Le cercle trigonométrique Introduction. Définition:Le cercle trigonométrique est un cercle...

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Le cercle trigonométrique Introductio n

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Le cercle trigonométrique

Introduction

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Définition: Le cercle trigonométrique est un cercle centré à l’origine du plan cartésien et ayant un rayon égal à 1.

1 2 3-1-2-3

1

2

3

-1

-2

-3

y

x

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Regardons, de plus près, les implications de cette définition.

1-1

1

-1

y

x1-1

1

-1

y

x1-1

1

-1

y

x1 2 3-1-2-3

1

2

3

-1

-2

-3

y

x

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1-1

1

-1

Le rayon étant égal à 1:

les coordonnées des points seront comprises entre -1 et 1.

( x , y )

abscisse : -1 ≤ x ≤ 1 ordonnée : -1 ≤ y ≤ 1

y

x

( x , y )

( -x , y )

( -x , y )

( -x , -y )

( x , -y )

( x , -y )

( x , y )

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Le rayon étant égal à 1:

1-1

1

-1

L’équation du cercle est: x2 + y2 = 1

En utilisant la relation de Pythagore :

y

x

c

a

bc2 = a2 + b2

et en remplaçant c par 1

1

x

y

a par x

b par y

on obtient :

1 = x2 + y2

L’équation du cercle trigonométrique:

x2 + y2 = 1

c2 = a2 + b2

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côté opposé

côté adjacent

Le rayon étant égal à 1:

1-1

1

-1

le cosinus de l’angle correspond à l’axe des abscisses;

θ

cos θ =

hypoténuse

x

y

1

1

xcos θ = cos θ = x

le sinus de l’angle correspond à l’axe des ordonnées;

sin θ =

hypoténuse

sin θ = y

Les coordonnées des points du cercle ( x , y )

( cos θ , sin θ)

y

x

1

ysin θ =

(x , y)

correspondent donc à ( cos θ , sin θ)

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1-1

1

-1

x

y

1

y

x

( cos 500 , sin 500 )

Exemple:

500

Quelles sont les coordonnées du point de rencontre du rayon avec la circonférence pour un angle de 500 ?

Coordonnées du point:

( cos 500, sin 500 )

cos 500 ≈ 0,6427… ≈ 0,64

sin 500 ≈ 0,7660… ≈ 0,77

( cos 500 , sin 500 )Coordonnées du point:

≈ ( 0,64 , 0,77 ) ( 0,64 , 0,77 )

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1-1

1

-1

yRemarque

plus la mesure de l’angle augmente et plus la valeur du cosinus diminue.

x

Pour des angles compris entre 00 et 900 :

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1-1

1

-1

yRemarque

plus la mesure de l’angle augmente et plus la valeur du sinus augmente.

x

Pour des angles compris entre 00 et 900 :

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Quelques coordonnées remarquables

1-1

1

-1

Le rayon rencontre la circonférence; ( x , y )

Pour un angle de 00 :

coordonnées

( 1 , 0 )

( 1 , 0 )

Pour un angle de 900 :

( 0 , -1 )

( 0 , 1 )

Pour un angle de 1800 : ( -1 , 0 )

Pour un angle de 2700 :

Pour un angle de 3600 :

( 1 , 0 )

( 0 , 1 )

( -1 , 0 )

( 0 , -1 )

( 1 , 0 )

il faut donc être capable de déterminer les coordonnées de ce point de rencontre.

Pour les autres coordonnées, nous aurons nécessairement besoin de l’équation du cercle:

x2 + y2 = 1

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Avant de parler des coordonnées de certains autres points du cercle trigonométrique, il faut connaître quelques lois sur les racines carrées.

Loi 1: On doit extraire la racine carrée d’un nombre au carré.

Exemple: 25 = 5

Loi 2: Si la racine carrée d’un nombre ne donne pas un nombre juste, on le laisse sous radical pour plus de précision.

Exemple: 2 ≈ 1,4142135623730950488016887242097…

Exemple: 9 4 = 36

3

X

X 2 = 6

Loi 3: On peut multiplier ensemble des racines carrées.

Loi 4: On peut multiplier un nombre par une racine carrée.

Exemple: 3 X 2 = 3 2

Quelques coordonnées remarquables

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Loi 6: On doit RATIONNALISER un dénominateur contenant une racine (pour plus de précision).

Exemple:

2

1X

2

2 =

4

2 =

2

2

On crée alors une fraction équivalente en multipliant par une fraction unité composée du dénominateur.

Loi 5: Extraire la racine carrée d’une fraction revient à extraire la racine carrée du numérateur et du dénominateur.

Exemple:

4

16On sait que = 4 = 2

et4

16

4

16= =

4

2= 2

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1-1

1

-1

300

Pour un angle de 300 :

x2 + y2 = 1

Selon l’énoncé « Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à un angle de 300

est égale à la moitié de celle de l’hypoténuse »,

1

2

x2 + = 11

2

2

x2 + = 11

4

x2 = 1 - 1

4x2 =

3

4x =

3

4

Pour un angle de 300 : coordonnées du point 3

2,

1

2

x = 3

2

1

Quelques coordonnées remarquables

1

2

x

y

et la coordonnée de x est :

y = alors

3

2,

1

2

3

2

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1-1

1

-1

300

Pour un angle de 300 :

coordonnées du point 3

2,

1

21

Quelques coordonnées remarquables

Remarque:

La coordonnée de x est3

2

On pourrait l’exprimer en notation décimale :

3

2≈ 0,8660254038…

Cependant, il est préférable de la garder sous la forme radicale pour plus de précision.

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1-1

1

-1

450

Pour un angle de 450 :

Un triangle rectangle possédant un angle de 450 est isoangle

x2 + y2 = 1

Les deux cathètes étant égales, on peut poser x = y.

x2 + x2 = 1 2x2 = 1

x2 =1

21

2x =

1

2

=

x = 1

2

X 2

2

=2

2

Pour un angle de 450 : coordonnées du point ,2

2

2

2

1

Quelques coordonnées remarquables

,2

2

2

2

450

doncisocèle.

et y =2

2

2

2

2

2

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1-1

1

-1

600

Pour un angle de 600 :

x2 + y2 = 1

x = 1

2

+ y2 = 11

2

2

y2 + = 11

4

y2 = 1 - 1

4y2 =

3

4y =

3

4

Pour un angle de 600 : coordonnées du point 3

2,

1

2

y = 3

2

le 3e angle mesure donc 300,

3001

Quelques coordonnées remarquables

alors

x

y

1

2

et la coordonnée de y est:

3

2,

1

2

3

2

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Remarques

1-1

1

-1

θθ

1800 – θ y1y1

-x1 x1

sin θ = sin ( 1800 – θ )

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Remarques

1-1

1

-1

θθ

1800 – θ y1y1

-x1 x1

sin θ = sin ( 1800 – θ )

cos ( 1800 – θ ) = - cos θ

-x1

θ-x1

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Radians

1-1

1

-1

Le radian est une autre façon de mesurer un angle.

Il utilise la circonférence du cercle.

Définition:

Un radian correspond à la mesure de l’angle au centre dont les côtés interceptent un arc dont la longueur est égale au rayon.

L’utilisation des radians est impérative lorsqu’on dérive ou intègre une fonction trigonométrique: en effet, l’angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens.

1 1

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1 radian

1 radian

1 radian

1 radian

1 radian

1 radian

Le cercle trigonométrique ayant un rayon égal à 1, calculons sa circonférence.

C = 2 π r

C = 2 X π X 1

C = 2 π

On retrouve donc 2 π radians dans un cercle trigonométrique.

Soit ≈ 2 X 3,1416 ≈ 6,2832 radians.

un radian ≈ 57,29577951308232087679…0

et

≈ 0,2832 radian

un radian ≈ 57,30

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Convertir des mesures d’angles

On peut convertir des degrés en radians en utilisant le raisonnement suivant.

Dans un cercle, on retrouve 3600 et la circonférence du cercle trigonométrique est égale 2π radians.

En utilisant les proportions, la conversion est simple.

degrés

3600

radians

2 π =

Exemple: 1800

3600

x

2 π = 2 π X 1800

3600

= x x = π

donc 1800 = π radians

2

Remarque: Pour plus de précision dans les calculs, on travaille directement avec π plutôt qu’avec sa valeur arrondie (3,1416).

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degrés

3600

radians

2 π =

Exemples:

900

3600

x

2 π = 2 π X 900

3600

= x x = 2

π

600

3600

x

2 π = 2 π X 600

3600

= x x = 3

π

450

3600

x

2 π = 2 π X 450

3600

= x x = 4

π

300

3600

x

2 π = 2 π X 300

3600

= x x = 6

π

2700

3600

x

2 π = 2 π X 2700

3600

= x x = 3π

2

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Remarque:

Pour des angles de 900, 1800 et 2700 , la conversion en radians peut se faire plus rapidement selon ce raisonnement.

1-1

1

-1

y

x

Un angle de 900 correspond à un quart de cercle donc

1

4X 2 π =

2 π

4=

Un angle de 1800 correspond à un demi cercle donc

1

2X 2 π =

2 π

2=

Un angle de 2700 correspond aux trois quarts d’un cercle donc

3

4X 2 π =

6 π

4=

π

2radians

π radians

2radians

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En degrés En radians

3600 2 π

1800 π

900

2

π

600

3

π

450

4

π

300

6

π

00 0

2700

2

3 π

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Le cercle trigonométrique est à la base des fonctions trigonométriques.

Ces fonctions sont très utiles dans le domaine des sciences.

Exemples

électrocardiogramme

oscilloscope

électro-encéphalogramme