DU CERCLE AUX FONCTIONS ET EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES

§1. Arcs, angles et unités d’angle

Quelques rappels :

Quand on travaille dans des triangles, les angles sont non orientés. Par contre, lorsqu’on envisage

les rotations, il est important de préciser le sens de rotation : les angles sont orientés.

Un angle est une partie infinie du plan limitée par deux demi-droites AB et AC

(appelées côtés) de même origine A (appelé sommet).

Il est noté 𝐵𝐴𝐶 ou 𝐶𝐴��

Comme il existe deux parties limitées par ces demi-droites, il y a lieu d’enlever l’ambiguïté :

Un angle orienté est un angle dont l’un des côtés est le côté origine et l’autre, le côté extrémité.

Les demi-droites AB et AC déterminent deux angles orientés :

l’un de côté origine AB et de côté extrémité AC l’autre de côté origine AC et de côté extrémité AB

Il est noté 𝐵𝐴𝐶 Il est noté𝐶𝐴��

L’angle est parcouru dans le sens positif (anti-horloger) ou négatif (horloger) tout comme pour une rotation.

Dans un cercle, tout angle au centre (angle dont le sommet est au centre du cercle)

𝐵𝐴𝐶 ou 𝐶𝐴�� détermine un arc de cercle BC et un secteur circulaire BAC

L’amplitude d’un angle mesure « sa grandeur », « son ouverture » ;

angles d’amplitude de plus en plus grande

Rappelons que l’amplitude d’un angle est désignée par des lettres grecques minuscules :

)(),(),(),( têtagammabêtaalpha , …

Elle se mesure en degrés à l’aide d’un rapporteur.

L’amplitude de 𝐵𝐴�� est notée degrés ( °). L’unité est 1 degré ; on note 1°.

Définition : Un angle d’une amplitude d’un degré est un angle au centre qui intercepte un arc

dont la longueur vaut un 360e de la longueur de la circonférence du cercle.

Les degrés sont divisés en

* degrés décimaux DD (le degré est divisé en dixièmes, centièmes, …)

ou

* degrés sexagésimaux DMS (le degré est divisé en 60 minutes et la minute en 60secondes) :

1° = 60’ 1’ = 60’’ 1° = 3600’’

Pour la petite histoire

Afin de résoudre des problèmes ayant trait à l’astronomie, les Babyloniens qui avaient un système de numérotation

sexagésimal (base 60) ont divisé le cercle en 360 parties égales identifiant un degré (1)

. Ce système a pour origine le fait

qu’une année, révolution complète de la Terre autour du Soleil, dure approximativement 360 jours. Ce choix se justifiait

par le fait que 360 a un grand nombre de diviseurs ; en effet il est divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30,

36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 et 180.

De nos jours certaines grandeurs héritent toujours de ce système sexagésimal, c’est notamment le cas du temps :

1 heure 60 minutes, 1 minute 60 secondes. Sur une montre, tous les multiples de 30° apparaissent.

Dans notre façon de parler, il y a souvent confusion entre un angle et la mesure de son amplitude ; il nous

arrive de dire que la somme des angles d’un triangle vaut 180° pour exprimer qu’en additionnant les

mesures des amplitudes des angles de ce triangle, nous obtenons 180, si les mesures sont faites en degrés.

La mesure des angles en degrés est couramment utilisée dans la vie de tous les jours, en navigation, en

astronomie, en géodésie …Cependant, dans les applications scientifiques et notamment dans le contexte

des fonctions trigonométriques, l’unité de mesure habituelle des angles est le radian.

Définition:

Un radian (noté 1 rad) est l’amplitude d’un angle au centre 𝐴𝑂��

qui intercepte un arc AB de longueur égale au rayon du cercle.

Remarques :

1) L’amplitude en radians d’un angle au centre d’un cercle est le rapport entre

la longueur de l’arc intercepté par cet angle et la longueur du rayon de ce cercle.

(*)

2) Puisque le périmètre d’un cercle de rayon r est 2 ,r il est possible de

reporter approximativement 2 (ou 6,28…) fois la longueur r sur le cercle.

Donc 2 mesure en radians l’angle plein.

3) On retrouve la définition du nombre (voir historique fiche 18 : valeur approchée de ) :

est le rapport entre la longueur d’un cercle et son diamètre

Donc mesure en radians un angle plat.

Conversion d’unités :

Pour opérer une conversion degré-radian, on utilise un tableau de proportionnalité dans lequel d est une

amplitude en degrés de l’angle et r l’amplitude correspondante en radians :

De ce tableau, on tire la formule de conversion :

Quelle est la mesure en degrés (en radians) de l’angle au centre qui mesure 1 radian (36°)?

Remarques :

1) Pour exprimer une mesure en degrés, nous avons jusqu’à présent préféré une écriture décimale à une

écriture sexagésimale qui utilise les sous-multiples (minute-seconde) du degré.

Par contre, il est bien plus commode d’exprimer une mesure en radians par des fractions de

que par un nombre décimal ; cela donne des divisions rationnelles du cercle.

2) L’expression d’une mesure d’angle sans indication d’unité signifie une mesure en radians.

La mesure en degré doit être expressément indiquée.

Par exemple, si un angle mesure 12 radians, on écrit 12 au lieu de .12 rad

Il n’y a normalement aucune confusion possible car si un angle a une amplitude de 12 degrés,

on écrira 12 .

3) On retient le tableau

Degrés

0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

Radians 0 6

4

3

2

2

3 2

Application : Longueur d’un arc et aire d’un secteur angulaire.

L rr

2

2 A 22

2

1

2rr

Degrés 180 d

Radians r r

d

180

§2. Angles orientés et cercle trigonométrique

Rappels et compléments:

a) Dans un plan muni d’un repère orthonormé (repère dont les axes sont perpendiculaires et dont les

unités sont de longueurs égales sur les deux axes),

le cercle trigonométrique (CT) est le cercle

centré à l’origine du repère

de rayon 1

orienté positivement dans le sens anti-horloger

(qui correspond au sens de rotation des planètes

autour du Soleil et de la Terre autour de son axe)

Son équation est 122 yx

b) Les axes du repère déterminent sur le cercle trigonométrique

quatre quadrants, numérotés en chiffres romains

suivant le sens positif.

c) Dans le cercle trigonométrique,

tout angle orienté a pour côté origine la demi-droite OI

tout point M détermine un seul angle orienté 𝐼𝑂�� et inversement.

La figure ci-contre montre quatre angles orientés M2 M1

𝐼𝑂𝑀1 , 𝐼𝑂𝑀2, 𝐼𝑂𝑀3

et 𝐼𝑂𝑀4 appartenant respectivement I

au 1er

, 2ème

, 3ème

et 4ème

quadrant.

M3 M4

d) Dans le cercle trigonométrique,

tout angle orienté 𝐼𝑂�� admet une infinité d’amplitudes en degrés) ; deux d’entre elles diffèrent par un

multiple entier de 360°.

Toutes ces mesures sont appelées mesures équivalentes de 𝐼𝑂��.

Si est l’une de ces amplitudes alors toute autre est 360k où k représente le nombre de tours

complets ; k est donc un nombre entier ( )Zk :

La mesure qui appartient à l’intervalle 180,180 est la mesure principale de 𝐼𝑂��.

Elle peut s’obtenir en faisant varier .k

(elle correspond « au + petit balayage » permettant de passer de la demi-droite origine à

la demi-droite extrémité de l’angle, assortie d’un signe qui indique dans quel sens se fait le balayage).

Dans la suite du cours, nous travaillerons essentiellement en radians par facilité ;

en effet, en remplaçant r par 1 dans la formule L r , on obtient L :

en radians et dans un cercle de rayon 1, tout angle au centre et l’arc intercepté ont même mesure.

Autrement dit, dans le cercle trigonométrique, le point M peut être assimilé à rad.

M

Si un point parcourt le cercle et arrive en M après plusieurs tours, l’angle au centre correspondant

admet une infinité de mesures équivalentes notée 2kx (avec k entier) en radians.

Cette dernière mesure est un nombre réel. La mesure principale en radians appartient à .,

Remarque :

Les angles du quadrant I ont une mesure principale comprise entre 2

0

et .

Les angles du quadrant II ont une mesure principale comprise entre .2

et

Les angles du quadrant III ont une mesure principale comprise entre 2

et .

Les angles du quadrant IV ont une mesure principale comprise entre 02

et

.

§3. Nombres trigonométriques d’un angle orienté (NT)

, 1cos1 et 1sin1

cos

sintan CE : |

(relation ou formule fondamentale de la trigonométrie)

Nous définissons en plus :

sin

coscot an CE : |

Si M est le point du cercle trigonométrique représentant l’angle d’amplitude

Tord

MMabs

Mord

tan

)sin,(coscos

sin

T est l’intersection de OM avec

tangentesdesaxel'

Ipoint au cercleau t tangentedroite la

1sincos, 22

Nous retrouvons les valeurs particulières bien connues du sinus, du cosinus et de la tangente dans le cercle

trigonométrique. Celles-ci sont très souvent utilisées. Il est recommandé de les apprendre en s’aidant de la

figure suivante que l’on doit pouvoir construire de mémoire et à main levée à partir d’un carré…

2

1= 0,5

2

2 0,7

3 1,7

2

3 0,9

3

3 0,6

ou à partir du tableau suivant

en degrés 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

en radians

sin

cos

tan

La figure suivante montre le cercle trigonométrique gradué en radians.

Remarquons que les mesures 66

11 et correspondent au même point sur le cercle trigonométrique.

Nombres trigonométriques et symétries

Nous avons vu qu’il existe de nombreuses symétries dans un cercle trigonométrique ; elles permettent

de relier entre eux les nombres trigonométriques d’angles orientés appelés angles associés.

Quelques exemples M1 M M4

M

M2 M3

Des angles supplémentaires ( 2.kmesuresdes ) sont représentés par des points symétriques

par rapport à Oy ; ils ont donc même ordonnée et des abscisses opposées :

cos)cos(

sin)sin(

tan)tan(

Des angles anti-supplémentaires ( ) sont représentés par des points symétriques par

rapport à O ; ils ont donc des ordonnées et des abscisses opposées :

cos)cos(

sin)sin(

tan)tan(

Des angles opposés ( 2.kmesuresdes ) sont représentés par des points symétriques par rapport à Ox ;

ils ont donc même abscisse et des ordonnées opposées :

cos)cos(

sin)sin(

tan)tan(

Des angles complémentaires (

.2

kmesuresdes ) sont représentés par des points symétriques

par rapport à d ;xy l’abscisse de l’un est égal à l’ordonnée de l’autre et inversement:

sin)2

cos(

cos)2

sin(

ancot)

2tan(

Identités et formule fondamentale

Une identité est une égalité toujours vraie quels que soient les valeurs données aux variables figurant dans

l’expression et qui répondent aux CE.

Les formules sont des identités parce qu’elles sont toujours vraies ( mémoriserà ).

1cossin 22

Vérifier une identité (ou démontrer une formule) consiste à transformer le 1er

membre (et/ou le 2ème

)

de l’égalité à l’aide des définitions, de formules et du calcul algébrique pour écrire les deux membres

sous la même forme.

andefMan

inverselparmultiplieonfractionunepardivpr

defM

cotcot

',sin

cos

tan

cos

sin

1

tan

1)1(

1

2

FFM

ateurdénomêmeauréduction

carréauDetNleélèveoncarréauquotientunéleverpr

defM

22

2

22

2

2

2

2

1

cos

1

mincos

sincos

,cos

sin1

tancos

sin1tan1)2(

)3(

(1)

.:tan

1cot kCEan

(2)

.2

:cos

1tan1

2

2 kCE

(3)

.:sin

1cot1

2

2 kCEan

Exercices

1.

Calcule la longueur de l’arc AB ainsi que l’aire de la partie grisée

2. Annick a mesuré la longueur de son essuie-glace

et l’amplitude du mouvement de balayage.

Elle a porté ces mesures sur un schéma ci-contre

Calcule l’aire de la zone du pare-brise balayée

par cet essuie-glace ainsi que son périmètre.

3. En géographie :

Pour repérer un point sur le globe terrestre, on utilise des coordonnées (nombres) définies par deux

mesures d’angle :

- la longitude Est (noté E) ou Ouest (noté W) repéré par rapport au méridien de Greenwich.

- la latitude Nord (noté N) ou Sud (noté S) repéré par rapport à l’Équateur.

Exemple :

Le point P du dessin ci-contre a pour longitude 40°E et

pour latitude 80°N.

a) Un oiseau vole en ligne directe de Saint-Pétersbourg (60° Nord ; 30°Est) jusqu’au pôle Nord.

Quelle distance parcourt-il (rayon de la Terre = 6400 km) ?

On ne tiendra pas compte de la hauteur à laquelle vole l’oiseau.

b) Trois villes A, B, et C sont situées sur un même méridien. Elles ont pour latitudes respectives

20° N, 40° N et 30° S.

Calculer les distances (au km près) entre A et B, entre A et C puis entre B et C.

c) La distance entre deux points A et B sur Terre se mesure le long d’un cercle dont le centre C est

au centre de la Terre et dont le rayon est égal à la distance de C à la surface (voir figure).

Si deux points A et B sont éloignés de 1000 km,

détermine l’amplitude de l’angle 𝐴𝐶𝐵 en degrés.

4.

a) Place sur ton dessin tous les éléments qui définissent un CT.

b) Place sur ce cercle le point M correspondant à 6

7

c) A quel quadrant appartient-il ?

d) Note toutes les mesures équivalentes de cet angle :

e) 6

7 est la mesure principale : V ou F (si vrai justifie, si faux corrige):

f) Vérifie par calcul si 6

138 est une mesure équivalente :

g) Représente en bleu cos , en rouge sin et en vert tan

h) Donne la valeur précise de chacun d’eux :

i) Déduis-en la valeur de sa cotangente :

5. Sachant que ,2

3,

3

2cos

et calcule (sans machine) .cot an

6. Exprime en fonction de et simplifie au maximum :

)cos().36tan(

2

3cos).3sin(

7. Montre, en justifiant, que l’expression suivante est indépendante de x :

xxxan

xxx

2cos)

2

5sin()2(cot

)4cos()2

3tan()sin(

8. Calcule rapidement sans machine

3

14tan)

4

7cot))

6cos()

6

7cos))3sin()

4

3sin)

faned

cba

9. Calcule sans machine6

11cot

4

5sin)7tan(3

6

5cos

3

7tan

2

3sin 32

an

10. Vérifie les identités suivantes (on supposera que les conditions d’existence sont satisfaites)

4cos

cos

1cos

cos

1)15

0²cossin31cossin)14

²sin²sin²sin²cos²cossin)13

sin1

cos

cos

sin1)12

1)²sin1)(²1()11

²cos²sin

12²cot²)10

sin

1

cos

1)cot1(cos)1(sin)9

²sin²1

²)8

2)²1(²cos)²cot1(²sin)7

cos

2

sin1

1

sin1

1)6

)1(cos)cot1(sin)5

)cos1)(sin1(2)²cossin1()4

)sin(1

sin1

cos

1)3

)2

sin(sin.cos

1)2

1sin2cossin)1

22

266

2

2

2

244

xx

xx

aaaa

bababa

a

a

a

a

aatg

aaagatg

aagaatgaa

aatg

atg

atgaaga

aaa

tgaagaa

aaaa

a

a

atga

aatgaa

aaa

§4. Fonctions trigonométriques

Fonction sinus : xxf sin)(

Déf : Le sinus d’un nombre réel x est le sinus de l’angle orienté d’amplitude x radians.

Son graphique xyG f sin est une courbe appelée sinusoïde

Fonction cosinus : xxf cos)(

Déf : Le cosinus d’un nombre réel x est le cosinus de l’angle orienté d’amplitude x radians.

Son graphique xyG f cos est une courbe appelée une cosinusoïde

Fonction tangente : xxf tan)(

Déf : La tangente d’un nombre réel x est la tangente de l’angle orienté d’amplitude x radians.

Son graphique xyG f tan est une courbe appelée une tangentoïde.

Nous allons d’abord construire ces graphiques : ordinateur + travail.

Nous pourrons alors déterminer les caractéristiques graphiques de ces fonctions : domaine, ensemble

image, parité, zéros, tableau de signes et tableau de variations (voir synthèse 4ème

).

Nous reparlerons également de manipulations graphiques.

Nous rechercherons les caractéristiques de ces fonctions analytiquement.

Les 3 fonctions sinus, cosinus et tangente sont trois nouvelles fonctions usuelles ; il faut savoir tracer leur

graphique sur un intervalle donné à partir de quelques points judicieusement choisis et le compléter dans les

limites d’un repère non trigonométrique avec .3 Voir feuille avec les 3 fcts.

A partir de la correction du travail, on complète le tableau des caractéristiques graphiques des fonctions

trigonométriques jusqu’à un problème : infinité de zéros.

0 1

1

x

y

0 1

1

x

y

0 1

1

x

y

xxf sin)(

xxf cos)(

xxf tan)(

Observations et nouvelles définitions

(1) Les graphiques sont obtenus en recopiant de façon répétitive une portion particulière.

Les fonctions reprennent les mêmes valeurs à intervalles réguliers.

On dit que les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques.

(2) Quelle est la plus petite partie de l’axe des abscisses, d’origine O, sur laquelle il suffirait

de connaître le graphique pour pouvoir l’obtenir complètement ?

La longueur de cette partie est la période de la fonction.

Définitions : • Une fonction est périodique* s’il existe un réel p strictement positif tel que

fdomxxfpxf )()(

• Le plus petit réel p pour lequel cette égalité est vérifiée est appelé la période de f.

Comment reconnaître graphiquement une fonction périodique et déterminer sa période ?

Une fonction est périodique de période p si son graphique présente la "répétition" d’un même "motif"

sur un intervalle de longueur p.

L’étude d’une fonction périodique se fera sur un intervalle de longueur p et on choisira celui qui est

symétrique par rapport à l’origine; l’intervalle d’étude d’une fonction périodique sera donc .2

;2

pp

Les tableaux de signes et de variations se feront sur cet intervalle d’étude.

(3) Complète les coordonnées de tous les Maxima et minima des fonctions trigonométriques.

(4) xyG coscos s’obtient à partir de celui de xyG sinsin par une translation horizontale

vers la gauche de 2

unités :

2

ABS :

2

xx : xxy cos

2sin

Cette dernière égalité permet de passer de la fonction sinus à la fonction cosinus.

Vérifions-la par lecture sur le cercle trigonométrique.

x

_______________________

*Il existe d’autres fonctions périodiques non trigonométriques.

Détermination des caractéristiques analytiquement

xxf sin)( xxf cos)( xxf tan)(

Domf :

Im f :

Parité :

Zéro(s) :

Période :

TS

TV

Remarque : pour trouver le domaine de la tangente et les zéros des fonctions, on a résolu des équations

trigonométriques (= équations où l’inconnue apparaît notamment dans un NT)

§5. Equations trigonométriques de base

Les différentes relations (déjà établies) qui lient les nombres trigonométriques des angles associés

et les correspondances avec les fonctions trigonométriques permettent de résoudre des équations

trigonométriques dans R par lecture sur le CT. Comment ?

Equation en sin exemple :2

3sin x

1) Repérer tous les points M du CT correspondant aux angles dont le sinus est 2

3c’est-à-dire

Mpointsdesordonnée

y axel'sur 2

3placer et projeter horizontalement sur le CT.

2) Déterminer les mesures des angles définis par ces points.

Contrairement aux équations algébriques, une équation trigonométrique admet une infinité de solutions.

Celles comprises dans l’intervalle 2,0 sont dites solutions fondamentales.

Equation en cos exemple :2

1cos x

1) Repérer tous les points du CT correspondant aux angles dont le cosinus est 2

1 c’est-à-dire

Mpointsdesabscisse

xaxel'sur 2

1-placer et projeter verticalement sur le CT.

2) Déterminer les mesures des angles définis par ces points.

Equation en tan exemple : 3tan x

1) Repérer tous les points du CT correspondant aux angles dont la tangente est 3 c’est-à-dire

Tpointdu ordonnée

y axel'sur 3-placer et projeter horizontalement sur l’axe des tangentes (T), puis relier T à O (M).

2) Déterminer les mesures des angles définis par ces points.

Repère tous les points du cercle trigonométrique qui correspondent aux angles suivants. Désigne ces points

par les lettres A1, A2, B1, B2,… Exprime leur mesure en radians.

Influence des manipulations sur la période

La période de la fonction cbaxkxf )sin(.)( est a

2

La période de la fonction cbaxkxf )cos(.)( est a

2

La période de la fonction cbaxkxf )tan(.)( est a

+ decoupage du cercle en 24 parties égales dans généralisation des équations de base + trigonomètre

Les angles dont Mesures en radians

A. le cosinus vaut 0,5

B. le sinus vaut 2

2

C. la tangente vaut 3

3

D. le sinus vaut – 0,2

E. le cosinus vaut - 0,2

F. le sinus vaut 1,2

G. la tangente vaut 1,2

Quelles sont les manipulations qui modifient la période ?

Pour chaque fonction, détermine graphiquement la période et précise à partir des expressions analytiques,

les manipulations rencontrées pour tracer ces graphiques à partir de celui du sinus.