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7/24/2019 Cercle Trigo

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UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMTRIQUEFFIICCHHEEDDEEPPRRSSEENNTTAATTIIOONN FFIICCHHEEDDEEPPRRSSEENNTTAATTIIOONN FFIICCHHEEDDEEPPRRSSEENNTTAATTIIOONN

OBJECTIF(S)Utiliser le cercle trigonomtrique.

EXPLICITATIONtre capable l'issue des travaux d'utiliser le cercle trigonomtrique pour dterminer :

la valeur du sinus et du cosinus d'un angle ;la mesure des angles connaissant la valeur de leur sinus ou cosinus.

PR-REQUISSavoir utiliser le rapporteur.Matriser la proportionnalit, l'interprtation d'un intervalle et la relation de Pythagore.Savoir projeter un point sur un axe et utiliser un repre.

CONDITIONS

Traiter les exercices dans l'ordre propos.Traiter l'exercice 3aprs la correction de l'exercice 2.Traiter l'exercice 6aprs la correction de l'exercice 5.Prvoir une calculatrice, un rapporteur, un compas et une rgle.

CRITRES DE RUSSITEExercice 1: toutes les rponses justes (pour la formulation voir le professeur).Exercice 2: 1ertableau, troisbonnes rponses sur quatre;

2etableau, toutesles rponses exactes.Exercice 3: sixvaleurs exactes sur huit;

et huitvaleurs arrondies sur huiten lien avec les rponses trouves.Exercice 4:sixvaleurs exactes sur huit.Exercice 5:douzevaleurs exactes sur seize.Exercices 6et 7: Toutes les rponses justes.Exercice 8:quatrevaleurs exactes sur sixdont les deux premires.

CONSEILSFaire les tracs avec soin.Prsenter clairement les rponses plus particulirement pour les exercices 5et 8.

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UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMTRIQUEFFIICCHHEEDDEEFFOORRMMAATTIIOONN FFIICCHHEEDDEEFFOORRMMAATTIIOONN FFIICCHHEEDDEEFFOORRMMAATTIIOONN

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1. Dfinition du cercle trigonomtrique :

1.1.Son sens :

Short-Track Sens giratoire coulement de l'eau dans l'vier

Mange Vlodrome Roues aubes

Dans toutes ces situations les dplacements se font dans le mme sens.

Ce sens a t choisi comme sens trigonomtrique.Sens direct

1.2.Son rayon :

Tous les cercles ont un rayon gal "1".

1.3.Dfinition :Un cercle trigonomtriqueest un cercle de rayon"1" sur lequel le sens de dplacement est lesens direct.


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2. Angle orient :

2.1.Radian :

2.1.1. La grande roue :Elle est munie de nacelles.

tude du dplacement de l'une d'elles.

1rePosition 2ePosition

La nacelle se dplace de A en B en parcourant l'arcAB .

1rePosition 2ePosition

2.1.2. Dfinition :L'angle , qui intercepte un arc de cercle de longueurgaleau rayon, a pour mesure unradian(1 rad).


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2.1.3. Correspondance radian/degr :

Un tour de roue :

Position initiale Position finale

Nombre de tours Distance parcourue (radian) (degr)

1 2 R 2 360

Radian/Degr :

(en degr) 30 45 60 90 180 360(en radian)

6

4

3

2

2

Calcul de , en radian, connaissant sa mesure en degr : Exemple : 360

2=

60

=2 6

360

0

=3

2.2.Angle orient :2.2.1. La roue tourne :

Les touristes accdent la grande roue par laplate-forme d'embarquement : E.

La position de la nacelle 1sur la roue se reprepar rapport l'embarquement par un angle .

La nacelle 1est la plate-forme d'embarquement :=0 rad


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Texte Schma Angle (en rad)

La nacelle 2est la plate-formed'embarquement.(Les nacelles se remplissent ainsil'une aprs l'autre)

=4

Un tour aprs dans le sens direct=

4

+2

=9

4

Un tour aprs dans le sens indirect

= 4

2

=7

4

Remarque:Dans les trois situations, la nacelle 1occupe la mme position. Cette position est

repre par trois mesures diffrentes, exprimes en radian, du mme angle :

4

;9

4

; 7

4


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2.2.2. Cas gnral :

Unangle orient possde plusieursmesures :

rad ; (+2 ) rad ; (+4 ) rad ; (2 ) rad ; (4 ) rad ;

Mesure principale :

La mesure principale d'un angle orient est la mesure qui appartient l'intervalle ] ; ].

Dans l'exemple de la page prcdente, la mesure principale de est4

rad :

car4

est compris entre et alors que9

4

est plus grand que et 7

4

est plus petit que .

3. quations trigonomtriques :

3.1.Situation : nacelle en position = 3

L'occupant de la nacelle lche son porte-monnaie qui tombeverticalement au niveau de la plate-forme en C.

Quel outil mathmatique utiliser pour trouver exactementla mesure de OC connaissant la valeur de l'angle ?

3.2.Axe des sinus et des cosinus :3.2.1. Interprtation mathmatique :

On considre le cercle trigonomtrique muni d'un repreorthonormal.

OM =1 (cercle trigonomtrique)

Le point Mest projet sur les deux axes en Cet S.

L'abscissede M est gale 0,5;

l'ordonnede M est gale 0,9.

cos =OC

OM

cos =OC (car OM =1)

La mesure de OC correspond cos .

Pour obtenir le cosinusd'un angle, il suffit deprojeter sur l'axe des abscisses.

On appelle cet axe, l'axe des cosinus.

sin =OS

OM

sin =OS (car OM =1)

La mesure de OS correspond sin .

Pour obtenir le sinusd'un angle, il suffit deprojeter sur l'axe des ordonnes.

On appelle cet axe, l'axe des sinus.

Remarque :En vrifiant l'aide de la calculatrice, on trouve :

cos3 =0,5 sin

3 0,9 arrondi 0,1

Le porte-monnaie tombe en C qui se trouve au milieu du segment [OE].


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3.2.2. Conclusion :

Dans un cercle trigonomtrique, de centre O, muni d'un repre orthonormal, d'origine O, l'axe desabscisses est l'axe des cosinus, l'axe des ordonnes est l'axe des sinus.

L'observation du cercle trigonomtrique permetde voir que les valeurs de sin et de cos sontcomprises entre 1 et 1.

1 sin 1

1 cos 1

3.3.Rsolution d'quations trigonomtriques :

3.3.1. Rsolution d'quations du type : cos =a:

Exemple : cos =0,5

Mthode de rsolution :

Tracer le cercle trigonomtrique et le repre.Placer le point C d'abscisse0,5 sur l'axe des cosinus.

Tracer en C la droite parallle l'axe dessinus ; elle coupe le cercle en deux points M etP.

Mesurer, en degr, les angles 1et 2.

L'quation "cos =0,5" admet deux solutions sur l'intervalle ]180 ; 180 ].

S ={ 60 ; 60}


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3.3.2. Rsolution d'quations du type : sin =a:Exemple : sin =0,6

Mthode de rsolution :

Tracer le cercle trigonomtrique et le repre.Placer le point S d'abscisse0,6 sur l'axe des sinus.

Tracer en S la droite parallle l'axe dessinus ; elle coupe le cercle en deux points N etR.

Mesurer, en degr, les angles 1et 2.

L'quation "sin =0,6" admet deux solutions sur l'intervalle ]180 ; 180 ].

S ={ 143 ; 37}

4. Relations trigonomtriques :

Dans le triangle OCM rectangle en C, onapplique la relation de Pythagore :

OM2=OC2+CM2 (OS =CM)

OM2=OC2+OS2

L'observation de la figure permet d'crire :OM =1OC =cos OS =sin

donc 12=(cos )2+(sin )21 =cos2 sin2


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UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMTRIQUEFFIICCHHEEDD''EENNTTRRAANNEEMMEENNTT FFIICCHHEEDD''EENNTTRRAANNEEMMEENNTT FFIICCHHEEDD''EENNTTRRAANNEEMMEENNTT

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1. Parmi ces cercles :

C1 C2 C3

C4 C51.1.identifierle cercle trigonomtrique : .

1.2.reprer, par une croix, "les erreurs" sur les quatre autres cercles puis les modifier pour obtenirdes cercles trigonomtriques.

Le cercle n'est pas un cercle trigonomtrique car

.

.

.

.

2. Complterles tableaux de proportionnalit :

Angle(en radian)

3

12

8

3

10

.Angle exact(en radian)

3

12

8

3

10

.

Angle(en degr)

. 15 . . 360 Angle arrondi 0,01(en radian)

. 0,26 . . 6,28


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3. Donner, en radian, pour les angles suivants, la valeur exacte et la valeur arrondie 0,1.

Angle(en degr)

140 420 17 135 30 60 210 720

Valeur exacte(en radian)

Valeur arrondie 0,1(en radian)

crirele calcul dans le cas suivant :

140

...

...

...

......

...

...

...

...

...

...

...

...

...

4. Convertir, en degr, et arrondir lunit :

Angle(en radian) 15

0,25 5 1 20

0,3 4 42

Valeur arrondie l'unit

(en degr). . . . . . . .

crirele calcul dans les cas suivants :

15

rad 0,25 rad...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...


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5. Dterminerla mesure principale des angles suivants :

Angle(en degr)

140 420 17 135 30 60 210 720

Mesure principale(en degr) . . . . . . . .

Angle(en radian) 15

0,25 5 1 20

0,3 4 42

Mesure principale(en radian)

. . . . . . . 1,98

6. Tracerdans le cercle trigonomtrique l'angle correspondant :=140 =0,3 rad

=6

rad=5 rad

7. Dterminer graphiquementle cosinus et le sinus des angles tracs, arrondir 0,1 :

cos =sin =

cos =.sin =..

cos =sin =

cos =sin =


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8. Rsoudre, en utilisant le cercle donn, les quations suivantes dans l'intervalle ]; ]:

cos x=0,2

...

...

...

sin t=0,45

...

...

...

cos =1

...

...

...

sin y=1

...

...

...

cos =0

...

...

...

sin =2

...

...

...


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UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMTRIQUEFFIICCHHEEAAUUTTOO--CCOORRRREECCTTIIVVEE FFIICCHHEEAAUUTTOO--CCOORRRREECCTTIIVVEE FFIICCHHEEAAUUTTOO--CCOORRRREECCTTIIVVEE

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1. Parmi ces cercles :

C1 C2 C3

C4 C51.1.identifierle cercle trigonomtrique : C5

1.2.reprer, par une croix, "les erreurs" sur les quatre autres cercles puis les modifier pour obtenirdes cercles trigonomtriques.

Le cercle n'est pas un cercle trigonomtrique car

C1 la mesure de l'angle n'est pas gale 45 mais (45)

C2 le rayon du cercle n'est pas gal 1

C3 le sens de rotation n'est pas le sens direct

C4 Le sens de rotation n'est pas indiqu

2. Complterles tableaux de proportionnalit :

Angle(en radian)

3

12

8

3

10

2 Angle exact(en radian)

3

12

8

3

10

2

Angle(en degr) 60 15 22,5 54 360

Angle arrondi 0,01

(en radian)1,05 0,26 0,39 0,94 6,28


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3. Donner, en radian, pour les angles suivants, la valeur exacte et la valeur arrondie 0,1.

Angle(en degr)

140 420 17 135 30 60 210 720

Valeur exacte(en radian)

7

9

7

3

17

180

3

4

1

6

1

3

7

6 4

Valeur arrondie 0,1(en radian)

2,4 7,3 0,3 2,4 0,5 1 3,7 12,6

crirele calcul dans le cas suivant :

140

360

2=

140

x

x360 =2140

x=2 140

360

aprs simplification : x=7

9

soit x=7

9rad (valeur exacte)

7 3,14...

92,44

soit 2,4 rad (valeur arrondie)

4. Convertir, en degr, et arrondir lunit :

Angle(en radian) 15

0,25 5 1 20

0,3 4 42

Valeur arrondie l'unit

(en degr)12 14 900 57 9 17 720 2406

crirele calcul dans les cas suivants :

15

rad 0,25 rad

=180

15

=180

15

=12

soit 12

360

2=

0,25

x

x=360 0, 25

2

x=90

2

x=14,3soit 14


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5. Dterminerla mesure principale des angles suivants :

Angle(en degr)

140 420 17 135 30 60 210 720

Mesure principale(en degr) 140 60 17 135 30 60 150 0

420 =360 60Mesure principale 60

210 = 360 xx= 210 360x=150Mesure principale 150

Angle(en radian) 15

0,25 5 1 20

0,3 4 42

Mesure principale

(en radian) 15

0,25 1 20

0,3 0 1,98

5 =4 Mesure principale

6. Tracerdans le cercle trigonomtrique l'angle correspondant :

=140 =0,3 rad

17

30

=

6

rad

180

=5 rad7. Dterminer graphiquementle cosinus et le sinus des angles tracs, arrondir 0,1 :

cos =0,5sin =0,8

cos =0,7sin = 0,7

cos = 0,5sin =0,8

cos = 0,5sin = 0,8


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8. Rsoudre, en utilisant le cercle donn, les quations suivantes dans l'intervalle ]; ]:.

cos x=0,2

x1=102 x2= 102

S ={102

180;

102

180}

sin t=0,45

t1=27 t2=153

S ={27

180;

153

180}

cos =1

=0S ={0}

sin y=1

y=2

S ={2

}

cos =0

1= 2 2= 2

S ={2

;2

}

sin =2

sin >1donc n'existe pas

S ={}

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