Trigonométrie

Plan• I) Cercle trigonométrique.

• II) Angles orientés et cercle trigo.

• III) Convertir des degrés en radians.

• IV) Des radians, mais pour quoi faire ? …

• V) Cosinus et Sinus d’un angle réél.

• VI) A RETENIR !

• VII) Fonction sinus

I) Cercle trigonométriqueDéfinition: On appelle cercle trigonométrique un cercle de centre O , de rayon 1, orienté dans le sens direct (+) c’est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Remarque : la longueur d’un tour complet est égale à 2. Celle d’un quart de tour : 2

)('' AA

Propriété : L’activité « Enroulement de la droite autour du cercle » montre que :

A chaque nombre x de la droite des réels , on peut associer un unique point du cercle.Exemple: x= /2 x = 5 /2 x = - 3/2 correspondent au point B

2

3

2

BB

2

3'

2'

BB

x = - /2 x = + 3/2 correspondent au point B’

II) Angles orientés et cercle trigo

II) Angles orientés et cercle trigo

]2[; xOMOA

)(2; kkxOMOA

)(22

; ZkkOBOA

]2[2

; OBOA

Lire « modulo 2 »

III) Convertir des degrés en radians

angle (°) angle(rad)180

x

180

xxrad

radx

x (°) 0 30 45 60 90 120 180 270 360

0 /6 /4 /3 /2 4/6 3/2 2radx

IV) Des radians … mais pour quoi faire ?

180

xRL

Longueur Angle (°)½

CercleR 180

Arc L x

L

)180

(

xRL

radxRL

Pour simplifier cette formule …

)]2;0[( radx

L

Exemple

cm

RL rad

6,26

5

rad

rad

cmR

6

1803030

5

V) Cosinus et Sinus d’un nombre réel

1- Définition :Soit M le point associé au réel x sur le cercle trigonométrique.

On appelle cosinus et sinus de x les coordonnées du point M dans le repère

cos x : abscisse du point Msin x : ordonnée du point M.

),,( OBOAO

x

xMsin

cos

V) Cosinus et Sinus d’un nombre réel

2- Exemples:cos (0) = 1

cos (/2) = 0

sin (0) = 0

0

1A

1

0B

sin (/2) = 1

cos () = -1

sin () = 0

0

1'A

10

'Bcos (- /2) = 0

sin (- /2) = -1

cos (3/2) = 0

sin (3/2) = -1

10

'B

V) Cosinus et Sinus d’un nombre réel

3- Propriétés :

-1 ≤ cos x ≤ 1-1 ≤ sin x ≤ 1

4- Formule :

(cos x)² + (sin x)² = 1

Preuve: Pythagore … encore lui …

Trg rectangle OHM: OH² + HM² = OM²

(cos x)² + (sinx)² = 1² = 1

VI) A retenir1- Angle orienté:

2- Conversion degré-radian :

)(2.; kkxOMOA

180deg

xxrad

)]2;0[( radrad xxRL

3- Calcul d’un arc de cercle :

4- cos x et sin x (x є ) :

x

xMsin

cosDans le repère ),,( OBOAO

VII) Fonction sinusVoir Activité sous geogebra : « construction fonction sinus »