1er S TRIGONOMETRIE Objectifs : Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d’un angle orienté, mesure principale. Déterminer les cosinus et les sinus d’angles associés. Résoudre dans ! les équations d’inconnue x : cos x = cos a et sin x = sin a.

I- Cercle trigonométrique, Radian Rappel de 2nd

1) Cercle trigonométrique Soit (O ; I, J) un repère orthonormal du plan. Le cercle de centre O, de rayon OI = 1, d’origine I et de sens de parcours positif (ou sens direct), est appelé cercle trigonométrique. Par convention le sens direct correspond au sens inverse des aiguilles d’une montre. L’autre sens est alors appelé le sens indirect.

2) Le Radian

Le radian est une unité de mesure des angles proportionnelle au degré, de sorte qu’un angle plat (180°) mesure π radians. On la note rad. Un tour complet (360°) correspond à un angle mesurant 2! rad. Lorsqu’un cercle a pour rayon R, la longueur de ce cercle est 2!R Comme il y a proportionnalité entre longueur de l’arc et mesure de l’angle au centre qui l’intercepte, on a : → un angle au centre de 1 radian intercepte un arc de longueur R (Fig.1) → un angle au centre de θ radians (avec θ∈[0 ; 2π]) intercepte un arc de longueur R×θ ( Fig2)

Fig. 1 Fig.2 Lorsque le cercle a pour rayon 1, la longueur de ce cercle est 2! → un angle au centre de 1 radian intercepte un arc de longueur 1. (Fig.3) → un angle au centre de θ radians (avec θ∈[0 ; 2π]) intercepte un arc de longueur θ. (Fig.4) Avec un cercle de rayon 1, c’est le même nombre θ qui donne à la fois longueur de l’arc et mesure en radians de l’angle au centre qui l’intercepte.

Fig. 3 Fig.4

OI

J K

A

B

2

3π

-1

-2

-3-π

1

Exercice 1 : Compléter le tableau de conversion suivant :

Angle en radians 0

Angle en degrés 0 30 45 60 90 180 360

3) Cosinus et sinus d’un nombre réel

Soit  (d)  la  droite  tangente  au  cercle  en  I.  On  note  K  le  point  de  coordonnées  (1  ;  1).    On   munit   (d)   du   repère   (I  ;   K).   Cette   droite   représente   la   droite   des  nombres  réels.  Le  cercle  trigonométrique  a  pour  rayon  1  donc  son  périmètre  est  égal  à  2! .  π  ,  dans  l’unité  de  longueur  choisie,  est  la  longueur  du  demi-‐cercle  C .    "Enroulons"  (d)  sur  le  cercle.  Les  points  de  (d)  viennent  en  coïncidence  avec  les  points  du  cercle.                                            Exemple  :      A  est  le  point  de  (d)  vérifiant   IA!  =  π,      

La  longueur  de   IJ! est  π2,    

IB! = 3!2    

Remarque  :   IOJ! =90" = !

2rad ,   IOA

! =180" =!  rad  ,  

   A   n'importe   quel  nombre   réel   x,   on   peut   faire   correspondre   un  point   sur   le   cercle   trigonométrique   tel   que  

IOM!  =  x  rad.    Définition   :   Soit   M   un   point   du   cercle  trigonométrique    tel  que   IOM

!  =  x  rad    .  Le  cosinus  de  x,  noté  cos  x,   est   l’abscisse  de  M.  Le  sinus  de  x,  noté  sin  x,  est  l’ordonnée  de  M.  La   tangente   de   x   ,   noté   tan   x   ,   est   donné   par  l'abscisse  de  T  sur  l'axe  (  I  T  )  et  on  a    tan  x   !!  

tan  x  =  

sin xcos x

 pour  tout  x   k2π≠ + π ,  k   !!  

Exemples  :  cos  0  =  1    et    sin  0  =  0    ;    cos  π  =  -‐1    

et    sin  π  =  0    ;    cos  π2  =  0    et    sin  π2  =  1.  

Propriétés  :  Pour  tout  x  réel,    -‐1  ≤  cos  x  ≤  1  ;    -‐1  ≤  sin  x  ≤  1    ;    cos²  x  +  sin²  x    =  1  ;    cos(-‐x)  =  cos  x      ;    sin(-‐x)  =  -‐  sin  x  ;      cos(  x  +  2π)  =  cos  x        ;    sin  (  x  +  2π)  =  sin  x  

Valeurs remarquables

x  en  radian   0  

π6  

π4  

π3  

π2  

x  en  degré   0   30°   45°   60°   90°  

cos  x   1   32  

22  

12   0  

sin  x   0   12  22  

32  

1  

Exercice 2 : a) Construire un cercle trigonométrique et placer sur ce cercle les points correspondant aux

nombres !4; 5!6; " 2!

3; 7!2; 5!

b) Déterminer les valeurs exactes des cosinus et sinus des nombres précédents.

Exercice 3 : On considère x !"2;"#

$%&'(

et sin x = 34

. Déterminer la valeur exacte de cos x.

II- Mesure d’un angle orienté de vecteurs non nuls du plan

1) Mesures d’un angle de vecteurs non nuls du plan orienté  

Soient     !u  et  

!v  deux  vecteurs    non  nuls  du  plan  orienté.    On  choisit  un  point  O  quelconque  du  plan.  Il  existe  deux  points  uniques  A’  et  B’  tels  que   OA '! "!!

= "u  et   OB '! "!!

= "v .  Il  existe  deux  points  uniques  A  et  B  intersection  du  cercle  trigonométrique  de  centre  O  avec  les  demi-‐droites  [OA’)  et  [OB’).    On  note  α  la  longueur  appartenant  à  [0  ;  2π[  de  l’arc  du  cercle  trigo.  parcouru  de  A  vers  B  dans  le  sens  positif.      On  appelle  mesures  de  l’angle  orienté  de  vecteurs   !u, !v( ) ,  tous  les  nombres   ! = " + k # 2$ avec k %!  LES  MESURES  D’UN  ANGLE  ORIENTE  DE  VECTEURS  SONT  EN  RADIANS.     !  désigne  l’ensemble  des  nombres  entiers  négatifs,  positifs  ou  nul.  Par  commodité,  on  confond  l’angle  et  ses  mesures  et  on  écrit  

!u, !v( ) = ! + k " 2# avec k $"     ou  encore  

!u, !v( ) = ! + 2k" , k #"     ou  encore  

!u, !v( ) ! " !![2# ]    ce  qui  se  lit  

!u, !v( ) congru  à  α  modulo  2π  Parfois,  on  écrit  simplement  

!u, !v( ) = !  signifiant  qu’une  mesure  de   !u, !v( )  est  α  

Remarque : AOB

! = !

2) Mesure principale Parmi  toutes  les  mesures  de  l’angle  orienté  de  vecteurs  

!u, !v( )  la  seule  qui  appartient  à  l’intervalle  !" !;!"] ]  est  appelée  mesure  principale.  

Exemple  :  pour  tout  vecteur   !u  non  nul  on  a   :    

•   !u, !u( ) = 0 + 2k! !,!k ""  

Ainsi,  0  ;  2π  ;  4π  ;  —2π  ;  —4π…  sont  des  mesures  de  

!u, !u( ) ,    sa  mesure  principale  est  0.  

 •  

!u,! !u( ) = (! !u, !u) = " + 2k" !,!k #"  Ainsi,  π  ;  3π  ;  5π  ;  —π  ;  —3π  ;  —5π…  sont  des  mesures  de  

!u,! !u( ) ,  sa  mesure  principale  est  π.  

 

Exercice 4 : Déterminer la mesure principale des angles orientés !u, !v( )  dont  une  mesure  est  :  a)   37!

6     b)   202!

3     c)   89!

12  

 3) Cosinus et sinus d’angle orienté

 Si a et b sont deux mesures en radians d’un angle orienté

!u, !v( ) , alors  il existe un entier relatif k tel que a = b + 2k  π,  ainsi        cos  a  =  cos  b          et            sin  a  =  sin  b.  Définition : Le cosinus (ou le sinus) d’un angle orienté de vecteur est le cosinus (ou le sinus) de l’une quelconque des mesures en radian de cet angle. On note cos

!u, !v( ) et sin !u, !v( ) .

Exercice 5 : Construire un carré ABCD direct, et un triangle équilatéral ABE direct (à l’intérieur du carré). Déterminer une mesure de AD

! "!!, AE! "!!( ) et de CE! "!! , CB! "!!( ) ; puis cos AD! "!! , AE! "!!( ) ; sin AD! "!! , AE! "!!( ) .

III- Propriétés des angles orientés

1) Angle orienté et colinéarité

Propriété : Soient u!

et v!

sont des vecteurs non nuls. • u!

et v!

sont colinéaires de même sens si et seulement si !u, !v( )= 0.

• u!

et v!

sont colinéaires de sens contraires si et seulement si !u, !v( )= π.

2) Relation de Chasles

Théorème (admis) : Pour tous vecteurs non nuls u!, v!et w"!

, on a : u!, v!( ) + v! ,w"!( ) = u! ,w"!( )

Conséquences  de  la  relation  de  Chasles  

!u  et  

!v  désignent  deux  vecteurs    non  nuls  du  plan  orienté.    

[1]    

!v, !u( ) = ! !u, !v( )    

[3]    

!!u,!!v( ) = !u, !v( )  

 

[2]  

!u,!!v( ) = !u, !v( ) + "

 

 

[4]  

!!u, !v( ) = !u, !v( ) + "

 

 

Exercice  6  :  Sachant  que   AB! "!!,AC! "!!( ) = ! .  Donner  une  mesure  de   AB

! "!!,CA! "!!( ) ,   AC

! "!!,AB! "!!( ) ,   BA

! "!!,CA! "!!( )  et  

AC! "!!,BA! "!!( )  

3) Cosinus et sinus d’angles associés

Sur le cercle trigonométrique on place un point M tel que

(OI! "!

, OM! "!!

)= x + 2k π et N, P, R symétriques de M par rapport aux axes et au centre du cercle alors : (OI

! "! ; ON! "!!

) = -x +2k!   (OI

! "! ; OP! "!!

) = ! -x +2k! (OI

! "! ; OR! "!!) = ! + x +2k!

cos (-x) = cos x sin (-x) = -sin x tan (-x) = -tan x

cos (π+x) = -cos x sin (π+x) = -sin x tan (π+x) = tan x

cos (π-x) = -cos x sin (π-x) = sin x tan (π-x) = -tan x

cos (2π +x) = -sin x

sin (2π +x) = cos x

tan (2π +x) = -

xtan1

cos (2π -x) = sin x

sin (2π -x) = cos x

tan (2π -x) =

xtan1

Exercice 7 : On donne : sin !12

= 6 " 24

.Déterminer la valeur exacte de cos !12

; puis en déduire les

valeurs exactes du sinus et du cosinus de 5!12; 7!12; 11!12

.

4) Equations trigonométriques Equation du type cos x =cos a

Alors

x = a + 2k!x = "a + 2k!

#$%

, k &!

Equation du type sin x = sin a

Alors x = a + 2k!x = ! ! a + 2k!

"#$

, k %!

Exercice 8 : a) Résoudre l’équation cos x = ! 32

sur ! , puis sur !" ;"] ] .

b) Résoudre l’équation sin x = 22

sur ! , puis sur !" ;"] ] .