Vers des Familles de Situations dInteraction Indexées par les compétences algébriques Brigitte...
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Vers des Familles de Situations d’Interaction
Indexées par les compétences algébriques
Brigitte Grugeon Lalina Coulange DIDIREM Paris 7 DIDIREM Paris 7 IUFM d’Amiens IUFM de Créteil
Jean-Michel Gélis Françoise Chenevotot DIDIREM Paris 7 DIDIREM Paris 7 IUFM de Versailles IUFM d’Arras
Axe apprentissageAxe apprentissage
Objectif : Élaborer des situations d’apprentissage EIAH en algèbre
Pour répondre aux difficultés / profils d’élèves dans PEPITEEnvisager des parcours différenciés d’apprentissage
ProblématiqueProblématique
Comment déterminer les situations d’apprentissage et les paramétrer pour les générer automatiquement, en vue de définir des parcours d’apprentissage différenciés, adaptés aux profils d’élèves en algèbre ?
Comment l’articulation entre des résultats de recherche en didactique des mathématiques et en informatique permet-elle d’avancer dans cette recherche ?
Environnement interactif en algèbreEnvironnement interactif en algèbre
PEPITE
PEPISTEREO
Elève
Enseignant Profils d’élève
Situations p/c ou logicielles
AILE AMICO CIME APLUSIX ….
Parcours d’apprentissage
Le domaine de l’algèbre Le domaine de l’algèbre élémentaireélémentaire
dimension objet Objets de l’algèbre : expressions, formules, équations Systèmes de représentation de ces objets,
en particulier, le système de représentation symbolique algébrique en articulation avec d’autres systèmes de représentation
dimension outil, selon les champs de problèmes Outil de résolution via leur modélisation
pour des problèmes arithmétiques formulés en langue naturelle sous forme d’équations
et au-delà, pour des problèmes intra ou extra mathématiques sous forme de relations fonctionnelles entre données et variables
Outil de généralisation et de preuve dans le cadre numérique Outil de calcul dans les cadres algébrique et fonctionnel
Modèle de la compétence algébrique à ce niveau scolaire
Dimensions du savoir algébriqueDimensions du savoir algébrique
Généralisation/ preuve Calcul algébrique
Modélisation fonctionnelle Expressions Equations ...
Modélisation équationnelle
Arithmétique Géométrique …
Dimension outil Dimension objet
Famille de situations Famille de situations d’apprentissage en algèbre d’apprentissage en algèbre
élémentaireélémentaire
Point de vue didactique
- Découpage multidimensionnel du savoir algébrique (Grugeon et al. 2003)
- Problème (ou tâche) fondamental(e) Variables didactiques : expressions algébriques, problèmes arithmétiques(Bardini 2003, Brousseau 1982, Coulange 2001)
- Réponses a didactiques du système aux actions d’élèves(Brousseau 1986)
Point de vue EIAH
(Delozanne et Dubourg 1995, Grugeon et al. 2003)
Un exemple :Un exemple :
Bouchons les trous
« Bouchons les trous » « Bouchons les trous » (René de Cotret)(René de Cotret)
Famille de situations :Famille de situations :« Bouchons les trous »« Bouchons les trous »
Objectif d’apprentissage : Mettre en équation des problèmes
Tâche : Compléter le libellé d’un problème à partir d’une ou
plusieurs équations données ou l’inverse
Paramètres Tâches Interactions (système-élève) associées
ParamètresParamètres
Paramètres : liés aux variables didactiques relatives à l’énoncé via
le canevas Nature du problème donné : relations numériques en jeu dans le
problème, forme écrite plus ou moins congruente avec les équations.
Les équations données : nombre d’équations et d’inconnues, équations de forme plus ou moins congruente avec l’énoncé
Le (ou les) trou(s) : nombre de trous, au sein du problème ou de l’équation, contenu du trou (opérateurs, données numériques, etc.)…
liés aux variables relatives actions et stratégies du système type de suivi, rétroactions logicielles ( analyse a priori) outils mis à disposition (palette de mots ou de chiffres, feuille de
calcul,..)
Prototype CIME : Problèmes de type rapport et différence générés
automatiquement
Énoncé
Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui de
Pierre. Or Marie en a que Pierre.
Combien chaque enfant a-t-il de billes ?
Équations
x = 4 yx - y = 36
Complète l’énoncé, en étudiant les équations
fois moins
plusde
09876
54321
Continuer
Énoncé
Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui de
Pierre. Or Marie en a que Pierre.
Combien chaque enfant a-t-il de billes ?
4 fois plus
Équations
x = 4 yx - y = 36
x désigne le nombre de billes de y désigne le nombre de billes de
Marie
Pierre
Marie
Pierre
36 de moins
Revenir à l’énoncé Continuer
Avec : x désigne le nombre de billes de Marie et y désigne le nombre de billes de Pierre
Énoncé
Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui
de Pierre. Or Marie en a que Pierre.
Combien chaque enfant a-t-il de billes ?
Équations
x = 4 yx - y = 36
4 fois plus
36 de moins
Revenir à l’énoncé
l’énoncé : Il y a quatre fois plus de billes dans le sac de Marie que dans celui de Pierre. Or Marie en a 36 de moins que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ?
se ramène à : x = 4 yy -x = 36
Énoncé
Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui de
Pierre. Or Marie en a que Pierre.
Combien chaque enfant a-t-il de billes ?Équations
x = 4 yx - y = 36
Complète l’énoncé, en étudiant les équations
fois moins
plusde
x désigne le nombre de billes de Marie et y désigne le nombre de billes de Pierre
09876
54321
Continuer
Génération d’une famille de situations Génération d’une famille de situations « Bouchons les trous »« Bouchons les trous »
N fois plusN fois moins
P de plusP de moins xx = = NyNy ou ou x = 1/N yx = 1/N y
xx = = y y + + P P ou ou x = y - Px = y - P
Formulation en langage naturel d’un problème rapport et différence
variables didactiques : relations (implicites-explicites : congruence sémantique), équations
initiales, équations données, trou(s)
Génération de situations et d’interactions, Génération de situations et d’interactions,
liées aux valeurs des variables didactiquesliées aux valeurs des variables didactiques
Énoncé type : Il y a _____ de billes dans le sac de Marie que dans le sac de Pierre.Or Marie en a ______ que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ?
x = 2yx = y + 36
Exacte Fausse pour 1er trouFausse pour 2e trouFausse pour 1er et 2e trou
Réponse 1er trou et 2e trou
Réponse 1er trou et 2e trou Fois, plus, moins, de, Chiffres
x désigne…y désigne…
Nombre de billes de MarieNombre de billes de Pierre
Contradictiondésignation des inconnuesréponse fausse 1er/2e trou et système d’équations
énoncé correspondant
Profil et situations d’interaction adaptéesProfil et situations d’interaction adaptées
Une étude de cas
Une nouvelle modélisation cognitiveUne nouvelle modélisation cognitive
Ancien Pépite : Profil individuel complexe
Description quantitative : traitements maîtrisésDescription qualitative sur 6 composantesDiagramme de flexibilité entre registre
Restructuration des profils : Un Profil =
Un stéréotype +Des caractéristiques personnelles
– leviersleviers– fragilités fragilités – liste des erreursliste des erreurs
Une élève : BlandineUne élève : Blandine
Stéréotype Outil algébrique peu mobilisé et faiblement maîtrisé (9%) Traduction partiellement maîtrisée (55%) Calculs insuffisamment réalisés et parfois non opératoires (37%)
Leviers Interprétation disponible dans le cadre algébrique (55%) Capacités à passer du langage naturel à l’écriture algébrique
Fragilités Erreurs de parenthésage, Usage incorrect des opérateurs (linéarisation et assemblage des termes)
Stratégie pour déterminer les situations d’apprentissage
1. A partir du stéréotype Travailler en priorité la dimension outil (modélisation équationnelle ou fonctionnelle)
2. Caractéristiques propres de l’élève choix de situations d’interaction
Situations adaptées à Blandine (1)Situations adaptées à Blandine (1)
Généralisation/ preuve Calcul algébrique
Modélisation fonctionnelle Expressions Equations ...
Modélisation équationnelle
Arithmétique Géométrique…
…
Appartenance à un stéréotype : faible
maîtrise de l’outil algébrique
Caractéristiques personnelles de l’élève
Mise en équation de problèmes type “partage en parties inégales”
Situations adaptées à Blandine (2)Situations adaptées à Blandine (2)
Caractéristiques personnelles de l’élève
Situations de type « Bouchons les trous »
Mise en équation et résolution de problèmes somme et rapport…
Réussites Langage Algébrique - Trou dans l’équation
Erreurs liées aux opérateursRéussites Langage Algébrique
- Deux problèmes : somme et rapport
Énoncé
Marie a huit fois plus de billes que Pierre. Marie et Pierre ont 72 billes
ensemble. Combien chaque enfant a-t-il de billes ?
Équations
x = x + y = 72
Complète l’équation, en étudiant l’énoncé
x y
)(
09876
54321
Continuer
+
-/
Énoncé
Équations
Complète l’équation, en étudiant l’énoncé
x y
)(
09876
54321
Continuer
+
-/
Le premier tas contient quatre fois plus de cailloux que le deuxième tas. Le
troisième tas a six cailloux de plus que le deuxième tas. Les trois tas
contiennent ensemble 60 cailloux. Combien y a-t-il de cailloux dans chaque
tas?
x = 42
Énoncé
Il y a deux tas de cailloux. Le premier tas contient six fois plus de cailloux
que le deuxième tas. Les deux tas réunis contiennent 42 cailloux.
Combien y a-t-il de cailloux dans chaque tas?
Équations
x = 42
09876
54321
Continuer
x y
)(
+
-/
Complète l’équation, en étudiant l’énoncé