Casyopée : un environnement Casyopée : un environnement de calcul formel pour l ’étude de calcul formel pour l ’étude des fonctionsdes fonctions

J.M. Gelis

J.B. Lagrange

Equipe Didirem Paris 7

PlanPlan

Historique et problématique L’environnement symbolique L’extension géométrie dynamique Casyopée dans Remath

Un environnement de calcul Un environnement de calcul formel...formel...

Au départ, deux équipes Paris (INRP, Techné) Rennes (IREM)

Un projet Concevoir un environnement d ’apprentissage

autour d ’un noyau de calcul formel

Une problématiqueUne problématique

calcul formel moyen « moderne » de

faire des maths, activité potentiellement

plus riche (techniques différentes, accès à la généralité)

•difficultés d ’intégration• côté élève : instrumentation longue et hasardeuse • côté professeur : très peu de moyens d ’organiser et de réguler

-> situation bloquée

Conception généraleConception générale

partir d ’un noyau de calcul formel (les primitives les plus courantes, noyau DERIVE, TI-92, Mupad, Maple ),

construire une environnement en fonction d ’un projet d ’utilisation pédagogique du calcul formel

Méthodologie « itérative »Méthodologie « itérative »

1. Faire des hypothèses sur ce qu’il faudrait “ ajouter ” au calcul formel

2. Choisir un domaine de tâche

3. Spécifier des fonctionnalités

4. Développer une maquette

5. Expérimenter, revenir sur les hypothèses...

ItérationsItérations

1999-2000 Maquettes : Variatio LimitesLenne D., Lagrange, J.B., Py D., Gelis, J.M. 2003 The design of Software

Learning Environments using Symbolic Computation: two case studies in pre-calculus. IJCAME

2001-2005 Casyopée -> exploration et preuve de propriétés de fonction

Lagrange, J.B., 2005 Curriculum, classroom practices and tool design in the learning of functions through technology-aided experimental approaches. IJCML

2005-… ReMath: extension “géométrie dynamique”

Choix et objectifsChoix et objectifs Centré sur les représentations algébriques Aider les élèves à les considérer comme:

Un moyen efficace de résolution de problèmes Un moyen de modéliser des phénomènes

Choix des fonctions Mettre l’accent

sur la diversité des représentations sur la transformation des expressions (en fonction d’un but) sur la preuve sur la modélisation

x

a

Le problème de la boîteLe problème de la boîte

Résolution de la situationRésolution de la situation

Extension dans RemathExtension dans Remath

Evolution de Casyopée Bilan des usages

orientés vers l’algèbre

Nouveaux objectifs donner du sens aux outils de l’analyse et de

l’algèbre à travers la modélisation de phénomènes étudier les dépendances fonctionnelles entre

variables

Extension dans RemathExtension dans Remath

Caractéristiques cas de la géométrie dynamique ; exemple :

construire une figure comprenant des points mobiles déterminer une aire dépendant d’une distance par exemple explorer la correspondance numérique définir une fonction disposer des outils de l’analyse études numérique,

graphique,formelle ; extrema par factorisation ou dérivée…

faire le lien entre le déplacement du point en GD et la fonction

Une expérimentation Une expérimentation

La résolutionLa résolution

Autres variables indépendantes Autres variables indépendantes

A partir des protocoles A partir des protocoles quelques éléments

instrumentation Anthony :

à l’aise avec le logiciel il conduit ses recherches en papier/crayon

résolution de l’équation avec une variable erronée (b)perte de sens du problème

il reporte dans Casyopée ses conclusions Casyopée n’est pas un lieu d’exploration de conjectures

Casyopée est un outil de présentation, il n’y a pas eu instrumentation

les paramètres Anne-Sophie

dès qu’elle recherche en papier/crayon, elle instancie ses paramètres avec les valeurs courantes dans le logiciel

A partir des protocolesA partir des protocoles

conduite de la séance par l’enseignant équilibre entre

le guidage fort des élèves à l’aide d’élèves « sherpas »

l’autonomie dans la recherche

Représentations Représentations représentations

système : représentations actions sur ces représentations

exemple : fonction,création variable,

expression, domaine

grandeur indépendante, grandeur dépendante, domaine

interaction avec le logiciel de calcul formel sollicitation permanente de Mupad pour

créer les fonctions

Etude formelleEtude formelle

problèmes possibles

ensemble numérique : C racine carrée et puissance ½ résolution d’équation présence de paramètres

interface système de calcul formel

/ Casyopée

TracesTraces traces de

l’interaction avec l’élève contenus

quelles informations, quelles structures

intérêt analyse

automatique des protocole d’élèves

production d’une rédaction

logique d’agent lieu de

communication élève / environnement

Un problème de variationUn problème de variation

Retour vers l’analyseRetour vers l’analyse

ReMath : les ambitions :ReMath : les ambitions :

Le choix du filtre des représentations L’importance centrale accordée dès le départ

aux problèmes posés par la diversité théorique

Le souci d’expérimenter dans des contextes éducatifs réalistes

L’inclusion d’une dimension développement d’artefact

ReMath ReMath La structuration du projetLa structuration du projet

WP1 : L’intégration théorique WP2 : Le développement logiciel WP3 : La modélisation des scénarios WP4 : Les expérimentations WP5 : La plateforme multilingue de

stockage et communication : Math.Di.L.S.

Le lien entre WP1 (théorie) et Le lien entre WP1 (théorie) et WP2 (développement)WP2 (développement)

Analyser en profondeur le travail de conceptionRepérer précisément le rôle des cadres théoriques

Methodologie 1. grille à partir de l’ITF (concerns, theoretical

construct) -> analyse des spécifications 2. entretiens d’explicitation à propos de

certaines décisions

La grilleLa grille Part 2 : Didactical functionalities and design a) Characteristics of the DDA - concerns about

1. the ways mathematical objects and their interaction are represented 2. the ways didactic interactions are represented 3. the ways representations can be acted on 4. possible interactions, connections with other semiotic systems, including

the representations provided by other DDAs 5. relationships with institutional or cultural systems of representation 6. rigidity/evolutive characteristics of representations

For those considered, what are the theoretical frames and constructs, if any, which you refer to: at the level of general principles and metaphors? an operational level?

Caractéristiques du DDA (Casyop)Caractéristiques du DDA (Casyop)

“Concerns” Grade Principaux cadres theoriques “Operational constructs”

Representation of mathematics objects

5 Didactique de l’algèbre et de l’analyse et du CF.

Statut des littéraux, activités algébriques,

Niveaux en analyse

Possible actions on representations

5 Théorie de l’activité

Connections between representations

3 Cadres de représentation Registres et cadres

Relationships with cultural representations

5 Approche anthropologique Technique

L’expérimentation croisée

Aplusix

SIENA UNIV.UNIPARIS 7

CruisletCasyop