 2y + 1) + x − y − 3= 2x − 2y + 1 + x − y − 3= 3x − 3y − 2

◆ Le même principe s’applique à l’introduction de parenthèses.x + y + a + b = (x + y) + (a + b)x + y − a − b = (x + y) − (a + b)

La multiplication d’expressions algébriques fait appel aux propriétés des exposants. Avec desvariables, ces propriétés sont identiques à celles présentées pour les nombres réels à la section 1.5.2(voir la page 12).

Les propriétés des exposants pour la multiplication de polynômesSi m et n sont des entiers positifs :

xm × xn = xm + n

(xm)n = xmn

x0 = 1 si x ≠ 0


1


Le produit de monômes

Pour multiplier deux monômes, il s’agit de multiplier d’abord les coefficients, puis demultiplier les variables semblables en additionnant les exposants.

Exemple

◆ (2x2y)(3xy3z) = (2 × 3)(x2x)(yy3)(z) = 6x2 + 1y1 + 3z = 6x3y4z

Le produit de polynômes

Pour multiplier deux polynômes, il suffit de multiplier chaque terme du premier parchaque terme du second.

On utilise ici la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition :a × (b + c) = a × b + a × c ou a(b + c) = ab + ac

Exemples

◆ Effectuons le produit de (x2 − xy + y2) par (x + 2y).(x2 − xy + y2)(x + 2y) = x2(x + 2y) − xy(x + 2y) + y2(x + 2y)

= x3 + 2x2y − x2y − 2xy2 + xy2 + 2y3

= x3 + x2y − xy2 + 2y3

On pourrait aussi présenter l’opération comme suit :

◆ Pour élever un polynôme à une puissance n, il suffit de multiplier le polynôme n fois par lui-même.(2x − 5)2 = (2x − 5)(2x − 5) = 4x2 − 10x − 10x + 25 = 4x2 − 20x + 25

Lorsqu’on additionne, qu’on soustrait ou qu’on multiplie deux polynômes, on obtient toujoursun polynôme. Il est possible de diviser deux polynômes, mais le résultat n’est pas toujours unpolynôme. Nous aborderons la division et la factorisation des polynômes au chapitre 2.

L’ordre de priorité des opérations

L’ordre de priorité des opérations dans l’ensemble des polynômes est le même que celuidans .





x2 − xy + y2

× x + 2y2x2y − 2xy2 + 2y3 (on multiplie x2 − xy + y2 par 2y)

+ x3 − x2y + xy2 (on multiplie x2 − xy + y2 par x)x3 + x2y − xy2 + 2y3

Chapitre 124


Exemple

◆ Évaluons l’expression 3(x + 2)2 − (2x − 5)(3x + 1) − (x − x(x3 − x)).3(x + 2)2 − (2x − 5)(3x + 1) − (x − x(x3 − x)) = 3(x + 2)2 − (2x − 5)(3x + 1) − (x − x4 + x2)

= 3(x2 + 4x + 4) − (2x − 5)(3x + 1) − (x − x4 + x2)= 3x2 + 12x + 12 − (6x2 − 13x − 5) − (x − x4 + x2)= 3x2 + 12x + 12 − 6x2 + 13x + 5 − x + x4 − x2

= x4 − 4x2 + 24x + 17

EXERCICES

27. Additionner les polynômes suivants.

a) x + 3y − 4z et 2x − 5y + z

b) 2x2 + 5x − 3 et 4x2 − 6x + 7

c) x3 + 6x − 8 et -x3 + 4x2 + 3x − 11

d) x2 + x − et x2 − x +

e) 2x3y + 5xy2 − 4x3 + x2y2 et xy3 − x2y2 + 5x3 − x + 10

f) ax + by + c et bx − ay + c et -x + y + 2, où a, b et c sont des constantes

28. Additionner les polynômes ci-dessous et indiquer leur degré ainsi que le degré de leursomme.

a) 2x2 + 3x + 4 et x4 − 2x3 + x2 − x + 6

b) x5 + 1 et x4 − 2

c) 3x3 − 6x + 7 et 5x2 − x − 12

d) x3 + 2x2 − 6x + 1 et 3x3 + x2 − x + 8

e) 3x3 + 2x2 − x − 1 et -3x3 − 4x2 + 5x − 10

f) x5 − 2x + 3 et -x5 + 3x2 + 5x − 4

29. Utiliser les résultats obtenus au numéro précédent pour répondre aux deux questionssuivantes.

a) Si deux polynômes sont de degrés différents, que peut-on dire du degré de leur somme ?

b) La réponse précédente reste-t-elle toujours vraie lorsque les deux polynômes sont demême degré ? Sinon, dans quel cas est-elle fausse ?

30. Trouver l’opposé de chacun des polynômes suivants.

a) 3a + b − c c) -2a2b2 + b3 − 6a2b3 + 7a2b

b) x2 − 8x + 7 d) − xy + x2

31. Soustraire le premier polynôme du second.

a) 5a − b + 2c de 3a + b − c

b) 3x2 − 5x + 6 de x2 − 8x + 7

73

25

34

12

13

14

15

25

23


1


c) x4 − 2x3 + 6x2 − x + 1 de x2 + 1

d) a2b2 + 3ab3 − 5a2b + b3 de -2a2b2 + b3 − 6a2b3 + 7a2b

e) x3 − 5x + 2 de x4 + 3x2

f) x3y + 7x2y2 − y4 + 17 de -x3y − 7x2y2 − y4 − 1

g) x2 − x + 1 de x3 − x +

h) xy − x2 + de − xy + x2

32. Simplifier les expressions ci-dessous en supprimant les parenthèses.

a) (2x + 3y − 4) + (-x + 6y − 5) e) -(x − (x − (x − x)))

b) (x2 − 3x + 5) − (2x2 − 5x + 1) f) 2 − (x2 + xy − y2) − (3x2 − (4 + 3xy))

c) -(a + b) + (a − (a + b)) g) -(-(x + (x − a) − (x − b)) + x − (a + b))

d) 2x + (y + (3x − (x − 2y) + 4x) − 5y)

33. En conservant l’ordre des termes, et sans changer la valeur de l’expression, regrouper les termes deux par deux en introduisant des parenthèses (voir l'exemple de la pageprécédente).

a) a + b + c + d c) a + b − c + d e) a − b − c + d

b) a + b + c − d d) a + b − c − d f) 2x + 3y − 4x2 + 6y2 − 9x3 − y3

34. Effectuer les produits suivants.

a) (5x2y3z)(-2xy) j) (5x2 − 7x + 1)(4x + 3)

b) (abc)(-4b2)(-7x) k) (x − 2y)3

c) (-10)3(x5)(-2x4)(-3x)2 l) (t − s)(t + s)

d) 12x2y5z3x4y6y2xyz m) (t + s)(t + s)

e) (-2x3yz4)5 n) (a + b + c)(a + b − c)

f) 3x6(4x3 − 5x2 + x − 7) o) (2x − 5)(4x2 + 10x + 25)

g) (x + 5)(x − 3) p) (2x − 1)(3x + 2)(x − 7)

h) (3x − 4)(2x + 7) q)

i) (x2 + xy − y2)(x − y) r)

35. Effectuer chacune des opérations suivantes.

a) (x + 2)(2x − 3) f) (x + 1) − x2(x − 3)2

b) x + 2(2x − 3) g) (x − 2)2 − 4(x + 2)2

c) x + 2 × 2x − 3 h) ((2 − x) − (x − 4)(x + 4))2

d) (x + 5)2 − 25 i) (3x + 1) − (x − 6)(x + 6) − 4(1 − 2x)

e) x − 2(x − 2(x − 2)) j) (x + 2)3 − (x − 2)3

56

23

32

14

x y x y– +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

23

2 13

2x y x– –⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

43

25

52

73

25

43

14

23

18

29

Chapitre 126


1.7 Les équations

1.7.1 Les caractéristiques d’une équation

Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs variables. Selon la valeur attribuée à chacune des variables, une équation devient une égalité vraie ou une égalité fausse.

Le domaine d’une équation est l’ensemble des valeurs qu’on peut attribuer à sa ou ses variables.

Les valeurs du domaine qui transforment une équation en une égalité vraie sont les solutionsde l’équation. L’ensemble de toutes les solutions est appelé ensemble solution.

Deux équations sont dites équivalentes si elles ont le même ensemble solution.

Une équation qui est vraie pour toutes les valeurs de son domaine est une identité.

Lorsqu’on cherche le domaine d’une équation, il faut se rappeler ces deux principes :• on ne peut jamais diviser par 0 ;• on ne peut pas extraire une racine paire d’un nombre négatif.

Dans ce chapitre, nous étudierons les équations contenant des polynômes de degré 1.

La résolution d’autres types d’équations fera l’objet des chapitres suivants, mais il est tout de mêmepossible dès maintenant de trouver le domaine d’équations simples.

Exemples

◆ x + 2 = 5 est une équation du premier degré à une variable dont le domaine est .x = 3 est son unique solution, puisque 3 est la seule valeur qu’on peut donner à x pourobtenir une égalité vraie. Son ensemble solution est donc {3}.

◆ x + y = 10 est une équation à deux variables qui possède une infinité de solutions, soit tous les couples de nombres réels dont la somme est 10. Son ensemble solution est

.On a, entre autres, (2, 8) ∈S, (-25, 35) ∈S, (1,23 ; 8,77) ∈S, etc.

◆ Les équations x + 2 = 5, 4x − 5 = 7 et x = 3 sont équivalentes puisqu’elles ont toutes trois la même solution, soit x = 3. En effet, 3 + 2 = 5, 4(3) − 5 = 7 et 3 = 3.

◆ (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 est une identité puisqu’elle devient une égalité vraie quelle que soit lavaleur de x. Son ensemble solution est . On utilise parfois le symbole « � » pour désignerune identité. On écrira alors (x + 1)2 � x2 + 2x + 1.

◆ = est une équation dont le domaine est , puisque les valeurs 0 et 4

annulent les dénominateurs et qu’on ne peut pas diviser par 0.

◆ = 2x2 est une équation dont le domaine est . Elle est équivalente à 2x2 = 2x2 si x ≠ 0.

C’est donc une identité dans .\ 0{ }

S x y x y x y= + =( , ) ∈ ∈{ }, et 10

2x3

x\ 0{ }

x + 7x − 4

2x − 3x

\ 0, 4{ }


1

• Distinguerune équa-tion d’uneidentité.

• Trouver le domained’uneéquation.

• Vérifier si un nombreréel est une solu-tion d’uneéquation.

• Transformerune équa-tion en uneéquationéquivalente.


◆ est une équation dont le domaine est . Il faut exclure les valeurs de xinférieures à 4, puisque x − 4 serait alors négatif et qu’on ne peut pas extraire la racine carréed’un nombre négatif. La recherche du domaine d’une équation comportant une racine pairenécessite souvent la résolution d’une inéquation. Nous étudierons les méthodes de résolutiondes inéquations du premier degré à la fin de ce chapitre et d’autres types d’inéquations dansles prochains chapitres.

◆ est une équation dont le domaine est . En effet, on peut trouver la racinecinquième (ou toute racine impaire) de n’importe quel nombre réel.

EXERCICES

36. Pour chacune des équations ci-dessous, préciser le domaine et vérifier si la valeur proposéeest une solution.

a) 2x − 5 = 7 si x = 6 c) 3t + 4 = 5t − 1 si t = -2

b) y2 − 2y = 0 si y = 0 d) + 2 = si x = 0

37. Donner le domaine de chacune des équations ci-dessous et indiquer lesquelles sont desidentités.

a) x = 0 d) (x + 2)2 = x2 + 4

b) x2 − 9 = (x + 3)(x − 3) e) x + 7 = y + 7

c) = x f) x + 5 =

38. Trouver le domaine de chacune des équations suivantes.

a) x2 − 3x + 5 = 8 − x d)

b) + = 0 e)

c) = f) =

39. Trouver une équation équivalente à chacune des équations suivantes.

a) x + 10 = 100 b) = 5

1.7.2 Les propriétés des équationsRésoudre une équation, c’est en chercher les solutions. Dans ce but, il faut transformer l’équationini tiale en une ou plusieurs équations équivalentes de la forme x = c, où c est une constante, ce quidonne explicitement les solutions.

Une équation est comparable à une balance dont les deux plateaux sont au même niveau. Si onmodi fie la charge d’un des plateaux, il faut faire de même à l’autre plateau pour maintenir l’équilibre.

Si on ajoute un même nombre réel à deux quantités égales, on obtient deux quantités elles-mêmes égales.

x4

x3 − 5x2

10 − xx + 2

x + 2(x + 3)(x + 4)

x2 − 16(x − 3)2

x3

3x

3 4 13 4x x– = +

x x x= – +2 4 75

x2

x2x + 10

2

3x − 42

1 − xx

x x25 3 2+ – =

x – =4 5 4, +∞⎡⎣ ⎡⎣

Chapitre 128



1

Lorsqu’on additionne un même nombre réel aux deux membres d’une équation, on obtientune équation équivalente.

A = B est équivalente à A + C = B + C pour tout nombre réel C.

Exemple

◆ Si x + 2 = 7, alors x + 2 + 3 = 7 + 3 ou x + 5 = 10.Les équations x + 2 = 7 et x + 5 = 10 sont équivalentes. On peut constater que ces deuxéquations, dont le domaine est , ont pour solution x = 5. Leur ensemble solution est .

Si on soustrait un même nombre réel de deux quantités égales, on obtient deux quantités elles-mêmes égales.

Lorsqu’on soustrait un même nombre réel des deux membres d’une équation, on obtientune équation équivalente.

A = B est équivalente à A − C = B − C pour tout nombre réel C.

Exemple

◆ 3x + 1 = 2x est équivalente à 3x + 1 − 2x = 2x − 2x, soit x + 1 = 0.On peut constater que ces deux équations ont comme solution x = -1. Leur ensemblesolution est .

Si on multiplie deux quantités égales par un même nombre réel non nul, on obtient deux quantitéselles-mêmes égales.

A A A A B B BB

-1{ }

AC

BC

A-C B-C

5{ }

A B A C B C


Lorsqu’on multiplie les deux membres d’une équation par un même nombre réel non nul,on obtient une équation équivalente.

A = B est équivalente à AC = BC pour tout nombre réel C ≠ 0.

Exemples

◆ 2x − 3 = 4 est équivalente à -3(2x − 3) = -3(4), soit -6x + 9 = -12.

On peut constater que ces deux équations ont comme solution x = . Leur ensemble

solution est .

◆ 2x − 3 = 4 n’est pas équivalente à 0(2x − 3) = 0(4).La dernière équation devient 0 = 0, qui est une égalité toujours vraie, alors que la première

n’a qu’une solution, soit x = .

Si on divise deux quantités égales par un même nombre réel non nul, on obtient deux quantitéselles-mêmes égales.

Lorsqu’on divise les deux membres d’une équation par un même nombre réel non nul, onobtient une équation équivalente.

A = B est équivalente à = pour tout nombre réel C ≠ 0.

Exemples

◆ 3x = 4 est équivalente à = , soit x = . Leur ensemble solution est .

◆ x + 4 = 5 est équivalente à = , à condition que x − 3 soit différent de 0, c’est-à-dire

que x ≠ 3 (car le dénominateur égale 0 lorsque x = 3). Le domaine de la première équation est , alors que celui de la seconde est .

Le nombre réel auquel on fait référence dans les propositions précédentes peut être autant uneconstante qu’une expression algébrique dont les variables représentent un nombre réel.

\ 3{ }

x + 4x − 3

5x − 3

3x3

43

43

43{ }

AC

BC

72

72{ }

72

Chapitre 130


À partir d’une équation initiale, on obtient une équation équivalente :

• en additionnant un même nombre réel aux deux membres de l’équation ;

• en soustrayant un même nombre réel des deux membres de l’équation ;

• en multipliant les deux membres de l’équation par un même nombre réel non nul ;

• en divisant les deux membres de l’équation par un même nombre réel non nul.

On se servira de ces transformations pour simplifier l’équation initiale et obtenir une ou plusieurséquations équivalentes de la forme x = c, lesquelles donneront alors explicitement les solutions del’équation.

Si les équations A = B et C = D sont équivalentes, on écrit A = B ⇔ C = D.

D’où vient le mot algèbre?

Au début du IXe siècle, l’Empire arabo-musulman s’étend de l’Espagne àl’Inde. Bagdad, sa capitale, s’ouvre progressivement aux savoirs aussi

bien de la Grèce antique que de l’Inde. Dans cette atmosphère de bouillonne -ment intellectuel, un astronome et mathématicien se démarque. Il s’appelleMuhammad Ibn Musa al-Khwarizmi (vers 780-850 de notre ère). Son livrele plus célèbre a pour titre Précis sur le calcul de l’al-jabr et al-muqabala.Dans le langage courant, le terme al-jabr signifie « le» (al) «rebouteur» (jabr),c’est-à-dire celui qui remet en place les membres démis. Dans le calcul dontil est question dans ce livre, cela veut dire faire disparaître les termes néga -tifs dans une équation, comme s’il fallait remettre en place ce qui avait étéenlevé. Ce livre a été traduit en latin au Moyen Âge. Les traducteurs ontconservé le mot al-jabr, qui est devenu algebra en latin. Ce terme a rapide -ment servi à nommer tout ce calcul nouveau, l’algèbre.

EXERCICES

40. Les paires d’équations ci-dessous sont équivalentes. Indiquer la propriété utilisée pourobtenir la seconde équation à partir de la première.

a) 3x + 5 = -2 et 3x = -7 b) = 0 et 6x − 8 = 0

1.8 Les équations du premier degré à une variable

Une équation du premier degré à une variable est une équation qui contient une seule variable,toujours affectée de l’exposant 1 et n’apparaissant ni au dénominateur ni sous un radical.

Le domaine d’une équation du premier degré à une variable est , à moins que le contexten’oblige à le restreindre.

6x − 89


1

Résoudre une équationdu premierdegré à unevariable.


Exemples

◆ = 8x − 14 est une équation du premier degré à une variable dont le domaine est .

◆ ax + b = cx − d, où a, b, c et d sont des constantes réelles, est aussi une équation du premierdegré à une variable. Son domaine est .

◆ 3x2 − 5x + 7 = 4x − 3 est une équation du second degré, puisque la variable x est affectée de l’exposant 2.

◆ = n’est pas une équation du premier degré, puisque la variable x apparaît

au dénominateur.

◆ n’est pas une équation du premier degré, puisqu’elle comporte uneracine carrée d’un polynôme.

On peut résoudre une équation du premier degré à une variable en cherchant une équationéquivalente de la forme x = c (où c est une constante). La solution de l’équation est alors c,et cette solution est unique.

Exemples

◆ Soit l’équation 3x + 1 = x − 3. Son domaine est .En utilisant les propriétés des équations, on obtient :3x + 1 − x = x − 3 − x (en soustrayant x des deux membres de l’équation)

2x + 1 = -32x + 1 − 1 = -3 − 1 (en soustrayant 1 des deux membres de l’équation)

2x = -4

= (en divisant les deux membres de l’équation par 2)

x = -2On peut vérifier la solution en remplaçant x par -2 dans l’équation initiale.

3(-2) + 1 = -2 − 3-6 + 1 = -5

-5 = -5-2 est bien une solution de l’équation, puisqu’on obtient une égalité vraie. L’ensemble solution de l’équation est {-2}.

◆ Soit l’équation + 3 = 6x − . Son domaine est .

Lorsqu’une équation comporte plusieurs dénominateurs, il est utile de chercher le plus petit dénominateur commun afin de pouvoir multiplier les deux membres de l’équation par ce dénominateur. Dans cet exemple, le plus petit dénominateur commun est 12.

+ 3 = 6x −

(en multipliant les deux membres de l’équation par 12)

2x + 36 = 72x − 32x + 36 − 36 = 72x − 3 − 36 (en soustrayant 36 des deux membres de l’équation)

2x = 72x − 39

x x126

3 12 6 14

+ = –⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x6

14

x6

14

2x2

-42

5 13 14x x– = +

x + 1x − 2

4x5

3x + 25

Chapitre 132


2x − 72x = 72x − 39 − 72x (en soustrayant 72x des deux membres de l’équation)-70x = -39

= (en divisant les deux membres de l’équation par -70)

x =

On vérifie la solution en remplaçant x par dans l’équation initiale.

L’ensemble solution de l’équation est .

◆ L’équation 3x + 1 = 3x − 5 n’a aucune solution, car elle est équivalente à une égalité toujoursfausse.3x + 1 − 3x = 3x − 5 − 3x

1 = -5Son ensemble solution est Ø.

◆ L’ensemble solution de l’équation = x + 1 est , car elle est équivalente à une égalitétoujours vraie.

◆ Soit l’équation = 2, où a, b et c sont des constantes, a ≠ 0 et c ≠ 0.

Son domaine est .

On a pu diviser par a, car a ≠ 0.

Ce sont les opérations élémentaires (+, −, ×, ÷) qui permettent d’obtenir une équation équi -valente (à la condition de ne pas multiplier ou diviser par 0). Il faut bannir de son vocabulairedes expressions telles que « Ça change de côté, alors ça change de signe. » ou « Je laisse tomber ledénominateur. » Il faut plutôt penser en termes d’addition, de soustraction, de multi pli cationou de division. Ce n’est qu’à partir du moment où l’on a pris cette habitude qu’on peut sepermettre de sauter des étapes pour chercher la solution.Il faut toujours vérifier la solution en remplaçant la variable de l’équation initiale par la valeurtrouvée. La calculatrice se révèle utile si l’équation comporte des fractions ou si la solution n’estpas un entier.

ax bc

c ax bc c

ax b cax b b c b

ax

+ =

+ =

+ =+ – = –

=

2

2

22

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

222

2

c baxa

c ba

x c ba

–

= –

= –

ax + bc

3 33

1

3 3 33

3 1

3 3 3 3

x x

x x

x x

+ = +

+ = +

+ = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ( )

3x + 33

3970{ }

3970

3970

-70x-70

-39-70


1

ATTENTION !


Certaines équations comportant des polynômes de degré supérieur à 1 sont équivalentes à deséquations du premier degré. On peut les résoudre en effectuant une simplification préalable à l’aidedes propriétés des équations.

Exemple

◆ Soit l’équation (x − 4)2 = x2 − 4.(x − 4)2 = x2 − 4

x2 − 8x + 16 = x2 − 4x2 − 8x + 16 − x2 − 16 = x2 − 4 − x2 − 16

-8x = -20

=

x =

EXERCICES

41. Résoudre chacune des équations suivantes.

a) 8x − 5 = 3x + 2 h) t − 4 = 3t +

b) 14z + 7 = 7 i) 3(2x − 5) = -8(x + 7)

c) -6(2t − 7) = 72t j) + 2 =

d) + 5 = -12 k) = 2x −

e) = x − l) 3x − =

f) 6y − = m) 18 + 3,25t = 5t − 9

g) -2x + 10 = 5x + 25 n) + 1,3 = 2y − 5

42. Résoudre chacune des équations suivantes (a et b sont des constantes non nulles).

a) ax + b = a − b d) 3x2 − 10x + 2 = 3(x2 + x − 4)

b) (x + a)2 = x2 − b e) (2x + 5)2 = (4x − 1)(x + 3)

c) + b = ab − a f) 5x(2x − 5) = 12x2 + x − 7 − 2(4 − x)2xa

y0,2

y − 25

25 − 7y9

2x + 32

34

3 − x3

3 − 3x33

2x5

6 − x3

56

3u5

-4u7

12

54

52

-8x-8

-20-8

Chapitre 134


1.9 La résolution de problèmes contenant des équations

Jusqu’à maintenant, on s’est surtout attardé aux techniques algébriques, c’est-à-dire à l’utilisationd’« outils mathématiques ». Toutefois, il n’est pas plus intéressant de savoir résoudre des équationssi on ne peut jamais les exploiter pour trouver la solution d’un problème que de savoir utiliser unmarteau si on ne peut jamais planter un clou.

Pour résoudre un problème, il faut d’abord en comprendre l’énoncé (donc bien le lire), cerner cequ’on cherche, établir une stratégie de résolution, choisir les outils nécessaires et les utilisercorrectement et, enfin, interpréter la solution.

Pour résoudre un problème au moyen d’équations du premier degré à une variable :

1. Lire l’énoncé une première fois pour bien saisir le contexte du problème.

2. Relire l’énoncé pour repérer ce qu’on connaît (les constantes) et ce qu’on cherche (les variablesou inconnues).

3. Définir la variable. S’il y a une seule variable, la représenter par une lettre. Par exemple, soit xl’âge de Marie. S’il y a plusieurs variables, essayer de les définir en fonction d’une seule. Parexemple, on peut représenter trois nombres entiers consécutifs par x, x + 1 et x + 2 plutôt quepar x, y et z.

4. Poser l’équation qui décrit l’énoncé. C’est le modèle mathématique du problème. En lisantl’équation et en remplaçant les constantes et les variables par les mots appropriés, on doitpouvoir retrouver l’énoncé du problème.

5. Résoudre l’équation.

6. Interpréter la solution et répondre à la question en éliminant, s’il y a lieu, les solutionsinacceptables (par exemple, des valeurs négatives pour une longueur).

7. Vérifier la solution.

On repère en général les variables dans des questions telles que « Quel est… ? », « Combien de… ? »,« Trouver… », etc.

Dans une équation, les variables représentent des nombres, des quantités. La définition de lavariable doit donc l’indiquer clairement. Pour répondre à la question « Combien la classe compte-t-elle d’élèves ? », on définit la variable au moyen de l’expression « soit x le nombre d’élèves »,plutôt que « soit x les élèves ». De même, pour répondre à la question « Quel est le poids des noixd’acajou ? », on écrira « soit x le poids (en kg) des noix d’acajou », plutôt que « soit x les noix d’acajou ».

Exemple

◆ Dans un examen à choix multiples de 25 questions, on accorde 4 points par bonne réponseet on enlève 2 points par mauvaise réponse. Martine obtient une note de 64 %. Si elle arépondu à toutes les questions, combien a-t-elle donné de bonnes réponses ?

1. Lire l’énoncé une première fois.

2. Relire l’énoncé.On connaît le nombre de questions (25), le nombre de points pour les bonnes réponses (4),le nombre de points pour les mauvaises réponses (-2) et la note de Martine (64).Ce sont les constantes. On cherche le nombre de bonnes réponses : c’est la variable.


1

• Utiliser unestratégie derésolution deproblèmes.

• Résoudre des pro blèmes au moyend’équationsdu premierdegré à unevariable.


3. Définir la variable.Soit x le nombre de bonnes réponses.On pourrait désigner par y le nombre de mauvaises réponses, mais on aurait alors uneéquation à deux variables.On doit chercher une relation entre le nombre de bonnes réponses et le nombre demauvaises réponses. On sait qu’il y a 25 questions au total. Ainsi x + y = 25 et y = 25 − x.Si Martine a donné x bonnes réponses, elle a donc donné (25 − x) mauvaises réponses.

4. Poser l’équation.La note de Martine découle de l’addition des points reçus pour les bonnes réponses et de la soustraction des points perdus pour les mauvaises réponses.Elle a obtenu 4 points par bonne réponse, soit 4x points.On lui a enlevé 2 points par mauvaise réponse, soit 2(25 − x) points.Par conséquent, son résultat est donné par 4x − 2(25 − x) = 64.

5. Résoudre l’équation.4x − 2(25 − x) = 64

4x − 50 + 2x = 646x = 114

x = 19

6. Interpréter la solution.Puisque x représente le nombre de bonnes réponses, Martine a répondu correctementà 19 questions.

7. Vérifier la solution.Martine a obtenu 4 points pour chacune de ses 19 bonnes réponses et elle a perdu 2 pointspour chacune de ses 6 mauvaises réponses.Son résultat est donc 4 × 19 − 2 × 6 = 76 − 12 = 64.

EXERCICES

Pour chacun des exercices ci-dessous, définir la variable, poser l’équation, en trouver la solutionet répondre à la question.

43. Trouver trois entiers consécutifs dont la somme est 468.

44. La différence entre deux nombres est 15, et leur somme est 501. Quels sont ces deuxnombres ?

45. La somme de deux entiers pairs consécutifs est le triple du plus petit de ces nombres. Quelssont ces deux nombres ?

46. À ses trois premiers examens, Annick a obtenu des notes de 76 %, 63 % et 84 %. Tous lesexamens ont une pondération égale pour le calcul de la note finale (chaque examencompte pour 25 % de la note).a) Quelle note Annick doit-elle obtenir au quatrième examen pour parvenir à une moyenne

de 80 % ?b) Peut-elle espérer une moyenne de 90 % ? Expliquer votre réponse.

47. Un camelot reçoit 10 $ par semaine, plus 0,05 $ par journal livré. Combien de journauxdoit-il livrer par semaine s’il veut toucher un salaire hebdomadaire de 25 $ ?

Chapitre 136


48. Un père de 38 ans a un fils de 12 ans. Dans combien d’années l’âge du père sera-t-il ledouble de celui de son fils ?

49. Deux employés sont embauchés le même jour dans une usine. Le salaire du premier s’élèveà 23 100 $ par année, assorti d’une augmentation annuelle de 600 $. Le salaire annuel dusecond atteint 25 000 $, assorti d’une augmentation de 500 $ par année. Dans combiend’années ces deux employés toucheront-ils le même salaire ?

50. En vidant sa tirelire, Stéphanie constate que celle-ci renferme 114 pièces de monnaie,soit des pièces de 10 ¢ et des pièces de 5 ¢. Son avoir total est de 7,85 $. Combien a-t-elle depièces de chaque valeur ?

51. La superficie de la terre de M. Séguin était supérieure de 80 ha (hectares) à celle de la terrede son voisin. Il a vendu à ce dernier un sixième de sa terre. Les deux terres ont maintenantla même superficie. Quelle était auparavant la superficie de chacune des terres ?

52. Pour son cours de littérature anglaise, Patrick doit lire un roman de 219 pages. Depuisquatre jours, il lit chaque soir le même nombre de pages. Il lui en reste 39 à lire. Combiende pages lit-il chaque soir ?

53. Un tiers des étudiants d’un cégep sont inscrits en sciences de la nature, un cinquième ensciences humaines, et 2128 à un programme technique. Combien d’étudiants fréquententce collège ?

54. Étienne a bu le tiers d’un contenant de jus de pomme au petit déjeuner et le quart aumoment de la collation. Il reste 150 ml de jus. Quelle est la capacité de ce contenant ?

55. On installe, au bord d’une piscine, une estrade pour les spectateurs d’une compétition denatation. Si on prévoit asseoir 11 spectateurs par banc, 3 d’entre eux devront rester debout.Par ailleurs, si on prévoit 12 spectateurs par banc, il restera 2 places libres. Combien l’estradecompte-t-elle de bancs et combien y a-t-il de spectateurs ?

56. À quelle heure précise, entre 1 h et 2 h, les aiguilles d’une horloge sont-elles superposées ?

57. Rien ne sert de courir, il faut partir à point.Le lièvre et la tortue en sont un témoignage.Ce sont-là les deux premiers vers d’une fable célèbre de La Fontaine. Amusons-nous àmodifier cette fable.Dix fois plus vite que toi, je peux me déplacer,Dit le lièvre confiant à la tortue bien sage,Cinquante mètres d’avance je pourrais te donner,Que vainqueur je serai au bout de ce voyage.C’est la longueur du parcours qui déterminera le vainqueur. À quelle distance du point de départ le lièvre rattrapera-t-il la tortue ?


1


1.10 Les inéquations

1.10.1 Les caractéristiques d’une inéquation

Une inéquation est une inégalité qui contient une ou plusieurs variables. Selon la valeur attri buéeà chacune des variables, une inéquation devient une inégalité vraie ou une inégalité fausse.

Le domaine d’une inéquation est l’ensemble des valeurs qu’on peut attribuer à sa ou ses variables.

On appelle solution d’une inéquation toute valeur par laquelle on peut remplacer la variablepour obtenir une inégalité vraie.

L’ensemble de toutes les solutions d’une inéquation est son ensemble solution.

Exemple

◆ 2x + 1 < 7 est une inéquation à une variable dont le domaine est .x = 5 n’est pas une solution de cette inéquation, car 2 × 5 + 1 < 7 est une inégalité fausse.x = 1 est une solution, car 2 × 1 + 1 < 7 est une inégalité vraie.

La prochaine section explique les méthodes permettant de trouver toutes les solutions de cette inéquation.

1.10.2 Les propriétés des inéquations

Lorsqu’on additionne un même nombre réel aux deux membres d’une inéquation, onobtient une inéquation équivalente.

A B est équivalente à A + C > B + C pour tout nombre réel C.

Exemple

◆ Si x < 7, alors x + 5 < 7 + 5. Ces deux inéquations ont les mêmes solutions, soit tous les nombres réels inférieurs à 7.

Lorsqu’on soustrait un même nombre réel des deux membres d’une inéquation, on obtientune inéquation équivalente.

A B est équivalente à A − C > B − C pour tout nombre réel C.

Exemple

◆ Les inéquations 2x + 1 > 8 et 2x > 7 sont équivalentes, puisque la seconde est obtenue à partirde la première en soustrayant 1 des deux membres de l’inéquation.

Chapitre 138

Transformeruneinéquation en uneinéquationéquivalente.

Lorsqu’on multiplie les deux membres d’une inéquation par un même nombre réelpositif, on obtient une inéquation équivalente.

A B est équivalente à AC > BC pour tout nombre réel positif C.

Exemple

◆ Si x + 1 < 10, alors 3(x + 1) < 30. Tous les nombres réels inférieurs à 9 sont des solutions des deux inéquations.

Lorsqu’on multiplie les deux membres d’une inéquation par un même nombre réelnégatif, on inverse le sens de l’inégalité.

A BC pour tout nombre réel négatif C.A > B est équivalente à AC < BC pour tout nombre réel négatif C.

Exemple

◆ Les solutions de l’inéquation x > 5 sont tous les nombres réels supérieurs à 5. Par exemple,le nombre 8 est une solution.Si on multiplie simplement les deux membres de l’inéquation par -2, on obtient -2x > -10.Remplaçons x par 8 : -16 > -10 est une inégalité fausse. Donc, 8 n’est pas une solution del’inéquation -2x > -10.Par contre, si on inverse le sens de la relation en remplaçant le symbole > par le symbole <,on obtient -2x < -10, qui est équivalente à l’inéquation initiale.

Lorsqu’on divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre réel positif,on obtient une inéquation équivalente.

A B est équivalente à > pour tout nombre réel positif C.

Exemple

◆ 3x > 15 et x > 5 sont des inéquations équivalentes.

Lorsqu’on divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre réel négatif,on inverse le sens de l’inégalité.

A pour tout nombre réel négatif C.

A > B est équivalente à < pour tout nombre réel négatif C.AC

BC

AC

BC

AC

BC

AC

BC


1

Exemple

◆ Si -10x < 60, alors x > -6 est une inéquation équivalente.

Toutes les propriétés des inéquations restent valables si on remplace le symbole < par ≤ ou lesymbole > par ≥.

Les seules opérations qui permettent d’obtenir des inéquations équivalentes sont les opérationsélémentaires (+, −, ×, ÷), sous réserve des conditions énoncées précédemment. On n’obtientpas une inéquation équivalente en élevant au carré ou en extrayant la racine carrée des deuxmembres d’une inéquation.

Exemple

◆ Les solutions de l’inéquation x < 3 sont tous les nombres réels inférieurs à 3.

Si on élève au carré les deux membres de l’inéquation, on obtient x2 < 9.

Seuls les nombres réels compris entre -3 et 3 ont un carré inférieur à 9.

Ainsi, le nombre -4 est une solution de la première inéquation, mais pas de la seconde. Les deux inéquations ne sont donc pas équivalentes.

EXERCICES

58. Pour chacune des inéquations ci-dessous, vérifier si le nombre -2 est une solution.

a) 3x − 5 > 0 b) 2x + 5 < 2

59. Soit l’inéquation x < -4. Remplacer les pointillés par le symbole approprié (< ou >).

a) x + 2 ... -2 c) ... -2 e) x − 3 ... -7

b) 5x ... -20 d) -x ... 4 f) ... 1

60. Soit l’inéquation 2x − 1 > 3. Pour chacune des inéquations ci-dessous, donner une valeurde a permettant d’obtenir une inéquation équivalente.

a) 2x + a > 7 c) ax + 5 < -15

b) 8x − 4 > a d) -x + a <

1.11 Les inéquations du premier degré à une variable

Une inéquation du premier degré à une variable est une inéquation qui contient une seulevariable toujours affectée de l’exposant 1 et n’apparaissant ni au dénominateur ni sous un radical.

-32

x-4

x2

Chapitre 140

ATTENTION !

Trouverl’ensemblesolution d’uneinéquation dupremier degréà une variable.

Pour résoudre une inéquation du premier degré à une variable, on fait appel aux propriétés néces -saires pour la transformer en une inéquation équivalente de la forme x < c, x > c, x ≤ c ou x ≥ c(où c est une constante).

Exemple

◆ Cherchons l’ensemble solution de l’inéquation 2x + 3 < 5x − 4.

Le domaine de cette inéquation est .2x + 3 < 5x − 4

2x + 3 − 3 < 5x − 4 − 32x < 5x − 7

2x − 5x < 5x − 7 − 5x-3x < -7

Pour isoler x, il faut diviser par -3, un nombre négatif. On doit donc inverser le sens de l’inégalité.

>

x >

On peut décrire l’ensemble solution de cette inéquation en compréhension par

ou par l’intervalle .

Certaines inéquations comportant des polynômes de degré supérieur à 1 peuvent se réduire à desiné quations du premier degré en effectuant une simplification préalable à l’aide des propriétés des inéquations.

Exemple

◆ Cherchons l’ensemble solution de l’inéquation (x − 2)2 ≤ x2 + 5x + 3.

Son domaine est .(x − 2)2 ≤ x2 + 5x + 3

x2 − 4x + 4 ≤ x2 + 5x + 3x2 − 4x + 4 − x2 ≤ x2 + 5x + 3 − x2

-4x + 4 ≤ 5x + 3-4x + 4 − 5x ≤ 5x + 3 − 5x

-9x + 4 ≤ 3-9x + 4 − 4 ≤ 3 − 4

-9x ≤ -1

x ≥

L’ensemble solution est donc .

19

19

, +∞⎡⎣⎢

⎡⎣⎢

19

73

x x∈⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

> 73

73

, +∞⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

73

-3x-3

-7-3


1

La résolution d’inéquations du premier degré permet de trouver le domaine d’équations compor tantune racine carrée, si l’expression sous le radical est un polynôme du premier degré.

Exemples

◆ Soit l’équation .

Son domaine est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles chacune des expressions existe dans . Puisqu’on ne peut extraire une racine carrée d’un nombre négatif, il faut que 5 − 4x ≥ 0.

En résolvant cette inéquation, on obtient :5 − 4x ≥ 0

5 − 4x − 5 ≥ -5-4x ≥ -5

x ≤

Le domaine de l’équation est donc .

◆ Cherchons le domaine de l’équation .

Puisqu’on ne peut extraire une racine carrée d’un nombre négatif, il faut d’abord que x ≥ 0et que 2 − x ≥ 0.

De plus, on ne peut diviser par 0. Il faut donc ajouter la condition 2 − x ≠ 0.

Le domaine est donc l’ensemble des nombres réels pour lesquels x ≥ 0 et 2 − x > 0, soit l’ensemble des valeurs de x telles que x ≥ 0 et x < 2. On peut représenter ce domaine par l’intervalle .

◆ Pour trouver le domaine de l’équation , il faut poser comme

conditions 2x − 6 ≥ 0, x ≠ 0, x + 4 ≠ 0, x − 7 ≠ 0 et 2x − 25 ≠ 0, soit x ≥ 3, x ≠ 0, x ≠ -4, x ≠ 7

et x ≠ . Le domaine est donc . Il n’est pas nécessaire d’exclure les valeurs

-4 et 0, puisqu’elles sont déjà plus petites que 3.

On pourrait aussi décrire le domaine par l’union d’intervalles .

EXERCICES

61. Résoudre chacune des inéquations ci-dessous. Donner l’ensemble solution sous la formed’un intervalle.

a) x + 6 > 11 e) 3x − > x + i) + >

b) -8x ≤ f) ax + b ≥ , où a < 0 j) − ≤

c) 2x + 5 > 7x − 9 g) 3(x − 2) < 5x − 2(x + 1) k) (x − 3)2 > x2 − 9

d) 3x − 5 ≥ 7x − 9 h) − ≤ 8 l) (2x + 1)(x − 3) > 2x2

0, 2⎡⎣ ⎡⎣

2 − 3x3

1 + x4

-43

c2

2x3

4 − x2

x6

15

12

x2

x3

5x6

3 7 252

252

, , , ∞+7⎡⎣ ⎡⎣ ∪ ⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

∪ ⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

252

3, ∞ ,+⎡⎣ ⎡⎣ { }\ 7 252

2 65 4 7 2 25

xx x x

xx

–+ –

=–( )( )

xx

x2

3–

= +

-∞, 54

⎤⎦⎥

⎤⎦⎥

54

5 4 2 82– = – +x x x

Chapitre 142

62. Trouver le domaine de chacune des équations suivantes.

a) d)

b) e)

c) f)

1.12 La résolution de problèmes contenant des inéquations

Pour résoudre un problème au moyen d’inéquations du premier degré à une variable, les étapessont les mêmes que pour les problèmes avec des équations.

1. Lire l’énoncé une première fois pour bien saisir le contexte du problème.

2. Relire l’énoncé pour repérer ce qu’on connaît (les constantes) et ce qu’on cherche (les variables).

3. Définir la variable.

4. Poser l’inéquation qui décrit l’énoncé.

5. Résoudre l’inéquation.

6. Interpréter la solution et répondre à la question en ne conservant que les solutions quicorrespondent aux données du problème.

7. Faire la preuve.

Exemple

◆ Un monte-charge possède une capacité maximale de 300 kg. On y a déjà déposé un colisde 182 kg. Quelle charge maximale peut-on ajouter si on ne veut pas dépasser la capacitédu monte-charge ?

Soit x la charge ajoutée (en kg).

La charge totale, 182 + x, ne doit pas dépasser 300 kg.

On pose l’inéquation 182 + x ≤ 300 et on la résout.182 + x ≤ 300

x ≤ 300 − 182x ≤ 118

L’ensemble solution de cette inéquation est , car on ne peut parler de chargenégative.

On peut donc ajouter toute charge inférieure ou égale à 118 kg sans dépasser la capacitémaximale du monte-charge.

La charge maximale qu’on peut ajouter est donc de 118 kg.

0 kg, 118 kg⎡⎣

⎡⎣- x

x x x+–

= + –1115 15

14 132( ) ( )

x xx x x– –

–= –

3 33

5( (( (

3200

8–

=x

xx = 1

2

3 4 132– = +x x 5 8 3 9 2 175– + – = +x x x


1

• Utiliser unestratégie derésolutiondeproblèmes.

• Résoudredesproblèmesau moyend’uneinéquationdu premierdegré à unevariable.


Chapitre 144

EXERCICES

Pour chacun des exercices ci-dessous, définir la variable, poser l’inéquation, en trouver lasolution et répondre à la question.

63. Trouver les deux plus grands entiers impairs consécutifs dont la somme ne dépasse pas 102.

64. Trouver tous les entiers pairs dont la somme du double et du triple est supérieure à 125.

65. Dans un cours, les quatre examens comptent chacun pour 25 % de la note finale, et la notede passage est 60 %. Si on a obtenu des notes de 72 %, 51 % et 68 % aux trois premiersexamens, entre quelles valeurs la note du quatrième examen doit-elle se situer pour que l’onréussisse le cours ?

66. Un appel outre-mer du Canada vers le Brésil coûte 9,30 $ pour les trois premières minutes,et 1,55 $ par minute supplémentaire. Pendant combien de minutes peut-on parler si on neveut pas dépenser plus de 20 $ ?

67. À l’occasion des soldes du printemps, un magasin annonce une réduction de 15 % sur toutesa marchandise. Si vous voulez dépenser entre 50 $ et 75 $ (somme calculée sans les taxes),entre quelles valeurs le prix courant de vos achats doit-il se situer ?

68. Vous jouez à un jeu vidéo. Vous commencez avec 1500 points, et vos points diminuent aurythme de 40 points à la minute. Combien de temps pouvez-vous consacrer à la résolutionde l’énigme du jeu si vous voulez conserver au moins 500 points ?

69. Le réservoir à essence d’une voiture a une capacité de 48 litres. La voiture consomme6,2 litres aux 100 kilomètres. Quelle distance peut-on parcourir après avoir fait le plein sion veut qu’il reste au moins 5 litres d’essence dans le réservoir ?


En résumé

Les ensembles de nombres• Les nombres naturels : est l’ensemble des nombres entiers positifs ou nuls.

• Les nombres entiers : est l’ensemble de tous les entiers, qu’ilssoient positifs, négatifs ou nuls.

• Les nombres rationnels : est l’ensemble des nom-

bres qui peuvent s’exprimer sous forme d’un quotient de deux entiers. Tout nombre rationnelpossède une représentation décimale qui est soit finie, soit infinie périodique.

• Les nombres irrationnels : est l’ensemble des nombres dont la représentation décimale estinfinie et non périodique. Les nombres irrationnels ne peuvent pas s’exprimer sous forme d’unquotient de deux entiers. = \

• Les nombres réels : est l’ensemble de tous les nombres qui sont soit rationnels, soit irrationnels.= �

Les intervalles

Les relations et les opérations sur les ensembles• A et B sont égaux (A = B) s’ils ont exactement les mêmes éléments.

• A est inclus dans B (A � B) si tous les éléments de A sont aussi des éléments de B.

• L’ensemble vide (Ø) ne contient aucun élément.

•

•

•

Les propriétés des exposants entiers• am × an = am + n

• = am − n si a ≠ 0

• a-n = si a ≠ 0

• a0 = 1 si a ≠ 0

• (am)n = am × n

a b x a x b, = ≤ ≤⎡⎣ ⎤⎦ ∈{ }

′

1an

aman

A B x x A x B\ = et∈ ∉{ }A B x x A x B∩ ∈ ∈{ }= et

A B x x A x B∪ ∈ ∈{ }= ou

a b x a x b, = < ≤⎤⎦ ⎤⎦ ∈{ } x x a a∈{ } ⎤⎦ ⎡⎣< = -∞,

a b x a x b, = ≤ <⎡⎣ ⎡⎣ ∈{ } x x a a∈{ } ⎤⎦ ⎡⎣> = , ∞+

a b x a x b, = < <⎤⎦ ⎡⎣ ∈{ } x x a a∈{ } ⎤⎦ ⎤⎦≤ = -∞,

x x a a∈{ } ⎡⎣ ⎡⎣≥ = ∞+,

′

′

= = ,où , et ≠x x ab a b b∈ ∈ ∈⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭0

= ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...{ }= 0, 1, 2, 3, ...{ }


1

• (ab)m = am × bm

•

L’ordre de priorité des opérationsPour effectuer une suite d’opérations, il faut toujours procéder dans l’ordre suivant.





Les opérations sur les polynômes• Pour additionner deux polynômes, il suffit d’additionner les coefficients de leurs termes

semblables.

• Pour soustraire deux polynômes, il suffit d’additionner au premier l’opposé du second.

• Pour multiplier deux monômes, il suffit de multiplier les coefficients, puis de multiplier lesvariables semblables en additionnant leurs exposants.

• Pour multiplier deux polynômes, il suffit de multiplier chacun des termes du premier parchacun des termes du second.

Les équations du premier degré à une variableDeux équations sont équivalentes si la seconde est obtenue à partir de la première :

• en additionnant un même nombre aux deux membres de l’équation ;

• en soustrayant un même nombre des deux membres de l’équation ;

• en multipliant les deux membres de l’équation par un même nombre non nul ;

• en divisant les deux membres de l’équation par un même nombre non nul.

Les inéquations du premier degré à une variableDeux inéquations sont équivalentes si la seconde est obtenue à partir de la première :

• en additionnant un même nombre aux deux membres de l’inéquation ;

• en soustrayant un même nombre des deux membres de l’inéquation ;

• en multipliant ou en divisant les deux membres de l’inéquation par un même nombre non nul.Toutefois, lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un mêmenombre négatif, il faut inverser le sens de l’inégalité pour obtenir une inéquation équivalente.

ab

ab

bm m

m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = si ≠ 0

Chapitre 146


Exercices récapitulatifs

1. Vrai ou faux ?

a) � c) � = e) \ =

b) ∈ d) � = Ø f) �

2. Exprimer les ensembles ci-dessous en utilisant des intervalles et représenter graphiquementle résultat.

a) d)

b) e)

c) f)


a) 3 + 4 × 5 − 1 e) i) 3 × 25

b) 12 − 15 ÷ 5 + 8 × 4 f) j) 02 − 20

c) 10 × 45 ÷ 3 + 52 − 24 g) -54 k)

d) 3 × 8 − 2(5 + 3) h) (-5)4 l)

4. Simplifier chacune des expressions ci-dessous et donner la réponse avec des exposants positifs.

a) 124 × 125 f) 24 × 63 × 12-4

b) g)

c) (-27)9(-27)-3 h) 2 × 53 + 5(1 + 22)2 − 2(-5)3

d) (472)5 i) 211 × 311 × 511

e) j)

5. Écrire un trinôme de degré 4 dont le coefficient du second terme est -7 et le terme constant est 12.

6. Simplifier l’expression ci-dessous en supprimant les parenthèses.

-(12x − (10y − (25z + 14y) − (x − (10x − 18z))))

7. Effectuer chacune des opérations ci-dessous.

a) (1 − 2xy − xy2) − (5x2 − 4xy + 7) d) (-7x2 + 9x − 15) + 2x3(-x + 4)2 − (x5 + x4)0

b) (2a + b − c)2 e) x(3x − 5)(3x + 5) − (7 − 6x)2

c) (2x + 3xy − 5y2)(4y + 9)

′′

25

25

525

4

5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

-

-2

-2

-3

-12

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

-38

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1100

0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

\ 1, 2, 3{ }x x∈⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

0 1 12

< < ≠xet

x x∈{ }< ou >x-π π

x x x∈{ }> et ≤77 88

x x∈{ }< 999

x x∈{ }-0,01 ≤ ≤ 0

′

32 × 54

153

2-5 × 52 × 46

54 × 2-3 × 10-339394

-106

(-10)6


1

8. Résoudre chacune des équations ci-dessous.

a) 3x − 5 = 7x − 11 d) ax + a = , où a est une constante

b) x + 2 = − 3 e) (2x − 7)(x + 4) = 2(x − 3)2

c) x − 8 = 1 + f) =

9. Trouver l’ensemble solution de chacune des inéquations ci-dessous.

a) 5x + 7 < 8x − 12 c) 4x − 5 ≤

b) − 3 ≥ − d) x2 + 5x + 6 > (2x − 3)2 − 3(2 − x)2

10. Trouver le domaine de chacune des équations ci-dessous.

a) x4 − 5x3 + 11x − 18 = x2 e)

b) = f)

c) g)

d) = 0 h)

11. On vend des billets de loterie 2 $ chacun ou trois pour 5 $. Si la vente de 74 billets a rapporté134 $, combien a-t-on vendu de billets à l’unité ?

12. Dans un jardin communautaire, chaque potager est délimité par une corde attachée à despiquets. Le quart de chaque piquet est enfoncé dans le sol et la corde est fixée à 30 cm du sol.Il reste un sixième de la longueur du piquet au-dessus de la corde. Quelle est la longueur dechaque piquet ?

13. Trouver les trois plus grands nombres entiers pairs consécutifs dont la somme ne dépasse pas 200.

8 330 5 4 1– =

+ –x

x x x–2+xx( )

( )( )

xx x

–– +

=33 4

2( )( )

3 5 2 19– = –xx x

7 2 11 982– = – +x x x

( )2 3 34

59

+ – = –x x x xπ( (

(x − 1) − (x + 1)(2x + 6) − (3x − 4)

-76x

(x + 3)(9 − x)x2(4 − x)(x + 1)2

7x + 110

2x − 34

x + 13

x2

5x2 + x − 25

(3x2 − 1) − (x − 1)2

2

1a

2x − 74

35

2x + 13

Chapitre 148

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